新人教版八年级上册数学[分式全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析《分式》知识点复习及典例解析一、复习目标1.理解并记住分式的乘法法则、除法法则，会进行简单的分式乘除法计算．能解决一些与分式的乘除运算有关的简单的实际问题.2.了解同分母分式的加减法法则，会进行同分母分式的加减运算，理解通分的意义，会通过通分把异分母的分式加减转化为同分母的分式加减.3.能熟练地进行分式的加减乘除混合运算，提高类比的能力和代数化归的能力.4.了解分式方程的概念，掌握解一元一次方程的分式方程的方法，了解产生增根的原因，会检捡一个数是不是分式方程的增根．5.能够列出可化为一元一次方程的分式方程解简单实际问题．二、重点难点重点：分式乘除法、加减法法则的应用. 分式方程的概念，分式方程的解法难点：异分母分式加减法. 解分式方程时，去分母可能会出现增根。
三、知识概要1. 分式的乘除乘法法则：分式乘分式时，分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后与被除式相乘. 式子表示：.;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? 2. 分式的加减（1）分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.（2）法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.式子表示：;c b a c b c a ±=±.bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 3.分式方程的概念分式是一种表示具体情境中数量的模型，分式方程则是表示这些数量关系之间相等关系的模型，分式方程是分母中含有未知数的方程．4.分式方程的解法分式方程是转化为一元一次方程来求解，它是通过去分母实现转化的．主要步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．因为分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根．5.去分母的技巧解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步，当分式方程中分式的分母是一次式时，可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母，当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解，再确定最简公分母，然后再去分母．6.验根的方法因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的，验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误，另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，这种方法比较简便，但不能检查解方程过程中出现的计算错误．7.列分式方程解决实际问题的方法步骤（1）、审：分析问题，寻找已知、未知及相相等关系，（2）、设：设恰当的未知数（3）、列：根据相等关系列出分式方程（4）、解：求出所列方程的解（5）、验：首先检验所求的解是不是分式方程的解，然后检验所求的解是否与实际符合（6）、答：写出答案．四、典例解析考点一、分式概念的运用例1．若分式||33x x --的值为零，则x 的值等于。
(完整版)八年级上册《分式》知识点归纳与总结,推荐文档
八年级上册《分式》知识点归纳与总结主讲 王老师一、分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B 0≠）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0,0B ≠）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ••=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
四、分式的约分1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
人教版八年级数学上册课件：15章 分式--知识点复习(共48张PPT)
贵了8元，商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩
下10件按8折销售，很快售完.设第一批进货单价为x元，根据
题意得到的方程是
;在这两笔生意中，商家
共盈利
元.
43
知识点六：分式方程的应用
巩固练习
分式方程的应用
4.某工厂对产品进行包装，引进了包装机器.已知台包装机的 工作效率相当于一名包装员的20倍若用这台包装机包装900件 产品要比15名包装员包装这些零件少3小时. (1)求一台包装机每小时包装产品多少个? (2)现有一项包装任务，要求不超过7小时包装完成3450个零 件.该厂调配了2台包装机和30名包装员，工作3小时后又调配 了一些包装机进行支援，则该厂至少再调配几台包装机才能
38
知识点五：分式方程及解法
合作探究
先独立完成导学案专题五，再同桌相互交流， 最后小组交流；
39
知识点六：分式方程的应用
知识回顾
分式方程的应用
请说出列分 式方程解应 用题的一般 步骤？
审找设列解 验 答
40
知识点六：分式方程的应用
巩固练习
分式方程的应用
1.“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的
知识回顾
分式的基本性质：
分式的基本性质用式子表示为： 其中A,B,C是整式.
11
知识点二：分式的基本性质
知识回顾
分式的符号法则:
分式的分子、分母与分式本身 这三处的正负号，同时改 变两处，分式的值不变 .
或
12
知识点二：分式的基本性质
巩固练习
1.写出下列分式中未知的分子或分母：
(1)
(2) 4n
3
知识点一：分式及其相关概念
最新人教版八年级上册数学第十五章分式知识点复习
返回目录
谢
谢
返回目录
子相加减；
②异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再
加减
整数指数幂的运算性质可以归纳为：（1）am·an＝am＋n
（m，n是整数)；（2）（am) n＝amn（m，n是整数)；（3）
（ab)n＝anbn（n是整数）；（4）am÷an＝am－n（a≠0，m，
1
n是整数，m>n);（5）当a≠0时，a0=1；（6）a－n＝
约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样
分式的基 的分式变形叫做分式的约分．
确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定：①
本性质
分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式；②当分子
或分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面；③约
分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须
先分解因式．
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式
返回目录
把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同
分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分
分式的基 的关键是确定最简公分母：①最简公分母的系数取各
本性质
分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取
各分母所有字母的最高次幂的积；③若各分式的分母
第十五章分式
本章知识结构图
返回目录
核心内容
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有
字母，那么式子 叫做分式
分式的概念 分式有意义的条件是分母不等于零，分式无意义
的条件是分母等于零
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零
返回目录
人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。
例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
新人教版八年级数学上册知识点总结归纳+重点整理
