直线与角

直线与角

一、知识梳理

1. 直线、射线、线段

（1）线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点；

（2）经过两点有且只有一条直线；

（3）两点之间吗，线段最短．

2. 角

（1）角平分线；

（2）同角或等角的补角相等；

（3）同角或等角的余角相等．

3. 尺规作图

（1）作线段；

（2）作角．

二、例题讲解

1. 直线、射线、线段

例1. 下列关于作图的语句中正确的是( )

A ．画直线A

B ＝10厘米

B ．画射线OB ＝10厘米

C ．已知A ，B ，C 三点，过这三点画一条直线

D ．过直线AB 外一点画一条直线和直线AB 相交

例2 . 如图，已知AB 和CD 的公共部分BD ＝13AB ＝14

CD ，线段AB ，CD 的中点E ，F 之间的距离是10 cm ，求 AB ，CD 的长．

2. 角及角的有关计算

例3. 4点10分，时针与分针的夹角为()

A．55°B．65°

C．70°D．以上结论都不对

例4. 如图所示，两块三角板的直角顶点O重合在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD

的度数是________度．

例5. 如图，O是直线AB上一点，OC，OD是从O点引出的两条射线，OE平分∠AOC，∠BOC∶∠AOE∶∠AOD＝2∶5∶8，求∠BOD的度数．

3. 数学思想方法的应用

(1) 数行结合思想

例6. 往返于A，B两个城市的客车，中途有三个停靠站．

(1)共有多少种不同的票价(任何两站票价均不相同)?

(2)要准备多少种车票？

例7 . 如图，C ，D ，E 将线段AB 分成2∶3∶4∶5四部分，M ，P ，Q ，N 分别是AC ，CD ，DE ，EB 的中点，且MN ＝21，求线段PQ 的长度．

(3) 分类讨论思想

例8 . 已知线段AB ＝12，在AB 上有C ，D ，M ，N 四点，且AC ∶CD ∶DB ＝1∶2∶3，

AM ＝12AC ，DN ＝14

DB ，求线段MN 的长．

例9 . 已知OM 和ON 分别平分∠AOC 和∠BOC.

(1)如图，若OC 在∠AOB 内部，探究∠MON 与∠AOB 的数量关系；

(2)若OC 在∠AOB 外部，且OC 不与OA ，OB 重合，请你画出图形，并探究∠MON 与∠AOB 的数量关系．(提示：分三种情况讨论)

例10. 如图所示，一观测塔的底座部分是四棱柱，现要从下底面A点修建钢筋扶梯，经过点M，N到点D′，再进入顶部的观测室，已知AB＝BC＝CD，试确定使扶梯的总长度最小的点M，N的位置．

4. 线段或角的计数问题

例11. 先阅读文字，再解答问题．

如图，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，在一条直线上取三点可得到3条线段，其中以A1为左端点的线段有2条，以A2为左端点的线段有1条，所以共有2＋1＝3(条)．(1) 在一条直线上取四个点，以A1为左端点的线段有______条，以A2为左端点的线段有______条，以A3为左端点的线段有______条，共有______＋______＋______＝______(条)；

(2) 在一条直线上取五个点，以A1为左端点的线段有______条，以A2为左端点的线段有________条，以A3为左端点的线段有________条，以A4为左端点的线段有______条，共有______＋______＋______＋______＝______(条)；

(3) 在一条直线上取n个点(n≥2)，共有________条线段．

(4) 某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛(每两个班赛一场)，那么该校七年级这6个班的辩论赛共要进行多少场？

(5) 乘火车从A站出发，中间经过5个车站后方可到达B站，那么A，B两站之间最多有多少种不同的票价？需要安排多少种不同的车票？

例12. 为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示．

列表如下：

(1) 当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成________部分，可写成和的形式为________；

(2) 当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分；

(3) 当直线条数为n(n≥2)时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？

例13. 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，已知∠BAC，如果过角的顶点A：

(1) 如图①，在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？

(2) 如图②，在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？

(3) 如图③，在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？

(4) 在角的内部作n条射线，那么图中一共有几个角？

三、作业

1．有下列说法：

(1) 两条射线所组成的图形叫做角；

(2) 一条射线旋转而成的图形叫做角；

(3) 两边成一条直线的角是平角；

(4) 平角是一条直线．

其中正确的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

2．如图，已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB 的长度之比为( )

A．3∶4B．2∶3C．3∶5D．1∶2