38理论力学第六章点的运动学PPT课件
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点的运动学ppt课件
25
26
27
三、点的速度在自然轴上的投影
v dr dt
v dr dr ds dr ds dt dt ds ds dt
dr τ ds
v ds v ds τ
dt
dt
动点的速度总是沿其轨迹的 切线，而大小为：v ds
dt
M
τ
Δr Δs
(+)
·
28
四、点的加速度在自然轴上的投影
1
35
轨迹演示
36
？ 思考题：M点的轨迹是什么曲线
37
轨迹演示
38
例：图示卷杨机构，绳OB以匀速下拉，求套在固定杆上的套筒A的 速度与加速度，表成 x 的函数。
解：A作直线运动，
l
x2 AB2 l 2
两端对时间求导：
2xx 2AB(vB ) 0
B
x
vB
A
x AB(vB ) vB x2 l 2
的t去掉。
14
二、矢量法
M
当动点M沿任一空间的曲 线运动，则动点M在空间的位 置可用矢径(从坐标原点O引 到动点M的矢量)表示。当动 点运动时，矢径的大小及方向 均随时间而改变，因而可以表 示为时间t的单值连续函数。
r
O·
r r(t ) ——以矢量表示的点的运动方程
15
16
三、自然坐标法
以点的轨迹作为参考 o 系确定动点位置的方法 称为自然法。
kr
· i0 j
y
v r xi yj zk
x
dx vx dt
dy vy dt
dz vz dt
v x2 y 2 z2 22
a v r xi yj zk
26
27
三、点的速度在自然轴上的投影
v dr dt
v dr dr ds dr ds dt dt ds ds dt
dr τ ds
v ds v ds τ
dt
dt
动点的速度总是沿其轨迹的 切线，而大小为：v ds
dt
M
τ
Δr Δs
(+)
·
28
四、点的加速度在自然轴上的投影
1
35
轨迹演示
36
？ 思考题：M点的轨迹是什么曲线
37
轨迹演示
38
例：图示卷杨机构，绳OB以匀速下拉，求套在固定杆上的套筒A的 速度与加速度，表成 x 的函数。
解：A作直线运动，
l
x2 AB2 l 2
两端对时间求导：
2xx 2AB(vB ) 0
B
x
vB
A
x AB(vB ) vB x2 l 2
的t去掉。
14
二、矢量法
M
当动点M沿任一空间的曲 线运动，则动点M在空间的位 置可用矢径(从坐标原点O引 到动点M的矢量)表示。当动 点运动时，矢径的大小及方向 均随时间而改变，因而可以表 示为时间t的单值连续函数。
r
O·
r r(t ) ——以矢量表示的点的运动方程
15
16
三、自然坐标法
以点的轨迹作为参考 o 系确定动点位置的方法 称为自然法。
kr
· i0 j
y
v r xi yj zk
x
dx vx dt
dy vy dt
dz vz dt
v x2 y 2 z2 22
a v r xi yj zk
点的运动学讲义课件
3.2 不同坐标系中的描述
1. 矢量法 r r (t), v d r (t) r (t), a d v(t) v
dt
dt
3. 自然坐标法〔弧坐标法〕
s s(t) 点的弧坐标形式的运动方程
三个正交轴， 及单位矢量
B
副法线
切线 et 与弧坐标正向一致 主法线 en 指向轨迹凹侧 副法线 eb et en
dt
dt
3. 自然坐标法〔弧坐标法〕
s s(t) 点的弧坐标形式的运动方程 v set , v s
加速度：a d v d(vet ) dt dt
C
紧密面内
dv dt
e t
v
d
e t
dt
d et d et d s v d et
M
dt ds dt 〔大小〕 d et lim et
d s 21 sin
点的运动的分类： 直线运动； 曲线运动〔如圆周运动、抛物线运动〕； 一般的空间曲线运动。
3.1 点的运动方程、速度与加速度 1. 矢量法 设动点 M 沿空间某曲线运动， 选取空间中某固定点 O， 连接 OM 得矢径 r OM， 可用以表示 M 的位置。 随时间而变化，即：
M
r
v(t)
O
r r (t) 点的矢量形式的运动方程 矢径 r OM 的端点描绘出的曲线为动点 M 的运动轨迹。
点的速度描述点的运动快慢和方向。定义为：
v d r (t) r (t) dt
其方向沿轨迹的切线， 与该点运动方向一致。
3.1 点的运动方程、速度与加速度 1. 矢量法 设动点 M 沿空间某曲线运动， 选取空间中某一固定点 O， 连接 OM 得矢径 r OM， 可用以表示 M 的位置。 随时间而变化，即：
《理论力学(Ⅰ)》PPT 第6章
再求导
a x 2lω2 cos φ 2lα sin φ φ=30 3ω2l αl
例6-9 长为r曲柄OA以匀角速度ω转动，推 动T型滑杆BC上下平动，求当φ = 30°时滑 杆BC的速度和加速度。
B
ω DC
O φA
讨论动点、动系 不同选法对解题 的影响