新人教版八年级数学上册知识点总结归纳+重点整理新人教版八年级上册数学各章节知识点总结第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.n-·180°⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.n-条对角线，⑸多边形对角线的条数：从n边形的一个顶点出发可以引(3)第十二章全等三角形第一节：全等三角形形状大小放在一起完全重合的图形，叫做全等形。
换句话说，全等形就是能够完全重合的图形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个全等的三角形重合放在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
第十五章 分式 最新人教版初二数学八年级上册考点知识点精讲
第十五章分式第十四章14.1.1同底数幂的乘法知识点：同底数幂的乘法法则同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).关键提醒:(1)同底数幂是指相同的底数,如23与24,(ab)2与(ab)5,(x-y)5,(x-y)3与(x-y)2.底数可以是任意的有理数,也可以是单项式、多项式.(2)运用同底数幂的乘法法则计算的关键是:①底数相同,可直接运用公式计算;②若底数不同又可化为相同的底数,必须先变异底为同底,再用此法则运算;③三个或三个以上同底数幂相乘时,也是有同一性质,如a m·a n·a p=a m+n+p(m,n,p都是正整数);④逆用这个性质,可以把一个幂分解成两个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的底数相同.它们的指数之和等于原来的幂的指数,如35=32·33,a3=a·a2.考点1：逆用同底数幂的乘法法则解决问题【例1】已知x a=5,x b=7,求x a+b的值.解:x a+b=x a·x b=5×7=35.点拨：因为a m·a n=a m+n,所以a m+n=a m·a n,本题逆用同底数幂的乘法法则求解.考点2：底数为多项式的同底数幂相乘【例2】计算:(1)(a+b)3(a+b)4;(2)(m-n)2(n-m)3.解:(1)(a+b)3(a+b)4=(a+b)7.(2)(m-n)2(n-m)3=(n-m)2(n-m)3=(n-m)5.点拨：当底数为多项式时,我们可将其看作一个整体,利用同底数幂的乘法法则求解.第十四章14.1.2幂的乘方关键提醒:(1)幂的乘方法则是根据乘方的定义及同底数幂的乘法法则得到的结论:(a m)n= ==a mn.(2)不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆.幂的乘方运算,转化为指数乘方运算(底数不变);同底数幂的乘法,是转化成指数的加法运算(底数不变).(3)公式的逆运用:a mn=(a m)n=(a n)m.【例1】(1)若=a9,求n;(2)25m=(52)m=(5m)2=82=64.点拨：对于“5的几次方等于8”的问题,我们将在高中阶段学习,本题利用数学中的整体思想,将5m看作整体进行代换.考点2：幂的乘方与同底数幂相乘的混合运算【例2】计算:(1)y··;(2)2m3·m5-(m2)4.解:(1)y··=y·y6·y6=y13;(2)2m3·m5-=2m8-m8=m8.点拨：本题运算顺序是先乘方,再乘法,最后加减.第十四章14.1.3积的乘方知识点：积的乘方积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(ab)n=a n b n(n为正整数).关键提醒:(1)积的乘方法则是用乘方的意义推理得到的.如:(ab)n= =·=a n b n.(2)此性质可以逆运用a n b n=(ab)n.(3)三个或三个以上因式的积的乘方,也有这一性质,如(abc)n=a n b n c n.考点1：逆用积的乘方巧解题【例1】计算:(1) 0.125299×(-8)299;(2)×.解:(1)0.125299×(-8)299=[0.125×(-8)]299=(-1)299=-1;(2)×=××=×=.点拨：因为本题两算式中的数据是互为倒数的形式,所以可逆用积的乘方法则,先进行乘法运算,再进行乘方运算,这是一种较为简便的运算方法.考点2；有关乘方的混合运算【例2】计算:(1)-(2ax2)4;(2)-a3·a4·a+(a2)4+(-2a4)2.解:(1)-(2ax2)4=a4x8-16a4x8=-a4x8;(2)-a3·a4·a+(a2)4+(-2a4)2=-a8+a8+4a8=4a8.点拨：本题的运算顺序是先乘方,再乘法,最后加减.第十四章14.1.4单项式乘单项式知识点：单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.归纳整理:(1)积的系数等于各项系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.(2)相同字母相乘,是同底数幂的乘法,按照“底数不变,指数相加”进行计算.(3)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,注意不要把这个因式丢掉.(4)单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用.(5)单项式与单项式的积仍是单项式.考点：单项式乘单项式的计算【例】计算:(1)10x2yz3·;(2)·;(3)3ab2··2abc;(4)(- 2x n+1y n)·(-3xy)·.解:(1)10x2yz3·=(x2·x)(y·y4)z3=-5x3y5z3;(2)·=(a·a2)(b2·b)=-a3b3;(3)3ab2··2abc=(a·a2·a)(b2·b·b)c=-2a4b4c ;(4)(-2x n+1y n)·(-3xy)·=(x n+1·x·x2)(y n·y)z=-3x n+4y n+1z.点拨：(1)系数参与运算时,正确理解系数是参与乘方运算还是乘法运算.(2)凡是单项式中出现过的字母,在结果中也要再出现,不能遗漏.第十四章14.1.5单项式乘多项式单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表示为m(a+b+c)=ma+mb+mc.(2)单项式与多项式相乘,结果仍是多项式,其项数与因式中多项式的项数相等,因此可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项;(3)计算时要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号.【例】计算:(1)2xy(5xy2+3xy-1);点拨:(1)中单项式为2xy,多项式含有三项,分别为5xy2,3xy,-1,乘积仍为三项;(2)中应先算(-2ab)2.解:(1)原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2x y·(-1)=10x2y3+6x2y2-2xy;(2)原式=(a2-2bc)·4a2b2=4a2b2·a2+4a2b2·(-2bc)=4a4b2-8a2b3c.第十四章14.1.6多项式乘多项式多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表示为关键提醒:(1)运用多项式乘法法则时,必须做到不重不漏,为此,相乘时,要按照一定的顺序进行;(2)多项式乘以多项式,仍得多项式.在合并同类项之前,积的项数应该等于两个多项式项数之积.解:(1)原式=3x·2a+3x·3b+(-2y)·2a+(-2y)·3b=6ax+9bx-4ay-6by;(2)原式=x·x2+x·xy+x·y2+(-y)·x2+(-y)·xy+(-y)·y2=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3.点拨:(1)中先用3x分别与2a,3b相乘,再用-2y分别与2a,3b相乘,然后把所得的积相加;(2)中可先用二项式(x-y)中的x分别与三项式中的各项相乘,再用-y分别与三项式中的各项相乘,然后把所得的积相加. 考点2：整式乘法的实际应用【例2】为应对国际金融危机,2009年我国出台了一系列刺激住房消费的优惠政策.李小雨家刚刚买了一套房子,房子的结构如图所示(单位:m),他家打算在房子里铺满地砖.(1)他家至少需要购买多少平方米的地砖?(2)如果铺设的这种地砖的价格是每平方米3n元,请你帮他家算一算至少需要花多少钱?解:(1)4a·2b+(2a+a)(4b-2b)+b(4a-2a-a)=8ab+3a·2b+b·a=8ab+6ab+ab=15ab(m2);(2)3n·15ab=45abn(元).点拨：此种解法是把整个图形分成若干个小长方形,分别计算它们的面积,再把结果相加.分割的方法不同,所列的整式也就不同.第十四章14.1.7整式的除法知识点1：同底数幂的除法同底数幂相除,底数不变,指数相减.用式子表示为a m÷a n=a m-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n).