第2章_二次型的矩阵处理
二次型矩阵知识点总结笔记
二次型矩阵知识点总结笔记
二次型矩阵是线性代数中的重要概念，涉及到矩阵、向量、特
征值等多个知识点。
下面我将从不同角度对二次型矩阵进行总结：
1. 定义，二次型矩阵是一个实对称矩阵，通常用矩阵Q表示。
它可以表示为一个关于向量x的二次齐次多项式，即Q(x) = x^T
A x，其中A是实对称矩阵，x是列向量。
2. 矩阵的性质，二次型矩阵的主要性质包括实对称性、正定性、负定性、半正定性、半负定性等。
这些性质与矩阵的特征值和特征
向量密切相关。
3. 特征值分解，对于二次型矩阵，可以进行特征值分解，得到
矩阵的特征值和特征向量。
这对于分析矩阵的性质和优化问题具有
重要意义。
4. 应用，二次型矩阵在优化问题、统计学、物理学等领域有着
广泛的应用。
例如在最小二乘法、主成分分析、正定规划等问题中
都涉及到二次型矩阵的应用。
总的来说，二次型矩阵是线性代数中一个重要且复杂的概念，涉及到多个方面的知识点。
深入理解二次型矩阵对于理解矩阵理论和应用具有重要意义。
希望这些总结对您有所帮助。
高等代数二次型及其矩阵表示
来曲线的性质，如：对圆 x21 + x22 = 1，令
( ) ( )( )
x1 = 1 0 y1 ,
x2
0 0 y2
得 y21 = 1 为两直线.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
把方程 (1) 化成标准方程. 在二次曲面的研究中也有.... .... .... . .
. .. . . ..
二次型的代数观点
(1) 的左端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看，所谓化标 准方程就是用变量的线性替换 (2) 化简一个二次齐次多项式，使 它只含有平方项. 二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数 学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到. 这一章就是来介 绍它的一些基本性质.
二次型的几何背景
在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心 二次曲线的一般方程是
ax2 + 2bxy + cy2 = f
(1)
为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角 度 θ，作转抽 (反时针方向转轴)
x = x′ cos θ − y′ sin θ,
(2) y = x′ sin θ + y′ cos θ,
X = CY
称为变量 x1, x2, · · · , xn 到变量 y1, y2, · · · , yn 的一个非退化线性 替换.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
非退化线性替换
n 元二次型 X′AX 经过非退化线性替换 X = CY 变成
. .. . . ..
二次型的矩阵表示与规范形
二次型的矩阵表示与规范形二次型是数学中一种重要的函数形式，它在线性代数、微分方程、物理学等多个领域中都有广泛的应用。
在研究二次型时，通过矩阵表示和规范形可以更加清晰地理解和分析其性质和特点。
本文将介绍二次型的矩阵表示和规范形的概念及其应用。
1. 二次型的矩阵表示二次型是一个多元二次齐次函数，通常表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
这里的x^T表示x的转置矩阵。
实际上，二次型Q(x)可以看作是向量x和矩阵A的乘积，而矩阵A起到了描述二次型性质的作用。
为了将二次型表示为矩阵形式，我们可以将x表示为列向量，A表示为矩阵，然后将二次型的表达式展开为矩阵的乘积形式。
具体来说，对于一个n维列向量x = (x_1, x_2, ..., x_n)^T，其中x_i表示向量x的第i个分量，我们可以将二次型Q(x)表示为：Q(x) = x^TAX = x_1a_{11}x_1 + x_1a_{12}x_2 + ... + x_na_{nn}x_n 将上式中的二次项系数（a_{ij}）按照矩阵的形式排列，即可得到矩阵A。
