第12章整式的乘除教案
整式的乘除教案
整式的乘除教案一、教学目标：1. 了解整式的定义和性质；2. 掌握整式的乘法和除法运算方法；3. 运用整式的乘法和除法解决实际问题。
二、教学重点：1. 整式的乘法运算方法；2. 整式的除法运算方法。
三、教学难点：1. 运用整式的乘法和除法解决实际问题。
四、教学过程：1. 导入新知识（5分钟）教师出示一个简单的整式（如3x+2y）并请学生回答这是什么式子。
引导学生了解整式的定义，即只包含数与字母的四则运算式。
2. 整式的乘法运算（15分钟）（1）教师出示一个整式乘法题（如2x × 3y），演示如何进行计算。
强调同类项的概念。
（2）学生进行练习，完成若干道整式乘法题。
3. 整式的除法运算（15分钟）（1）教师出示一个整式除法题（如4x^2y / 2xy），演示如何进行计算。
解释整式除法的概念与步骤。
（2）学生进行练习，完成若干道整式除法题。
4. 运用整式解决实际问题（15分钟）（1）教师给出一个实际问题（如某物品的价格为3x+5，购买了5件，求总价），引导学生用整式的乘法解决问题。
（2）教师给出一个实际问题（如某物品的总价是15，已知单价是3x+5，求购买的件数），引导学生用整式的除法解决问题。
5. 小结与作业布置（10分钟）（1）教师对整节课的内容进行小结，强调整式的乘法和除法运算方法以及运用整式解决实际问题的步骤。
（2）布置作业：完成课本上相关练习题。
五、教学反思：整式的乘法和除法运算是初中代数的基本内容，也是后续学习的基础。
本节课针对不同的整式运算方法设置了相关的练习题，并引导学生运用整式解决实际问题，既锻炼了学生的运算能力，又培养了学生的应用能力。
同时，整节课的设计充分利用了教学时间，使学生能够在实践中学会运用整式进行乘除运算。
整式的乘除教案原文
整式的乘除教案原文一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解整式的乘除概念；（2）掌握整式乘除的运算法则；（3）能够熟练进行整式的乘除运算。
2. 过程与方法：（1）通过实例演示，引导学生发现整式乘除的规律；（3）设计适量练习，提高学生的运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生积极参与数学学习的兴趣；（2）培养学生克服困难的意志品质；（3）培养学生合作交流的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）整式乘除的概念；（2）整式乘除的运算法则；（3）整式乘除的运算步骤。
2. 教学难点：（1）整式乘除的运算法则的灵活运用；（2）复杂整式乘除的运算。
三、教学准备1. 教师准备：（1）熟记整式乘除的运算法则；（2）准备典型例题和练习题；（3）准备多媒体教学设备。
2. 学生准备：（1）掌握整式的基本概念；（2）了解整式加减的运算方法；（3）预习整式乘除的相关内容。
四、教学过程1. 导入新课：（1）复习整式的基本概念；（2）复习整式加减的运算方法；（3）引导学生思考整式乘除的概念及运算法则。
2. 知识讲解：（1）通过实例演示，引导学生发现整式乘除的规律；（3）讲解整式乘除的运算步骤。
3. 课堂练习：（1）设计适量练习题，让学生独立完成；（2）引导学生互相讨论，共同解决问题；（3）讲解练习题，巩固所学知识。
五、课后作业2. 布置适量课后练习题，巩固所学知识；3. 鼓励学生进行合作学习，互相交流学习心得。
六、教学拓展1. 引导学生思考：整式乘除在实际生活中的应用；2. 举例说明整式乘除在其他学科中的应用；3. 引导学生探索整式乘除的运算规律。
七、课堂小结2. 强调整式乘除在数学中的重要性；3. 鼓励学生积极参与课后练习，巩固所学知识。
八、课后作业2. 布置适量课后练习题，巩固所学知识；3. 鼓励学生进行合作学习，互相交流学习心得。
九、教学反思2. 针对学生的学习情况，调整教学策略；3. 思考如何提高学生的学习兴趣和积极性。
2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第12章整式的乘除12.5因式分解(第2课时)
第12章 整式的乘除12.5 因式分解第2课时 两数和与两数差的积——因式分解教学目标1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；2.让学生经历探究因式分解的过程，理解和领悟因式分解，发现因式分解的基本方法——公式法；3.掌握运用平方差公式因式分解的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式，培养学生多步骤因式分解的能力.教学重难点重点：掌握公式法（两数和与两数差的积）进行因式分解. 难点：怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底.复习巩固1.因式分解是怎样定义的？因式分解有什么特点？2.把下面多项式分解因式：（1）3222320515y x y x y x -+； （2）22230156mn mn n m +-； （3）()()b a y b a x +-+； （4）()()()22332a b a b a a b +--+. 【答案】（1）()224135y xy y x -+. （2）()32510mn m n n -+. （3）()()a b x y +-. （4）-()()23a b a b ++. 3.计算：()()a b a b +-. 【答案】 22b a -.教学过程导入新课【创设情境，课堂引入】我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用整式乘法与因式分解的这种关系，可以得到因式分解的方法.如果把乘法公式反过来用，就可以将某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法.探索：根据上面的计算，请你猜想22a b -的结果. 把乘法公式()()22a b a b a b +-=-反过来， 就得到：教学反思探究新知【实践探究，交流新知】思考：两数和与两数差的积——因式分解： （1）（2）用文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 【注意】（1）要弄清楚整式乘法中的两数和与两数差的积与因式分解中的两数和与两数差的积的区别，因式分解中左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和乘以这两个数的差；（2）a ，b 可以是单独的数或具体的字母，也可以是多项式. 例如：【小组讨论，师生互学】例1 把下列多项式分解因式：（1）2251a -； （2）222z y x -； （3）2201.094n m -.解：（1）()()()222125151515a a a a -=-=+-；（2）()()()22222x y z xy z xy z xy z -=-=+-；（3）()222242220.010.10.10.19333m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例2 把下列各式分解因式：（1）()()22q x p x +-+； （2）()()22916b a b a +--.分析：()()22q x p x +-+是x p +与x q +的平方差；把式子()216a b -- ()29a b +改写成()[]()[]2234b a b a +--后，可以看出它是4()a b - 与()b a +3的平 方差，所以它们都可以运用两数和与两数差的积因式分解.教学反思解：（1）()()22q x p x +-+()()()()x p x q x p x q =++++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2x p q p q =++-； （2）()()22916b a b a +--()()2243a b a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()4343a b a b a b a b =-++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()77a b a b =--. 例3 把下列各式分解因式：（1）35x x -； （2）44y x -. 解：（1）35x x - ()123-=x x()()311x x x =+-；（2）44y x -()()2222y x-=()()2222x y x y =+- ()()()22x y x y x y =++-.【注意】（1）如果多项式的各项含有公因式，那么先提公因式，再进一步因式分解.（2）因式分解要彻底，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 同步练习：把下列各式分解因式：（1）3（a +b ）2-27c 2 ； （2）16（x +y ）2-25（x -y ）2； （3）a 2（a -b ）+b 2（b -a ）； （4）（5m 2+3n 2）2−（3m 2+5n 2）2. 【答案】（1）3（a +b +3c ）（a +b -3c ）；（2）（9x -y ）（9y -x ）；（3）（a +b ）（a -b ）2；（4）16（m 2+n 2）（m +n ）（m −n ）.【合作探究，解决问题】用平方差公式因式分解解决综合问题.（师生互动）例4 已知2 48-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数. 【探索思路】被自然数整除的含义是什么？248-1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？解：248-1＝（224+1）（224-1）＝（224+1）（212+1）（212-1） ＝（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）.∵26＝64，∴26-1＝63，26+1＝65， ∴这两个数是65和63.教学反思【题后总结】（学生总结，老师点评）解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除.例5 利用因式分解计算： （1）1012-992；（2）5722×14-4282×14.【探索思路】观察式子特点，用提公因式法和公式法进行因式分解. 解：（1）1012-992＝（101+99）（101-99）＝400.（2）5722×14-4282×14＝（5722-4282）×14＝（572+428）（572-428）×14＝1 000×144×14＝36 000.【题后总结】（学生总结，老师点评）对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，可以使运算简便.课堂练习1.下列代数式中能用两数和与两数差的积因式分解的是（ ） A.a 2+b 2 B.−a 2−b 2 C.a 2−c 2−2ac D.−4a 2+b 22.将−4+0.09x 2分解因式的结果是（ ） A.（0.3x +2）（0.3x -2） B.（2+0.3x ）（2-0.3x ） C.（0.03x +2）（0.03x -2） D.（2+0.03x ）（2-0.03x ）3.已知多项式x +81b 4可以分解为（4a 2+9b 2）（2a +3b ）（3b -2a ），则x 的值是（ ）A.16a 4B.-16a 4C.4a 2D.-4a 2 4. 因式分解：249x -=_____________.5. 因式分解：2()1xy -＝ . 6. 因式分解：4x 2-y 2＝ . 7. 因式分解：a 2−144b 2＝ .8. 已知4m +n ＝40，2m -3n ＝5，求（m +2n ）2-（3m -n ）2的值. 参考答案1.D2.A3.B4. (23)(23)x x -+5. (1)(1)xy xy +-6. （2x +y ）（2x −y ）7.（a +12b ）（a −12b ）8. 解：原式＝（m +2n +3m −n ）（m +2n −3m +n ） ＝（4m +n ）（3n −2m ） ＝− （4m +n ）（2m −3n ）.当4m +n ＝40，2m −3n ＝5时，原式＝−40×5＝−200.课堂小结通过本节课的学习，要求同学们1.掌握两数和与两数差的积，并能灵活地利用两数和与两数差的积进行因式分解.2.进行因式分解过程中，有公因式的应先提取公因式，然后再分解，因教学反思式分解必须彻底.教学反思布置作业请完成本课时对应练习！板书设计因式分解——平方差法两数和与两数差的积：（1（2）用文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.。
2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第12章整式的乘除12.2整式的乘法(第1课时)