关键提醒:(1)同底数幂的乘法与同底数幂的除法是互逆运算;(2)被除式、除式的底数相同,被除式的指数大于除式指数,0不能作除式;(3)底数可以是一个数,也可以是单项式或多项式,运用性质时要注意指数为“1”的情况.(4)法则可以逆用,即a m-n=a m÷a n;(5)当三个或三个以上同底数幂相除时,也有这一性质,即a m÷a n÷a p=a m-n-p(a≠0,m,n,p为正整数,m>n+p).知识点2: 0指数幂的意义任何不等于0的数的0次幂都等于1,即a0=1(a≠0).(1)根据同底数幂的除法法则可得a m÷a m=a m-m=a0=1.(2)a0中,底数不能为0.知识点3：单项式与单项式除法法则单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.归纳整理:(1)单项式除法的实质即有理数除法(系数部分)和同底数幂的除法的组合,单项式除以单项式的结果仍为单项式.(2)系数部分相除时包括前面的符号.(3)不要遗漏只在被除式中含有的字母.知识点4：多项式除以单项式法则多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.即(am+bm+cm)÷m=(am÷m)+(bm÷m)+(cm÷m)=a+b+c.归纳整理:(1)多项式除以单项式,是将其转化为多个单项式除以单项式.(2)多项式除以单项式所得的商式的项数与多项式的项数一致,不要漏项.考点1：同底数幂的除法法则的灵活应用【例1】已知3m=6,9n=2,求32m-4n+1的值.解: 32m-4n+1=32m×3÷34n=3 ÷,∵3m=6,9n=2,∴32m-4n+1=3×62÷22=27.点拨：欲求32m-4n+1的值,应逆用同底数幂的乘除法法则,将其转化为关于3m和9n的表达式后,利用整体代换的数学思想求.考点2：整式除法的计算【例2】计算:(1)(25x2+15x3y-20x4)÷(-5x2);(2)[2(m+n)5-3(m+n)4+(-m-n)3]÷[2(m+n)3].解:(1)原式=25x2÷(-5x2)+15x3y÷(-5x2)-20x4÷(-5x2)=-5-3xy+4x2;(2)原式=2(m+n)5÷2(m+n)3-3(m+n)4÷2(m+n)3-(m+n)3÷2(m+n)3 =(m+n)2-(m+n)-=m2+2mn+n2-m-n-.点拨:(1)先写成单项式除以单项式和的形式,再按单项式和单项式除法法则计算;(2)注意运算顺序.考点3：整式除法的实际应用【例3】某高分子聚合材料的性质优于铝合金材料,且密度为9×102kg/m3,已知铝的密度为2.7×103kg/m3.铝的密度是这种材料密度的多少倍?解:(2.7×103)÷(9×102)=(2.7÷9)×(103÷102)=0.3×10=3.点拨:应用单项式除法法则进行化简计算.第十四章14.2.1平方差公式知识点1：平方差公式两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,即(a+b)(a-b)=a2-b2,这个公式叫做(乘法的)平方差公式.归纳整理:在根据平方差公式进行计算时,要注意必须满足以下条件:①公式的左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一个是相同的项,另一个是互为相反数的项;②公式的右边是两个数的平方的差的形式,而且是用相同的项的平方减去互为相反数的平方.用式子可以这样表示:(△+○)(△-○)=△2-○2,此时的△和○可以代表单项式,也可以代表多项式.知识点2：利用平方差公式进行简便运算利用平方差公式,可把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式,从而达到简便运算的目的,此法体现了转化的思想.考点：利用平方差公式计算【例】计算:(1)100.5×99.5;(2)(a+3)(a-3)-(a+2)(a-5);(3)(x2+yz)(x2-yz).解:(1)100.5×99.5=(100+0.5)(100-0.5)=1002-0.52=9999.75;(2)(a+3)(a-3)-(a+2)(a-5)=a2-32-(a2-3a-10)=a2-9-a2+3a+10=3a+1;(3)(x2+yz)(x2-yz)=(x2)2-(yz)2=x4-y2z2.点拨:(1)可以变形为(100+0.5)(100-0.5)后用平方差公式;(2)中前面一算式可以用平方差,后一算式用多项式乘法展开后合并同类项;(3)中分别把x2,yz看作公式中的a,b,然后套用公式.第十四章14.2.2完全平方公式知识点1：完全平方公式两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.即(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.公式的特点:两个公式的左边都是一个二项式的完全平方,二者仅差一个“符号”不同;右边都是二次三项式,其中两项是公式左边二项式中每一项的平方,中间一项是左边二项式中的两项乘积的2倍,二者也仅差一个“符号”不同.知识点2：添括号(1)添括号法则包括两种情况,一种是括号前是正号时,括到括号里的各项都不变符号;另一种是括号前是负号时,括到括号里的各项都改变符号.所以,添括号时要分清括号前是什么符号.(2)使用添括号法则时,要分清括到括号里的项是哪些项.(3)添括号和去括号正好相反,添括号是否正确可以用去括号来检验.知识点3：三数和平方公式的简单应用完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘,而对于形如(a+b+c)2的乘法运算,应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项,即先变形为或或,再进行计算.考点1：利用完全平方公式化简求值【例1】已知x2-5x=14,求-+1的值.解:-+1=2x2-x-2x+1-(x2+2x+1)+1=2x2-x-2x+1-x2-2x-1+1=x2-5x+1,当x2-5x=14时,原式=(x2-5x)+1=14+1=15.点拨：本题利用公式化简后,再用整体代换的数学思想求值,不必将已知等式中的x值求出.考点2：完全平方公式的应用【例2】如图,长方形ABCD的周长是20 cm,以AB,AD为边分别向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和正方形ADGH 的面积之和为68 cm2,那么长方形ABCD的面积是( )A.21 cm2B.16 cm2C.24 cm2D.9 cm2答案:B点拨：设AB=x cm,AD=y cm,由题意得x2+y2=68,x+y=10,所以(x+y)2=100,即x2+y2+2xy=100,所以2xy=32,xy=16,所以长方形ABCD的面积是16 cm2 ,选B.此题是一道几何计算问题,运用方程的方法可转化为整式的运算问题.第十四章14.3.1提公因式法知识点1：因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.关键提醒:分解因式是整式乘法的逆向变形.因式分解:等式左边是一个多项式,等式右边是整式的积的形式;整式乘法:等式左边是几个整式的积的形式,等式右边是一个多项式.知识点2：提公因式法分解因式(1)多项式中各项都含有的公共的因式,叫做多项式的公因式.确定公因式的原则是:①各项系数都是整数应提取各项系数的最大公约数;②字母提取各项的相同的字母;③各字母的指数取次数最低的.(2)如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.归纳整理:(1)当一个多项式的各项公因式是其中的单独一项时,提取公因式后该项应用1补上,不能漏掉;(2)如果多项式按一定顺序列出后,首项为负时,一般要连同“-”号提出,使括号内的第一项的系数为正的,但在提出“-”后括在括号内的各项与原来相比要改变符号;(3)有时提取公因式后要对括号内的项进行适当的化简,发现公因式还要及时提取;(4)如果公因式含有多项式因式时,应注意符号的变换,如(a+b)2=(b+a)2,(a-b)3=-(b-a)3;(5)因式分解的结果应将单项式写在前面,多项式写在后面,相同的因式写成乘方的形式.考点1：提公因式法分解因式【例1】把下列各式因式分解:(1)2a2bc+8a3b;(2)-a2x m+2+abx m+1-acx m-ax m+3;(3)6q(p+q)-4p(p+q);(4)a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a).解:(1)2a2bc+8a3b=2a2b·c+2a2b·4a=2a2b(c+4a);(2)-a2x m+2+abx m+1-acx m-ax m+3=-ax m·ax2+ax m·bx-ax m·c-ax m·x3=-ax m(x3+ax2-bx+c);(3)6q(p+q)-4p(p+q)=2(p+q)·3q-2(p+q)·2p=2(p+q)(3q-2p);(4)a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a)=a(a-b)3+2a2(a-b)2+2ab(a-b)=a(a-b)[(a-b)2+2a(a-b)+2b]=a(a-b)(3a2-4ab+b2+2b).