小学奥数 简单的排列问题 精选例题练习习题(含知识点拨)
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1.使学生正确理解排列的意义;
2.了解排列、排列数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列;
3.掌握排列的计算公式;
4.会分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力; 通过本讲的学习,对排列的一些计数问题进行归纳总结,并掌握一些排列技巧,如捆绑法等.
一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题.在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.
一般地,从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.
排列的基本问题是计算排列的总个数.
从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数,我们把它记做m n P .
根据排列的定义,做一个m 元素的排列由m 个步骤完成:
步骤1:从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有n 种方法;
步骤2:从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位,有(1n -)种方法;
……
步骤m :从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置,有11n m n m --=-+()(种)方法; 由乘法原理,从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+()()()
,即121m n P n n n n m =---+()()(),这里,m n ≤,且等号右边从n 开始,后面每个因数比前一个因数小1,共有m 个因数相乘.
二、排列数
一般地,对于m n =的情况,排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅(
)(). 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数.这种n 个排列全部取出的排列,叫做n 个不同元素的全排列.式子右边是从n 开始,后面每一个因数比前一个因数小1,一直乘到1的乘积,记为!n ,
读做n 的阶乘,则n n P 还可以写为:!n n P n =,其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅()() .
模块一、排列之计算
【例 1】 计算:⑴ 25P ;⑵ 4377P P -.
【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 由排列数公式121m n P n n n n m =---+()()()知:
⑴ 255420P =⨯=
⑵ 477654840P =⨯⨯⨯=,37765210P =⨯⨯=,所以4377840210630P P -=-=.
【答案】⑴20 ⑵630
教学目标
例题精讲
知识要点
7-4-1.简单的排列问题
【巩固】 计算:⑴ 23P ;⑵ 32610P P -.
【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 23326P =⨯= ⑵ 326106541091209030P P -=⨯⨯-⨯=-=.
【答案】⑴6 ⑵30
【巩固】 计算:⑴321414P P -; ⑵53633P P -.
【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 ⑴32141414131214132002P P -=⨯⨯-⨯=;
⑵536333(65432)3212154P P -=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=.
【答案】⑴2002 ⑵2154
模块二、排列之排队问题
【例 2】 有4个同学一起去郊游,照相时,必须有一名同学给其他3人拍照,共可能有多少种拍照情况? (照
相时3人站成一排)
【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 由于4人中必须有一个人拍照,所以,每张照片只能有3人,可以看成有3个位置由这3人来站.由
于要选一人拍照,也就是要从四个人中选3人照相,所以,问题就转化成从四个人中选3人,排在3
个位置中的排列问题.要计算的是有多少种排法.
由排列数公式,共可能有:3443224P =⨯⨯=(种)不同的拍照情况.
也可以把照相的人看成一个位置,那么共可能有:44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的拍照情况.
【答案】24
【巩固】 4名同学到照相馆照相.他们要排成一排,问:共有多少种不同的排法?
【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 4个人到照相馆照相,那么4个人要分坐在四个不同的位置上.所以这是一个从4个元素中选4个,
排成一列的问题.这时4n =,4m =.
由排列数公式知,共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的排法.
【答案】24
【巩固】 9名同学站成两排照相,前排4人,后排5人,共有多少种站法?
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如果问题是9名同学站成一排照相,则是9个元素的全排列的问题,有99P 种不同站法.而问题中,9
个人要站成两排,这时可以这么想,把9个人排成一排后,左边4个人站在前排,右边5个人站在后
排,所以实质上,还是9个人站9个位置的全排列问题.
方法一:由全排列公式,共有99987654321362880P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的排法.
方法二:根据乘法原理,先排四前个,再排后五个.
4595987654321362880p p ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 【答案】362880
【巩固】 5个人并排站成一排,其中甲必须站在中间有多少种不同的站法?
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于甲必须站在中间,那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题,是一个全排列
问题,且4n =.由全排列公式,共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的站法.
【答案】24
【巩固】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”,5人并排站成一排,奶奶要站在正中间,有多少
种不同的站法?
【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于奶奶必须站在中间,那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题,是一个全排
列问题,且n =4.
由全排列公式,共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的站法.