利用函数性质与图像比较大小

利用函数性质与图像比较大小

一、基础知识：

（一）利用函数单调性比较大小

1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则

[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则：

（1）()()()()()()()'

''f x g x f x g x f x g x =+

（2）()()()()()()

()'

''2

f x f x

g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭

3、常见描述单调性的形式

（1）导数形式：()()'0f x f x >⇒单调递增；()()'0f x f x <⇒单调递减 （2）定义形式：

()()

1212

0f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：

（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点

（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整

（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较

（二）数形结合比较大小

1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系

（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小

（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大

2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小 三、例题精析：

例1：对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足

()

'

20x

f x -≤，则必有（ ） A.()()()1322f f f +< B. ()()()1322f f f +≤ C. ()()()1322f f f +> D. ()()()1322f f f +≥ 思路：由

()

'

20x f x -≤可按各项符号判断出()2x -与()'

f x 异号，即2x <时，()'0f x <,2x >时，()'0f x > ()f x ∴在(),2-∞单调递减，在()2,+∞上单调递增 ()()min 2f x f ∴=，进而()()()()12,32f f f f >> ∴()()()1322f f f +> 答案：C

小炼有话说：相乘因式与零比较大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的符号。这样做可以简化表达式的运算。

例2： 已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()'f x ，当0x ≠时，

()()'0f x f x x

+

>，若()()11,22,ln 2ln 222a f b f c f ⎛⎫

==--= ⎪⎝⎭，则下列关于,,a b c 的

大小关系正确的是（ ）

A. b a c >>

B. a c b >>

C. c b a >>

D. b c a >> 思路：观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比较大小的,,a b c 的结构均为()xf x 的形式，故与不等式找到联系。当0x >时，

()()''0()()0f x f x xf x f x x

+

>⇒+>，即()()'

0xf x >，令()()g x xf x =，由此可得()g x 在()0,+∞上单调递增。()f x 为奇函数，可判定出()g x 为偶函数，关于y 轴

对称。()()1,2,ln 22a g b g c g ⎛⎫

==-= ⎪⎝⎭

，作图观察距离y 轴近的函数值小，ln 2 与

12可作差比较大小：()1114ln 22ln 21ln 0222e

-=-=> 进而可得：b c a >> 答案：D

例3：函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(),1x ∈-∞时，

()'1()0x f x -<

，设1(0),,(3)2a f b f c f ⎛⎫

=== ⎪⎝⎭

，则,,a b c 的大小关系是（ ）

A. a b c >>

B. b a c >>

C. b c a >>

D.

c a b >>

思路：由()(2)f x f x =-可判断出()f x 关于1x =轴对

称，再由()'1()0x f x -<，可得1x <时，()'0f x >，所以()f x 在(),1-∞单调递增，由轴对称的特点可知：

()f x 在()1,+∞单调递减。作出草图可得：距离1x =越

近的点，函数值越大。所以只需比较自变量距离1x =的远近即可判断出b a c >> 答案：B

例4：已知()f x 是周期为2的偶函数，且在区间[]0,1上是增函数，则

()()()5.5,1,0f f f --的大小关系是（ ）

A. ()()()5.501f f f -<<-

B. ()()()1 5.50f f f -<-<

C. ()()()0 5.51f f f <-<-

D. ()()()10 5.5f f f -<<-

思路：()f x 的周期为2，所以可利用周期性将自变量放置同一个周期内：()()5.50.5f f -=，而由()f x 偶函数及

[]0,1单调递增，作图可知在区间[]1,1-中，距离y 轴近的

函数值小，所以有()()()()00.5 5.51f f f f <=-<-