时域分析法、复数法和拉普拉斯变换法的比较—薛畅
三种信号处理方法的对比分析
三种信号处理方法的对比分析【摘要】本文主要对三种常见的信号处理方法进行了对比分析，分别是时域分析方法、频域分析方法和小波变换方法。
首先对每种方法的原理和特点进行了详细介绍，然后分别进行了它们的优缺点比较，从而为读者提供了更清晰的了解和选择依据。
最后通过案例分析，展示了这三种方法在实际应用中的不同情况。
通过本文的研究，读者能够更全面地了解三种信号处理方法的特点和优劣，为其在具体问题中的选择提供参考。
【关键词】信号处理方法、时域分析、频域分析、小波变换、优缺点比较、案例分析、对比分析、结论。
1. 引言1.1 三种信号处理方法的对比分析信号处理方法是一种重要的数据处理方法，广泛应用于通信、图像处理、音频处理等领域。
时域分析方法、频域分析方法和小波变换方法是三种常见的信号处理方法。
这三种方法各有特点，可以根据具体的需求选择合适的方法来处理信号数据。
时域分析方法是最常见的信号处理方法之一，通过对信号波形的时间属性进行分析来揭示信号的特征。
时域分析方法可以直观地显示信号的波形，有利于了解信号的变化规律和周期性特征。
频域分析方法则是通过将信号转换到频域来分析信号的频率成分和频域特征。
频域分析可以揭示信号的频率分布情况，有利于分析信号的频谱特性和频率成分。
小波变换方法是一种在时域和频域上都具有较好性能的信号处理方法，能够同时捕捉信号的时域和频域特征。
小波变换方法在信号去噪、压缩、特征提取等方面有着广泛的应用。
通过对这三种信号处理方法进行对比分析，可以更好地了解它们各自的优缺点，从而选择最适合具体应用场景的方法。
在本文中，将对这三种信号处理方法进行深入比较和分析，并结合案例分析来展现它们的实际应用效果。
2. 正文2.1 时域分析方法时域分析方法是一种常用的信号处理方法，它主要通过对信号在时间轴上的变化进行分析来提取有用的信息。
时域分析方法主要包括信号的平均值、方差、自相关函数、互相关函数等统计量的计算，以及滤波、时域窗函数等处理技术。
连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析时域分析是对连续时间系统进行分析和研究的一种方法。
通过时域分析，可以了解系统的时间响应特性、稳定性以及系统的动态行为。
本文将从连续时间系统的时域分析方法、常用的时域参数以及时域分析在系统设计中的应用等方面进行详细介绍。
一、连续时间系统的时域分析方法连续时间系统的时域分析方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：通过解析方法可以得到系统的解析表达式，从而分析系统的时间响应特性。
常用的解析方法包括微分方程法、拉普拉斯变换法和傅里叶变换法等。
- 微分方程法：对于线性时不变系统，可以通过设立系统输入和输出之间的微分方程，然后求解微分方程来得到系统的时间响应。
- 拉普拉斯变换法：通过对系统进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，从而得到系统的传递函数，进而分析系统的时间响应。
- 傅里叶变换法：通过对系统输入和输出进行傅里叶变换，将时域信号转化为频域信号，从而分析系统的频率响应。
2. 数值法：当系统的解析表达式难以获得或无法求解时，可以通过数值方法进行时域分析。
常用的数值方法包括欧拉法、中点法和四阶龙格-库塔法等。
- 欧拉法：通过差分近似，将微分方程转化为差分方程，然后通过计算差分方程的递推关系来得到系统的时间响应。
- 中点法：在欧拉法的基础上，在每个时间步长内，通过计算两个相邻时间点上的导数平均值来改进估计值，从而提高精度。
- 四阶龙格-库塔法：在中点法的基础上，通过对导数进行多次计算和加权平均，从而进一步提高精度。
二、常用的时域参数时域分析除了对系统的时间响应进行分析外，还可以提取一些常用的时域参数来描述系统的性能和特性。
1. 零点：系统的零点是指系统传递函数中使得输出为零的输入值。
2. 极点：系统的极点是指系统传递函数中使得输出无穷大的输入值。
3. 零极点图：零极点图是用来描述系统传递函数中的零点和极点分布情况的图形。
4. 频率响应：频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应。
第四章 拉普拉斯变换与S域分析
作业
P250 4-2，4-3，4-5
第四节
拉氏逆变换
一、系统的s域分析方法
用拉氏变换方法分析系统时，最后还要 将象函数进行拉氏反（逆）变换。 求解拉氏逆变换的方法有：
（1）部分分式展开法
（2）长除法 （3）留数法
二、部分分式展开法
A(s) B (s) am s
m n
设 F (s)
拉氏变换的基本性质
8 时 域 卷 积 性 ：
若 f 1 ( t ) F1 ( s ), f 2 ( t ) F 2 ( s )
L
则 f 1 ( t ) f 2 ( t ) F1 ( s ) F 2 ( s )
L
