两边成比例且夹角相等的判定方法-课件
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《相似三角形的判定》PPT课件(第1课时)
③中的三角形的三边分别是：2 2, 2,2 5；
④中的三角形的三边分别是：3, 17, 4 2
∵①与③中的三角形的三边的比为：1: 2
∴①与③相似．故答选：A
02
练一练
2．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（
）
【详解】
解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为 2，2 2， 10．
目录
02
重点
03
难点
运用两种判定方法判定两个三角形相似。
三角形相似的条件归纳、证明。
01
LEARNING OBJECTIVES
学习目标
1、初步掌握“三边成比例的两个三角形相似”和
“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法。
2、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
01
判定三角形全等条件知识点回顾
AB
AC
在△ABC和△A’B’C’中, A′B′ = A′C′ , ∠A = ∠A′ ,
求证:△ ABC ∽△ A′B′C′？
A’
∵△A'DE∽△A'B‘C’
A
A′D
D
B
DE
′
∴ A′B′ = B′C′ = A′C′，而AB=A’D
E
C
∴
AC
A′C′
=
′
A′C′
∴ AC=A’E 而∠A = ∠A′
可得△A'DE∽△A'B'C'．
01
探究与证明（通过三边判定两个三角形相似）
AB
BC
AC
在△ABC和△A’B’C’中， A′B′ = B′C′ = A′C′ , 求证:△ ABC ∽△ A′B′C′？
④中的三角形的三边分别是：3, 17, 4 2
∵①与③中的三角形的三边的比为：1: 2
∴①与③相似．故答选：A
02
练一练
2．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（
）
【详解】
解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为 2，2 2， 10．
目录
02
重点
03
难点
运用两种判定方法判定两个三角形相似。
三角形相似的条件归纳、证明。
01
LEARNING OBJECTIVES
学习目标
1、初步掌握“三边成比例的两个三角形相似”和
“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法。
2、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
01
判定三角形全等条件知识点回顾
AB
AC
在△ABC和△A’B’C’中, A′B′ = A′C′ , ∠A = ∠A′ ,
求证:△ ABC ∽△ A′B′C′？
A’
∵△A'DE∽△A'B‘C’
A
A′D
D
B
DE
′
∴ A′B′ = B′C′ = A′C′，而AB=A’D
E
C
∴
AC
A′C′
=
′
A′C′
∴ AC=A’E 而∠A = ∠A′
可得△A'DE∽△A'B'C'．
01
探究与证明（通过三边判定两个三角形相似）
AB
BC
AC
在△ABC和△A’B’C’中， A′B′ = B′C′ = A′C′ , 求证:△ ABC ∽△ A′B′C′？
4.4 课时2 两边成比例且夹角相等 课件 (共15张PPT) 数学北师版九年级上册
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB = AD : AC ， ∴ AP : 12 = 6 : 8 ，解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB = AP : AC ， ∴6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4. ∴当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似．
4.4 课时2 两边成比例 且夹角相等
学习目标
1.理解并掌握相似三角形的判定定理2. 2.能利用相似三角形的判断定理2判定两个三角形相似 并解决问题.
情境导入
如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°， AD⊥BC，垂足为 D.
(1) 请指出图中所有的相似三角形；
(2) 你能得出 AD2 = BD·DC 吗？
时间：2024年9月15日
2023 课件
A
(1) △ABD∽△ACD∽△CBA；
(2) ∵△ABD∽△ACD，
∴
，
B
D
C
即 AD2 = BD·DC
新知讲解
已知△ABC 与△A′B′C′，其中
A
，这两个三角形一定相似吗？与同伴交流.
A′
不一定相似
B
C B′
C′
如果再增加一
个条件，你能
说出有哪几种
可能的情况吗？
新知讲解
我们先来考虑增加一角相等的情况. 思考：增加一角相等的情况，可分为几种情况呢？
A
A′
B
C
B′
C′
新知讲解
如图，在△ABC 与△A′B′C′ 中，已知∠A =∠A′ = 60°， 求证：△ABC ∽△A′B′C′.
