专题-------圆的切线证明(武汉专版)

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中考复习圆的切线的证明

中考复习圆的切线的证明圆的切线是一条与圆相切且只与圆相交于切点的直线。

下面我将为你展示圆的切线的证明。

设圆的半径为r，圆心坐标为(O,O)，切线与圆相切于点A，切点坐标为(a,b)。

我们需要证明切线的斜率与切点到圆心的距离之间的关系。

O_______________________/\/\AB根据几何性质，切线与径线的夹角为90度，所以角AOB为直角。

根据直角三角形AOB的性质，我们可以得到以下两个等式：1.OA²+AB²=OB²（勾股定理）2.OA=r（圆的定义）再根据切线与直径线的性质，我们可以得到以下等式：3.AB⊥OA（切线与半径线垂直）由等式3，我们可以得到两个直角三角形OAB和OBA。

考虑到OA=r，我们可以用r来表示OA和OB。

根据等式1，我们可以得到：r²+AB²=(2r)²r²+AB²=4r²AB²=3r²再根据等式2，我们可以得到：OA=r将等式2代入等式1中，我们可以得到：r²+AB²=OA²3r²=OA²移项得：AB²=2r²现在，我们来计算切线的斜率。

设切线的斜率为k，OA的斜率为m。

由定义可知，斜率m为切点A处切线的斜率，其值等于切线过切点A 和圆心O的直线的斜率。

而且，切线与直径OB垂直，垂直线的斜率之积为-1，即斜率k和斜率m之积为-1所以，我们可以得到以下等式：k×m=-1另外，我们可以计算切点A到圆心O的距离的平方。

根据点到点的距离公式，我们可以得到：OA²=(a-O)²+(b-O)²将具体的坐标代入上式，并将OA²替换为r²，我们可以得到：r²=(a-O)²+(b-O)²综上所述，我们可以得到以下两个等式：AB²=2r²k×m=-1现在我们来证明切线的斜率与切点到圆心的距离之间的关系。

(完整word)中考复习专题——圆切线证明

中考复习专题—------—圆的切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用,在涉及切线问题时，常连结过切点的半径,切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。

2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。

精典例题：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F。

求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD。

求证：PA与⊙O相切。

例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D,DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切。

例4 如图，已知：AB是⊙O的直径,点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证:DC是⊙O的切线例5 如图,AB是⊙O的直径，CD⊥AB,且OA2=OD·OP.求证:PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形,G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切。

二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点,⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切。

例8 已知：如图，AC,BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证:CD是⊙O的切线.［习题练习］例1如图，AB是⊙O的弦(非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D,与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C,交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC,垂足为D，AB AF，BF和AD交于E，求证：AE=BE．例5如图,AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC,垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．AB CDEF G O例6如图,已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．（1）求∠ACM 的度数．(2）在MN 上是否存在一点D,使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．例7如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． (1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？（2）若点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？19。

证明圆的切线的两种方法

证明圆的切线的两种方法方法一：利用圆的性质和向量的知识证明。

首先，根据圆的性质可知，圆心到切点的线段与切线垂直。

设圆心为O，切点为A，切线为l，则OA垂直于l。

又因为向量OA与向量l的内积为0，即OA·l=0，所以向量OA与l互相垂直。

又因为圆心到切点的线段与切线垂直，所以向量OA与切线方向相同。

因此，切线的方向可以表示为向量l=λOA，其中λ为常数。

再根据圆的性质可知，向量OA与圆的半径向量R的夹角为90度，即OA·R=0。

因此，向量l=λOA与向量R的内积也为0，即l·R=0。

这就证明了切线与圆的半径向量垂直。

方法二：利用微积分的知识证明。

首先，设圆的方程为(x-a)+(y-b)=r，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

假设切线的斜率为k，则切线的方程为y=kx+c，其中c为常数。

为了使切线与圆相切，需要满足两个条件：一是切线经过圆上的某个点，即(x-a)+(y-b)=r；二是切线与圆的半径向量垂直，即切线的斜率为-k=-(x-a)/(y-b)。

