数学美的形式与应用

教学美
数学美的形式与应用
● 王翠萍
研究科学美 、数学美现在已蔚然成风 ,这逐渐唤 醒了数学的主体意识 , 消除了 “数学枯燥乏味的偏 见”。数学是研究现实生活中的数量关系和空间形 式的客观存在的实体 , 为数学美提供了极其丰富的 内容 , 使它处处充满了美的情绪 、感受 、鉴赏和创 造 。正是这些构成了完整的数学美 , 它的主要形式 有和谐美 、对称美 、简单美 、奇异美和相似美等等 。
正如德国教育家第斯多惠所说“: 数学的艺术不 在于传授本领 ,而在于激励 、唤醒 、鼓舞 。”在数学教 学中充分展现数学美的特征 , 不仅可使学生获得美 的感受并能激发学生学习数学的兴趣 , 改善他们的 思想品质 ,促使他们以积极的态度和旺盛的精力 ,主 动求索 ,从而获得最佳教学效益 。
数学美是一种真实的美 ,是美的高级形式 ,是理 论思维与审美意识交融的产物 , 究竟数学美在何 处 ? 下面谈谈数学教学中如何应用数学美 , 通过怎 样的途径充分展示数学美的特征 , 提高教学艺术从 而激发学生的学习兴趣 。
一 、和谐美 “美和和谐总是一致的”。数学的和谐美是事物 发展的自然结果 , 不依人们的意志为转移 。在数学 学习中学生的思维程序紊乱现象较为普遍 , 用单一 的孤立方式思考问题“, 不善于将已学过的知识归纳
整理形成知识系统 。如黄金分割数 ( 5 - 1) / 2≈ 01618 就是数学和谐美的具体表现 , 在实际中 , 按黄 金分割数构造的图案给人以美的享受 。教师若能努 力挖掘教材中的潜在因素 , 充分展示数学中和谐美 的特征 , 就有利于形成学生良好的知识结构 。如股 市中的股票技术分析图 , 按黄金分割数来研判股市 走势 , 给人以收获 、兴趣 、快乐 。动听的音乐也是按 黄金分割数的节奏而传播 。再如立体几何中辛普松 公式 V = h (a1 + 4a0 + a2 ) / 6 (其中 h 为高 , a1 、a2 、a0 依 次为上下底和中截面积) 把柱 、锥 、台和球的体积计 算和谐地结合起来了 。若把 a1 、a2 、a0 依次看作上 、下 底边和中位线 ,又可把平行四边形 、梯形和三角形计 算和谐地统一起来 。又如复数 Z = Coθs + iSinθ = eθi 中 , 若令θ =π 时 , 得等式 eiπ + 1 = 0 , 它就把数学中 五个重要的数 0 、1 、π 、e 、i 巧妙地联系起来 。它除了
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给人以美的享受之外 , 在培养人的完善和谐的个性方
面能起到潜移默化的作用 。
二 、对称美
数学的形式和结构无不充满着对称特性 , 但对称
美不仅仅在数学形式上 , 更重要的是让学生自觉地运
用对称性质解决某些具体问题 , 以提高分析问题的能
力 。一切平面图形中最美的是圆形 , 因为圆在各个方
向都对称 ,圆完美无缺 ,无可非议 。又如 A ∪B = A ∩B
教学美
语 文 教 学 美●
陈 学
浅福 谈
常言说 : “爱美之心 , 人皆有 之 。”如果把“美感教育”应用于语 文教学 , 使学生在学习过程中处处 得到美的享受 , 就必然会激发起他 们的学习兴趣 , 调动他们学习的积 极性 。他们能积极主动地学习语 文 , 学习效率也就会大大提高 。那 么 , 怎样才能使学生在学习过程中 得到美的享受呢 ? 我认为应做好以 下几个方面的工作 。