9 s 域 卷 积 性 ： 若 f 1 ( t ) F1 ( s ), f 2 ( t ) F 2 ( s )
e
st
e e
t
jw t
e (co s w t j sin w t )
t
看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的 重复频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅 度的增长速率或衰减速率。
三、从算子法的概念说明拉氏 变换的定义
f (t ) F ( s ) d f (t ) dt d f (t ) dt sF ( s ) - f ( 0 ) (当 f (0 ) 0 ) sF ( s ) (当 f (0 ) 0 )
at
F (s a)
L
拉氏变换的基本性质
4 时 域 微 分 性 ：
L
S域 乘 S 初 始 条 件
若 f (t ) F ( s ) 则 d f (t ) dt
n n
时域分析法
§ 3.2 一阶系统的时间响应
一、一阶系统的数学模型 数学模型
其中时间常数T＝1 / K
二、一阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
xi
(t )
1(t ),
Xi
(s)
1 s
故系统单位阶跃响应象函数为
1
1 s
s
T
1
A s
s
B 1
1 s
s
1
1
T
T
T
取拉氏反变换得系统单位阶跃响应为
1t
xo (t) 1 e T
，为闭环极点的实部； ，为闭环极点的虚部；
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的象函数为
。
将上式进行拉氏反变换，单位阶跃响应为
(3.33)
x0 (t) 1
e n t
1 2
(n
1 2 n
cosdt sin dt)
1
ent
1 2
(sin
c osd t
cos
sin d t )
1
e nt
1
2
sin(
则
Xo
s
Xo Xi
s s
X
i
s
1 1 Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
x0
(t
)
1 T
t
eT
四、响应之间的关系 对线性定常系统，输入之间存在微积分关系，其响
应间也存在相应微积分关系。
作用：在测试系统时，可由一种信号推断几种信号的相应响应。
§ 3.3 二阶系统的时间响应
一、典型二阶系统的数学模型
决定。
在稳态下，输出 x0 (t) 和输入 xi (t) 之间不存在误差，即系统
深大通信复试知识点
1.因果系统 & 卷积系统n时刻的输出，只取决于系统n时刻以及n时刻之前的输入，而与n时刻之后的输入无关。
卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。
即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。
高斯变换就是用高斯函数对图像进行卷积。
2.线性时不变系统 & 稳定性 & 判断线性时不变系统：既满足叠加原理又具有时不变特性，它可以用单位脉冲响应来表示。
单位脉冲响应是输入端为单位脉冲序列时的系统输出，一般表示为h(n)，即h(n)=T[δ(n)]。
3.奈奎斯特率奈奎斯特速率(Nyquist rate)在理想低通信道中，前后码元的符号间无码间干扰时符号的极限传输速率。
把理想低通信道的带宽称为奈奎斯特带宽，记为fN；将该系统无码间串扰的最高传输速率（2fN波特）称为奈奎斯特速率。
奈奎斯特频率，其大小等于采样频率(sampling frequency)的一半。
从理论上说，即使奈奎斯特频率恰好大于信号带宽，也足以通过信号的采样重建原信号。
但是，重建信号的过程需要以一个低通滤波器或者带通滤波器将在奈奎斯特频率之上的高频分量全部滤除，同时还要保证原信号中频率在奈奎斯特频率以下的分量不发生畸变，而这是不可能实现的。
在实际应用中，为了保证抗混叠滤波器的性能，接近奈奎斯特频率的分量在采样和信号重建的过程中可能会发生畸变。
因此信号带宽通常会略小于奈奎斯特频率，具体的情况要看所使用的滤波器的性能。
奈奎斯特间隔公式：应用：CCD相机的成像系统主要由光学镜头、CCD及相关电路这两大部分组成。
线阵CCD是一种光电转换部件，由一组大小相同的CCD像元在线阵方向上有序排列而构成。
CCD相机的成像实际上是线阵CCD诸像元对景物进行空间采样的过程。
CCD 像元的几何尺寸决定了相机系统的空间截止频率一奈奎斯特频率。
4.信号的傅立叶变换傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
自动控制原理实验教程
Ui(S )
TS
(3) 阶跃响应： Uo(t) = K + 1 t
T
(t ≥ 0)
(4) 模拟电路图：如图 1.1-6 所示。
其中 K = R1 / R0 ； T = R0C
4
自动控制原理
第 1 章 线性系统的时域分析
比例积分环节
R1
C
Ui
R0
_
10K
信号输入端
反相器
10K _