B
DC
O φA
正选：
选曲柄端点A为动点，
aa ae ar
O1
φ A
ae Caa ar
O2
ω B
大小 ? ω2r ？
方向 上 ∥AO1 右
沿y方向投影
D
解得: aa ae cos φ
3ωr 2
例6-4 半圆形凸轮以匀速v向右运动，从而 推动杆AB运动。求φ=60°时，杆AB的速 度和加速度。
A
B v
Cφ
解：1：取取杆杆AABB上上BB为为动动点点，，动动系系固固连 A
Oφ
C
0 vsin (L vt)cos φω
ω v sinφtanφ（逆时针） 再求导
R
α
v R
(cosφ tan φ
sin φ )
cos2 φ
v2 R2
tan3φ
1
cos2φ
（逆时针）
例6-7 半径为R、偏心距为e的偏心轮以角速
度ω、角加速度α绕轴O转动，平底推杆AB始 终与轮缘接触。求图示位置AB的速度和加速 度。
第6章 点的合成运动 6.1 基本概念
实践中有大量的点的复杂的运动,我们 无法或很难写出其运动方程,只好用其它方 法来研究。
用运动合成与分解的方法来研究点的运动。
能否把一个点的复杂运动分解为几个较 为简单的运动，再合成复杂运动的规律？
a x 2lω2 cos φ 2lα sin φ φ=30 3ω2l αl
例6-9 长为r曲柄OA以匀角速度ω转动，推 动T型滑杆BC上下平动，求当φ = 30°时滑 杆BC的速度和加速度。
B
ω DC
O φA
讨论动点、动系 不同选法对解题 的影响
B
DC
O φA
正选：
选曲柄端点A为动点，
aa ae ar
O1
φ A
ae Caa ar
O2
ω B
大小 ? ω2r ？
方向 上 ∥AO1 右
沿y方向投影
D
解得: aa ae cos φ
3ωr 2
例6-4 半圆形凸轮以匀速v向右运动，从而 推动杆AB运动。求φ=60°时，杆AB的速 度和加速度。
A
B v
Cφ
解：1：取取杆杆AABB上上BB为为动动点点，，动动系系固固连 A
Oφ
C
0 vsin (L vt)cos φω
ω v sinφtanφ（逆时针） 再求导
R
α
v R
(cosφ tan φ
sin φ )
cos2 φ
v2 R2
tan3φ
1
cos2φ
（逆时针）
例6-7 半径为R、偏心距为e的偏心轮以角速
度ω、角加速度α绕轴O转动，平底推杆AB始 终与轮缘接触。求图示位置AB的速度和加速 度。
第6章 点的合成运动 6.1 基本概念
实践中有大量的点的复杂的运动,我们 无法或很难写出其运动方程,只好用其它方 法来研究。
用运动合成与分解的方法来研究点的运动。
能否把一个点的复杂运动分解为几个较 为简单的运动，再合成复杂运动的规律？
理论力学课件：点的运动学
点的运动学
2.速度
点的运动学
上式表明动点 M 的速度v在直角坐标轴上的投影等于该
点相应坐标对时间的一阶导数。
速度大小为
其方向由方向余弦来确定:
点的运动学
3.加速度
点的运动学
因此,动点的加速度a 在直角坐标轴上的投影等于速度
在相应坐标轴上的投影对时间的一阶导数,也等于其相应坐
标对时间的二阶导数。
点,其弧坐标为s,位置矢径为r,经 Δt时间后,弧坐标为s+Δs,矢
径变为r',根据点的速度公式有
点的运动学
图5-9
点的运动学
点的运动学
3.加速度
将v=vτ 代入式(5-5),得
点的运动学
(1)
d
的大小。设瞬时t,动点
d
M 处对应的切线单位矢量
为τ,经过时间 Δt,动点运动到 M',其切线单位矢量为τ'。Δt时
点的运动学
点的运动学
5.1 点的运动的矢量表示法
5.2 点的运动的直角坐标表示法
5.3 点的运动的自然坐标表示法
思考题
点的运动学
5.1 点的运动的矢量表示法
1.运动方程、轨迹
点的运动学
图5-1
点的运动学
点的运动学
3.加速度
点在运动过程中,其速度v 的大小和方向往往都随着时间
而变化,速度对时间的变化率称为加速度。
cm,时间单位为s。
解 由题知,点的运动方程为
点的运动学
速度的大小为
从运动方
点的运动学
点的切向加速度、法向加速度的大小分别为
点的运动学
思考题
5-2 结合v t图,说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。
《理论力学》第六章 刚体的简单运动ppt课件
r r M r M 0 1 0 , 7 , 1 1 2 , 1 , 3 8 , 6 , 8
i jk
vrnr0.6 0.48 0.648j6k
86 8
例6-3
一矢量绕z轴以角速度ω转动，假设a =常量
求：d a
dt
解： 将矢量的端点A看成是绕z轴作定轴转动刚体上的一点
rA a
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
２.带轮传动
r 11 v A v A v B v B r 22
i12
1 2
r2 r1