点拨：根据提公因式法的一般步骤,先确定各题的公因式,再提取即可.在第(2)题中,因多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号;在第(4)题中,将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为含有公因式,如:当n为正整数时,(a-b)2n=(b-a)2n;(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1.考点2：提公因式法的简便应用【例2】计算123×+268×+456×+521×.解:原式=×(123+268+456+521)=×1 368=987.点拨：算式中每一项都含有,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果.第十四章14.3.2公式法（一）知识点：利用平方差公式分解因式两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积,即a2-b2=(a+b)(a-b).归纳整理:对于利用平方差公式分解因式时一般要满足:①要分解的因式是一个二项式,而且这两项都是一个数的平方的形式;②含有的两项的符号还必须是相反的;③当利用该方法分解因式时,如果存在公因式时,应先提出公因式.考点1：利用平方差公式因式分解【例1】分解因式:(1)(x+p)2-(x+q)2;(2)16(a-b)2-9(a+b)2.解:(1)原式=(x+p+x+q)(x+p-x-q)=(2x+p+q)(p-q);(2)原式=[4(a-b)]2-[3(a+b)]2=[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]= (4a-4b-3a-3b)=(7a-b)(a-7b).点拨:(1)把(x+p)看作a,(x+q)看成b;(2)先把式子化成[4(a-b)]2-[3(a+b)]2后,再用平方差公式分解.考点2：利用平方差公式因式分解解决问题【例2】用因式分解法证明499-714能被2400整除.解:499-714=(72)9-714=718-714=714(74-1)=714×2400,∴499-714被2400整除得714.点拨:首先把底数化成相同的,然后再提公因式.第十四章14.3.3公式法（二）知识点1：利用完全平方公式分解因式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方,即a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.归纳整理:利用完全平方公式分解因式时,必须具备以下几点:①首先利用完全平方公式分解因式的式子必须是三项式;②在三项式中必须含有两项是平方的形式,而且这两项的符号相同,另一项是写成平方项的两项的积的2倍;③当要分解的因式中含有公因式时,要先提出公因式,然后再利用公式法分解.知识点2：x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解一个含有一个字母的二次三项式,如x2+ax+b=0,若a=p+q,b=pq,则x2+ax+b可以分解为(x+p)(x+q)的形式,即x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),利用这个公式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.关键提醒:x2+(p+q)x+pq型的二次三项式的因式分解的关键是合理地将一次项系数拆成两个数的和,而常数项恰好又是这两个数的积,然后直接套用公式即可.考点1：利用完全平方公式法因式分解【例1】分解因式:(1)4x2-20x+25;(2) +ab+a2b2;(3)16(a+b)2+40(a2-b2)+25(a-b)2.点拨:(1)式中2x,5分别为公式中的a,b;(2)中ab,分别为公式中的a,b;(3)中将4(a+b)与5(a-b)看作公式中的a,b.解:(1)原式=(2x)2-2×2x×5+52=(2x-5)2;(2)原式=+2××ab+(ab)2=;(3)原式=[4(a+b)+5(a-b)]2=(4a+4b+5a-5b)2=(9a-b)2.考点2：因式分解的综合题【例2】把多项式x3-2x2+x分解因式结果正确的是( )A.x(x2-2x)B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1)D.x(x-1)2答案:D点拨：x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2,故选D.本题要进行多步因式分解,首先提取公因式,然后再用公式.第十五章15.1.1从分数到分式知识点1：分式的概念分式的概念:形如(其中A、B都是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子叫做分式.归纳总结:1. 识别分式的两个要点:①分子、分母都是整式;②分母中必须含有字母,两者缺一不可.2. 整式与分式的区别:整式可以不含有分母,也可以含有分母,如果含有分母,分母只能是数字,不能是字母;而分式必须含有分母,分母中必须有字母.如是整式,就是分式.知识点2：分式有意义、无意义、值为零的条件对于分式而言,当B≠0时,分式有意义;当B=0时,分式无意义;当A=0且B≠0时,分式的值为零;当A、B同号时,分式的值为正;当A、B 异号时,分式的值为负.归纳整理:(1)分式有无意义的条件只与分母有关,与分子无关.但分式的值为零的条件,既与分子有关,也与分母有关,两者缺一不可.(2)确定使分式的值为零的条件的一般步骤是:先根据分子为零,求出字母所有的值,再将所求字母的值代入分母,检验分母的值是否等于0,若字母的值使分母不等于0,即为所求的值.考点1：分式的判断【例1】指出下列各式中哪些是整式?哪些是分式?,-,,,-3b2,,,x+y,-.解:整式有:,,x+y;分式有:-,,-3b2,,,-.点拨:整式与分式的区分关键是看分母中是否含有字母,含有字母的则是分式,不含有字母的则是整式,而不必对式子作其他的变形.考点2：分式有意义的条件【例2】当x取何值时,分式有意义.解:由(x+1)(x-2)≠0,得x+1≠0且x-2≠0.∴x≠-1且x≠2.∴x≠-1且x≠2时,原分式有意义.点拨:要使(x+1)(x-2)≠0,就必须x+1≠0且x-2≠0,可得分母不等于零的条件,从而得到分式有意义的条件.考点3：分式的应用【例3】两块棉田,第一块x公顷,每公顷收棉花m千克,第二块y 公顷,每公顷收棉花n千克,这两块棉田平均每公顷的棉产量是.解:kg.点拨:在本题中平均每公顷棉产量=,总产量是mx+ny,总面积是x+y,所以平均每公顷棉产量是千克.第十五章15.1.2分式的基本性质知识点1：分式的基本性质分式的基本性质:分式的分子与分母同乘以(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.用式子表示为: =,=,C≠0,其中A、B、C是整式.关键提醒:(1)基本性质式子中的A、B、C表示的是整式.(2)C是不为零的整式.C是一个含有字母的代数式,由于字母的取值是任意的,所以C就有等于0的可能性.因此运用分式的基本性质时,考查C的值是否为0,已成为重点.(3)分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.知识点2:分式的约分1. 利用分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.2. 约分的关键是找出分子与分母的公因式.公因式的确定方法:①当分子和分母都是单项式时,先找分子、分母系数的最大公约数,再找相同字母的最低次幂,它们的积就是公因式.②当分子和分母是多项式时,先把多项式因式分解,再确定.归纳整理:进行约分时,应注意以下几点:(1)当分式的分子与分母都是单项式时,可直接约分,也就是约去分子、分母系数的最大公约数,相同字母的最低次幂;(2)当分式的分子与分母都是多项式时,应先进行因式分解,再进行约分;(3)当分式的分子或分母的系数是负数时,可利用分式的基本性质,把负号提到分式的前面;(4)约分的结果应化为最简分式.知识点3：分式的通分(1)分式的通分:利用分式的基本性质,使分子和分母同时乘以适当的整式,不改变分式的值把几个分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.(2)最简公分母:各分母所有因式的最高次幂的积,叫作最简公分母.(3)分式通分的关键是确定几个分式的最简公分母.