数学分析 拟微分中值定理

数学分析(二):多元微积分
梅加强副教授
南京大学数学系
内容提要:
内容提要:
微分中值定理;
内容提要:
微分中值定理; 拟微分中值定理.
问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?
问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?设σ:(a,b)→R n为向量值函数,写成分量的形式为
σ(t)=
x1(t),···,x n(t)
,t∈(a,b).
设σ(t)的每一个分量都在t0处可导,且多元函数f在x0=σ(t0)处可微,则复合函数f◦σ在t0处可导,且
f◦σ
(t0)=∇f(x0)·σ (t0),(1)
其中σ (t0)=
x
1
(t0),···,x n(t0)
.
问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?设σ:(a,b)→R n为向量值函数,写成分量的形式为
σ(t)=
x1(t),···,x n(t)
,t∈(a,b).
设σ(t)的每一个分量都在t0处可导,且多元函数f在x0=σ(t0)处可微,则复合函数f◦σ在t0处可导,且
f◦σ
(t0)=∇f(x0)·σ (t0),(1)
其中σ (t0)=
x
1
(t0),···,x n(t0)
.
证明.
这是链式法则的直接推论.
(微分中值定理)
设D⊂R n为凸域,函数f:D→R在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在
θ∈(0,1),使得
f(x)−f(y)=∇f(ξ)·(x−y),ξ=θx+(1−θ)y.(2)
(微分中值定理)
设D⊂R n为凸域,函数f:D→R在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在
θ∈(0,1),使得
f(x)−f(y)=∇f(ξ)·(x−y),ξ=θx+(1−θ)y.(2)
证明.
令σ(t)=tx+(1−t)y,由D为凸域可知当t∈[0,1]时σ(t)∈D.对一元函数
ϕ(t)=f◦σ(t)用微分中值定理可知存在θ∈(0,1),使得ϕ(1)−ϕ(0)=ϕ (θ).由(1)式可得
ϕ(1)−ϕ(0)=∇f(ξ)·σ (θ)=∇f(ξ)·(x−y),
其中ξ=σ(θ)=θx+(1−θ)y.由f(x)=ϕ(1),f(y)=ϕ(0)可知欲证结论成立.
向量值函数的微分中值定理
问题:微分中值定理能否推广到向量值函数?
问题:微分中值定理能否推广到向量值函数?
设D⊂R n为凸域,f:D→R m为向量值的多元函数.设x,y∈D.对f的每一个分量f i应用微分中值定理可得ξi∈D,使得
f i(x)−f i(y)=∇f i(ξi)·(x−y).
问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ⊂R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得
f i (x )−f i (y )=∇f i (ξi )·(x −y ).
注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.
问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ⊂R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得
f i (x )−f i (y )=∇f i (ξi )·(x −y ).
注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.
此例表明,一般地我们不能指望f (x )−f (y )=Jf (ξ)(x −y )对某个ξ成立.
问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ⊂R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得
f i (x )−f i (y )=∇f i (ξi )·(x −y ).
注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.
此例表明,一般地我们不能指望f (x )−f (y )=Jf (ξ)(x −y )对某个ξ成立. 不过,我们有
(拟微分中值定理)
设D⊂R n为凸域,f:D→R m在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在ξ∈D,使得
f(x)−f(y) ≤ Jf(ξ) · x−y .
(拟微分中值定理)
设D⊂R n为凸域,f:D→R m在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在ξ∈D,使得
f(x)−f(y) ≤ Jf(ξ) · x−y .
证明.
基本的想法是对f的分量的线性组合应用微分中值定理.为此,不妨设f(x)=f(y).任意取定R m中的单位向量u=(u1,···,u m),记
g=u·f=
m
i=1
u i f i,
则g为D中可微函数.根据微分中值定理,存在ξ∈D,使得
g(x)−g(y)=∇g(ξ)·(x−y).
证明(续).
注意到∇g(ξ)=
m
i=1
u i∇f i(ξ).利用Cauchy-Schwarz不等式可得 ∇g(ξ) ≤
m
i=1
|u i|· ∇f i(ξ)
≤ u ·
m
i=1
∇f i(ξ) 2
1/2
= Jf(ξ) .
由g(x)−g(y)=u·[f(x)−f(y)]可得
u·[f(x)−f(y)]
≤ ∇g(ξ) · x−y ≤ Jf(ξ) · x−y .
在上式中取u=[f(x)−f(y)]/ f(x)−f(y) 就完成了定理的证明.。