= 2. A'
证明：
在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D = AB. 过点 D
相似三角形的判定定理完整版课件-2024鲜版
与向量结合应用
向量是数学中的重要工具之一，而相似三角形与向量也有着紧密的联系。在解决一些与向量 相关的问题时，可以利用相似三角形的性质来简化计算或证明过程。
2024/3/28
与不等式结合应用
在一些复杂的数学问题中，可能需要将相似三角形的性质与不等式知识结合起来应用。例如， 在证明一些与线段长度或面积相关的不等式时，可以利用相似三角形的性质来构造不等式并 进行证明。
14
练习题与答案
答案
1. 是。因为$frac{DE}{D'E'} = frac{4}{2} = 2$，$frac{EF}{E'F'} = frac{5}{3}$且 $frac{DF}{D'F'} = frac{6}{4} = frac{3}{2}$，三边对应比例相等。
2. 是。因为$frac{GH}{G'H'} = frac{7.5}{6} = frac{5}{4}$，$frac{HI}{H'I'} = frac{10}{8} = frac{5}{4}$且$frac{GI}{G'I'} = frac{12.5}{10} = frac{5}{4}$，三边对应比例相等。
相似三角形定义及性质
2024/3/28
定义
对应角相等，对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形。
性质
相似三角形的对应角相等，对应边 成比例，且对应高、对应中线、对 应角平分线等也成比例。
4
对应角与对应边关系
对应角
两个相似三角形中，相等的角是对应 角。
对应边
两个相似三角形中，成比例的边是对应 边。在写对应边成比例时，要注意写清 对应边的顺序。
2024/3/28
数学两边成比例且夹角相等的两个三角形相似课件(人教版九年级下期)
第二十七章
九年级数学下（RJ） 教学课件
相似
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判定定理； 2.会根据边和角的关系来判定两个三角形相似.（重点、难点）
导入新课
回顾与思考 问题1 我们学习过哪些判定三角形全等的方法？
目录
01
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02
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03
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04
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，求DE的长.
∴
E
∵ AD 3 , ∴ AD AE .
AB 4
AB AC
B
又∵∠EAD=∠CAB,
A
D C
∴△ADE∽△ABC
∴
∴DE= 3 BC 9 .
4
4
例3 如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 求证：∠ACB=90°．
A
D
B C
△ABC∽△DCA
课堂小结
利用两边及夹角判定三角形相似
两边成比例且 夹角相等的两 个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
以下赠品教育通用模板
前言
您的内容打在这里，或者通过复制您 的文本 后，在 此框中 选择粘 贴，并 选择只 保留文 字。在 此录入 上述图 表的综 合描述 说明。 您的内 容打在 这里， 或者通 过复制 您的文 本后， 在此框 中选择 粘贴， 并选择 只保留 文字。 在此录 入上述 图表的 综合描 述说明 。 您的内容打在这里，或者通过复制您 的文本 后，在 此框中 选择粘 贴，并 选择只 保留文 字。在 此录入 上述图 表的综 合描述 说明。 您的内 容打在 这里， 或者通 过复制 您的文 本后。
九年级数学下（RJ） 教学课件
相似
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判定定理； 2.会根据边和角的关系来判定两个三角形相似.（重点、难点）
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回顾与思考 问题1 我们学习过哪些判定三角形全等的方法？
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，求DE的长.
∴
E
∵ AD 3 , ∴ AD AE .
AB 4
AB AC
B
又∵∠EAD=∠CAB,
A
D C
∴△ADE∽△ABC
∴
∴DE= 3 BC 9 .
4
4
例3 如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 求证：∠ACB=90°．
A
D
B C
△ABC∽△DCA
课堂小结
利用两边及夹角判定三角形相似
两边成比例且 夹角相等的两 个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
以下赠品教育通用模板
前言
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人教版数学九年级下册《 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》PPT课件
探究新知 归纳： 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵
AB A' B'
AC A' C
'
，∠A=∠A′，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . B'
A' A
C' B
C
探究新知
【思考】对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠C=∠C′， 这两个三角形一定会相似吗？
B
∴ DF EF 3 .
