北京市朝阳区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含解析

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北京市朝阳区2019-2020学年第一学期期末高一数学试题及答案

北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高一年级数学试卷 2020.1本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分第一部分（选择题共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}1,0,1A =-，集合{}2Z 20B x x x =∈-≤，那么AB 等于（A ）{}1- （B ）{}0,1 （C ）{}0,1,2 （D ）{}1,0,1,2-2. 已知命题2:1,1p x x ∀<->，则p ⌝是（A ）21,1x x ∃<-≤ （B ）21,1x x ∀≥-> （C ）21,1x x ∀<-> （D ）21,1x x ∃≤-≤3. 下列命题是真命题的是（A ）若0a b >>，则22ac bc > （B ）若a b >，则22a b >（C ）若0a b <<，则22a ab b << （D ）若0a b <<，则11a b> 4. 函数22()cos sin f x x x =-的最小正周期是（A ）π2（B ）π （C ）2π （D ）4π5. 已知函数()f x 在区间(0,)+∞上的函数值不恒为正，则在下列函数中，()f x 只可能是（A ）12()f x x =（B ）()sin 2f x x =+ （C ）2()ln(1)f x x x =-+（D ）21,0()1,0x x f x x x ⎧->=⎨-+≤⎩6. 已知,,a b c R ∈，则“a b c ==”是“222a b c ab ac bc ++>++”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 通过科学研究发现：地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为12,E E ，则1E 和2E 的关系为（A ）1232E E = （B ）1264E E =（C ）121000E E =（D ）121024E E =8. 已知函数4()()f x x a a R x=+-∈，2()43g x x x =-++，在同一平面直角坐标系里，函数()f x 与()g x 的图像在y 轴右侧有两个交点，则实数a 的取值范围是（A ）{}3a a <-（B ）{}3a a >-（C ）{}3a a =-（D ）{}34a a -<<9. 已知大于1的三个实数,,a b c 满足2(lg )2lg lg lg lg 0a a b b c -+=，则,,a b c 的大小关系不可能是（A ）a b c == （B ）a b c >>（C ）b c a >>（D ）b a c >>10. 已知正整数1210,,,x x x 满足当i j <（*,N i j ∈）时，i j x x <，且22212102020x x x +++≤，则91234()x x x x x -+++的最大值为（A ）19 （B ）20（C ）21（D ）22第二部分（非选择题共100分）二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分. 11. °sin330=________.12. 若集合{}220A x x ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围是________.13. 已知函数2()log f x x =，在x 轴上取两点12(,0),(,0)A x B x （120x x <<），设线段AB 的中点为C ，过,,A B C 作x 轴的垂线，与函数()f x 的图象分别交于111,,A B C ，则点1C 在线段11A B 中点M 的________.（横线上填“上方”或者“下方”）14. 给出下列命题：①函数π()sin(2)2f x x =+是偶函数；②函数()tan 2f x x =在ππ(,)44-上单调递增；③直线π8x =是函数π()sin(2)4f x x =+图象的一条对称轴；④将函数π()cos(2)3f x x =-的图象向左平移π3单位，得到函数cos2y x =的图象.其中所有正确的命题的序号是________.15. 已知在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A 关于y 轴的对称点A '的坐标是______.若A 和A '中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组1()2xy x ay a >+⎧⎪⎨>+⎪⎩，则实数a 的取值范围是____. 16. 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数sin()y A x ωϕ=+，[)0,x ∈+∞表示，其中0,0A ω>>.如图，平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，r 为半径作圆，A 为圆周上的一点，以Ox 为始边，OA 为终边的角为α，则点A 的坐标是________，从A 点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t 秒转动到点(,)B x y ，动点B 在y 轴上的投影C 作简谐运动，则点C 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为___________.三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. （本小题满分14分）已知集合{}2560A x x x =--≤，{}121,B x m x m m R =+≤≤-∈.（Ⅰ）求集合RA ；（Ⅱ）若A B A =求实数m 的取值范围；18.（本小题满分18分）已知函数2()sin 2f x x x =-（Ⅰ）若点1,)2P 在角α的终边上，求tan 2α和()f α的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅲ）若π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求函数()f x 的最小值.19.（本小题满分18分）已知函数2()xf x x a=-（x a ≠）. （Ⅰ）若2(1)(1)f f =--，求a 的值；（Ⅱ）若2a =，用函数单调性定义证明()f x 在(2,)+∞上单调递减；（Ⅲ）设()()3g x xf x =-，若函数()g x 在(0,1)上有唯一零点，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分20分）已知函数2()log ()f x x a =+（0a >）.当点(,)M x y 在函数()y g x =图象上运动时，对应的点(3,2)M x y '在函数()y f x =图象上运动，则称函数()y g x =是函数()y f x =的相关函数.（Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x <；（Ⅱ）对任意的(0,1)x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的下方，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x g x =-，(0,1)x ∈.当1a =时，求()F x 的最大值。

北京市首都师范大学附属中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析

【答案】0
【解析】
【分析】
计算得到，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】 ,则 .
.
故答案为： .
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.
13.已知tan（3π+α）＝2,则 _____。
【答案】2
【解析】
【分析】
计算 ,化简得到原式，计算得到答案。
【详解】。
原式 .
中，根据余弦定理求得，
∴ ．
(Ⅱ)由已知可得 ,
∴ ．
中，由正弦定理可得 ,
∴ 分钟．
即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛．
【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用,意在考查学生的建模能力,实际应用能力和计算能力.
20。f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1)以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（αx1+（1﹣α)x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2),则称f（x）为定义在D上的C函数。
根据和之间能否推出的关系，得到答案。
【详解】由可得，
由，得到或 , ，不能得到 ,
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件,
故选A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.
2。已知向量 , 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量 , 的夹角为（）
A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°
3。设为第三象限角，，则（）
A. B. C。 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由同角关系求得，再由正弦的二倍角公式变形后求值．
【详解】∵设为第三象限角， ,∴ ，
∴ ．
故选:D．

北京市朝阳区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析

北京市朝阳区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.10y -+= 倾斜角的大小是（） A. 6π B. 3πC. 23πD. 56π 【答案】B【解析】【分析】把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.10y -+=化成斜截式为1y =+，因为tan k α=，所以3πα=.故选B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.2.在ABC △中，a =，4b =，π3A =，则B = （） A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理sin sin a bA B =求解. 【详解】由正弦定理可得sin sin a bA B = ，4sin 1sin 2b A B a ∴=== 又434,a b A B =>=∴>6B π∴=.故选A.【点睛】本题考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法.注意增根的排除，大边对大角是常用排除方法.3.已知直线1:1l y kx =+，2:(2)l y k x =-，若12l l ⊥，则实数k 的值是（）A. 0B. 1C. 1-D. 0或1-【答案】B【解析】【分析】根据直线垂直斜率之积为1求解.【详解】因为12l l ⊥，所以(2)1k k -=-，解得1k =.故选B.【点睛】本题考查直线垂直的斜率关系，注意斜率不存在的情况.4.在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是棱1,AA AB 的中点，则异面直线EF 和1C D 所成角的大小是（） A. π6 B. π4 C. π3 D. π2【答案】D【解析】【分析】平移EF 到1A B ，平移1C D 到1AB ，则1A B 与1AB 所求的角即为所求的角.【详解】如图所示，∵,E F 分别是棱1,AA AB 的中点∴EF ∥1A B又∵1C D ∥1AB ，11AB A B ⊥∴1EF C D ⊥∴EF 和1C D 所成的角为π2. 故选D.【点睛】本题考查异面直线所成的角，常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.5.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若,l l m α⊥，则m α⊥B. 若,l l αβ，则αβ∥C. 若,l ααβ⊥⊥，则l β∥D. 若,l l αβ⊥⊥，则αβ∥ 【答案】D【解析】【分析】分析条件的特殊情况，结合定理举例推翻错误选项即可.【详解】当直线,l m 是相交且垂直，确定的平面与α平行时，m α，故A 错误；当,αβ相交，直线l 与交线平行时，,l l αβ，故B 错误；当直线l 在面β内，且αβ⊥，直线l 垂直,αβ的交线时，l α⊥，故C 错误；垂直与同一直线的两个平面平行，故D 正确.故选D.【点睛】本题考查空间线面的位置关系，结合定理与举例判断.6.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：厘米）按[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分组，绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[]140,150内的学生中选取的人数应为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】先求[)120130,，[)130140,，[)140150,三组频率，再求各组频数，最后根据分层抽样总体与各层抽样比例相同求解.【详解】各组频率等于各组矩形的面积，所以，身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,的频率分别为0.3，0.2，0.1，身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,的频数分别为30，20，10，分层抽样的比例为183********=++ . 所以，身高在[]140,150内的学生中选取的人数为310310⨯=. 故选A.【点睛】本题考查频率分布直方图与分层抽样，属于基础题.7.如图，设A ，B 两点在河的两岸，某测量者在A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50米，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为（）A. 502 米B. 503米C. 252 米D. 5063米【答案】A【解析】【分析】先根据三角形内角和求ABC ∠，再根据正弦定理sin sin AB AC ACB ABC=∠∠求解. 【详解】在ABC ∆中50,45,105AC m ACB CAB ︒︒=∠=∠=，则30ABC ︒∠=由正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC=∠∠ ，所以250sin 25021sin 2AC ACB AB ABC⨯∠===∠ m. 故选A.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.8.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，F 是棱11A D 上的动点．下列说法正确的是（）A. 对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线 B. 对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线 C. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，二面角F BC A --的大小不变．．D. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变大．．【答案】C【解析】【分析】不论F 是在11A D 任意位置，平面CBF 即平面11A D CB ，再求解.【详解】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 错误；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；平面CBF 即平面11A D CB ，平面11A D CB 与平面ABCD 是确定平面，所以二面角不改变，故C 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误.故选C.【点睛】本题考查空间线面关系，属于综合题.本题的关键在于平面CBF 的确定.9.2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（）A. 14B. 16C. 18D. 20 【答案】C【解析】【分析】分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解.【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2，所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18.故选C.【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.10.已知二次函数22(0)y x x m m =-+≠交x 轴于,A B 两点(,A B 不重合)，交y 轴于C 点. 圆M 过,,A B C 三点.下列说法正确的是（）① 圆心M 在直线1x =上；② m 的取值范围是(0,1)；③ 圆M 半径的最小值为1；④ 存在定点N ，使得圆M 恒过点N .A. ①②③B. ①③④C. ②③D. ①④【答案】D【解析】【分析】根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与x 轴有两个焦点可得m 的取值范围；假设圆方程为222(1)()x y b r -+-=，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和m 的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点.【详解】二次函数22(0)y x x m m =-+≠对称轴为1x =，因为对称轴1x =为线段AB 的中垂线，所以圆心在直线1x =上，故①正确；因为二次函数与x 轴有两点不同交点，所以440m ∆=->，即1m <，故②错误；不妨设A 在B 的左边，则(11,0)A m --，(0,)C m设圆方程为222(1)()x y b r -+-= ，则()()()()222222111001m b r m b r ⎧---+-=⎪⎨⎪-+-=⎩，解得， 12m b +=，()221114r m =-+ 因为1m <，所以()2211114r m =-+>即1r >，故③错误；由上得圆方程为()22211(1)()1124m x y m +-+-=-+，即()22210x x y y m y -+---=，恒过点(0,1)N ，故④正确. 故选D.【点睛】本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11.某学校甲、乙两个班各15名学生参加环保知识竞赛，成绩的茎叶图如下：则这30名学生的最高成绩是_______；由图中数据可得_______班的平均成绩较高．【答案】 (1). 96 (2). 乙【解析】【分析】最高成绩位的“茎”最大的“叶”上的最大数，再分析两个班的成绩主要集中在哪些“茎”上，比较这些“茎”的大小即可得出结果.【详解】由茎叶图可知，30名学生的最高成绩是96分，因为甲班的成绩集中在（60， 80）分，乙班的成绩集中在（70，80）分，故乙班的平均成绩较高。

