15-8双振子模型

专题15—8 弹簧双振子模型
结论
例：在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等，现突然给左端小球一个向右的速度V ，试分析从开始
运动到弹簧第一次恢复原长这一过程中两球的运动情况并求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度？ [析与解]：刚开始，A 向右运动，B 静止，A 、B 间距离减小，弹簧被压缩，对两球产生斥力，相当于一般意义上的碰撞，此时A 动量减小，B 动量增加。

当两者速度相等时，两球间距离最小，弹簧形变量最大。

接着，A 、B 不会一直做匀速直线运动，弹簧要恢复原长，对两球产生斥力，A 动量继续减小，B 动量继续增加。

所以，到弹簧第一次恢复原长时，A 球动量最小，B 球动量最大。

在整个过程中，系统动量守恒，从开始到第一次恢复原长时，弹簧的弹性势能均为零，即系统的动能守恒。

A B mv mv mv =+
222111222
A B mv mv mv =+ 解得： A v v =
0B v = （这组解即为刚开始两个物体的速度） 或 0A v =
B v v = （此组解为弹簧第一次恢复原长时两个物体的速度）
例1．图6所示，在光滑的水平面上，物体A 跟物体B 用一根不计质量的弹簧相连，另一物体C 跟物体B 靠在一起，但不与B 相连，它们的质量分别为m A =0．2 kg ，m B =m C =0．1 kg ．现用力将C 、B 和A 压在一起，使弹簧缩短，在这过程中，外力对弹簧做功7．2 J ．然后，由静止释放三物体．求：
(1)弹簧伸长最大时，弹簧的弹性势能．
(2)弹簧从伸长最大回复到原长时，A 、B 的速度．(设弹簧在弹性限度内)
2．木块a 和b 用一根轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，a 的质量1kg 紧靠在墙壁上，在质量为2kg 的b 上施加向左的水平力使弹簧压缩，储存36J 的势能，如图1所示，当撤去外力后，al 离开墙壁后弹簧的最大势能是多少？
图6
A
B C v
例3．如图8所示，木块B 和木块C 的质量分别为3/4M 和M ，固定在长为L ，劲度系数为k 的弹簧的两端，静止于光滑的水平面上。

一质量为1/4M 的木块A 以速度v 水平向右与木块B 对心碰撞并粘在一起运动，求弹簧达到最大压缩量时的弹性势能。

例4、两物块A 、B 用轻弹簧相连，质量均为2 kg ，初始时弹簧处于原长，A 、B 两物块都以v ＝6 m ／s 的速度在光滑的水平地面上运动，质量4 kg 的物块C 静止在前方，如图所示。

B 与C 碰撞后二者会粘在一起运动。

求在以后的运动中： （1）当弹簧的弹性势能最大时，物块A 的速度为多大?
（2）系统中弹性势能的最大值是多少?
例5如图2－4－6所示，光滑的水平面上有m A =2kg ，m B = m C =1kg 的三个物体，用轻弹簧将A 与B 连接．在A 、C 两边用力使三个物体靠近，A 、B 间的弹簧被压缩，此过程外力做功72 J ，然后从静止开始释放，求： （1）当物体B 与C 分离时，B 对C 做的功有多少？
（2）当弹簧再次恢复到原长时，A 、B 的速度各是多大？
例6 如图所示，质量为M 的水平木板静止在光滑的水平地面上，板在左端放一质量为m 的铁块，现给铁块一个水平向右的瞬时冲量使其以初速度V 0开始运动，并与固定在木板另一端的弹簧相碰后返回，恰好又停在木板左端。

求：
⑴整个过程中系统克服摩擦力做的功。

⑵若铁块与木板间的动摩擦因数为 ，则铁块对木块相对位移的最大值是多少？ ⑶系统的最大弹性势能是多少？
例7．在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”，这类反应的前半部分过程和下
m
M
述力学模型类似，两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直
v射向B球，如图所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度
体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m。