F
AC BC 5
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴△DEF∽△ABC. D
E
例 2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD =
AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE.
AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′. A' B' A' C'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， D
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
A'
E A C'
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
巩固练习
已知∠A=40°，AB=8，AC=15， ∠A' =40°，A'B' =16， A'C' =30 ，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理 由.
两边成比例且夹角相等的判定方法-PPT课件
2
知识点：两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似
1．能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是( B )
A.AA′BB′＝AA′CC′
B.AA′BB′＝AA′CC′且∠A＝∠A′
C.BACB＝AA′′CB′′且∠B＝∠C′
D.AA′BB′＝AA′CC′且∠B＝∠B′
2．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )C
(2)由(1)知∠3＝∠DAE，∴∠2＋∠3＝∠2＋∠DAE＝∠1，又 AB＝BD，AB⊥BD，∴∠1＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＝90°
9
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
10
13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点， AE＝ED，DF＝ DC1，连接EF并延长交BC的延长线于点G.
9．如图，点D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使
△ABC∽△DBA的条件是( D )
A．AC∶BC＝AD∶BD
B．AC∶BC＝AB∶AD
C．AB2＝CD·BC
D．AB2＝BD·BC
(第9题图)
(第10题图)
10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将
这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA·OC＝
，
∴
当
BP BC
＝
BQ BA
时
，
△PBQ∽△CBA，∴102－0 t＝120t，∴t＝2.综上，它们同时出发了 2
秒或 5 秒时，△PBQ 与△ABC 相似
12
8
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且AB ＝BD＝DE＝EC. 求证：(1)△ADE∽△CDA； (2)∠1＋∠2＋∠3＝90°.
相似三角形的判定- 完整版课件
A
A′ 即 在△ABC和△A′B′C′中，
B
C
如果 ∠A =∠A′ ，∠B =∠B′ ，
B′
C′ 那么 △ABC∽△ A′B′C′.
角A 角A 边S 角A 角A 边S
你能证明吗？ 角A 角A
已知：∠A =∠A1，∠B =∠B1 . 求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
A
B
C B1
C1
思考
H
已知：Rt△ABC 和 Rt△ A′B′C′ ，
解：∵ CD，C′D′分别是两个三角形斜边上的高，
∴∠ADC=∠A′D′C′=90°, ∵CD∶C′D′=AC∶A′C′， ∴ Rt△ACD∽Rt△A′C′D′, ∴∠A=∠A′ 又∠ACB=∠A′C′B′=90°， ∴△ABC∽△A′B′C′.
检测
6.如图所示，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，求AD. 解：在Rt△ABC中， ∵ ∠C=90°，
∵ ∠C=∠E=90°， ∠BAC=∠DAE， ∴ △ABC∽△ADE.
The end
THANKS
谢谢观赏
（HL）
检测
1. 如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC 上的点.AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加 一个条件: DF∥AC ，可以使得△FDB与△ADE相似.( 只需写出一个)
检测
2.如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则 线段AC的长为( B )
探究
与同伴合作，一人先画△ABC，另一人再画△A′B′C′ ，使得∠A= ∠A′， ∠B= ∠B′.比较你们所画的两个三 角形， ∠C= ∠C′ 吗？对应边之比相等吗？这样的两 个三角形相似吗？
A′ 即 在△ABC和△A′B′C′中，
B
C
如果 ∠A =∠A′ ，∠B =∠B′ ，
B′
C′ 那么 △ABC∽△ A′B′C′.
角A 角A 边S 角A 角A 边S
你能证明吗？ 角A 角A
已知：∠A =∠A1，∠B =∠B1 . 求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
A
B
C B1
C1
思考
H
已知：Rt△ABC 和 Rt△ A′B′C′ ，
解：∵ CD，C′D′分别是两个三角形斜边上的高，
∴∠ADC=∠A′D′C′=90°, ∵CD∶C′D′=AC∶A′C′， ∴ Rt△ACD∽Rt△A′C′D′, ∴∠A=∠A′ 又∠ACB=∠A′C′B′=90°， ∴△ABC∽△A′B′C′.