北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析

北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵，,,∴，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，再由双曲线离心率为2，得到c＝2a，由定义知b a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C方程为：1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y＝±x又∵双曲线离心率为2，∴c＝2a，可得b a因此，双曲线的渐近线方程为y＝±x故选：B．【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4.在中，若，，，则角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：∵b＝3，c，C，∴由正弦定理，可得，可得：sin B，∵c＜b，可得B或，故选：D．点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．5.从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．6.已知函数，则（）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数的定义域为R，，即，∴是偶函数，当时，,为增函数，为减函数，∴在上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题．7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积为：，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8.设函数，则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】有且只有一个零点的充要条件为,或，从而作出判断. 【详解】f（x ）＝，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，∴在，上单调递增，在上单调递减，且,,若有且只有一个零点，则,或∴“”是“有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9.已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，圆的方程为：,，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，圆的方程为：,∴，∴，，∴∴时，的最大值是8，故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.笛卡尔、牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A. ②③B. ①④C. ③D. ③④【答案】C【解析】【分析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称；以﹣x代x，﹣y代y，得到，方程改变，不关于对称；当时，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令,易得，即适合题意，同理可得适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11.的展开式中的常数项为______.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式展开式通项公式，再令，求出代入运算即可得解.【详解】解：由二项式展开式通项公式为，令，解得，即展开式中的常数项为，故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n）2，当n＝4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】或【解析】【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；故答案为：或【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15.已知函数的定义域为，且，当时，．若存在，使得，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由f（x +）＝2f（x），得f（x）＝2f（x ﹣），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：∵，∴，∵当时，．∴当时，．当时，．当时，．作出函数的图象：令，解得：或，若存在，使得，则，故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式：，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度），为室内外温度差．值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号每层玻璃厚度（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）A型B型C型D型则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的值，根据值越小，保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A型双层玻璃窗户：，B型双层玻璃窗户：，C型双层玻璃窗户：，D 型双层玻璃窗户：，根据，且值越小，保温效果越好．故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题共6小题，共86分。

北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高一年级数学试卷(解析版)

北京市朝阳区2019-2020学年高一（上）期末数学试卷选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1 3．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则4．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π5．已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝6．已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2 8．已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4} 9．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c10．已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的．（横线上填“上方”或者“下方”）14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a的取值范围是．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是，从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B （x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值2019-2020学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【分析】先分别求出集合A，B，再由并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为：∃x＜﹣1，x2≤1，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．3．（5分）下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则【分析】利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可．【解答】解：对于A，若a＞b＞0，则ac2＞bc2，c＝0时，A不成立；对于B，若a＞b，则a2＞b2，反例a＝0，b＝﹣2，所以B不成立；对于C，若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2，反例a＝﹣4，b＝﹣1，所以C不成立；对于D，若a＜b＜0，则，成立；故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用二倍角的余弦公式求得y＝cos2x，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T ＝，可得结论．【解答】解：∵函数y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴函数的周期为T＝＝π，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦公式，利用了y＝A sin （ωx+φ）的周期等于T＝，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝【分析】结合基本初等函数的性质分别求解选项中函数的值域即可判断．【解答】解：∵x＞0，根据幂函数的性质可知，y＝＞0，不符合题意，∵﹣1≤sin x≤1，∴2+sin x＞0恒成立，故选项B不符合题意，C：∵x2﹣x+1＝，而f（x）＝ln（x2﹣x+1），故值域中不恒为正数，符合题意，D：当x＞0时，f（x）＝2x﹣1＞0恒成立，不符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了基本初等函数的值域的求解，属于基础试题．6．（5分）已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简命题，再讨论充要性．【解答】解：由a，b，c∈R，知：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，∴“a＝b＝c”⇒“a2+b2+c2＝ab+ac+bc”，“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”⇒“a，b，c不全相等”．“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：根据题意得：lgE1＝4.8+1.5×9 ①，lgE2＝4.8+1.5×7 ②，①﹣②得lgE1﹣lgE2＝3，lg（）＝3，所以，即E1＝1000E2，故选：C．【点评】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．8．（5分）已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4}【分析】作出函数f（x）与函数g（x）的图象，数形结合即可判断出a的取值范围【解答】解：在同一坐标系中作出函数f（x）与g（x）的示意图如图：因为f（x）＝x+﹣a≥2﹣a＝4﹣a（x＞0），当且仅当x＝2时取等号，而g（x）的对称轴为x＝2，最大值为7，根据条件可知0＜4﹣a＜7，解得﹣3＜a＜4，故选：D．【点评】本题考查函数图象交点问题，涉及对勾函数图象在第一象限的画法，二次函数最值等知识点，属于中档题．9．（5分）已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c 的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】因为三个实数a，b，c都大于1，所以lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，原等式可化为lgalg+lgblg＝0，分别分析选项的a，b，c的大小关系即可判断出结果．【解答】解：∵三个实数a，b，c都大于1，∴lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，∵（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，∴（lga）2﹣lgalgb+lgblgc﹣lgalgb＝0，∴lga（lga﹣lgb）+lgb（lgc﹣lga）＝0，∴lgalg+lgblg＝0，对于A选项：若a＝b＝c，则lg＝0，lg＝0，满足题意；对于B选项：若a＞b＞c，则，0＜＜1，∴lg＞0，lg＜0，满足题意；对于C选项：若b＞c＞a，则0＜＜1，＞1，∴lg＜0，lg＞0，满足题意；对于D选项：若b＞a＞c，则0＜＜1，0＜＜1，∴lg＜0，lg＜0，∴lgalg+lgblg ＜0，不满足题意；故选：D．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是中档题．10．（5分）已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22【分析】要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，结合题意，则需前8项最小，第9项最大，则第10项为第9项加1，由此建立不等式，求出第9项的最大值，进而得解．【解答】解：依题意，要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，则x i＝i（i＝1，2，3，4，5，6，7，8），且x10＝x9+1，故，即，又2×292+2×29﹣1815＝﹣75＜0，2×302+2×30﹣1815＝45＞0，故x9的最大值为29，∴x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为29﹣（1+2+3+4）＝19．故选：A．【点评】本题考查代数式最大值的求法，考查逻辑推理能力及创新意识，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝﹣．【分析】所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】解：sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是[﹣2，2]．【分析】根据集合A的意义，利用△≤0求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则不等式x2﹣ax+2＜0无解，所以△＝（﹣a）2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的上方．（横线上填“上方”或者“下方”）【分析】求出点C1，M的纵坐标，作差后利用基本不等式即可比较大小，进而得出结论．【解答】解：依题意，A1（x1，log2x1），B1（x2，log2x2），则，则＝，故点C1在线段A1B1中点M的上方．故答案为：上方．【点评】本题考查对数运算及基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是①②③．【分析】利用三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等性质直接求解．【解答】解：在①中，函数＝cos2x是偶函数，故①正确；在②中，∵y＝tan x在（﹣，）上单调递增，∴函数f（x）＝tan2x在上单调递增，故②正确；在③中，函数图象的对称轴方程为：2x+＝kπ+，k∈Z，即x＝，k＝0时，x＝，∴直线x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确；在④中，将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos（2x+）的图象，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a 的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．【分析】先求出对称点的坐标，再求出第二问的对立面，即可求解．【解答】解：因为点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）；A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，其对立面是A和A'中两个点的横纵坐标都满足不等式组，可得：且⇒a＜0且﹣1＜a＜2⇒﹣1＜a＜0故满足条件的a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．故答案为：（﹣1，1），{a|a≥0或a≤﹣1}．【点评】本题主要考查对称点的求法以及二元一次不等式组和平面区域之间的关系，属于基础题．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是A（r cosα，r sinα），从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t 秒转动到点B（x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．【分析】由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），根据题意∠BOx＝ωt+α，进而可得点C的纵坐标y与时间t的函数关系式．【解答】解：由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），若从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），则∠BOx＝ωt+α，点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．故答案为：A（r cosα，r sinα），y＝r sin（ωt+α）．【点评】本题考查任意角三角函数的定义，三角函数解析式，属于中档题．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；【分析】（Ⅰ）容易求出A＝{x|﹣1≤x≤6}，然后进行补集的运算即可；（Ⅱ）根据A∪B＝A可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，解出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|﹣1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x＜﹣1或x＞6}，（Ⅱ）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；②B≠∅时，，解得，∴实数m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集、补集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的定义的应用和函数的关系式的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅲ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域和最小值．【解答】解：（Ⅰ）若点在角α的终边上，所以，，故，所以tan2α＝＝＝．f（α）＝＝2．（Ⅱ）由于函数f（x）＝sin2x﹣2＝．所以函数的最小正周期为．（Ⅲ）由于，所以，所以当x＝时，函数的最小值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由已知，建立关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）将a＝2代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可；（Ⅲ）问题转化为h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决．【解答】解：（Ⅰ）由2f（1）＝﹣f（﹣1）得，，解得a＝﹣3；（Ⅱ）当a＝2时，，设x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则，∵x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，（x1﹣2）（x2﹣2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ），若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，即h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点（x＝a不是函数h（x）的零点），且二次函数h（x）＝2x2﹣3x+3a的对称轴为，若函数h（x）在（0，1）上有唯一零点，依题意，①当h（0）h（1）＜0时，3a（3a﹣1）＜0，解得；②当△＝0时，9﹣24a＝0，解得，则方程h（x）＝0的根为，符合题意；③当h（1）＝0时，解得，则此时h（x）＝2x2﹣3x+1的两个零点为，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．【点评】本题考查函数单调性的证明及二次函数的零点分布问题，考查推理论证及运算求解能力，属于中档题．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值【分析】（Ⅰ）利用对数函数的性质可得，解出即可；（Ⅱ）根据题意，求得，依题意，在（0，1）上恒成立，由此得解；（Ⅲ）结合（Ⅱ）可知，，则只需求出的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，则，解得﹣a＜x＜2﹣a，∴所求不等式的解集为（﹣a，2﹣a）；（Ⅱ）由题意，2y＝log2（3x+a），即f（x）的相关函数为，∵对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，∴当x∈（0，1）时，恒成立，由x+a＞0，3x+a＞0，a＞0得，∴在此条件下，即x∈（0，1）时，恒成立，即（x+a）2＜3x+a，即x2+（2a﹣3）x+a2﹣a＜0在（0，1）上恒成立，∴，解得0＜a≤1，故实数a的取值范围为（0，1]．（Ⅲ）当a＝1时，由（Ⅱ）知在区间（0，1）上，f（x）＜g（x），∴，令，则，令μ＝3x+1（1＜μ＜4），则，∴，当且仅当“”时取等号，∴|F（x）|的最大值为．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查换元思想的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．。

