小学奥数 简单的排列问题 精选例题练习习题(含知识点拨)
四年级奥数-排列组合(1)

排列组合排列组合问题是必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种,答案:D .2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种,选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A =种,选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有2112520C C C =种,选C .(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案:A .6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?解析:把四名学生分成3组有24C 种方法,再把三组学生分配到三所学校有33A 种,故共有234336C A =种方法.说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案:B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况: ①若甲乙都不参加,则有派遣方案48A 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有38A 方法,所以共有383A ;③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种,共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计.例9.(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析:按题意,个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况,分别有55A 、113433A A A 、113A A A 、113233A A A 和1333A A 个,合并总计300个,选B .(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素;由此可知,从A 中任取2个元素的取法有214C ,从A 中任取一个,又从I A 中任取一个共有111486C C ,两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. (3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?解析:将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集,能被4整除的数集{}4,8,12,100A =;能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =,能被4除余2的数集{}2,6,,98C =,能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A 中任取两个数符合要;从,B D 中各取一个数也符合要求;从C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
奥数题排列组合问题附答案

奥数题排列组合问题附答案
奥数题排列组合问题附答案
小学生想要学好数学,做题是最好的办法,但想要奏效,还得靠自己的积累。
多做些典型题,并记住一些题的解题方法。
以下是小学频道为大家提供的二年级奥数题排列组合问题附答案,供大家复习时使用!
1、有10把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,最多要试多少次?
2、上体育课时,同学们站好了队,1、2报数,然后让报1的学生退出队列;再1、2报数,让报1的学生退出队列;从第三次开始每次报数后,一律让报2的学生退出队列,直到最后一个人为止,问剩下的一个人最初在队列的第几位?
1、解析:
第1把锁,试9次可以确定所配的`钥匙;第2把锁,试8次可以确定所配的钥匙;第3把锁,试7次可以确定所配的钥匙……第9把锁,试1次可以确定所配的钥匙;第10把锁不用试。
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次。
2、解析:
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14……
第1次:留下的是2、4、6、8、10、12……
第2次:留下的是4、8、12、16……
第3次:留下的是4、12、20、28……
第4次:留下的是4、20、……
第5次:留下的是4……
从第3次开始,报2的退出,那么最后一个人总是第4位。
小学奥数 简单的排列问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