最简公分母的确定方法:①取各分母系数的最小公倍数;②凡单独出现的字母,则连同它的指数作为最简公分母的一个因式;③同指数幂取次数最高的,这样得到的因式的积就是最简公分母.考点1：分式的性质【例1】不改变分式的值,使下列分式的分子、分母都不含“-”号.(1);(2);(3).点拨:(1)改变分子、分母的“负”号,分式的值不变;(2)改变分子和分式本身的符号,分式的值不变;(3)改变分母和分式本身的符号,分式的值不变.解:(1)=;(2)=-;(3)=-.考点2：分数约分的计算【例2】下列约分正确的有( ).①=;②=1;③=0;④=.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个点拨:①分子、分母中的m分别与a和b相加,而不是相乘,故分子、分母没有公因式,①错误;②(m-n)3=-(n-m)3,约分后结果为-1,②错误;③分子、分母完全相同,约分以后应为1,③错误;④分子a2-2a-3=(a-3)(a+1),分母a2+2a+1=(a+1)2,约去公因式(a+1),结果为,④正确.答案:A.考点3：分数通分的计算【例3】通分:与.解:因为最简公分母是(m+3)(m-3),所以=,==-.点拨:通分的关键是确定各分母的最简公分母.先确定两个分式的最简公分母是(m+3)(m-3),再利用公式的基本性质分别变形.第十五章15.2.1分式的乘除知识点1：分式的乘法(1)分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.(2)分式的乘法法则的式子表示: ×=(A、B、C、D都是整式,B、D中都含有字母,且BD≠0).归纳整理:(1)分式与分式相乘,若分子、分母都是单项式,可先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式;若分子和分母都是多项式,先把分子、分母分解因式,看能否约分,然后再相乘.(2)当分式与整式相乘时,要把整式与分式的分子相乘作为积的分子,分母不变.(3)分式乘法的运算结果要通过约分化为最简分式或整式的形式. 知识点2：分式的除法(1)分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘(相当于有理数的除法中,除以一个数等于乘以这个数的倒数).(2)分式除法法则的分式表示:÷=×=(A、B、C、D都是整式,B、D中都含有字母,且B、C、D≠0).归纳整理:(1)分式的除法可以统一到分式的乘法,即颠倒除式的分子、分母,再与被除式相乘.(2)分式的乘除法的计算结果,要通过约分,化为最简分式(或整式).考点1：分式乘法的运算【例1】计算:(1)·;(2) (2y-x)·.解:(1)·==x y;(2) (2y-x)·=(2y-x)×=(2y-x)×=.点拨:(1)各分式的分子、分母都是单项式,直接运用乘法法则进行计算、约分;(2)分子、分母是多项式的分式乘法,先利用法则相乘,然后把各多项式分解因式、约分.考点2：分式除法的运算【例2】计算:(1)÷(-24ac2);(2)÷.点拨:熟练掌握除法法则和约分的技巧.其中(1)中的(-24ac2)看作,然后颠倒除式的分子、分母后与被除式相乘.(2)应先分解因式,再运用法则进行计算.解:(1)÷(-24ac2)=·=;(2) ÷=·=.第十五章15.2.2分式的乘方及乘除混合运算知识点1：分式的乘方(1)分式乘方的法则:分式的乘方等于分子、分母分别乘方.(2)分式乘方法则的分式表示: =(A、B是整式,B中含有字母,且B≠0,n为正整数).关键提醒:(1)分式乘方运算时,一定要把分式加上括号;(2)分式乘方时,应把分子、分母看做一个整体.知识点2：分式的乘、除混合运算分式的乘除混合运算统一为乘法运算.关键提醒:(1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同,即按照从左到右的顺序,有括号先算括号里面的.(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母符号的处理,可先确定积或商的符号.(3)分式的乘除混合运算结果仍是最简分式或整式.考点1：分式乘方的运算【例1】计算:(1);(2).解:(1)==;(2)===-.点拨:先运用分式乘方的法则,将分子、分母分别乘方,再综合运用幂的乘方和积的乘方法则计算.考点2：分式的乘除混合运算【例2】计算:(1)1÷·(m2-1);(2)÷(x+3)·.解:(1)原式=1××(m+1)(m-1)=-(m-1)2=-m2+2m-1.(2)原式=··=-.点拨:(1)因为分式的分子、分母中的多项式能分解因式,故先因式分解再进行分式的乘除计算;(2)(x+3)是一个整式,在运算中,需把(x+3)看作是分母为1的式子,然后按分式的乘除法法则运算.第十五章15.2.3分式的加减知识点：分式的加减法分式的加减法与分数的加减法一样,分成同分母分式相加减和异分母分式相加减两种.1. 同分母分式的加减法法则:分母不变,分子相加减.用式子表示为±=.2. 异分母分式的加减法法则:异分母分式的加减法,先通分化为同分母的分式,然后相加减.用式子表示为±=±=.归纳总结:(1)把分子相加减是把各个分子的整体相加减,即各个分子应先加上括号后再加减,分子是单项式的可以省略括号;(2)异分母分式相加减时,先通分,然后再加减;(3)对于整式和分式之间的加减运算,则把整式看成一个整体,即看成是分母为1的分式,以便通分;(4)运算的结果仍是最简分式或整式.考点1：分式加减的运算【例1】计算:(1)-;(2)+.解:(1)原式=-===.(2)原式==-1.点拨:本例两个题都不是同分母.注意到(a-b) 2与(b-a)2相等,a-1与1-a 互为相反数,所以都可以将异分母化成同分母计算.考点2：分式加减的简便计算【例2】已知b-1的相反数等于它本身,ab与-2互为相反数,求+ +…+的值.解:∵b-1的相反数等于它本身,。
人教版八年级上册数学分式知识点总结
人教版八年级上册数学分式知识点总结数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
不同的数学家对数学的确切范围有不同看法。
下面是整理的人教版八年级上册数学分式知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
人教版八年级上册数学分式知识点一、分式※1、两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.※2、整式和分式统称为有理式,即有:※3、进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.※4、一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.二、分式的乘除法※1、分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.※2、分式乘方,把分子、分母分别乘方.逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.※3、分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.三、分式的加减法※1、分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.※2、分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;上述法则用式子表示是:(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:※3、概念内涵:通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.四、分式方程※1、解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.※2、列分式方程解应用题的一般步骤:①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;④解方程,并验根;⑤写出答案.数学解题方法与技巧填空题答题技巧要求熟记的基本概念、基本事实、数据公式、原理，复习时要特别细心，注意记熟，做到临考前能准确无误、清晰回忆。
新人教版八年级数学上册《分式》知识点归纳
新人教版八年级数学上册《分式》知识点归纳规则进行运算。
通分的方法是将各个分式的分母化为相同的多项式，然后将分子进行相应的乘法运算，最后再按同分母分式的加减法规则进行运算。
最后的计算结果必须化为最简分式或整式。
分式是数学中的重要概念之一，它表示了两个整式的比值，其中分母中含有字母的被称为分式，而分母中没有字母的则被称为整式。
分式的约分是指将分子和分母的公因式约去，化为最简分式或整式。
化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
分式方程是指分母中含有未知数的方程，将其变形为整式方程时需要注意增根的情况。