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1.角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小
d
dt
作用线 沿轴线 滑动矢量
指向 右手螺旋定那么
知：刚体绕定轴转动，知转轴经过坐标原点O,角速度矢
为
5sinπ 2 ti5cosπ 2 tj53 。k
求：t =1s时,刚体上点M〔0，2，3〕的速度矢及
加速度矢。
解：
i
j
k
v r 5sin πt 5cos πt 5 3
2
2
0
2
3
1 03 i 1 5 j 1 0 k
arvdrv
dt 1 2 5π753 i200j75k
例6-2 知：某定轴转动刚体经过点M0〔2，1，3〕，其角
速度矢 的方向余弦为0.6，0.48，0.64，角速度
的大小ω=25rad/s 。 求：刚体上点M〔10，7，11〕的速度矢。 解： 角速度矢量
n 其中 n ( 0 . 6 , 0 . 4 , 0 . 6 8 )4
M点相对于转轴上一点M0的矢径
i jk
vrnr0.6 0.48 0.648j6k
86 8
例6-3
一矢量绕z轴以角速度ω转动，假设a =常量
求：d a
dt
解： 将矢量的端点A看成是绕z轴作定轴转动刚体上的一点
rA a
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
２.带轮传动
r 11 v A v A v B v B r 22
i12
1 2
r2 r1
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1.角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小
d
dt
作用线 沿轴线 滑动矢量
指向 右手螺旋定那么
知：刚体绕定轴转动，知转轴经过坐标原点O,角速度矢
为
5sinπ 2 ti5cosπ 2 tj53 。k
求：t =1s时,刚体上点M〔0，2，3〕的速度矢及
加速度矢。
解：
i
j
k
v r 5sin πt 5cos πt 5 3
2
2
0
2
3
1 03 i 1 5 j 1 0 k
arvdrv
dt 1 2 5π753 i200j75k
例6-2 知：某定轴转动刚体经过点M0〔2，1，3〕，其角
速度矢 的方向余弦为0.6，0.48，0.64，角速度
的大小ω=25rad/s 。 求：刚体上点M〔10，7，11〕的速度矢。 解： 角速度矢量
n 其中 n ( 0 . 6 , 0 . 4 , 0 . 6 8 )4
M点相对于转轴上一点M0的矢径
第六章《理论力学》课件
a
a2 t
an 2
R
2 4
tan at an 2
§6-４ 轮系的传动比
1. 齿轮传动
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
２.带轮传动
r11 vA vA vB vB r22
i12
1 2
r2 r1
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1.角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小
d
dt
作用线 沿轴线 滑动矢量
指向 右手螺旋定则
r
r
k
角加速度矢量
r
dr
d
r k
r
k
dt dt
2.绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度 v r 大小 rsin R v
方向 右手定则
加速度
ar dvr d r rr
ddtr
dt
rr
r dvB dt
r dvA dt
r aA
§6-2 刚体绕定轴的转动
1.定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚 体绕定轴转动，简称刚体的转动。
转轴 ：两点连线
转角： 单位:弧度(rad)
2.运动方程
f t
3.角速度和角加速度
角速度
d
dt
大小：ddt
方向：逆时针为正
角加速度
d
dt
d2
dt 2
& &&
匀速转动 匀变速转动
d 0
dt
0 t
d cont
dt
理论力学-点的运动学
求该瞬时动点A的 x ,y , x , y ,
y v
30 0
A
0 v 10 cos 30 ( m/s 解： x x
0 y v 10 sin 30 ( m/s) y
o
v v v
x y z
a
x y z
x
x y z
18
2.速度：
v M v r
ds v dt
_
r
0
S M* +
`
r*
19
3
点的切向加速度和法向加速度
dv a a a n dt
n
M
+
dv a dt
v an n
2
20
自然轴系
21
例：已知图示瞬时动点A的速度和加速度，其中
2 ：v ，设动点的坐标为x , y 10 m/s, a 10 m/s