这样，二次型Q(x)就可以表示为矩阵A的乘积形式。
2. 二次型的规范形二次型的规范形是一种特殊的矩阵表示形式，通过对矩阵A进行特殊的相似变换，可以将二次型化为规范形。
规范形对于分析二次型的性质和特征有很大的帮助。
对于一个二次型Q(x) = x^TAX，通过合同变换（转置和相似变换的组合），我们可以将矩阵A转化为对角矩阵D = diag(λ_1, λ_2, ..., λ_n)，其中λ_i表示矩阵D的第i个对角元素。
这样，二次型Q(x)就可以表示为：Q(x) = x^TAX = x^TP^TDPx = (Px)^TD(Px)其中P为可逆矩阵，称之为合同变换矩阵。
从上式可以看出，二次型Q(x)经过合同变换后可以化为规范形，其中规范形的矩阵D是对角矩阵，每个对角元素表示了相应方向上的特征值，而合同变换矩阵P则是由特征向量构成。
二次型矩阵正交变换
二次型矩阵正交变换
摘要：
一、二次型矩阵正交变换的定义
二、二次型矩阵正交变换的性质
三、二次型矩阵正交变换的应用
正文：
二次型矩阵正交变换，是线性代数中一种重要的矩阵变换。
它指的是在线性空间中，对二次型矩阵进行正交变换后，新的二次型矩阵与原二次型矩阵等价，即它们的内积等于原二次型矩阵的内积。
二次型矩阵正交变换在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
首先，我们来看二次型矩阵正交变换的定义。
设二次型矩阵A是一个n阶矩阵，它的正交变换矩阵P是一个n阶正交矩阵，那么，二次型矩阵A在正交变换矩阵P作用下的矩阵B为B = P^TAP，其中P^T是P的转置。
容易验证，B也是一个n阶二次型矩阵，且B与A等价，即它们的内积等于原二次型矩阵的内积，即<Ax, Ay> = <Bx, By>，其中x和y是任意向量。
其次，我们来看二次型矩阵正交变换的性质。
二次型矩阵正交变换有以下几个重要性质：1）正交变换不改变二次型矩阵的秩；2）正交变换不改变二次型矩阵的行列式；3）正交变换不改变二次型矩阵的迹；4）正交变换可以将二次型矩阵转化为对角矩阵，从而简化问题。
最后，我们来看二次型矩阵正交变换的应用。
二次型矩阵正交变换在许多领域都有广泛应用，例如在求解线性代数问题时，通过正交变换可以将二次型
矩阵转化为对角矩阵，从而简化问题，提高计算效率。
在物理学中，二次型矩阵正交变换可以用于描述物体的运动，例如在量子力学中，通过正交变换可以将哈密顿算符转化为简单的形式，从而方便求解薛定谔方程。
综上所述，二次型矩阵正交变换是线性代数中一种重要的矩阵变换，它具有广泛的应用和重要的性质。
二次型及其矩阵
1.2 矩阵的合同
定义 2 设 A，B 为两个 n 阶方阵，如果存在 n 阶可逆矩阵 C 使得 CT AC B ，则称矩阵 A 合同于矩阵 B，或称 A 与 B 合同．
二次型 f (x1 ，x2 ， ，xn ) xT Ax 的矩阵 A 与经过可逆线性变换 x Cy 得到的新二次型矩阵 B CT AC 是合同的，且 r(A) r(B) ．
c2n
yn
， 称为由变量
x1
，x2
，
，xn 到 y1 ，y2 ，
，yn 的线性变换．矩阵
cnn yn
a11 a12
C
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
称为线性变换矩阵．当 C 可逆时，称该线性变换为可逆线性变换或非退化线性变换． 对于二次型 f xT Ax ，经过可逆线性变换 x Cy 可化为 f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (C T AC) y ，
x1(a11x1 a12 x2 a1n xn ) x2 (a21x1 a22 x2 xn (an1x1 an2 x2 ann xn )
a2n x2 xn a2n xn )
a11x1 a12 x2
(x1 ，x2 ，
，xn
)
a21
x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
1.1 二次型的概念
称 f (x) xT Ax 为二次型的矩阵形式，其中对称矩阵 A 称为该二次型的矩阵，二次型 f (x) 称为对称矩阵 A 的二次型，对称矩阵 A 的秩称为二次型的秩．于是，二次型 f (x) 与对称矩阵 A 之间有一一对应关系．当 f (x) 的 系数均为实数时， f (x) 称为实二次型，A 称为实对称矩阵．本书中的二次型都是指实二次型．
