圆锥曲线专题

1 利用椭圆的定义解题

椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明． 1．求最值

例1 线段|AB |＝4，|P A |＋|PB |＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是( ) A ．2 B. 2 C. 5 D ．5

解析 由于|P A |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A 、B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5.

答案 C 2．求动点坐标

例2 椭圆x 29＋y 2

25＝1上到两个焦点F 1，F 2距离之积最大的点的坐标是________．

解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， 所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫1022

＝25，

当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．

由⎩⎪⎨⎪⎧

|PF 1|＋|PF 2|＝10，

|PF 1|＝|PF 2|，

解得|PF 1|＝|PF 2|＝5＝a ，

此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点， 即所求点的坐标为(±3,0)． 答案 (±3,0)

点评 由椭圆的定义可得“|PF 1|＋|PF 2|＝10”，即两个正数|PF 1|，|PF 2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF 1|，|PF 2|积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标． 3．求焦点三角形面积

例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 2

3＝1，若点P 在第二象限，且

∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝

a 2－

b 2＝1，|F 1F 2|＝2

c ＝2.

在△PF 1F 2中，由余弦定理得

|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.② 将②代入①，得|PF 1|＝65

.

所以S △PF 1F 2＝1

2|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°

＝12×65×2×32＝3

53， 即△PF 1F 2的面积是35

3.

点评 在△PF 1F 2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF 1|，|PF 2|的方程组，消去|PF 2|可求|PF 1|.

从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.

2 如何求椭圆的离心率 1．由椭圆的定义求离心率

例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________． 解析 如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (a >b >0)，半焦距为

c ，由题

意知∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2F 1＝60°.∴|AF 2|＝c ， |AF 1|＝2c ·sin 60°＝3c . ∴|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1.

答案

3－1

点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．

2．解方程(组)求离心率

例2 椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (a >b >0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a ，0)、B (0，b )是两个顶点，如果F 1

到直线AB 的距离为

b

7

，则椭圆的离心率e ＝________. 解析 如图所示，直线AB 的方程为x －a ＋y

b ＝1，

即bx －ay ＋ab ＝0.

∵点F 1(－c,0)到直线AB 的距离为

b 7，∴b 7＝|－b

c ＋ab |a 2＋b

2， ∴7|a －c |＝

a 2＋

b 2，即7a 2－14a

c ＋7c 2＝a 2＋b 2.

又∵b 2＝a 2－c 2，整理，得5a 2－14ac ＋8c 2＝0. 两边同除以a 2并由e ＝c

a 知，8e 2－14e ＋5＝0，

解得e ＝12或e ＝5

4

(舍去)．

答案 12

3．利用数形结合求离心率

例3 在平面直角坐标系中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b

2＝1(a >b >0)，圆O 的半径为a ，过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作

圆O 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e ＝________. 解析 如图所示，切线P A 、PB 互相垂直，P A ＝PB . 又OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，OA ＝OB ， 则四边形OAPB 是正方形， 故OP ＝2OA ， 即a 2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝22. 答案

2

2

4．综合类

例4 设M 为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1上一点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF 1F 2＝75°，∠MF 2F 1

＝15°，求椭圆的离心率．

解 由正弦定理得2c sin 90°＝|MF 1|sin 15°＝|MF 2|sin 75°

＝

|MF 1|＋|MF 2|

sin 15°＋sin 75°＝2a

sin 15°＋sin 75°，

∴e ＝c a ＝1sin 15°＋cos 15°＝12sin 60°＝63

.

点评 此题可推广为若∠MF 1F 2＝α，∠MF 2F 1＝β，则椭圆的离心率e ＝cos

α＋β

2

cos

α－β2

.

3 活用双曲线定义妙解题

在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用．下面举例说明． 1．求动点轨迹