06_03分布函数和玻耳兹曼方程
热力学玻尔兹曼分布公式
热力学玻尔兹曼分布公式
热力学玻尔兹曼分布公式是一种描述理想气体分子速度分布的数学公式。
该公式由奥地利物理学家鲁道夫·玻尔兹曼在19世纪末提出，被广泛应用于热力学和统计物理学领域。
根据热力学玻尔兹曼分布公式，理想气体分子的速度分布可用以下公式描述：
f(v) = 4π( m / 2πkT )^(3/2) * v^2 * exp( -m*v^2 /
2kT )
其中，f(v)表示速度为v的分子的概率密度，m表示分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为气体的温度。
可以看出，该公式与温度和分子质量有关，速度越高的分子出现的概率越小，速度越低的分子出现的概率越大。
热力学玻尔兹曼分布公式的推导过程比较复杂，需要运用到分布函数、分子动力学等概念和方法。
该公式的应用也十分广泛，例如在热力学中用于计算气体的内能、熵等物理量，在化学中用于描述反应速率、碰撞频率等重要参数。
- 1 -。
分布函数.ppt
)
b
1
a
,
a x b,
0,
其 它.
x
0dx,
x a,
F( x) P( X x)
a
0dx
a
0dx
x 1 dx, a ba b 1 dx a ba
a x b,
x
0dx, x b.
b
即
0,
F
(
x)
x b
a
a 1,
,
x a, a x b,
x b.
(2) 0 F(x) 1, x (,)并且
F () lim F ( x) 0, F() lim F( x) 1;
x
x
(3) xl即imx任0 F一( x分) 布 F函(数x0 处), 处(右连 续x0. ).
重要公式
(1) P{a X b} F(b) F(a),
(2) P{X a} 1 F(a). (3)设 X 是离散型随机变量，其分布律为
f
(
x)
(1
1 x)2
,
x 0,
0,
x 0.
P{X 3} P{X 3} F(3) 3 / 4,
P{2 X 5} P{2 X 5} F (5) F (2) 5 / 6,
P{ X 1} 1 P{ X 1} 1 F (1) 1 1 / 2 1 / 2.
PX xk pk , k 1,2, 则
10 F( x) P{ X x} pk
xk x
20 P{a X b} F(b) F(a) P{X a} 30 P{a X b} F(b) F(a) P{X a} P{X b} 40 P{a X b} F(b) F(a) P{X b}.
(4) 设X为连续型随机变量, 则
麦克斯韦—玻尔兹曼分布的简单推导与应用
麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用来解决各种物理学问题，例如计算分子的平均速度、平均能量、热容等。它也可以用来解决化学问题，例如计算分子的碰撞率、反应速率等。
在统计物理学中，麦克斯韦-玻尔兹曼分布也被广泛应用，例如用来描述粒子的能谱、分子的能谱等。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布（Maxwell-Boltzmann distribution）是经典物理学中用来描述热力学系统中分子的运动分布的分布函பைடு நூலகம்。它是由美国物理学家约翰·麦克斯韦和奥地利物理学家爱因斯坦·玻尔兹曼共同提出的。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布的公式为：
f(v)=4πnv^2e^(-mv^2/2kT)
总的来说，麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一种重要的物理学分布，它在许多方面都有广泛的应用。
第五章 金属的电导理论
r f 0 [ E ( K ), T ] 表示费米函数（T表示温度），那么在体 r dK 内的电子数就等于：
r 2VC r dN = f 0 [ E ( K ), T ] ⋅ dK 3 (2π )
(5-1)
• 如果考虑单位体积内的电子数，即设单位体积内的电 子数为： n=N/VC，那么由（5-1）式可以得到：
•
r r 由于电子的速度为 v (K )
，因此它们对于电流密度的贡
献可以写为：
r r r r r r − 2ef ( K )v ( K ) r dj = −ev ( K )dn* = dK 3 (2π ) •
（5-5）
• 积分上式可得到总的电流密度为： •
