抛物线的对称变换

抛物线的对称变换

直埠镇中吕晓亮

一、学习目标：探究关于坐标轴、原点对称的两条抛物线的解析式关系。

二、探究方法：结合图象，从对称的两条抛物线顶点、对称轴、开口方向、与y 轴交点对比入手，掌握数形特征。

三、例题解析：

引入：图形的变换是新课标下的初中数学中的重要内容，在复习二次函数时，可将它的图象抛物线进行关于x轴、y轴成轴对称或关于原点O(或它的顶点)成中心对称变换，求对应的抛物线的解析式。

解决这类问题可用两种方法：

1、一般式：关键是弄清a、b、c三个字母的几何意义。

2、顶点式：关键是能正确求出变换后的抛物线的顶点坐标及确定抛物线的开口方向。

例：已知抛物线y=-x2+2x+3，回答下列问题：

(1)求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式。

(2)求该抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式。

(3)求该抛物线关于原点O对称的抛物线的解析式

解：

分析：顶点P(1，4)，与x轴交点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交点C(0，3)，化为顶点式y=-(x-1)2+4

(1)

一般式：y=-x2+2x+3，在这个变换过程中，开口不变，点C(0，3)是不动点,所以

a、c不变，对称轴关于y轴对称，所以b变为-b。即y=-x2-2x+3。顶点式：y=-(x-1)2+4，抛物线的顶点P(1，4)关于y轴的对称点为P1(-1，4)，开口相同，所以，所求抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4.

小结：一般式：y=ax2+bx+c，关于y轴对称变为：y=ax2-bx+c

顶点式：y=(x-h)2+k，关于y轴对称变为：y=(x+h)2+k

(2)

一般式：y=-x2+2x+3，在这个变换过程中，开口方向由向下变为向上，与y轴交点纵坐标相反,所以a、c变为-a、-c，对称轴不变，所以b变为-b。

即y=x2-2x-3。

顶点式：y=-x2+2x+3的顶点P(1，4)关于x轴的对称点为P2(1，-4)，原抛物线y=-x2+2x+3在关于x轴对称的变换过程中，开口方向由向下变为向上，所求抛物线的解析式为y=(x-1)2-4

小结：一般式：y=ax2+bx+c，关于x轴对称变为：y=-ax2-bx-c

顶点式：y=(x-h)2+k，关于x轴对称变为：y=-(x-h)2-k

(3)

一般式：y=-x2+2x+3，在这个变换过程中，开口相反，与y轴交点纵坐标相反,所以a、c变为-a、-c，对称轴关于y轴对称，所以b不变，即y=x2+2x-3。顶点式：点P(1，4)关于原点O的对称点为P3(-1，-4)，原抛物线y=-(x-1)2+4在

关于原点对称的变换过程中，开口方向由向下变为向上，所求抛物线的解析式为y=(x+1)2-4

(在这个变换过程中，原抛物线y=-x2+2x+3上的点，都绕原点O旋转180°) 小结：

一般式：y=ax2+bx+c，关于原点对称变为：y=-ax2+bx-c

顶点式：y=(x-h)2+k，关于原点对称变为：y=-(x+h)2-k

四、当堂练习：

1、抛物线

关于y轴对称的抛物线解析式为。

关于x轴对称的抛物线解析式为。关于原点对称的抛物线解析式为。

2、抛物线

关于y轴对称的抛物线解析式为。关于x轴对称的抛物线解析式为。关于原点对称的抛物线解析式为。

五、总结：

关于轴对称

关于轴对称

关于原点对称

关于轴对称

关于轴对称

关于原点对称