R0 = R1 = 200K; C = 1uF 或 2uF
Ui(S)
1
Uo(S)
TS
(2) 传递函数： Uo(S) = 1
Ui(S) TS
(3) 阶跃响应： Uo(t) = 1 t (t ≥ 0)
T
(4) 模拟电路图：如图 1.1-4 所示。
图 1.1-3
其中 T = R0C
Ui
R0
信号输入端
积分环节 C
_
反相器
10K
10K
_
Uo
输出测量端
R0 = 200K; C = 1uF 或 2uF
图 1.1-4 3
自动控制原理
(5) 理想与实际阶跃响应曲线对照： ① 取 R0 = 200K；C = 1uF。
理想阶跃响应曲线
Uo 无穷
Uo(t)
1 Ui(t)
0 0.2s
t
② 取 R0 = 200K；C = 2uF。
第 1 章 线性系统的时域分析
实测阶跃响应曲线
Uo
10V
Uo(t)
1 Ui(t)
(5) 理想与实际阶跃响应曲线对照： ① 取 R0 = R1 = 200K；C = 1uF。
图 1.1-6
动态电路瞬态过程的时域分析与复频域分析
动态电路瞬态过程的时域分析与复频域分析动态电路瞬态过程的时域分析与复频域分析动态电路是现代电子技术中的重要内容之一，它涉及到大量的瞬态过程。
对于这些瞬态过程的分析，常使用时域分析和复频域分析两种方法。
本文将分别对这两种方法进行介绍和分析。
一、时域分析时域分析是指对电路的时间响应进行分析。
在分析中，假设电路中的各种参数以及输入信号都是时间函数，因此需要将它们表示为某种数学形式，然后通过对这些数学形式的运算进行分析。
其中，最基本的数学工具是微积分，因为微积分可以表示出电路中的各种参数以及输入信号的变化规律。
对于时域分析来说，最常用的工具是拉普拉斯变换和傅里叶变换。
其中，拉普拉斯变换是把时间域函数转变为复频域函数的一种数学方法，它可以方便地求出电路的瞬态响应和稳态响应。
而傅里叶变换是把一个周期信号转化为谱函数的一种数学方法，它可以对电路中的各种波形进行分析和处理。
在进行时域分析时，需要注意以下几点：1.需要对电路进行合理简化：电路越简单，分析就越容易。
2.需要根据电路的性质选择合适的求解方法：对于不同的电路，可以采用不同的求解方法，例如微积分、拉普拉斯变换或傅里叶变换等。
3.需要进行量化分析：对于电路中的各种参数和信号，需要进行量化分析，例如幅度、相位角、频率等。
二、复频域分析复频域分析是指对电路的复频特性进行分析。
在分析中，假设电路中的各种参数都是复数函数，因此需要对这些复数函数进行分析。
其中，最常用的工具是复数函数的运算和分析。
与时域分析相比，复频域分析更注重电路的频率响应特性，例如幅频特性、相频特性、群延迟特性等。
而复频域分析最重要的工具是频谱分析和极坐标分析。
在进行复频域分析时，需要注意以下几点：1.需要正确理解电路的频域特性：对于不同的电路，具有不同的频域特性，例如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
2.需要正确分析电路的复频域函数：对于电路中的各种复数函数，需要进行运算和分析，例如求导、求积、傅里叶变换等。
时域分析方法时域分析方法
1．第一列所有系数均不为零的情况，这时，劳斯判据指出，系统极点实部为正 实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。系统极点全部在复平 面的左半平面的充分必要条件是方程的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一 列都具有正号。
2．某行第一列的系数等于零，而其余项中某些项不等于零的情况。在计算劳斯 表中各元素的数值时，如果某行的第一列的数值等于零，而其余的项中某些项不 等于零，那么可以用一有限小的数值 ε 来代替为零的那一项，然后按照通常方 法计算阵列中其余各项。如果零（ε）上面的系数符号与零（ε）下面的系数符 号相反，表明这里有一个符号变化。如果零（ε）上面的系数符号与零（ε）下 面的系数符号相同，则有一对共轭虚根存在，系统也属不稳定。
3.2.1、时域分析方法：
所谓时域分析法，就是通过求解控制系统的时间响应，来分析系统的稳定性、快 速性和准确性。它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准 确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
自动控制系统暂态响应性能指标
暂态响应性能指标是以系统在单位阶跃输入作用下的衰减振荡过程（或称欠阻尼 振荡过程）为标准来定义的。系统在其它典型输入作用下定义的暂态响应性能指 标，均可以直接或间接求出与这一指标的关系。用来表述单位阶跃输入时暂态响 应的典型性能指标通常有：最大超调量、上升时间、峰值时间和调整时间。图 3.11 说明一个线性控制系统的典型单位阶跃响应。上述指标就是用系统阶跃响 应来定义的。
=
K
p (1 + Td s)
=
K
p
+
KDs
PD 有助于增加系统的稳定性.
