钢构件排料优化问题

min =980-∑(x(i)×w(i))，i=1,2,…9; s.t 980-∑（x(i)×w(i))=0,i=1,2,..9; x(i)<n(i); 经 lingo 求解，当宽为 922cm 时，得到最优组合为：x1=2,然后把这二个零件排列起来， 如图 3 所示:
5.2.2.4 将第三次切割剩下来的板材作为新的原材料宽为 w3=980cm,长为 L3=1461cm,继 续从剩下的零件中选择零件组合使其宽度最接近于新板材的宽度，得到最优化目标函数 如下：
最后，对模型的优缺点进行评价，并提出改进的方向。
关键词： lingo 贪心算法 线性规划 碰撞算法 整合优化
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一、 问题的背景与重述
1.1 问题的背景 在钢构件制造产品的生产过程中，依照产品零件尺寸从板料中截取大小适当的零件
过程称之为排料，也称之为下料。排料是钢构件制造的第一道工序。在这道工序中，不 同的排料方案具有不同的材料利用率，而原材料的利用率直接影响产品的成本。对于一 个年消耗大量钢材的生产单位，若能够提高原料利用率的 1%，那么其节约的钢材成本是 可观的。因此，降低废料率提高原材料利用率是钢构件生产企业追求的目标。 1.2 问题的重述
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包络矩形面积的求解运用数学解析几何面积的求解方法，过程如下：
包络矩形的宽：W=399+t×sina （t 为单位时间）， 包络矩形的长：L=100+399/tana-t×cosa ， 包络矩形的面积：S=W×L,求得： 当 t=+∞时，s 最小，即当五边形推到底时，包络矩形最小。S=519×461.如图 A 所示
5.1.1.2 左 边 剩 余 部 分 视 为 一 块 新 的 原 材 料 宽 为 W1 ， 长 为 L1. 其 中 ， L1=L-MAX(L1,L2,L7),W1=W.将该原材料按照（1）的方式进行最优化排列目标函数为：
min =900-∑(x(i)×w(i))，i=1,2,…9; s.t 900-∑（x(i)×w(i))=0，i=1,2,…9; x(i)<n(i); 经求解得到：x5=2,x9=1,然后把这三个零件在板材上排列下来，结果如图所示：
我们的参赛报名号为： 103562566
参赛队员 (签名) ： 队员 1： 队员 2： 队员 3：
武汉工业与应用数学学会 第八届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会
第八届华中地区大学生数学建模邀请赛 编号专用页
选择的题号： A
参赛的编号： 103562566
（以下内容参赛队伍不需要填写）
竞赛评阅编号：
5.1.1.3 将第二次切割剩下的作为新的原材料宽为 W2，长为 L2.其中，L2=L1-MAX(L3，L4)， W2=W,将该原材料再按照（1）的方式进行最优化排列目标函数为：
min =900-∑(x(i)×w(i))，i=1,2,…9; s.t 900-∑（x(i)×w(i))>0,i=1,2,..9; x(i)<n(i); 经求解得到：x6=2，x8=1,,然后把这三个零件在板材上排列下来，我们发现可以把 x6,x7 这两个零件组合成一个，能够使模型优化，使得组合最优，无损耗，结果如图所示：
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5.1.2 空白矩形填充 5.1.2.1 将第三次切割下来的作为新的原材料宽为 W3,长为 L3.其中 L3=W,W3=L2-MAX(L1， L5，L6，L7)，对于剩余原材料的填充，提出一种启发式递归算法。该算法的主要过程是： 从剩余待排料零件中选择出能排进该空白矩形的零件，依次沿空白矩形的宽度方向上不 断试探填充，使得利用率最高。我们把 x1 两个零件进行组合，x8 和 x9 两个零件组合，然 后得到最优化的排料方式如下图：
三、模型的假设
3.1 模型的假设 （1）假设不考虑刀具的厚度； （2）假设不考虑在切割板材的过程中的损耗； （3）假设不考虑板材厚度的影响； （4）假设不考虑切割工艺的不同； （5）假设不考虑人为因素的影响；
四、符号说明