z
r o
x
M
y
一、矢量法
1、运动方程
r r(t)
2、速度
3、加速度
dr v r dt 2 d v dr a 2 v r d t d t
8
二、直角坐标法
x x (t) 1、运动方程 y y (t) r x i y j z k z z(t)
0??za??yrx15三自然坐标法1运动方程tss?xyzoms0r2曲线的几何性质?曲率curvaturesks??????0limmtt??smm??mtk1???曲率半径radiuscurvaturemtt极限位置的平面称为密切面osculatingplane已知点的运动轨迹16mtt极限位置的平面称为密切面面osculatingplane17bn??????法面ms?密切面切线b副法线主法线nbn??自然轴系trihedralaxesonacurve1
清华大学理论力学课件--点的运动学
重要性
瞬时速度和平均速度可以提供关于物体运动状态的详细信息。
匀加速直线运动
定义
匀加速直线运动是指速度在运动过程中以相同的速 率增加或减少的运动。
加速度公式
加速度 = （末速度 - 初始速度）/ 时间，表征物体 加速或减速的程度。
运动方程
匀加速直线运动中速度和位移之间存在一些重要的 关系。
自由落体运动
曲线运动
曲线运动在三维空间中体现了物体的复杂轨迹和多 维运动。
均匀速直线运动
特点
均匀速直线运动是指速度在 运动过程中保持速度乘以时间。
示例
一个车以20 m/s的速度匀速 直线行驶10秒，位移等于200 米。
变速直线运动
定义
变速直线运动是速度在运动过程中发生变化的运动。
自由落体运动是一种特殊的匀加速直线运动，对象 只受重力作用。
清华大学理论力学课件-点的运动学
本课件将详细介绍点的运动学，包括位移、速度和加速度的定义，以及一维 直线运动、二维平面运动和三维空间运动等内容。
点的运动学概述
基本概念
点的运动学研究物体的位置、速度和加速度等运动状态。
重要性
点的运动学是理论力学的基础，对各种物体的运动进行描述和分析。
应用领域
点的运动学在工程、物理学和运动控制等领域具有广泛的应用。
速度-时间曲线
变速直线运动可以用速度-时间曲线来描述和分析。
加速度-时间曲线
加速度-时间曲线可以表征速度变化的幅度和方向。
运动方程
运用运动方程可以计算变速直线运动中的各个参量。
瞬时速度和平均速度
定义
瞬时速度是指物体在某一时刻的瞬时速度，而平均速度是指物体在整个运动过程中的平均速 度。
瞬时速度和平均速度可以提供关于物体运动状态的详细信息。
匀加速直线运动
定义
匀加速直线运动是指速度在运动过程中以相同的速 率增加或减少的运动。
加速度公式
加速度 = （末速度 - 初始速度）/ 时间，表征物体 加速或减速的程度。
运动方程
匀加速直线运动中速度和位移之间存在一些重要的 关系。
自由落体运动
曲线运动
曲线运动在三维空间中体现了物体的复杂轨迹和多 维运动。
均匀速直线运动
特点
均匀速直线运动是指速度在 运动过程中保持速度乘以时间。
示例
一个车以20 m/s的速度匀速 直线行驶10秒，位移等于200 米。
变速直线运动
定义
变速直线运动是速度在运动过程中发生变化的运动。
自由落体运动是一种特殊的匀加速直线运动，对象 只受重力作用。
清华大学理论力学课件-点的运动学
本课件将详细介绍点的运动学，包括位移、速度和加速度的定义，以及一维 直线运动、二维平面运动和三维空间运动等内容。
点的运动学概述
基本概念
点的运动学研究物体的位置、速度和加速度等运动状态。
重要性
点的运动学是理论力学的基础，对各种物体的运动进行描述和分析。
应用领域
点的运动学在工程、物理学和运动控制等领域具有广泛的应用。
速度-时间曲线
变速直线运动可以用速度-时间曲线来描述和分析。
加速度-时间曲线
加速度-时间曲线可以表征速度变化的幅度和方向。
运动方程
运用运动方程可以计算变速直线运动中的各个参量。
瞬时速度和平均速度
定义
瞬时速度是指物体在某一时刻的瞬时速度，而平均速度是指物体在整个运动过程中的平均速 度。
第5章-点的运动学第六章-刚体的简单运动PPT课件
定的平面。
法平面 垂直与切线的平面
切线
n
法线
b
副法线
b n
§5-4点的运动学问题
根据几何关系建立运动方程，求 速度、加速度等问题。
已知加速度、初始条件，求 运动方程等问题。
例题 已知M点的运动方程。试求M点在任意 时刻的速度、加速度的大小和曲率半径。
x R c o s (t) ,y R s in (t) ,z C t,
2 0
2
aM r2
lb 2 r2
解毕
§6-3 结论与讨论
问
切向加速度、法向加速度的物理意
题 义是什么？
：
点作直线运动时，其切向加速度与法
相加速度如何？
做曲线运动的点，其曲率的大小与加 速度有何关系？
平动刚体上的点的运动轨迹可以是空间 曲线吗？
6-1，6-3，6-5，
2021/1/11
.
