苏北四市一模数学试卷

苏北四市２016-201７学年度高三年级第二次调研测试数学试题一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共７0分）１、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-,则AB = .2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位,则z 的模为 ．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分，去掉一个最低分,则剩下4个 分数的方差为 ．４、根据如图所示的伪代码,则输出S 的值为 .5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率 为 .6、若抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则实数a 的值为 ．７、已知圆锥的底面直径与高都是2,则该圆锥的侧面积为 ． 8、若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为 .９、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为 ．1０、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数,当0x >时，()23xf x =-，则不等式()5f x -≤ 的解集为 .1１、若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<,则313x y +-的最小值为 .12、已知非零向量,a b 满足a b a b ==+,则a 与2a b -夹角的余弦值为 .1３、已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点,AB =P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +的取值范围为 .１4、已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++⎩≥,若函数()f x 的图象与直线y x =有三 个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．二、解答题(本大题共６小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤)15、在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2cos (cos cos )A b C c B a +=． (１)求角A 的值; （2）若3cos 5B =,求sin()BC -的值.16、如图,在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，点,M N 分别是,AE CD 的中点.求证：(1)直线MN ∥平面EBC ;（2)直线EA ⊥平面EBC ．17、如图，已知,A B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的正西方向1km 处,3tan ,44BAN BCN π∠=∠=.现计划铺设一条电缆联通,A B 两镇,有 两种铺设方案:①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ,先沿线段AP 在地 下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km 、 4万元∕km .（1)求,A B 两镇间的距离;(2)应该如何铺设，使总铺设费用最低？1８、如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为22,且右焦点F到左准线的距离为62.(1）求椭圆C的标准方程；(2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M,过点F作MF的垂线,交y轴于点N．（ⅰ)当直线的PA斜率为12时，求FMN∆的外接圆的方程；(ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q,求APQ∆的面积的最大值．19、已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈． （１）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤; （2）证明:()()f x g x ≥;（3)是否存在常数,a b ,使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由.20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*∈N n .(1）求数列{}n a 的通项公式；（2)若对于N n *∀∈ ,都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围;（3）当2a =时,将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ,且12b a =，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b .徐州市201７届高三期末调研测试 数学试题参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计7０分．１.}3,0,2{- ２ ３．14 4.20 5.316.1 8．12-9.2 10.(,3]-∞- 11．813.[7,13] 14．{20,16}--二、解答题:本大题共６小题，共计90分．15.（１)由正弦定理可知，2cos (sin cos sin cos )sin A B C C B A +=, ………………2分即2cos sin sin A A A =，因为(0,π)A ∈,所以sin 0A ≠， 所以2cos 1A =,即1cos 2A =, ………………………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π3A =． ……………………………………………………6分(２)因为3cos 5B =,(0,π)B ∈，所以4sin 5B =，…………………８分所以24sin 22sin cos 25B B B ==,27cos212sin 25B B =-=-， ……………1０分所以2π2πsin()sin[()]sin(2)33B C B B B -=--=-2π2πsin 2cos cos2sin33B B =-………………………………12分2417()25225=-⨯--.…………………………………………………１4分 16.(１)取BE 中点F ,连结CF ,MF ，又M 是AE 的中点,所以12MF AB =∥,又N 是矩形ABCD 边CD 的中点,所以12NC AB =∥，所以MF NC =∥, 所以四边形MNCF 是平行四边形,…4分 所以MN CF ∥,又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以MN ∥平面EBC .………………………………………………………7分 (2）在矩形ABCD 中,AB BC ⊥,又平面⊥EAB 平面ABCD ，平面 ABCD 平面AB EAB =，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面EAB ,………………………………………………………10分 又EA ⊂平面EAB ,所以EA BC ⊥，又EB EA ⊥，BC EB B =，EB ,BC ⊂平面EBC ，所以⊥EA 平面EBC .………………………………………………………14分1７．(1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ．在Rt ABD △中,3tan tan 4BD BAD BAN AD ∠=∠==, 所以43AD BD =， 在Rt BCD △中，tan tan 1BDBCD BCN CD∠=∠==， 所以CD BD =． 则41133AC AD CD BD BD BD =-=-==,即3BD =， 所以3CD =，4AD =，由勾股定理得，5AB =（km).所以A ,B 两镇间的距离为5km ．……………………………………………4分 (2)方案①：沿线段AB 在水下铺设时,总铺设费用为5420⨯=(万元)．………６分方案②:设BPD θ∠=，则0π(,)2θθ∈,其中0BAN θ=∠,在Rt BDP △中,3tan tan BD DP θθ==,3sin sin BD BP θθ==, 所以344tan AP DP θ=-=-．则总铺设费用为6122cos 24886tan sin sin AP BP θθθθ-+=-+=+⋅.………８分 设2cos ()sin f θθθ-=，则222sin (2cos )cos 12cos '()sin sin f θθθθθθθ---==, 令'()0f θ=，得πθ=,列表如下：所以()f θ的最小值为()3f =所以方案②的总铺设费用最小为8+(万元）,此时4AP =． ……1２分而820+，所以应选择方案②进行铺设，点P 选在A的正西方向(4-km 处，总铺设费用最低.…………………………………………………………………………14分18.(1)由题意,得22c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得4,a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 则b =所以椭圆C 的标准方程为221168x y +=． ………………………………………4分（2)由题可设直线PA 的方程为(4)y k x =+,0k >，则(0,4)M k ,所以直线FN 的方程为4y x k =-,则2(0,)N k-. (i ）当直线PA 的斜率为12,即12k =时，(0,2)M ,(0,4)N -，F ，因为MF FN ⊥,所以圆心为(0,1)-，半径为3，所以FMN △的外接圆的方程为22(1)9x y ++=.……………………………8分(ii)联立22(4),1,168y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得，2222(12)1632160k x k x k +++-=，解得14x =-或2224812k x k -=+，所以222488(,)1212k kP k k -++，……………………1０分直线AN 的方程为1(4)2y x k=-+，同理可得,222848(,)1212k k Qk k --++，所以P ,Q 关于原点对称,即PQ 过原点.所以APQ △的面积211632()212122P Q kS OA y y kk k=⋅-=⨯=++≤……14分当且仅当12k k=,即2k =时,取“=”．所以APQ △的面积的最大值为．…………………………………………1６分1９.（１）当0a =时，2()2e x f x =，所以()0f x ≤的解集为{0}；当0a ≠时，()()2exf x x a =-，若0a >，则()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ; 若0a <，则()0f x ≤的解集为[2e ,0]a ． 综上所述，当0a =时，()0f x ≤的解集为{0};当0a >时,()0f x ≤的解集为[0,2e ]a ;当0a <时,()0f x ≤的解集为[2e ,0]a . ……………………4分（2)设2()()()ln 2ex h x f x g x x =-=-,则21e'()e e x x h x x x -=-=.所以函数()h x 的最小值为0h =,所以2()ln 02e x h x x =-≥,即()()f x g x ≥．…………………………………8分（3）假设存在常数a ,b 使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立，即22ln 2ex ax b x +≥≥对任意的0x >恒成立.而当x 21ln 2e 2x x ==,所以11222b ≥≥，所以122b =，则122b =-所以2212220(*)2e 2e 2x x ax b ax --=-+≥恒成立,①当0a ≤时，1202<,所以(*)式在(0,)+∞上不恒成立;②当0a >时，则2214(2)0e 2a -≤,即2(20a ≤,所以a =,则12b =-.……………………………………………………12分令1()ln2x x ϕ=+，则'()x ϕ=令'()0x ϕ=,得x =当0x <<'()0x ϕ>，()x ϕ在上单调增；当x >,'()0x ϕ<,()x ϕ在)+∞上单调减.所以()x ϕ的最大值0ϕ=.所以1ln 02x x -+≤恒成立．所以存在a ,12b =-符合题意．………………………………………1６分２０.(１）当1n时，121(1)(1)6(1)a a S ，故25a ;当2n ≥时，11(1)(1)6(1)nn n a a S n ， 所以+111(1)(+1(1)(1)6()6(1)nn n n n n a a a a S n S n ）， 即11(1)()6(1)nn n n a a a a , 又0n a ，所以116n n a a ，………………………………………………3分 所以216(1)66ka a k k a ，25+6(1)61k a k k ,*k N ， 故**33, ,,31, ,.n n a n n a n n n N N 为奇数为偶数 …………………………………………５分 （２）当n 为奇数时，1(32)(33)6n S n a n n , 由(31)n S n n ≤得,23321n n a n ≤恒成立, 令2332()1n n f n n ,则2394(1)()0(2)(1)n n f n f n n n ， 所以(1)4a f ≤．……………………………………………………………8分当n 为偶数时,13(3+1)6n S n n a n ， 由(31)n S n n ≤得,3(1)a n ≤恒成立, 所以9a ≤. 又10a a ,所以实数a 的取值范围是(0,4].……………………………10分 （３)当2a 时,若n 为奇数,则31na n ,所以31n a n . 解法１:令等比数列{}nb 的公比*4()m q m N ，则1(1)154n m n n b b q . 设(1)k m n ,因为214114443k k ， 所以(1)21545[3(1444)1]m n k , 213[5(144+4)2]1k ,…………………………１4分 因为215(144+4)2k 为正整数, 所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列,因为公比*4()m q m N 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列, 故无穷等比数列{}n b 有无数个.………………………………………………1６分 解法2:设222231(3)k b a k k ≥，所以公比2315k q ． 因为等比数列{}n b 的各项为整数，所以q 为整数,取*252()k m m N ,则31qm ,故15(31)n n b m ， 由1315(31)n n k m 得，11[5(31)1]()3n n k m n N ,而当2n ≥时,12215[(31)(31)]5(31)3n n n nn k k m m m m , 即215(31)n n n k k m m ,…………………………………………………１４分又因为12k ,25(31)n m m 都是正整数，所以n k 也都是正整数, 所以数列{}n b 是数列{}n a 中包含的无穷等比数列， 因为公比*31()qm m N 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列, 故无穷等比数列{}n b 有无数个．………………………………………………16分。