第12章 整式的乘除12.2 整式的乘法第1课时 单项式与单项式相乘教学目标1.让学生通过适当的尝试，获得直接的经验，体验单项式与单项式的乘法运算规律，总结运算法则.2.使学生能正确区别各单项式中的系数，同底数的幂和不同底数幂的因式.3.让学生感知单项式的乘法法则对两个以上的单项式相乘同样成立，知道单项式乘法的结果仍是单项式.4.使学生通过探索理解单项式的乘法中，系数与指数的不同计算方法，正确应用单项式的乘法步骤进行计算，能熟练地进行单项式与单项式相乘和含有加减运算的混合运算.教学重难点重点：对单项式运算法则的理解和应用.难点：尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律.教学过程复习巩固1.口述幂的运算的四个法则.【答案】同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=（m ，n 都是正整数）；幂的乘方：()nm m n a a =（m ，n 都是正整数）；积的乘方：()n n nb a ab =（n 是正整数）；同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（m ，n 是正整数，并且>m n ，0≠a ）.2.幂的运算的四个法则的联系和区别是什么？3.计算：（1）20032004155⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭； （2）()()532532b a b a -+ ； （3）()()32232x x -.【答案】（1）5； （2）0； （3）128x -.导入新课【创设情境，课堂引入】计算（1）3225x x ； （2）3225x x y .教学方式：教师启发引导学生，学生主动探索，逐步认识.分析：运用乘法交换律、结合律，把各因式的系数，相同的字母分别结合，教学反思然后相乘.（1）()()32325252510x x x xx=⨯⨯=；（2）()()32325252510x x y x x y x y =⨯⨯=.探究新知【实践探究，交流新知】通过上面两式的计算，启发引导学生归纳得出： 单项式与单项式相乘的法则： （1）系数相乘作为积的系数；（2）相同的字母，应用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加； （3）只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式； （4）单项式与单项式相乘的结果仍然是单项式.【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】 例1 计算：（1）()2332x y xy - ； （2）()()23254a b b c --. 解：（1）()2332x y xy - ()()()2332x x y y=⨯-⎡⎤⎣⎦………（乘法的交换律与结合律）436y x -=；（2）()()23254a b b c --()()()23254a b b c =-⨯-⎡⎤⎣⎦………（乘法的交换律与结合律）c b a 5220=.例2 计算：（1）()22332x y xy - ； （2）()()2323254a b b c --；（3）()()23254mna b b c --； （4）()()()3222229ab ab ab --.解：（1）()22322647323412x y xy x y x y x y -==；（2）()()()23232466341235425641600a b b c a b b c a b c --=-=-；（3）()()()()()()232232232545454mnmnmnm mn nm m n na b b c a bb c a bc +--=--=--；教学反思（4）()()()3222236224362989ab ab ab a b ab a b a b --=-=-.方法小结：进行计算时，有乘方先算乘方，再算单项式乘以单项式.【巩固练习】 计算： （1）()()433nnab ab - ； （2）23222332a b ab ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）()()()()23322122a bc a bc abc abc -----. 【答案】（1）124b a ；（2）6523b a ；（3）0.【总结】（学生总结，老师点评） 单项式乘以单项式的注意事项：（1）计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积； （2）按顺序运算；（3）不要丢掉只在一个单项式里出现的字母因式；（4）单项式乘以单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立. 【拓展延伸】例3 已知-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，求m 2＋n 的值. 【思考】根据-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，可以得到什么？怎样求m 2+n 的值？解：因为-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，所以3164,231,m n n m ++-=⎧⎨--=⎩ 解得2,3.m n =⎧⎨=⎩所以m 2+n ＝7.【总结】（学生总结，老师点评）根据单项式乘以单项式的法则，结合同类项，列出关于m ，n 的二元一次方程组，进而求得代数式的值.课堂练习1.计算3a ·2b 2的结果是（ ）A .3ab 2B .6b 2C .6ab 2D .5ab 2 2.计算-2a 2·3a 的结果是（ ）A .-6a 2B .-6a 3C .12a 3D .6a 3 3.若长方形的宽是a 2，长是宽的2倍，则长方形的面积为 _____.4.一个三角形的一边长为a ，这条边上的高的长度是它的13，那么这个三角形的面积是_____.5.计算：（1）-3x 2 ·5x 3； （2）4y ·（2xy 2）； （3）（-x ）3·（x 2y ）2.6.若（12m n a b ++）·（21n a b -）＝54a b ，求m +n 2的值.教学反思参考答案1.C2.B3.42a4.216a 5. 解：（1）原式＝（-3×5）（23x x ）＝-155 x ； （2）原式＝（4×2）（2y y ）x ＝83xy ； （3）原式＝（- x 3）·（42x y ）＝-72x y .6.解：原式＝1212154m n n a b a b ++-++＝， ∴ 1215214m n n ++-⎧⎨++⎩＝，＝， 解得31.m n ⎧⎨⎩＝，＝∴ 2 4.m n +＝课堂小结单项式乘以单项式中的“一、二、三”一个不变：单项式与单项式相乘时，对于只在一个单项式里出现的字母， 连同它的指数不变，作为积的因式.二个相乘：把各个单项式中的系数、相同字母的幂分别相乘.三个检验：单项式乘以单项式的结果是否正确，可从以下三个方面来 检验：①结果仍是单项式；②结果中含有单项式中的所有字母；③结果 中每一个字母的指数都等于相乘的单项式中同一字母的指数之和.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的因式.注意事项（1）应先进行符号运算； （2）按顺序运算；（3）不要丢掉只在一个单项式里出现的字母因式；（4）单项式乘以单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立.教学反思。
八年级数学上册 第12章《整式的乘除》教案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中八年级上册数学
例2先化简，再求值： ，其中 。（思路点拨：注意运算顺序及准确性）
(变式训练)：若 ，
求 的值。
3、乘法公式的灵活运用
例3已知 ，求 ； 的值。（Biblioteka 路点拨：注意公式的变形及相互关系）
4、因式分解的运用
例4求 的值
（思路点拨：注意观察数字特征，灵活运用因式分解进行有关计算）
（变式训练）计算:
整式的乘除
课 题
单元复习
课 型
复习课
教师复备
教学
目标
1、牢固掌握幂的运算性质和整式乘除的运算法则，理解、掌握乘法公式；
2、分解因式的方法及运用；
3、培养自己的运算能力，以及分析问题、解决问题的能力。
教学重点、难点
重点：有关乘除法的各种运算法则和公式的理解与运用。
难点：有关乘除法的各项运算法则的理解与应用。
课后
反思
课前
预习
【导学提纲】
知识结构与知识归纳：
（一）知识结构见教材P43
（二）知识归纳：
1、整式乘除相关法则及公式有哪些？
2、因式分解：
（1）因式分解的步骤是什么？
（2）因式分解的常用方法有哪些？
（3）分解因式要注意哪些问题？
典例
讲解
1、幂的运算性质
例1已知 （m、n为正整数），求 的值。（思路点拨：注意公式的逆用）
2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第12章整式的乘除12.1幂的运算(第2课时)
第12章 整式的乘除12.1 幂的运算第2课时 幂的乘方教学目标1.使学生掌握幂的乘方法则，并能够用式子表示；2.通过自主探索，让学生明确幂的乘方法则是根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则推导出来的，并能利用幂的乘方的法则熟练地进行幂的乘方运算；3.培养学生在学习上探索与建构的思想.教学重难点重点：幂的乘方法则的应用. 难点：理解幂的乘方的意义.教学过程复习巩固1.同底数幂的乘法法则是什么？用式子怎样表示？【答案】同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加 ，m n m n a a a +=（m ，n 为正整数）.2.计算：（1）22000x x ；（2）()()2322--；（3）()()233x x x ---；（4）()()()23a b a b a b ---.【答案】（1）2002x ；（2）5(2)-；（3）8x ；（4）6()a b -.导入新课【创设情境，课堂引入】 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空. （1）()()22223323=⨯=；（2）()()3333322232=⨯⨯=；（3）()()433333a a a a a a ==.探究新知【实践探究，交流新知】【教师引导，解决问题】【提问】同学们通过上述几道题的计算，观察一下这几道题有什么共同特点？【学生活动】先独立思考，再踊跃回答.教学反思两种运算，一种是同底数幂的乘法，另一种是幂的乘方. 【提问】通过计算探究其结果有什么规律？ 幂的乘方可以转化为同底数幂的乘法.【学生活动】根据上述探索得到的规律计算()nm a （m ，n 为正整数）.引入课题 概括：()n nm m mm m m mmn n a a a a a a +++===个个（m ，n 为正整数）.幂的乘方法则： （1）字母表示：()nm mn aa =（m ，n 为正整数）.（2）文字叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【注意】a 可以是单独的字母，具体的数或者多项式. 【思考】同底数幂的乘法运算性质与幂的乘方的运算性质有什么相同点和【巩固练习】计算：（1）2432()x x x +； （2）33)(a 43()a ；（3）22()m x y +⎡⎤-⎣⎦； （4）（0.125）17×（216）3.【答案】621241(1)2(2)(3)()(4).8m x a x y +-；；；【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】 例1 计算： （1）()5310； （2）()43b； （3）()52a；（4）()()2332a a ⎡⎤--⎣⎦.解：（1）()155353101010==⨯； （2）()124343b b b ==⨯；（3）()105252a a a ==⨯； （4）()()()23362612aa a a a ⎡⎤--=--=-⎣⎦. 【思考】（-a 2）5和（-a 5）2的结果相同吗?为什么?【学生活动】先独立思考，再与同伴交流. 不相同.理由如下：（-a 2）5表示5个（-a 2）相乘，其结果是负的；教学反思（-a 5）2表示2个（-a 5）相乘，其结果是正的. 【思考总结】（学生总结，老师点评）(−a n )m ＝{a mn (m 为偶数)，−a mn(m 为奇数).例2 计算： （1）()()3422aa ； （2）()()4234244a a a aa+-；（3）()()()2433362x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦⎣⎦.解：（1）()()34226814a a a a a ==； （2）()()4234248888442a a a a aa a a a +-=+-=-；（3）()()()()()()24333618181822x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤----=---=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦.例3 如果292164n =，求3n 的值. 解：∵292164n =， ∴2418222n =， ∴1842=+n ， ∴4=n .课堂练习1.下列各式中，与51m x +相等的是（ ） A . 51()m x + B . 15()m x + C . 5()m x x D . 5m x x x2. 14x 不可以写成（ ）A . 533()x xB . 238()()()()x x x x ----C . 77()xD . 3452x x x x 3.若 28()m x x =，则m ＝ . 4.若 3212[()]m x x =，则m ＝ .5.若 22m m x x =，求9m x 的值.6.若 33n a =，求34()n a 的值.7.已知 2,3m n a a ==，求23m n a +的值.参考答案1. C2.C3.44.25.解： 2393332()28m m m m m x x x x x ＝＝，＝＝＝.6.解：344()381.n a ＝＝教学反思7.解：23m na+＝（a m）2·（a n）3＝22×33＝4×27＝108.课堂小结幂的乘方法则()().()]().m n mnm n p mnpa a m na a m n p⎧⎪=⎨⎪=⎩内容：幂的乘方，底数不变，指数相乘.字母表示：，都是正整数推广：[，，都是正整数【注意】幂的底数，可以是数，可以是字母，也可以是多项式.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的区别在于：同底数幂的乘法是指数相加，而幂的乘方则是指数相乘.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计幂的乘方1. 幂的乘方的运算法则：（a m）n＝a mn（m，n都是正整数），语言表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.2.【注意】（1）运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.（2）在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式.（3）(−a n)m＝{a mn(m为偶数)，−a mn(m为奇数).3.［（a m）n］p＝a mnp（m，n，p都是正整数）.教学反思。
2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第12章整式的乘除12.2整式的乘法(第3课时)