PD 增加了一个零点 z = − K p ,提高了系统的阻尼,可改善暂态性能. KD
拉普拉斯变换分析
在，则其收敛域在平行于 jω 轴的一条直线的左边区域，
图 4-2 中，若α2 > 0 ，收敛轴将移到 jω 轴的右侧。 例 4-3 求函数
图 4-2 例 4-2 的 FB2 (s) 的收敛域
f
(t
)
=
⎧⎪eα2t ⎨⎪⎩eα1t
t<0 t>0
的双边拉氏变换与收敛域。
163
解 根据式（4-6）可得
∫ ∫ ∫ FB (s) =
19 世纪末，英国工程师海维赛德(O. Heaviside)以其出色的工作成为拉普拉斯变换的先驱。 后来人们在法国数学家拉普拉斯(B．S．Iaplace)的著作中找到了依据。为此取名为拉普拉斯变 换(简称拉氏变换)。
拉氏变换分析法是分析连续线性时不变系统的有效工具。它具有如下突出优点，它可把微 分方程变换成代数方程（algebraic equation），并且可以自动引入起始状态，求出系统的全响应。 其次是实际遇到的信号都存在拉氏变换。拉氏变换还可把时域中两函数的卷积运算转换成变换 域中两函数的乘法运算。
F (σ + jω) 后，再通过式(4-3)由 F (σ + jω) 重新得到 f (t) 。因而式(4-2)和式(4-3)组成一对积分变
换。为使式(4-2)和式(4-3)更加简洁,令 s = σ + jω 为复频率，从而 ds = jdω （σ 选为常量），当
ω = ±∞ 时， s = σ ± j∞ ，于是式(4-2)可改写为
收敛域（region of convergence）。
函数 f (t) 若满足 f (t)e−σt 绝对可积，即
∫ ∞ f (t) e−σtdt < ∞ −∞
（4-8）
则 f (t) 的拉氏变换一定存在。式（4-8）表明， FB (s) 是否存在取决于能否选取适当的σ 。由于 FB (s) 的收敛域由 s 的实部σ 决定，与虚部 jω 无关，所以，FB (s) 的收敛域的边界是平行于 jω 轴
三种信号处理方法的对比分析
三种信号处理方法的对比分析信号处理是指对信号进行采样、滤波、编码、译码等操作的过程，是数字通信、雷达、声纳等系统中的重要组成部分。
在信号处理过程中，常用的方法包括时域分析、频域分析和小波变换分析。
本文将对这三种信号处理方法进行对比分析，以便读者了解它们的优缺点及适用范围。
一、时域分析时域分析是指在时间维度上对信号进行分析。
常用的时域分析方法包括时域滤波、自相关函数、互相关函数等。
时域分析的主要特点是能够直观地展现信号在时间轴上的波形变化，能够清晰地观察信号的周期性、幅度和相位等特征。
时域分析的优点是操作简单，计算速度快，适合处理对实时性要求较高的信号处理任务。
例如语音信号处理、实时通信系统等。
并且时域分析方法对于瞬态信号的处理效果较好，能够准确地捕捉信号的瞬时特征。
时域分析的局限性也比较明显。
由于时域分析直接对信号进行处理，无法很好地将频域信息展现出来，因此对于频率特征较为复杂的信号处理任务效果较差。
由于时域分析只能对信号进行整体分析，对信号内部细节特征的把握相对较弱，对信号内部的故障和噪声的探测能力有限。
三、小波变换分析小波变换分析是指将信号在时间频率维度上进行分析的一种新型信号处理方法。
小波变换将信号分解成不同尺度和不同频率的小波包，能够将信号的时域和频域特征结合起来，利于对信号的整体特征和内部细节特征进行分析。
时域分析、频域分析和小波变换分析各有其优缺点。
在实际应用中，需要根据信号的特征和处理任务的要求来选择合适的分析方法。
希望本文的对比分析能够为读者对不同信号处理方法的选择提供一些帮助。
傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别
《傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别》一、引言傅里叶变换和拉氏变换是信号处理和数学领域中两个重要的变换方法，它们在处理信号和函数时起着至关重要的作用。