1.使学生正确理解排列的意义;2.了解排列、排列数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列;3.掌握排列的计算公式;4.会分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力; 通过本讲的学习,对排列的一些计数问题进行归纳总结,并掌握一些排列技巧,如捆绑法等.一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题.在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.一般地,从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.排列的基本问题是计算排列的总个数.从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数,我们把它记做m n P .根据排列的定义,做一个m 元素的排列由m 个步骤完成:步骤1:从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有n 种方法;步骤2:从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位,有(1n -)种方法;……步骤m :从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置,有11n m n m --=-+()(种)方法; 由乘法原理,从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+()()(),即121m n P n n n n m =---+()()(),这里,m n ≤,且等号右边从n 开始,后面每个因数比前一个因数小1,共有m 个因数相乘.二、排列数一般地,对于m n =的情况,排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅()(). 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数.这种n 个排列全部取出的排列,叫做n 个不同元素的全排列.式子右边是从n 开始,后面每一个因数比前一个因数小1,一直乘到1的乘积,记为!n ,读做n 的阶乘,则n n P 还可以写为:!n n P n =,其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅()() .模块一、排列之计算教学目标例题精讲知识要点7-4-1.简单的排列问题【例 1】 计算:⑴ 25P ;⑵ 4377P P -.【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 由排列数公式121m n P n n n n m =---+()()()知:⑴ 255420P =⨯=⑵ 477654840P =⨯⨯⨯=,37765210P =⨯⨯=,所以4377840210630P P -=-=.【答案】⑴20 ⑵630【巩固】 计算:⑴ 23P ;⑵ 32610P P -.【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 23326P =⨯= ⑵ 326106541091209030P P -=⨯⨯-⨯=-=.【答案】⑴6 ⑵30【巩固】 计算:⑴321414P P -; ⑵53633P P -.【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴32141414131214132002P P -=⨯⨯-⨯=;⑵536333(65432)3212154P P -=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=.【答案】⑴2002 ⑵2154模块二、排列之排队问题【例 2】 有4个同学一起去郊游,照相时,必须有一名同学给其他3人拍照,共可能有多少种拍照情况? (照相时3人站成一排)【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 由于4人中必须有一个人拍照,所以,每张照片只能有3人,可以看成有3个位置由这3人来站.由于要选一人拍照,也就是要从四个人中选3人照相,所以,问题就转化成从四个人中选3人,排在3个位置中的排列问题.要计算的是有多少种排法.由排列数公式,共可能有:3443224P =⨯⨯=(种)不同的拍照情况.也可以把照相的人看成一个位置,那么共可能有:44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的拍照情况.【答案】24【巩固】 4名同学到照相馆照相.他们要排成一排,问:共有多少种不同的排法?【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 4个人到照相馆照相,那么4个人要分坐在四个不同的位置上.所以这是一个从4个元素中选4个,排成一列的问题.这时4n =,4m =.由排列数公式知,共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的排法.【答案】24【巩固】 9名同学站成两排照相,前排4人,后排5人,共有多少种站法?【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如果问题是9名同学站成一排照相,则是9个元素的全排列的问题,有99P 种不同站法.而问题中,9个人要站成两排,这时可以这么想,把9个人排成一排后,左边4个人站在前排,右边5个人站在后排,所以实质上,还是9个人站9个位置的全排列问题.方法一:由全排列公式,共有99987654321362880P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的排法.方法二:根据乘法原理,先排四前个,再排后五个.45 95987654321362880p p⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=【答案】362880【巩固】5个人并排站成一排,其中甲必须站在中间有多少种不同的站法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于甲必须站在中间,那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题,是一个全排列问题,且4n=.由全排列公式,共有44432124P=⨯⨯⨯=(种)不同的站法.【答案】24【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”,5人并排站成一排,奶奶要站在正中间,有多少种不同的站法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于奶奶必须站在中间,那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题,是一个全排列问题,且n=4.由全排列公式,共有44432124P=⨯⨯⨯=(种)不同的站法.【答案】24【例 3】5个同学排成一行照相,其中甲在乙右侧的排法共有_______种?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯,4年级,第8题【解析】5个人全排列有5!120=种,其中甲在乙右侧应该正好占一半,也就是60种【答案】60种【例 4】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海),这条铁路线共需要多少种不同的车票.【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】2141413182P=⨯=(种).【答案】182【例 5】班集体中选出了5名班委,他们要分别担任班长,学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员.问:有多少种不同的分工方式?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】55120P=(种).【答案】120【例 6】有五面颜色不同的小旗,任意取出三面排成一行表示一种信号,问:共可以表示多少种不同的信号?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素,三面小旗表示一种信号,就是有三个位置.我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个,排在三个位置的问题.由于信号不仅与旗子的颜色有关,而且与不同旗子所在的位置有关,所以是排列问题,且其中5n=,3m=.由排列数公式知,共可组成3554360P=⨯⨯=(种)不同的信号.【答案】60【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗,把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号,问共可以组成多少种不同的信号?【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】23326P =⨯=. 【答案】6【巩固】 在航海中,船舰常以“旗语”相互联系,即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号.如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子,按一定顺序同时升起表示一定的信号,问这样总共可以表示出多少种不同的信号?【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法一:这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素,红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号,也就是从三个元素中选三个的全排列的问题.由排列数公式,共可以组成333216P =⨯⨯=(种)不同的信号.方法二:首先,先确定最高位置的旗子,在红、黄、绿这三面旗子中任取一个,有3种方法;其次,确定中间位置的旗子,当最高位置确定之后,中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取,有2种方法.剩下那面旗子,放在最低位置.根据乘法原理,用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是:3216⨯⨯=(种).【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做,一般,乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做,用排列数公式解决问题时,可避免一步步地分析考虑,使问题简化.【答案】6模块三、排列之数字问题【例 7】 用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数?【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题,已知8n =,4m =,根据排列数公式,一共可以组成4887651680P =⨯⨯⨯=(个)不同的四位数.【答案】1680【巩固】 由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数?【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】36120P =. 【答案】120【例 8】 用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数?【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (法1)本题中要注意的是0不能为首位数字,因此,百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个,有4种方法;十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列,有24P 种方法.由乘法原理得,此种三位数的个数是:24448P ⨯=(个).(法2):从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列,再减去其中不合要求的,即首位是0的.从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ,其中首位是0的三位数有24P 个.三位数的个数是:32545434348P P -=⨯⨯-⨯=(个).本题不是简单的全排列,有一些其它的限制,这样要么先全排列再剔除不合题意的情况,要么直接在排列的时候考虑这些限制因素.【答案】48【例 9】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】个位数字已知,问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题,已知5n=,2m=,根据排列数公式,一共可以组成255420P=⨯=(个)符合题意的三位数.【答案】20【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片,每次取三张卡片组成三位数,一共可以组成多少个不同的偶数?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于组成偶数,个位上的数应从2,4,6中选一张,有3种选法;十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张,有255420P=⨯=(种)选法.由乘法原理,一共可以组成32060⨯=(个)不同的偶数..【答案】60【例 10】由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数,四位数有多少个?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一:先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为466543360P=⨯⨯⨯=,由于0不能在千位上,而以0为千位数的四位数有3554360P=⨯⨯=,它们的差就是由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的四位数的个数,即为:36060300-=个.方法二:完成这件事——组成一个四位数,可分为4个步骤进行,第一步:确定千位数;第二步:确定百位数;第三步:确定十位数;第四步:确定个位数;这四个步骤依次完成了,“组成一个四位数”这件事也就完成了,从而这个四位数也完全确定了,思维过程如下:根据乘法原理,所求的四位数的个数是:5543300⨯⨯⨯=(个).【答案】300【例 11】用1、2、3、4、5这五个数字,不许重复,位数不限,能写出多少个3的倍数?【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】按位数来分类考虑:⑴一位数只有1个3;⑵两位数:由1与2,1与5,2与4,4与5四组数字组成,每一组可以组成22212P=⨯=(个)不同的两位数,共可组成248⨯=(个)不同的两位数;⑶三位数:由1,2与3;1,3与5;2,3与4;3,4与5四组数字组成,每一组可以组成3 33216P=⨯⨯=(个)不同的三位数,共可组成6424⨯=(个)不同的三位数;⑷四位数:可由1,2,4,5这四个数字组成,有44432124P=⨯⨯⨯=(个)不同的四位数;⑸五位数:可由1,2,3,4,5组成,共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(个)不同的五位数.由加法原理,一共有182424120177++++=(个)能被3整除的数,即3的倍数.【答案】177【例 12】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数?【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】可以分两类来看:⑴把3排在最高位上,其余4个数可以任意放到其余4个数位上,是4个元素全排列的问题,有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)放法,对应24个不同的五位数;⑵把2,4,5放在最高位上,有3种选择,百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择,有3种选择,其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上,有336P=种选择.由乘法原理,可以组成33654⨯⨯=(个)不同的五位数.由加法原理,可以组成245478+=(个)不同的五位数.【答案】78【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数;若将这些四位数按从小到大的顺序排列,则5687是第几个数?【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】从高位到低位逐层分类:⑴千位上排1,2,3或4时,千位有4种选择,而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择,因为数字不重复,也就是从9个元素中取3个的排列问题,所以百、十、个位可有39987504P=⨯⨯=(种)排列方式.由乘法原理,有45042016⨯=(个).⑵千位上排5,百位上排0~4时,千位有1种选择,百位有5种选择,十、个位可以从剩下的八个数字中选择.也就是从8个元素中取2个的排列问题,即288756P=⨯=,由乘法原理,有1556280⨯⨯=(个).⑶千位上排5,百位上排6,十位上排0,1,2,3,4,7时,个位也从剩下的七个数字中选择,有116742⨯⨯⨯=(个).⑷千位上排5,百位上排6,十位上排8时,比5687小的数的个位可以选择0,1,2,3,4共5个.综上所述,比5687小的四位数有20162804252343+++=(个),故5687是第2344个四位数.【答案】2344【例 13】用数字l~8各一个组成8位数,使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数.共有___种组成方法.【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯,六年级,初赛,第7题【解析】l~8中被三除余1和余2的数各有3个,被3整除的数有两个,根据题目条件可以推导,符合条件的排列,一定符合“被三除所得余数以3位周期”,所以8个数字,第1、4、7位上的数被3除同余,第2、5、8位上的数被3除同余,第3、6位上的数被3除同余,显然第3、6位上的数被3整除,第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2,第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1,余数的安排上共有2种方法,余数安排定后,还有同余数之间的排列,一共有3!×3!×2!=144种方法.【答案】144种【例 14】 由数字0、2、8(既可全用也可不全用)组成的非零自然数,按照从小到大排列.2008排在 个.【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 比2008小的4位数有2000和2002,比2008小的3位数有23318⨯⨯=(种),比2008小的2位数有236⨯=(种),比2008小的1位数有2(种),所以2008排在第21862129++++=(个). 【答案】29【例 15】 千位数字与十位数字之差为2(大减小),且不含重复数字的四位数有多少个?【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 千位数字大于十位数字,千位数字的取值范围为29,对应的十位数字取07,每确定一个千位数字,十位数字就相应确定了,只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就行了,因此总共有288P ⨯个这样的四位数.⑵千位数字小于十位数字,千位数字取17,十位数字取39,共有287P ⨯个这样的四位数.所以总共有228887840P P ⨯+⨯=个这样的四位数.【答案】840模块四、排列之策略问题【例 16】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非0数码组成,且四个数码之和是9,那么确保打开保险柜至少要试几次?【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1,1,1,6;1,1,2,5;1,1,3,4;1,2,2,4;1,2,3,3;2,2,2,3六种.第一种中,可以组成多少个密码呢?只要考虑6的位置就可以了,6可以任意选择4个位置中的一个,其余位置放1,共有4种选择;第二种中,先考虑放2,有4种选择,再考虑5的位置,可以有3种选择,剩下的位置放1,共有4312⨯=(种)选择同样的方法,可以得出第三、四、五种都各有12种选择.最后一种,与第一种的情形相似,3的位置有4种选择,其余位置放2,共有4种选择.综上所述,由加法原理,一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数,即确保能打开保险柜至少要试56次.【答案】56【例 17】 幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子,有多少种坐法?【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 在这个问题中,只要把3把椅子看成是3个位置,而6名小朋友作为6个不同元素,则问题就可以转化成从6个元素中取3个,排在3个不同位置的排列问题.由排列数公式,共有:36654120P =⨯⨯=(种)不同的坐法.【答案】120【巩固】 幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把),有多少种不同的坐法?【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 与例5不同,这次是椅子多而人少,可以考虑把6把椅子看成是6个元素,而把3名小朋友作为3个位置,则问题转化为从6把椅子中选出3把,排在3名小朋友面前的排列问题.由排列公式,共有:36654120P=⨯⨯=(种)不同的坐法.【答案】120【巩固】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场,每辆碰碰车必须且只能坐一个人,那么共有多少种不同的坐法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】把6辆碰碰车看成是6个位置,而10个人作为10个不同元素,则问题就可以转化成从10个元素中取6个,排在6个不同位置的排列问题.共有6101098765151200P=⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的坐法.【答案】151200【例 18】一个篮球队有五名队员A,B,C,D,E,由于某种原因,E不能做中锋,而其余4个人可以分配到五个位置的任何一个上,问一共有多少种不同的站位方法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一:此题先确定做中锋的人选,除E以外的四个人任意一个都可以,则有4种选择,确定下来以后,其余4个人对应4个位置,有44432124P=⨯⨯⨯=(种)排列.由乘法原理,42496⨯=,故一共有96种不同的站位方法.方法二:五个人分配到五个位置一共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(种)排列方式,E能做中锋一共有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)排列方式,则E不能做中锋一共有54541202496P P-=-=种不同的站位方法.【答案】96【例 19】小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分.我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…,如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒:○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒.不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立,故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法.【答案】512。
小学排列问题试题及答案