THE END！
蒸汽机传动机构
车床传 动装置
运动学分类
点的运动学
简 化 为 点
刚体的运动学
的何简 刚不化 体变为
形几
第五章 点的运动学
2021/1/11
.
7
点的位置、速度、加速度、轨迹的描述
§5-1矢量法
r r(t)
运动方程
速度的方向
r
o
速度 M
v lim t 0
r t
dr dt
M’
r
v dr dt
速度的大小
M C
xR(sin)
yR(1cos)
xR(1cos)
x y Rsin
xR (1 c o s) R 2sin
yR sinR 2cos
理论力学第六章点的运动学(Y)(2)
理论力学第六章点的运动学(Y)(2)工程运动学与机构运动分析运动学的力学模型：点、刚体和刚体系，通称物体。
物体的运动不仅与受力有关，还与物体本身的惯性、初始运动状态、约束等因数有关，是一个比较复杂的问题。
为了循序渐进，暂时不考虑影响物体运动的物理因素，而只研究物体机械运动的几何性质。
运动学的任务：●建立物体运动规律的描述方法；●分析物体运动的速度、加速度、角速度、角加速度以及它们之间的关系；●研究物体运动的分解与合成规律。
一、描述点运动的矢量法二、描述点运动的直角坐标法三、描述点运动的弧坐标法研究对象：几何点，称为动点，有时简称为点。
研究任务：研究点在空间运动的几何性质，即点相对于某坐标系运动的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。
例如研究图示轮缘上点M的运动，可以看出M点沿摆线运动。
O1一、描述点运动的矢量法1、运动方程和轨迹研究对象―― 动点M 选定参考空间上的点O为坐标原点从坐标原点O向动点M作矢量rr 为点M相对于原点O的位置矢量――简称为矢径当动点运动时，矢径r 随时间而变化，且矢径单值连续函数r 是时间的r r t――矢量表示的点的运动方程动点在运动过程中，矢径r 的末端描绘出一条连续曲线，称为矢端曲线―― M点的运动轨迹2、速度速度―― 描述点在t 瞬时运动快慢和运动方向的力学量。
t 瞬时: 矢径r (t )t+ t 瞬时: 矢径r (t t )t 时间间隔内矢径的改变量r (t t ) r r (t ) r r (t t ) r (t ) r dr v lim r t 0 t dt速度大小：――点在t 瞬时的速度dr v v dt速度方向:沿着运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致；3、加速度加速度――描述点在t 瞬时速度大小和方向变化率。
t 瞬时: 速度v (t ) v (t t )t+ t 瞬时:速度t 时间间隔内速度的改变量v v (t t ) v (t ) v dv a lim v t 0 t dtdv d r a 2 r dt dt2――点在t 瞬时的加速度矢端曲线速度矢端曲线动点M的速度和加速度图加速度大小：a a v r 加速度的方向：沿速度始端曲线图的切线方向。
第六章 点的运动学37页PPT
第六章 点的运动学
运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是 从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包 括：运动方程、轨迹、速度和加速度。
学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要 的基础。其次运动学本身也有独立的应用。
由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物 体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标 系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。
速度矢端曲线
v
O
第六章 点的运动学
M1 M2
v1 v2
a
M3
6.2 直角坐标法
如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r
可表示为：
z
M
rxiyjzk x f1(t) y f2(t)
kr z
O i
j
x
xy
z f3(t)
这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。
第六章 点的运动学
6.2 直角坐标法
w w w 1 2 s in 2t 1 12 s in 2t 14 s in 4t
xl(12)r(cos2 wtcos2w8 t)
4
4
由此可得滑块B的速度和加速度：
vdxrw(sinwtsin2wt)
dt
2
advrw2(coswtcos2w)
dt
第六章 点的运动学
例6-3
例6-3 一人高 h2 ，在路灯下以匀速v1行走，灯距地 面的高为h1 ，求人影的顶端M沿地面移动的速度。
解：取滑块B的直线轨迹为x轴， 曲柄的转动中心O为坐标原点。 在经过 t 秒后，此时B点的坐 标为：
O
x OBOCCB
rcosjl cos
wA l
j
运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是 从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包 括：运动方程、轨迹、速度和加速度。