r r r r f ( K )v ( K ) r j = −2e ∫ dK 3 (2π )
§5·2金属的电导率
• 在恒温以及恒定外电场的条件下，金属晶体中能够形成稳 r 定的电流密度 j 。这时玻耳茲曼方程可以写成（5-21）的 形式，经简单的变化可写为： •
f − f0
τ
e r = E ⋅∇K f h
(5-22)
• 这个方程的解就是电场存在时定态的分布函数f，显然f将 r r 是电场 E 的函数，因此可以把f按 E 的幂级数展开为： • •
第五章 金属的电导理论
§5·1 分布函数和玻耳兹曼方程 §5·1·1分布函数法的概念 费米函数表述的是在统计平衡状态下，固体中的 电子的分布规律。如果我们以波矢标志电子的运动状 态，那么根据关系式（4-11），在波矢空间的体积元 r r dK dK 内状态数目为： 2VC 3
(2π )
如果用 积元
r f − f0 1 ∂f e r r r [∇ K Ε( K ) ⋅ ∇ r T ] − ( E + v × B) ⋅ ∇ K f = − h ∂T h τ （5-20）
玻尔兹曼方程PPT课件
5.4.4 (k)的物理意义
如果在上式中忽略掉(1-cos)因子，积分将表示在 k 状态
的电子被散射的总的概率，因而，上式说明弛豫时间就是电子
的自由碰撞时间。
式中(1-cos )因子的作用可作如下分析：
' ' 1 1 ( k , k )1 cos dk 3 ( 2 π)
e ( k ) k m
将上面式子比较得
如果 沿x轴方向，则
' ' ( k ) ' 1 1 dk ( k , k )1 3 ( 2π) (k )
' k 'x ' 1 ( k , k )1 dk 3 ( 2π) kx 1
， B
温度梯度
k
变化
f变化 f变化
r 变化
电子分布函数f是波矢 k 、空间坐标
r 和时间t的函数。
1.相空间
以波矢 k 坐标 r 为变量组成的空间称为相空间。 在相空间中讨论非平衡条件下电子的分布函数。
f (r , k , t ) 描述t时刻电子在晶体内 r 处波矢为 k 的概率。
1 r k E
f r f rT T
e k ( v B )
玻尔兹曼方程为：
f f0 1 f e ( k E T ) ( v B ) k f T (k )
§5.4-2 弛豫时间的统计理论
碰撞项：由于晶格原子的振动或杂质的存在等具体的原
' 因，电子不断发生从 k k态的跃迁，电子态的这种变化常称
为散射。 只考虑相同自旋态之间的跃迁。
对统计力学中玻尔兹曼分布定律的推导
统计力学中玻尔兹曼分布定律的推导简介统计力学是研究宏观系统的行为和性质，通过考虑微观粒子的统计规律来解释宏观现象。
玻尔兹曼分布定律是统计力学中最基本的概念之一，描述了粒子在能级上的分布情况。
本文将详细介绍玻尔兹曼分布定律的推导过程。
系统与能级考虑一个由N个相同、无相互作用的粒子组成的系统，这些粒子可以在若干个能级上存在。
我们假设这些能级之间存在一定的间隔，即每个能级对应一个确定的能量值。
首先，我们定义系统中第i个能级上粒子数为ni。
因为所有粒子都是无差别且不可辨认的，所以不同能级上粒子数之和等于总粒子数N：∑n ii=N状态数与微观态对于一个给定的系统和给定的宏观状态（例如总粒子数N、总能量E等），可以有多种微观态（也称为状态），即不同排列方式下的粒子分布情况。
设第i个能级上共有gi个状态可供粒子占据。
根据组合学的知识，第i个能级上粒子数为ni的状态数为：Ωi=g i!n i!(g i−n i)!系统的总状态数等于所有能级上状态数的乘积：Ω=∏Ωii =∏g i!n i!(g i−n i)!i经典统计与玻尔兹曼分布根据经典统计物理学，我们假设在一个封闭系统中，每个微观态出现的概率是相等的。
因此，系统处于某一特定宏观状态的概率可以用该宏观状态对应的微观态数来表示。
假设系统处于某一特定宏观状态（即总粒子数N、总能量E等确定），而第i个能级上粒子数为ni，则该宏观状态对应的微观态数为：Ω({n i})=N!∏n i i!根据玻尔兹曼熵公式，系统处于某一特定宏观状态的熵可以表示为：S({n i})=k B ln(Ω({n i}))=k B ln(N!∏n i i ! )其中，k_B是玻尔兹曼常数。
最大熵原理最大熵原理是统计力学中的基本原理之一，它表明当我们对系统的知识最少时，应选择使熵最大的分布。
在推导玻尔兹曼分布定律时，我们将使用最大熵原理。
假设我们只知道系统的宏观性质，例如总粒子数N和总能量E。
由于我们对系统的微观细节一无所知，我们可以认为任何满足宏观性质条件（即总粒子数N和总能量E）的微观态都是等概率出现的。
