联合概率密度为

从而得(X,Y)的联合分布为
Y X
1
2
3
1 1/6 1/9 1/18
2 2/6 2/9 2/18
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例2．设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量 (X,Y)的联合分布及关于X和Y的边缘分布中的部分数据，请补充 下表：
Y X
x1
x2 P{Y=yj}
y1
1/24
1/8 1/6
p.j=P{Y= yj}= pij i 1
yx
F(x, y)
f (u, v)dudv
连续型


f X (x)
f (x, y)dy


fY ( y)
f (x, y)dx

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四、随机变量的独立性 引例. 口袋中有20只球，编号依次为 1, 2, 3, … , 20，现从
xi

y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j …


pi1 pi2 … pij …
… …
P{X=xi}
p1. p2.

pi.

P{Y=yj} p.1 p.2 … p.j …
1

pi• P{X xi} pi j , j 1
(i = 1,2, …)
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即若（X,Y）的联合概率密度 f(x,y) , 则

f X (x)
f (x, y)dy ;


fY ( y)
f (x, y)dx .

例2. 设(X,Y)在区域D:抛物线 y =x2 和直线 y=x 所围成
的区域上服从均匀分布，求(X,Y)的联合密度与边缘概率密度.
§3.2 边缘分布
一、边缘分布函数的概念 二、离散型随机变量的边缘分布列 三、连续型随机变量的边缘分布概率密度 四、随机变量的独立性
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一、边缘分布函数的概念
设(X,Y) 的联合分布函数F(x, y) , 则X和Y的边缘分布函数 FX(x) , FY(y) 分别为
FX (x) P{X x}
其它
求 X, Y的边缘概率密度.

解：当x>0时,
fX (x)
f (x, y)dy

xe ydy xex ; x
y
y=x
当x≤ 0时,

fX (x)
0dy 0 .

o
x
即
xex , 0 x
fX (x)
0,
其它 .
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x,Y }
x
[ f (u,v)dv]du



得
f X (x)
f (x, v)dv

f (x, y)dy ,


即
f X (x)
f (x, y)dy .

z
f X ( x0 ) 的几何意义如右图.
其值表示红曲边梯形的面积.
y o a x0 b x
解:
由于D 的面积为
1
(x

x2
)dx

1
,
0
6
故（X,Y）联合概率密度为
y y x2 yx
6, (x, y) D
f (x, y) 0,
其它 .
0
x
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例2. 设(X,Y)在区域D:抛物线 y =x2 和直线 y=x 所围成
的区域上服从均匀分布，求(X,Y)的联合密度与边缘概率密度.
任取一球，记录球的编号为X，并将该球放回；然后再从袋中任 取一球，记录第二次取得的球编号为Y.
显然，X与Y的取值互不影响，即有
P{X i,Y j} P{X i} P{Y j} , i, j 1, 2,L , 20. 1. 定义
设二维随机向量(X,Y)的分布为F(x，y)，边缘概率密度分别
求: ①常数a，b，c；②联合密度函数 f(x,y)；③X,Y的边缘分布
函数.
分布函数为
F ( x,
y)

1
2
(
2

arctan
x)(
2
arctan y)
( x , y ).
③
FX
(x)

P{X

x}
lim F(x,
y
y)

1

(
2
arctanx)
1 2

1

arctan
x;
( x , y ).
FY
(
y)

P{Y

y}

lim
x
F(x,
y)

1

(
2

arctan
y)

1 2

1

arctan
y
.
( x , y ).
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(X,Y)联合分布
(X,Y)边缘分布
4xy , 0 x 1, 0 y 1 y
f (x, y)
0
,
其他
.1
解：因为

fX (x)
f

(x,
y)dy


1
4xydy
0
0

2x
, ,
o
0 x 1 ;
其他
1x
fY ( y)

f
(
x,
y)dx


1
4xydx 2 y
1 10
0
3 10
5
3
2
1
6
10
10
10
10
p.j
6
3
10
10
1
1
10
X的分布列为
Y的分布列为
X
3
P
1
10
4
5
3
6
10
10
Y012
P
6
3
10 10
1 10
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三、二维连续型随机变量边缘概率密度函数
设（X,Y）的联合概率密度为 f(x,y),
由 FX (x) P{X
x} P{X
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例3. 已知随机向量(X,Y)的联合密度函数为
xe y , 0 x y
f (x, y) 0,
其它
求 X, Y的边缘概率密度.
当y>0时,
fY ( y)

f (x, y)dx

y xe ydx y2e y ;
0
2

当y≤ 0时,
fY ( y)
P{X xi ,Y y j} P{X xi}P{Y y j} ,
即
pij pi. p. j .
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例1．已知(X,Y)的边缘分布律，且X与Y 相互独立，求(X,Y) 的联合分布律.
X1
2
Y1 2 3
P 1/3 2/3
P 1/2 1/3 1/6
解：由X与Y 相互独立得 p11= p1·× p·1 = 1/6 ，…， p23= p2·× p·3= 2/18 ，
FY ( y) P{Y y}
P{X x,Y } P{X ,Y y}
F(x,)
F(, y)
lim F(x, y) . y
lim F(x, y) . x
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二、离散型二维随机向量的边缘分布
Y X
x1 x2