学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要 的基础。其次运动学本身也有独立的应用。
由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物 体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标 系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。
速度矢端曲线
v
O
第六章 点的运动学
M1 M2
v1 v2
a
M3
6.2 直角坐标法
如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r
可表示为：
z
M
rxiyjzk x f1(t) y f2(t)
kr z
O i
j
x
xy
z f3(t)
这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。
第六章 点的运动学
6.2 直角坐标法
w w w 1 2 s in 2t 1 12 s in 2t 14 s in 4t
xl(12)r(cos2 wtcos2w8 t)
4
4
由此可得滑块B的速度和加速度：
vdxrw(sinwtsin2wt)
dt
2
advrw2(coswtcos2w)
dt
第六章 点的运动学
例6-3
例6-3 一人高 h2 ，在路灯下以匀速v1行走，灯距地 面的高为h1 ，求人影的顶端M沿地面移动的速度。
解：取滑块B的直线轨迹为x轴， 曲柄的转动中心O为坐标原点。 在经过 t 秒后，此时B点的坐 标为：
O
x OBOCCB
rcosjl cos
wA l
j
理论力学-点的运动学
详细描述
速度和加速度的矢量表示
04
CHAPTER
点的运动轨迹和运动参数
通过已知的初始位置和速度矢量，利用矢量合成法则确定点的运动轨迹。
直角坐标系
极坐标系
参数方程
利用极坐标表示点的位置，通过已知的初始位置和速度矢量，确定点的运动轨迹。
通过设定参数表示点的位置，根据初始条件和运动规律，确定参数方程，从而确定点的运动轨迹。
加速度与轨迹的关系
根据点的加速度矢量，可以判断点加速或减速的情况，进一步推断出其运动轨迹的变化趋势。
位移与轨迹的关系
根据点的位移矢量，可以确定点在平面或空间中的运动轨迹。
运动参数与轨迹的关系
05
CHAPTER
点的运动学应用
刚体的平动是指刚体在空间中的移动，其上任意两点之间的距离保持不变。
总结词
刚体的平动是刚体运动的一种基本形式，它描述了刚体在空间中的移动。在这种运动中，刚体的所有点都以相同的速度和方向移动，因此刚体上任意两点之间的距离保持不变。平动不会改变刚体的形状和大小。
点的速度和加速度
总结词
速度是描述物体运动快慢的物理量，其大小等于物体在单位时间内通过的位移。
详细描述
速度的大小可以用矢量表示，其大小等于物体在单位时间内通过的位移量，方向与物体运动方向相同。在直角坐标系中，速度矢量可以表示为位置矢量对时间的一阶导数。
速度的定义与计算
总结词
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，其大小等于物体在单位时间内速度的变化量。
详细描述
加速度的大小可以用矢量表示，其大小等于物体在单位时间内速度的变化量，方向与物体速度变化方向相同。在直角坐标系中，加速度矢量可以表示为速度矢量对时间的一阶导数。
速度和加速度的矢量表示
04
CHAPTER
点的运动轨迹和运动参数
通过已知的初始位置和速度矢量，利用矢量合成法则确定点的运动轨迹。
直角坐标系
极坐标系
参数方程
利用极坐标表示点的位置，通过已知的初始位置和速度矢量，确定点的运动轨迹。
通过设定参数表示点的位置，根据初始条件和运动规律，确定参数方程，从而确定点的运动轨迹。
加速度与轨迹的关系
根据点的加速度矢量，可以判断点加速或减速的情况，进一步推断出其运动轨迹的变化趋势。
位移与轨迹的关系
根据点的位移矢量，可以确定点在平面或空间中的运动轨迹。
运动参数与轨迹的关系
05
CHAPTER
点的运动学应用
刚体的平动是指刚体在空间中的移动，其上任意两点之间的距离保持不变。
总结词
刚体的平动是刚体运动的一种基本形式，它描述了刚体在空间中的移动。在这种运动中，刚体的所有点都以相同的速度和方向移动，因此刚体上任意两点之间的距离保持不变。平动不会改变刚体的形状和大小。
点的速度和加速度
总结词
速度是描述物体运动快慢的物理量，其大小等于物体在单位时间内通过的位移。
详细描述
速度的大小可以用矢量表示，其大小等于物体在单位时间内通过的位移量，方向与物体运动方向相同。在直角坐标系中，速度矢量可以表示为位置矢量对时间的一阶导数。
速度的定义与计算
总结词
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，其大小等于物体在单位时间内速度的变化量。
详细描述
加速度的大小可以用矢量表示，其大小等于物体在单位时间内速度的变化量，方向与物体速度变化方向相同。在直角坐标系中，加速度矢量可以表示为速度矢量对时间的一阶导数。
理论力学运动学幻灯片课件
?