第12章 整式的乘除12.2整式的乘法第3课时 多项式与多项式相乘教学目标1.使学生理解并掌握多项式乘以多项式的法则.2.经历探索多项式与多项式相乘的过程，通过导图理解多项式与多项式相乘的结果，能够按多项式乘法法则进行简单的多项式乘法运算，达到熟练地进行多项式乘法运算的目的.3.培养数学感知，体验数学在实际应用中的价值，树立良好的学习态度.教学重难点重点：多项式乘以多项式的形成过程及其理解和应用. 难点：多项式乘以多项式的法则的正确应用.教学过程复习巩固1.口述单项式与单项式相乘的法则. 【答案】（1）系数相乘作为积的系数；（2）相同的字母，应用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加； （3）只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式.2.口述单项式乘以多项式的法则.【答案】单项式与多项式相乘，就是用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.导入新课【创设情境，课堂引入】某地区在退耕还林期间，将一块长m 米、宽a 米的长方形林地的长、宽分别增加n 米和b 米.用两种方法表示这块林地现在的面积.思考：（1）加长加宽后得到的林地的长为多少？宽为多少？面积为多少？ 【答案】长为()n m +米，宽为()b a +米，面积为()()m n a b ++平方米.教学反思（2）现在这块林地可以看作由四块面积分别为多少的长方形林地组成，总面积为多少？【答案】四块林地的面积分别为ma 平方米、mb 平方米、na 平方米、nb 平方米，总面积为()ma mb na nb +++平方米.（3）两种不同的方法，得到的结果相等吗？ 【答案】相等.()()m n a b ma mb na nb ++=+++. 想一想：（1）()()m n a b ma mb na nb ++=+++的等号左边是什么运算？等号右边又是什么运算？（2）请你总结规律.探究新知【实践探究，交流新知】多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.多项式与多项式相乘−−→−转化单项式与多项式相乘−−→−转化单项式与单项式相乘.字母呈现：ma +mb +na +nb .【 例1 计算：（1）（x +2）（x −3） ； （2）（2x + 5y ）（3x −2y ）. 解：（1）（x +2）（x −3）2326x x x -+-＝26x x --＝；（2）（2x + 5y ）（3x −2y ） ＝6x 2−4xy +15yx −10y 2 ＝6x²+11xy −10y². 例2 计算：（1）（m −2n ）（m²+mn −3n²） ；（2）（3x²−2x +2）（2x +1）. 解：（1）（m −2n ）（m²+mn −3n²）＝222232223m m m mn m n n m n mn n n +---+教学反思＝3222233226m m n mn m n mn n +---+ ＝322356m m n mn n --+； （2）（3x²−2x +2）（2x +1）＝6x³+3x²−4x²−2x +4x +2＝6x³−x²+2x +2.【巩固练习】计算：（1）（x +2y ）（5a +3b ）； （2）（2x −3）（x +4）； （3）（x +y ）2； （4）（x +y ）（x 2-xy +y 2）. 解：（1）原式＝x ·5a +x ·3b +2y ·5a +2y ·3b ＝5ax +3bx +10ay +6by ； （2）原式＝2x 2+8x -3x -12＝2x 2+5x -12；（3）原式＝（x +y ）（x +y ）＝x 2+xy +xy +y 2 ＝x 2+2xy +y 2；（4）原式＝x 3-x 2y +xy 2+x 2y -xy 2+y 3 ＝x 3+y 3.【反思总结】（学生总结，老师点评） 多项式乘以多项式中的注意事项： （1）运算要按一定顺序，做到不重不漏.（2）多项式乘以多项式，未合并同类项之前积的项数应等于两个多项式的项数之积.（3）多项式的每一项分别与另一个多项式的每一项相乘时，要带上每项前面的符号一起运算：同号相乘得正，异号相乘得负.【合作探究，解决问题】【小组讨论】例3 先化简，再求值：(2)(3)(2)(4)x y x y x y x y -+--- ，其中1x =-，y ＝2.解：（x -2y ）（x +3y ）-（2x -y ）（x -4y ） ＝x 2+3xy -2xy -6y 2-（2x 2-8xy -xy +4y 2） ＝x 2+xy -6y 2-2x 2+9xy -4y 2 ＝-x 2+10xy -10y 2. 当x ＝-1，y ＝2时，原式＝-（-1）2+10×（-1）×2-10×22 ＝-1-20-40 ＝-61.【拓展延伸】例4 已知ax 2+bx +1（a ≠0）与3x -2的积不含x 2项，也不含x 项，求系数a ，b 的值.思考：由积中不含x 2项、x 项可以推出什么？由此怎样求出a ，b 的值？ 解：（ax 2+bx +1）（3x -2）＝3ax 3-2ax 2+3bx 2-2bx +3x -2＝3ax 3+（3b -2a ）x 2+（3-2b ）x -2.教学反思因为积不含x 2项，也不含x 项， 所以3b -2a ＝0，3-2b ＝0，解得a ＝94，b ＝32.即系数a ，b 的值分别是94，32.【反思总结】解决此类问题，先根据多项式乘以多项式的法则写出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，得出这一项系数等于零，由此列方程（组）解答.【拓展练习】 计算：（1）（x +2）（x +3）＝ x 2+5x +6 ； （2）（x -4）（x +1）＝x 2-3x -4；（3）（y +4）（y -2）＝228y y +-； （4）（y -5）（y -3）＝2815y y -+. 根据上面的计算结果，观察规律并填空： （x +p ）（x +q ）＝2x +p q +（）x + pq . 课堂练习1.下列多项式相乘，结果为x 2−4x −12的是（ ） A .（x −4）（x +3） B .（x −6）（x +2） C .（x −4）（x −3） D .（x +6）（x −2）2.如果（x +a ）（x +b ）的结果中不含x 的一次项，那么a ，b 满足（ ）A .a ＝bB .a ＝0C .a ＝−bD .b ＝03.如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各有若干张，如果要拼一个长为（a +3b ）、宽为（2a +b ）的大长方形，则需要A 类、B 类和C 类卡片的张数分别为（ ）A.2，3，7B.3，7，2C.2，5，3D.2，5，7 4.计算： （1）（y +1）（x -y ）-x （y -x ）； （2）（-7x 2-8y 2）（-x 2+3y 2）； （3）（3a +1）（2a -3）-（6a -5）（a -4）. 5.化简求值：（4x +3y ）（4x -3y ）+（2x +y ）（3x -5y ），其中x ＝1，y ＝−2.参考答案1.B2.C3.A4.解：（1）原式＝xy +x -y 2-y -xy +x 2＝x 2+x -y 2-y ；（2）原式＝7x 4-21x 2y 2+8x 2y 2-24y 4＝7x 4-13x 2y 2-24y 4； （3）原式＝6a 2-9a +2a -3-6a 2+24a +5a -20＝22a -23.教学反思5.解：(4x+3y)(4x−3y)+(2x+y)(3x−5y)教学反思＝16x2−12xy+12xy−9y2+6x2−10xy+3xy−5y2＝22x2−7xy−14y2.当x＝1，y＝−2时，原式＝22×12-7×1×（-2）-14×（-2）2＝22+14 −56＝−20.课堂小结通过本节课的学习，要求同学们：1.理解并掌握多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq.实质：先转化为单项式乘以多项式的运算，再转化为单项式乘以单项式的运算.2.多项式与多项式相乘，（1）不要“漏乘”；（2）注意“符号”.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计多项式与多项式相乘1.法则先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq.实质：先转化为单项式乘以多项式的运算，再转化为单项式乘以单项式的运算.2.多项式乘以多项式中的注意事项（1）运算要按一定顺序，做到不重不漏；（2）多项式乘以多项式，未合并同类项之前积的项数应等于两个多项式的项数之积；（3）每一项相乘时要带上每项前面的符号一起运算.。
整式的乘除教案原文
整式的乘除教案原文一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解整式的乘除概念；（2）掌握整式乘除的运算方法；（3）能够运用整式乘除解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例演示，引导学生观察、思考整式乘除的过程；（2）运用小组合作、讨论的方式，探索整式乘除的运算规律；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生积极主动参与课堂活动的精神；（3）培养学生合作、交流的良好习惯。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）整式乘除的概念及运算方法；（2）运用整式乘除解决实际问题。
2. 教学难点：（1）整式乘除过程中的运算规律；（2）灵活运用整式乘除解决实际问题。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）教学课件或黑板；（2）例题及练习题；（3）教学道具或教具。
2. 学生准备：（1）预习相关知识；（2）准备好笔记本、文具等学习用品。
四、教学过程：1. 导入新课：（1）复习相关知识，如多项式、单项式等；（2）提问：同学们，你们知道如何计算两个多项式的乘积吗？今天我们将学习整式的乘除运算。
2. 教学新课：（1）讲解整式乘除的概念及运算方法；（2）通过实例演示，让学生观察、思考整式乘除的过程；（3）引导学生运用小组合作、讨论的方式，探索整式乘除的运算规律。
3. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）挑选部分学生的作业进行点评、讲解。
4. 应用拓展：（1）让学生运用整式乘除解决实际问题；（2）鼓励学生分享自己的解题心得。
五、课后作业：1. 巩固整式乘除的基本运算；2. 运用整式乘除解决实际问题；3. 预习下一节课的内容。
六、教学评估：1. 课堂表现评估：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况、小组合作表现等，了解学生的学习状态。
2. 作业评估：检查学生课后作业的完成质量，评估学生对整式乘除运算的理解和应用能力。
3. 练习题评估：通过学生完成的练习题，评估学生对整式乘除运算的掌握程度。
八年级数学上册 第12章 整式的乘除教案5 (新版)华东师大版
3．引导学生分组讨论做出较难的练习，并鼓励学生在做题时能从多个侧面、多个出发点考虑问题，从而开阔学生的思路。建立学生 的自信心。
从习题中了解学生对知识的掌握程度，完善学生的不足。
1．带领学生核对基础知识练习的答案，鼓励学生总结每题所用的知识，并说出 知识是怎样利用的。
整式乘除
教学目标
知识 与技能
理解掌握整式乘法的法则.公式， 并能够运用整式进行整式乘法的运算。
过程与方法
整式再认，运用理解， 训练强化，巩 固提高。
情感态度与价值观
培养学生好的学习习惯。
教学重点
整式乘法
教学难点
理解整式灵活解题。
教学内容与过程
教法学法设计
一.复习提问，回顾知识， 请看下面的问题：
1.整式乘法都有哪些？各种运算的法则是什么 ？
2.乘法公式都有哪些？他们的表达形式各是什么？
二.导入课题，研究知识：
本节课我们来复习整式的乘法
面向全体学生提出相关的问题。明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。.
留给学生一定的思考和回顾知识的时间。
为学生创设表现才华的平台。
三.归纳知识，培养能力：
1.整式的乘法法则；
2.整式的除法法则；
3..乘法公式。
四.运用知识，分析解题：
(一)知识填空：
1. =；
2. =；
3. =；
4. =；
5. =；
6. =；
（二）计算题：
1. ；
2. ；
3. ；
4. .
五.课堂练习：请见教材
六.课后小结：整式乘除法知识的复习
七.课后作业:复印给 学生。
整式的乘除教案
整式的乘除教案教学目标：1. 理解整式的乘法和除法概念。
2. 掌握整式的乘法和除法运算方法。
3. 能够运用整式的乘除法解决实际问题。
教学重点：1. 整式的乘法运算。
2. 整式的除法运算。
教学难点：1. 运用整式的乘除法解决实际问题。
教学准备：教师准备黑板、白板、彩色粉笔、教师用书、学生用书、习题。
教学过程：一、导入新知1. 提出问题：同学们，我们今天要学习什么内容？2. 回答问题：今天我们要学习整式的乘法和除法。
3. 引入新知：回顾一下，什么是整式？如何进行整式的加减运算？二、整式的乘法1. 提问：整式的乘法是指什么意思？2. 解释：整式的乘法指的是将两个整式相乘得到一个新的整式。
3. 解答疑惑：同学们，你们对整式的乘法有什么疑问吗？三、整式的乘法运算方法1. 教师讲解：在进行整式的乘法运算时，我们需要将每一个项按照指数从大到小的顺序进行排列，并且将相同指数的项合并。
然后，使用乘法分配律将没有相同指数的项进行相乘，最后将所有项相加得到最终的结果。
2. 教师示范：我们来看一个例子：(3x^2 + 2x + 1) * (2x + 1)首先，我们将每一个项按照指数从大到小的顺序排列：3x^2 * 2x + 3x^2 * 1 + 2x * 2x + 2x * 1 + 1 * 2x + 1 * 1然后，将相同指数的项合并：6x^3 + 3x^2 + 4x^2 + 2x + 2x + 1最后，将所有项相加得到最终结果：6x^3 + 7x^2 + 4x + 13. 同学们，请你们跟着我一起做几个习题，加深对整式乘法运算方法的理解。
四、整式的除法1. 提问：整式的除法是指什么意思？2. 解释：整式的除法是指将一个整式除以另一个整式得到商式和余式的过程。
3. 解答疑惑：同学们，你们对整式的除法有什么疑问吗？五、整式的除法运算方法1. 教师讲解：在进行整式的除法运算时，我们需要按照除法的步骤，从被除式中取出与除式相同次数的项，然后进行相除，将得到的商式写在上方，得到的余式写在下方。
整式的乘除教案
整式的乘除教案教案标题：整式的乘除教案教学目标：1. 理解整式的概念，并能够将其与分式进行比较。
2. 掌握整式的乘法原理，能够进行整式的乘法运算。
3. 掌握整式的除法原理，能够进行整式的除法运算。
4. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学准备：白板、黑板笔、教学PPT、教材教学步骤：步骤一：导入（5分钟）通过举例比较整式和分式的相同点和不同点，引发学生对整式的兴趣。
步骤二：概念讲解（10分钟）1. 讲解整式的定义及其组成，强调整式中只包含有理数和代数式，没有分母为零的字母。
2. 比较整式和分式的区别，分析其异同点。
步骤三：整式的乘法（20分钟）1. 讲解整式的乘法原理，引导学生注意整式乘法中要注意项数和指数的运算规律。
2. 通过具体例子进行讲解和演示，教学PPT的运用将有助于学生理解乘法原理。
3. 针对不同难度的乘法练习题，分别进行课堂讲解和个别辅导。
步骤四：整式的除法（20分钟）1. 讲解整式的除法原理，引导学生注意除法中的项数和指数的运算规律。