将这两个条件代入切线方程y=kx+c中，得到(x-a)+(kx+c-b)=r，且k=-(x-a)/(y-b)。

将k代入上式，整理得到(x-a)+(c-b)/(1+k)=r。

由于切点坐标(x,y)满足(x-a)+(y-b)=r，因此有(x-a)+(c-b)/(1+k)=(x-a)+(y-b)，即(c-b)/(1+k)=(y-b)。

将k带入上式，有c-b=±r/√(1+k)。

因此，切线的方程可以表示为y=±r/√(1+k)x+(b-c)/√(1+k)，即y=±(r/√(1+k))x+(b-c)/√(1+k)。

这就证明了切线的方程。

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切线性质定理证明过程,证明圆的切线的几种方法

切线性质定理证明过程，证明圆的切线的几种方法切线长度定理:从圆外的一点引向圆的两条切线长度相等，圆心与此点的连线平分两条切线的夹角。

证明圆的切线的性质定理我们大多数情况下用反证法来证明切线的性质定理：假设圆O的切线l与OA不垂直，作OM垂直于l于M，因“垂线段短”，故OA＞OM，即圆心到切线的距离小于半径，这与“切线到圆心的距离等于半径”矛盾，故直线l与圆O一定垂直。

圆的切线的性质切线的主要性质有以下几点：1、切线和圆唯有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于经过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心；6、从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项以上内容是圆的切线的性质定理及其证明方法。

掌握和熟悉这一重要内容和核心考点，对考生处理数学几何问题很有帮助。

为此，考生必须努力学习。

连接圆心和切点，按照直线与圆相切的定义，可证切线与过切点的半经垂直证明圆的切线的迅速方式？1、已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接按照“经过直径的一端,还垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明。

口诀是“见半径，证垂直”。

2、条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后按照“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“连半径，证垂直”。

3、已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后按照“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“作垂直，证半径”。

如何证明圆的切线？切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。

根据这两个定理，我们可以得到证明圆的切线在大多数情况下的思路。

1、连半径，证垂直2、作垂线，证半径圆如何正切线？相切圆有四种方法:1。

专项20-切线的证明方法归类(2大类型+5种方法)(原卷版)

专项20 切线的证明方法归类（2大类型+5种方法）（1）连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”（2）作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”【考点1 有公共点：连半径，证垂直】【典例1】如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．【变式1-1】如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．【变式1-2】如图，A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，CD＝2，E是CD延长线上的一点，且AE＝AC．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）求ED的长．【典例2如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD⊥l 于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．【变式2-1】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O 交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB＝1：2，BC＝6，求⊙O的半径．【变式2-2】已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，ED与AB的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圆的半径．【典例3】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC 于点D．求证：PD是⊙O的切线；【变式3-1】（2022•大兴区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．求证：BC是⊙O切线；【变式3-2】如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【变式3-3】（2022•百色一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC 于点D，连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．求证：DE是⊙O的切线；【典例4】已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，求证：DE是⊙O的切线．【变式4-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，若E是AC的中点，连接DE．求证：DE为⊙O的切线．【考点2 无公共点：做垂直，证半径】【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE ＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．求证：AC是⊙D的切线；【变式5-1】（2018•天河区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E求证：BC是⊙D的切线；【典例6】如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC 相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．求证：AB为⊙O的切线；【变式6】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF．求证：BF是⊙O的切线；1．（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O 在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．求证：AC是⊙O的切线；2．（2021秋•温岭市期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA ＝∠CBD．求证：CD是⊙O的切线；3．如图，⊙O的半径为1，A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD ＝CD，∠A＝30°．求证：直线AC是⊙O的切线；4．如图，已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O 与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．（1）求证：DE＝OE；（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线．5.如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE ⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．求证：直线PE是⊙O的切线；6．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．7.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．求证：BE与⊙O相切．8．如图，AC是⊙O直径，D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．求证：CF是⊙O的切线；。