波尔兹曼方程
波尔兹曼方程
玻尔兹曼方程或玻尔兹曼输运方程（Boltzmann transport equation，BTE）是一个描述非热力学平衡状态的热力学系统统计行为的偏微分方程，由路德维希·玻尔兹曼于1872年提出。
关于此方程描述的系统，一个经典的例子是空间中一具有温度梯度的流体。
构成此流体的微粒通过随机而具有偏向性的流动使得热量从较热的区域流向较冷的区域。
在现今的论文中，“玻尔兹曼方程“这个术语常被用于更一般的意义上，它可以是任何涉及描述热力学系统中宏观量（如能量，电荷或粒子数）的变化的动力学方程。
玻尔兹曼方程并不对流体中每个粒子的位置和动量做统计分析，而只考虑一群同时占据着空间中任意小区域，且以位置矢量末端为中心的粒子。
这群粒子的动量在一段极短的时间内，相对于动量矢量只有几乎同样小的变化（因此这些粒子在动量空间中也占据着任意小区域）。
玻尔兹曼方程可用于确定物理量是如何变化的，例如流体在输运过程中的热能和动量。
我们还可以由此推导出其他的流体特征性质，例如粘度，导热性，以及导电率（将材料中的载流子视为气体）。
详见对流扩散方程。
玻尔兹曼方程是一个非线性积微分方程。
方程中的未知函数是一个包含了粒子空间位置和动量的六维概率密度函数。
此方程的解的存在性和唯一性问题仍然没有完全解决，但最近发表的一些结果还是能够让人看到解决此问题的希望。
玻尔兹曼公式表达式
玻尔兹曼公式表达式
玻尔兹曼公式是描述理想气体中分子速度分布的公式，它的表
达式如下：
f(v) = 4π (m / (2πkT))^(3/2) v^2 exp(-m v^2 /
(2kT))。
其中，f(v)是速度为v的分子的速度分布函数，m是分子的质量，k是玻尔兹曼常数，T是气体的温度，exp是自然指数函数。
这个公式可以解释理想气体中不同速度的分子数的分布情况。
公式中的指数项exp(-m v^2 / (2kT))表示速度v对应的分子数与
温度T有关，速度越大，指数项越小，分子数越少。
公式中的前面
的系数部分是归一化因子，用来确保整个速度分布函数在所有速度
范围内的积分为1，即表示所有分子的总数。
这个公式的推导基于统计力学和热力学的理论，它可以用来计
算理想气体中分子的速度分布，从而研究气体的性质和行为。
在实
际应用中，玻尔兹曼公式可以用来计算气体的速度分布、平均速度、平均动能等相关参数，对于理解和描述气体的热力学性质具有重要
意义。
总结起来，玻尔兹曼公式是描述理想气体中分子速度分布的公式，通过考虑温度和分子质量的影响，可以计算不同速度的分子数的分布情况。
它是统计力学和热力学的基础之一，对于研究气体的性质和行为具有重要意义。
金属电子论
f1, f2, … 分别表示包含 E 的一次幂, 二次幂, … 项, 0 级 项实际上就是平衡情况下的费米分布函数 f0 . 得到
q
E
k
f0
q
E
k
f1
f1 f2
等式两边 E 的同次幂的项相等给出f1qEFra bibliotekkf0,
f2
q
E k
f1
从一次幂方程得
f1
q
E k
f0
由于 f0 只是 E(k) 的函数, 上式又可以写成
§6-5 各向同性弹性散射和弛豫时间
考虑一个可以具体导出弛豫时间的特例, 即完全各向 同性而且电子散射（碰撞跃迁）是弹性的情况
首先它的能带情况是各向同性的, E(k) 只是 k 的函数, k 空间的等能面是一些围绕原点的同心球面
其次, 散射是弹性的, k 只跃迁到相同能量的 k’ 态, 可 以表示如下：
2
m*
k12 k22 k32
(k) f0 d k /(2 )3
E
2q2
3
k m*
2
(k
)
f0 E
d
k
/(2
)3
8 q2
3
2k 2 m*2
(k
)
f0 E
dk
/(2 )3
q2
3 2m*
k
3
(k
)
f0 E
dE
q2 m*
k03
3 2
(k0 )
其中 k0 表示 E=EF0 时的 k 值
另外, 弹性波具有恒定的速度
cq
c 是常数, 对横波和纵波各有不同的值: c ct (横波) c cl (纵波)
由一个格波引起的整个晶格中的势场变化
玻尔兹曼方程
∂ ∂ f f ∂ f = ＋ t t t ∂ ∂碰 ∂漂
漂移作用引起的分布 函数的变化
碰撞引起的分布函数的变化
∂ ∂ f f ∂ f = ＋ t t t ∂ ∂碰 ∂漂
漂移项= 漂移项=外场作用力引起的电子波矢的漂移 +速度引起的电子位置的漂移
f ∂ ɺ ɺ r r =− ∇ f −k k f ∇ t ∂漂
f − f0 ɺ ɺ r∇ r f + k∇ k f = b − a = −