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北京市朝阳区201X-201X 学年度高一年级第一学期期末统一考试数学学科试卷 201X.1（考试时间100分钟卷面总分120分）第一部分（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}|2B x x =≥，则u A C B ⋂（A ） {}1 （B ） {}0,1 （C ） {}1,2 （D ） {}0,1,2（2）函数2()lg(1)f x x =++的定义域为（A ）()1,1- （B ）()1,-+∞ （C ）()1,+∞ （D ）(),1-∞（3）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是偶函数的为（A ）1y x =+ （B ）3y x =- （C ）1y x=（D ）y x x =（4）偶函数()f x的图象如右图所示，则(1),(f f f - 的大小关系是（A）(1)(f f f -<< （B）((1)f f f <<- （C）((1)f f f <<- （D）(1)(f f f -<< （5）函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（A ）()1,2 （B ）()2,3 （C ）1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）(),e +∞（6）从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在[)[)[]120,130,130,140,140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从身高在[)120,130内的学生中选取的人数应为（A ）8 （B ）12 （C ）10 （D ）30（7）已知,a b ∈R ，下列命题正确的是（A ）若a b >，则a b > （B ）若a b >，则11a b< （C ）若a b >，则22a b >（D ）若a b >，则22a b >Ox（8）()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()2xf x =，则当0x <时，()f x =（A ）12x⎛⎫- ⎪⎝⎭（B ）12x⎛⎫ ⎪⎝⎭（C ）2x - （D ）2x（9）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化的情况：一种是即时曲线()y f x = ，另一种平均价格曲线()y g x =，如(2)3f =表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；(2)3g =表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示()y f x =，虚线表示()y g x =，其中可能正确的是（A ）（B ）（C ）（D ）（10）函数()f x 满足对定义域内的任意x ，都有(2)()2(1)f x f x f x ++<+，则函数()f x可以是（A ）()21f x x =+ （B ）2()2f x x x =- （C ）()x f x e = （D ）()ln f x x =第二部分（非选择题共70分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（11）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为 .（12）已知幂函数()y f x =图象过点()2,8，则(3)f = . （13）执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 .（14）当1x >-时，函数11y x x =++的最小值为 . （15）如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与边DC 交于点E ，F 是BE 上任意一点（包括端点），在矩形ABCD 内随机取一点M ，则点M 落在AFD △内部的概率的取值范围是 .（16）对于集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅()2,n N n *∈≥，如果1212n n a a a a a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+，则称集合A 具有性质P .给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭具有性质P ；②若12,a a ∈R ，且{}12,a a 具有性质P ，则124a a >； ③若12,N a a *∈，则{}12,a a 不可能具有性质P ；④当3n =时，若(1,2,3)i a N i *∈=，则具有性质P 的集合A 有且只有一个.其中正确的结论是 .B三、解答题：本大题共4小题，共40分. （17）（本小题满分9分）已知集合{}{}2|310,|1210A x x x B x m x m =--=-<<+≤. （Ⅰ）当3m =时，求A B ⋂；（Ⅱ）若B A ⊆,求实数m 的取值范围.（18）（本小题满分9分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙两组数据的平均数都为10. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）分别求出甲、乙两组数据的方差2S 甲和2S 乙，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．注：x 为数据12,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数，方差()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦（19）（本小题满分10分）已知函数2()2f x ax bx a =+-+.（Ⅰ）若关于x 的不等式()0f x >的解集是()1,3-，求实数,a b 的值；（Ⅱ）若,02b a => 解关于x 的不等式()0f x >.（20）（本小题满分12分）对于函数(),(),()f x g x x ϕ 如果存在实数,a b 使得()()()x a f x b g x ϕ=⋅+⋅，那么称()x ϕ为(),()f x g x 的线性组合函数.如对于()1f x x =+，2()2g x x x =+，2()2x x ϕ=-，存在2,1a b ==-，使得()2()()x f x g x ϕ=-，此时()x ϕ就是(),()f x g x 的线性组合函数.（Ⅰ）设222()1,(),()23f x x g x x x x x x ϕ=+=-=-+，试判断()x ϕ是否为(),()f x g x的线性组合函数？并说明理由；（Ⅱ）设212()log ,()log ,2,1f x x g x x a b ====，线性组合函数为()x ϕ，若不等式23()2()0x x m ϕϕ-+<在x ⎤∈⎦上有解，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设()91(),()1x f x x g x x==≤≤，取,01a b =>，线性组合函数()x ϕ使()x b ϕ≥恒成立，求b 的取值范围．（可利用函数ky x x=+（常数0k >）在上是减函数，在)+∞是增函数）。

19-20年度朝阳高一期末数学答案

北京市朝阳区2019-2020学年度第一学期期末质量检测高一年级数学答案 2020.1二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分70分） 17． (本小题满分14分) 解：（Ⅰ）{16}A x x =-≤≤，A R ð{16}x x x =<->或 . ……………………4分（Ⅱ）因为A B A =U ，所以B A ⊆. 当=B ∅时，+1>21m m -则<2m ；当B ≠∅时，由题意得211,216,11,m m m m -≥+⎧⎪-≤⎨⎪+≥-⎩解得722m ≤≤. 综上，实数m 的取值范围是7(,2⎤-∞⎥⎦. ……………………14分18．(本小题满分18分) 解：（Ⅰ）因为点)2P -1在角α的终边上，所以1sin 2α=-，cos α=，tan α=.则22(2tan 3tan 211tan 13ααα⨯-===--2()sin 2f ααα=-+19．(本小题满分18分)解：（Ⅰ）由2(1)(1)f f =--可得4211a a=---，得3a =-. ………3分（Ⅱ）()12,2,x x ∀∈+∞，且12x x <，则1221121212224()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x --=-=----，因为12(2)(2)0x x -->，210x x ->，所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以()f x 在(2,)+∞内单调递减.……………………10分（Ⅲ）22233()3x x x ag x x x a x a-+=⋅-=-- 若()g x 在()0,1有唯一零点，即2()233h x x x a =-+在()0,1上有唯一零点 (x a =不是函数()h x 的零点) ，因为2()233h x x x a =-+的对称轴方程为34x =，若()h x 在()0,1上有唯一零点，由题意：（1）当(0)(1)0h h ⋅<时，3(31)0a a -<，解得103a <<；（2）当=0∆时，924=0a -，解得3=8a ，则方程()0h x =的根为34x =，符合题意；（3）当(1)0h =时，解得1=3a ；则2()231h x x x =-+.()0h x =的两个根为1=1x ，21=2x ，符合题意. 所以a 的取值范围是13038a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或 ……………………18分 20． (本小题满分20分) 解：（Ⅰ）依题20,log ()1,x a x a +>⎧⎨+<⎩则0,2,x a x a +>⎧⎨+<⎩所以2.a x a -<<-所以原不等式的解集为{}2x a x a-<<- ……………………5分（Ⅱ）由题意22log (3)y x a =+，所以21log (3)2y x a =+. 所以()f x 的相关函数为21()log (3)2g x x a =+. 依题意，对任意的(0,1)x ∈， ()f x 的图象总在其相关函数图象的下方，即当(0,1)x ∈，221()()log ()log (3)02f xg x x a x a =++<--成立.由0,30x a x a +>+>，0a >得3a x >-. 在此条件下，即(0,1)x ∈时，222log ()log (3)x a x a +<+成立，即2()3x a x a +<+，即22(23)0x a x a a +-+-<.设22()(23)h x x a x a a =+-+-，要使(0,1)x ∈时，()0h x <成立，只需(0)0,(1)0h h ≤⎧⎨≤⎩成立，解得01a ≤≤，即a 的取值范围是(]0,1.……………………13分（Ⅲ）当=1a 时，易知在区间(0,1)上，()()f x g x <.即22131()()()log 2(1)x F x g x f x x +=-=+，设t =()2310(1)x t x +>+，则21(1)31x t x +=+. 令31=x u +(14)u <<,则13u x -=. 所以22()1143(4)9u u t u u +==++ 因为44u u +≥（当且仅当2u =时等号成立），可得189t ≥，当13x =时等号成立，满足(0,1)x ∈，则t 的最大值为98.所以()F x 的最大值是22193log =log 3282-.……………………20分。

2019北京朝阳高一(上)期末数学试卷

πx
14. 设函数 f(x)=sin 3 ,则 f(1)+ f(2)+ f(3)+···+ f(100)=
15. 设集合 M={1,3,6,9,12,15},集合 N 满足：①有两个元素；②若 x∈N,则 x+3∈M 且 x-3∈M。请写出两个满足条件的集合 N=
{1
16. 已知函数 f(x)= 3|x|、x ≥ a a ∈ R 2x ‒ x2,x < ��
（I）当 a=1 时，分别求 A∩B 与 A∪B
（II）若 A ⊆ B,求实数 a 的取值范围；
（III）若（∁B��）∩B=B，求实数 a 的最大值. 18. （本小题满分 18 分）
已知函数 f（x）=cos²x+sinxcosx
π
（I）求 f（0），f（4）的值；（II）求 f（x）的最小正周期及对称轴方程；
x y=2x
x y=2x
x y=2x A. 524288
1
2
3
4
5
6
7
8
2
4
8
16
32
64
128
256
11
12
13
14
15
16
17
18
2048
4096
8192 16384 32768 65536 131072 262144
21
22
23
24
2097152
4194304
8388608
16777216
B. 8388608
1
（II）判断函数 g（x）=-4log2x 是否存在等域区间？若存在，写出该函数的一个等域区间；若不存在，请说明理由。

北大附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案

北大附中2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知变量a b 、已被赋值，要交换a b 、的值，采用的算法是（）A ．a b =，b a =B ．a c =，b a =，c b =C ．a c =，b a = ，c a =D ．c a =，a b =，b c =2.从某年纪1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A ．1000名学生是总体B ．每个被抽查的学生是个体C ．抽查的125名学生的体重是一个样本D ．抽取的125名学生的体重是样本容量3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（）A ．-1B ．0C ．1D ． 34.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是（）A.抽签法B.有放回抽样C.随机抽样D.系统抽样5.下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是（）A.某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3: 2 :8 :2,从中抽取200人入样B 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样6.某学院A B C 、、三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为（）A ．30B ．40 C. 50 D ．607.当5x =，20y =-时，下边程序运行后输出的结果为（）A ．22，-22B ．22,22 C. 12，-12 D ．-12,128.现要完成下列3项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈;③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。