(整理版)湖北省武汉市华中农业大学附属中学九年级数学与圆有关的证明和

1.如图，⊙O 为△BCD 的外接圆，CE 为⊙O 的直径，过D 作⊙O 的切线交BE 的延长线于A ，且AD ∥BC ，BD 交CE 于F.
〔1〕求证：BD=CD ；
〔2〕假设AD=4，BE=6，求CF 的长.
2.如图，点O 为Rt △ABC 斜边AB 上的一点，点D 是AC 边上的一点，BD 平分∠ABC ，以OB 为半径的⊙O 经过点D ，与BC 交于点G.过点G 作BD 的垂线，交AC 的延长线于点P ，垂足为H. 〔1〕求证：AC 为⊙O 的切线；
〔2〕假设⊙O 的半径为5，CG:PC=1:2，求AD 的长.
O F E D
C B A
3.如图，AB 是半圆O 的直径，E 是⌒BC 上的一点，OE 交弦BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线交O E 的延长线于点F ，且2CF FD FO =⋅，连接BF.
〔1〕求证：FB 是⊙O 的切线；
〔2〕假设B C=8，DE=2，求AD AF 的值.
4.如图，△ABD 内接于⊙O ，P 在OB 的延长线上，DB 与PA 相交于C ，且2CA CB CD =⋅. 〔1〕求证：PA 为⊙O 的切线；
〔2〕假设DC ⊥
BM OM .
O F E D C B
A。

圆的切线的证明方法

圆的切线的证明方法天津四中杨建成平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。

那么怎样证明直线和圆相切呢？证明直线是圆的切线大体上有三种方法：⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

其中⑴是切线的定义，它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系；⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断；⑶是根据切线的判定定理进行判断。

⑵和⑶都是由⑴推演出来的。

在几何证明中，常用的是最后一种方法，具体的证法有两种：①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。

例1.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证CD是⊙O的切线。

［分析］：因直线CD与⊙O有公共点D，故应采用“连半径，证垂直”的方法。

［证明］：连结OD∵OC∥AD ∴∠COB=∠DAO，∠COD=∠ADO∵OA=OD ∴∠DAO=∠ADO∴∠COB=∠COD在△DOC和△BOC中∵OD=OB，∠COD=∠COBOC=OC∴△DOC≌△BOC∴∠CDO=∠CBO∵AB是⊙O的直径，BC是切线∴∠CBO=90°∴∠CDO=90°∵OD是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线例2.如图，已知两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD是小圆的切线。

［分析］：因直线CD与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。

［证明］：连结OE，过O点作OF⊥CD于F∵AB与小圆相切于点E∴OE⊥AB ∴AE=BE，CF=DF∵AB=CD ∴AE=CF在Rt△AEO和Rt△CFO中∵OA=OC，AE=CF∴Rt△AEO≌Rt△CFO∴OE=OF∴CD是小圆的切线例3.如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。

武汉专版九年级数学上册第二十四章圆专题4切线的综合应用课件2

第二十四章圆
专题40 切线的综合应用
武汉专版·九年级上册
1．在一个工件上有一梯形块ABCD，其中AD∥BC，∠BCD＝90°，面积为21 cm2，周长为20 cm，若工人师傅要在其上加工一个以CD为直径的半圆槽，且圆槽刚好和AB边相切(如图所示)，求此圆的半径．
2．如图，AB是⊙O的直径，D是圆上一点，＝，连接AC，过点D作AC的平行线MN. (1)证明：MN是⊙O的切线； (2)已知AB＝10，AD＝6，求弦BC的长．
①若∠COP＝∠DOP，求证：AC＝BD；
②连接CD，设△PCD的周长为l，若l＝2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
【解析】(1)∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.又∵∠AOP＝60°，∴∠APO＝30°，易证 △PAO≌△PBO(HL)，∴∠OPB＝∠OPA＝30°.
(2)①由△PAO≌△PBO，∠POB＝∠POA，又∠COP＝∠DOP，∴∠COA＝∠DOB， ∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD.
3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为点E，DA平分∠BDE. (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)若AE＝2，DE＝1，求CD的长．
4．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，连接OA，OB，OP.
(1)若∠AOP＝60°，求∠OPB的度数；Байду номын сангаас
(2)过O作OC，OD分别交AP，BP于C，D两点，
②CD与⊙O相切．理由：延长PA到点F，使AF＝BD.∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBD，∴△OAF≌△OBD， ∴OF＝OD，∴l＝2AP＝PA＋PB＝PC＋PD＋AC＋BD＝PC＋PD＋CD，∴CD＝AC＋BD.∵AF＝BD，∴CF ＝CD.又∵OC＝OC，OF＝OD，∴△OFC≌△ODC(SSS)，∴CF和CD边上所对应的高也应该相等．过点O 作OE⊥CD于点E，则OE＝OA，∴CD与⊙O相切．