τ
1 r = ∇ ℏ
⋅
k
E
∂e (ε + v × B ) k ℏ
玻尔兹曼方程为： 玻尔兹曼方程为：
f −f0 1 f ∂ e ε ( kE ∇ ) − ( +v× )⋅∇ f =− ∇ ⋅ T B k ℏ T ) ∂ ℏ τ(k
2 j = ∫ − ev ( k ) f ( k ) dk 3 ( 2π)
不同状态电子的分布函数不同， 不同状态电子的分布函数不同， f (k ) 是在外场下的非平衡 分布函数。 分布函数。 如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的 方程。 方程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂， 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能 面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。 面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。
f ∂ t ∂ f ∂ 0 ＋ ＝ t 碰 ∂ 漂
f ∂ ɺ ɺ f −k f ∇ k t = r r ∂ 漂 −∇
f ∂ b a ＝− t ∂ 碰
ɺ ɺ r∇ r f + k∇ k f = b − a
它是一个微分--积分方程。由于难于求出此方程的解， 它是一个微分--积分方程。由于难于求出此方程的解，因 --积分方程 此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。 此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。
6.玻尔兹曼方程
式(6.6)，有 v v1 v v1 ， dpdp1 dpdp1 ，从而式(6.41)还可以写成
6
H
1 2
dp dp1 d
v
v1
ff1
f
f12 ln
f
f1
将上式和式(6.41)作平均，得到
(6.42)
因为
H
f r, p1,t dp1 v v1 在时间段 t,t dt 中形成的碰撞次数等于
从而
f r, p1,tdp1 v v1 ddt
f
t
coll
drdpdt
f
r, p,t drdp
dp1
d dt v v1
H dp dp1 d v v1 f f1 ff1 1 ln f1
把式(6.37)和式(6.40)作平均，得到
(6.40)
H
1 2
dp dp1 d
v
v1
f
f1
ff1 2 ln
ff1
(6.41)
再考虑逆向的碰撞过程，即p,p1 p,p1 ，其微分散射截面与正向碰撞过程相同，并且由
SB t kBH t CB
定义 H 泛函的局域密度
r,t f r,p,t ln f r,p,t dp
有
t
t
f
ln
f
dp
1 ln
f
f t
dp
为了求解 ，把玻尔兹曼方程式(6.25)写成 t
(6.29) (6.30)
d bb v v1 fb fb1 fb fb1
玻尔兹曼分布与配分函数的计算
微观状态
在给定宏观状态下，系统所具有的能量状态、粒 子排列等具体细节。
3
宏观状态
系统整体表现出的性质，如温度、压力等。
配分函数的计算方法
直接计算法
01
通过计算系统所有可能微观状态的数量，累加得到配分函数。
微正则系综
02
利用微正则系综的统计性质，通过积分计算配分函数。
多粒子系统的玻尔兹曼分布与配分函数计算
总结词
详细介绍了多粒子系统的玻尔兹曼分布与配分函数计算的方法和步骤。
详细描述
在多粒子系统的计算中，玻尔兹曼分布和配分函数的应用更为复杂。由于粒子间的相互作用，需要使 用更高级的统计物理方法来处理。常用的方法有微扰论、路径积分等。通过这些方法，可以计算出多 粒子系统在平衡态下的分布情况，进一步研究系统的热力学性质和的应用
要点一
总结词
要点二
详细描述
阐述了玻尔兹曼分布与配分函数在热力学中的重要应用。
玻尔兹曼分布和配分函数是热力学中的基本概念，对于理 解系统的热力学性质具有重要意义。通过计算配分函数， 可以得到系统的熵、焓等热力学量，进一步研究系统的相 变行为和热力学过程。同时，玻尔兹曼分布还可以用于研 究非平衡态系统的输运性质和热传导等问题，对于理解复 杂系统的行为具有重要意义。
玻尔兹曼分布的应用场景
玻尔兹曼分布在统计物理学中有着广泛的应用，包括气体分子运动论、热力学、 化学反应动力学等领域。