分式的乘除法规则和同分母分式加减法规则都需要注意化为最简分式或整式的要求。
2x+1与2x+1的分母相同，则最简公分母为__________。
2.分式3x+2x-1的倒数为__________。
3.分式2x+1x-3的平方为__________。
4.分式2x+3x-1与分式x-42x-1的和为__________。
5.若分式a+bc与分式a-bc互为倒数，则a²-b²的值为__________。
6.若分式2x-1x-2的值等于分式3x+2x+1的值，则x的值为__________。
7.分式2x+1x-3与分式x-12x+5的差为__________。
8.若分式ab+c的值等于分式ba+c的值，则a:b:c的比值为__________。
9.若分式a+b2的值等于分式a-b3的值，则a:b的比值为__________。
10.分式2x-1x+2的平方根为__________。
二、选择题（每小题3分，共15分）1.下列关于分式的说法中，正确的是（）A。
分式的分子和分母都是整式B。
分式的分母不能为0C。
分式的分子和分母都是单项式D。
分式的分子和分母都是多项式2.若分式a2b的值等于分式c3d的值，则（）A。
ad=3bcB。
ac=2bdC。
ab=3cdD。
ad=2bc3.若分式ab+c的值等于分式ba+c的值，则a:b:c的比值为（）A。
八年级上册第十五章-分式知识梳理
八年级数学第十五章--分式知识梳理知识点一、分式1、一般地，如果A,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 叫做分式。
分式 中，A 叫做分子，B 叫做分母。
2、分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才有意义。
3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
即： 其中A,B,C 是整式。
4、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约分，叫做分式的约分。
经过约分后的分式，分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
5、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
6、通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母知识点二、分式的运算7、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母即 8、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
即 9、分式乘方要把分子、分母分别乘方。
即 10、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
即 cb ac b c a ±=± 11、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
即 12、一般地，当n 是正整数时，B A B A B A CB C A B A ⋅⋅=)0(≠÷÷=C C B C A B A db c a d c b a ⋅⋅=⋅cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⨯=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛bdbc ad bd bc bd ad d c b a +=±=±)0(1≠=-a a a n n nn b a a b )(=-）（知识点三、分式方程13、分母中含有未知数的方程叫做分式方程14、解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母。
(人教版)八年级上册第十五章分式知识点总结及练习【精美版】
第十五章 分式一、知识概念： 1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bccc±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cbbdbd±±=⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a cac b dbd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad bdb cbc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m na a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn aa =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷mnm na a a-÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹1nn a a-=（0a ≠，n 是正整数）9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).分式常考例题精选1.若分式2a+1有意义，则a 的取值范围是 ( ) A.a=0 B.a=1 C.a ≠-1D.a ≠02.把分式方程2x+4=1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以 ( ) A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)3.分式方程12x −9-2x−3=1x+3的解为 ( ) A.3B.-3C.无解D.3或-34.今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获荔枝8 600kg 和9 800kg ，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg ，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg ，根据题意，可得方程 ( )A.8 600x= 9 800x+60B.8 600x= 9 800x−60C.8 600x−60=9 800xD.8 600x+60=9 800x5.若分式 2x−1 有意义，则x 的取值范围是 .6.若代数式 2x−1 -1的值为零，则x= ________.7.若关于x 的分式方程xx−1=3a2x−2-2有非负数解，则a 的取值范围是 .8.化简：(a −1a)÷a 2−2a+1a.9.先化简，再求值：(1m −1n )÷m 2−2mn+n 2mn，其中m=-3，n=5.10.某车队要把4000t 货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变). (1)从运输开始，每天运输的货物吨数n(单位：t)与运输时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系式?(2)因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数.11.先化简，再求值：(x+2x−x−1x−2)÷x−4x −4x+4，其中x 是不等式3x+7>1的负整数解.12.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题： 请求出篮球和排球的单价各是多少元?1．分式1x －1有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x>1 B ．x ≠1 C ．x<1 D ．一切实数2．下列各分式与ba 相等的是( ) A .b 2a 2 B .b ＋2a ＋2 C .aba 2 D .a ＋b 2a3．下列分式的运算正确的是( ) A .1a ＋2b ＝3a ＋bB ．(a ＋b c )2＝a 2＋b 2c 2C .a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋bD .3－a a 2－6a ＋9＝13－a4．化简(a ＋3a －4a －3)(1－1a －2)的结果等于( ) A ．a －2c B ．a ＋2 C .a －2a －3 D .a －3a －25．若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，则a 的值是( )A ．5B ．－5C ．3D ．－36．已知关于x 的分式方程m x －1＋31－x ＝1的解是非负数，则m 的取值范围是( )A ．m>2B ．m ≥2C ．m ≥2且m ≠3D ．m>2且m ≠37．