检测
6.如图所示，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，求AD. 解：在Rt△ABC中， ∵ ∠C=90°，
∵ ∠C=∠E=90°， ∠BAC=∠DAE， ∴ △ABC∽△ADE.
The end
THANKS
谢谢观赏
（HL）
检测
1. 如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC 上的点.AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加 一个条件: DF∥AC ，可以使得△FDB与△ADE相似.( 只需写出一个)
检测
2.如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则 线段AC的长为( B )
探究
与同伴合作，一人先画△ABC，另一人再画△A′B′C′ ，使得∠A= ∠A′， ∠B= ∠B′.比较你们所画的两个三 角形， ∠C= ∠C′ 吗？对应边之比相等吗？这样的两 个三角形相似吗？
相似三角形的判定ppt
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感谢您的观看
两角对应相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
• 两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
应用
在几何图形中，利用相似三角形可以求解线段长度、角度大小等问题。
在物理、工程等领域，相似三角形的应用也十分广泛，如利用相似三角 形测量高度、距离等。
展望相似三角形在数学领域的发展前景
需要注意的是，必须 是两个对应的角分别 相等，而不是任意两 个角相等。
此判定方法基于角的 相等性，无需考虑三 角形的边长。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
如果两个三角形的两边成比例，并且 夹角相等，则这两个三角形相似。
需要注意的是，必须是两边成比例且 夹角相等，而不是任意两边和任意夹 角。
此判定方法同时考虑了边长和角度的 因素。
定义上的联系
相似三角形和全等三角形都是基于三角形的形状和大小进行比较的概念。全等 三角形是形状和大小都完全相同的三角形，而相似三角形则是形状相同但大小 不一定相同的三角形。
性质上的联系
相似三角形和全等三角形都具有一些共同的性质。例如，它们都遵循三角形的 内角和为180°的规则，以及对应角相等、对应边成比例等性质。
三边成比例的两个三角形相似
如果两个三角形的三边成比例，则这两 个三角形相似。
此判定方法仅考虑三角形的边长，无需 考虑角度。
需要注意的是，必须是三边成比例，而 不是任意两边或一边。同时，由于浮点 数计算的精度问题，在实际应用中需要 设定一定的误差范围来判断三边是否成
比例。
03 相似三角形的应用
测量高度和距离
求解角度问题
4.4两边成比例且夹角相等的判定方法北师大版九年级数学上册习题PPT课件
10．如图，直线EF分别交AB、AC于点F、E，交BC延长线于点D， 已知AB·BF＝DB·BC.求证：AE·EC＝DE·EF.
证明：∵AB·BF＝DB·BC，∴AB∶BC＝DB∶BF.∵∠B＝∠B， ∴△BAC∽△BDF.∴∠A＝∠D.∵∠AEF＝∠CED， ∴△AEF∽△DEC，∴AE∶DE＝EF∶EC.∴AE·EC＝DE·EF.
核心提示：(1)对应角是对应两边的夹角．
1．下列两个三角形不一定相似的是( )
30 ∵∠AEF＝∠CED，∴△AEF∽△DEC，∴AE∶DE＝EF∶EC. 的长为 核心提示：(1)对应角是对应两边的夹角． 11. 5 cm/s的速度沿ON方向运动，点F以2 cm/s的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动，设运动时间为t s(t＞0)．
11．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，过AB上一点D作DE∥BC， DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F.
(1)如图1，证明：△ADE∽△DBF；
(2)如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；
(3)如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的 长．
求D．证有：一A个E·E内C角＝是(D1E50·)E°的证F. 两个明等腰：三角∵形 DE∥BC，DF∥AC，∴∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，∴△ADE∽
3 ∵∠AEF＝∠CED，∴△AEF∽△DEC，∴AE∶DE＝EF∶EC.