证明圆的切线的七种常用方法-圆的切线证明7种方法

证明圆的切线的七种常用方法证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”2、作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB ＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．方法2、特殊角计算法证垂直2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求∠P的度数；（2）求证：P A是⊙O的切线；（3）若PD＝5，求⊙O的直径．方法3、等角代换法证垂直3、如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E 。

求证：DE 是⊙O 的切线；方法4、平行线性质法证垂直4、如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．且︒=∠30E ，点B 是的中点（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）求证CF=OC（2）若半圆O 的半径为6，求DC 的长．方法5 全等三角形法证垂直5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF ，求证：BF 是⊙O 的切线。

A B O D CF类型二、无公共点：做垂直，证半径方法6 角平分线的性质法证半径6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝2．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．方法7 全等三角形法证半径7．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，CD BC AD =+，以AB 为直径的⊙O 。

武汉专版2018年秋九年级数学上册第二十四章圆专题33切线的证明课件新版新人教版20181116279

十四章圆
专题切线的证明
武汉专版·九年级上册
一、有“公共点”连半径，证垂直．如图，△内接于⊙，∠＝∠，求证：与⊙相切．
【解析】作直径，连接，∴∠＋∠＝°.∵∠＝∠，而∠＝∠，∴∠＋∠＝°，即＝°，∴⊥.∵为半径，∴与⊙相切．
．如图，以△的边上一点为圆心画圆，经过，两点且与边交于点，点为的下圆弧的段于点，若＝.求证：是⊙的切线.
【解析】(1)过点 O 作 OM⊥AB 于点 M.∵⊙O 与 AC 相切于点 D，∴OD⊥AC，∴∠ADO＝ AMO＝90°.∵△ABC 是等边三角形，AO⊥BC，∴∠DAO＝∠MAO，∴OM＝OD.∵OM⊥AB，∴ 与⊙O 相切．
(2)过点 O 作 ON⊥BE 于点 N，连接 OF.易得 OB＝2，ON＝1，OF＝OM＝BN＝ 3，∴NF＝ ∴BF＝BN＋NF＝ 3＋ 2.
【解析】连接，，∵点为的下半圆弧的中点，∴⊥，∴∠＝°.∵＝，＝， ∴∠＝∠，∠＝∠.而∠＝∠，∴∠＋∠＝∠＋∠＝°，即∠＝°，∴⊥.∵为半径，∴是⊙的切线.
．如图，是⊙外一点，是⊙上一点，割线与⊙相交于点，，连接，若＝，＝，＝，求线．
【解析】连接，∵＝，＝，∴＝，∴＝＝＝，∴＝，∴＝＋，∴∠＝°. ∵为半径是⊙的切线．
．如图，⊙经过菱形的三个顶点，，，且与相切于点. 求证：为⊙的切线.
【解析】连接，，，∵与⊙切于点，∴⊥，即∠＝°.∵四边形为菱形，∴ ＝，∴△≌△()，∴∠＝∠＝°，∴⊥.∵为半径，∴为⊙的切线．
二、无“公共点”作垂直，证半径．如图，△是等边三角形，⊥，垂足为，⊙与相切于点，⊥交的延长线于点，与⊙相 ()求证：与⊙相切； ()若等边三角形的边长是，求线段的长.