2. 通过具体例子进行讲解和演示，教学PPT的运用将有助于学生理解除法原理。
3. 针对不同难度的除法练习题，分别进行课堂讲解和个别辅导。
步骤五：习题训练（15分钟）布置一定数量的练习题，让学生独立进行练习，并及时纠正他们的错误。
通过教师的巡视和个别辅导，解决学生在习题训练中遇到的问题。
步骤六：课堂小结（5分钟）对整节课的内容进行小结，并强调整式乘除的重点和难点。
鼓励学生留意课下的习题复习，巩固所学知识。
课后拓展：指导学生找一种生活实例，列出相关的整式，并通过乘法和除法运算，计算相关问题的答案。
教学反思：此教案针对整式的乘除运算进行设计，通过理论讲解、例题演示和习题训练等多种教学手段，旨在帮助学生全面理解整式的乘除原理，掌握相应的运算技巧，并培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
在教学过程中，要注意根据学生的实际情况及时调整教学节奏，因材施教，保证教学效果。
(完整word版)第12章整式的乘除教案
第（8）课时教学过程设计分析备注13.1 幂的运算1、同底数幂的乘法教学目标1．熟记同底数幂的乘法的运算性质，了解法则的推导过程。
2．能熟练地进行同底数幂的乘法运算。
3．通过法则的习题教学，训练学生的归纳能力，感悟从未知转化成已知的思想。
4．会逆用公式a m a n＝a m＋n。
教学重难点重点：掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算。
难点：对法则推导过程的理解及逆用法则。
教学过程一、复习活动，1．填空。
(1)2×2×2×2×2＝（），a·a·…·a＝( )m个(2)指出各部分名称。
2．应用题计算。
(1)1平方千米的土地上，一年内从太阳中吸收的能量相当于燃烧105千克煤所产生的热量。
那么105平方千米的土地上，一年内从太阳中吸收的能量相当于燃烧多少千克煤?(2)卫星绕地球运行的速度为第一宇宙速度，达到7.9×l05米／秒，求卫星绕地球3×103秒走过的路程?由这两个问题引出本节课的学习内容：同底数幂的乘法。
二、探索，概括。
1．下述题目，要求学生说出每一步变形的根据之后，再提问让学生直接说出23×25＝( )，36×37＝( )，由此可发现什么规律?(1)23×22＝( )×( )＝2( )，(2)53×52＝( )×( )＝5( )，(3)a3a4＝( )×( )＝a( )。
2．如果把a3×a4中指数3和4分别换成字母m和n(m、n 为正整数)，你能写出a m a n的结果吗?你写的是否正确?(让学生猜想，并验证。
)即a m·a n＝a m＋n(m、n为正整数)这就是同底数幂的乘法法则。
让学生用文字语言表述法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
3．说明。
同底数幂的乘法法则是初中数学中第一个关于幂的运算法则，应充分展示教学过程。
八年级数学上册第12章整式的乘除教案新版华东师大版word版本
整式乘除教具多媒体课型复习课教理解掌握整式乘法的法规. 公式，并能够运用整式进行整式学知识与技术乘法的运算。
目标整式再认，运用理解，训练增强，牢固提升。
过程与方法培育学生好的学习习惯。
感情态度与价值观教课要点整式乘法教课难点理解整式灵巧解题。
教课内容与过程教法学法设计一. 复习发问，回顾知识，请看下边的问题：1.整式乘法都有哪些？各种运算的法规是什么？2.乘法公式都有哪些？他们的表达形式各是什么？面向全体学生提出相关的问题。
明确要研究，探究的问题是什么，如何去研究和谈论。
.二.导入课题，研究知识：留给学生必定的思虑和回顾知识的时间。
本节课我们来复习整式的乘法为学生创建表现才干的平台。
三. 归纳知识，培育能力：1.整式的乘法法规；2.整式的除法法规；3..乘法公式。
四. 运用知识，解析解题：(一)知识填空：1.=；2.=；3.=；4.=；5.=；6.=；（二）计算题：1.；2.；3.；4..五 . 课堂练习：请见教材六. 课后小结：整式乘除法知识的复习七 . 课后作业 : 复印给学生。
教学反思从习题中认识学生对知识的掌握程度，完美学生的不足。
1．带领学生核对基础知识练习的答案，鼓舞学生总结每题所用的知识，并说出知识是如何利用的。
2．指引学生做中等难度的练习，鼓舞学生总结每题所用的知识。
3 ．引导学生分组谈论做出较难的练习，并鼓舞学生在做题时能从多个侧面、多个出发点考虑问题，从而宽阔学生的思路。
建立学生的自信心。
从习题中认识学生对知识的掌握程度，完美学生的不足。
1．带领学生核对基础知识练习的答案，鼓舞学生总结每题所用的知识，并说出知识是怎样利用的。
2．指引学生做中等难度的练习，鼓舞学生总结每题所用的知识。
3 ．指引学生分组谈论做出较难的练习，并鼓舞学生在做题时能从多个侧面、多个出发点考虑问题，从而宽阔学生的思路。
建立学生的自信心。
整式的乘除教案
整式的乘除教案整式的乘除教案协议一、协议方信息1、教师：＿___________________________2、学校：＿___________________________二、教学目标1、学生能够理解并掌握同底数幂的乘法、除法法则，幂的乘方、积的乘方法则，以及单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则。
2、学生能够熟练运用整式的乘除法则进行计算，提高运算能力和准确性。
3、培养学生的逻辑思维能力和数学转化思想，提高学生解决实际问题的能力。
三、教学重难点1、重点（1）同底数幂的乘法、除法法则。
（2）幂的乘方、积的乘方法则。
（3）单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则。
2、难点（1）对幂的运算法则的理解和应用，尤其是指数的运算。
（2）多项式乘以多项式的乘法运算中项的系数和符号的确定。
四、教学方法1、讲授法：讲解整式乘除的基本概念和法则，使学生形成初步的认识。
2、练习法：通过大量的练习题，让学生巩固所学知识，提高运算能力。
3、讨论法：组织学生讨论解题思路和方法，培养学生的合作交流和思维能力。
五、教学过程1、导入（1）通过复习幂的相关概念，如底数、指数等，引入同底数幂的乘法运算。
（2）提出实际问题，如计算正方形面积的增长倍数，引导学生思考整式的乘法在实际生活中的应用。
2、知识讲解11 同底数幂的乘法（1）给出同底数幂乘法的公式：＄a^m ＼times a^n ＝ a^｛m+n}＄（＄m$、＄n$为正整数）。
（2）通过具体例子进行讲解，如$2^3 ＼times 2^4 ＝ 2^7$。
（3）强调底数不变，指数相加的运算规则。
111 同底数幂的除法（1）推导同底数幂除法的公式：＄a^m ＼div a^n ＝ a^｛mn}＄（＄a ＼neq 0$，＄m$、＄n$为正整数，＄m ＞ n$）。
（2）举例说明，如$5^6 ＼div 5^3 ＝ 5^3$。
112 幂的乘方（1）介绍幂的乘方公式：＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄（＄m$、＄n$为正整数）。
整式的乘除优秀教案
整式的乘除优秀教案教案标题：整式的乘除优秀教案教案概述：本教案旨在帮助学生理解和掌握整式的乘除运算。
通过引入实际问题和互动学习活动，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教案设计包括教学目标、教学重点、教学过程和评估方法等内容，以确保学生在课堂中能够积极参与、理解和运用整式的乘除运算。
教学目标：1. 理解整式的基本概念和性质；2. 掌握整式的乘法运算方法；3. 掌握整式的除法运算方法；4. 能够应用整式的乘除运算解决实际问题。
教学重点：1. 整式的乘法运算方法；2. 整式的除法运算方法；3. 实际问题的解决能力。
教学过程：引入活动：1. 创设情境：通过一个生活中的实际问题引入整式的乘除运算，例如：小明买了3本书，每本书的价格是5元，他总共支付了多少钱？2. 提问学生：请问，我们如何计算小明总共支付了多少钱？学生回答后，引导学生思考是否可以使用整式的乘法运算来解决这个问题。
步骤一：整式的乘法运算1. 教师介绍整式的乘法运算规则，例如：将各项的系数相乘，同时将各项的指数相加。
2. 通过具体的例子进行示范，解释每一步的操作和计算过程。
3. 学生进行小组讨论和练习，解决一些简单的整式乘法运算题目。
4. 教师进行总结和梳理，强调整式乘法运算的关键点和注意事项。
步骤二：整式的除法运算1. 教师介绍整式的除法运算规则，例如：将被除式中的各项依次除以除式，并根据指数的差来确定商式中各项的指数。
2. 通过具体的例子进行示范，解释每一步的操作和计算过程。
3. 学生进行小组讨论和练习，解决一些简单的整式除法运算题目。
4. 教师进行总结和梳理，强调整式除法运算的关键点和注意事项。
应用活动：1. 提供一些实际问题，要求学生运用整式的乘除运算解决，例如：小明需要铺设一条长为3x米的电线，每米的价格是5元，他需要支付多少钱？2. 学生进行小组讨论和解答，教师鼓励学生展示他们的解题过程和答案。
3. 教师进行点评和总结，强调整式乘除运算在解决实际问题中的应用。
八年级数学上册第12章整式的乘除教案2新版华东师大版word版本
整式的乘除
教
学知识与技术
经过对试题讲评，应当使学生进一步理解和掌握知
的利用知识解决问题，提升能力。
识，更好
目
标
过程与方法
查阅试卷，发现问题，提出问题，研究议论，解决问题，提升能力。
培育学生优秀的学习质量。
感情态度与价值观
教课要点试卷中存在的问题。
教课难点认识错误，正确更正，逐渐提升。
教课内容与过程教法学法设计
一. 你对本章整式的乘除知识掌握的怎样？请自己估量一下
自己的分数。
面向全体学生提出
有关的问题。
明确要研
究，探究的问题是什么，
明确本节课的详细任
务。
.
二.本节课我们一同来研究我们的单元考试题。
三 . 学生查阅试卷
四.从中发现问题 .
鼓舞学生去研究、
剖析、探究解决问题的
方法。
五 . 学生提出问题.
六 . 师生研究剖析问题.共同解决问题.
七.预习下一课的内容.
教
学
反
思。
华师大版数学八年级上册第12章《整式的乘除》复习教案
华师大版数学八年级上册第12章《整式的乘除》复习教案第12章整式的乘除一、知识结构二、【方法指导与教材延伸】(一)同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方这三个幂运算，特别是同底数幂相乘的法则是学习整式乘法的基础，其他的如：后面的多项式乘以多项式是转化变成单项式乘以多项式，再转化为单项式乘以单项式，最后转化为同底数幂相乘，所以我们要熟练掌握其法则：1．同底数幂的相乘的法则是：底数不变，指数相加.即a m·a n＝a m＋n，幂的乘方法则是：底数不变，指数相乘.即(a m)n＝a m n，积的乘方法则是：积的乘方等于乘方的积.即(a b)n＝a n b n，同底数幂的相除的法则是：底数不变，指数相减.即a m÷a n＝a m-n2．其中m、n为正整数，底数a不仅代表具体的数，也可以代表单项式、多项式或其他代数式.3．幂的乘方法则与同底数幂的相乘的法则有共同之处，即运算中底数不变，但不同之处一个是指数相乘，一个是指数相加4．这三个幂运算相互容易混淆，出现错误，在初学时要注意辨明“同底数幂”、“幂的乘方”、“积的乘方”等基本概念，对公式的记忆要联系相应的文字表述，运用法则计算时，要注意识别是同底数幂的相乘、幂的乘方还是积的乘方，法则中各字母分别代表什么？再对照法则运算.（二）整式的乘法1．单项式与单项式相乘：由单项式与单项式法则可知，单项式与单项式相乘实为完成三项工作：(1)系数相乘的积作为积的系数；(2)同字母的指数相加的和作为积中这个字母的指数；(3)只在一个单项式中出现的字母连同它的指数一起作为积中的一个因式.单项式乘法法则对两个以上单项式相乘同样成立.2．单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，实际上是转化为单项式与单项式相乘：用单项式去乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋m b＋mc 单项式与多项式相乘，结果是多项式，积的项数与因式中多项式的项数相同. 3．多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，实际上是先转化为单项式与多项式相乘，即将一个多项式看成一个整体，即(m＋n)(a＋b)＝a(m＋n)＋b(m＋n)，再用一次单项式与多项式相乘，得(m＋n)(a＋b)＝ma＋n a＋m b＋b n.多项式乘以多项式其积仍是多项式，积的次数等于两个多项式的次数之和，积的项数在末合并同类项之前等于两个多项式项数之和.（三）乘法公式1．“两数和乘以它们的差等于这两个数的平方差”即(a＋b)(a－b)＝a2－b2，应用这个乘法公式计算时，应掌握公式的特征：①公式的左边是两个二项式相乘；并且这两个二项式中有一项是完全相同的项a，另一项是相反数项b；②公式的右边是相同项的平方a2减去相反数项的平方b2.公式中的a和b，可以是单项式，也可以是多项式或具体数字.2．“两数和的平方等于它们的平方和加上它们乘积的2倍”.即(a ＋b)2＝a2＋2ab＋b2.要理解公式的特征：①公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式.公式的适用范围：公式中的a和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式；任何形式的两数和(或差)的平方都可以运用这个公式计算.。
华东师大版八年级上册数学第12章 《整式的乘除》教案