在实际应用中，玻尔兹曼分布可以用于计算分子的平均动能、分子碰撞频率等物 理量，以及用于分析气体分子的微观行为和宏观性质之间的关系。
02 配分函数的计算
配分函数的定义
boltzmann function方程
Boltzmann function方程是描述粒子能级分布的函数，由奥地利物理学家路德维希·鲍尔兹曼在19世纪提出。
该方程在统计物理学中有着广泛的应用，可以解释气体、固体和液体中粒子的能级分布情况，是研究热力学和热平衡状态的重要工具。
1. 基本概念Boltzmann function方程描述了系统中粒子的能级分布情况，根据这个方程，可以计算出系统中任意能级上粒子的分布概率。
对于处于热平衡状态的系统，粒子的能级分布服从玻尔兹曼分布律。
在热力学中，系统的熵可以通过粒子的能级分布计算得出，Boltzmann function方程在这方面有着重要的应用。
2. 方程表达Boltzmann function方程可以用以下公式表示：\[ f_i = \frac{g_i}{Z}e^{-\frac{E_i - \mu N}{kT}}\]在公式中，\( f_i \)表示第i个能级上粒子的分布概率，\( g_i \)表示第i个能级的简并度（即具有相同能级的粒子数），\( Z \)表示配分函数，\( E_i \)表示第i个能级的能量，\( \mu \)表示化学势，\( N \)表示粒子数，\( k \)表示玻尔兹曼常数，\( T \)表示温度。
3. 实际应用Boltzmann function方程在理论物理和实验物理中有着广泛的应用。
在研究原子、分子和固体物质的能级结构时，可以利用该方程计算出系统中能级的分布情况，从而推导出一些重要的物理性质。
在研究气体分子的能级分布时，可以利用Boltzmann function方程推导出玻尔兹曼分布律，并进一步得出系统的熵和内能。
4. 计算方法在实际计算中，利用Boltzmann function方程可以求解粒子在各个能级上的分布概率。
通过改变系统的温度、粒子数和化学势等参数，可以得到不同条件下系统中的能级分布情况。
这对于理论研究和实验数据的分析具有重要意义。
5. 发展与展望随着理论物理和实验物理的不断发展，Boltzmann function方程在统计物理学中的应用也在不断深化和拓展。
固体物理学6自由电子论
第六章 自由电子论和电子的输运性质6-1电子气的费米能和热容量自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。
一 费米能量1.模型(索末菲)(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)； (3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。
2.费米分布函数在热平衡时，能量为E 的状态被电子占据的概率是1e 1)(B F )(+=-T k E E E fE F ---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。
它是温度T 和晶体自由电子总数N的函数。
随着T 的增加，f (E )发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在E F附近±k B T 范围内。
3.费米面0.a =T ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<=F FF 01)(E E E E E E E f 陡变0.b ≠T ⎪⎩⎪⎨⎧>>=<<=FFF0211)(E E E E E E E fE=EF 的等能面称为费米面。
在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。
T ≠0时，费米球面的半径k F 比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离EF 约k B T 范围的能级上的电子被激发到EF 之上约k B T 范围的能级。