小学排列问题试题及答案小学排列问题属于组合数学的范畴,是数学竞赛和日常教学中常见的题型。
这类问题主要考察学生的逻辑思维和计算能力。
以下是一些小学排列问题的试题及答案。
# 试题一:数字排列小明有数字卡片1、2、3、4,他想用这些卡片排列成一个四位数。
请问有多少种不同的排列方式?答案:这是一个全排列问题。
全排列是指从n个不同元素中取出m个元素(m≤n),按照一定的顺序排列起来,共有n!/(n-m)!种排列方式。
在这个问题中,n=4,m=4,所以排列方式有4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24种。
# 试题二:字母排列字母A、B、C可以组成多少个不同的三位数?答案:同样,这也是一个全排列问题。
每个位置都可以选择3个字母中的任意一个,因此排列方式有3 × 3 × 3 = 27种。
# 试题三:选择与排列有5个不同的小球,小明想从中选出3个排成一排,有多少种不同的排法?答案:首先,从5个小球中选择3个,这是一个组合问题,组合数为C(5,3)= 5!/(3! × (5-3)!) = 10种。
然后,这3个小球可以以3! = 6种方式排列。
所以,总的排列方式为10 × 6 = 60种。
# 试题四:限制条件排列如果上述5个小球中有2个是相同的,那么小明还能排出多少种不同的排列?答案:由于有2个小球是相同的,我们需要考虑这种情况对排列的影响。
首先,选择3个小球的方式仍然是C(5,3) = 10种。
但是,因为有两个小球是相同的,所以它们的排列方式会减少。
具体来说,排列方式为3!/2! = 3种(因为两个相同的小球可以互换位置,不影响排列的唯一性)。
所以,总的排列方式为10 × 3 = 30种。
# 试题五:环形排列问题8个不同的同学围成一个圆圈,有多少种不同的坐法?答案:环形排列与线性排列不同,因为旋转相同的排列被视为一种。
所以,我们首先计算全排列的数量,然后除以n(n是元素的数量)。
二年级奥数排列组合例题

二年级奥数排列组合例题
二年级奥数排列组合例题精选
1、老奶奶家有20个鸡蛋,还养了一天能下一个蛋的老母鸡,如果她家一天吃两个鸡蛋,老奶奶家的鸡蛋可以连续吃多少天?
2、某公园里有三棵树,他们的.树龄分别由1、2、
3、
4、
5、6这六个数字中的不同的两个数字组成,而且其中一棵树的树龄正好是其他两棵树龄和的一半,你知道这三棵树各是多少岁数呢?
1、解析:(1)20个鸡蛋,每天吃2个
20÷2=10天,在这10天里,母鸡又下了10个鸡蛋
(2)10个鸡蛋,每天吃2个
10÷2=5天,在这5天里,母鸡又下了5个鸡蛋
(3)5个鸡蛋,每天吃2个
5÷2=2天……1个,在这2天里,母鸡又下了2个鸡蛋
(4)2个鸡蛋+余下的1个鸡蛋,每天吃2个
3÷2=1天……1个,在这1天里,母鸡又下了1个鸡蛋
(5)1个鸡蛋+余下的1个鸡蛋,每天吃2个
2÷2=1天
(6)总天数
10+5+2+1+1=19天
2、解析:纯凑数(12+56)÷2=34。
四年级奥数排列组合题及答案

四年级奥数排列组合题及答案四年级奥数排列组合题及答案1.排列、组合等问题从6幅国画,4幅油画,2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室,问有几种选法?解答:6×4=24种6×2=12种4×2=8种24+12+8=44种【小结】首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况,即可分三类,自然考虑到加法原理。
当从国画、油画各选一幅有多少种选法时,利用的乘法原理。
由此可知这是一道利用两个原理的综合题。
关键是正确把握原理。
符合要求的选法可分三类:设第一类为:国画、油画各一幅,可以想像成,第一步先在6张国画中选1张,第二步再在4张油画中选1张。
由乘法原理有6×4=24种选法。
第二类为:国画、水彩画各一幅,由乘法原理有6×2=12种选法。
第三类为:油画、水彩画各一幅,由乘法原理有4×2=8种选法。
这三类是各自独立发生互不相干进行的。
因此,依加法原理,选取两幅不同类型的画布置教室的选法有24+12+8=44种。
2.排列组合从1到100的所有自然数中,不含有数字4的.自然数有多少个?解答:从1到100的所有自然数可分为三大类,即一位数,两位数,三位数.一位数中,不含4的有8个,它们是1、2、3、5、6、7、8、9;两位数中,不含4的可以这样考虑:十位上,不含4的有l、2、3、5、6、7、8、9这八种情况.个位上,不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况,要确定一个两位数,可以先取十位数,再取个位数,应用乘法原理,这时共有8×9=72个数不含4.三位数只有100.所以一共有8+8×9+1=81个不含4的自然数.。
六年级奥数题排队及答案

第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置,也就是说每一对夫妻均有2种排法,总共又2×2×2×2×2=32种
综合两步,就有24×32=768种
第一步是把5对夫妻看作5个整体进行排列有54321120种不同的排法但是因为是围成一个首尾相接的圈就会产生5个5个重复因此实际排法只有120524种
六年级奥数题排队及答案
关于六年级奥数题排队及答案精选
排队:(中等难度)
有五对夫妇围成一圈,使每一对夫妇:
8.四年级奥数思维训练--简单排列