课题单项式除以单项式【学习目标】1．掌握单项式除以单项式的运算法则及其应用；2．了解单项式除以单项式的运算原理；【学习重点】单项式除以单项式的运算法则及其应用；【学习难点】探索单项式与单项式相除的运算法则的过程，并加以理解和领会．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．知识链接：同底数幂的除法法则：a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数)．同底数幂相除，底数不变，指数相减．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题1．同底数幂除法的法则是什么？2．计算：(1)a10÷a3＝a7；(2)y7÷y6＝y；(3)105÷105＝1;__ (4)y3÷y3＝1．自学互研生成能力知识模块一单项式除以单项式的法则阅读教材P39～P40，完成下面的内容：1．填一填：(1)2a·4a2＝8a3；(2)2x·3xy＝6x2y；(3)2×103×(3×102)＝6×105.对照(1)(2)(3)题，根据除法的意义填空：(4)8a3÷2a＝4a2；(5)6x2y÷3xy＝2x；(6)(6×105)÷(3×102)＝2×103．2．试一试：你能由上述计算方法计算下列各式吗？①8ab3÷2ab＝4b2；②6x3y÷3xy＝2x2；③12a5÷3a2＝4a3；④16a3b2÷4ab2＝4a2．3．再思考：21a5c÷3a2＝________，对此题中的c该怎么办？解：原式＝7a3c.题中的c照写．4．想一想：单项式除以单项式的程序是怎样的？知识链接：1.单项式乘以单项式的法则；2．乘法和除法互为逆运算，加法和减法互为逆运算；3．应用法则应注意：(1)要明确两个单项式的系数各是什么，哪些是同底数幂，哪些只是在一个单项式里出现的字母；(2)被除式单独含有的字母及指数作为一个因式，不要遗漏．方法指导：整式的混合运算同实数的混合运算一样，有括号的先算括号内的运算；没有括号时，先算乘方，再算乘除，最后算加减．计算的过程中能合并同类项的要合并同类项．行为提示：在进行同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及积的乘方的混合运算时，要遵循各自的运算规则，不要相互混淆，然后注意运算顺序的先后和底数的统一．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．5．归纳：单项式除以单项式法则：一般地，单项式与单项式相除，分别把系数、同底数幂相除，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．范例：计算：(1)－21x 2y 4÷(－3xy 3)；(2)3x 4y 5÷⎝⎛⎭⎫－23xy 2；(3)(4×109)÷(－2×104)； 解：(1)原式＝－21÷(－3)x 2－1y 4－3＝7xy ；(2)原式＝3÷⎝⎛⎭⎫－23x 4－1y 5－2＝－92x 3y 3； (3)原式＝4÷(－2)×109－4＝－2×105. 仿例：计算：(1)63x 7y 3÷7x 3y 2； (2)－25a 6b 4c ÷10a 4b. 解：(1)原式＝9x 4y; (2)原式＝－52a 2b 3c.变例：填空：(1)－12ab 2c 3＝4b ×(－3abc 3)； (2)⎝⎛⎭⎫－37a 2b 2c ÷3ab 2c ＝－17a. 知识模块二 单项式的混合运算 范例1：计算：(1)(6xy 2)2÷3xy; (2)－16(x 3y 4)3÷⎝⎛⎭⎫－12x 4y 52.解：(1)原式＝36x 2y 4÷3xy ＝12xy 3; (2)原式＝－16x 9y 12÷14x 8y 10＝－64xy 2.仿例1：(1)(－4a 2b)2÷2ab 2；(2)(2xy)2·⎝⎛⎭⎫－15x 5y 3z 2÷(－2xy 2z)2. 解：(1)原式＝16a 4b 2÷2ab 2＝8a 3；(2)原式＝－45x 7y 5z 2÷4x 2y 4z 2＝－15x 5y.范例2：已知8a 3b m ÷28a n b 2＝27b 2，求3m －4n 的值．解：因为8a 3b m ÷28a n b 2＝27a 3－n b m －2，又因为8a 3b m ÷28a n b 2＝27b 2，所以27a 3－n b m －2＝27b 2.对比系数，则有3－n ＝0，m －2＝2，解得m ＝4，n ＝3，所以3m －4n ＝0. 仿例2：已知(－3x 4y 3)3÷⎝⎛⎭⎫－32x n y 2＝－mx 8y 7，求m ，n 的值． 解：因为(－3x 4y 3)3÷⎝⎛⎭⎫－32x n y 2＝18x 12－n y 7， 又因为(－3x 4y 3)3÷⎝⎛⎭⎫－32x n y 2＝－mx 8y 7， 所以18x 12－n y 7＝－mx 8y 7.对比系数，则有－m ＝18，12－n ＝8.所以m ＝－18，n ＝4.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 单项式除以单项式的法则 知识模块二 单项式的混合运算检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题 单项式与单项式相乘【学习目标】1．在具体情境中理解并掌握单项式乘法的意义； 2．能够熟练地利用法则进行单项式的乘法运算；3．体验探究数学问题的过程，体验转化的思想方法，提升学习的动力源． 【学习重点】单项式乘单项式的乘法法则产生的过程及其应用． 【学习难点】理解运算法则及其探索过程．行为提示：创设问题情境导入，激发学生的求知欲望．引导学生得出该长方体的体积为：4xy ·3x ，继续追问：你会算4xy·3x吗？同学们愿意和老师一起来研究这个问题吗？知识链接：1.长方体的体积公式：V＝长×宽×高．2．幂的运算性质．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．学法指导：计算步骤：(1)系数相乘作为积的系数；(2)相同字母的因式，应用同底数幂的运算法则，底数不变，指数相加；(3)只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式；(4)单项式与单项式的积仍是单项式．思路点拔：范例1的两个小题，可利用乘法交换律、结合律变形而成：数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母或系数照抄．情景导入生成问题1．问题引入一个长方体底面积是4xy，高是3x，那么这个长方体的体积是多少？该长方体的体积为：4xy·3x＝12x2y．2．温故知新(1)同底数幂的乘法运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．一般形式：a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)；(2)幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；一般形式：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)．(3)积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．一般形式：(ab)n＝a n·b n(n是正整数)．自学互研生成能力知识模块一探究单项式与单项式相乘的法则阅读教材P25～P26，完成下面的内容：1．相信我能行：请同学们根据幂的运算性质及乘法交换律、结合律计算：4xy·3x＝4·xy·3·x＝(4·3)·(x·x)·y＝12x2y．2．计算：(1)2x3·5x5；(2)3x2y5·(－2xy2z)．解：(1)2x3·5x5＝(2×5)(x3·x5)＝10x8；(2)3x2y5·(－2xy2z)＝3×(－2)·(x2·x)·(y5·y2)·z＝－6x3y7z.归纳：单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只有一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．范例1：计算：(1)3x2y·(－2xy3)；(2)(－5a2b3)·(－4b2c)．解：(1)原式＝[3·(－2)]·(x2·x)·(y·y3)＝－6x3y4；(2)原式＝[(－5)·(－4)]·a2·(b3·b2)·c＝20a2b5c.范例2：卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103米/秒，卫星运行3×102秒所走的路程约是多少？解：7.9×103×3×102＝23.7×105＝2.37×106(米)．答：卫星运行3×102秒所走的路程约是2.37×106米．仿例：计算：(1)(－3x2y2z3)·(－2x3y3)；(2)－6x2y(a－b)·2xy2(b－a)2.解：(1)原式＝6x5y5z3；(2)原式＝－12x3y3(a－b)3.知识模块二创设情境理解单项式相乘的几何意义问题讨论：(1)边长是a的正方形的面积是a·a，反过来说a·a表示什么？a·ab又怎样理解呢？解：a·a可以看作a与a的积；a·ab可以看作a、a、b的积．(答案不唯一)(2)想一想，你会说明a·a，3a·2a以及3a·5ab的几何意义吗？解：a·a可以看作边长为a的正方形的面积；a·ab可以看作高是a，底面长和宽分别为a、b的长方体的体积；3a·5ab可以看作高是3a，底面长和宽分别为5a、b的长方体的体积．(答案不唯一)行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究单项式与单项式相乘的法则知识模块二创设情境理解单项式相乘的几何意义检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________课题单项式与多项式相乘【学习目标】1．理解并掌握单项式与多项式相乘的法则；2．会熟练地进行单项式与多项式相乘的计算；3．经历探索单项式与多项式相乘的法则的过程，发展具有条理的思考及语言表达能力．【学习重点】单项式与多项式的相乘法则产生的过程及其应用．【学习难点】单项式与多项式相乘时结果的符号的确定．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．方法指导：1.单项式与多项式相乘的实质是利用分配律把单项式乘以多项式转化为单项式乘法．2．单项式与多项式相乘时，分两个阶段：(1)按分配律把单项式与多项式的乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；(2)单项式的乘法运算．情景导入生成问题1．回忆幂的运算性质：a m·a n＝a m＋n．(m，n都是正整数)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(a m)n＝a mn．(m，n都是正整数)幂的乘方，底数不变，指数相乘；(ab)n＝a n b n．(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．3．练一练：判断正误(不对的并加以改正)．(1)4a2·2a3＝8a6；(×)8a5(2)(ab)2(ab3)＝a3b5; (√)(3)(－2x2)3xy2＝8x7y2. (×)－8x7y2自学互研生成能力知识模块一探究单项式与多项式相乘的法则阅读教材P27，完成下面的内容：1．相信我能行：问题一：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它们在一个月内的销售量(单位：瓶)分别是a、b、c.你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？回答下列问题：(1)分析题意，可得出两种解法：方法一：先求三家连锁店的总销量，再求总收入，即总收入为m(a＋b＋c)元；方法二：先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入为ma＋mb＋mc元；(2)思考：根据(1)中两种方法得到的结果表示同一个量，可列等式：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(3)思考：乘法分配律与(2)中的结论有什么关系？(2)中的结论可以运用乘法分配律得到．学法指导：1.单项式与多项式相乘的依据是乘法分配律；2．单项式与多项式相乘，其积仍是多项式，项数与原多项式的项数相同，注意不要漏乘项； 3．积的每一项的符号由原多项式各项符号和单项式的符号来决定．知识链接：梯形的面积公式：S ＝12(上底＋下底)×高．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．问题二：观察右边的图形，回答下列问题：(1)大长方形的长为b ＋c ＋d ，宽为a ，面积为a(b ＋c ＋d)；(2)三个小长方形的面积分别表示为ab ，ac ，ad ，大长方形的面积＝ab ＋ac ＋ad ； (3)思考：根据(1)(2)中的结果中可列等式：ab ＋ac ＋ad ＝a(b ＋c ＋d)； (4)思考：这一结论与乘法分配律有什么关系？ 这一结论可以运用乘法分配律得到．想一想：根据以上探索你认为应如何进行单项式与多项式的乘法运算？单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加． 知识模块二 单项式与多项式相乘的法则的灵活运用 范例1：计算：(1)2a 2·(3a 2－5b)；(2)(－2a 2)·(3ab 2－5ab 3)． 解：(1)原式＝(2a 2·3a 2)－(2a 2·5b)＝6a 4－10a 2b ； (2)原式＝(－2a 2)·3ab 2＋(－2a 2)·(－5ab 3)＝－6a 3b 2＋10a 3b 3. 仿例：计算：(1)(－4x 2)(3x ＋1)；(2)⎝⎛⎭⎫23ab 2－2ab ·12ab ；(3)―2a 2·⎝⎛⎭⎫12ab ＋b 2―5a ·(a 2b －ab 2)． 解：(1)原式＝(－4x 2)·3x ＋(－4x 2)×1＝－12x 3－4x 2； (2)原式＝23ab 2·12ab －2ab·12ab ＝13a 2b 3－a 2b 2；(3)原式＝－a 3b －2a 2b 2－5a 3b ＋5a 2b 2＝－6a 3b ＋3a 2b 2.范例2：一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a 米，下底宽(a ＋2b)米，坝高12a 米．(1)求防洪堤坝的横断面积；(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？ 解：(1)防洪堤坝的横断面积：S ＝12[a ＋(a ＋2b)]×12a ＝14a(2a ＋2b)＝12a 2＋12ab(平方米)．答：防洪堤坝的横断面积为⎝⎛⎭⎫12a 2＋12ab 平方米． (2)堤坝的体积：V ＝⎝⎛⎭⎫12a 2＋12ab ×100＝50a 2＋50ab(立方米)． 答：这段防洪堤坝的体积是(50a 2＋50ab)立方米．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探究单项式与多项式相乘的法则 知识模块二 单项式与多项式相乘的法则的灵活运用 仿例(3，法二)：解：原式＝－(a 3b ＋2a 2b 2)－(5a 3b －5a 2b 2) ＝－a 3b －2a 2b 2－5a 3b ＋5a 2b 2 ＝－6a 3b ＋3a 2b 2.检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题 多项式除以单项式【学习目标】1．掌握多项式除以单项式的运算法则及其应用； 2．了解多项式除以单项式的运算原理．【学习重点】多项式除以单项式的运算法则及其应用． 【学习难点】探索多项式与单项式相除的运算法则的过程，并加以理解和领会．行为提示：创设问题情境导入，激发学生求知欲望．知识链接：单项式除以单项式法则：单项式与单项式相除，分别把系数、同底数幂相除，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案． 教会学生落实重点．方法指导：1.