二次型对应矩阵
二次型对应矩阵1.引言1.1 概述概述部分旨在介绍本篇文章的主题——"二次型对应矩阵"，并对其相关概念进行简要解释。
本文将探讨二次型的基本定义和性质，以及构造二次型对应矩阵的方法。
此外，我们还将研究二次型对应矩阵在实际应用中的具体用途。
通过深入探讨这些内容，我们将能够更好地理解和应用二次型对应矩阵。
二次型是数学中一个重要而广泛应用的概念，它在优化问题、统计学以及物理学等领域起着重要作用。
简单来说，二次型是一个关于多元变量的二次方程。
它的研究不仅有助于解决实际问题，还可以用来推导其他数学定理和方法。
二次型对应矩阵则是二次型在矩阵形式下的表示。
通过将二次型转化为矩阵形式，我们可以运用矩阵的各种性质和方法来分析和求解问题。
本文将探讨如何构造二次型对应矩阵以及如何利用它们进行计算和实际应用。
在本文的正文部分，我们将详细介绍二次型的定义和基本性质。
通过对二次型的进一步了解，我们可以更好地理解二次型对应矩阵的构造思路，为后续的应用打下基础。
最后，本文的结论将总结二次型对应矩阵的应用，并对本文的主要观点进行回顾。
同时，我们也将强调二次型对应矩阵在实际问题中的重要性，并展望未来对于该领域的进一步研究和应用。
通过本文的阅读，读者将能够更好地理解和掌握二次型对应矩阵的基本概念和相关应用。
我们希望读者能够通过本文的内容，在实际问题中灵活运用二次型对应矩阵，并且进一步探索和发展相关的数学理论和方法。
文章结构部分的内容：本文主要分为以下几个部分进行论述：引言、正文和结论。
具体的文章结构如下所示：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 二次型的定义和性质2.2 二次型对应矩阵的构造方法3. 结论3.1 二次型对应矩阵的应用3.2 总结在引言部分，我们将对二次型对应矩阵的重要性和应用进行简要介绍，引起读者的兴趣，并提出本文的目的。
正文将深入讨论二次型的定义和性质，包括二次型的矩阵表示及其性质，为后续讨论二次型对应矩阵的构造方法打下基础。
二次型就是二次齐次多项式本章通过矩阵乘法将二次型与
2 2 f ( x1 , x2 ,K , 3; K + d n xn
是正定的当且仅当 di > 0, i = 1, 2, ⋅⋅⋅, n 定义5 定义5 实对称矩阵 A 称为正定的，如果二次型 X ′AX 正定。 称为正定的， 正定。
10
4. 正定二次型（续1） 正定二次型（
实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定 的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于 它等于正惯性指数， 负惯性指数。 负惯性指数。
9
4. 正定二次型
定义4 定义4 实二次型
f ( x1 , x2 ,K , xn )
称为正定的，如果对于任 称为正定的，
意一组不全为零的实数 c1 , c2 ,K , cn都有 f (c1 , c2 ,K , cn ) > 0 。 实二次型
(1)
KKKK
2 ann xn +
称为数域 P 上的一个 n 元二次型（简称二次型）。 元二次型（简称二次型）。
2
二次型的矩阵表示与规范化
二次型的矩阵表示与规范化二次型是线性代数中的重要概念，它在矩阵表示和规范化方面都有着深入的应用。
本文将探讨二次型的矩阵表示与规范化问题。
一、二次型的定义及矩阵表示二次型是指形如\[Q(x) = x^T A x\]的实数值函数，其中\(x\)是一个n维实向量，\(A\)是一个对称n阶实矩阵。
这里的\(x^T\)表示\(x\)的转置。
给定一个二次型\(Q(x)\)，我们可以将其表示为矩阵形式。
设\(x = [x_1, x_2, ..., x_n]^T\)，即为x的列向量形式，那么\(Q(x)\)可以简化为\[Q(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j\]其中\(a_{ij}\)表示矩阵\(A\)的第\(i\)行第\(j\)列的元素。
进一步，我们可以使用矩阵\(A\)来表示二次型。