2020年湖北省武汉市中考第21题专项训练—圆中的证明和计算(无答案)

第21题—圆中的证明与计算1. 如图，AC 为⊙O 的直径, P A ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DODC DP DB =.（1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝CD ＝2, 求cos ∠BCA 的值.2. AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP ．（1）如图1，若AB=4，BC=2，求△OPC 的最大面积；（2）如图2，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，CP 是⊙O 的切线，若tan ∠D 31=，求cos ∠C 的值。

3.如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠ABC的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F。

（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB=3，EF=2，求CD的长．4.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，P是弧BC的中点，①试判断过点C所作的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；②设直线CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD于E，证明BE是⊙O的切线；③在②的条件下，若AB=10cm，求△BDE的面积．5.如图，矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点E为CD边上的一个动点，连结AE、BE，以AE为直径作圆，交AB于点F，过点F作FH⊥BE于H，直线FH交⊙O于点G．(1)若点E运动到CD的中点图1，试证明：此时FH为⊙0的切线；(2)当点E运动到某处时，AE// FH，求此时GF的长．6.P A切⊙O于点P,AB交⊙O于C、B两点.(1)如图1，求证:∠APC=∠ABP(2)如图2，M是⊙O内一点,AM交⊙O于点N，若PA=6、MN=NA=3，OM=2，求⊙O半径的长。

7. 如图, AB 为⊙O 的直径, AC 为⊙O 的弦, ∠BAC 的平分线交⊙O 于点D, DE ⊥AC 于点E. （1）求证: DE 为⊙O 的切线;（2）连接OE 交AD 于点F, 连接BD, 若cos ∠BAC=54，求BDOF 的值.8. 已知等边△ABC 内接于⊙O ，点P 是劣弧BC 上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD=AP ，连接CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图1，且⊙O 的直径为10，求CD 的长；（2）若AP 不过圆心O ，如图2，若tan ∠PBC=31，求sin ∠BCP 的值。

武汉专版九年级数学上册第二十四章圆专题33切线的证明课件新版新人教版

3．如图，P是⊙O外一点，C是⊙O上一点，割线POB与⊙O相交于点A，B，连接PC，若PA＝2，PC＝4， PB＝8，求证：PC是⊙O的切线．
【解析】连接OC，∵PA＝2，PB＝8，∴AB＝6，∴OC＝OA＝OB＝3，∴OP＝5，∴OP2 ＝OC2＋CP2，∴∠OCP＝90°. ∵OC为半径，∴PC是⊙O的切线．
三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。
第二十四章圆
专题33 切线的证明
武汉专版·九年级上册
一、有“公共点”连半径，证垂直 1．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAE＝∠B，求证：AE与⊙O相切．
【解析】作直径AD，连接CD，∴∠D＋∠DAC＝90°.∵∠B＝∠D，而∠CAE＝∠B， ∴∠CAE＋∠DAC＝90°，即∠DAE＝90°，∴OA⊥AE.∵OA为半径，∴AE与⊙O相切．
二、无“公共点”作垂直，证半径 5．如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点． (1)求证：AB与⊙O相切； (2)若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长.
【解析】(1)过点 O 作 OM⊥AB 于点 M.∵⊙O 与 AC 相切于点 D，∴OD⊥AC，∴∠ADO＝∠ AMO＝90°.∵△ABC 是等边三角形，AO⊥BC，∴∠DAO＝∠MAO，∴OM＝OD.∵OM⊥AB，∴AB 与⊙O 相切．
2019/5/29

武汉市元月调考专题训练--圆的切线证明及计算

圆的切线证明及计算【知识回顾】1、切线证明的两种主要类型：（1）已知直线经过圆上某一点，辅助性的作法是连接圆心和这一点，判定方法是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。