4.求EF 的表达式E~E+dE 间的电子状态数：E E N )d ( E~E+dE 间的电子数：E E N E f )d ()( 系统总的电子数：⎰∞=０E E N E f N )d ()(分两种情况讨论：(1)在T=0K 时，上式变成：⎰=0)d (FE E E N N ０将自由电子密度N(E)=CE 1/2代入得：()23021032d ⎰==FE FE C E CE N ０其中23222π2⎪⎭⎫⎝⎛= m V C c()23023222π232FE m V N ⎪⎭⎫ ⎝⎛=令n=N/V ，代表系统的价电子浓度()32220π32n mE F=金属中一般 n~1028m-3，电子质量m=9×10-31kg ， 自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算NN E E ⎰d ＝０⎰=0023d FE E E NC053F E =由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。
bolzmann方程
bolzmann方程Boltzmann方程是热力学中的一种重要方程，用于描述气体分子的运动规律和能量传递过程。
它是由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼在19世纪提出的，对于研究气体动力学和统计物理学起到了重要的推动作用。
Boltzmann方程的基本形式如下：∂f/∂t + v · ∇f = Q[f]其中，f是分布函数，描述了气体分子在速度和空间上的分布情况；t是时间；v是分子速度；∇是空间导数算符；Q[f]是碰撞项，描述了分子间的相互作用。
Boltzmann方程的意义在于描述了气体分子的运动规律和能量传递过程。
它可以用来计算气体的输运性质，如粘度、热导率和扩散系数等。
通过求解Boltzmann方程，可以得到气体的分子速度分布函数，从而揭示了气体的统计性质和宏观行为。
为了求解Boltzmann方程，需要考虑碰撞项Q[f]的具体形式。
在Boltzmann方程的右侧，碰撞项Q[f]描述了分子间的相互作用，包括弹性碰撞和非弹性碰撞等。
在弹性碰撞中，分子的动能守恒，而在非弹性碰撞中，还需要考虑能量的交换。
根据具体的气体模型和相互作用势能，可以对碰撞项进行适当的近似和简化，从而得到可求解的Boltzmann方程。
求解Boltzmann方程是一项复杂的任务，通常需要借助数值方法和计算机模拟来进行。
由于Boltzmann方程的维度很高，求解过程需要考虑大量的速度状态和空间坐标，计算量非常庞大。
因此，研究者们提出了各种各样的数值方法和近似方法，如分子动力学方法、碰撞积分方法和Monte Carlo方法等，以便更好地求解Boltzmann方程并获得气体的输运性质。
除了在气体动力学和统计物理学中的应用，Boltzmann方程还在其他领域发挥着重要作用。
例如，在半导体器件中，Boltzmann方程可以用来描述电子的输运行为，从而研究器件的性能和特性。
在等离子体物理学中，Boltzmann方程可以用来揭示等离子体的动力学行为和电离过程。
玻尔兹曼方程的物理和数学模型
玻尔兹曼方程的物理和数学模型玻尔兹曼方程是描述分子运动规律的方程，包含了分子热运动、传导、化学反应等多种因素。
作为物理学和数学学科的交叉领域，玻尔兹曼方程的研究对于推动科学技术的发展有着重要的意义。
一. 玻尔兹曼方程的物理模型在物理学领域，玻尔兹曼方程被广泛应用于描述液体、气体等物质的宏观状态与微观状态之间的联系。
它总结了几乎所有分子运动的规律，如分子间的碰撞、熵的产生等，因此被称为“统计力学的基本方程”。
玻尔兹曼方程主要描述了物质的微观基础——单个分子的行为，通过引入速度分布函数来描述所有分子的行为。
因此，它被广泛地应用于气体动力学、微观模拟等领域。
此外，玻尔兹曼方程还能够描述一些重要的物理现象，如冷却、相变、辐射传输等。
这些现象都受到分子运动规律的约束，使用玻尔兹曼方程能够更加准确地描述和分析这些现象。
在数学学科中，玻尔兹曼方程被研究为一类特殊的偏微分方程，因为它涉及到分子速度分布函数的求解。
它的解析求解十分困难，常常需要利用数值方法来求解。
利用数值方法求解玻尔兹曼方程，可以考虑离散化速度空间和时空域。
其中离散化速度空间的方法包括球谐函数展开、有限体积法等；离散化时空域的方法包括等间距格点法、谱元法等。
其中，球谐函数展开法是计算流体力学中最受欢迎的一种方法之一。
该方法通过将速度分布函数展开为球谐函数的级数，得到一个求解微分方程的代数方程组。
这种方法适用于计算单向流动和非均匀流，但对于三维问题的模拟需求过高，计算复杂度也很高。
相比之下，等间距格点法则是一种简单易用的方法，它对于流动场的模拟结果精度也十分高。
该方法通过将空间划分为小区域，将速度分布函数与其他变量离散化，并利用更新规则进行迭代计算。
这种方法在计算流动场的方面得到了广泛应用。
玻尔兹曼方程的应用涵盖了几乎所有的自然科学领域。