即令\[A = [a_{ij}]\]则有\[Q(x) = x^T A x\]这个形式就是二次型的矩阵表示。
二、二次型的规范化对于给定的二次型，我们希望找到一种变换，将其规范化为简单形式。
规范化的目的是为了研究二次型的性质和方便计算。
1. 主轴变换通过主轴变换，我们可以将二次型规范化为只含平方项的形式。
具体步骤如下：首先，找到矩阵\(A\)的特征值和对应的特征向量。
设特征值为\(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n\)，对应的特征向量为\(u_1, u_2, ..., u_n\)。
然后，构造正交矩阵\(P = [u_1, u_2, ..., u_n]\)。
将矩阵\(A\)通过相似变换\(P\)进行对角化，即\[P^T A P = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, ...,\lambda_n)\]最后，进行变量替换\[x = Py\]即可得到规范化后的二次型。
2. 标准型变换在主轴变换的基础上，我们可以进一步将二次型规范化为标准型。
线性代数二次型讲解学习
线性代数二次型、二次型及其矩阵二次型与对称矩阵1定义：含有n 个变量的二次齐次函数:f (X 「X 2，卅,X n )a11X 1 a 22X 22 ann X n2a i2X i X 2 2a i3X|X 31112a (n 1)n X n 1X n称为二次型。
为便于用矩阵讨论二次型，令aij a ji，则二次型为:f 化险川各）III MXa 〔2 x 〔 X 2O|1 x〔n i,j 1a11a12a1nX1a21a22an1an2a2n，annX 2Xnf (X 1,X 2,|||,X n )X T A X ，且A 为对称矩阵。
由于对称矩阵A 与二次型f 是 对应关系，故称对称矩阵 A 为二次型f 的秩于是得解 由于A 不是对称矩阵，故A 不是二次型X AX 的矩阵•因为次型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型, R(A)也称为二12 3 X 1 A 01 1 , XX 2 3 3 2X 3求二次型X AX的矩 巨阵•例2 1 2 3 X AX （X 1,X 2,X 3） 01 1 3 32 X 1 X 2X 3f （X 1，X 2，X 3） x ； 2x ； 3x f 5x 1x 2 7X 2X 3试求二次型矩阵 A. 解an1 , a 222 ,a 333 , a 12a 21a 23a 315 2 9 22 ，f（N ，X 2，X 3）5929 2 7 2X1X2已知三阶矩阵A 和向量X,其中2 2 2x 1 x 2 2X 3 2X 1X 2 6X 1X 3 4X 2X 3 ,故此二次型的矩阵为、线性变换 1 标准形显然：其矩阵为对角阵。
2线性变换y 1, y 2,川,y n 的一个线性变量替换，简称线性变换。
y 1y 2，则线性变换可用矩阵形式表示为：x Cy y n 若C 0 ,称线性变换为满秩(线性)变换(或非退化变换)，否贝称为降秩(线性)变换(或退化变换)。
f (X1,X 2,川,X n ) x T Ax (Cy)T A(Cy) y T C T ACy y T By ，其中定义：形如d 1xf d 2x ；d n X ；的二次型称为二次型的标准形。
矩阵分析引论--第二章 内积空间-厄米特二次型
称为二次型. 当aij是实数时, f 称为 实二次型 .
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第二章第八节 厄米特二次型
二次型的矩阵表示
a11
f
x1
,
x2
,,
xn
a21
an1
记
a11
A
a21
a12
a22
an1 an2
a12 a22
a1n x1 a2n x2
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第二章第八节 厄米特二次型
定理2-10：对于厄米特二次型f ( X ) X H AX， 存在酉变换X QY (Q是酉矩阵),使 f 化为 标准形：
f 1 y1 y1 2 y2 y2 n yn yn
1 | y1 |2 2 | y2 |2 n | yn |2
则有标准形
f 3 y2 y2 2 y3 y3 .
