2.3.1平面向量的数量积及运算律

6.若a ·b= a ·c ,则b≠c,当且仅当a=0时成立 (
(
(
√
）
4、平面向量数量积的运算律
已知向量
a, b, c
和实数 ,
则向量的数量积满足：
a b b a （交换律） （ 1）
( a) b (a b) a (b)（数乘结合律） （ 2）
(a b) c a c b c （分配律） （ 3）
b
O b
B

A

O b B O a a A A
若
B b
0 ，a 与b 同向
a
A

源自文库
O
记作
ab
若 180 a 与b 反向
若 90 ，a 与b 垂直，
练习1、如图，等边三角形中，求
'
C
（1）AB与AC的夹角； （2）AB与BC的夹角。 C 通过平移 变成共起点！
120
A
60

B
2.平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0， 即 a 0 0．
注意： (1) 两向量的数量积是一个数量，而不是
平面向量的数量积
引入:我们学过功的概念，即一个物体在 力F的作用下产生位移s（如图） F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。
1.向量的夹角 两个非零向量a 和b ，作 OA a ， OB b , 则 AOB (0 180 ) 叫做向量a 和b 的 夹角． a B
例1: 1）已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a· b。 解：a· b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10。 2） 已知a=(1,1),b=(2,0),求a· b。 解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 ° ∴ a· b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °= 2
a cos =3 （ 2） a 在 b 方向上的投影；
3.平面向量的数量积的重要性质: 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同 的单位向量，θ是a与e的夹角，则 （1）e· a=a· e = |a| cosθ
（2）a⊥b
a· b=0
（3）当a与b同向时，a· b=|a||b|当a与b反向时，
a· b=－|a| |b|特别地，a· a =|a|2或|a|=√a·a 。 （4）cosθ= a· b |a||b| （5）|a·b|≤|a||b|
A
θ为锐角时， | b | cosθ＞0
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为直角时， | b | cosθ=0
我们得到a· b的几何意义： 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|cosθ的乘积。
例2、已知 a 6, b 4, a 与 b 的夹角为60°，
求：（1）b 在 a 方向上的投影； | b | cos =2
向量，符号由夹角决定 (2)a · b不能写成a×b (3)向量的数量积与实数积的区别: 1) 对实数a≠0,若a · b=0，则b=0，但对向量a≠0时， 若a · b=0 , 能不能推出b是零向量？ 2）对于实数a、b、c（b≠0），若a · b=b · c， 则a=c , 对于向量a，b，c , 此式是否仍成立呢？ 3）对于实数a、b、c，有（a · b） · c=a · （b · c） 但对于向量a，b，c来说，此式是否一定成立？
2


2
a 2a b b
2 2
2
2
（ 2）
a b b a b b a 2a b b a b a b a a b b a b
a a b b a b a a 2
练习：判断正误
1．若a=0，则对任一向量b ，有a ·b=0
( ( ( ( (
√ × × × × × ×
） ） ） ） ） ） ）
2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a ·b≠0
3.若a≠0，a ·b=0,则b=0 4.若a ·b=0,则a ·b中至少有一个为0 5.若a≠0，a ·b= b ·c,则a=c 7.对任意向量a , b ,c,有(a ·b)· c ≠a · (b ·c) 8.对任一向量a,有a2=|a|2
注意：数量积运算不满足结合律消去律
5、平面向量数量积的常用公式
(1)(a b) a 2a b b
2
2
2
(2)( a b)( a b) a b
2
2
求证：（1） a b
证明：（1）a b a b a b
（ 2） a b a b a b
物理上力所做的功实际上是将力正交分解， 只有在位移方向上的力做功． F θ 作OA a， OB b 过点B作 BB1 | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．
B b B B
垂直于直线OA，垂足为 B1 ， 则 OB1 | b | cosθ
s
b
b

O
a

B1
A
B1
O
a A
O( B1 ) a
1 o 解： （ 1 ） a b a b cos 120 2 3 ( ) 3 2 2 2 2 2 （ 2 ） a b a b 4 9 5
（ 3 ）（ 2a b ） （ a 3b ） 2a 5a b 3b
2
2 2
2 a 5 a b cos 120 3 b 8 15 27 34
2
aa ab ba bb a b
2
2
练习 4：已知 a 2， b 3， a与b的夹角为120o，求 例3 2 2 （ 1 ） a b； （ 2 ） a b ；（ 3 ）（ 2a b ） （ a 3b ）
（ 4 ） a b； （ 5 ） a b；