其最初的应用是在气体动力学领域，如研究高超音速飞行器的设计，和探究天文学中的星际物质等。
近年来，玻尔兹曼方程在材料科学领域中也得到了广泛的关注。
统计热力学-波尔兹曼方程
1．玻尔兹曼方程 Boltzmann Equation
统计热力 学电教课
之四
系统未达平衡态，其局部可（近似）达平衡 —— 局域平衡． f(0) —— 局域平衡的麦氏分布（与平衡部分整体运 动有关）． 各局域平衡部分通过碰撞相互影响，最后趋向大
平衡：一致的f(0)．
过程是缓慢的，可近似认为
f (0) 0
IllinoisIBM Zurich ReseaPrcrhovidence, RIIB,M ZurichPeRnensesayrlcvhania
UrbanaL,aIbLo,raUtoSrAy
USA
b.
1908Rüschlikon,
Switzerland b. 1930
d. 1991b. 1950
LaboratoryPhiladelphia, PA, RüschlikonUb,.SS1Aw9i3tz1erland
统计热力 学电教课
之四
统计热力 学电教课
之四
电子电荷 – e , 质量 m , 自旋1/2 , 速度dv 内、单位体积中vdw
h3
电流密度
J z (e)wn e
fw
2m3
dv
h3
无 外 场 、
平
费密函数
f f (0) 1 emv2 / 2 1
衡 态
J = 0 ，无电流
fwohrih"ccaihfsolllireenddtvh,et"siehsnfiuteortipegrBjreaotrtCahiicnloeSiotnai-rnl,stydihtmooduenpcoethvtrtoiheyevretl"ipoatpyrnporteiodndbpurcecteerhtatirieokaeon-msrthooyicfrfoolmmifuqaagsuutthitepderireniharaetlctshloil"euonmwddiu"stcectmoivvpieetryrya, tuousfruesally
高二物理竞赛课件：分布函数和玻耳兹曼方程
•
j 1
2
n E
jn
n1
n2
n
nn
En
(5-30)
•
其中：
2e 2
2 3
(K )v
(K
)
v
K
f0 dK
（5-31）
是电导率二阶张量的分量。
• 为了使问题简化，下面讨论各向同性的情况。
• 假设导带电子基本上可以用单一有效质量m*来描述。则 电子的能量为：
(5-12)
• 由于
f
t 碰撞为单位时间内由于碰撞而引起的
(K, r ) 点的
分布函数的变化，因此有：
f b a • t 碰撞
(5-13)
分布函数和玻耳兹曼方程
• 结合（5-8）、（5-10）、（5-13）式，可以得到定态
条件下的玻耳茲曼方程为：
• v r f
(5-14)
dK dt
K f
ba
(5-17)
•
以及：
r f
f T
rT
（其中
rT
T r
）
• 和：
K
1
F
e
(E
v
B)
（5-19）
（5-18）
分布函数和玻耳兹曼方程
• 将（5-17），（5-18），（5-19）式代入（5-16）式， 则玻耳茲曼方程可以写为：
•
1
[
K
(K
)
rT
]
f T
e
(E
v
B)
K
f
f
f0
(5-20）
• 当晶体中的温度梯度为零，而且晶体只受外电场力作用 时，玻耳茲曼方程可以简化为：
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—— 电子分布平衡状态 到非平衡状态的偏离长度
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
2 电子输运过程中的玻耳兹曼方程
—— 分布函数的变化来自两个方面
外场引起的分布在k空间的漂移 —— 分布函数漂移
电子的状态变化
v dk dt
1 h
v {qE
q[
1 h
k
E
v (k )
v B]}
—— 将k空间电子分布函数看作是一种流体的分布
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
—— 流体力学连续性原理
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
外加电磁场引起分布函数的变化
—— 从分布函数在k空间漂移的角度来看 —— t+t 时刻电子的状态分布函数
是从t时刻电子的状态分布函数
对比同一时刻的分布函数
变化来的
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