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第二章第八节 厄米特二次型
定义2-14：设A为厄米特矩阵,若X 0,有 f ( X ) X H AX 0,
则称 f 是正定的，也称 A 为正定的； f ( X ) X H AX 0,
则称 f 是负定的，也称 A为负定的； f ( X ) X H AX 0,
1 (2,i,1)T , 2 (i,1,i)T ,3 (0,1,i)T ,
1
1 (2,i,1)T , 6
2
1 (i,1,i)T 3
,3
1 (0,1,i)T , 2
以1, 2 , 3作为列向量构成酉矩阵
2 6
i 3
0
Q i 1 1 ,
6 3 2
1 6
i 3
i 2
作酉变换 X= QY (Y=(y1, y2, y3)T ),
矩阵与行列式的二次型非退化型与应用
在概率论与数理统计中，矩阵与行 列式的二次型非退化型可以用于描 述随机变量的分布和相关性。
在机器学习中，矩阵与行列式的二次 型非退化型可以用于支持向量机和神 经网络的训题
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在统计分析中，矩阵与行列式的二次 型非退化型可以用于构建回归模型和 主成分分析，以揭示数据中的结构和 关系。
技巧：利用特征 值和特征向量的 性质简化计算过 程
应用：在解决实 际问题中，利用 特征值法可以快 速准确地求解二 次型非退化型的 问题
定义：通过否定某个命题来证明该 命题的正确性
应用：在二次型非退化型的计算中， 常常使用反证法来证明某个条件或 结论
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步骤：假设原命题不成立，然后推 导出矛盾，从而证明原命题成立
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二 次 型 的 定 义 域 是 R ³， 即 三 个 实 数 x , y, z 的 全 体
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二次型的定义：一个多项式，可以表示为$f(x,y,z)=a(x^2+y^2+z^2)+2bxy+2cxz+2dyz$ 的形式，其中 $a,b,c,d$为常数。
添加标题
二次型的标准型：通过一系列的线性变换，可以将一个二次型转化为标准型。标准型的形式为 $f(x,y,z)=a(x^2+y^2+z^2)+2bxy+2cxz+2dyz$ ，其中$a,b,c,d$为常数，且满足一定的条件。
添加标题
行列式的性质：行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。此外，行列式还有一些特殊的值，如主对角线元素之积、副 对角线元素之积等。这些性质和特殊值在矩阵和线性代数的计算中有 着广泛的应用。
二次型矩阵正交变换
二次型矩阵正交变换
摘要：
1.二次型矩阵简介
2.二次型矩阵正交变换的定义和意义
3.二次型矩阵正交变换的步骤和方法
4.二次型矩阵正交变换的应用实例
5.总结与展望
正文：
一、二次型矩阵简介
二次型矩阵是矩阵的一种特殊形式，它具有如下形式：A = [a_{ij}]，其中a_{ij}是实数，且a_{ii} = 0（i = 1, 2,...，n）。
二次型矩阵在数学、物理等领域具有广泛的应用。
二、二次型矩阵正交变换的定义和意义
二次型矩阵正交变换是指将一个二次型矩阵通过正交矩阵进行变换，使得变换后的矩阵具有更简单的形式，从而便于分析和解题。
正交矩阵具有如下性质：A^T * A = I（A为n阶矩阵，I为n阶单位矩阵）。
三、二次型矩阵正交变换的步骤和方法
1.选择一个正交矩阵Q。
2.对二次型矩阵A进行正交变换，得到变换后的矩阵A"：A" = Q * A * Q^T。
3.分析A"的性质，如对称性、正定性等。
四、二次型矩阵正交变换的应用实例
1.在力学中，利用二次型矩阵表示弹性矩阵，通过正交变换简化矩阵形式，便于求解力学系统的稳定性和振动特性。
2.在量子力学中，利用二次型矩阵表示哈密顿量，通过正交变换求解薛定谔方程，研究体系的能级结构和性质。
3.在图像处理中，利用二次型矩阵表示图像的局部特征，通过正交变换实现图像的降维和特征提取。
五、总结与展望
二次型矩阵正交变换是一种有效的矩阵变换方法，它在多个领域具有广泛的应用。
通过对二次型矩阵进行正交变换，可以简化矩阵形式，降低问题复杂度，为后续分析和求解提供便利。
第2讲_二次型的矩阵处理
定理：合同的矩阵有相同的秩。