小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程( )A .24x ＋2－20x ＝1B .20x －24x ＋2＝1C .24x －20x ＋2＝1D .20x ＋2－24x ＝18．当x ＝1时，分式x －b x ＋a 无意义；当x ＝2时，分式2x －b3x ＋a 的值为0，则a ＋b＝ ．9．方程5x ＝7x －2的解是x ＝ ．10．若(x －y －2)2＋|xy ＋3|＝0，则(3x x －y －2x x －y )÷1y的值是 ．11.关于x 的分式方程m x 2－4－1x ＋2＝0无解，则m ＝ ．12．计算或化简：(1)38－2－1＋|2－1|；(2)2xx2－4－1x－2；(3)3－a2a－4÷(a＋2－5a－2)．13．解分式方程：(1)1x－x－2x＝1; (2)12x－1＝12－34x－2.14．先化简(1＋1x－2) ÷x－1x2－4x＋4，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值；15．小明去离家2.4 km的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min，骑自行车的速度是步行速度的3倍．(1)小明步行的速度是多少？(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？第1节探究电流与电压、电阻的关系实验(建议时间：20分钟)1. (2019铜仁)小李为了探究“电流与电压的关系”，请你与他合作并完成以下实验步骤．(1)请你在虚线框中设计出相应的电路图．第1题图(2)小李在探究电流与电压的关系时，要控制________不变．通过实验探究，得到以下数据，在进行数据分析时，小李发现表格中有一组错误的数据，请你找出第________组数据是错误的．序号 1 2 3 4 5电压U/V 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4电流I/A 0.16 0.24 0.32 0.44 0.48(3)为了分析电流与电压的定量关系，请你利用正确的数据，在坐标中绘制出电流与电压关系的图像．2. (2019巴中)同学们想探究“导体中电流跟导体两端电压的关系”：(1)小明同学通过学习知道了________是形成电流的原因，因此做出了如下三种猜想：A. 电流跟电压成反比B. 电流跟电压成正比C. 电流跟电压无关(2)为了验证猜想，小明设计了如图甲所示的电路图，其中电源为三节新干电池，电阻R为10 Ω，滑动变阻器R标有“50 Ω 1 A”字样，电压表电流表均完好．第2题图实验次数 1 2 3电压U/V 2 2.6 3电流I/A 0.20 0.26 0.30第2题图丙①根据甲电路图将乙图实物电路连接完整；②闭合开关前，小明应将滑动变阻器滑片移到________阻值处(选填“最大”或“最小”)；③他检查电路时发现电压表、电流表位置互换了，若闭合开关电流表________(选填“会”或“不会”)被烧坏；④排除故障后小明进行了实验，得到表格中的实验数据．分析数据，可得出的正确结论是：电阻一定时，________________________________．(3)小明还想用这个电路测量小灯泡的额定功率，于是他将电阻R换成一只额定电压是4 V 的小灯泡(阻值约为13 Ω)，电阻一定时，并将电压表量程更换为15 V，闭合开关S后，调节滑片至电压表示数为4.0 V时，电流表示数如图丙所示为______A，小灯泡的额定功率为________W.3. (2019临沂)在“探究电流与电阻关系”的实验中，小明依次选用阻值为5 Ω、10 Ω、20 Ω的定值电阻进行实验．第3题图(1)图甲是实验的实物连线图，其中有一条导线连接错误，请在该导线上打“×”并画出正确连线．(2)改正错误后闭合开关，电流表有示数而电压表无示数，电路故障可能是________．(3)排除故障后闭合开关，移动滑动变阻器的滑片至某一位置，电流表的示数如图乙所示，此时电路中的电流为________A.(4)断开开关，将5 Ω的定值电阻换成10 Ω的并闭合开关，此时应将滑动变阻器的滑片向______(选填“左”或“右”)端移动，这一过程中眼睛要一直观察________表示数的变化．(5)下表是实验中记录的数据，分析数据可知：①10 Ω定值电阻的功率为________W.②当导体两端的电压一定时，通过导体的电流与导体的电阻成________比．参考答案第十五章欧姆定律第1节探究电流与电压、电阻的关系实验1. (1)如答图甲所示第1题答图甲(2)电阻 4 (3)如答图乙所示第1题答图乙2. (1)电压(2)①如答图所示②最大③不会④导体中的电流与它两端的电压成正比(3)0.3 1.2第2题答图3. (1)如答图所示(2)R短路 (3)0.4 (4)右电压(5)①0.4 ②反第3题答图第十五章电流和电路摩擦起电：摩擦过的物体具有吸引轻小物体的现象——带电体==本质：电荷的转移正电荷：被丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷种类电荷负电荷：被毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷性质：同种电荷互相排斥，异种电荷互相排斥检验：验电器——原理：同种电荷互相排斥电量：q 单位：库伦简称：库符号：CC元电荷：最小电荷：e=1.6×1019组成：电源、开关、导线、用电器电源：提供电能开关：控制电路通断作用用电器：消耗电能导线：传输电能的路径导体：金属、人体、食盐水两种材料绝缘体：橡胶、玻璃、塑料电流产生条件①电路闭合②保持通路定义：正电荷移动的方向电路电流的方向在电源中电源的正极→用电器→电源的负极1617单位：A −→−310mA −→−310A μ 工具：电流表 ○A测量 使用方法 ①电流表必须和被测的用电器串联 电流的大小（I ） ②看清量程、分度值，不准超过电流表的量程 ③必须正入负出④任何情况下都不能直接连到电源的两极 电路的连接：先串后并，就近连线，弄清首尾 通路：接通的电路 三种状态 断路：断开的电路短路：电流不经过用电器直接回到电源的负极 两种类型：一、电荷1、物体有了吸引轻小物体的性质，我们就说物体带了电荷；换句话说，带电体具有吸引轻小物体的性质。
八年级上册数学《分式》知识点归纳与总结
八年级上册数学《分式》知识点归纳与总结八年级上册《分式》知识点归纳与总结一、分式的定义：分式是由两个整数A和B组成的表达式，其中B中含有字母。
A为分子，B为分母。
分式有意义的条件是分母不为零（B≠0），无意义的条件是分母为零（B=0）。
分式的值为A/B，其中分母不为零。
分式的值为正或大于零的条件是分子和分母同号（A>0且B>0或A0且B0）。
分式的值为1的条件是分子和分母相等（A=B≠0），为-1的条件是分子和分母互为相反数（A+B=0，B≠0）。
二、分式的基本性质：分式的分子和分母同乘或除以一个不为零的整式，分式的值不变。
即A/C ÷ B/C = A/B，AC/BC = A/B。
分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
三、分式的约分：约分是指把一个分式的分子和分母的公因式约去，使得分子和分母没有公因式。
约分的步骤是先对分子和分母进行因式分解，然后约去分子和分母的公因式。
最简分式是指分子和分母没有公因式的分式。
四、分式的通分：通分是指把几个异分母的分式化成相等的同分母分式。
通分的最简公分母是各个分母所有因式的最高次幂的积。
通分的步骤是先对各个分母进行因式分解，然后取各个分母所有因式的最高次幂作为最简公分母的因式，再把各个分子乘上相应的因式。
五、分式的四则运算和乘方：分式的加减法是先通分，然后把分子相加或相减，再约分得到最简分式。
分式的乘法是把分子相乘，分母相乘，然后约分得到最简分式。
分式的除法是把除数倒数，然后乘以被除数，得到商的最简分式。
分式的乘方是把分子和分母分别乘以相应的次数，得到乘方的最简分式。
分式的乘除法法则：对于两个分式 $\frac{a}{c}$ 和$\frac{b}{d}$，它们的乘积为 $\frac{a\times b}{c\times d}$，对于一个分式 $\frac{a}{c}$ 和另一个分式 $\frac{b}{d}$ 的除法，可以转化为乘法，即$\frac{a}{c}\div\frac{b}{d}=\frac{a}{c}\times\frac{d}{b}=\frac{ ad}{bc}$。
最新人教版初中八年级上册数学【分式全章复习(第一课时)】教学课件
4 1
当a=0,
a 2+3 (a+2)(a 2) = a 2 ∙ (a+1)(a 1)
0+2 原式= 0-1
(a+1)(a+2)(a 2) = (a 2)(a+1)(a 1)
= 2.
a+2 =a 1 .
练习
如果
a2+2a
1=0 ，求代数式 (a
4 a2 a )∙ a 2
的值.
解：原式
=(
a2 a
4 a2 a )∙ a 2
例
3 a2 先化简 (1+ a 2 )÷a2
1 4
，再选一个你喜欢的值，
代入求出代数式的值.