dk内电子数
的变化
v
[ f
(k t
,
t
)
]collision
b
a
—— 碰撞项
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
玻耳兹曼方程
f
v (k , t) t
vv(kv) r
f
v (k ,
rv,
t)
v dk dt
k
f
v (k ,
rv,
t)
b
a
定态问题 —— 恒定电磁场或温度梯度时
—— dk内电子数
的变化
1) t时间内，dk’的空出的状态数 t时间内，dk内发生跃迁的数目 t时间, dk内电子跃迁到dk’的数目
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
t时间内，dk内电子发生跃迁的总数目
2) t时间内，从其它状态跃迁到dk内的电子总数目
dk内电子数
的变化 n nin nout
所有状态的电子对电流的贡献 —— 非平衡分布函数
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
分布函数的物理意义 —— 欧姆定律的物理基础 金属中的电子在外场作用下加速运动 电子由于碰撞失去定向运动
分布函数的物理意义 —— 金属能带理论 外场中电子状态变化基本公式
在k空间电子状态移动的速度
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
[ f
v (k , t) t ]drifting
v
dk dt
k
f
v (k , t)
—— 漂移项
—— 外加电磁场引起分布函数的变化
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
—— 金属中存在温度梯度时 在k和r构成的相空间，分布函数
漂移项 ——
[ f
v (k ,
rv,
t
t) ]drifting
在无外场时 —— k 空间导带中的电子对称分布 —— 对电流的贡献为零
在有外场时 —— k 空间导带中的电子的分布发生变化 —— 形成电流
服从欧姆定律
—— 稳恒电流的形成意味着在k空间电子的分布达到 一个新的定态统计分布
—— 用 分布函数描写
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
单位体积在dk内的电子数 对电流的贡献
—— 定态玻耳兹曼方程
v
vv(kv) r
f
(kv,rv, t )
dk dt
k
f
(kv,rv, t )
b
a
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
—— 定态玻耳兹曼方程
vv(kv)
r
f
(kv,rv, t )
v dk dt
k
f
(kv,rv, t )
b
a
定态导电情况 —— 分布函数与位置无关
q h
vv(kv) r
f
(kv,rv, t )
v
dk dt
k
f
(kv,rv, t )
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
碰撞项
电子和晶格以及金属中杂质发生碰撞引起的状态变化 —— 散射
单位时间电子状态 从变化到
—— 用跃迁几率函数
描写
—— 3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
§6-3 分布函数和玻耳兹曼方程
1 电子输运过程中的分布函数 平衡态下电子的费密分布函数 —— 相当于经典统计中的麦克斯韦－玻耳兹曼分布 内的粒子数
在电子能带情况中，dk内的状态数
平衡态下电子的费密分布函数
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
dk内的电子数 对于单位体积
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
v E
k
f
v (k )
b
a
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论
—— 外场的作用使得原来的对称分布偏向一边 电子的碰撞又使得分布恢复平衡
—— 假定电子有一定的碰撞自由时间
—— 在碰撞自由时间里所有的电子一同遭遇碰撞
v ( qE )
h
—— k空间电子的分布从非平衡 状态 (2) 回到平衡状态 (1)
—— 在外场作用下又偏离平衡 状态，这样一直循环下去
§6-3 分布函数和玻尔兹曼方程——金属电子论