(1)当t＝1时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
3．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′
＝4，那么当A′B′＝____时，△ABC∽△A′B′C′.
4．【教材P93习题4.6T1变式】一个直角三角形的两条边长分别 为4 cm和3 cm，另一个直角三角形两条直角边的长分别为8 cm和6 cm，这两个直角三角形是否相似？请说明理由．
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
5
相似三角形性质总结
对应边成比例
相似三角形的对应边之比等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例
相似三角形的对应高、中线、角平分线之 比也等于相似比。
周长比等于相似比
相似三角形的周长之比等于相似比。
2024/1/27
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 。
6
02
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
1
目 录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念及性质 • 判定方法一：两边成比例且夹角相等 • 判定方法二：三边成比例 • 判定方法三：直角三角形中斜边和一直角边成
比例 • 综合运用及拓展延伸 • 课堂小结与作业布置
2
01
相似三角形基本概念及性质
2024/1/27
判定方法一：两边成比例且夹角 相等
2024/1/27
7
定理内容阐述
01
02
03
定理描述
如果两个三角形有两边成 比例，并且夹角相等，则 这两个三角形相似。
2024/1/27
定理条件
两个三角形中，任意两边 长度之比等于另两边长度 之比，且这两边所夹的角 相等。
定理
8
18
05
综合运用及拓展延伸
2024/1/27
19
不同判定方法之间的联系与区别
角角角（AAA）相似
三个内角分别相等，则两个三角形相 似。此方法简单易行，但需注意AAA 相似不能推出边长成比例。
边角边（BAB）相似
两边成比例且夹角相等，则两个三角 形相似。此方法结合了边的长度和角 的大小，较为常用。
相似三角形的判定课件优秀课件
性质
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定条件
02
01
03
两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。
相似比与相似度
相似比
相似三角形的对应边之间的比值称为 相似比。
相似度
用来衡量两个三角形相似的程度，通常 用相似比来表示。相似度越高，两个三 角形越相似。
THANK YOU
感谢聆听
构建相似三角形，利用比例关 系求解线段长度。
应用勾股定理和相似三角形的 性质，求解直角三角形中的线 段长度。
求解角度问题
利用相似三角形的对应角相等，通过已知角度求解未 知角度。
通过构建相似三角形，利用角度之间的和、差、倍、 半关系求解角度问题。
结合三角形的内角和性质，利用相似三角形求解复杂 的角度问题。
直角三角形相似判定
对于两个直角三角形，如果它们的一个锐角相等，则这两个三角形相似。这是因为直角三角 形的锐角决定了其余两个角的大小，因此一个锐角相等就意味着三个角都相等。
等腰三角形相似判定
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三角形相似。这是因为等腰三角形的 顶角决定了其余两个底角的大小，因此顶角相等就意味着三个角都相等。
求解面积问题
利用相似三角形的面积比等于 相似比的平方，通过已知面积 求解未知面积。
通过构建相似三角形，利用面 积之间的比例关系求解面积问 题。
结合其他几何知识，如平行四 边形的面积公式等，利用相似 三角形求解复杂的面积问题。
04
相似三角形在代数问题中应用
利用相似三角形性质解方程
通过相似三角形的对 应边成比例，将几何 问题转化为代数方程。
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定条件
02
01
03
两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。
相似比与相似度
相似比
相似三角形的对应边之间的比值称为 相似比。
相似度
用来衡量两个三角形相似的程度，通常 用相似比来表示。相似度越高，两个三 角形越相似。
THANK YOU
感谢聆听
构建相似三角形，利用比例关 系求解线段长度。
应用勾股定理和相似三角形的 性质，求解直角三角形中的线 段长度。
求解角度问题
利用相似三角形的对应角相等，通过已知角度求解未 知角度。
通过构建相似三角形，利用角度之间的和、差、倍、 半关系求解角度问题。
结合三角形的内角和性质，利用相似三角形求解复杂 的角度问题。
直角三角形相似判定
对于两个直角三角形，如果它们的一个锐角相等，则这两个三角形相似。这是因为直角三角 形的锐角决定了其余两个角的大小，因此一个锐角相等就意味着三个角都相等。
等腰三角形相似判定
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三角形相似。这是因为等腰三角形的 顶角决定了其余两个底角的大小，因此顶角相等就意味着三个角都相等。
求解面积问题
利用相似三角形的面积比等于 相似比的平方，通过已知面积 求解未知面积。
通过构建相似三角形，利用面 积之间的比例关系求解面积问 题。
结合其他几何知识，如平行四 边形的面积公式等，利用相似 三角形求解复杂的面积问题。
04
相似三角形在代数问题中应用
利用相似三角形性质解方程
通过相似三角形的对 应边成比例，将几何 问题转化为代数方程。
初中数学北师大版九年级上册《4.两边成比例且夹角相等的判定方法》课件
直线上．求证：△ABD∽△CAE.