v2
6
5、匀速、匀变速公式
（1） aτ＝常数，
（ 2）v=常数，
v ? v0 ? aτt
?
s
?
s0
?
v0t
?
1 2
aτt 2
?? ? ?
v2 ? v02 ? 2a? (s ? s0 )??
s = so + vt
7
已知运动方程，求导，求得速度、加速度。 已知加速度，运动的初始条件，积分，可求得速度、运动方程。
/ /
点的加速度
a
?
aτ
?
an
?
aτ τ
?
ann
?
dv dt
τ
?
v2
?
n
切向加速度反映速度大小变化
当aτ与v 同号时，点作加速运动，否则作减速运动。
4
法向加速度反映速度方向的变化
aτ ? v?τ ? ?s?τ
v2
an ? ? n
加速度a的大小：
a?
aτ 2+ a n 2 ?
( dv) 2
?
v2 (
ω ? ?k 角加速度矢：
α ? ??k ? ω?? ? k
17
2．用矢积表示点的速度和加速度
用矢径表示转动刚体上任一点M的位置，
aτ 则点M的速度 ：
1 an
v ? ω? r
?
点M的加速度为：
×
a ? v?? d (ω ? r) ? ω?? r ? ω ? r? dt
? α ? r ? ω ? v ? a? ? an
解题步骤：
1、运动分析 3、建立运动方程
P11 是非题1-4
P12 题3
理论力学第6章 ppt课件
25
作业
• 6-4 • 6-6
ppt课件
26
第六章 点的运动学
• §6-1 矢量法和直角坐标法
• 1. 表示质点运动的矢量法：
• 质点的空间位置用矢径r表示，它是时间的 函数，
•
r = r(t)
• 投影式： r = xi+yj+zk
• 轨迹：矢径r 端点的连线。
ppt课件
1
• 速度：
v dr lim r(t t) r(t)
a dv dt
• 动点移动时，速度大小和方向都发生改变。
a
dv dt
d dt
( ds dt
τ)
d 2s dt 2
τ
ds dt
dτ dt
ppt课件
15
• 切向加速度
at
d 2s dt 2
τ
dv dt
τ
• 法向加速度
an
ds dt
dτ dt
v
dτ dt
dτ dτ ds 1 vn
vy y r sin t
v
vx2
v
2 y
r (1 cost)2 sin2 t
2r sin t
2
ppt课件
19
• 求M点的曲线位移： • 方法1
v ds dt
s
vdt
2r
t
0
sin
t
2
dt
4r (1
cos
t
2
)
ppt课件
20
• 求M点的曲线位移：
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一.运动方程，轨迹
当点M运动时，矢径r随时间而 变化，并且是时间的单值函数：
rrt —以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。——动点M的运动轨迹
二.点的速度
dr v
r
dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。 4
1.弧坐标的运动方程
动点M在轨迹上位置的确定： 动点M在轨迹上的位置
由弧长确定，视弧长S为代数 量，称其为动点M在轨迹上 的弧坐标。
s= f (t)
12
2.自然轴系
以点M 为原点，以切线、 主法线、副法线为坐标轴组 成的正交坐标系称为动点M 的自然坐标系，这三个轴称 为自然轴。
,n,b,分别为切线、主法
线和副法线的单位向量。
—与弧坐标的正向一致
n —指向曲线内凹一侧
b —与 , n构成右手系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 线而变动的游动坐标系13 。
6-3 自然法
3、曲率(1/ ：)
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
1
d
lim | |
t0 S dS
14
1
引言
运动学的基本概念：
①运动学：：研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的 科学，不考虑运动的原因。
②运动学研究目的: ①建立机械运动的描述方法 ②建立运动量之间的关系
③运动是相对的 :参考体(物);参考系;静系;动系。
④运动分类 1)点的运动 2)刚体的运动
2
第六章 点的运动学
3
6-1 矢量法
转动，它与水平线间的夹角为 t, 其中θ为t=0的
夹角，ω为一常数。已知动杆上A，B两点间距离为b， 求点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。
解： A，B点都作直线运
动，取ox轴如图所示。
A
运动方程：
x A b r si n b r sit n)(
x B rs i n rsi tn ) (
矢径是点的单值连续函数， r xi yjzk