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四年级奥数思维训练简单排列
一、尝试练习
1、用数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的三位数?
2、某铁路线共有6个车站,这条铁路线共需要多少种不同的车票?
二、训练营地
1、班集体中选出了5名班委,他们要分别担任班长,学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员。
问:有多少种不同的分工方式?
2、小华、小花、小马三个好朋友排成一排照相,有多少种不同的排法?
3、四(1)班的小平、小宁、小刚、小超4人排了一个快板节目准备演出。
在演出过程中,队形不断变化(都站成一排)。
算算看,他们在演出小快板过程中,最多有几种队形变化形式?
4、5个人并排站成一排,其中甲必须站在中间有多少种不同的站法?。
小学奥数排列组合经典例题

排列组合问题教学目标:1.使学生正确理解排列、组合的意义;正确区分排列、组合问题;2.了解排列、排列数和组合数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列或组合;3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系;4.会、分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;通过本讲的学习,对排列组合的一些计数问题进行归纳总结,重点掌握排列与组合的联系和区别,并掌握一些排列组合技巧,如捆绑法、挡板法等。
5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。
知识点拨:一.加法原理:做一件事情,完成它有N类办法,在第一类办法xx 有M1xx 不同的方法,在第二类办法xx有M2xx不同的方法,……,在第N类办法中有Mn种不同的方法,那么完成这件事情共有M1+M2+•…+Mn种不同的方法。
二.乘法原理:如果完成某项任务,可分为k 个步骤,完成第一步有n1 种不同的方法,完成第二步有n2 种不同的方法,……完成第k步有nk种不同的方法,那么完成此项任务共有nlXn2X……Xnk种不同的方法。
三. 两个原理的区别做一件事,完成它若有n 类办法,是分类问题,每一类中的方法都是独立的,故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重) ;完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏) 做一件事,需要分n 个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理.任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n 步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来.四. 排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中,任取m(mc n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(mc n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Pmn表示.Pmn 二n(n-1)(n- 2) (n -m+1)=( 规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中,任取m(mc n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mc n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cmn表示.Cmn = Pmn /m!=一般当遇到m比较大时(常常是m>0.5n时),可用Cmn二Cn-mn来简化计算。
一年级简单奥数题

一年级简单奥数题一、排队问题1. 同学们排队做操,小明前面有4个人,后面有5个人,这一队一共有多少人?解析:要求这一队的总人数,需要把小明前面的人数、小明后面的人数和小明自己加起来。
小明前面有4个人,后面有5个人,再加上小明自己1个人,所以一共有公式人。
2. 从前往后数,小红排在第6个,从后往前数,小红排在第3个,这一排一共有多少人?解析:从前往后数小红是第6个,这6个人里面包含小红;从后往前数小红是第3个,这3个人里面也包含小红。
那么把这两个数相加的时候,小红被重复计算了一次,所以要减去1。
即公式人。
二、数的比较与计算1. 在1、3、5、7、9之间填上“+”(相邻的两个数字可以组成一个数),使它们的和等于100。
解析:因为这些数都是奇数,要得到100这个偶数结果,需要组成较大的数。
可以这样组合:公式,不符合要求;公式,不符合要求;公式,不符合要求;公式,不符合要求;经过尝试可得公式,但是64不符合题目给定数字组合,继续尝试得到公式(这里把7和9组成79不符合,组成59和37就可以)。
2. 有三个数,它们的和是12,第二个数比第一个数大1,第三个数比第二个数大1,这三个数分别是多少?解析:设第一个数为公式,因为第二个数比第一个数大1,所以第二个数是公式;第三个数比第二个数大1,所以第三个数是公式。
已知它们的和是12,则可列方程公式,公式,公式,解得公式。
所以这三个数分别是3、4、5。
三、图形相关问题1. 有一些正方形和圆形,正方形比圆形多2个,圆形有5个,正方形有多少个?解析:已知圆形有5个,正方形比圆形多2个,那么正方形的个数就是圆形的个数加上多的个数,即公式个。
2. 把一个正方形剪成两个一样的长方形,这两个长方形的周长和与原来正方形的周长相比,是变大了还是变小了?解析:设正方形的边长为公式,原来正方形的周长是公式。
剪成两个一样的长方形后,每个长方形的长是公式,宽是公式,两个长方形的周长和为公式。
小学奥数思维训练-排列组合(经典透析)(通用,含答案)

保密★启用前小学奥数思维训练排列组合(经典透析)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、解答题1.小明和小王从北京出发先到天津看海,然后再到上海东方明珠塔参观.从北京到天津可以坐火车或者坐公共汽车,坐火车有4种车次,坐公共汽车有3种车次;而从天津到上海可以坐火车,公共汽车,轮船或者飞机,火车有3种,汽车有5种,轮船有4种,飞机有2种.问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法?2.某公园有两个园门,一个东门,一个西门.若从东门入园,有两条道路通向龙凤亭,从龙凤亭有一条道路通向园中园,从园中园又有两条道路通向西门.另外,从东门有一条道路通向游乐场.从游乐场有两条道路通向水上世界,另有一条道路通向园中园.从水上世界有一条道路通向西门,另有一条道路通向小山亭,从小山亭有一条道路通向西门.问若从东门入园,从西门出园一共有多少种不同的走法(不走重复路线)?3.由数字0、1、2、3组成三位数,问:①可组成多少个不相等的三位数?①可组成多少个没有重复数字的三位数?4.如下图,A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色,要使相邻的区域染不同的颜色,共有多少种不同的染色方法?5.4名同学到照相馆照相。
他们要排成一排,问:共有多少种不同的排法?6.从分别写有1、3、5、7、8五张卡片中任取两张,作成一道两个一位数的乘法题,问:①有多少个不同的乘积?①有多少个不同的乘法算式?7.如下图,问:①下左图中,共有多少条线段?①下右图中,共有多少个角?8.从5幅国画,3幅油画,2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室,问有几种选法?9.国家举行足球赛,共15个队参加.比赛时,先分成两个组,第一组8个队,第二组7个队.各组都进行单循环赛(即每个队要同本组的其他各队比赛一场).然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛,决出冠亚军.问:①共需比赛多少场?①如果实行主客场制(即A、B两个队比赛时,既要在A队所在的城市比赛一场,也要在B队所在的城市比赛一场),共需比赛多少场?参考答案:1.98种【解析】【分析】首先看他们完成整个过程需要几个步骤,这是判断利用加法原理和乘法原理的依据.很明显整个过程要分两步完成,先从北京到天津,再从天津到上海,应该用乘法原理.我们再分开来看,先看从北京到天津,无论是坐火车还是汽车都是一步完成,所以要用加法原理,同样的道理,从天津到上海的走法计算也应该用加法原理.【详解】解:从北京到天津走法有:4+3=7种,从天津到上海走法有:3+5+4+2=14(种).从北京到上海的走法有:7×14=98(种).答:小明和小王从北京到上海旅游一共有98种走法.2.10种【解析】【详解】解法一:这个题的已知条件比较复杂.我们可将已知条件稍加“梳理”:1.从东门入园,从西门出园;2.从东门入园后,可以通向两个游览区,龙凤亭与游乐场;3.从龙凤亭经园中园可达到西门;4.从游乐场经水上世界可达到西门,或从游乐场经园中园可达到西门;5.从水上世界经小山亭可达到西门;根据以上五条可知,从东门入园经龙凤亭经园中园达到西门为一主干线.而东门到龙凤亭有两条不同路线;龙凤亭到园中园只有一条路线;园中园到西门又有两条不同的路线.由乘法原理,这条主干线共有2×1×2=4种不同的走法.再看从东门入园后到游乐场的路线.从东门到游乐场只有一条路,由游乐场分成两种路线,一是经园中园到西门,这条路线由乘法原理可知有1×1×2=2种不同走法;二是经水上世界到西门,从水上世界到西门共有两条路线(由水上世界直接到西门和经小山亭到西门),再由乘法原理可知这条路线有1×2×2=4种不同路线.最后由加法原理计算.从东门入园从西门出园且不走重复路线的走法共有2×1×2+1×1×2+1×2×2=10种.解法二:“枚举法”解题.如图,图中A 表示东门,B 表示西门,C 表示龙凤亭,D 表示园中园,E 表示游乐场,F 表示水上世界,G 表示小山亭,线表示道路.不同的走法有10种.1121111A C D BA C DB A E D BA E F G BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→ 1222222A C D BA C DB ACD B AEFG BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→答:不走重复路线,共有10种不同走法.【点睛】本题主要考察加法乘法原理.先分类利用加法原理,再对每一类进行分步利用乘法原理.建议可以利用加法与乘法原理的题型就没必要用枚举法,因为枚举法比较容易重复和遗漏.3.①48个①18个【解析】【分析】在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中,应该一位一位地去确定。
小学奥数排列和组合试题及答案