本文将深入探讨傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别，以便更好地理解它们的应用和特点。
二、傅里叶变换和拉氏变换的基本概念在正式介绍傅里叶变换和拉氏变换的联系和区别之前，首先需要了解它们各自的基本概念。
傅里叶变换是一种将一个函数分解成正弦和余弦函数的技术，常用于处理周期性信号和频域分析。
而拉氏变换是一种将一个函数从时域转换到复平面频域的技术，常用于求解微分方程和控制论中。
从定义和用途上来看，傅里叶变换更加偏向于处理周期性信号和频域分析，而拉氏变换更加偏向于处理连续信号和微分方程。
三、联系1. 共同性质傅里叶变换和拉氏变换在某些方面具有一定的共同性质。
它们都具有线性性质，即对信号进行线性组合后，其变换结果也是线性组合的形式。
它们在频域和时域之间具有对偶性，即在频域上的乘积对应于时域上的卷积，这一点在信号处理中有着重要的应用。
2. 对信号的处理方式傅里叶变换和拉氏变换在处理信号时有着不同的方式。
傅里叶变换更多地强调信号的频域特性，能够将信号分解为不同频率的成分，从而进行频域分析和滤波处理。
而拉氏变换更多地强调信号的幅相特性，能够将信号从时域转换到复平面频域，方便求解微分方程和控制系统的分析与设计。
四、区别1. 定义域和值域傅里叶变换的定义域是时域，值域是频域；而拉氏变换的定义域是复平面上的实轴，值域也是复平面上的一部分。
这表明了傅里叶变换更侧重于处理周期性信号和频域分析，而拉氏变换更侧重于处理连续信号和微分方程。
2. 对信号的处理对象傅里叶变换更多地用于处理周期性信号和离散信号，如音频信号、图像等；而拉氏变换更多地用于处理连续信号和微分方程，如控制系统、通信系统等。
3. 应用领域由于傅里叶变换更多地侧重于处理周期性信号和频域分析，因此在音频处理、图像处理、通信系统等领域有着广泛的应用；而拉氏变换更多地用于求解微分方程和控制系统的分析与设计，因此在控制理论、信号处理、通信系统等领域有着重要的地位。
时域分析法
时域分析法时域分析法（TDA）是一种极其重要的系统工程的分析、设计和控制的一种方法，它是基于时间建模的数学系统分析方法。
它具有准确、有效和灵活的特性，被广泛应用于工程领域，包括电气工程、机械工程、生物工程、计算机工程、航空航天等领域。
时域分析可以研究许多复杂的系统，可以从数学上描述系统，从而给出系统的性能参数。
时域分析首先将工程系统转化为一组数学模型，然后采用积分、微分和变换方法对模型进行分析，从而分析出工程系统的性能参数和特性。
它可以研究复杂的非线性系统，而且它已经被广泛应用于工程领域，例如机械系统、电气系统、热系统、控制系统、汽车工程、上海等。
时域分析的基本思想是根据系统的动态建立模型，然后计算出系统的动态特性、性能参数等。
它可以研究系统的时间响应、频率响应和稳定性等关键特性，并可以从数学上描述系统。
与其它系统分析方法相比，时域分析具有以下优点：1、准确性高：时域分析可以精确分析出系统的时变特性。
由于它可以从数学上描述系统，所以它可以更加精确地研究系统的动态特性。
2、解决复杂的非线性系统：时域分析可以把复杂的非线性系统用一组简单的数学方程式来描述，从而分析子系统的性能参数和特征。
3、灵活性高：时域分析可以根据系统的不同要求来调整模型，从而更好地符合系统的特性。
4、适用性强：时域分析是一种现代系统分析模型，它可以用于许多不同类型的系统，包括机械系统、电气系统、计算机系统等。
时域分析可以应用于研究各种类型的系统，它比其它系统分析方法更有优势，不仅可以研究非线性系统，而且可以更准确、更有效地研究系统的性能参数。
由于时域分析的多种优点，它已广泛应用于工程领域，并取得了许多实际的成果。
总之，时域分析是一种极其重要的系统工程分析、设计和控制的一种方法，它具有准确、有效和灵活的特性，被广泛应用于工程领域，可以用于研究复杂的非线性系统，而且它可以从数学上描述系统，从而给出系统的性能参数。
时域分析法
C(t)
(a)外加扰动
C(t) C(t)
(b)稳定
(c)不稳定 注意：仅适用于线性定常系统
3.1.2线性系统稳定的充要条件
稳定的条件