北京市朝阳区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含答案

（考试时间 100 分钟满分 120 分）一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）下列各组中的两个集合 A 和 B ，表示同一集合的是（A ） A，，{1,3, π} B {π, 1, | 3 |} ，（D ） A b c R ，（2）若a ，则下列不等式中成立的是a（A ） ac （B ）（C ）（D ）ac 2 ≥ b c 2b(x)x x 2x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：（3）函数 f 3 2 的一个近似根（精确度0.1）为那么方程 x（A ）1.23 2（4）某程序框图如图所示，若输出的S，则判断框内为4？（B ）（D ）6?k 7?5 1y x，② y o l g ( 1)x ，③ y |x 2x | 2 ，④ ( )，其中在区间 2 y x 6（D ）①③0.3 b 2 ，0.3 ，0.2，则a ，，c 三者的大小关系是bc ab c（B ）ba c（D ）c b a（A ）b （C ） a（0a 1）的图象的大致形状是（7）函数 y10（8）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数x x 和方差进行比较，，甲乙下面结论正确的是（A ） x ＞ x ，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定甲乙（B ） x ＜ x ，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定甲甲甲乙乙乙＜＞，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定（9）右图是王老师锻炼时所走的离家距离（）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老Sf (x)0 （10）已知函数 fx，若对任意，总有成立，则实数a 的取值范围是（A ）(, 4) （C ）(4, 0)（B ）[4, 0) （D ）(4, )（11）已知函数 f2 则的值是________．x.若要从身高在[120, 130) [130, 140) [140,150] 三组内的学，， 18生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，.3，则函数 y ．2（14）如图，一不规则区域内，有一边长为1 米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依平方米.（用分数作答）x 2a的图象关于 y 轴对称，则．(x )（16）关于函数 f 有以下四个命题：；(x)②函数 f ③若T 为一个非零有理数，则 f 对任意④在 f．x x m 的定义域为集合 B . ( ) l g ( 2 )已知函数 f 的定义域为集合 A ，函数 g x2R（Ⅱ）若 m（18）（本题满分 9 分）空气质量指数 PM2.5(单位：μg/m 3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，表示空气污染越严重： PM2.5 日均浓度空气质量级别空气质量类别0～35 一级优35～75 二级良75～115 >250 三级六级轻度污染中度污染重度污染严重污染（19）（本题满分 10 分）x (x ) x 02x . 已知定义域为R 的单调减函数 f 是奇函数，当时， 3（Ⅰ）求 f （Ⅱ）求 f的值；的解析式；（Ⅲ）若对任意的 R ，不等式t22上的函数 f，如果对任意x(0, )，都有k≥ 2, N * ）成立，则称 fx ，求 f 的值；(2 3)(x) (x)（Ⅰ）若函数 f 为二阶伸缩函数，且当 y f (x) 2xx x ，求证：函数2（Ⅱ）若函数 f 在 f (x) 在(0,，求]（Ⅲ）若函数 fkn 1（ nN *）上的取值范围．高一数学试卷参考答案第一部分（选择题共 50分）一、选择题：本大题共 10小题,每小题 5分，共 50分.题号 1 答案D2 D3 C4 A5 B6 A7 D8 B9 10 CC二、填空题：本大题共 6小题,每小题 5分，共 30分.题号 111213141516 ①②③④925 1 2 答案0.030 32 9 2注：（12）题第一空 3分，第二空 2分.三、解答题：本大题共 4小题，共 40分.4x 5 x 2 A x| 1 x 5（17）解:（Ⅰ）由 f (x) 的定义域得 ≤ . x 1 当则 m 3时， B x|1 x 3 ， ð B x| x 1, x 3} ≤ 或 ≥ . Rð B x |3 x 5 所以 A ≤ ≤ .……………………………… 6分R {x| 1 x 5} ≤| 1 4 （Ⅱ）因为 A ， A B x x ， 42 4 m 0 . 所以有 2 解得 m 8.B x | 2 x 4 此时，符合题意.所以m 8.……………………………… 9分（18）解:（Ⅰ）由条形监测图可知，空气质量级别为良的天数为16天，16 8所以此次监测结果中空气质量为良的概率为 = ； ………3分30 15（Ⅱ）样本中空气质量级别为三级的有 4天，设其编号为a ，，c ，d ；b 样本中空气质量级别为四级的有 2天，设其编号为e ，，f则基本事件有：(a , b) (a , c ) (a , d) (a , e ) (a , f ) (b , c) (b , d) (b , e ) (b , f ) (c, d) (c , e ) ，，，，，，，，，，， (c , f ) (d, e ) (d, f ) (e , f ) ，，，共 15 个.其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有：(a , e ) (b , e ) (c , e ) (d, e ) (a , f ) (b , f ) (c , f ) (d, f ) (e, f ) ，，，，，，，，共 9 个.所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为9 3. ……………9 分15 5(x ) （19）解:（Ⅰ）因为定义域为R 的函数 f 所以 f(0)0. 是奇函数，……………………………………2 分0 x 0 ，（Ⅱ）因为当 x 时， x (x )2x .所以 f 3 (x) f (x ) f (x).又因为函数 f 是奇函数，所以 xf (x) 2 所以 . x 3x 2 , x 0, x3 (x)0, x 0, 综上， f ……………………………………6 分x2 , 0. x x 3(t2t) f (2t k) 0 f t (2 ) (2 )（Ⅲ）由 f 得 f t t2 k . 2 2 2 (x ) f (t 2t) f (k 2t )f (x) R t 2t k 2t 在上是减函数，所以 2 2 .因为 f 是奇函数，所以 2 .又 2 3t2t k 0 对任意恒成立.t R 即 2 1 3t 2t k 0 412k 0 0 .由【方法一】令【方法二】即k2 ，则，解得 .k 3 3t 2tR对任意恒成立.g(t)3t 2t 2t 令 2，tR2 1 1 1 1 (t) 3t 2t 3(t t) 3(t ) 则 gk 2 2 2 3 3 3 3 3 1 (, ) 故实数的取值范围为 k． ……………………………………10 分 3 （20）解:（Ⅰ）由题设，当 x (1, 2]( ) 1 l og 时， f x x ，131 1(3)=1+log 3 1 所以 f . 2 21 3(x) 因为函数 f 为二阶伸缩函数，所以对任意 x(0, )，都有 f .(2x) 2 f (x) 所以 f(2 3) 2 f ( 3) 1.……………………………4 分x (3, 3 ] m N (1, 3]．（Ⅱ）当 x m 1 （）时，m 3m f (3x) 3 f (x).(x) 由 f 为三阶伸缩函数，有 (1, 3] 时， f x x x . ( ) 32注意到 x x x x x x (x ) 3f ( ) 3 f ( ) 3 f ( ) 3 3( )( ) 3 x x 所以 f 2 ． 2 m m 2 m 1 3 3 23 m3 m3m(x) 2x 0 x 0 x 3或 (3 , 3 ] 内. ……7 分令 f ，解得 m ，它们均不在上无零点．……………………………8 分m m 1 f (x)2x (1,) 在所以函数 y f(kx ) k f (x)(x) （Ⅲ）由题设，若函数 f 且当 x(1, k]为k 阶伸缩函数，有，的取值范围是[0,1). (x) 时， f x (k , k ] (x) k f ( ) 所以当 x 1 时， f ．n n n k n x x因为(1, k]，所以 f ( )[0,1)．k nk n(k , k ] f (x)[0,k ) .所以当 x n 1 时， n n 当x (0, 1]时，即0 x 1，1k (k 2,k N ) 0 1 x 则使， k1 kx k k(1, ]kx，即， f (kx )[0,1)． 1f (x ) f (kx ) 又， k1 1 1 f (x )[0, ) k f (x) f (kx)[0, ) ，即．k kk 2因为 ≥ ，N*）上的取值范围是[0, k ) n 所以 f (x) 在 (0, k ]（nn 1．……………12 分1 1(3)=1+log 3 1 所以 f . 2 21 3(x) 因为函数 f 为二阶伸缩函数，所以对任意 x(0, )，都有 f .(2x) 2 f (x) 所以 f(2 3) 2 f ( 3) 1.……………………………4 分x (3, 3 ] m N (1, 3]．（Ⅱ）当 x m 1 （）时，m 3m f (3x) 3 f (x).(x) 由 f 为三阶伸缩函数，有 (1, 3] 时， f x x x . ( ) 32注意到 x x x x x x (x ) 3f ( ) 3 f ( ) 3 f ( ) 3 3( )( ) 3 x x 所以 f 2 ． 2 m m 2 m 1 3 3 23 m3 m3m(x) 2x 0 x 0 x 3或 (3 , 3 ] 内. ……7 分令 f ，解得 m ，它们均不在上无零点．……………………………8 分m m 1 f (x)2x (1,) 在所以函数 y f(kx ) k f (x)(x) （Ⅲ）由题设，若函数 f 且当 x(1, k]为k 阶伸缩函数，有，的取值范围是[0,1). (x) 时， f x (k , k ] (x) k f ( ) 所以当 x 1 时， f ．n n n k n x x因为(1, k]，所以 f ( )[0,1)．k nk n(k , k ] f (x)[0,k ) .所以当 x n 1 时， n n 当x (0, 1]时，即0 x 1，1k (k 2,k N ) 0 1 x 则使， k1 kx k k(1, ]kx，即， f (kx )[0,1)． 1f (x ) f (kx ) 又， k1 1 1 f (x )[0, ) k f (x) f (kx)[0, ) ，即．k kk 2因为 ≥ ，N*）上的取值范围是[0, k ) n 所以 f (x) 在 (0, k ]（nn 1．……………12 分。

2019-2020学年人教A版北京市朝阳区高三上学期期末数学试卷(解析版)