小学奥数排列和组合试题及答案第一篇:小学奥数排列和组合试题及答案小学四年级奥数排列组合练习1.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个①三位数?②没有重复数字的三位数?③没有重复数字的三位偶数?④小于1000的自然数?2.从15名同学中选5人参加数学竞赛,求分别满足下列条件的选法各有多少种?①某两人必须入选;②某两人中至少有一人入选;③某三人中恰入选一人;④某三人不能同时都入选.3.如右图,两条相交直线上共有9个点,问:一共可以组成多少个不同的三角形?-------------------4.如下图,计算①下左图中有多少个梯形?②下右图中有多少个长方体?5.七个同学照相,分别求出在下列条件下有多少种站法?①七个人排成一排;②七个人排成一排,某两人必须有一人站在中间;③七个人排成一排,某两人必须站在两头;④七个人排成一排,某两人不能站在两头;⑤七个人排成两排,前排三人,后排四人,某两人不在同一排.-------------------答案:1.①100;②48;③30;④124.2.①C313=286;②C515-C513=1716;③C13·C412=1485;④C515-C212=2937.3.C15·C23+C26·C13=60;或C39-C36-C34=60.4.①C26×C26=225;②C25×C26×C25=1500.5.①P77=5040;②2P66=1440;③2P55=240;④5×4×P55=2400;⑤2×3×4×P55=2880.-------------------第二篇:小学奥数经典专题点拨:排列与组合排列与组合【有条件排列组合】例1 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字能够组成______个没有重复数字的三位数。
(哈尔滨市第七届小学数学竞赛试题)讲析:用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时,百位上不能为0,故共有9种不同的取法。
小学奥数 排列之捆绑法 精选例题练习习题(含知识点拨)