0
,

0
,
0 y 1 .
其他
由 fX(x) fY(y) = f(x,y) 知X与Y相互独立.
可见, 联合分布
边缘分布.
独立
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例4．一电子产品由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部 件的寿命(单位: 小时)，已知X和Y的联合分布函数
1 e0.5x e0.5 y e0.5(x y) ,
xi x
pij
j 1
xi x
pi•
FY(y) = F(+∞, y) = pi j p• j
y j y i1
yjy
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例1.已知随机向量（X,Y）的分布如下表，求关于X 和Y 的
边缘分布.
解:
Y X
0
1
2
pi·
3
1 10
0
0
1 10
4
2 10
0dx 0 .

y
y=x
即
fY
( y)


y2ey 2
,
0 y
o
0,
其它
x
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例4. 已知随机向量（X，Y）的联合分布函数为
F(x, y) a(b arctan x)(c arctan y) ,
求: ①常数a，b，c；②联合密度函数 f(x,y)；③X,Y的边缘分布
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例2. 设(X,Y)在区域D:抛物线 y =x2 和直线 y=x 所围成
的区域上服从均匀分布，求(X,Y)的联合密度与边缘概率密度.
解: 由于D 的面积为
y y x2
6, (x, y) D
yx
f (x, y) 0,
其它 .
0
x
当0≤y≤1时,

x)(
2

arctan
y)
( x , y ).
②
f(x,y)
2F (x, y)
xy


2
(1
1 x2 )(1
y2
)
( x , y ).
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例4. 已知随机向量（X，Y）的联合分布函数为
F(x, y) a(b arctan x)(c arctan y) ,
一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
F(x ,y) =
pi j
离散型
xi x y j y
P{X=xi ,Y=y j}= pi j
FX(x) = P{X ≤x,Y <＋∞} F Y(y) = P{X < ＋∞,Y ≤y}

pi .=P{X= xi}= pij j 1
为FX(x)，FY(y)，若对所有的 x，y 都有
F (x, y) FX (x)FY ( y) ,
即
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y} ,
则称随机变量X与Y是相互独立的.
2. 离散型随机向量的独立性
若(X,Y)的所有可能取值为(xi , yj), (i，j=1，…2，…)， 则 X与Y相互独立的充分必要条件是对一切 i，j = 1,2,…，都有
fY ( y) f (x, y)dx
y 6dx 6(
y
y y) .
即
fY
(
y)

6( 0,
y y),
0 y 1 .
其它
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例3. 已知随机向量(X,Y)的联合密度函数为
xe y , 0 x y
f (x, y) 0,
F(x, y)

0,
问X与Y是否相互独立？
x 0, y 0, 其他
解: 计算得
1 e0.5x , x 0
FX
(
x)

F
( x, )

0,
其它
;
1 e0.5y , y 0
FY
(
y)

F
(,
y)

0,
其它
.
由于 F ( x, y ) FX ( x) FY ( y ), 故X与Y相互独立.

p• j P{Y y j} pi j .
(i =1,2, …) j1
i 1
(j = 1,2, …)
即
X x1
Y y1
P px21.···xi ···…
P py2.1···yj ···…
(X,Y) 的p2边. ·缘··分pi布. ·函··数为
p.2 ···p.j ···

FX(x) = F(x,+∞) =
y2
y3
P{X=xi}
1/8 1/12 1/4
3/8 1/4
3/4
1/2 1/3
1
3. 连续型随机向量独立性 若(X,Y)的联合密度函数 f(x,y)处处连续，则X和Y相互独立的
充分必要条件是
f (x,y) = fX(x)·fY (y) .
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例3．已知(X,Y)的联合概率密度, 试判断X,Y是否独立. 其中,
解: 由于D 的面积为
y y x2
6, (x, y) D
yx
f (x, y) 0,
其它 .
0
x
当0≤x≤1时,
f X (x)

f (x, y)dy

x 6dy 6(x x2 ),
x2
即
6(x x2 ),
f
X
(
x)

0,
0 x 1 .
其它

p• j P{Y y j } pi j i 1
(j =1,2, …)
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即若 (X,Y) 的联合分布列为 pij = P{X=xi ,Y=yj} ,
则 (X,Y) 的边缘分布列为
i=1,2,…; j=1,2,…

pi• P{X xi} pi j ;
为FX(x)，FY(y)，若对所有的 x，y 都有
F (x, y) FX (x)FY ( y) ,
即
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y} ,
则称随机变量X与Y是相互独立的.
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四、随机变量的独立性
1. 定义
设二维随机向量(X,Y)的分布为F(x，y)，边缘概率密度分别
函数.
解：①由F(-∞,0)=0,
F(0,-∞)=0, F(+∞, +∞)=1,
得

a(b )c 0
2
ab(c ) 0
2
,
a(b


2
)(c


2
)

1
解得
a

1
2
,b


2
,c


2
.
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即分布函数为
F ( x,
y)

1
2
(
2

arctan