证明：… 对二次型，由于经可逆的线性变换前后的矩阵是合同的， 从而其秩也是一样的，又由于二次型矩阵的秩又称为二次型 的秩，因此可说，可逆的线性变换不改变二次型的秩。
二 二次型的正交标准化
对实对称矩阵,我们有 定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 U，使 U-1AU = UTAU = Λ ， 其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵。
线性变换。
4 二次型结论向矩阵结论的转化
在第一节我们只使用二次型的知识论证了任一二次型 都可以通过可逆的线性变换化为标准形。 本节前面的论述则指明二次型及其线性变换可表示成 矩阵的形式。 基于二次型通过可逆变换能够化成标准形及其矩阵表 示形式，我们可以得到： 对任一二次型 xTAx, 其中 AT=A，存在 x=Cy, C可逆，
终极目标是求特征值吗？
将二次型化为简单的标准形式， 目标并不在于求特征根，因此求特征值与特征向量或许没有 必要。我们再来看定理 定理：对任意的 n 元实二次型 f = xTAx，其中A=AT为 f 的矩
阵，则存在可逆正交变换 x=Uy，可化二次型为标准形。
做多了
在用配方法证明二次型可经可逆的线性变换化为标准形的
在前面我们使用数学归纳法证明了二次型是可以通过可逆
的线性变换化为标准形，但这里有两个问题或麻烦，其一是证 明过程的表述形式过于繁杂；其二是确定所说的可逆的线性变 换也不是简单易得的。 问题：真对如上关于对称矩阵的结论，能否用于二次型的
可化为标准形证明，以及确定所求的可逆的线性变换？
定理：对任意的 n 元实二次型 f = xTAx，其中A=AT为 f 的矩阵，
二 次 型
第1节 二次型的概念
第2节 二次型的矩阵处理
二次型矩阵正交变换
二次型矩阵正交变换在线性代数中，二次型是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
而在处理二次型时，正交变换是一种常用的方法，可以将二次型化简为最简形式，从而更好地理解和分析问题。
二次型是由变量的平方和和交叉乘积组成的多项式。
在二次型的矩阵表示中，对角线上的元素代表平方项的系数，而非对角线上的元素代表交叉乘积的系数。
通过对二次型矩阵进行正交变换，可以将其化简为对角矩阵，从而更好地理解和分析二次型。
正交变换是指在保持向量长度不变的前提下，改变向量的方向的线性变换。
在二次型矩阵正交变换中，我们希望通过变换将原二次型矩阵化简为对角矩阵，即只保留对角线上的元素，而将非对角线上的元素全部置零。
这样的化简可以使我们更好地理解和分析二次型的性质。
二次型矩阵正交变换的基本思想是利用正交矩阵将原二次型矩阵转化为对角矩阵。
正交矩阵具有特殊的性质，即其转置矩阵等于其逆矩阵。
因此，通过将原二次型矩阵与正交矩阵的转置相乘，可以得到一个对角矩阵。
具体而言，假设原二次型矩阵为A，正交矩阵为P，对应的对角矩阵为D。
则有以下关系式：A = P^T * D * P。
其中，P^T表示P的转置矩阵。
通过这个关系式，我们可以将原二次型矩阵A化简为对角矩阵D，从而更好地理解和分析其性质。
正交变换的好处不仅仅在于化简二次型矩阵，还在于可以将二次型的主轴确定下来。
在对角矩阵中，对角线上的元素代表了二次型沿着主轴方向的方差。
通过正交变换，我们可以得到一组新的坐标系，使得二次型在这个新的坐标系下的主轴方向与原坐标系下的主轴方向相同。
这样，我们就可以更好地理解和分析二次型在不同方向上的性质。
除了理论上的意义外，二次型矩阵正交变换在实际问题中也有着广泛的应用。
例如，在机器学习中，二次型矩阵正交变换可以用于特征提取和降维。
通过将原始数据进行正交变换，可以得到新的特征，使得数据在新的特征空间中更加易于处理和理解。
总结起来，二次型矩阵正交变换是一种重要的数学工具，可以将二次型化简为对角矩阵，从而更好地理解和分析二次型的性质。
1--二次型及其矩阵
例2.设二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为2。
1.求参数c; 2.写出二次型的矩阵。
1 0 2 A 0 1 2, 2 2 c
2 x1
x2 cx3 4 x1 x3 4 x2 x3
2
2
由f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 2 cx32 4 x1 x3 4 x2 x3的秩为2
B C AC B B,Y BY为二次型且A与B合同,
T
作可逆变 换X CY T
T
r( A) r( B).