除法与乘法互为逆运算，除以一个数等于乘以这个数的倒数． 2．应用法则时需注意：(1)法则本质是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式；(2)多项式除以单项式，所得到的商的项数和多项式的项数相同，当被除式的项与除式相同时，商是1，不能把“1”漏掉；(3)在多项式除以单项式转化为单项式除以单项式的过程中，要特别注意结果的符号；(4)要熟练地进行多项式除以单项式的运算，必须掌握它的基本运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础．学法指导：除式系数为分数时，要特别注意改写为倒数与被除式各项系数相乘．情景导入 生成问题 1．同底数幂的除法法则是什么？ 2．单项式除以单项式的法则是什么？ 3．计算：(1)－12a 5b 3c ÷(－4a 2b)；(2)(－5a 2b)2÷5a 3b ；(3)4(a ＋b)7÷(a ＋b)3. 解：(1)3a 3b 2c ；(2)5ab ；(3)4(a ＋b)4.自学互研 生成能力知识模块一 探索多项式除以单项式的法则 阅读教材P 40～P 41，完成下面的内容： 1．根据除法的意义算一算(ax ＋bx)÷x ：(ax ＋bx)÷x 就是要求一个式子，使它与x 的乘积是ax ＋bx. 因为(a ＋b)x ＝ax ＋bx ，所以(ax ＋bx)÷x ＝a ＋b ． 2．根据除法与乘法的关系算一算(ax ＋bx)÷x ： (1)把除法算式a÷m 转化为乘法算式是a ×1m ；(2)借用上述方法算一算(ax ＋bx)÷x.解：(ax ＋bx)÷x ＝(ax ＋bx)×1x ＝ax ×1x ＋bx ×1x ＝a ＋b.3．寻找新方法计算(ax ＋bx)÷x. 解：(ax ＋bx)÷x ＝ax÷x ＋bx÷x ＝a ＋b. 新方法对吗？分析如下：(ax ＋bx)÷x ＝(ax ＋bx)×1x ＝ax ×1x ＋bx ×1x ＝ax÷x ＋bx÷x ．∴(ax ＋bx)÷x ＝ax÷x ＋bx÷x.4．归纳：多项式除以单项式的法则是：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 范例：计算：(1)(6x 3y 2－7x 4y)÷xy ；(2)⎝⎛⎭⎫0.3a 2b －13a 3b 2－16a 4b 3÷(－0.5a 2b)． 解：(1)原式＝6x 3y 2÷xy －7x 4y ÷xy ＝6x 2y －7x 3；(2)原式＝0.3a 2b ÷(－0.5a 2b)－13a 3b 2÷(－0.5a 2b)－16a 4b 3÷(－0.5a 2b)＝－35＋23ab ＋13a 2b 2.仿例：计算：(1)(x 5y 3－2x 4y 2＋3x 3y 5)÷⎝⎛⎭⎫－23xy ； (2)(－12x 3y 3z ＋6x 2yz 3－3xy 3z 2)÷(－3xyz)． 解：(1)原式＝－32x 4y 2＋3x 3y －92x 2y 4；(2)原式＝4x 2y 2－2xz 2＋y 2z. 知识模块二 整式的混合运算范例：计算：⎣⎡⎦⎤（－3a 3x ）2·x 3＋15a 2·（3ax 2）3·5a ÷35ax 2. 解：原式＝⎝⎛⎭⎫9a 6x 2·x 3＋15a 2·27a 3x 6·5a ÷35ax 2 ＝(9a 6x 5＋27a 6x 6)÷35ax 2＝15a 5x 3＋45a 5x 4.学法指导：1.这个算式是两个单项式乘积的代数和，再除以一个单项式．可以先作单项式的乘法，把问题归结为多项式除以单项式的运算；2．整式的混合运算同实数的混合运算一样，有括号的先算括号内的运算；没有括号时，先算乘方，再算乘除，最后算加减．计算的过程中，能合并同类项的要合并同类项．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间． 仿例：计算：(1)⎣⎡⎦⎤（－3ab ）2·a 3－2a·（3ab 2）3·12b ÷9a 4b 2； 解：原式＝⎝⎛⎭⎫9a 2b 2·a 3－2a·27a 3b 6·12b ÷9a 4b 2 ＝(9a 5b 2－27a 4b 7)÷9a 4b 2＝a －3b 5；(2)[(2x ＋y)2－y(y ＋4x)－8x]÷2x.解：原式＝(4x 2＋4xy ＋y 2－y 2－4xy －8x)÷2x＝(4x 2－8x)÷2x＝2x －4.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索多项式除以单项式的法则知识模块二 整式的混合运算检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________课题 多项式与多项式相乘【学习目标】1．探索多项式与多项式相乘的乘法法则；2．会熟练地进行整式的乘法运算；3．通过对乘法法则的探索、归纳与描述，发展具有条理的思考及语言表达能力．【学习重点】多项式与多项式的相乘法则及应用．【学习难点】探索多项式与多项式的乘法法则，灵活地进行整式的乘法运算．知识链接：1.单项式与单项式相乘的法则：单项式和单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式；2．单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．学法指导：三个多项式相乘，可先将其中两个相乘，再把积与剩下的一个多项式相乘．学法指导：解这类题目，应把等式左右两边的项化成对应的同类项，然后再比较同类项的系数．也可以抓住对应项成立的条件，采用取特殊值法求解．学法指导：变例：(1)多项式展开后不含x项，说明展开后x项的系数为0；(2)要使代数式的值与x的取值无关，则多项式展开后应为常数．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．情景导入生成问题1．单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则是什么？2．计算：(－3ab)·(－4b2)＝12ab3；－6x(x－3y)＝－6x2＋18xy；(2x2y)3·(－4xy2)＝－32x7y5；－5x(2x2－3x＋1)＝－10x3＋15x2－5x．自学互研生成能力知识模块一探究多项式与多项式相乘的法则阅读教材P27～P29，完成下面的内容：1．相信我能行：问题：某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林地的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示现在林地的面积．(1)现在长方形林地的长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，面积为(m＋n)(a＋b)平方米；(2)如图：这块林地由四个小块组成，它们的面积分别表示为ma，mb，na，nb，故现在这块林地的面积＝ma ＋mb＋na＋nb；(3)思考：根据(1)(2)中的结果可列等式：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb；(4)思考：这一结论与乘法分配律有什么关系？将(m＋n)(a＋b)运用乘法分配律展开可得到ma＋mb＋na＋nb．2．概括：多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示：(a＋m)(b＋n)＝ab＋an＋bm＋mn．范例：计算：(3x4－3x2＋1)(x4＋x2－2)解：原式＝3x4(x4＋x2－2)＋(－3x2)(x4＋x2－2)＋(x4＋x2－2)＝3x 8＋3x 6－6x 4－3x 6－3x 4＋6x 2＋x 4＋x 2－2＝3x 8－8x 4＋7x 2－2.知识模块二 多项式与多项式的综合应用范例：要使x(x 2＋a)＋3x －2b ＝x 3＋5x ＋4成立，则a 、b 的值分别为多少？解：原式变形，得x 3＋(a ＋3)x －2b ＝x 3＋5x ＋4.比较系数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝5，－2b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.变例：(1)已知多项式(mx ＋8)(2－3x)展开后不含x 项，求m 的值；(2)试说明：代数式(2x ＋3)(6x ＋2)－6x(2x ＋13)＋8(7x ＋2)的值与x 的取值无关．解：(1)原式＝2mx －3mx 2＋16－24x ＝－3mx 2＋(2m －24)x ＋16，∵展开后不含x 项，∴2m －24＝0，即m ＝12.(2)原式＝12x 2＋4x ＋18x ＋6－12x 2－78x ＋56x ＋16＝22为常数，∴原代数式的值与x 的取值无关．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探究多项式与多项式相乘的法则知识模块二 多项式与多项式的综合应用范例：法二解：当x ＝0时，有－2b ＝4，则b ＝－2；当x ＝1时，有1＋a ＋3－2b ＝1＋5＋4则a ＝2.检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
整式的乘除教案原文
整式的乘除教案原文一、教学目标知识与技能：1. 理解整式的乘除概念，掌握整式乘除的运算法则。
2. 能够运用整式的乘除法则解决实际问题。
过程与方法：1. 通过实例观察，发现整式乘除的规律。
2. 运用同底数幂的乘除法则，简化计算过程。
情感态度价值观：1. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学知识的兴趣。
2. 培养学生合作交流的能力，增强团队意识。
二、教学重点与难点重点：整式的乘除运算法则。
难点：整式乘除的计算过程，尤其是多项式乘以多项式的计算。
三、教学准备教师准备：1. 教学课件或黑板。
2. 相关例题及练习题。
学生准备：1. 预习整式乘除相关知识。
2. 准备笔记本，记录重点知识点。
四、教学过程1. 导入：回顾整式的加减法运算，引导学生思考整式乘除的概念。
2. 知识讲解：1) 整式乘法：介绍单项式乘以单项式、多项式乘以单项式、多项式乘以多项式的计算方法。
2) 整式除法：讲解单项式除以单项式、多项式除以单项式的计算方法。
3. 实例分析：分析相关例题，引导学生运用整式乘除法则进行计算。
4. 练习巩固：让学生独立完成练习题，检验学习效果。
5. 总结拓展：总结整式乘除的关键点，引导学生思考如何运用整式乘除解决实际问题。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固整式乘除的知识。
2. 搜集生活中的实际问题，尝试运用整式乘除解决。
3. 准备下一节课的相关内容。
六、教学评估1. 课堂讲解：观察学生对整式乘除概念的理解程度，以及能否熟练运用相关法则进行计算。
2. 练习情况：检查学生完成练习题的情况，了解学生对知识的掌握程度。
3. 课后作业：评估学生对课后作业的完成情况，发现问题并及时进行讲解。
七、教学反思1. 针对课堂讲解，反思教学方法是否恰当，学生是否易于理解。
2. 针对练习情况，反思练习题的难易程度是否适中，是否需要调整。
3. 针对课后作业，反思学生在生活中运用整式乘除的情况，总结教学成果。
八、教学拓展1. 利用多媒体课件，展示整式乘除的动画过程，帮助学生更好地理解。
第12章 整式的乘除教案
第12章整式的乘除12．1幂的运算12．1.1同底数幂的乘法1．掌握同底数幂的乘法法则，并能运用它进行熟练的计算．2．能利用同底数幂的乘法法则解决简单实际的问题．重点同底数幂乘法法则的推导与运用．难点同底数幂的乘法法则的运用．一、创设情境某地区在退耕还林期间，有一块长m米，宽a米的长方形林区增长了n米，加宽了b 米，用不同的方法表示这块林区现在的面积，便可以得到一个等式．(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb提出问题：1．扩大后的林区面积是多少？2．你知道上面的等式蕴含着什么样的运算法则吗？教师活动：操作投影仪，引导，启发．学生活动：观察，主动探索，回答．教学方法和媒体：投影显示创设情境，讨论，交流．二、回顾1．什么叫做乘方？2．a n表示的意义是什么？三、探究新知做一做(1)23×24＝(2×2×2)×(2×2×2×2)＝2()；(2)53×54＝________________＝5()；(3)a3·a5＝________________＝a()．提出问题：(1)这几道题目有什么共同特点？(2)请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？教师活动：提出问题，引导规律．学生活动：书面练习，讨论、探究、回答．教学方法与媒体：投影显示“做一做”的题目，合作交流．学生通过“做一做”以及探索规律，用乘方的概念进行推算，再从特殊中构建出一般的规律，教师通过问题的提出，如把指数用字母m，n表示，而后通过得到a m a n＝a m＋n(m，n为正整数)，即同底数幂相乘，通过乘方的意义推导出：底数不变，指数相加，概括出幂的第一个运算法则．(可让学生自行概括)教师板演：a m·a n＝a m＋n(m，n为正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．四、练习巩固1．a·a2·a3＝________.2．(x－y)3·(x－y)2·(y－x)＝________.3．(－x)4·x7·(－x)3＝________.4．已知3a＋b·3a－b＝9，则a＝________.5．如果x m－n·x2n＋1＝x11，且y m－1·y4－n＝y5，求m，n的值．五、小结与作业小结1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，使用方法：在乘积中，幂的底数不变，指数相加．2．同底数幂的乘法可以拓展，例如，对含有三个或三个以上的同底数幂，仍成立．底数和指数，它既可取一个或几个具体数，也可取单项式或多项式．3．幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆．作业教材第19页练习第1，2题．本节课从故事引入，激发学生探究同底数幂乘法法则的兴趣，探究同底数幂乘法法则时，注意用乘方的意义让学生自己发现归纳．始终遵循从特殊到一般的认知规律．在同底数幂乘法法则的运用中，不断渗透转化方程的数学思想．12．1.2幂的乘方1．理解幂的乘方法则．2．运用幂的乘方法则计算．重点理解幂的乘方法则．难点幂的乘方法则的灵活运用．一、创设情境大家知道太阳、木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍．假如地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？(球的体积公式为V＝43πr3)学生活动：进行计算，并在黑板上演算．