数学分析 拟微分中值定理

数学分析(二):多元微积分

梅加强副教授

南京大学数学系

内容提要:

内容提要:

微分中值定理;

内容提要:

微分中值定理; 拟微分中值定理.

问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?

问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?设σ:(a,b)→R n为向量值函数,写成分量的形式为

σ(t)=

x1(t),···,x n(t)

,t∈(a,b).

设σ(t)的每一个分量都在t0处可导,且多元函数f在x0=σ(t0)处可微,则复合函数f?σ在t0处可导,且

f?σ

(t0)=?f(x0)·σ (t0),(1)

其中σ (t0)=

x

1

(t0),···,x n(t0)

.

问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?设σ:(a,b)→R n为向量值函数,写成分量的形式为

σ(t)=

x1(t),···,x n(t)

,t∈(a,b).

设σ(t)的每一个分量都在t0处可导,且多元函数f在x0=σ(t0)处可微,则复合函数f?σ在t0处可导,且

f?σ

(t0)=?f(x0)·σ (t0),(1)

其中σ (t0)=

x

1

(t0),···,x n(t0)

.

证明.

这是链式法则的直接推论.

(微分中值定理)

设D?R n为凸域,函数f:D→R在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在

θ∈(0,1),使得

f(x)?f(y)=?f(ξ)·(x?y),ξ=θx+(1?θ)y.(2)

(微分中值定理)

设D?R n为凸域,函数f:D→R在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在

θ∈(0,1),使得

f(x)?f(y)=?f(ξ)·(x?y),ξ=θx+(1?θ)y.(2)

证明.

令σ(t)=tx+(1?t)y,由D为凸域可知当t∈[0,1]时σ(t)∈D.对一元函数

?(t)=f?σ(t)用微分中值定理可知存在θ∈(0,1),使得?(1)??(0)=? (θ).由(1)式可得

?(1)??(0)=?f(ξ)·σ (θ)=?f(ξ)·(x?y),

其中ξ=σ(θ)=θx+(1?θ)y.由f(x)=?(1),f(y)=?(0)可知欲证结论成立.

问题:微分中值定理能否推广到向量值函数?

问题:微分中值定理能否推广到向量值函数?

设D?R n为凸域,f:D→R m为向量值的多元函数.设x,y∈D.对f的每一个分量f i应用微分中值定理可得ξi∈D,使得

f i(x)?f i(y)=?f i(ξi)·(x?y).

问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ?R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得

f i (x )?f i (y )=?f i (ξi )·(x ?y ).

注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.

问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ?R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得

f i (x )?f i (y )=?f i (ξi )·(x ?y ).

注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.

此例表明,一般地我们不能指望f (x )?f (y )=Jf (ξ)(x ?y )对某个ξ成立.

问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ?R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得

f i (x )?f i (y )=?f i (ξi )·(x ?y ).

注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.

此例表明,一般地我们不能指望f (x )?f (y )=Jf (ξ)(x ?y )对某个ξ成立. 不过,我们有

(拟微分中值定理)

设D?R n为凸域,f:D→R m在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在ξ∈D,使得

f(x)?f(y) ≤ Jf(ξ) · x?y .

(拟微分中值定理)

设D?R n为凸域,f:D→R m在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在ξ∈D,使得

f(x)?f(y) ≤ Jf(ξ) · x?y .

证明.

基本的想法是对f的分量的线性组合应用微分中值定理.为此,不妨设f(x)=f(y).任意取定R m中的单位向量u=(u1,···,u m),记

g=u·f=

m

i=1

u i f i,

则g为D中可微函数.根据微分中值定理,存在ξ∈D,使得

g(x)?g(y)=?g(ξ)·(x?y).

证明(续).

注意到?g(ξ)=

m

i=1

u i?f i(ξ).利用Cauchy-Schwarz不等式可得 ?g(ξ) ≤

m

i=1

|u i|· ?f i(ξ)

≤ u ·

m

i=1

?f i(ξ) 2

1/2

= Jf(ξ) .

由g(x)?g(y)=u·[f(x)?f(y)]可得

u·[f(x)?f(y)]

≤ ?g(ξ) · x?y ≤ Jf(ξ) · x?y .

在上式中取u=[f(x)?f(y)]/ f(x)?f(y) 就完成了定理的证明.