故x,y,z也是时间的单值函数：
x f1 (t)y , f2 (t)z , f3 (t)
——以直角坐标表示的点的运动方程
上式消去t,即为点的轨迹方程：f(x,y,z)0
6
6-2 直角坐标法
二.点的速度
dr v
dt
r xi yjzk
vdxi dyjdzk dt dt dt
16
a
d2Sτ v dτ
dt2
dt
②法向加速度 a -n----表示速度方向的变化
d
an v dt
v d ds
ds dt
又d
1 n
dS
v2 an n
v2 an
an是一个沿主法线 的正 矢方 量向 ，指向曲 。率
法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度。
aa anaann
dv
dt
d2tid2tjd2tka x i a yj a zk
加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对 时间的二阶导数。
大小： 方向：
a a2xa2ya2z
co a i)s a (x， co a j)s a (y， co a k ) s (a z
a
a
a
8
[例6-1 ] 正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速
dvτ v dτ
dt
dt
d2Sτ v dτ
dt2
dt
①切向加速度 a----表示速度大小的变化
a
dv
dt
d2S
dt2
a是一个沿轨迹切的 线矢 方量 向。 如v 0,a指 向 轨 迹 正 向 ，负 否向 则。 指
令a： vs a是一个代数量度 ， a沿 是轨 加迹 速切线的
切向加速度反映点的速度值对时间的变化率.
（v为活塞的速度，k为比例常数)，初速度为v0,求活塞 的运动规律。
解：1、 活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图
2、由 advkv dt
v dv
t
k dt
v v0
0
v ln kt,
v0
vv0ekt
3、由vddxt v0ekt
x
dx
x0
0tv0ekd t t
0vk0 1ekt 11
6-3 自然法 一.弧坐标,自然轴系
vvxivyjvzk
vxd d x tx ,vyd d y ty ,vzd d z tz
速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时 间的一阶导数。
大小 v： vx2vy2vz2
方向：cos(vi )
vx
cos(vj)
vy
v
v
cos(vk )
vz
v7
6-2 直角坐标法
三. 加速度.
advdxvidyvjdzvk dt dt dt dt d2x d2y d2 z
加速度沿副法线上量的为分零
ab 0
全加速度的大小：
v与at指向相同时，速
度的绝对值不断增加 ，点作加速运动。
a a2 an2
全加速度与法线间的夹角的正切： tan a an
当a与切向单位矢 的量 夹角 为锐角时为 ，正，否则为负。
9
已知：O M r, t , 常 ,A 数 B b
求：① A、B点运动方程
② B点速度、加速度
B点的速度和加速度
v B x B rco t s
aBxBr2sint
2xB
v, a
运动图线 速度图线 加速度图线
10 t
[例6-2] 如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在
套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 akv ，
v2
n
17
证明：d
1 n
dS
证：d lim| |
dS t0 S
|||'|2||si n2si n
22
当 S 0时 , 0,sin
22
d
lim | |limn
dSt 0 S t 0S
曲率 1 lim | | t0 S
d 1 n
dS
18
由于 a,an均在密切面内度， a必全 在加 密速 切面内
三.加速度
a dv d2r r dt dt2
表征速度大小和方向的变化。
四、速度矢端曲线：
在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度 矢都平行地移到点O，连接各矢量的端点，就构成速度 矢量端点的连续曲线。
矢径矢端曲线切线 ——速度
速度矢端曲线切线
——加速度
5
6-2 直角坐标法
一.运动方程、轨迹
6-3 自然法
二.点的速度
当 t 0时 r， M' M S
r
S
v lti m 0 t lti m 0 t
dS dt
v dS S dt
速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数的绝对值。
v v ds
dt
S 0,点沿轨迹正向则 运为 动负 ，向 否运动。
15
三.点的加速度
a dv dt
d (vτ) dt