（有点就连证垂直）（2）未知直线是否经过圆上的某一点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线段，判定方法是：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

（无点有作证半径）2、圆的有关计算：经常用到垂径定理、勾股定理等。

【例题讲解】◆ 勾股定理例1：如图1，在Rt△ABC中，,BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，.（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（２）若，求EC的长.注：（1）角平分线、平行于角平分线一边的直线、等腰三角形中，任意两个作为条件都可以推导出第三个。

（2）直角三角形中的特殊边角关系的应用。

◆ 角平分线的运用例2：如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB 上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆。

求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB+EB=AC。

◆ 矩形的构造3、已知如图，以Ｒt△ＡＢＣ为直角边ＡＣ为直径作⊙Ｏ，⊙Ｏ与ＡＢ交于点Ｄ，Ｅ是弧ＡＤ上的点，且有弧ＤＥ＝弧ＤＣ，ＤＦ⊥ＡＥ于点Ｆ，（１）求证：DF是⊙Ｏ的切线。

（2）若DF=4，⊙Ｏ的半径为5，求EF的长。

◆ 垂径定理的运用4、如图10，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：；（2）若，⊙O的半径为3，求BC的长．◆ 关注特殊角5、（2011四川宜宾）已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．【达标练习】1、如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，BD交CE于点F，（1）求证：CF=BF（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求△BCD的面积。

湖北省武汉市为明实验学校九年级数学《切线的证明与圆中的计算》课件

切线的证明与圆中的计算
A
F
D
B
O
C
海淀一模2010
20. 已知：如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC
为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分 ∠CBF，过点A作AD⊥BF于点D.
(1)求证AD为⊙O的切线；（3分）
(2)若BD=1，tan∠BAD= （2分）
1 2
，求⊙O的半径.
A
F
D
B
O
C
解答
（1）证明：连接OA,则OA为半径.
❖ 算不对，答不全 ❖ 书写不规范，条理不清楚 ❖ 基本方法不熟练
中考考点，中档模式题，20或21位置，5分
（1）半径 ❖ 证切线
（2）垂直
❖ 计算
（1）解直角三角形（2）相似三角形
例：已知：如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B 在⊙上，且OA=AB=AD. （1）求证：BD是⊙O的切线；
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求sin∠E的值．
小结
（1）半径
证切线
（2）垂直(计算角、平行、全等…）
①勾股定理
（1）解直角三角形 ②锐角三角函数
计算
(射影定理)
（2）相似(全等）三角形（成比例线段）
掌握方法，准确计算，规范推理，争取得满分
❖1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ❖2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 ❖3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ❖4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 ❖5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 ❖6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/272022/1/272022/1/271/27/2022 ❖7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/272022/1/27January 27, 2022 ❖8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/272022/1/272022/1/272022/1/27

2024年湖北省武汉市中考数学复习课件++小专题5 切线的判定

连接OC ，证AE∥OC
∴∠OCF＝90°，即OC⊥DF.
又∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
方法1
方法2
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类型2
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通过等角代换利用两角互余证垂直
当题干中无与要证的切线垂直的直线时，可结合直径所对的圆周角
等于90°或已知垂直，通过等量代换将两个角转化到已知或构造的直角
∵AB＝AC，O是BC的中点，∴∠CAO＝∠BAO.
过点O作OE⊥AB于点E，
连接OD，OA
∵AC与半圆O相切于点D，∴OD⊥AC.
∵OE⊥AB，∴OE＝OD.∴OE是半圆O的半径．
∵AB经过半圆O的半径的外端点E，∴AB是半圆O所在圆的切线．
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方法
2
类型1
利用平行线性质证垂直
三角形中，即可证明．
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5．(2023·赤峰改编) 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于
点E，交⊙O于点D，F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD＝2∠DAF.求证：
CF是⊙O切线.
∵AB经过⊙O的半径的外端点H，∴AB是⊙O的切线．
方法1
方法2
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2．如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点
D.求证：AB是半圆O所在圆的切线．三线合一