系统初始条件为零时，受到δ( t)的作用，输出 c(t ) 为 单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏 离平衡点的问题，当t→∞时，
若 若 若
1 2 1 ε 0
5 6 7 7
7
(6-14)/1= (6－4)/2=1-8 (10-6)/2=2
劳斯表特点
1 右移一位降两阶
2 行列式第一列不动第二列右移
2
3 次对角线减主对角线
4 分母总是上一行第一个元素 5 第一列出现零元素时，用正无 穷小量ε代替。 6 一行可同乘以或同除以某正数
劳斯阵列
设系统的特征方程为 D(s) a0 sn a1sn1 a2 s n2 ... an1s an 0 第一列符号改变的次数等于特征方程正实部根的个数
1 2
sin 2t )
e 2t 2e t sin(2t 45)
设n阶系统表达式为
若全部特征根有负实部，则 b C ( s) b sm +
s m-1 + ...+ b1 s + b0 m-1 Φ( s )lim c (t ) 0m n = = （渐近）稳定 an s + an-1 s n-1 + ...+ a1 s + a0 t R( s )
s5
劳 斯 表
1
2 >0 8
0
0 0 -2
-1
-2
(6－4)/2=1 4-2=0 2s
s4
第4章 性能分析方法--时域分析
(3) ( s)
G( s) 1 G( s)
(s) (s)G(s) G(s)
a ( s) a a G(s) sa 1 ( s) 1 a saa s sa
(s) 1 (s)G(s)
4.1.2 二阶系统的时域分析
用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统 从物理上讲，二阶 系统总包含两个储能元件，能量在两个元件之间交换，从而引 起系统具有往复的振荡趋势。当阻尼不够充分大时， 系统呈 现出振荡的特性，这样的二阶系统也称为二阶振荡环节
)
当r(t)=1(t)时，有：
1 R( s) s C ( s) ( s) R( s)
2 n 1 2 2 ( s 2 n s n ) s
对上式进行拉氏反变换，得
c() 1 c(t ) 1 sin(n 1 t arctan ) 2 1 c(0) 0 ' wn t c ( t ) 响应特征 : c (0) 0 e 1 sin(wd t ) n t 包络线收敛速度 e 2 1 阻尼振荡频率 1 2 n
1、典型输入信号 用于时域分析的典型输入信号有阶跃函数、 斜坡函数和抛物 r(t) 线函数等。 1
(1)单位阶跃函数1(t)
1 1(t ) 0 t0 t0
1 R( s ) L[1(t )] L[1] s
0 t
r(t)
(2)单位斜坡函数t· 1(t)（等速度函数）
t t 1(t ) 0
2 (1 e 5t ) 5
例2:已知某单位负反馈系统的单位阶跃响应为 h(t ) 1 e at 求(1).单位脉冲响应 k(t);(2).闭环传递函数 (s)；(3).开环传 递函数G(s)。 解：
拉普拉斯变换的数学方法PPT优选文档
其拉氏变换为：
L [sit]n 0 sin te sd t ts22
6 余弦函数 用欧拉公式表示为：
其拉氏变换为：
cost1(ejt ejt)
2
L [co t] s0 cots e sd t ts2 s2
2.3 典型时间函数的拉氏变换
7 幂函数（作业） 其拉氏变换为：
0 (t) f (t)dt f (0)
单位脉冲函数的拉氏变换为：
L[(t)](t)esd t test 1
0
t0
2.3 典型时间函数的拉氏变换
3 单位斜坡函数
定义为：
f
(t)
0,t t,t
0 0
单位斜坡函数的拉氏变换为：
L[t]
testdtt est
(est)dt
0
s0 0 s
e st 0s
L [f'(t)]sF (s)f(0)
（ 2 － 8 ）
其 中 f(0)是 时 间 正 向 趋 近 于 零 时 的 f(t)值 。
利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