2019-2020学年第一学期高三（上）期末数学试卷一、选择题1．在复平面内，复数i（2+i）对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）2．已知a＝3﹣2，b＝log0.52，c＝log23，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b3．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则其渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x4．在△ABC中，若b＝3，c＝，C＝，则角B的大小为（）A．B．C．D．或5．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A．20 B．40 C．60 D．1206．已知函数f（x）＝e|x|﹣e﹣|x|，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减7．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．48．设函数f（x）＝x3﹣3x+a（a∈R），则“a＞2”是“f（x）有且只有一个零点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则的最大值是（）A．B．C．4 D．810．笛卡尔、牛顿都研究过方程（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A．②③B．①④C．③D．③④二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（2x+）4的展开式中的常数项为．12．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝；数列{a n}的前n项和的最小值为．13．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差DX＝2.1，P（X＝3）＜P（X＝7），则p＝．15．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+π）＝2f（x），当x∈[0，π）时，f（x）＝sin x．若存在x0∈（﹣∞，m]，使得f（x0）≥4，则m的取值范围为．16．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式：q＝λ1，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10﹣3焦耳/（厘米•度），不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10﹣4焦耳/（厘米•度），△T为室内外温度差．q值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是型．三、解答题共6小题，共86分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知函数f（x）＝x+m（m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）对于任意都有f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．18．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分组，绘成频率分布直方图如图：（Ⅰ）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0，20]和（20，40]内的人数；（Ⅱ）从所抽取的20人中得分落在组[0，40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝3，PF＝2FA，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求异面直线AB与DF所成角的余弦值；（Ⅲ）判断直线EF与平面PBC的位置关系，请说明理由．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点，且椭圆C的一个顶点D的坐标为（﹣2，0）．过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B 不同于点D），直线DA与直线m：x＝4交于点M．连接MF，过点F作MF的垂线与直线m 交于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点F的坐标；（Ⅱ）求证：D，B，N三点共线．21．已知函数f（x）＝（sin x+a）lnx，a∈R．（Ⅰ）若a＝0，（ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；（ⅱ）求函数f（x）在区间（1，π）内的极大值的个数．（Ⅱ）若f（x）在内单调递减，求实数a的取值范围．22．设m为正整数，各项均为正整数的数列{a n}定义如下：a1＝1，a n+1＝（Ⅰ）若m＝5，写出a8，a9，a10；（Ⅱ）求证：数列{a n}单调递增的充要条件是m为偶数；（Ⅲ）若m为奇数，是否存在n＞1满足a n＝1？请说明理由．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数i（2+i）对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C．2．已知a＝3﹣2，b＝log0.52，c＝log23，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b解：∵0＜3﹣2＜1，log0.52＜log0.51＝0，log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：D．3．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则其渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得e＝＝2，即有c＝2a，由c2＝a2+b2，可得b2＝3a2，即b＝a，则渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x．故选：B．4．在△ABC中，若b＝3，c＝，C＝，则角B的大小为（）A．B．C．D．或解：∵b＝3，c＝，C＝，由正弦定理可得，，∴sin B＝＝＝，∵b＞c，B＞C，∴B＝或，故选：D．5．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A．20 B．40 C．60 D．120解：由题可知分两种情况：①1名教师，3名学生，×＝30；②2名教师，2名学生，×＝30；故共有：30+30＝60．故选：C．6．已知函数f（x）＝e|x|﹣e﹣|x|，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减解：∵f（x）＝e|x|﹣e﹣|x|，则f（﹣x）＝f（x），即f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）e x﹣e﹣x单调递增，故选：C．7．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．4解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体的底面面积为的三角形，高为2的三棱锥体．故V＝．故选：A．8．设函数f（x）＝x3﹣3x+a（a∈R），则“a＞2”是“f（x）有且只有一个零点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：根据题意，函数f（x）＝x3﹣3x+a，其导数f′（x）＝3x2﹣3，分析可得：在区间（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，在区间（﹣1，1）上，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，在区间（1，+∞）上，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，则当x＝﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）＝a+2，当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝a﹣2；据此可得：若a＞2，f（x）的极小值f（1）＝a﹣2＞0，f（x）有且只有一个零点，故“a＞2”是“f（x）有且只有一个零点”充分条件，若f（x）有且只有一个零点，必有a+2＜0或a﹣2＞0，即有a＜﹣2或a＞2，故“a＞2”不是“f（x）有且只有一个零点”必要条件，综合可得：故“a＞2”是“f（x）有且只有一个零点”充分不必要条件，故选：A．9．已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则的最大值是（）A．B．C．4 D．8解：以点B为圆心，直线BC，BA分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：B（0，0），A（0，2），D（2，2），圆B的半径为，∴设，∴，，∴＝，∴时，取最大值8．故选：D．10．笛卡尔、牛顿都研究过方程（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A．②③B．①④C．③D．③④解：设P（x，y）为曲线（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy上，则P（x，y）关于y轴对称点Q（﹣x，y）显然不满足方程，故①错误；则P（x，y）关于x轴对称点Q（x，﹣y）显然不满足方程，故②错误；当x＜0时，（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝xy＜0，此时y＞0，故曲线不经过第三象限，③正确，结合已知曲线方程可知，（1，0），（2，0），（3，0），（﹣1，24）在曲线上，④错误故选：C．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（2x+）4的展开式中的常数项为24 ．解：由通项公式得：T r+1＝C（2x）4﹣r（）r＝24﹣r C x4﹣2r，令r＝2，得展开式的常数项为：24﹣2C＝24，故答案为：2412．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝﹣6 ；数列{a n}的前n项和的最小值为﹣20 ．解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1+n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n﹣）2﹣，当n＝4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．13．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p＝，则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，）在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．故答案为：x2＝8y或y2＝x．14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差DX＝2.1，P（X＝3）＜P（X＝7），则p＝0.7 ．解：某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，则X～B（10，p），∵X的方差DX＝2.1，P（X＝3）＜P（X＝7），∴，解得p＝0.7．故答案为：0.7．15．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+π）＝2f（x），当x∈[0，π）时，f（x）＝sin x．若存在x0∈（﹣∞，m]，使得f（x0）≥4，则m的取值范围为．解：函数f（x）＝，作出函数f（x）的图象如图：当3π≤x＜4π时，由f（x0）≥4，得8sin（x0﹣3π）≥4，得sin（x0﹣3π）≥，得≤x0﹣3π≤，得≤x0≤，即若存在x0∈（﹣∞，m]，使得f（x0）≥4，则m的取值范围为m≥，故答案为：[，+∞）16．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式：q＝λ1，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10﹣3焦耳/（厘米•度），不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10﹣4焦耳/（厘米•度），△T为室内外温度差．q值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是B型．解：A型双层玻璃窗户：；B型双层玻璃窗户：；C型双层玻璃窗户：；D型双层窗户：；根据q＝λ1，且q值越小，保温效果越好，故答案为：B．三、解答题共6小题，共86分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知函数f（x）＝x+m（m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）对于任意都有f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．解：（Ⅰ）因为＝＝．所以f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又函数y＝sin x的单调递增区间为（k∈Z）．由，k∈Z，得，k∈Z．所以f（x）的单调递增区间为．（Ⅲ）因为，所以．所以．所以．当，即时，f（x）的最大值为m+3，又因为f（x）＜0对于任意恒成立，所以m+3＜0，即m＜﹣3．所以m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分组，绘成频率分布直方图如图：（Ⅰ）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0，20]和（20，40]内的人数；（Ⅱ）从所抽取的20人中得分落在组[0，40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．解：（Ⅰ）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[0，20]的人数有0.0050×20×20＝2（人），得分落在组（20，40]的人数有0.0075×20×20＝3（人）．∴所抽取的20人中得分落在组[0，20]的人数有2人，得分落在组（20，40]的人数有3人．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2．，，．∴X的分布列为：∴X的期望．（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝3，PF＝2FA，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求异面直线AB与DF所成角的余弦值；（Ⅲ）判断直线EF与平面PBC的位置关系，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：连结AC．因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．又因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．（Ⅱ）解：设AC，BD交于点O．因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥BD．如图，以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），，，P（0，﹣1，3），F（0，﹣1，1）．则，，设异面直线AB与DF所成角为θ，则，，所以AB与DF所成角的余弦值为．（Ⅲ）解：直线EF与平面PBC相交．证明如下：由（Ⅱ）可知，，，，设平面PBC的一个法向量为＝（x，y，z），则，即令，得＝（）．则＝﹣1≠0，所以直线EF与平面PBC相交．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点，且椭圆C的一个顶点D的坐标为（﹣2，0）．过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B 不同于点D），直线DA与直线m：x＝4交于点M．连接MF，过点F作MF的垂线与直线m 交于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点F的坐标；（Ⅱ）求证：D，B，N三点共线．解：（Ⅰ）因为点在椭圆C上，且椭圆C的一个顶点D的坐标为（﹣2，0），所以解得所以椭圆C的方程为．所以椭圆C的右焦点F的坐标为（1，0）．（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝1．显然，，或，．当，时，直线DA的方程为，点M的坐标为（4，3）．所以k MF＝1．直线FN的方程为y＝﹣（x﹣1），点N的坐标为（4，﹣3）．则，．所以，所以D，B，N三点共线．同理，当，时，D，B，N三点共线．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1）．由得（3+4k2）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）＝0．且△＝（﹣8k2）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．直线DA的方程为，点M的坐标为．所以．直线NF的方程为，点N的坐标为．则，．所以＝＝＝＝＝＝＝0．所以与共线，所以D，B，N三点共线．综上所述，D，B，N三点共线．21．已知函数f（x）＝（sin x+a）lnx，a∈R．（Ⅰ）若a＝0，（ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；（ⅱ）求函数f（x）在区间（1，π）内的极大值的个数．（Ⅱ）若f（x）在内单调递减，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）（ⅰ）因为f（x）＝sin xlnx，所以，．又因为，所以曲线y＝f（x）在点处的切线方程为，化简得．………（ⅱ）当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，此时f（x）无极大值．当时，设g（x）＝f'（x），则，所以f'（x）在内单调递减．又因为，f'（π）＝﹣lnπ＜0，所以在内存在唯一的，使得f'（x0）＝0．所以f（x）在（1，x0）内单调递增，在（x0，π）内单调递减，此时f（x）有唯一极大值．综上所述，f（x）在（1，π）内的极大值的个数为1………（Ⅱ）由题可知，其中．当a≤﹣1时，f'（x）＜0，故f（x）在内单调递减；下面设a＞﹣1．对于，lnx＜lnπ＜lne2＝2，且cos x＜0，所以cos xlnx＞2cos x．所以当时，．设h（x）＝sin x+2x cos x+a，，则h'（x）＝cos x+2cos x﹣2x sin x＝3cos x﹣2x sin x＜0．所以h（x）在上单调递减．，h（π）＝﹣2π+a．当﹣2π+a≥0时，即a≥2π时，h（π）≥0，对，h（x）＞0，所以f'（x）＞0，f（x）在内单调递增，不符合题意．当﹣2π+a＜0时，即﹣1＜a＜2π时，，h（π）＜0，所以，使h（x1）＝0，因为h（x）在内单调递减，所以对，h（x）＞0，所以f'（x）＞0．所以f（x）在内单调递增，不符合题意．所以当a＞﹣1时，f（x）在内不单调递减．综上可得a≤﹣1，故a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．22．设m为正整数，各项均为正整数的数列{a n}定义如下：a1＝1，a n+1＝（Ⅰ）若m＝5，写出a8，a9，a10；（Ⅱ）求证：数列{a n}单调递增的充要条件是m为偶数；（Ⅲ）若m为奇数，是否存在n＞1满足a n＝1？请说明理由．解：（Ⅰ）a8＝6，a9＝3，a10＝8．（Ⅱ）先证“充分性”．当m为偶数时，若a n为奇数，则a n+1为奇数．因为a1＝1为奇数，所以归纳可得，对∀n∈N*，a n均为奇数，则a n+1＝a n+m，所以a n+1﹣a n＝m＞0，所以数列{a n}单调递增．再证“必要性”．假设存在k∈N*使得a k为偶数，则，与数列{a n}单调递增矛盾，因此数列{a n}中的所有项都是奇数．此时a n+1＝a n+m，即m＝a n+1﹣a n，所以m为偶数．（Ⅲ）存在n＞1满足a n＝1，理由如下：因为a1＝1，m为奇数，所以a2＝1+m≤2m且a2为偶数，．假设a k为奇数时，a k≤m；a k为偶数时，a k≤2m．当a k为奇数时，a k+1＝a k+m≤2m，且a k+1为偶数；当a k为偶数时，．所以若a k+1为奇数，则a k+1≤m；若a k+1为偶数，则a k+1≤2m．因此对∀n∈N*都有a n≤2m．所以正整数数列{a n}中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项．设集合A＝{（r，s）|a r＝a s，r＜s}，设集合B＝{r∈N*|（r，s）∈A}⊆N*．因为A≠∅，所以B≠∅．令r1是B中的最小元素，下面证r1＝1．设r1＞1且．当时，，，所以；当时，，，所以．所以若r1＞1，则r1﹣1∈B且r1﹣1＜r1，与r1是B中的最小元素矛盾．所以r1＝1，且存在满足，即存在n＞1满足a n＝1．。

