专题-------圆的切线证明(武汉专版)

专题——圆的切线证明

我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线

•在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直

例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交0D 延长线于F.

求证：EF与O 0相切•

证明：连结OE, AD.

•/ AB是O 0的直径，

••• AD 丄BC.

又••• AB=BC ,

•••/ 3= / 4.

——

• BD=DE，/ 1 = / 2.

又••• OB=OE , OF=OF ,

•••△ BOF ◎△ EOF ( SAS)

•••/ OBF= / OEF.

••• BF与O O相切，

• OB 丄BF.

•••/ OEF=9O°.

• EF与O O相切.

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图，AD是/ BAC的平分线, P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA与O O相切.

证明一：作直径AE，连结EC.

•/ AD是/ BAC的平分线,

•••/ DAB= / DAC.

•/ PA=PD,

•••/ 2= / 1+ / DAC.

•/ AE是O O的直径,

• AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°.

•••/ 1 + / EAC=90 0

即OA丄PA.

• PA与O O相切.

OA , OE.

证明二：延长AD交O O于E,连结

••• AD是/ BAC的平分线,

• BE=CE,

• 0E 丄BC.

•••/ E+/ BDE=90

•/ OA=OE ,

•••/ E=/ 1.

•/ PA=PD,

•/ PAD= / PDA.

又•••/ PDA= / BDE,

•••/ 1 + / PAD=90 0

即OA丄PA.

• PA与O O相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直

的，解题中要注意知识的综合运用

例3 如图，AB=AC , AB是O O的直径，O

O交BC于D, DM丄AC于M

求证：DM与O O相切. 证明一：连结OD.

•/ AB=AC ,

•••/ B= / C.

•/ OB=OD ,

•••/ 仁/

B.

•••/ 1= / C.

•••OD //

AC.

•/ DM 丄

AC ,

• DM 丄

OD.

• DM与O O相切

证明二:

•••/ 2+/ 4=900

•/ OA=OD ,

•••/ 3+/4=90°.

即OD丄DM.

• DM是O O的切线

说明：证明一是通过证平行来证明垂直的•证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知•

如图，已知：AB是O O的直径, 占

八

、

、C 在O O 上，且/ CAB=30 °, BD=OB , D 在AB 的延长

线上.

求证: DC是O O的切线

证明: 连结OC、BC.

•/ OA=OC ,

•••/ A= / 1= /

30°.

•••/ BOC= / A+ / 仁

60°.

又•••

OC=OB ,

• △ OBC是等边三角形.

F

••• OB=BC.

•/ OB=BD , • OB=BC=BD. • OC 丄 CD. • DC 是O O 的切线.

说明：此题是根据圆周角定理的推论

3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好

例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ,且OA 2=OD • OP. 求证：PC 是O O 的切线. 证明：连结OC

•/ OA 2=OD • OP , OA=OC , • OC 2=OD • OP ,

OC OP OD OC .

又•••/ 1= /1, •••△ OCP ODC. • / OCP= / ODC. •/ CD 丄 AB , • / OCP=9O °. • PC 是O O 的切线.

说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的 二、若直线I 与O O 没有已知的公共点，又要证明 I 是O O 的切线，只需作 OA 丄I , A 为垂足，证

明OA 是O O 的半径就行了，简称："作垂直；证半径”

例7 如图，AB=AC , D 为BC 中点，O D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与O D 相切.

证明一：连结DE ,作DF 丄AC , F 是垂足.

••• AB 是O D 的切线，

• DE 丄 AB. •/ DF 丄 AC ,

• / DEB= / DFC=90°. • / B= / C.

•/ AB=AC ,

B C

又••• BD=CD ,

•••△ BDE ◎△ CDF (AAS )

••• DF=DE.

• AC是O D的切线

连结DE , AD，作DF丄AC , F是垂足.

证明二:

••• AB与O D相切，

• DE 丄AB.

•/ AB=AC , BD=CD ,

• / 仁/2.

•/ DE 丄AB , DF 丄AC , •

DE=DF.

• F在O D上.

• AC与O D相切.

说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关

例8 已知：如图，AC , BD与O O切于A、B,且AC // BD，若/ COD=9O0.

求证：CD是O O的切线.

证明一：连结OA , OB，作OE丄CD , E为垂足.

••• AC , BD 与O O 相切,

•AC 丄OA , BD 丄OB.

•/ AC // BD ,

• / 1 + / 2+ / 3+ / 4=180°.

•••/ COD=90°,

•/ 2+Z 3=90°,/ 1 + Z 4=90°.

•••/ 4+/ 5=900.

• / 仁/5.

•Rt△AOC s Rt△BDO.

•AC OC

"OB OD.

•/ OA=OB ,