由上讨论可得：
定理1 二次型f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 经可逆线性变换
X CY 变成新变元的二次型 f Y BY , 它的矩 阵B C AC且r ( A) r ( B ).
的矩阵
Cn n
c11 c12 c21 c22 c n1 cn 2
c1n c2 n cnn
可逆，则称线性变换为可逆 线性变换； 正交，则称线性变换为正交 变换。
定义5：设A，B为两个n阶矩阵，若有n阶可逆阵P， 使得PT AP B，则称矩阵A与B合同，记为 A ~ B.
X AX
a11 a12 a21 a22 A a n1 an 2
x1 x2 X x n
a1n a2n ann
二次型的矩阵 （显然这是实 对称阵）
T X AX , 则称对称矩阵 A 定义3：设二次型 f ( x1 , x2 , , xn )
的秩为二次型 f 的秩。
三、二次型经可逆变换后的矩阵：
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对已是正交的基础解系单位化，
从而所得的正交变换为
且有
f =
三 二次型化标准形问题的进一步分析及初等变换法
在上例中，我们给出了二次型化标准形问题的正交变换法。
但上例的求解过程表明，这种方法也并不简单。 比如试用正交变换法化如下的二次型为标准形
解：二次型的矩阵为
它的特征多项式为
该多项式无有理根。
由于当 A 的特征多项式没有有理根，从而只能是无理根。 此时该多项式的的因式分解没有一般的方法可循，这构成一 个实际的困难，即无法确定特征值。 问题：我们目标是什么？
上述分析还表明二次型变换前后的矩阵有如下关系
B = CTAC. 定义：设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵 C，使 B=CTAC， 则称矩阵 A 与 B 合同，或称 A 合同于 B，记作 A 定理：对称矩阵一定与对角矩阵合同。 B。
矩阵的合同是一种等价关系：
1) 反身性：
2) 对称性： 3) 传递性：
则存在可逆正交变换 x=Uy，可化二次型为标准形。
证明：因为 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 U，使 U-1AU = UTAU = Λ ， 其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵。从而有 f = xTAx = (Uy)T A (Uy) = yTUTAUy
= yT(UTAU) y
= yT Λ y 由于 Λ 是对角矩阵，从而正交变换Uy将二次型化为标准形。 证毕。 注意：这里给出了二次型可化为标准形的矩阵证明方式；并同
定理：合同的矩阵有相同的秩。
证明：… 对二次型，由于经可逆的线性变换前后的矩阵是合同的， 从而其秩也是一样的，又由于二次型矩阵的秩又称为二次型 的秩，因此可说，可逆的线性变换不改变二次型的秩。
二 二次型的正交标准化
对实对称矩阵,我们有 定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 U，使 U-1AU = UTAU = Λ ， 其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵。
二 次 型
第1节 二次型的概念
第2节 二次型一 二次型的矩阵表示形式 1 二次型可以用矩阵表示
＝
(注意这里 aij=aji )
若记
对如上的二次型矩阵表示形式，显然矩阵 A 完全决定了
二次型 f，注意矩阵 A 的特点，
aij = aji, 即 A 为对称矩阵。 其实任给一个方阵 A，即不要求 A 对称，则 f = xT A x, (i,j=1, 2, …, n)
时指出了所求的可逆的线性变换。
例：求一个正交变换 x=Py，把如下的二次型化为标准形。
解：二次型 f 的矩阵为
A的特征多项式为