2019-2020学年人教A版北京市朝阳区高一第一学期期末数学试卷及答案

2019-2020学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10个小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1 B．∀x≥﹣1，x2＞1 C．∀x＜﹣1，x2＞1 D．∃x≤﹣1，x2≤1 3．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则4．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π5．已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝6．已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E28．已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3} B．{a|a＞﹣3} C．{a|a＝﹣3} D．{a|﹣3＜a＜4}9．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c10．已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19 B．20 C．21 D．22二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．计算sin330°＝．12．若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是．13．已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的．（横线上填“上方”或者“下方”）14．给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是．15．已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a的取值范围是．16．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是，从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值参考答案一、选择题1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 【分析】先分别求出集合A，B，再由并集定义能求出A∪B．解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．2．已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1 B．∀x≥﹣1，x2＞1 C．∀x＜﹣1，x2＞1 D．∃x≤﹣1，x2≤1 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．解：命题是全称命题，则命题的否定为：∃x＜﹣1，x2≤1，故选：A．3．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则【分析】利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可．解：对于A，若a＞b＞0，则ac2＞bc2，c＝0时，A不成立；对于B，若a＞b，则a2＞b2，反例a＝0，b＝﹣2，所以B不成立；对于C，若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2，反例a＝﹣4，b＝﹣1，所以C不成立；对于D，若a＜b＜0，则，成立；故选：D．4．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用二倍角的余弦公式求得y＝cos2x，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T＝，可得结论．解：∵函数y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴函数的周期为T＝＝π，故选：B．5．已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝【分析】结合基本初等函数的性质分别求解选项中函数的值域即可判断．解：∵x＞0，根据幂函数的性质可知，y＝＞0，不符合题意，∵﹣1≤sin x≤1，∴2+sin x＞0恒成立，故选项B不符合题意，C：∵x2﹣x+1＝，而f（x）＝ln（x2﹣x+1），故值域中不恒为正数，符合题意，D：当x＞0时，f（x）＝2x﹣1＞0恒成立，不符合题意，故选：C．6．已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简命题，再讨论充要性．解：由a，b，c∈R，知：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，∴“a＝b＝c”⇒“a2+b2+c2＝ab+ac+bc”，“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”⇒“a，b，c不全相等”．“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的既不充分也不必要条件．故选：D．7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．解：根据题意得：lgE1＝4.8+1.5×9 ①，lgE2＝4.8+1.5×7 ②，①﹣②得lgE1﹣lgE2＝3，lg（）＝3，所以，即E1＝1000E2，故选：C．8．已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3} B．{a|a＞﹣3} C．{a|a＝﹣3} D．{a|﹣3＜a＜4} 【分析】作出函数f（x）与函数g（x）的图象，数形结合即可判断出a的取值范围解：在同一坐标系中作出函数f（x）与g（x）的示意图如图：因为f（x）＝x+﹣a≥2﹣a＝4﹣a（x＞0），当且仅当x＝2时取等号，而g（x）的对称轴为x＝2，最大值为7，根据条件可知0＜4﹣a＜7，解得﹣3＜a＜4，故选：D．9．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】因为三个实数a，b，c都大于1，所以lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，原等式可化为lgalg+lgblg＝0，分别分析选项的a，b，c的大小关系即可判断出结果．解：∵三个实数a，b，c都大于1，∴lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，∵（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，∴（lga）2﹣lgalgb+lgblgc﹣lgalgb＝0，∴lga（lga﹣lgb）+lgb（lgc﹣lga）＝0，∴lgalg+lgblg＝0，对于A选项：若a＝b＝c，则lg＝0，lg＝0，满足题意；对于B选项：若a＞b＞c，则，0＜＜1，∴lg＞0，lg＜0，满足题意；对于C选项：若b＞c＞a，则0＜＜1，＞1，∴lg＜0，lg＞0，满足题意；对于D选项：若b＞a＞c，则0＜＜1，0＜＜1，∴lg＜0，lg＜0，∴lgalg+lgblg ＜0，不满足题意；故选：D．10．已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19 B．20 C．21 D．22【分析】要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，结合题意，则需前8项最小，第9项最大，则第10项为第9项加1，由此建立不等式，求出第9项的最大值，进而得解．解：依题意，要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，则x i＝i（i＝1，2，3，4，5，6，7，8），且x10＝x9+1，故，即，又2×292+2×29﹣1815＝﹣75＜0，2×302+2×30﹣1815＝45＞0，故x9的最大值为29，∴x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为29﹣（1+2+3+4）＝19．故选：A．二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．计算sin330°＝﹣．【分析】所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．解：sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案为：﹣12．若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【分析】根据集合A的意义，利用△≤0求出实数a的取值范围．解：集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则不等式x2﹣ax+2＜0无解，所以△＝（﹣a）2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．13．已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的上方．（横线上填“上方”或者“下方”）【分析】求出点C1，M的纵坐标，作差后利用基本不等式即可比较大小，进而得出结论．解：依题意，A1（x1，log2x1），B1（x2，log2x2），则，则＝，故点C1在线段A1B1中点M的上方．故答案为：上方．14．给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是①②③．【分析】利用三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等性质直接求解．解：在①中，函数＝cos2x是偶函数，故①正确；在②中，∵y＝tan x在（﹣，）上单调递增，∴函数f（x）＝tan2x在上单调递增，故②正确；在③中，函数图象的对称轴方程为：2x+＝kπ+，k∈Z，即x＝，k＝0时，x＝，∴直线x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确；在④中，将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos（2x+）的图象，故④错误．故答案为：①②③．15．已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1} ．【分析】先求出对称点的坐标，再求出第二问的对立面，即可求解．解：因为点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）；A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，其对立面是A和A'中两个点的横纵坐标都满足不等式组，可得：且⇒a＜0且﹣1＜a＜2⇒﹣1＜a＜0故满足条件的a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．故答案为：（﹣1，1），{a|a≥0或a≤﹣1}．16．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是A（r cosα，r sinα），从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y 与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．【分析】由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），根据题意∠BOx＝ωt+α，进而可得点C的纵坐标y与时间t的函数关系式．解：由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），若从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），则∠BOx＝ωt+α，点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．故答案为：A（r cosα，r sinα），y＝r sin（ωt+α）．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；【分析】（Ⅰ）容易求出A＝{x|﹣1≤x≤6}，然后进行补集的运算即可；（Ⅱ）根据A∪B＝A可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝∅时，m+1＞2m﹣1；B ≠∅时，，解出m的范围即可．解：（Ⅰ）A＝{x|﹣1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x＜﹣1或x＞6}，（Ⅱ）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；②B≠∅时，，解得，∴实数m的取值范围为．18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的定义的应用和函数的关系式的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅲ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域和最小值．解：（Ⅰ）若点在角α的终边上，所以，，故，所以tan2α＝＝＝．f（α）＝＝2．（Ⅱ）由于函数f（x）＝sin2x﹣2＝．所以函数的最小正周期为．（Ⅲ）由于，所以，所以当x＝时，函数的最小值为．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由已知，建立关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）将a＝2代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可；（Ⅲ）问题转化为h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决．解：（Ⅰ）由2f（1）＝﹣f（﹣1）得，，解得a＝﹣3；（Ⅱ）当a＝2时，，设x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则，∵x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，（x1﹣2）（x2﹣2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ），若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，即h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点（x＝a不是函数h（x）的零点），且二次函数h（x）＝2x2﹣3x+3a的对称轴为，若函数h（x）在（0，1）上有唯一零点，依题意，①当h（0）h（1）＜0时，3a（3a﹣1）＜0，解得；②当△＝0时，9﹣24a＝0，解得，则方程h（x）＝0的根为，符合题意；③当h（1）＝0时，解得，则此时h（x）＝2x2﹣3x+1的两个零点为，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值【分析】（Ⅰ）利用对数函数的性质可得，解出即可；（Ⅱ）根据题意，求得，依题意，在（0，1）上恒成立，由此得解；（Ⅲ）结合（Ⅱ）可知，，则只需求出的最大值即可．解：（Ⅰ）依题意，，则，解得﹣a＜x＜2﹣a，∴所求不等式的解集为（﹣a，2﹣a）；（Ⅱ）由题意，2y＝log2（3x+a），即f（x）的相关函数为，∵对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，∴当x∈（0，1）时，恒成立，由x+a＞0，3x+a＞0，a＞0得，∴在此条件下，即x∈（0，1）时，恒成立，即（x+a）2＜3x+a，即x2+（2a﹣3）x+a2﹣a＜0在（0，1）上恒成立，∴，解得0＜a≤1，故实数a的取值范围为（0，1]．（Ⅲ）当a＝1时，由（Ⅱ）知在区间（0，1）上，f（x）＜g（x），∴，令，则，令μ＝3x+1（1＜μ＜4），则，∴，当且仅当“”时取等号，∴|F（x）|的最大值为．。