1.使学生正确理解排列的意义;2.了解排列、排列数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列;3.掌握排列的计算公式;4.会分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力; 通过本讲的学习,对排列的一些计数问题进行归纳总结,并掌握一些排列技巧,如捆绑法等.一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题.在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.一般地,从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.排列的基本问题是计算排列的总个数.从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数,我们把它记做m n P .根据排列的定义,做一个m 元素的排列由m 个步骤完成:步骤1:从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有n 种方法;步骤2:从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位,有(1n -)种方法; ……步骤m :从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置,有11n m n m --=-+()(种)方法; 由乘法原理,从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+()()(),即121m n P n n n n m =---+()()(),这里,m n ≤,且等号右边从n 开始,后面每个因数比前一个因数小1,共有m 个因数相乘.二、排列数一般地,对于m n =的情况,排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅()(). 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数.这种n 个排列全部取出的排列,叫做n 个不同元素的全排列.式子右边是从n 开始,后面每一个因数比前一个因数小1,一直乘到1的乘积,记为!n ,读做n 的阶乘,则n n P 还可以写为:!n n P n =,其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅()() .在排列问题中,有时候会要求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的方法数量,可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算.【例 1】 4个男生2个女生6人站成一排合影留念,有多少种排法?如果要求2个女生紧挨着排在正中间有多少种不同的排法?【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答教学目标例题精讲知识要点7-4-2.排列之捆绑法【解析】 ⑴ 4男2女6人站成一排相当于6个人站成一排的方法,可以分为六步来进行,第一步,确定第一个位置的人,有6种选择;第二步,确定第二个位置的人,有5种选择;第三步,排列第三个位置的人,有4种选择,依此类推,第六步,最后一个位置只有一种选择.根据乘法原理,一共有654321720⨯⨯⨯⨯⨯=种排法.⑵ 根据题意分为两步来排列.第一步,先排4个男生,一共有432124⨯⨯⨯=种不同的排法;第二步,将2个女生安排完次序后再插到中间一共有2种方法.根据乘法原理,一共有24248⨯=种排法.【答案】⑴720 ⑵48【巩固】 4男2女6个人站成一排合影留念,要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法? 【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 分为三步:第一步:4个男得先排,一共有432124⨯⨯⨯=种不同的排法; 第二步:2个女的排次序一共有2种方法;第三步:将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间,一共有5个位置可插. 根据乘法原理,一共有2425240⨯⨯=种排法.【答案】240【例 2】 将A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七位同学在操场排成一列,其中学生B 与C 必须相邻.请问共有多少种不同的排列方法?【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2007年,台湾,第十一届,小学数学世界邀请赛 【解析】 (法1)七人排成一列,其中B 要与C 相邻,分两种情况进行考虑.若B 站在两端,B 有两种选择,C 只有一种选择,另五人的排列共有55P 种,所以这种情况有5521240P ⨯⨯=种不同的站法.若B 站在中间,B 有五种选择,B 无论在中间何处,C 都有两种选择.另五人的排列共有55P 种,所以这种情况共有55521200P ⨯⨯=种不同的站法. 所以共有24012001440+=种不同的站法.(法2)由于B 与C 必须相邻,可以把B 与C 当作一个整体来考虑,这样相当于6个元素的全排列,另外注意B 、C 内部有2种不同的站法, 所以共有6621440P ⨯=种不同的站法.【答案】1440【巩固】6名小朋友、、、、、A B C D E F 站成一排,若,A B 两人必须相邻,一共有多少种不同的站法?若、A B 两人不能相邻,一共有多少种不同的站法?【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 若A 、B 两人必须站在一起,那么可以用“捆绑”的思想考虑,甲和乙两个人占据一个位置,但在这个位置上,可以甲在左乙在右,也可以甲在右乙在左.因此站法总数为2525P P ⨯=2×120=240(种) A 、B 两个人不能相邻与A 、B 两个人必须相邻是互补的事件,因为不加任何条件的站法总数为66P =720(种),所以A 、B 两个人不能相邻的站法总数为720-240=480(种).【答案】480【例 3】 某小组有12个同学,其中男少先队员有3人,女少先队员有4人,全组同学站成一排,要求女少先队员都排一起,而男少先队员不排在一起,这样的排法有多少种?【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 把4个女少先队员看成一个整体,将这个整体与不是少先队员的5名同学一块儿进行排列,有66654321720P =⨯⨯⨯⨯⨯=(种)排法.然后在七个空档中排列3个男少先队员,有3776P =⨯5210⨯=(种)排法,最后4个女少先队员内部进行排列,有44432124P =⨯⨯⨯=(种)排法.由乘法原理,这样的排法一共有720210243628800⨯⨯=(种).【答案】3628800【例 4】 学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生.某次比赛后他们站成一排照相,请问:(1)如果要求男生不能相邻,一共有多少不同的站法?(2)如果要求女生都站在一起,一共有多少种不同的站法?【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (1)要求男生不能相邻,则可以先排女生,然后把男生插进女生之间的空位里.因为有3名女生,考虑到两端也可以放人,所以一共有四个空位.则站法总数为: 3434P P 624144⨯=⨯=(种)(2)根据题意,采用捆绑法,将所有女生看成一个整体,则站法总数为: 5353P P 1206720⨯=⨯=(种).【答案】(1) 144 (2) 720【例 5】 书架上有4本不同的漫画书,5本不同的童话书,3本不同的故事书,全部竖起排成一排,如果同类型的书不要分开,一共有多少种排法?如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法?【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ⑴每种书内部任意排序,分别有4321⨯⨯⨯,54321⨯⨯⨯⨯,321⨯⨯种排法,然后再排三种类型的顺序,有321⨯⨯种排法,整个过程分4步完成.432154321321321103680⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种,一共有103680种不同排法.⑵方法一:首先将漫画书和童话书全排列,分别有432124⨯⨯⨯=、54321120⨯⨯⨯⨯=种排法,然后将漫画书和童话书捆绑看成一摞,再和3本故事书一起全排列,一共有54321120⨯⨯⨯⨯=种排法,所以一共有24120120345600⨯⨯=种排法.方法二:首先将三种书都全排列,分别有24、120、6种排法,然后将排好了顺序的漫画书和童话书,整摞得先后插到故事书中,插漫画书时有4个地方可以插,插童话书时就有5个地方可插,所以一共有24120654345600⨯⨯⨯⨯=种排法.【答案】⑴103680 ⑵345600【例 6】 四年级三班举行六一儿童节联欢活动.整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成.请问:如果要求同类型的节目连续演出,那么共有多少种不同的出场顺序?【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 要求同类型的节目连续演出,则可以应用“捆绑法”.先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列, 再分别在各类节目内部排列具体节目的次序.因此出场顺序总数为: 32233223P P P P ⨯⨯⨯=144(种).【答案】144【例 7】 停车站划出一排12个停车位置,今有8辆不同的车需要停放,若要求剩余的4个空车位连在一起,一共有多少种不同的停车方案?【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 把4个空车位看成一个整体,与8辆车一块进行排列,这样相当于9个元素的全排列,所以共有99362880P =.【答案】362880【例 8】 a ,b ,c ,d ,e 五个人排成一排,a 与b 不相邻,共有多少种不同的排法? 【考点】排列之捆绑法 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 解法一:插空法,先排c ,d ,e ,有33P 种排法.在c ,d ,e 三个人之间有2个空,再加上两端,共有4个空,a ,b 排在这4个空的位置上,a 与b 就不相邻,有24P 种排法.根据分步计数乘法原理,不同的排法共有3234P P 72=(种).解法二:排除法,把a ,b 当作一个人和其他三个人在一起排列,再考虑a 与b 本身的顺序,有4242P P 种排法.总的排法为55P .总的排法减去a 与b 相邻的排法即为a 与b 不相邻的排法,应为542542P P P 72-=(种).【答案】72【巩固】 8人围圆桌聚餐,甲、乙两人必须相邻,而乙、丙两人不得相邻,有几种坐法? 【考点】排列之捆绑法 【难度】3星 【题型】解答【解析】n 人的环状排列与线状排列的不同之处在于:123n a a a a 、231n a a a a 、3412n a a a a a 、…、11n n a a a -在线状排列里是n 个不同的排列,而在环状排列中是相同的排列.所以,n 个不同的元素的环状排列数为11P P nn n n n--=.甲、乙两人必须相邻,可把他们看作是1人(当然,他们之间还有顺序),总排列数为2626P P .从中扣除甲、乙相邻且乙、丙也相邻(注意,这和甲、乙、丙三人相邻是不同的.如甲在乙、丙之间合于后者,但不合于前者)的情况2525P P 种.所以,符合题意的排法有26252625P P P P 1200-=(种).【答案】1200。
小学六年级奥数题及答案-排列大小

解答:因为组成的三位数能同时被2,5整除,所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征,数字和2+7+0与5+7+0都能被3整除,因此所求的这些数为270,570,720,750。
同学们学习奥数有利于我们数学思维的提升所以我们要多做题勤加练习才能在成绩上有更大的提高今天小编为同学们带来一道有趣的题希望同学们认真完成
小学六年级奥数题及答案-排列大小
导语:同学们学习奥数有利于我们数学思维的提升,所以我们要多做题,勤加练习才能在成绩上有更大的提高,今天小编为同学们带来一道有趣的题,希望同学们认真完成。
山东省东营市数学小学奥数系列7-4排列(二)

