10-1 简谐振动的矢量图示法

简谐振动的矢量图示法
简谐振动的矢量图示法
A 的长度
振幅A
A旋转的角速度
振动圆频率 O
ω
M
A
t 0
P
X
x
A 旋转的方向
逆时针方向
A 与参考方向x 的夹角 振动相位
M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
矢量OM 的端点 M 所画的圆叫参考圆。 矢量 OM 0 是 t = 0 时刻的位置，它与 x 轴的夹角φ叫初相位。 简谐振动的参考圆和矢量表示方法十分形
x
A 2
A 1.0
0
t
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示。
求：ω 、φ 以及振动方程。
x
A 2
A 1.0
0
t
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示。
求：ω 、φ 以及振动方程。
x
A 2
A 1.0
0
t
t
=
0时
{
x 0
=
A 2
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示
求：ω 、φ 以及振动方程。
x
A 2
A 1.0
解：已知 A = 0.12 m，T = 2s，
ω = 2π/T = π ( rad/s ).
( t =1 s ) B ’
ω
(1) 初态 t = 0 时，
x = 0.06， v ＞0， 初相 φ = －π/3 ,
-0.06
●
O 0.06
●
φ
Δφ
x (m
运动表达式为：
( t = 5/3 s) B
A(t=0)
速度v 0
P
A
x
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
A
M Px
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
A
M Px
相位差的问题（以两个同频率简谐振动为例）
x 1= A cos(ω t +φ 1 )
AA1
0
2 φ1
x
相位差的问题
x 1= A cos(ω t +φ 1 ) x 2= A cos(ω t +φ 2 )
0
称两振动同步
A2
φ
A1
2 φ1
x
A1 A2
相位差的问题
x 1= A cos(ω t +φ 1 )
x 2= A cos(ω t +φ 2 )
若周相差ΔΦ =φ 2 φ 1＞ 0 0 称振动 2 超前振动 1
振动 1 滞后振动 2
若周相差Δ Φ = 0
0
称两振动同步
若周相差Δ Φ =π
称两振动反相 A 2
0
t
t
=
0时
{
x 0
=
A 2
v0 ＞0
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示。
求：ω 、φ 以及振动方程。
xπ
x
3
A 2
A 1.0
A
0
t
t
=
0时
{
x 0
=
A 2
v0 ＞0
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示。
求：ω 、φ 以及振动方程。
xπ
x
3
A 2
A 1.0
A
0
t
t
=
0时
{
x 0
=
A 2
v0 ＞0
...φ
v0 ＞0
...φ
=
π
3
t =1时
{
x1= 0
v 1
=
dx dt
＜
0
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示。
求：ω 、φ 以及振动方程。
xπ
x
3
A 2
A 1.0
A
0
t
t
=
0时
{
x 0
=
A 2
v0 ＞0
...φ
=
π
3
t =1时
{
x1= 0
v 1
=
dx dt
＜
0
π
2
x
A
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示。
速度v <0
M
PA
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
MA
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
(
5 6
π
t
π
3
)
x = A cos
(
5 6
π
t
π
3
)
本题ω 的另一种求法：
x = A cos
(
5 6
π
t
π
3
)
本题ω 的另一种求法：
(Φ1 - φ) :(2π) = t : T
π
2
+
π
3
2π
=
1 T
x = A cos
(
5 6
π
t
π
3
)
本题ω 的另一种求法：
x
(Φ1 - φ) :(2π) = t : T
C
x = 0.12 cos (πｔ-π/3 ) (m)
如不用参考圆只用数学式解题：
由
x = A cos (ωｔ+ φ)
已知 A= 0.12m , T= 2s → ω= π
则 x = 0.12 cos (πｔ+ φ) φ= ?
t = 0 时 x=0.06m: 0.06 = 0.12cosφ →
cosφ = 0.5 → φ= ±π/3
若相位差ΔΦ =φ 2 φ 1＞ 0 0 称振动 2 超前振动 1
振动 1 滞后振动 2
A2
φ
A1
2 φ1
x
相位差的问题
x 1= A cos(ω t +φ 1 )
x 2= A cos(ω t +φ 2 )
若周相差ΔΦ =φ 2 φ 1＞ 0 0 称振动 2 超前振动 1
振动 1 滞后振动 2
若周相差Δ Φ = 0
φ=π/3: t 从 0增加Δt ，相位角增大, x变小 → 向 x轴负向运动 φ= -π/3: t 从 0增加Δt ，相位角绝对值变小 , x增大 →
向 x轴正向运动
∴取 φ= -π/3
运动表达式为： x = 0.12 cos (πｔ-π/3 ) (m)
其振动曲线 (振动的 x-t 图) 为：
X(m)
0
π
2
π
2
x
Φ1 =ω t 1+ φ =ω × 1 π
A
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示。
求：ω 、φ 以及振动方程。
xπ
x
3
A 2
A 1.0
A
0
t
t
=
0时
{
x 0
=
A 2
v0 ＞0
...φ
=
π
3
t =1时
{
x1= 0
v 1
=
dx dt
＜
...Φ 1=
0
π
2
π
2
x
Φ1 =ω t 1+ φ =ω × 1 π =π
0.12
0.06
T/4 T/2 3T/4
T
t(s)
0
1/2
1
3/2
2
Δt=Δφ/ω=(-π/3)/π= -1/3(s)
（2）自学（参见下册书第9页）
(3) 当 x = -0.06 m时，物体在旋转矢量图中
的位置可能在 B 或 B′处，因为物体向 X 轴
负方向运动所以位置应该在B′处。o B′ 与 OC
...φ
=
π
3
t =1时
{
x1= 0
v 1
=
dx dt
＜
...Φ 1=
0
π
2
π
2
x
Φ1 =ω t 1+ φ =
A
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示。
求：ω 、φ 以及振动方程。
xπ
x
3
A 2
A 1.0
A
0
t
t
=
0时
{
x 0
=
A 2
v0 ＞0
...φ
=
π
3
t =1时
{
x1= 0
v 1
=
dx dt
＜
...Φ 1=
求：ω 、φ 以及振动方程。
xπ
x
3
A 2
A 1.0
A
0
t
t
=
0时
{
x 0
=
A 2
v0 ＞0
...φ
=
π
3
t =1时
{
x1= 0
v 1
=
dx dt
＜
...Φ 1=
0
π
2
π
2
x
A
补例 1一谐振动的振动曲线如图所示。
求：ω 、φ 以及振动方程。
xπ
x