证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠B=∠CAE.
又∵AB：AC=BD：AE=3，
∴△ABD∽△CAE.
谢谢大家
AB•CP=AP•CB，能满足△APC与△ACB类似的条件是（ A ）
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
4.在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，
要使△ABC与△DEF类似，则需添加的一个条件是
∠A=∠D（答案不唯一）
（写出一种情况即可）．
我们这节课主要研究了三角形类似的判定方法：
AC＝ 1：3，AE=BE，则有（ B ）
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
3. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上
一点，若△APD与△BPC类似，则满足条件的点P有3
个．
4.如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条
数学北师大版 九年级上Fra bibliotek4.4.2
两边成比例且夹角
相等的判定方法
思考：两个三角形有两边成比例，它们一定类
似吗？与同伴交流.
小明认为，两边成比例的两个三角形不一定类
似.如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的
情况吗？
1.三边对应成比例
2.两边成比例并且夹角相等
画△ABC与△A1B1C1，使∠A=∠A1，AB：A1B1和AC：
C．3对
D．4对
2.下列说法正确的是（ C ）
A．等腰梯形的对角线互相平分
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠B=∠CAE.
又∵AB：AC=BD：AE=3，
∴△ABD∽△CAE.
谢谢大家
AB•CP=AP•CB，能满足△APC与△ACB类似的条件是（ A ）
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
4.在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，
要使△ABC与△DEF类似，则需添加的一个条件是
∠A=∠D（答案不唯一）
（写出一种情况即可）．
我们这节课主要研究了三角形类似的判定方法：
AC＝ 1：3，AE=BE，则有（ B ）
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
3. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上
一点，若△APD与△BPC类似，则满足条件的点P有3
个．
4.如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条
数学北师大版 九年级上Fra bibliotek4.4.2
两边成比例且夹角
相等的判定方法
思考：两个三角形有两边成比例，它们一定类
似吗？与同伴交流.
小明认为，两边成比例的两个三角形不一定类
似.如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的
情况吗？
1.三边对应成比例
2.两边成比例并且夹角相等
画△ABC与△A1B1C1，使∠A=∠A1，AB：A1B1和AC：
C．3对
D．4对
2.下列说法正确的是（ C ）
A．等腰梯形的对角线互相平分
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
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＝36，OB＝18，则△ABO与△DCO__一__定__相似．(填“一定”
或“不”)
6．如图，BD平分∠ABC，AB＝2，BC＝3，当BD＝___6____时， △ABD∽△DBC.
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是AB，AC 上的点，且AD·AB＝AE·AC， 求证：DE⊥AB.
解：设它们同时出发了 t 秒时△PBQ 与△ABC 相似，BP＝10－t，
BQ ＝
2t.①∵∠B ＝
∠B，
∴
当
BBAP ＝
BQ BC
时
，
△PBQ∽△ABC
，
∴
10－t 10
＝
2t 20
，
t
＝
5
；
②∵∠B
＝
∠B
，
∴
当
BP BC
＝
BQ BA
时
，
△PBQ∽△CBA，∴102－0 t＝120t，∴t＝2.综上，它们同时出发了 2
3．已知线段AD，BC相交于点O，OB∶OD＝3∶1，OA＝12 cm， OC＝4 cm，AB＝30 cm，则CD＝_______1c0m.