北京市朝阳区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析

北京市朝阳区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4，5}，B={x|x≥2}，则A∩（∁U B）=（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}2．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）3．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|4．（5分）偶函数f（x）的图象如图所示，则f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系是（）A．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（）B．f（），f（﹣），f（﹣1）C． f（﹣），f（），f（﹣1）D．f（﹣1），f（），f（﹣）5．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（1，）D．（e，+∞）6．（5分）从某小学随机抽取100分学生，将们们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为（）A．8 B．12 C．10 D．307．（5分）已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若a＞b，则C．若|a|＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b28．（5分）f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣（）x B．（）x C．﹣2x D．2x9．（5分）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y=f（x），另一种是平均价格曲线y=g（x），如f（2）=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g（2）=3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中正确的是（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）满足对定义域内的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），则函数f（x）可以是（）A．f（x）=2x+1 B．f（x）=x2﹣2x C．f（x）=e x D．f（x）=lnx二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为．12．（5分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，8），则f（3）=．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为．14．（5分）当x＞﹣1时，函数y=x+的最小值为．15．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以点C为圆心，CB为半径的圆与边DC交于点E，F是上任意一点（包括端点），在矩形ABCD内随机取一点M，则点M落在△AFD内部的概率的取值范围是．16．（5分）对于集合A={a1，a2，…a n}（n≥2，n∈N*），如果a1•a2…•a n=a1+a2+…+a n，则称集合A具有性质P，给出下列结论：①集合{，}具有性质P；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}具有性质P，则a1a2＞4③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能具有性质P；④当n=3时，若a i∈N*（i=1，2，3），则具有性质P的集合A有且只有一个．其中正确的结论是．三、解答题（共4小题，满分40分）17．（9分）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．18．（9分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]）19．（10分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20．（12分）对于函数f（x），g（x），φ（x）如查存在实数a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），那么称φ（x）为f（x），g（x）的线性组合函数，如对于f（x）=x+1，g（x）=x2+2x，φ（x）=2﹣x2存在a=2，b=﹣1使得φ（x）=2f（x）=g（x），此时φ（x）就是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅰ）设f（x）=x2+1，g（x）=x2﹣x，φ（x）=x2﹣2x+3，试判断φ（x）是否为f（x），g（x）的线性组合函数？关说明理由；（Ⅱ）设f（x）=log2x，g（x）=log x，a=2，b=1，线性组合函数为φ（x），若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设f（x）=x，g（x）=（1≤x≤9），取a=1，b＞0，线性组合函数φ（x）使φ（x）≥b恒成立，求b的取值范围，（可利用函数y=x+（常数k＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数）北京市朝阳区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4，5}，B={x|x≥2}，则A∩（∁U B）=（）A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解．解答：解：∵B={x|x≥2}，∴∁U B={x|x＜2}，则A∩（∁U B）={0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：结合对数函数以及二次根式的性质，得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：﹣1＜x＜1，故选：A．点评：本题考查了函数的定义域问题，考查了对数函数，二次根式的性质，是一道基础题．3．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：探究型．分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．4．（5分）偶函数f（x）的图象如图所示，则f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系是（）A．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（）B．f（），f（﹣），f（﹣1）C． f（﹣），f（），f（﹣1）D．f（﹣1），f（），f（﹣）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过观察图象即可比较出f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系．解答：解：根据图象f（）．故选B．点评：考查由图象比较函数值大小的方法，以及偶函数图象的对称性．5．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（1，）D．（e，+∞）考点：二分法求方程的近似解．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：直接通过零点存在性定理，结合定义域选择适当的数据进行逐一验证，并逐步缩小从而获得最佳解答．解答：解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f（2）﹣ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0∴f（2）•f（3）＜0，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：B．点评：本题考查的是零点存在的大致区间问题．在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、函数零点存在性定理的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．6．（5分）从某小学随机抽取100分学生，将们们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为（）A．8 B．12 C．10 D．30考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：先求出身高在[120，130）、[130，140）和[140，150]的频数，再计算用分层抽样方法选取身高在[120，130）内的学生数．解答：解：根据频率分布直方图，得；身高在[120，130）的频率为0.030×10=0.3，频数是0.3×100=30；身高在[130，140）的频率为0.020×10=0.2，频数是0.2×100=20；身高在[140，150]的频率为0.010×10=0.1，频数是0.1×100=10；在这三组学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，身高在[120，130）内的学生中选取的人数为20×=10．故选：C．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题目．7．（5分）已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若a＞b，则C．若|a|＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b2考点：四种命题．专题：不等式．分析：对于错误的情况，只需举出反例，而对于C，D需应用同向正的不等式两边平方后不等号方向不变这一结论．解答：解：A．错误，比如3＞﹣4，便得不到|3|＞|﹣4|；B．错误，比如3＞﹣4，便得不到；C．错误，比如|3|＞﹣4，得不到32＞（﹣4）2；D．正确，a＞|b|，则a＞0，根据不等式的性质即可得到a2＞b2．故选D．点评：考查若a＞b，对a，b求绝对值或求倒数其不等号方向不能确定，而只有对于同向正的或非负的不等式两边同时平方后不等号方向不变．8．（5分）f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣（）x B．（）x C．﹣2x D．2x考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先设x＜0，所以﹣x＞0，所以根据f（x）是奇函数，所以便有f（x）=﹣f（﹣x）=．解答：解：设x＜0，﹣x＞0；∴．故选：A．点评：考查求奇函数在对称区间上解析式的方法，以及奇函数定义的运用．9．（5分）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y=f（x），另一种是平均价格曲线y=g（x），如f（2）=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g（2）=3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中正确的是（）A． B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：图表型；函数的性质及应用．分析：根据已知中，实线表示即时曲线y=f（x），虚线表示平均价格曲线y=g（x），根据实际中即时价格升高时，平均价格也随之升高，价格降低时平均价格也随之减小的原则，对四个答案进行分析即可得到结论．解答：解：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A，D错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减，故A，B，D均错误．故选C．点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中根据实际情况，分析出函数y=f（x）与y=g（x）单调性的关系，是解答本题的关键．10．（5分）函数f（x）满足对定义域内的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），则函数f（x）可以是（）A．f（x）=2x+1 B．f（x）=x2﹣2x C．f（x）=e x D．f（x）=lnx考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：将所给的不等式化为：“f（x+2）﹣f（x+1）＜f（x+1）﹣f（x）”，得到不等式对应的函数含义，根据基本函数同为增函数时的增长情况，对答案项逐一进行判断即可．解答：解：由f（x+2）+f（x）＜2f（x+1）得，f（x+2）﹣f（x+1）＜f（x+1）﹣f（x）①，∵（x+2）﹣（x+1）=（x+1）﹣x，∴①说明自变量变化相等时，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，对于A、f（x）=2x+1是一次函数，且在R上直线递增，函数值的变化量是相等的，A错；对于B、f（x）=x2﹣2x在定义域上不是单调函数，在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）递增，B错；对于C、f（x）=e x是增长速度最快﹣呈爆炸式增长的指数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越大，C错；对于D、f（x）=lnx是增长越来越慢的对数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，D正确．故选D．点评：本题考查了基本函数同为增函数时的增长速度的应用，此题的关键是将不等式进行转化，并能理解不等式所表达的函数意义，考查了分析问题、解决问题的能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为25．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：利用系统抽样的性质求解．解答：解：由已知得：分段的间隔为：=25．故答案为：25．点评：本题考查系统抽样的分段间隔的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．12．（5分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，8），则f（3）=27．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设出幂函数y=f（x）的解析式，根据图象过点（2，8），求出解析式，计算函数值即可．解答：解：设幂函数y=f（x）=x a，其图象过点（2，8），∴2a=8；解得a=3，∴f（x）=x3，∴f（3）=33=27．故答案为：27．点评：本题考查了用待定系数法求函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的问题，是基础题目．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为8．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i＜8，即i=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s值．解答：解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4；当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i＜8”，退出循环，则输出的s=8故答案为：8点评：本题主要考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，同时考查了运算求解能力，属于基础题．14．（5分）当x＞﹣1时，函数y=x+的最小值为1．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得x+1＞0，可得y=x+=x+1+﹣1，由基本不等式可得．解答：解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=x+=x+1+﹣1≥2﹣1=1当且仅当x+1=即x=0时取等号，故答案为：1．点评：本题考查基本不等式，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．15．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以点C为圆心，CB为半径的圆与边DC交于点E，F是上任意一点（包括端点），在矩形ABCD内随机取一点M，则点M落在△AFD内部的概率的取值范围是 []．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何概型的公式，只要求出△AFD的面积范围，由几何概型的概率公式可求点M落在△AFD内部的概率的取值范围解答：解：由题意，设△AFD的高为h，因为F是上任意一点（包括端点），所以h∈[1，2]，所以△AFD的面积范围为[，1]，又矩形ABCD的面积为2，由几何概型的公式可得点M落在△AFD内部的概率的取值范围[]；故答案为：[]．点评：本题考查了几何概型的概率公式的运用，关键是求出△AFD的面积范围．16．（5分）对于集合A={a1，a2，…a n}（n≥2，n∈N*），如果a1•a2…•a n=a1+a2+…+a n，则称集合A具有性质P，给出下列结论：①集合{，}具有性质P；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}具有性质P，则a1a2＞4③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能具有性质P；④当n=3时，若a i∈N*（i=1，2，3），则具有性质P的集合A有且只有一个．其中正确的结论是①③④．考点：集合的表示法；进行简单的合情推理．分析：根据已知中性质P的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．解答：解：∵•=+=﹣1，故①是正确的；②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2﹣tx+t=0的两个根，由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜a n，由a1a2…a n=a1+a2+…+a n＜na n，得a1a2…a n﹣1＜n，当n=2时，即有a1＜2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的集合A，故③正确．当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是具有性质P的集合A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由a1a2…a n﹣1≥1×2×3×…×（n﹣1），即有n＞（n﹣1）!，也就是说具有性质P的集合A存在的必要条件是n＞（n﹣1）!，事实上，（n﹣1）!≥（n﹣1）（n﹣2）=n2﹣3n+2=（n﹣2）2﹣2+n＞2，矛盾，∴当n≥4时不存在具有性质P的集合A，故④正确．故答案为：①③④．点评：本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义的含义是解答的关键，难度较大．三、解答题（共4小题，满分40分）17．（9分）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：计算题；集合．分析：（Ⅰ）当m=3时，化简A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；从而求交集．（Ⅱ）讨论当B≠∅时，；当B=∅时，m﹣1≥2m+1，从而解得．解答：解：（Ⅰ）当m=3时，A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；则A∩B=（2，5]．（Ⅱ）∵B⊆A，当B≠∅时，；解得，﹣1≤m≤2；当B=∅时，由m﹣1≥2m+1得，m≤﹣2；故实数m的取值范围为{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}．点评：本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．18．（9分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意根据平均数的计算公式分别求出m，n的值．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差S甲2和S乙2，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些．（Ⅲ）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率．解答：解：（I）由题意可得=（7+8+10+12+10+m）=10，解得 m=3．再由=（n+9+10+11+12）=10，解得 n=8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，S甲2=[（7﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（13﹣10）2]=5.2，S乙2=[（8﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]=2，并由，S甲2＜S乙2，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a+b≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a+b＞17的基本事件个数为25﹣5=20，即该车间“待整改”的基本事件有20个，故该车间“待整改”的概率为P==．点评：本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．19．（10分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx﹣a+2=0的两根分别为﹣1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax﹣a+2）＞0，由此讨论﹣1与的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．解答：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3）∴﹣1，3是方程ax2+bx﹣a+2=0的两根，∴可得，解之得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x﹣a+2=（x+1）（ax﹣a+2），∵a＞0，∴①若，即a=1，解集为{x|x≠﹣1}．②若，即0＜a＜1，解集为．③若，即a＞1，解集为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20．（12分）对于函数f（x），g（x），φ（x）如查存在实数a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），那么称φ（x）为f（x），g（x）的线性组合函数，如对于f（x）=x+1，g（x）=x2+2x，φ（x）=2﹣x2存在a=2，b=﹣1使得φ（x）=2f（x）=g（x），此时φ（x）就是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅰ）设f（x）=x2+1，g（x）=x2﹣x，φ（x）=x2﹣2x+3，试判断φ（x）是否为f（x），g（x）的线性组合函数？关说明理由；（Ⅱ）设f（x）=log2x，g（x）=log x，a=2，b=1，线性组合函数为φ（x），若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设f（x）=x，g（x）=（1≤x≤9），取a=1，b＞0，线性组合函数φ（x）使φ（x）≥b恒成立，求b的取值范围，（可利用函数y=x+（常数k＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数）考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据线性组合函数的定义，解方程即可．（Ⅱ）利用换元法，结合对数函数的性质进行求解．（Ⅲ）利用函数y=x+（常数k＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数的性质，将不等式恒成立进行转化，求出函数的最值即可．解答：解：（Ⅰ）设a•（x2+1）+b•（x2﹣x）=x2﹣2x+3，即（a+b）x2﹣bx+a=x2﹣2x+3，则，此时方程组无解，故不存在a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），则φ（x）不是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅱ）∵a=2，b=1，∴φ（x）=2f（x）+g（x）=2log2x+log x=2log2x﹣log2x=log2x，若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，即m＜﹣3（log2x）2+2log2x在x∈[，4]上有解，设t=log2x，则∵x∈[，4]，∴t∈[，2]，则不等式等价为m＜﹣3t2+2t，∵y=﹣3t2+2t=﹣3（t﹣）2+，∴当t=时，函数y取得最大值，则m＜，实数m的取值范围是m＜．（Ⅲ）由题意φ（x）=x+，（1≤x≤9），①若∈（1，9），则φ（x）在[1，）上递减，在（，9]上递增，故φ（x）min=φ（）=2，由，解得1＜b≤4．②若≤1，则φ（x）在[1，9]上递增，故φ（x）min=φ（1）=1+b，由，解得1＜b≤1．③若≥9，则φ（x）在[1，9]上递减，故φ（x）min=φ（9）=9+，由，此时不等式组无解．综上b的取值范围是（0，4]．点评：本题主要考查与函数有关的新定义问题，以及不等式恒成立问题，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．。

