第2章_二次型的矩阵处理

例：写出如下二次型的矩阵
1)
2)
3)
3 可逆线性变换的矩阵表示
二次型主要是化标准形问题，即通过如下的可逆线性变换
将二次型化为只含平方项的标准形式。
对上述可逆的线性变换，若记 C = (cij)，则上述变换可写 成矩阵形式 x = Cy. 其中矩阵C可逆。反之，若矩阵 C 可逆，则 x=Cy 为可逆的
定理：合同的矩阵有相同的秩。
证明：… 对二次型，由于经可逆的线性变换前后的矩阵是合同的， 从而其秩也是一样的，又由于二次型矩阵的秩又称为二次型 的秩，因此可说，可逆的线性变换不改变二次型的秩。
二 二次型的正交标准化
对实对称矩阵,我们有 定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 U，使 U-1AU = UTAU = Λ ， 其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵。
时指出了所求的可逆的线性变换。
例：求一个正交变换 x=Py，把如下的二次型化为标准形。
解：二次型 f 的矩阵为
A的特征多项式为
对上述基础解系再先正交化，然后再单位化即可得到构造正 交矩阵的正交单位向量p2, p3, p4； 问题：能否直接构造出正交的基础解系？ 活 的 ， 有 灵 性 的 。 知 识 是 死 的 ， 人 是
( A, E)
例：化二次型为标准形
(Λ , C )
T
记
则所求的非退化线性替换为 x = Cy.
例: 化二次型为标准形
解：用初等变换法 ＝
故作如下wk.baidu.com退化线性替换
则可将 f 化为如下的标准形
使得
xTAx = (Cy)TA(Cy) = yT(CTAC)y = yTBy 为二次形的标准形，其中 B=CTAC 为对称矩阵，故为标准 形的矩阵，从而一定是对角矩阵。
对上面内容的描述，若只考虑矩阵内容，则可得如下结论：
定理：对任意的对称矩阵A，总存在可逆的矩阵C，使得
CTAC 为对角形矩阵。 这样由于表示式 f = xTAx 的存在，使得我们完成了二次型知识到矩阵知识的转化。
二 次 型
第1节 二次型的概念
第2节 二次型的矩阵处理
第2节 二次型的矩阵处理
一 二次型的矩阵表示形式 1 二次型可以用矩阵表示
＝
(注意这里 aij=aji )
若记
对如上的二次型矩阵表示形式，显然矩阵 A 完全决定了
二次型 f，注意矩阵 A 的特点，
aij = aji, 即 A 为对称矩阵。 其实任给一个方阵 A，即不要求 A 对称，则 f = xT A x, (i,j=1, 2, …, n)
即存在初等矩阵使得上式为对角矩阵。
又若P为初等矩阵，则 PTAP 相当于先对 A 作了一个列 初等变换，又作了一个行初等变换，并且是成对的。 因此上式又表明，只需对 A 作一系列成对的初等变换， 就可以变成对角形，我们只需记录下全部的列变换或全部的 行变换，就得到了矩阵 C 或 CT。
初等变换法化二次型为标准形
终极目标是求特征值吗？
将二次型化为简单的标准形式， 目标并不在于求特征根，因此求特征值与特征向量或许没有 必要。我们再来看定理 定理：对任意的 n 元实二次型 f = xTAx，其中A=AT为 f 的矩
阵，则存在可逆正交变换 x=Uy，可化二次型为标准形。
做多了
在用配方法证明二次型可经可逆的线性变换化为标准形的
则存在可逆正交变换 x=Uy，可化二次型为标准形。
证明：因为 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 U，使 U-1AU = UTAU = Λ ， 其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵。从而有 f = xTAx = (Uy)T A (Uy) = yTUTAUy
= yT(UTAU) y
= yT Λ y 由于 Λ 是对角矩阵，从而正交变换Uy将二次型化为标准形。 证毕。 注意：这里给出了二次型可化为标准形的矩阵证明方式；并同
都是一个二次型。比如
2 二次型与矩阵的关系
对二次型 xTAx，它由A完全确定，如此则二次型的一些
特性应能在矩阵A中有所反应。但注意到如不对矩阵 A 加以 限制，则一个二次型可以对应不同的方阵，反之，不同的方
阵也有可能定义同一二次型。这种不惟一性将导致关系的无
法传递（即无法建立映射），从而应予以克服。 若要求A为对称矩阵，则任一二次型都可惟一地对应于 一个对称矩阵；反之任一对称矩阵可惟一对应于一个二次型， 且这种对应是一一映射关系，这样就克服了不惟一性问题。 对二次型 xTAx，若A为对称矩阵，则称 A 为二次型 f 的矩阵，称 f 为对称阵 A的二次型。 对称阵 A 的秩就叫做二次型 f=xTAx 的秩。
上述分析还表明二次型变换前后的矩阵有如下关系
B = CTAC. 定义：设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵 C，使 B=CTAC， 则称矩阵 A 与 B 合同，或称 A 合同于 B，记作 A 定理：对称矩阵一定与对角矩阵合同。 B。
矩阵的合同是一种等价关系：
1) 反身性：
2) 对称性： 3) 传递性：
线性变换。
4 二次型结论向矩阵结论的转化
在第一节我们只使用二次型的知识论证了任一二次型 都可以通过可逆的线性变换化为标准形。 本节前面的论述则指明二次型及其线性变换可表示成 矩阵的形式。 基于二次型通过可逆变换能够化成标准形及其矩阵表 示形式，我们可以得到： 对任一二次型 xTAx, 其中 AT=A，存在 x=Cy, C可逆，
结论中，我们只使用了二次型如下的的一般记法
＝
并没有涉及到矩阵知识。但如前所述，二次型与对称矩阵存在
一一对应关系，因此二次型可经可逆线性变换化为标准形的结 论在对称矩阵上必有所反应。即对称矩阵应有相应的性质对此 作出解释。
由定理，若A为对称矩阵，知必存在可逆的矩阵C，使得
CTAC
为对角矩阵。 因可逆的矩阵可表示为初等矩阵的乘积，从而存在初等 矩阵 , 使得 代入上式则有：
在前面我们使用数学归纳法证明了二次型是可以通过可逆
的线性变换化为标准形，但这里有两个问题或麻烦，其一是证 明过程的表述形式过于繁杂；其二是确定所说的可逆的线性变 换也不是简单易得的。 问题：真对如上关于对称矩阵的结论，能否用于二次型的
可化为标准形证明，以及确定所求的可逆的线性变换？
定理：对任意的 n 元实二次型 f = xTAx，其中A=AT为 f 的矩阵，
对已是正交的基础解系单位化，
从而所得的正交变换为
且有
f =
三 二次型化标准形问题的进一步分析及初等变换法
在上例中，我们给出了二次型化标准形问题的正交变换法。
但上例的求解过程表明，这种方法也并不简单。 比如试用正交变换法化如下的二次型为标准形
解：二次型的矩阵为
它的特征多项式为
该多项式无有理根。
由于当 A 的特征多项式没有有理根，从而只能是无理根。 此时该多项式的的因式分解没有一般的方法可循，这构成一 个实际的困难，即无法确定特征值。 问题：我们目标是什么？