（1）W(i)表示第 i 个零件的宽度； （2）X(i):第 i 个零件的个数； （3）n(i):第 i 个零件的总数； （4）m1:问题一的利用率； （5）m2:问题二的利用率； （6）m3:问题三的利用率； （7）s(i):第 i 个零件的面积； （8）S:板材的面积； （9）S0:问题一板材的废料面积； （10）S1:问题二中的第一个零件的面积； (11) S2:问题二中第二个零件的面积；
对于问题一，我们用线性规划建立了整数规划模型，将成品料的宽在原材料的宽上 排列，即在 9 种成品料中选择适当个数，使其宽度之和最接近原材料的宽，这样就确定 了宽度方向的最优化组合。在长度方向，采用贪心算法思想，在宽度确定的前提下选择 能放下的最大长度进行排放。余下的那部分继续切割排放。按照这种思想方法，求得此 板材上零件的排放方法，板材利用率为 99.28%。
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的利用率最高。 对于问题（2），属于二维不规则零件排料优化问题，其复杂性主要是零件的不规则几何 形状。由于零件形状不规则，所以不同零件之间的拼接，聚合等处理比较复杂。我们要 先对零件进行聚合拼接，然后求取包络后零件的最小包络矩形，然后按照问题（1）矩 形零件的排料优化模型进行求解。 对于问题（3），属于二维规则零件多板材排料优化问题，其关键在于要同时考虑在两个 板材上进行排料。针对不同零件的规格，运用整合优化思想整合零件，减少零件的种类 和数目，使零件更方便进行组合规划。然后运用线性规划和 lingo 软件进行求解。
第八届华中地区大学生数学建模邀请赛 承诺书
我们仔细阅读了第八届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等） 与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括 网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为， 我们将受到严肃处理。
五、模型的建立与求解
5.1 问题一 5.1.1 矩形件排放方式 5.1.1.1 我们在 9 种零件中选择合适的零件种类和个数，使其宽度之和等于或接近原材 料的宽，得到最优化目标函数为：
min =900-∑(x(i)×w(i))，i=1,2,…9;
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s.t 900-∑（x(i)×w(i))=0,i=1,2,..9; x(i)<n(i); 经 lingo 求解，当宽为板材的原始宽度 W=900cm 时，得到最优组合为 x3=2，x4=2,然 后把这四个零件排列起来，如图 1 所示，板材无损耗。
5.1.2.2 在剩下的空白矩形中填充剩下的两个 x2 零件，如图所示：
5.1.3 板材的利用率计算 m1=∑（si×xi）/（S-S0）×100%=99.28%
5.2 问题二 5.2 聚合零件的求取 5.2.1.1 零件一聚合零件[3]的求取
将零件一复制一个，翻转 180°，然后将复制件对原零件进行相对移动，依据碰撞算 法[4]与原零件碰撞，每次碰撞后，求一次最小包络矩形的面积，最后面积最小的即为 所求最小优化模型。
第八届华中地区大学生数学建模邀请赛
题目：
钢构件的排料问题
【摘 要】ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在钢构件制造产品的生产过程中，依照产品零件尺寸从板料中截取大小适当的零件 过程称之为排料，也称之为下料。排料是钢构件制造的第一道工序，不同的排料方案具 有不同的材料利用率，而原材料的利用率直接影响产品的成本，降低废料率提高原材料 利用率是钢构件生产企业追求的目标。本文研究的是钢构件的排料问题。在一刀切的工 艺下，借助 lingo，利用贪心算法、递归式填充算法和线性规划相结合，小区域内采用 碰撞算法和局部整合思想进行模型整合优化，并对下料进行逐级优化。
min =1980-∑(x(i)×w(i))，i=1,2,…9; s.t 1980-∑（x(i)×w(i))=0,i=1,2,..9; x(i)<n(i); 经 lingo 求解，当宽为 1722cm 时，得到最优组合为：x1=2,x2=2,然后把这四个零件 排列起来，如图 2 所示:
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5.2.2.3 将第二次切割剩下来的板材作为新的原材料宽为 w2=980cm,长为 L2=1980cm.继 续从剩下的零件中选择零件组合使其宽度最接近于新板材的宽度，得到最优化目标函数 如下：
对于问题二，首先我们将不规则五边形和六边形进行整合，采用碰撞算法和局部整 合思想将原零件整合成 7 个 519cm×461cm 和七个 650cm×400cm 的包络矩形，代替原材 料下料。然后采用与第一题思路相似的解法，得到下料方案，板材利用率为 85.29%。
对于问题三，将零件长度向 500cm 靠拢，利用局部整合思路对原零件进行恰当的整 合，将零件长度向 500cm 或其倍数靠拢，形成新的零件代替原零件。对于两块板料，考 虑尽量多利用的原则进行下料，并采用与第一题思路相似的解法，同时采用递归式填充 算法，求得两块板材上零件的排放方法，板材利用率为 95.66%。 此模型主要在板材的宽度上运用贪心算法思想，进行逐级优化、局部组合整合和碰撞原 理，使板材利用率最大化，可推广到更多领域的应用。
问题 2: 对 1 张 2380×1630 的板料和给定以下参数的若干不规则形状零件，如何在 板料中摆放零件使其板料的利用率最高。
零件一：14 个
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零件二：14 个
问题 3: 对 2 张 4550×1630 的板料和给定以下参数的若干规则形状零件，如何在板 料中摆放零件使其板料的利用率最高。
二、 问题的分析
图(A) 5.2.1.2 零件二聚合零件的求取
将零件二复制一个，然后把复制件翻转 180°后，就得到如图聚合零件 B，S=650×400
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图（B） 5.2.2 聚合零件的组合排放 5.2.2.1 我们在 A,B 两种 14 个零件中选择几个零件进行组合，使其宽度之和等于或接 近原材料的宽，得到最优化目标函数为：
对于问题（1），本问题属于二维规则零件排料问题。算法首先要满足生产工艺，即要满 足“一刀切”，即从板材的一端，沿直线方向切割到另一端。并且使原材料的利用率最 大，从而降低生产成本，提高经济效益。满足上述要求，我们使用线性规划和贪心算法 [1]相结合的思想，求出最优组合，使得板材的利用率达到最高。既然原材料有长和宽 两个方向，零件也有长和宽两个方向，则每个零件的长可在原材料的长和宽方向上排列， 宽也可在原材料的长和宽的方向上排列，这就够成了二维下料方式的多样性，当所需下 料的成品料种类较多时，下料方式也就相应的比较多，这又为二维下料增加了困难。为 了克服这个困难，仅将成品料的宽在原材料的宽上排列，即在 9 种成品料中选择适当个 数，使其宽度之和最接近原材料的宽，这样就确定了宽度方向的最优化组合。在长度方 向，采用贪心算法思想，在宽度确定的前提下选择能放下的最大长度进行排放。切割后 的剩余部分作为新的原材料根据上述原理继续进行优化切割方案的组合。同时我们采取 条料局部优化和递归式填充算法[2]相结合的算法在空白矩形里试探性填充，使得板材
min =1630-∑(x(i)×w(i))，i=1,2,…9; s.t 1630-∑（x(i)×w(i))=0,i=1,2,..9; x(i)<n(i); 经 lingo 求解，当宽为 1600cm 时，得到最优组合为 x2=4,然后把这四个零件排列起 来，如图 1 所示:
5.2.2.2 将第一次切割剩下来的板材作为新的原材料宽为 w1=1630cm,长为 L1=1980cm.从 剩下的零件中选择零件组合使其宽度最接近于或者等于新板材的长度，建立最优化目标 函数如下：
已知板材的原材料和下料后的成品料均为矩形。由于板材的材料特点，切割钢材时， 刀具只能走直线，且中间不能拐弯或停顿，即每切一刀均将玻璃板一分为二。切割次序 和方法的不同、各种规格搭配（即下料策略）不同，材料的消耗将不同。工程实际需要 解决如下问题，在给定一组材料规格尺寸后：
问题 1: 对 1 张 2350×900 的板料和给定以下参数的若干规则形状零件，如何在板 料中摆放零件使其板料的利用率最高。