2019-2020年高一上册期末数学试题(有答案)

北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知集合M={∈R|2+2=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．∅D．{﹣2，0，2}2．（3分）若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．73．（3分）设∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．34．（3分）二次函数f（）=a2+b+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．35．（3分）设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④6．（3分）已知函数f（）=|﹣1|，则与y=f（）相等的函数是（）A．g（）=﹣1 B．C．D．5，则（）7．（3分）已知，，c=log3A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b8．（3分）已知函数，若g（）=f（）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．39．（3分）某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%10．（3分）将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g （）的图象，则g（）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．11．（3分）若函数y=f（）的定义域为{|﹣2≤≤3，且≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（）的图象可能是（）A．B．C．D．12．（3分）关于的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．（4分）函数的定义域为．14．（4分）已知角α为第四象限角，且，则sinα= ；tan（π﹣α）= ．15．（4分）已知9a=3，ln=a，则= ．16．（4分）已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|= ．17．（4分）已知，且满足，则sinαcosα= ；sinα﹣cosα= ．18．（4分）已知函数若存在1，2∈R，1≠2，使f（1）=f（2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（10分）已知全集U=R，集合A={∈R|2﹣3≥0}，B={|1＜＜2}，C={∈N|1≤＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．20．（10分）已知函数与g（）=cos（2+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（）图象上所有点的横坐标变为原的倍，得到h（）的图象，若h（）的最小正周期为π，求ω的值和h（）的单调递增区间．21．（10分）已知函数f（）=2+2为奇函数，函数g（）=a f（）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求g（）在[﹣1，2]上的最小值．22．（10分）已知函数f（），定义（Ⅰ）写出函数F（2﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|﹣a|）+F（2﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（）=cos•F（+sin）的零点个数和值域．北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知集合M={∈R|2+2=0}，N={2，0}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．∅D．{﹣2，0，2}【解答】解：由题意知，M={∈R|2+2=0}={﹣2，0}，又N={2，0}，则M∩N={0}，故选A．2．（3分）若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A．B．C．6 D．7【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，由已知可得：l=3，r=2，则由l=rα，可得：α==．故选：B．3．（3分）设∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【解答】解：∵∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+=0，解得=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．4．（3分）二次函数f（）=a2+b+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3【解答】解：二次函数f（）=a2+b+1的最小值为f（1）=0，∴=1，且a＞0，∴b=﹣2a，∴f（1）=a+b+1=0，解得a=1，b=﹣2，∴a﹣b=3，故选：D5．（3分）设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【解答】解：如下图所示：①与不共线，故①可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；②与共线，故②不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；③与不共线，故③可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；④与共线，故④不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；故选：B．6．（3分）已知函数f（）=|﹣1|，则与y=f（）相等的函数是（）A．g（）=﹣1 B．C．D．【解答】解：对于A，函数g（）=﹣1（∈R），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的对应关系不同，不是相等函数；对于B，函数h（）==|﹣1|（≠1），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于C，函数s（）==﹣1（≥1），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的定义域不同，对应关系不同，不是相等函数；对于D，函数t（）==|﹣1|（∈R），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．7．（3分）已知，，c=log35，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b【解答】解：=，1＜=log34＜log35=c，∴c＞b＞a．故选：A．8．（3分）已知函数，若g（）=f（）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵函数，g（）=f（）﹣m为奇函数，∴g（﹣）+g（）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，∴m=2．故选C．9．（3分）某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）A．55% B．65% C．75% D．80%【解答】解：当购买标价为2700元的商品时，产品的八折后价格为：2700×0.8=2160，故实际付款：2160﹣400=1760，故购买某商品的实际折扣率为：≈65%，故选：B10．（3分）将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g （）的图象，则g（）图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：将函数=cos的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（）=cos（+）的图象，令+=π，求得=π﹣，∈，则g（）图象的一条对称轴的方程为=，故选：D．11．（3分）若函数y=f（）的定义域为{|﹣2≤≤3，且≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A．当=3时，y=0，∴A错误．B．函数的定义域和值域都满足条件，∴B正确．C．由函数的图象可知，在图象中出现了有2个函数值y和对应的图象，∴C错误．D．函数值域中有两个值不存在，∴函数的值域不满足条件，∴D错误．故选：B．12．（3分）关于的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的【解答】解：由题意a=﹣2+2+a，﹣2+2+a＞0．令f（）=a，g（）=﹣2+2+a，（1）当a＞1时，f（）=a在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，g（）=﹣2+2+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（）＜g（），∵g（）在＜0及＞1时分别有一个零点，而f（）恒大于零，∴f（）与g（）的图象在＜0及＞1时分别有一个交点，∴方程有两个解；（2）当a＜1时，f（）=a在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，g（）=﹣2+2+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），∴在（0，1）上f（）与g（）有一个交点，又g（）在＞1时有一个零点，而f（）恒大于零，∴f（）与g（）的图象在＞1时还有一个交点，∴方程有两个解．综上所述，方程有两个解．故选：A．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．（4分）函数的定义域为（﹣∞，3] ．【解答】解：函数，∴3﹣≥0，解得≤3，∴函数y的定义域是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]14．（4分）已知角α为第四象限角，且，则sinα= ﹣；tan（π﹣α）= 2．【解答】解：∵角α为第四象限角，且，则sinα=﹣=﹣，tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，故答案为：﹣；2．15．（4分）已知9a=3，ln=a，则= ．【解答】解：由9a=3，∴32a=3，∴2a=1，∴a=，∴ln==ln，∴=故答案为：16．（4分）已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|= ．【解答】解：||=2，||=3，|+|=，所以|+|2=||2+||2+2=7，所以=﹣3，所以|﹣|2==4+9+6=19，那么|﹣|=；故答案为：．17．（4分）已知，且满足，则sinαcosα= ；sinα﹣cosα= ﹣．【解答】解：∵，且满足，∴+==8，∴sinαcosα=，∴sinα＜0，cosα＜0，且sinα＜cosα．∴sinα﹣cosα=﹣=﹣=﹣=﹣，故答案为：；﹣．18．（4分）已知函数若存在1，2∈R，1≠2，使f（1）=f（2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：当≥0时，2﹣1≥0，当＜0时，若a=0，则f（）=2恒成立，满足条件；若a＞0，则f（）＜2﹣3a，若存在1，2∈R，1≠2，使f（1）=f（2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＞0，则f（）＜2﹣3a，若存在1，2∈R，1≠2，使f（1）=f（2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＜0，则f（）＞2﹣3a，满足条件，综上可得：a∈（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（10分）已知全集U=R，集合A={∈R|2﹣3≥0}，B={|1＜＜2}，C={∈N|1≤＜a}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；（Ⅲ）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）集合A={∈R|2﹣3≥0}=[，+∞），B={|1＜＜2}=（1，2），∴A∪B=（1，+∞），（Ⅱ）∵C={∈N|1≤＜a}，C中恰有五个元素，则整数a的值为6，（Ⅲ）∵C={∈N|1≤＜a}=[1，a），A∩C=∅，当C=∅时，即a＜1时满足，当C≠∅，可得1≤a≤2，综上所述a的范围为（﹣∞，2]20．（10分）已知函数与g（）=cos（2+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将f（）图象上所有点的横坐标变为原的倍，得到h（）的图象，若h（）的最小正周期为π，求ω的值和h（）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数与g（）=cos（2+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin﹣=cos（+φ），即 cos（+φ）=0，∴+φ=，∴φ=．（Ⅱ）将函数的图象上所有点的横坐标变为原的倍，得到h（）=sin （ω）﹣的图象，若h（）的最小正周期为=π，∴ω=2，h（）=sin（2）﹣．令2π﹣≤2≤2π+，求得π﹣≤≤π+，可得h（）的增区间为[π﹣，π+]，∈．21．（10分）已知函数f（）=2+2为奇函数，函数g（）=a f（）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求g（）在[﹣1，2]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（）=2+2为奇函数，∴f（﹣）=﹣f（），即2﹣2=﹣2﹣2，∴=0；（Ⅱ）g（）=a2﹣1，0＜a＜1，函数g（）在[﹣1，2]上单调递减，=2时g（）在[﹣1，2]上的最小值为a4﹣1；a＞1，函数g（）在[﹣1，2]上单调递增，=﹣1时g（）在[﹣1，2]上的最小值为a﹣2﹣1．22．（10分）已知函数f（），定义（Ⅰ）写出函数F（2﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|﹣a|）+F（2﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（）=cos•F（+sin）的零点个数和值域．【解答】解：（Ⅰ）定义，当2﹣1＞，可得＞1，则F（2﹣1）=1；当2﹣1=，可得=1，则F（2﹣1）=0；当2﹣1＜，可得＜1，则F（2﹣1）=﹣1；可得F（2﹣1）=；（Ⅱ）当＞1时，F（2﹣1）=1，F（|﹣a|）=﹣1，即有|﹣a|＜恒成立，即为a2≤2a在＞1恒成立，即有a2≤2a，解得0≤a≤2；当=1时，F（2﹣1）=0，F（|﹣a|）=0，可得|1﹣a|=1，解得a=0或2；当＜1时，F（2﹣1）=﹣1，F（|﹣a|）=1，即有|﹣a|＞恒成立，即为a2≥2a在＜1恒成立，即有a2≥2a，解得a≥2或a≤0；则a的值为0或2；（Ⅲ）当时，h（）=cos•F（+sin）=0，可得cos=0或F（+sin）=0，即有=；+sin=，即sin=0，解得=π，则h（）的零点个数为2；当+sin＞，即≤＜π时，h（）=cos∈（﹣1，]；当+sin=，即=π时，h（）=0；当+sin＜，即π＜≤时，h（）=﹣cos∈[，1）．综上可得，h（）的值域为（﹣1，1）．。