(1)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。

(2)求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

例8．如图4所示，在光滑水平长直轨道上，A、B两小球之间有一处于原长的轻质弹簧，弹簧右端与B球连接，左端与A球接触但不粘连，已知，开始时A、B均静止。

在A球的左边有一质量为的小球C以初速度向右运动，与A球碰撞后粘连在一起，成为一个复合球D，碰撞时间极短，接着逐渐压缩弹簧并使B球运动，经过一段时间后，D球与弹簧分离（弹簧始终处于弹性限度内）。

图4
（1）上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多少？
（2）当弹簧恢复原长时B球速度是多大？
（3）若开始时在B球右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在D球与弹簧分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设B球与挡板碰撞时间极短，碰后B球速度大小不变，但方向相反，试求出此后弹簧的弹性势能最大值的范围。

例9. 用轻弹簧相连的质量均为2kg 的A 、B 两物块都以
的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，
质量为4kg 的物体C 静止在前方，如图3所示，B 与C 碰撞后二者粘在一起运动。

求：在以后的运动中，
图3
（1）当弹簧的弹性势能最大时物体A 的速度多大？ （2）弹性势能的最大值是多大？ （3）A 的速度有可能向左吗？为什么？
★质量为m 的小球B 与质量为2m 的小球C 之间用一根轻质弹簧连接，现把它们放置在竖直固定的内壁光滑的直圆筒内，平衡时弹簧的压缩量为x 0，如图所示，设弹簧的弹性势能与弹簧的形变量（即伸长量或缩短量）的平方成正比。

小球A 从小球B 的正上方距离为3x 0的P 处自由落下，落在小球B 上立刻与小球B 粘连在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动。

已知小球A 的质量也为m 时，它们恰能回到O 点（设3个小球直径相等，且远小于x 0,略小于直圆筒内径），问小球A 至少在B 球正上方多少距离处自由落下，与B 球粘连后一起运动，可带动小球C 离开筒底。

1．1解析：(1)在水平方向上因不受外力，故动能守恒．从静止释放到恢复原长时，物体B 、C 具有相同的
速度v BC ，物体A 的速度为v A ，则有：
m A v A +(m B +m C )v BC =0 由机械能守恒得： E 弹=
21m A v Ａ２+2
1 (m B +m C )v BC ２
3x 0x 0
O
A
B
C
解得：v A =6(m/s),v BC =-6 m/s(取水平向右为正)．
此后物体C 将与B 分开而向左做匀速直线运动．物体A 、B 在弹簧的弹力作用下做减速运动，弹簧被拉长，由于A 的动量大，故在相同的冲量作用下，B 先减速至零然后向右加速，此时A 的速度向右且大于B 的速度，弹簧继续拉伸，直至A 、B 速度相等，弹簧伸长最大，设此时A 、B 的速度为v ．
由水平方向动量守恒可列式： m A v A +m B v BC =(m A +m B )v 由机械能守恒可列式：
21 m A v Ａ２+21 m B v BC ２=2
1 (m A +m B )v ２
+E 弹′ 解得：v =2 m/s,E 弹′=4．8 J
(2)设弹簧从伸长最大回到原长时A 的速度为v 1，B 的速度为v 2，由动量守恒可列式： (m A +m B )v =m A v 1+m B v 2 由机械能守恒又可列式：
21 (m A +m B )v ２+E 弹′=21 m A v １２+2
1m B v ２２
解得：v 1=-2 m/s(v 1=6 m/s 舍去)；v 2=10 m/s(v ２=-6 m/s 舍去)
此时A 向左运动，速度大小为2 m/s ；B 向右运动，速度大小为10 m/s ． 答案：（1）4．8 J （2）v A =2 m/s,v B =10 m/s
4解析：(1)当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大. 由A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒，
()()A B A B C ABC m m v m m m v +=++ (2分)
解得 (22)6
/3/224
ABC v m s m s +⨯=
=++
(2分)
(2)B 、C 碰撞时B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者速度为BC v ，则 m B v =(m B +m C ) BC v BC v =
4
26
2+⨯=2 m/s （2分） 设物ＡＢＣ速度相同时弹簧的弹性势能最大为E p ，
根据能量守恒E p =21(m B +m C )2BC v +21m A v 2-21(m A +m B +m C ) 2ABC v =21×(2+4)×22+21×2×62-2
1
×(2+2+4)×32=12 J (4分)
5解：（1）当弹簧恢复原长时，B 与C 分离，0=m A v A －（m B +m c ）v C ①，E P =221A A v m +2
)(2
1C C B v m m +②，对C 由动能定理得W =
2
2
1C C v m －0③，由①②③得W =18J ，v A =v C =6m/s ．
（2）取A 、B
为研究系统，m A v A －m B v C = m A v A ’ +m B v C ’，
221A A v m +221C B v m =21 m A v A ’
2+2
1 m B v C ’2， 当弹簧恢复到原长时
A 、
B 的速度分别为：，v A =v B =6m/s 或v A =-2m/s ， v B =10m/s ．
7．解析：（1）设C 球与B 球粘结成D 时，D 的速度为v1
，由动量守恒得
当弹簧压至最短时，D
与A 的速度相等，设此速度为v2，由动量守恒得
，由以上两式求得A 的速度。