山东省东营市数学小学奥数系列7-4排列(二)姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们,这一段时间的学习,你们收获怎么样呢?今天就让我们来检验一下吧!一、 (共31题;共360分)1. (5分)小明爬楼梯时以抛硬币来确定下一步跨个台阶还是个台阶,如果是正,那么跨个台阶,如果是反,那么跨出个台阶,那么小明走完四步时恰好跨出个台阶的概率为多少?2. (5分)小明和小华用2,3,5三张数字卡片玩组数游戏.每次任意抽出2张卡片组数,有几种可能性?如果组成单数小明胜出,组成双数小华胜,这种游戏公平吗?说明理由.3. (5分)一个盒子里装有五个标号为1、2、3、4、5的小球,每次取出一个,记下它的号码后再放回盒子,共取放三次,那么三次中最大标号恰好是5的取法有多少种?4. (5分)如果一个大于9的整数,其每个数位上的数字都比他右边数位上的数字小,那么我们称它为迎春数.那么,小于2008的迎春数一共有多少个?5. (5分)从甲地到丁地,售票员需要准备几种车票?(写出所有可能)6. (5分)用数字7、8、6可以摆出多少个不同的三位数?请你一一列举出来,并从中选出两个数组成减法算式。
7. (5分)用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数;若将这些四位数按从小到大的顺序排列,则5687是第几个数?8. (10分)有几个同学想称一下体重,可是秤的秤砣不齐,只能称50千克以上的重量,他们只好每人都和其他人合称一次,共得到以下10个数据(单位:千克):75、78、79、80、81、82、83、84、86、88.问:⑴有几名同学?⑵他们的重量各是多少千克?9. (5分) (2019三上·高密期中) 明明为自己搭配早餐。
饮料有2种:牛奶、果汁;点心有3种:蛋糕、油条、面包。
饮料和点心各选一种。
一共有多少种不同的搭配方法?10. (5分)文文要参加文艺演出,下面的服装中有多少种搭配方法?(先连一连,再解答)11. (5分)找规律填数。
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1.使学生正确理解排列的意义;2.了解排列、排列数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列;3.掌握排列的计算公式;4.会分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力; 通过本讲的学习,对排列的一些计数问题进行归纳总结,并掌握一些排列技巧,如捆绑法等.一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题.在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.一般地,从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.排列的基本问题是计算排列的总个数.从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数,我们把它记做m n P .根据排列的定义,做一个m 元素的排列由m 个步骤完成:步骤1:从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有n 种方法;步骤2:从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位,有(1n -)种方法;……步骤m :从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置,有11n m n m --=-+()(种)方法; 由乘法原理,从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+()()(),即121m n P n n n n m =---+()()(),这里,m n ≤,且等号右边从n 开始,后面每个因数比前一个因数小1,共有m 个因数相乘.二、排列数一般地,对于m n =的情况,排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅()(). 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数.这种n 个排列全部取出的排列,叫做n 个不同元素的全排列.式子右边是从n 开始,后面每一个因数比前一个因数小1,一直乘到1的乘积,记为!n ,读做n 的阶乘,则n n P 还可以写为:!n n P n =,其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅()() .模块一、排列之计算【例 1】 计算:⑴ 25P ;⑵ 4377P P -.【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 由排列数公式121m n P n n n n m =---+()()()知:⑴ 255420P =⨯=⑵ 477654840P =⨯⨯⨯=,37765210P =⨯⨯=,所以4377840210630P P -=-=.【答案】⑴20 ⑵630教学目标例题精讲知识要点7-4-1.简单的排列问题【巩固】 计算:⑴ 23P ;⑵ 32610P P -.【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 23326P =⨯= ⑵ 326106541091209030P P -=⨯⨯-⨯=-=.【答案】⑴6 ⑵30【巩固】 计算:⑴321414P P -; ⑵53633P P -.【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴32141414131214132002P P -=⨯⨯-⨯=;⑵536333(65432)3212154P P -=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=.【答案】⑴2002 ⑵2154模块二、排列之排队问题【例 2】 有4个同学一起去郊游,照相时,必须有一名同学给其他3人拍照,共可能有多少种拍照情况? (照相时3人站成一排)【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 由于4人中必须有一个人拍照,所以,每张照片只能有3人,可以看成有3个位置由这3人来站.由于要选一人拍照,也就是要从四个人中选3人照相,所以,问题就转化成从四个人中选3人,排在3个位置中的排列问题.要计算的是有多少种排法.由排列数公式,共可能有:3443224P =⨯⨯=(种)不同的拍照情况.也可以把照相的人看成一个位置,那么共可能有:44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的拍照情况.【答案】24【巩固】 4名同学到照相馆照相.他们要排成一排,问:共有多少种不同的排法?【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 4个人到照相馆照相,那么4个人要分坐在四个不同的位置上.所以这是一个从4个元素中选4个,排成一列的问题.这时4n =,4m =.由排列数公式知,共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的排法.【答案】24【巩固】 9名同学站成两排照相,前排4人,后排5人,共有多少种站法?【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如果问题是9名同学站成一排照相,则是9个元素的全排列的问题,有99P 种不同站法.而问题中,9个人要站成两排,这时可以这么想,把9个人排成一排后,左边4个人站在前排,右边5个人站在后排,所以实质上,还是9个人站9个位置的全排列问题.方法一:由全排列公式,共有99987654321362880P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的排法.方法二:根据乘法原理,先排四前个,再排后五个.4595987654321362880p p ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 【答案】362880【巩固】 5个人并排站成一排,其中甲必须站在中间有多少种不同的站法?【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于甲必须站在中间,那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题,是一个全排列问题,且4n =.由全排列公式,共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的站法.【答案】24【巩固】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”,5人并排站成一排,奶奶要站在正中间,有多少种不同的站法?【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于奶奶必须站在中间,那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题,是一个全排列问题,且n =4.由全排列公式,共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的站法.【答案】24【例 3】5个同学排成一行照相,其中甲在乙右侧的排法共有_______种?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯,4年级,第8题【解析】5个人全排列有5!120=种,其中甲在乙右侧应该正好占一半,也就是60种【答案】60种【例 4】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海),这条铁路线共需要多少种不同的车票.【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】2141413182P=⨯=(种).【答案】182【例 5】班集体中选出了5名班委,他们要分别担任班长,学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员.问:有多少种不同的分工方式?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】55120P=(种).【答案】120【例 6】有五面颜色不同的小旗,任意取出三面排成一行表示一种信号,问:共可以表示多少种不同的信号?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素,三面小旗表示一种信号,就是有三个位置.我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个,排在三个位置的问题.由于信号不仅与旗子的颜色有关,而且与不同旗子所在的位置有关,所以是排列问题,且其中5n=,3m=.由排列数公式知,共可组成3554360P=⨯⨯=(种)不同的信号.【答案】60【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗,把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号,问共可以组成多少种不同的信号?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】23326P=⨯=.【答案】6【巩固】在航海中,船舰常以“旗语”相互联系,即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号.如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子,按一定顺序同时升起表示一定的信号,问这样总共可以表示出多少种不同的信号?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一:这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素,红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号,也就是从三个元素中选三个的全排列的问题.由排列数公式,共可以组成333216P=⨯⨯=(种)不同的信号.方法二:首先,先确定最高位置的旗子,在红、黄、绿这三面旗子中任取一个,有3种方法;其次,确定中间位置的旗子,当最高位置确定之后,中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取,有2种方法.剩下那面旗子,放在最低位置.根据乘法原理,用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是:3216⨯⨯=(种).【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做,一般,乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做,用排列数公式解决问题时,可避免一步步地分析考虑,使问题简化.【答案】6模块三、排列之数字问题【例 7】用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数?【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题,已知8n=,4m=,根据排列数公式,一共可以组成4887651680P =⨯⨯⨯=(个)不同的四位数.