高中数学课时训练(含解析)：不等式 (1)

【课时训练】第33节 二元一次不等式(组)与简单的线性

规划问题

一、选择题

1．(江西七校质检)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

y ≤－x ＋1，y ≤x ＋1，

y ≥0，则3x ＋5y 的取值范

围是( )

A ．[－5,3]

B ．[3,5]

C ．[－3,3]

D ．[－3,5]

【答案】D

【解析】做出如图所示的可行域及l 0：3x ＋5y ＝0,平行移动l 0到l 1过点A (0,1)时,3x ＋5y 有最大值5,平行移动l 0至l 2过点B (－1,0)时,3x ＋5y 有最小值－3.故选D.

2．(济南模拟)已知变量x ,y

满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ≥1，x ＋y ≥1，

1＜x ≤a ，

目标函数z ＝x ＋2y

的最大值为10,则实数a 的值为( )

A ．2

B ．8

3 C ．

4 D ．8

【答案】C

【解析】依据线性约束条件做出可行域如图中阴影部分所示,当目标函数经过点A (a ,a －1)时取得最大值10,所以a ＋2(a －1)＝10,解得a ＝4.故选C.

3．(四川绵阳二诊)不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥0，x ＋3y ≥4，

3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于

( )

A.32

B ．23

C ．43

D ．34

【答案】C

【解析】做出平面区域如图中阴影部分所示．

联立⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4，解得A (1,1)．易得B (0,4),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43,|BC |＝4－43＝83. ∴S △ABC ＝12×83×1＝43.

4．(安徽蚌埠二模)实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥a ，y ≥x ，

x ＋y ≤2，(a ＜1)且z ＝2x ＋y 的最大值是

最小值的4倍,则a 的值是( )

A.2

11

B ．14

C

．12 D ．11

2

【答案】B

【解析】做出不等式组表示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示,平移直线2x ＋y ＝0,可知在点A (a ,a )处z 取最小值,即z m i n ＝3a ,在点B (1,1)处z 取最大值,即z m a x ＝3,所以12a ＝3,即a ＝1

4.

5．(江苏南京模拟)已知点P

的坐标(x ,y )满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤4，y ≥x ，

x ≥1，

过点P 的直线l

与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ,B 两点,则|AB |的最小值是( )

A ．2 6

B ．4

C ． 6

D ．2

【答案】B

【解析】根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示．设点P 到圆心的距离为d ,则求最短弦长等价于求到圆心距离d 最大的点,即为图中的P 点,其坐标为(1,3),则d ＝1＋32＝10,此时|AB |m i n ＝214－10＝4.故选B.

6．(沈阳质量监测)实数x ,y

满足⎩⎪⎨⎪

⎧

y ≤2x ＋2，x ＋y －2≥0，

x ≤2，

则z ＝|x －y |的最大值是

( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

【答案】B

【解析】依题意画出可行域如图中阴影部分所示．令m ＝y －x ,则m 为直线l ：y ＝x ＋m 在y 轴上的截距,由图知在点A (2,6)处m 取最大值4,在C (2,0)处取最小值－2,所以m ∈[－2,4],所以z 的最大值是4.故选B.

7．(烟台模拟)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，

3x ＋y －8≤0所

表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( )

A ．2

B ．1

C ．－

1

3 D ．－12

【答案】C

【解析】如图所示,⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，

3x ＋y －8≤0

所表示的平面区域为图中的阴影部分．

由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0

得A (3,－1)． 当点M 与A 重合时,OM 的斜率最小,k OM ＝－1

3.故选C. 8．(河南八市质检)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥2，x ＋y ≤4，

－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z ＝

6x ＋2y 的最小值是10,则z 的最大值是( )

A ．20

B ．22

C ．24

D ．26

【答案】A

【解析】由z ＝6x ＋2y ,得y ＝－3x ＋z

2,做出不等式组所表示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示,由图可知当直线y ＝－3x ＋z

2经过点C 时,直线的纵截

距最小,即z ＝6x ＋2y 取得最小值10,由⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2，

y ＝－1，

将其代入

直线－2x ＋y ＋c ＝0,得c ＝5,即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0,平移直线3x ＋y ＝0,当

直线经过点D 时,直线的纵截距最大,此时z 取最大值,由⎩⎪⎨⎪⎧

－2x ＋y ＋5＝0，

x ＋y ＝4，得

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3，

y ＝1，

即D (3,1),将点D 的坐标代入直线z ＝6x ＋2y ,得z m a x ＝6×3＋2＝20.故选A.

9．(吉安质检)若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧

y ≤2，|x |－y ＋1≤0，

则z ＝x ＋y

x －2的最小值为( )

A ．－2

B ．－3