对上述基础解系再先正交化，然后再单位化即可得到构造正 交矩阵的正交单位向量p2, p3, p4； 问题：能否直接构造出正交的基础解系？ 活 的 ， 有 灵 性 的 。 知 识 是 死 的 ， 人 是
结论中，我们只使用了二次型如下的的一般记法
＝
并没有涉及到矩阵知识。但如前所述，二次型与对称矩阵存在
一一对应关系，因此二次型可经可逆线性变换化为标准形的结 论在对称矩阵上必有所反应。即对称矩阵应有相应的性质对此 作出解释。
由定理，若A为对称矩阵，知必存在可逆的矩阵C，使得
CTAC
为对角矩阵。 因可逆的矩阵可表示为初等矩阵的乘积，从而存在初等 矩阵 , 使得 代入上式则有：
都是一个二次型。比如
2 二次型与矩阵的关系
对二次型 xTAx，它由A完全确定，如此则二次型的一些
特性应能在矩阵A中有所反应。但注意到如不对矩阵 A 加以 限制，则一个二次型可以对应不同的方阵，反之，不同的方
阵也有可能定义同一二次型。这种不惟一性将导致关系的无
法传递（即无法建立映射），从而应予以克服。 若要求A为对称矩阵，则任一二次型都可惟一地对应于 一个对称矩阵；反之任一对称矩阵可惟一对应于一个二次型， 且这种对应是一一映射关系，这样就克服了不惟一性问题。 对二次型 xTAx，若A为对称矩阵，则称 A 为二次型 f 的矩阵，称 f 为对称阵 A的二次型。 对称阵 A 的秩就叫做二次型 f=xTAx 的秩。
使得
xTAx = (Cy)TA(Cy) = yT(CTAC)y = yTBy 为二次形的标准形，其中 B=CTAC 为对称矩阵，故为标准 形的矩阵，从而一定是对角矩阵。
对上面内容的描述，若只考虑矩阵内容，则可得如下结论：
定理：对任意的对称矩阵A，总存在可逆的矩阵C，使得
CTAC 为对角形矩阵。 这样由于表示式 f = xTAx 的存在，使得我们完成了二次型知识到矩阵知识的转化。
在前面我们使用数学归纳法证明了二次型是可以通过可逆
的线性变换化为标准形，但这里有两个问题或麻烦，其一是证 明过程的表述形式过于繁杂；其二是确定所说的可逆的线性变 换也不是简单易得的。 问题：真对如上关于对称矩阵的结论，能否用于二次型的
可化为标准形证明，以及确定所求的可逆的线性变换？
定理：对任意的 n 元实二次型 f = xTAx，其中A=AT为 f 的矩阵，
终极目标是求特征值吗？
将二次型化为简单的标准形式， 目标并不在于求特征根，因此求特征值与特征向量或许没有 必要。我们再来看定理 定理：对任意的 n 元实二次型 f = xTAx，其中A=AT为 f 的矩
阵，则存在可逆正交变换 x=Uy，可化二次型为标准形。
做多了
在用配方法证明二次型可经可逆的线性变换化为标准形的
( A, E)
例：化二次型为标准形
(Λ , C )
T
记
则所求的非退化线性替换为 x = Cy.
例: 化二次型为标准形
解：用初等变换法 ＝
故作如下非退化线性替换
则可将 f 化为如下的标准形
即存在初等矩阵使得上式为对角矩阵。
又若P为初等矩阵，则 PTAP 相当于先对 A 作了一个列 初等变换，又作了一个行初等变换，并且是成对的。 因此上式又表明，只需对 A 作一系列成对的初等变换， 就可以变成对角形，我们只需记录下全部的列变换或全部的 行变换，就得到了矩阵 C 或 CT。
初等变换法化二次型为标准形
例：写出如下二次型的矩阵
1)
2)
3)
3 可逆线性变换的矩阵表示
二次型主要是化标准形问题，即通过如下的可逆线性变换
将二次型化为只含平方项的标准形式。
对上述可逆的线性变换，若记 C = (cij)，则上述变换可写 成矩阵形式 x = Cy. 其中矩阵C可逆。反之，若矩阵 C 可逆，则 x=Cy 为可逆的
线性变换。
4 二次型结论向矩阵结论的转化
在第一节我们只使用二次型的知识论证了任一二次型 都可以通过可逆的线性变换化为标准形。 本节前面的论述则指明二次型及其线性变换可表示成 矩阵的形式。 基于二次型通过可逆变换能够化成标准形及其矩阵表 示形式，我们可以得到： 对任一二次型 xTAx, 其中 AT=A，存在 x=Cy, C可逆，