【答案】1680【巩固】 由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数?【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】36120P =. 【答案】120【例 8】 用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数?【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (法1)本题中要注意的是0不能为首位数字,因此,百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个,有4种方法;十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列,有24P 种方法.由乘法原理得,此种三位数的个数是:24448P ⨯=(个).(法2):从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列,再减去其中不合要求的,即首位是0的.从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ,其中首位是0的三位数有24P 个.三位数的个数是:32545434348P P -=⨯⨯-⨯=(个).本题不是简单的全排列,有一些其它的限制,这样要么先全排列再剔除不合题意的情况,要么直接在排列的时候考虑这些限制因素.【答案】48【例 9】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数?【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 个位数字已知,问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题,已知5n =,2m =,根据排列数公式,一共可以组成255420P =⨯=(个)符合题意的三位数.【答案】20【巩固】 用1、2、3、4、5、6六张数字卡片,每次取三张卡片组成三位数,一共可以组成多少个不同的偶数?【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于组成偶数,个位上的数应从2,4,6中选一张,有3种选法;十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张,有255420P =⨯=(种)选法.由乘法原理,一共可以组成32060⨯=(个)不同的偶数.. 【答案】60【例 10】 由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数,四位数有多少个?【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法一:先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为466543360P =⨯⨯⨯=,由于0不能在千位上,而以0为千位数的四位数有3554360P =⨯⨯=,它们的差就是由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的四位数的个数,即为:36060300-=个.方法二:完成这件事——组成一个四位数,可分为4个步骤进行,第一步:确定千位数;第二步:确定百位数;第三步:确定十位数;第四步:确定个位数;这四个步骤依次完成了,“组成一个四位数”这件事也就完成了,从而这个四位数也完全确定了,思维过程如下:根据乘法原理,所求的四位数的个数是:5543300⨯⨯⨯=(个).【答案】300【例 11】用1、2、3、4、5这五个数字,不许重复,位数不限,能写出多少个3的倍数?【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】按位数来分类考虑:⑴一位数只有1个3;⑵两位数:由1与2,1与5,2与4,4与5四组数字组成,每一组可以组成22212P=⨯=(个)不同的两位数,共可组成248⨯=(个)不同的两位数;⑶三位数:由1,2与3;1,3与5;2,3与4;3,4与5四组数字组成,每一组可以组成3 33216P=⨯⨯=(个)不同的三位数,共可组成6424⨯=(个)不同的三位数;⑷四位数:可由1,2,4,5这四个数字组成,有44432124P=⨯⨯⨯=(个)不同的四位数;⑸五位数:可由1,2,3,4,5组成,共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(个)不同的五位数.由加法原理,一共有182424120177++++=(个)能被3整除的数,即3的倍数.【答案】177【例 12】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数?【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】可以分两类来看:⑴把3排在最高位上,其余4个数可以任意放到其余4个数位上,是4个元素全排列的问题,有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)放法,对应24个不同的五位数;⑵把2,4,5放在最高位上,有3种选择,百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择,有3种选择,其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上,有336P=种选择.由乘法原理,可以组成33654⨯⨯=(个)不同的五位数.由加法原理,可以组成245478+=(个)不同的五位数.【答案】78【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数;若将这些四位数按从小到大的顺序排列,则5687是第几个数?【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】从高位到低位逐层分类:⑴千位上排1,2,3或4时,千位有4种选择,而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择,因为数字不重复,也就是从9个元素中取3个的排列问题,所以百、十、个位可有39987504P=⨯⨯=(种)排列方式.由乘法原理,有45042016⨯=(个).⑵千位上排5,百位上排0~4时,千位有1种选择,百位有5种选择,十、个位可以从剩下的八个数字中选择.也就是从8个元素中取2个的排列问题,即288756P=⨯=,由乘法原理,有1556280⨯⨯=(个).⑶ 千位上排5,百位上排6,十位上排0,1,2,3,4,7时,个位也从剩下的七个数字中选择,有116742⨯⨯⨯=(个).⑷ 千位上排5,百位上排6,十位上排8时,比5687小的数的个位可以选择0,1,2,3,4共5个. 综上所述,比5687小的四位数有20162804252343+++=(个),故5687是第2344个四位数.【答案】2344【例 13】 用数字l ~8各一个组成8位数,使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数.共有___种组成方法.【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯,六年级,初赛,第7题【解析】 l ~8中被三除余1和余2的数各有3个,被3整除的数有两个,根据题目条件可以推导,符合条件的排列,一定符合“被三除所得余数以3位周期”,所以8个数字,第1、4、7位上的数被3除同余,第2、5、8位上的数被3除同余,第3、6位上的数被3除同余,显然第3、6位上的数被3整除,第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2,第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1,余数的安排上共有2种方法,余数安排定后,还有同余数之间的排列,一共有3!×3!×2!=144种方法.【答案】144种【例 14】 由数字0、2、8(既可全用也可不全用)组成的非零自然数,按照从小到大排列.2008排在 个.【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 比2008小的4位数有2000和2002,比2008小的3位数有23318⨯⨯=(种),比2008小的2位数有236⨯=(种),比2008小的1位数有2(种),所以2008排在第21862129++++=(个). 【答案】29【例 15】 千位数字与十位数字之差为2(大减小),且不含重复数字的四位数有多少个?【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 千位数字大于十位数字,千位数字的取值范围为29,对应的十位数字取07,每确定一个千位数字,十位数字就相应确定了,只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就行了,因此总共有288P ⨯个这样的四位数.⑵千位数字小于十位数字,千位数字取17,十位数字取39,共有287P ⨯个这样的四位数.所以总共有228887840P P ⨯+⨯=个这样的四位数.【答案】840模块四、排列之策略问题【例 16】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非0数码组成,且四个数码之和是9,那么确保打开保险柜至少要试几次?【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1,1,1,6;1,1,2,5;1,1,3,4;1,2,2,4;1,2,3,3;2,2,2,3六种.第一种中,可以组成多少个密码呢?只要考虑6的位置就可以了,6可以任意选择4个位置中的一个,其余位置放1,共有4种选择;第二种中,先考虑放2,有4种选择,再考虑5的位置,可以有3种选择,剩下的位置放1,共有4312⨯=(种)选择同样的方法,可以得出第三、四、五种都各有12种选择.最后一种,与第一种的情形相似,3的位置有4种选择,其余位置放2,共有4种选择.综上所述,由加法原理,一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数,即确保能打开保险柜至少要试56次.【答案】56【例 17】 幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子,有多少种坐法?【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 在这个问题中,只要把3把椅子看成是3个位置,而6名小朋友作为6个不同元素,则问题就可以转化成从6个元素中取3个,排在3个不同位置的排列问题.由排列数公式,共有:36654120P =⨯⨯=(种)不同的坐法.【答案】120【巩固】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把),有多少种不同的坐法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】与例5不同,这次是椅子多而人少,可以考虑把6把椅子看成是6个元素,而把3名小朋友作为3个位置,则问题转化为从6把椅子中选出3把,排在3名小朋友面前的排列问题.由排列公式,共有:36654120P=⨯⨯=(种)不同的坐法.【答案】120【巩固】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场,每辆碰碰车必须且只能坐一个人,那么共有多少种不同的坐法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】把6辆碰碰车看成是6个位置,而10个人作为10个不同元素,则问题就可以转化成从10个元素中取6个,排在6个不同位置的排列问题.共有6101098765151200P=⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的坐法.【答案】151200【例 18】一个篮球队有五名队员A,B,C,D,E,由于某种原因,E不能做中锋,而其余4个人可以分配到五个位置的任何一个上,问一共有多少种不同的站位方法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一:此题先确定做中锋的人选,除E以外的四个人任意一个都可以,则有4种选择,确定下来以后,其余4个人对应4个位置,有44432124P=⨯⨯⨯=(种)排列.由乘法原理,42496⨯=,故一共有96种不同的站位方法.方法二:五个人分配到五个位置一共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(种)排列方式,E能做中锋一共有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)排列方式,则E不能做中锋一共有54541202496P P-=-=种不同的站位方法.【答案】96【例 19】小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分.我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…,如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒:○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒.不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立,故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法.【答案】512。