解：设地球的半径为1，则木星的半径就是102，因此，木星的体积为V 木星＝43π(102)3.二、探究新知 做一做根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：(1)(23)2＝23×23＝2()；(2)(32)3＝32×32×32＝3()；(3)(a 3)4＝a 3·a 3·a 3·a 3＝a ( )．提出问题：(1)同学们通过上述这几道题的计算，观察一下，这几道题目有什么共同特点？ (2)请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？教师活动：组织学生进行思考与交流，让学生通过讨论、争议，探究出规律． 学生活动：合作学习． 教学方法：合作探究． 点评：学生通过“做一做”以及探索规律，充分应用乘方的意义和同底数幂的乘法法则导出规律：(23)2＝23×2＝26，(32)3＝32×3＝36，(a 3)4＝a 3×4＝a 12.提出问题：根据上述探索所得的规律，完成下面的填空：(a m )n ＝a ( )．有(a m )n ＝a mn(m ，n 为正整数)．教师活动：提出问题，引导、启发．学生活动：自主探索、讨论、回答． 教学方法：合作交流．通过问题的提出，再依据“做一做”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动构建，获得新知：幂的乘方，底数不变，指数相乘．三、练习巩固1．108＝( )2＝( )4.2．p 2n ＋2＝( )2. 3．(－x 3)5＝________.4．x 2·x 4＋[(－x)2]3＝________.5．已知x m ·x 2m ＝3，则x 9m ＝________. 6．计算：(1)(103)5；(2)(b 3)4. 四、小结与作业 小结1．幂的乘方(a m )n ＝a mn (m ，n 为正整数)使用范围是：幂的乘方．方法：底数不变，指数相乘．2．知识拓展：这里的底数、指数可以是数，也可以是字母，也可以是单项式或多项式． 3．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”，一个是“指数相加”．作业教材第24页习题12.1第2题．本节课在熟悉乘方的意义与同底数幂的法则的前提下推导幂的乘方法则，在教学过程中注意引导学生运用转化思想来解决新问题．在拓展新知时，注意联想与逆向思维能力的培养．12．1.3积的乘方1．理解积的乘方法则．2．运用积的乘方法则计算．重点理解并掌握积的乘方法则．难点积的乘方法则的灵活运用．一、回顾与思考1．口述同底数幂的运算法则．2．口述幂的乘方运算法则．3．计算：(1)(x4)3；(2)a·a2；(3)x4·x3.二、探究新知做一做(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(aa)·(bb)＝a()b()．(2)(ab)3＝________＝________＝a()b()．(3)(ab)4＝________＝________＝a()b()．提出问题：(1)同学们通过上述这几题的计算，观察一下，你能得到什么规律？(2)如果设n为正整数，将上述的指数改成n，即(ab)n，其结果是什么呢？教师活动：提出问题，引导，启发．学生活动：计算、观察、讨论、回答．教学方法与媒体：投影显示问题，学生自主探索，讨论交流．点评：积的乘方是幂的第三个运算法则，也是整式乘法的基础，在处理上仍然先通过数字的指数为例让学生计算，而后引导学生自主探索，讨论交流，归纳出一般指数情形的性质，即概括出：有(ab)n＝a n b n(n为正整数)．尽可能地让学生主动建模，获得新知，通过动脑、动口、动手提高自我总结能力．教学时引导学生关注每一步的依据．三、练习巩固1．计算：(1)(2b)3；(2)(2a3)2；(3)(－a)3；(4)(－3x)4.2．计算：(－3a3)2·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3.3．已知(a－2)2＋2b＋1＝0，求a2018·b2017的值．四、小结与作业小结1．积的乘方(ab)n＝a n b n(n为正整数)，使用范围：底数是积的乘方．方法：把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数也可以是整式，对三个以上因式的积也适用．3．要注意运算过程，注意每一步的依据，还应防止符号上的错误．4．在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别与联系．作业教材第24页习题12.1第4题．本节课是采用探究与自主学习相结合的模式完成的，探究的目的是让学生会推导积的乘方法则．通过小组合作学习增强学习的主动性，突出学生的主体地位．并注意在其中的及时引导，发挥教师的主导作用．教学中的简便运算应让学生体会转化思想的核心作用．12．1.4同底数幂的除法1．理解同底数幂的除法法则．2．运用同底数幂的除法法则计算．重点掌握同底数幂的除法法则．难点同底数幂的除法的应用．一、创设情境1．叙述同底数幂的乘法运算法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)．2．问题：一种数码照片的文件大小是25KB，一个存储量为26MB(1 MB＝210KB)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？移动存储器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位．移动存储器的容量为26×210＝216KB，所以它能存储这种数码照片的数量为216÷28.216，28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？二、探究新知1．试一试用你熟悉的方法计算：(1)25÷22＝________；(2)107÷103＝________；(3)a7÷a3＝________(a≠0)．2．概括由上面的计算，我们发现：25÷22＝23＝________；107÷103＝104＝________；a7÷a3＝a4＝________.在学生讨论、计算的基础上，教师可提问：你能发现什么？由学生回答，教师板书，发现：25÷22＝23＝25－2；107÷103＝104＝107－3；a7÷a3＝a4＝a7－3.你能根据除法的意义来说明这些运算结果是怎么得到的吗？分组讨论：各组选出一个代表来回答问题，师生达成共识，除法与乘法是逆运算，所以除法的问题实际上是“已知乘积和一个乘数，去求另一个乘数”的问题，于是上面的问题可以转化为乘法问题加以解决．即()×22＝25()×103＝107()×a3＝a7一般地，设m，n为正整数，m＞n，a≠0，有a m÷a n＝a m－n这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减．3．利用除法的意义来说明这个法则的道理．(让学生仿照问题2的解决过程，讲清道理，并请几位同学回答问题，教师加以评析)因为除法是乘法的逆运算，a m÷a n＝a m－n实际上是要求一个式子()，使a n·()＝a m，而由同底数幂的乘法法则，可知a n·a m－n＝a n＋(m－n)＝a m，所以要求的式子()，即商为a m－n，从而有a m÷a n＝a m－n.三、练习巩固1．下面运算正确的是()A．x3＋x3＝2x6B．x12÷x2＝x6C．x n＋2÷x n＋1＝x D．(－x5)4＝－x202．在下列计算中，①3a2＋2a2＝5a4；②2a2·3a3＝6a6；③(－a3)÷(－a)2＝－a；④4a3·a3－(2a2)3＝－6a6.正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．一台计算机每秒可进行1012运算，它进行1015次运算需要________秒时间．4．若y2m－1÷y＝y2，求m＋2的值．四、小结与作业小结运用同底数幂的除法法则时应注意以下问题：(1)运用法则的关键是看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数；(2)因为零不能作除数，所以底数a≠0，这是此法则成立的前提条件；(3)注意指数“1”的情况，如a4÷a＝a4－1＝a3，不能把a的指数当作0；(4)多个同底数幂相除时，应按顺序计算．作业教材第25页习题12.1第7题．本节课探究新知部分，注意如何使学生从特殊中发现规律，得到一般性结论，再由同底数幂的乘法法则(同底数幂除法法则)证明规律．积极鼓励学生主动地探索数学问题，加深对数学问题的理解，养成良好的思维习惯，提高学生的数学素养．12．2整式的乘法12．2.1单项式与单项式相乘1．通过学生自主探索，掌握单项式相乘的法则．2．掌握单项式相乘的几何意义．3．会运用单项式相乘的法则进行计算，并解决一些实际生活和科学计算中的问题．4．培养学生合作、探究的意识，养成良好的学习习惯．重点单项式与单项式相乘的法则．难点单项式与单项式相乘的法则的应用；单项式相乘的几何意义．一、回顾我们已经学习了幂的运算性质，你能解答下面的问题吗？1．判断下列计算是否正确，如有错误，请加以改正：(1)a3·a5＝a10；(2)a·a2·a5＝a7；(3)(a3)2＝a9；(4)(3ab2)2·a4＝6a2b4.2．计算：(1)10×102×104＝()；(2)(a＋b)·(a＋b)3·(a＋b)4＝()；(3)(－2x2y3)2＝()．教师活动：我们刚才已经复习了幂的运算性质．从本节开始，我们学习整式的乘法．我们知道，整式包括什么？(包括单项式和多项式)因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式．这节课我们就来学习最简单的一种：单项式与单项式相乘．二、探究新知计算：(1)2x2·5x2；(2)3x2y5·(－2xy2z)．教师活动：操作投影仪，启发引导．学生活动：主动探索、逐步认识．点评：可先提示，运用乘法交换律、结合律，把各因式的系数、相同的字母分别结合，然后相乘.2x3和5x2可看成是2 ·x3和5·x2，同样3x2y5和－2xy2z可看成是3·x2·y5和(－2)·x·y2·z.2x3·5x2＝(2×5)(x2·x3)＝10x5；3x2y5·(－2xy2z)＝[3×(－2)](x2·x)·(y5·y2)·z＝－6x3y7z.通过两式计算，可以引导学生归纳出：1．系数相乘作为积的系数．2．相同字母的因式，应用同底数幂的运算法则，底数不变，指数相加．3．只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式．4．单项式与单项式的积仍是单项式．三、练习巩固1．边长分别为2a和a的两个正方形如图所示摆放，则图中阴影部分的面积是()A ．2a 2B ．2C ．5a 2－3aD .72a 22．光速约为3×105 km /s ，太阳光照射到地球所需的时间为5×102 s ，则太阳与地球之间的距离是________km .3．纳米是一种长度单位，1米＝109纳米，试计算长为5米，宽为4米，高为3米的长方体体积是多少立方纳米？四、小结与作业 小结1．本节内容是单项式乘以单项式．重点是在对运算法则的理解和应用上，试问：你能归纳出单项式乘以单项式的运算法则吗？2．在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意什么？作业教材第29～30页习题12.2第1，2题．这节课内容较为简单，在探索单项式乘以单项式的法则时，注意让学生自己归纳，以提高学生使用数学语言的能力，在推导的过程中，注意每步依据为后面几何证明服务，从而培养逻辑思维能力，变式训练中表示阴影部分面积，旨在培养学生直观图感，将图形语言向数学符号语言转化的能力，同时注意转化数学思想的应用．12．2.2 单项式与多项式相乘1．能说出单项式与多项式相乘的法则，并且知道单项式乘以多项式的结果仍然是多项式．2．会进行单项式乘以多项式的计算以及含有单项式乘以多项式的混合运算． 3．通过例题教学，培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力．重点掌握单项式乘以多项式的法则． 难点熟练地运用法则、准确地进行．一、创设情境1．教师引导学生复习单项式乘以单项式法则．整式的乘法实际上就是 单项式×单项式 单项式×多项式 多项式×多项式(点评：培养学生前后知识的连续性．)前面我们已经学过单项式×单项式，今天我们来学习单项式×多项式．2．教师演示宣传画的面积问题．宁宁作一幅画，所用纸为长方形，其长为mx 米，宽为x 米，她在纸的左右两边都留了18x 米的空白，则这幅画的面积是多少？ 说说你的理由．学生通过讨论，有的学生列出式子：x(mx －14x)；有的学生列出式子：mx 2－14x 2.那么这两个式子一样吗？你知道为什么吗？点评：创设问题情境引入新课，鼓励学生进行探索，学生的方法只要合理就应鼓励．组织学生积极讨论，教师应积极参与学生的讨论过程，并对不主动参与的学生进行指导．二、探究新知1．在12×(23－34＋56)中，你是怎样计算的？用什么方法较简单？(乘法分配律)即12×(23－34＋56)＝12×23－12×34＋12×56.2．我们知道代数式中的字母都表示数，如果把上题中的数都换成字母，你会计算m(a ＋b ＋c)吗？(引导学生用乘法分配律解决．)3．你算出的结果能否用长方形的面积加以验证？(出示右图)大长方形的面积有两种表示方法，一是长为a ＋b ＋c ，宽为m ，面积是m(a ＋b ＋c)；二是三个小长方形面积的和，即am ＋bm ＋cm.它们都是大长方形的面积，所以它们是相等的，即m(a ＋b ＋c)＝am ＋bm ＋cm.4．在m(a ＋b ＋c)＝ma ＋mb ＋mc 中，“m ”是单项式，“a ＋b ＋c ”是多项式，这两者相乘，从中你能看出什么规律？(在教师的引导下，学生总结出法则，并用语言叙述．)法则：单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加．用式子表示为：m(a ＋b ＋c)＝ma ＋mb ＋mc. 5．问题思考(1)当多项式中的项数多于三项时，法则是否成立？(2)非零单项式乘以不含同类项的多项式，其积仍是多项式，积的项数与多项式的项数有什么联系？三、练习巩固1．判断题：(1)3a 3·5a 3＝15a 3；( ) (2)6ab·7ab ＝42ab ；( )(3)3a 4·(2a 2－2a 3)＝6a 8－6a 12；( ) (4)－x 2(2y 2－xy)＝－2x 2y 2－x 3y.( ) 2．计算：(1)a(16a 2＋2a)；(2)y 2(12y －y 2)；(3)2a(－2ab ＋13ab 2)；(4)－3x(－y －xyz)．3．合作探究，分别计算下面图中阴影部分的面积．四、小结与作业 小结1．指导学生总结本节课的知识点、学习过程．2．单项式×多项式的积的项数、符号(结合去括号法则)及不能漏乘等注意事项给予强调．3．要善于在图形变化中发现规律，能熟练地对整式加减及单项式与多项式相乘进行运算．