解：原式
=(
a a
2 3 a2 2 + a 2 ) ∙ a2
4 1
分式混合运算的运算顺序：
先乘方，再乘除，最后加减， 有括号时先算括号内的运算.
a 2+3 (a+2)(a 2)
= a 2 ∙ (a+1)(a 1)
∴a2+2a=1. 整体代入
∴原式=1.
∵ a2+2a 1=0， ∴a2=1 2a. 或 2a=1 a2.
=a(a+2)
∴原式=a2+2a
=a2+2a .
=(1 2a)+2a =1.
分式的运算
分式乘方运算：
(
a b
)n=
an bn
.
如：(
4 2 42 16 a ) = a2 = a2
.
分式的运算
分式的运算
例
计算：
4n 3m
a ÷6m2
.
人教版八年级上册数学分式方程知识点复习总结大全
分式方程知识点复习总结大全 重点：1理解分式的概念、有意义的条件，分式的值为零的条件。
2理解分式的基本性质.3会用分式乘除的法则进行运算. 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘方的运算.6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8掌握整数指数幂的运算性质.9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.10利用分式方程组解决实际问题.难点： 1能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.2灵活应用分式的基本性质将分式变形. 3灵活运用分式乘除的法则进行运算 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8会用科学计数法表示小于1的数.9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.10会列分式方程表示实际问题中的等量关系.16.1 分式及其基本性质1.分式的概念：形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式。
其中 A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。
分母0 B ，分式BA才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式.分式值为0的条件：分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可） 例1： （ 2011重庆江津）下列式子是分式的是( )A.2x B.1+x x C. y x +2 D. 3x 【答案】B.注意：1π 不是分式例2：已知242x x -+ ，当x 为何值时，分式无意义? 当x 为何值时，分式有意义?例3：（2011四川南充市） 当分式21+-x x 的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0（B ）1 （C ）－1 （D ）－2 【答案】B2.分式的基本性质(1)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.MB M A M B M A B A ÷÷=••=，0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式。
八年级数学上册“第十五章分式”必背知识点
八年级数学上册“第十五章分式”必背知识点一、分式的定义与意义1. 分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式，A为分子，B为分母。
整式是分母中没有字母的代数式，而分式是分母中含有字母的代数式。
2. 分式有意义的条件：分母不能为0，即B≠0时，分式A/B才有意义。
3. 分式无意义的条件：分母为0，即B=0时，分式A/B无意义。
二、分式的基本性质基本性质：分式的分子与分母同乘 （或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：若C≠0，则A/B = A×C / B×C。
约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母是取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母。
三、分式的运算1. 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
即：(a/b) ×(c/d) = ac/bd。
2. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
即：(a/b) ÷(c/d) = (a/b) ×(d/c) = ad/bc。
3. 乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
即：(a/b)^n = a^n/b^n （其中n为正整数）。
4. 加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
即：(a/c) ±(b/c) = (a±b)/c。
异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
四、分式方程的解法定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
解法步骤：1. 去分母：把方程两边同乘以各分母的最简公分母，得到整式方程。
2. 解整式方程：解这个整式方程，得到整式方程的解。
八年级数学上册 期末复习精炼 第十五章 分式本章知识梳理课件 (新版)新人教版
思维导图
考纲要求
1. 了解分式和最简分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会 进行简单的分式加、减、乘、除运算. 2. 会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个).
知识梳理
如果A，B表示两个______，并整且式B中含有______，那么式子 字母叫做分式，其中A
公因式
同分母
6. 分式乘分式，用__分_子__的__积___作为积的分子，__分__母_的__积__ 作为积的分母. 7. 分式除以分式，把除式的_分__子_、__分__母__颠__倒__位_置___后，与被 除式相乘. 8. 分式的乘方要把_分__子____、__分_母____分别乘方. 9. 分式的混合运算顺序与数一样：先算乘方，再算_乘__除____， 最后算_______，加有减括号先算_________括，号同里级面运算按 _______顺先序后进行. 10. 在分式运算过程中，最后结果必须是_最__简__分__式_或__整__式__.
叫做分子，B叫做分母.
(1)分式 (2)分式
有意义的条件：______； 值为0的条件：__________________.
B≠0
A=0，且B≠0.
(1)语言叙述:分式的分子与分母同乘(或除以)一个________的整式，分式不的等值不于变0；
(2)字母表示:___________，___________(其中a,b,c是整式，且c≠0). 约分:把分式的分子与分母的_______约去，不改变分式的值. 通分:把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的_______的分式.
具整体式做方法程是_______.
去分母
(3)解分式方程时，去__分__母___所得的整式方程的解有可能使原 方程中_分__母___为0，因此解分式方程需验根. 将整式方程的 解代入_最_简__公__分__母__，如果最__简__公__分__母__的值不为0，则整式 方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的 解. (4)解应用题的一般步骤：设未知数、_列__方__程___、_______、 检求验解、写出答案.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料分式全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】【分式全章复习与巩固知识要点】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）. 3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4．零指数.5.负整数指数6.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ； 【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩解得3x =． ∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况.举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 类型二、分式运算3、计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-． 【答案与解析】 解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-． 【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（2016•聊城）计算：228244244x x x x x x +-⎛⎫-÷⎪---+⎝⎭． 【答案】 解：原式=()()()()28222224x x x x x x +-+-⋅+--=()()()()242224x x x x x ---⋅+-- =22x x --+ ．4、计算：（1）5231010-⨯⨯； （2）134139m npmn p ----÷； （3）22223a a b b ⎛⎫-⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）1322233(3)(2)(3)mn m n m n ----÷． 【思路点拨】（1）题和（2）题只有乘除运算，按幂的乘法和除法法则进行计算；（3）题中出现了分式，可先将每一个分式转化为整数指数幂，然后再用法则计算；（4）题中出现了整数幂的乘法、除法、乘方计算；先算乘方，再算乘除．【答案与解析】解：（1）原式5233133103103101000-+-=⨯=⨯=⨯=； （2）原式5111(4)3(1)252221(39)33n m n p m n p m p---------=÷==；（3）原式242222244994a a a b b b ba =÷= 242222999444ab a a--+-===； （4）原式333244333(2)(3)m n m n m n ---=-÷32434334(3)4443236363m m n m n n +-------⨯==-=-． 【总结升华】（1）整数指数幂的运算结果一般要用正整数指数幂来表示．如：（4）题中的结果得到4436m n --后，还要化为4436m n -．（2）进行混合运算时特别要注意运算顺序． 类型三、分式方程的解法【 分式全章复习与巩固 例6（1）】5、解方程23222x x x -=+- 【答案与解析】解：23222x x x -=+- 方程两边同乘以()()22x x -+，得()()()()2232222x x x x x --+=+- 72x =27x =检验： 当27x =时，最简公分母()()22x x -+≠0， ∴27x =是原方程的解. 【总结升华】分式方程一定要记得检验.举一反三：【变式】()1231244x x x -=---， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解． 类型四、分式方程的应用6、（2015•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得：﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ． 根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+． 解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。