F(s)L[f(t)]T2 4s2T2 4s2esT 2T2 4s2esT 2T2 4s2esT T2 4s2(12esT 2esT)
2.4 拉氏变换的性质
3. 周期函数的拉氏变换 设f(t)是以T为周期的周期函数，即： f(tnT)f(t)
拉普拉斯变换的数学方法PPT
提纲
2.1 复数和复变函数 2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.4 拉氏变换的性质 2.5 拉氏反变换的数学方法 2.6 用拉氏变换解常微分方程
拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。 是分析研究线性动态系统的有力工具。
时域分析法
第三章 时 域 分 析 法分析和设计系统的首要工作是确定系统的数学模型。
一旦建立了合理的、便于分析的数学模型，就可以对已组成的控制系统进行分析，从而得出系统性能的改进方法。
经典控制理论中，常用时域分析法、根轨迹法或频率分析法来分析控制系统的性能。
本章介绍的时域分析法是通过传递函数、拉氏变换及反变换求出系统在典型输入下的输出表达式，从而分析系统时间响应的全部信息。
与其他分析法比较，时域分析法是一种直接分析法，具有直观和准确的优点，尤其适用于一、二阶系统性能的分析和计算。
对二阶以上的高阶系统则须采用频率分析法和根轨迹法。
第一节 典型输入信号和时域性能指标一、典型输入信号控制系统的输出响应是系统数学模型的解。
系统的输出响应不仅取决于系统本身的结构参数、初始状态，而且和输入信号的形式有关。
初始状态可以作统一规定，如规定为零初始状态。
如再将输入信号规定为统一的形式，则系统响应由系统本身的结构、参数来确定，因而更便于对各种系统进行比较和研究。
自动控制系统常用的典型输入信号有下面几种形式：1.阶跃函数 定义为⎩⎨⎧<≥=000u(t) t t U1)-(3 式中U 是常数，称为阶跃函数的阶跃值。
U=1的阶跃函数称为单位阶跃函数，记为1(t)。
如图3-1所示。
单位阶跃函数的拉氏变换为1/s 。
在t=0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上，如指令的突然转换、电源的突然接通、负荷的突变等，都可视为阶跃作用。
2.斜坡函数 定义为 ⎩⎨⎧<≥=0u(t)t t Ut 2)-(3 这种函数相当于随动系统中加入一个按恒速变化的位置信号，恒速度为U 。
当U=1时，称为单位斜坡函数，如图3-2所示。
单位斜坡函数的拉氏变换为 1/s 2。
3.抛物线函数 定义为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0021u(t)2t t Ut3)-(3这种函数相当于系统中加入一个按加速度变化的位置信号，加速度为U 。
当U=1时，称为单位抛物线函数，如图3-3所示。
信号与系统的分析方法有时域,变换域两种
1 n 15 4 , 因此x(n) 1 4n2 , 15
n 1 n 2
2.部分分式法
有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式
2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：
Re s[ X ( z ) z
l 1
n 1
] z zr
1 d l n 1 [( z z r ) X ( z ) z ] z zr l 1 (l 1)! dz
1 , z 4，求z反变换。 [例2-4] 已知 X ( z ) 1 4 (4 z )( z ) 4
n
(n)Z
n
Z 1
0
其收敛域应包括 z 0, z , 即 0 z , 充满整个Z平面。
[例2-2] 求序列 x(n) a u(n) 的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
a n u (n) z n a n z n (az 1 ) n
C为环形解析域内环 绕原点的一条逆时 针闭合单围线.