作业教材第30页习题12.2第3，4题．本节课法则推导利用乘法的分配律，从数类比到字母，学生亲切易懂，体现用字母代替数的思想，再让学生用长方形面积验证，培养思维严谨性，注重数形结合的思想．本节课计算量有所加大，如何让学生计算更准确，除熟练运用法则外，还应对学生计算作心理指导．如做一步查一步，不要做完再检查，可通过演算比赛调动计算情绪．12．2.3 多项式与多项式相乘1．能说出多项式与多项式相乘的法则，并且知道多项式乘以多项式的结果仍然是多项式．会进行多项式乘以多项式的计算及混合运算．2．培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力．3．培养独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的愿望及能力．重点掌握多项式乘以多项式的法则．难点运用法则进行混合运算时，不要漏项．一、创设情境教师引导学生复习单项式乘以多项式的运算法则． 整式的乘法实际上就是 单项式×单项式 单项式×多项式 多项式×多项式今天我们来学习多项式与多项式相乘． 二、探究新知组织讨论：如图，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算？小组讨论，你从计算过程中发现了什么？由于(m ＋n)(a ＋b)和(ma ＋mb ＋na ＋nb)表示同一个量，即有(m ＋n)(a ＋b)＝ma ＋mb ＋na ＋nb.教师活动：教师引导学生由繁化简，把(m ＋n)看作一个整体，使之转化为单项式乘以多项式，即[(m ＋n)(a ＋b)]＝(m ＋n)a ＋(m ＋n)b ＝ma ＋mb ＋na ＋nb.教师活动：教材第28页例图你会验证吗？教师活动：问题：(1)如何表示扩大后的林地的面积？ (2)用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢？ 学生活动：学生分组讨论，相互交流得出答案． 教师活动：观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到？如果能得到，又是怎样相乘得到的？(教师示范)1．你能用语言叙述这个式子吗？ 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即(m ＋n)(a ＋b)＝ma ＋mb ＋na ＋nb.2．两个多项式相乘，不先计算能知道结果中(合并同类项前)有几项吗？ 3．在计算中怎样才能不重不漏？这个法则，对于三个或三个以上的多项式相乘，是否适用？若适用，应怎样计算？学生活动：学生小组讨论、交流、发言汇报． 三、练习巩固 1．计算：(1)(x ＋2)(x －3)；(2)(3x －1)(2x ＋1)． 2．先化简，再求值：(3x －2y)(y －3x)－(2x －y)(3x ＋y)，其中x ＝15，y ＝1.3．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：(2x ＋a)·(3x ＋b)，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2＋11x－10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2－9x＋10.(1)你能知道式子中a，b的值各是多少吗？(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果．四、小结与作业小结1．多项式乘法，将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘．2．运用法则时，要有序地逐项相乘，做到不重不漏．3．在计算含有多项式乘法的混合运算时，要注意运算顺序，计算结果要化简．作业教材第30页习题12.2第5，6题．本节课推导多项式乘多项式法则时，从单项式乘多项式法则入手，用换元思想直接推导，思维有根基．为防止本节课中最大错误——漏乘现象，教师设置了一个探究关于多项式相乘后(没合并同类项前)的项数问题，很好地避免了这个错误．典例精析中的待定系数法初次接触，注意对学习困难的学生进行及时指导．12．3乘法公式12．3.1两数和乘以这两数的差1．能说出平方差公式的特点，并会用式子表示．2．能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法．3．通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想．重点掌握平方差公式的特点，牢记公式．难点具体问题要具体分析，会运用公式进行计算．一、创设情境教师展示多媒体，引出问题学生自主解答．街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要加长2米，而东西方向要缩短2米．问改造后的长方形草坪的面积是多少？解：(a＋2)(a－2)＝a2－4.二、探究新知请同学们计算：(1)(a＋b)(a－b)；(2)(x＋3)(x－3)．并结合计算结果思考下列问题：1．等式左边的两个多项式有什么特点？2．等式右边的多项式有什么特点？3．你能用上面的规律直接计算下列各式吗？(1)(a＋2)(a－2)；(2)(3a＋1)(3a－1)．4．你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？5．你有什么不清楚的问题想问老师吗？教师答疑总结：对问题系列中的关键问题进行提问答疑．教师提出两数和乘以这两数差的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.学生解决问题：学生根据教师提出的问题，分组讨论，由小组长做好记录．学生反馈问题：每组自告奋勇回答，把解决问题的过程和结果向教师和全班同学汇报．并提出自己小组存在的问题．学出提出：(1)为什么两数和乘以这两数差的乘法公式是对的？(2)(a＋2)(a－2)型，可以用两数和乘以这两数差的乘法公式完成吗？(3)怎样形式的多项式相乘可以用两数和乘以这两数差的乘法公式？(当然，我们的学生还可能会问出许多我们事先不曾预料到的问题)得出两数和乘以这两数差的乘法公式的基本特征：两个二项式相乘，一项相同，一项相反，且相同的写在前面．教师提出问题：(你会用两数和乘以这两数差的乘法公式了吗？)请你计算：(独立思考)1．计算：(1)(a＋3)(a－3)；(2)(2a＋3b)(2a－3b)；(3)(1＋2c)(1－2c)；(4)(－2x－y)(2x－y)．2．观察：(－2x＋7)()，在括号内填入怎样的代数式，才能运用两数和乘以这两数差的公式进行计算？由此你想到了什么规律？学生动手，动脑：做教材第31页“试一试”．学生由面积相等推得两数和乘以这两数差的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.三、练习巩固1．计算：(y＋x)(y－x)(x2＋y2)(x4＋y4)．2．计算：(1)20172－2016×2018；(2)3×(4＋1)(42＋1)＋1.四、小结与作业小结这一节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结．作业教材第36页习题12.3第1题．本节课重在应用平方差公式计算，而应用公式的关键是掌握平方差公式的特征，在学生合作探索平方差公式后，教师要求学生构造具有平方差公式的习题，并计算，具有开放性，大大调动了学生的积极性与学习激情．在典例精析中第(2)小题学生思维受阻时，让学生由式子特征联想知识模型、构造平方差公式，再解决相应数学问题是数学创造性的表现！12．3.2两数和(差)的平方1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示．2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法．3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想．重点掌握公式的特点，牢记公式．难点具体问题，具体分析，灵活运用．一、创设情境王老汉开辟了一个正方形的菜园，它的边长是(a＋b)，则它的面积是多少？学生活动：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.(用多项式乘以多项式算得)教师活动：有没有更简洁的方法？回答是有的，今天将给大家一个满意的回答．二、探究新知1．计算：(x＋a)(x＋b)＝________.2．在(x＋a)(x＋b)中，若a＝b，那么上述式子将会成为怎样的式子？计算结果是什么？[学生回答：变为(x＋a)(x＋a)，计算结果是x2＋2ax＋a2.由此教师指出可得另一个乘法公式，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，由此引入课题．]3．这个公式的左边和右边各有什么特点？(引导学生观察，说出各公式左边和右边的特点，并能用语言叙述，教师再加以纠正、完善．)4．(a＋b)2＝a2＋b2对吗？为什么？(强化学生对公式结构的理解，防止今后出现类似的错误．)5．你会用(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2计算(a－b)2吗？引导学生将“－b”看作一个数，将(a－b)2化为[a＋(－b)]2＝a2＋2a×(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2，并指出这也是一个乘法公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.6．你能用图形证明(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2及(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？在左图中，大正方形的面积是(a＋b)2, 它由两个小正方形和两个相等的长方形组成，两个小正方形的面积分别是a2，b2，长方形的面积是ab，所以有等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.在右图中，大正方形的面积是a2，两个小正方形的面积分别是(a－b)2，b2，两个相等的长方形面积都是(a－b)·b，于是有a2＝(a－b)2＋2(a－b)·b＋b2，即(a－b)2＝a2－2(a－b)·b－b2＝a2－2ab＋b2.7．比较(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2及(a－b)2＝a2－2ab＋b2这两个公式，它们有什么不同？有什么联系？[引导学生进一步总结公式的结构特点，公式的左边是两数和(或差)的平方，右边是一个三项式，其中两项是这两个数的平方，另一项是这两个数积的2倍．] (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍．三、练习巩固1．计算：(1)(a－b)2；(2)(3x－2y)2；(3)(－12m＋1)2.2．已知x＋y＝4，xy＝2，求：(1)x2＋y2；(2)3x2－xy＋3y2；(3)x－y.3．已知x2＋y2＝6，xy＝5，求x＋y.4．已知a，b满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，试求a2＋b2＋ab的值．四、小结与作业小结1．这两个公式是多项式乘法的特殊情况，熟记它们的特点．2．公式中字母可以是数，也可以是单项式或多项式．3．在解决具体问题时，要先考查题目是否符合公式的条件，然后再应用公式计算．4．要特别注意一些易出现的错误，如：(a±b)2＝a2±b2.作业教材第37页习题12.3第3，4题．本节课在初中数学中占有重要地位，特别是公式应完全掌握，教学时为防止类比平方差公式，出现(a＋b)2＝a2＋b2的错误，教师给出了口诀，相信同学们都能掌握该公式的结构特征．教材中将两数和的平方与两数差的平方分开推导，本节课考虑到换元思想将两数和与两数差的平方用两数和来推导，进一步体现转化思想，也加深了对两数和的平方公式的理解．本节课中的公式恒等变形较灵活，逻辑性较强，对学习困难的学生给予更多指导与关心．12．4整式的除法12．4.1单项式除以单项式1．理解掌握单项式除以单项式的法则．2．会进行单项式除以单项式的运算．重点运用单项式除以单项式的法则进行计算．难点探求单项式除以单项式的方法．一、创设情境我们知道“先看见闪电，后听到雷声”，那是因为在空气中光的传播速度是3×108m/s，而声音在空气中的传播速度是3.4×102m/s.在空气中光速是声速的多少倍？教师活动：如何列式？学生活动：(3×108)÷(3.4×102)?教师活动：引导：∵(3.4×102)×________＝3×108，∴(3×108)÷(3.4×102)＝________.。
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第（8）课时
平方千米的土地上，一年内从太阳中吸收的能量相当于燃烧
千克煤所产生的热量。
那么105平方千米的土地上，一年内从太阳中吸收的能量相当于燃烧多少千克煤?
即a m·a n＝a m＋n(m、n为正整数)
这就是同底数幂的乘法法则。
第（9）课时
教师应指出这样处理既麻烦，又容易出错。
此时应让学生思考，有没有简捷的方法?引导学生认真思考，并得到：
(23)2＝23×2＝26；
即(a m)n＝a m·n(m、n是正整数)。
这就是幂的乘方法则。
你能用语言叙述这个法则吗?
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
第（10）课时
于是我们得到了积的乘方法则：(ab)n＝a n b n(n是正整数)。
这就是说，积的乘方，等于各因数乘方的积。
教师应一步一步地引导学生，得出结论(因为指数是用字母表示的，就学生的思维状况来说是个难点)。
然后让学生自己对照公式总结，
叙述出法则。
4．引导学生剖析积的乘方法则。
即(abc)n＝a n b n c n(n为正整数)。
三、举例及应用。
1．例3 计算：
第（11）课时
第（12）课时。
页练习的第3题。
页习题13．2的第2题。
第（13）课时。
它们都是大长方形的面积，所以它们是相
”是单项式，“a＋b＋c”
在教师的引导下，学生总结出法则，并用语言叙述。
)
第（14）课时
用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢?
n)米2；另一个是
第（15）课时
．你能用语言叙述这个公式吗?
四、学例及应用。
计算：(课本例1。
)
；
第（16）课时
在左图中，大正方形的面积是(a＋b)2，它由两个小正方形和两个相等的长方形组成的，两个小正方形的面积分别是a2、b2
＋b)2=a2＋2ab＋b2。
在右图中，大正方形的面积是a2，两个小正方形的面积分别是
第（17）课时
第（18）课时。