4．如图，点D是△ABC边AB上的一点，AD＝2BD＝2，当 AC＝___6__时，△ACD∽△ABC.
(第4题图)
(第5题图)
5．如图，线段AC与BD相交于点O，且OA＝12，OC＝54，OD
(2)由(1)知∠3＝∠DAE，∴∠2＋∠3＝∠2＋∠DAE＝∠1，又 AB＝BD，AB⊥BD，∴∠1＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＝90°
13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点， AE＝ED，DF＝ DC1，连接EF并延长交BC的延长线于点G.
4 (1)求证：△ABE∽△DEF； (2)若正方形的边长为8，求BG的长．
解：∵AD·AB＝AE·AC，∴AADC＝AABE， 又 ∠DAE ＝ ∠CAB ， ∴△ADE∽△ACB ， ∴∠ADE＝∠ACB，∵∠C＝90°， ∴∠ADE＝90°，∴DE⊥AB
8．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 AC，AB 边 上，且AADC＝13，AE＝BE，连接 DE，BD. 求证：∠AED＝∠CBD.
C．①和④相似
D．②和④相似
11．如图，直线EF分别交△ABC的边AC，AB于点E，F，交边 BC的延长线于点D，且AB·BF＝BC·BD.求证：AE·EC＝EF·ED.
解：∵AB·BF＝BC·BD，∴ABDB＝BBCF. 又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBF. ∴∠A＝∠D. 又∵∠AEF＝∠DEC， ∴△AEF∽△DEC. ∴EADE＝EECF，即 AE·EC＝EF·ED
秒或 5 秒时，△PBQ 与△ABC 相似
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知识点：两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似
1．能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是( B )
A.AA′BB′＝AA′CC′
B.AA′BB′＝AA′CC′且∠A＝∠A′
C.BACB＝AA′′CB′′且∠B＝∠C′
D.AA′BB′＝AA′CC′且∠B＝∠B′
2．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是 (C )
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
解：证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠C＝60°， 又点 E 为 AB 的中点，AADC＝13，∴BACE＝12，ADDC＝12， ∴BACE＝ADDC，又∠A＝∠C， ∴△AED∽△CBD，∴∠AED＝∠CBD
9．如图，点D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使
△ABC∽△DBA的条件是( D )
4.4 探索三角形相似的条件
第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法
△ABC
与
△A′B′C′
中
，
AB A′B′
＝
BC B′C′
，
且
_∠__B_＝__∠__BA′B′C′，依据是
__两__边__成__比__例__且__夹__角__相__等__的__两__个__三__角__形__相__似___．
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12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且 AB＝BD＝DE＝EC. 求证：(1)△ADE∽△CDA； (2)∠1＋∠2＋∠3＝90°.
解：∵AB＝BD＝CE＝DE，设 AB＝a，则在 Rt△ABD 中，AD ＝ 2a，又 DE＝a，DC＝2a，∴AD2＝DE·DC，即ADDE＝ADDC，又 ∠ADE＝∠CDA，∴△ADE∽△CDA
解：(1)证明：由题意得DDEF＝AABE＝12，又∠D＝∠A＝90°， ∴△ABE∽△DEF (2)∵DE∥CG，∴△DEF∽△CGF，∴CDGE＝DFCF＝13， ∴CG＝3ED＝12，∴BG＝8＋12＝20
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，两只小 虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进， 小虫P每秒走1 cm，小虫Q每秒走2 cm. 请问：它们同时出发多少秒时，以P，B ，Q为顶点的三角形与以A，B，C为顶点 的三角形相似？
A．AC∶BC＝AD∶BD
B．AC∶BC＝AB∶AD
C．AB2＝CD·BC
D．AB2＝BD·BC
(第9题图)
(第10题图)
10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将
这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA·OC＝
OB·OD，则下列结论中一定正确的是( D )
A．①和②相似
B．②和③相似