（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为EP ，由能量守恒，有
撞击P 后，A
与D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转弯成D 的动能，设D 的速度为v3，则有
以后弹簧伸长，A 球离开挡板P ，并获得速度，当A 、D 的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时的速度为v4，由动量守恒得
当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为EP”，由能量守恒，有
解以上各式得。

8答案：（1）设C 与A 相碰后速度为v1，三个球共同速度为v2时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒，能量守恒有：
（2）设弹簧恢复原长时，D 球速度为 ，B 球速度为
则有
（3）设B 球与挡板相碰前瞬间D 、B 两球速度
与挡板碰后弹性势能最大，D 、B 两球速度相等，设为
9解析：（1）当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒，有
解得：
（2）B 、C 碰撞时B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者速度为，则
设物块A 速度为vA 时弹簧的弹性势能最大为EP ，根据能量守恒
（3）由系统动量守恒得
设A 的速度方向向左，
，则
则作用后A 、B 、C 动能之和
实际上系统的机械能
根据能量守恒定律，
是不可能的。

故A 不可能向左运动。

10解析：设小球A 由初始位置下落至小球B 碰撞前的速度为v 0,由机械能守恒得
mg3x 0=1
2 mv 02 (1)
所以v 0=6gx 0 (2)
设小球A 与小球B 碰撞后共同速度为v 1,由动量守恒得 mv 0=2mv 1 (3)
所以v 1=1
2 6gx 0 (4)
设弹簧初始的弹性势能为E P ，则碰撞后回到O 点时机械能守恒得
2mgx 0=1
2
2mv 12+E P (5)
由(1)(3)(5)式可得E P =1
2
mgx 0 (6)
小球B 处于平衡时，有（设k 为弹簧的劲度系数） kx 0=mg (7) 当小球C 刚好被拉离筒底时，有kx =2mg (8) 由（7）（8）可知，x =2x 0 (9)
根据题中条件可知，小球C 刚好被拉离筒底时，弹簧弹性势能E'P =4E P (10)
设小球A 至少在B 球正上方h 处高处下落，且与小球B 碰撞前速度为v 3,由机械能守恒，得 mgh =12 mv 32 (11)
设小球A 与小球B 碰撞后共同速度为v 4 ，由动量守恒可得： mv 3=2mv 4 (12)
由机械能守恒得1
2 2mv 42+E P =E 'p +2mg 3x 0 (13)
由(6)(10)(11)(12)(13)可得h =15x 0 (14)
评分标准：本题共16分。

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)各1分，(13)(14)各2分，如有其他正确解答，参照评分标准给分。