0
j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
Rx
c
二.求Z反变换的方法
1.留数法
由留数定理可知：
1 2j 1 2j
X ( z) z
c c
n 1
dz Re s[ X ( z ) z
k
n 1
]z zk
j Im[ z ]
z 收敛域： a
0
a
时域分析法、复数法和拉普拉斯变换法的比较—薛畅
薛畅
school
目
录
A
方法回顾 优缺点比较 相互联系
B
C
D
几个时域分析： 由三个基本约束 （KCL,KVL,VCR）决定电路分 析的方程形式。 静态电路建立的是代数方程， 且没有记忆、储能和暂态过程。 动态电路有一个暂态过程，建 立的是微分方程。 简单一阶电路可以使用三要素 分析法
200 I1 ( s )(40 0.1s ) 10I 2 ( s ) 0.5 s 1000 100 10I1 ( s ) (10 ) I 2 (s) s s I1 ( s ) I L ( s ) 1500 5 I 1 ( s ) I L( s ) 2 ( s 200) s
方程形式
信号完好程 度
经过带通滤 波器后信号 易丢失
易发现丢失 信息
school
B
优缺点比较
时域分析法 复数法 拉普拉斯变 换法
使用限制条 件 代入特值
无（但电路 傅里叶变换 太复杂不行） 要求信号绝 对可积 需代入初始 值稳态值等 需代入初始 值 省去确定初 始值过程， 自动代入初 始状态 简单的代数 方程
IS
R0
C
iC + uC
－
school
‹#›
A
方法回顾
复数法： u L diL L
dt Vm ( jw) jwLI m ( jw)
I
k 1 K
K
mk
( jw) 0
V
k 1
mk
( jw) 0
school
‹#›
A
方法回顾
拉普拉斯变换法：
F ( s)
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薛畅
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方法回顾 优缺点比较 相互联系
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D
几个例子
school
A
方法回顾
时域分析： 由三个基本约束 （KCL,KVL,VCR）决定电路分 析的方程形式。 静态电路建立的是代数方程， 且没有记忆、储能和暂态过程。 动态电路有一个暂态过程，建 立的是微分方程。 简单一阶电路可以使用三要素 分析法
1 j st f (t ) F ( s)e ds j 2j
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‹#›
B
优缺点比较
时域分析法 复数法
输入波形不 是简单波形 或动态元件 多于两个 代数方程
拉普拉斯变 换法
更加复杂难 解甚至不可 解的电路 代数方程
主要适用电 路
主要为静态 电路及一阶 动态电路 微分方程
二阶微分方程
线性方程
school
THANKS!
school
‹#›
IS
R0
C
iC + uC
－
school
‹#›
A
方法回顾
复数法： u L diL L
dt Vm ( jw) jwLI m ( jw)
I
k 1 K
K
mk
( jw) 0
V
k 1
mk
( jw) 0
school
‹#›
A
方法回顾
拉普拉斯变换法：
F ( s)
0
f (t )e st dt
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计算过程
复杂，需计 算微分方程
较简单的代 数方程
C
相互关系（时域与复数法）
+ US
S
iL R + uR
－ －
－
+ L u L
虽然复指数信号不是工程实际的信号，但是正弦余弦函数都可以通过 取实部和虚部来得到。所以当正弦信号作用于电路时，可以通过将信 号转变成复指数激励信号转变成复数分析法。
方程形式
信号完好程 度
经过带通滤 波器后信号 易丢失
易发现丢失 信息
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B
优缺点比较
时域分析法 复数法 拉普拉斯变 换法
使用限制条 件 代入特值
无（但电路 傅里叶变换 太复杂不行） 要求信号绝 对可积 需代入初始 值稳态值等 需代入初始 值 省去确定初 始值过程， 自动代入初 始状态 简单的代数 方程
school
C
相互关系（时域与拉普拉斯变换）
而拉普拉斯变换与时域分析法的关系就更 加紧密了 像函数和原函数有着一一对应关系，保证 了拉氏变换分析求解电路的唯一性
school
一一对应，互为镜像
C
相互关系（复数法与拉普拉斯变换）
拉普拉斯变换将频率从 实数推广为复数，因而 傅里叶变换变成了拉普 拉斯变换的一个特例。 拉普拉斯变换得到的频 谱是一个复平面上的函 数 而傅里叶变换得到的频 谱，则是从虚轴上切一 刀，得到的函数的剖面。
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D
几个小例子
正弦稳态 j 4[ I m1 ( jw) I m2 ( jw)] 10 j 2I m2 ( jw) j 4[ I m1 ( jw) I m2 ( jw)] 2I m1 ( jw)
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200 I1 ( s )(40 0.1s ) 10I 2 ( s ) 0.5 s 1000 100 10I1 ( s ) (10 ) I 2 (s) s s I1 ( s ) I L ( s ) 1500 5 I 1 ( s ) I L( s ) 2 ( s 200) s