等式 , 提示证法特点 , 要求学生找出用同样的方法证 明三角公式 , 不难找出三倍角公式 cos3θ = 4cos3θ 3coθs ,sin3θ= 3sinθ- 4sin3θ。可见数学的相似美作用 , 可使许多类似的问题化为统一解法 ,从而达到异中求 同的目的 。
以上是几种数学美的主要形式及应用 ,但数学美 不止这几种形式 ,还包括普通美等 。同时数学中的曲 线不仅具有柔和而流畅的外形 ,而且还可赋予丰富深 刻的蕴含 。螺旋线蜿蜒伸拓 , 暗示着某种人生真谛 ; 渐近线欲达而不能 ,激起人们不懈的追求 ……
一 、多选美文展现美 许多人之所以带着浓厚的兴趣 主动花钱到一些旅游圣地游览 , 就
是因为那里的风景优美 。语文教学 也是这样 ,如果教材多选一些美文 , 同样会吸引学生主动阅读并产生浓 厚的兴趣 , 学生像游览风景名胜那 样去学习语文 , 也必然会大有收 获 。因此 , 教材应多选一些适合学 生阅读 、启人心志而又生动活泼的 美文 , 使它们能够真正吸引学生 。 如果教材所选的文章味同嚼蜡 , 让 学生望而生厌 , 尽管老师作了很大 努力 ,也是徒劳无益的 。所以 ,要想 提高语文教学质量 , 首先必须做好 语文教材的选编工作 , 这是搞好语 文教学的前提 。
四 、奇异美
数学的结构在一定领域内具有相对的稳定性 ,而 奇异性恰巧是对这种稳定性的破坏 , 当然这种“破坏 是数学中的新思想 、新理论 、新方法 ,对原有习惯的一 种美的突破 。”如问 coθs 什么时候大于 1 ?学生感到很 惊奇 , 这时老师充分应用数学美中奇异美的感染力 , 以引起学生浓厚的学习兴趣和强烈的探究欲望 ,因而 提示 θ: 一般是在实数范围内研究的 ,若推广呢 ?学生 受到启发后 , 马上说出当θ= i 时 , coθs = 1/ 2(eθi + e - θi ) = > cosi = 1/ 2 (1/ e + e) > 1 , 这使学生们感到兴 味盎然 , 兴奋不已 。又如 , 有个学生在做题时发现三 个这样的数 : 124124 , 825825 , 519519 都能被 13 整除 , 觉得既好奇又奇异 ,产生了继续研究的兴趣 。在这三 个数奇异美的驱使下 , 在教师的引导下 , 他对一些这 样的数进行尝试 , 结果总结出一个规律 : abc000 + abc = abc (1000 + 1) = 1001abc , 而 1001 ÷13 = 77 , 做出 了一个创造 。
总之 , 将数学美与大中小学数学教学结合起来 , 贯彻数学美的教育方式 ,进行数学改革试验 。在数学 教学中教师有意识地培养学生的数学美感直觉 ,引导 学生分析现存知识结构的缺陷 ,提出反映“和谐美”特 征的课题或是改进已有解题方法的缺点 , 寻求具有 “简单美”特征方法 ,或是对面前的数学概念质疑问题 构造带有“奇异美”特征的反例 , 运用相似美 、对称美 分析解决问题 ,我们的数学美学就会促成数学教学的 最佳效益 。
五 、相似美
数学中的具体内容和形式之间的相似现象构成
了数学的相似美 ,如代数式的相似 、图形的相似 、命题 结构的相似等 。重要的相似命题存在着相似的解法 。
因此 , 相似美为我们解决一类问题开辟了广阔的天 地 。若在数学中注意到相似美 ,则可做到异中求同 。
如应用“复数相等”的概念证明了三角中的二倍角公 式 cos2θ= cos2θ- sin2θ, sin2θ= 2sinθcoθs 后 , 同时应用 二项式定理及棣莫佛定理由复数相等概念的欲证之
二 、巧设悬念渲染美 游客之所以渴望到某景区旅 游 , 主要因为他们提前听到各种媒 体的宣传 , 知道某景区很美 。语文 老师在教有些课文的时候 , 也可以 通过某些方式对课文的“美景佳处” 进行渲染 , 以造成悬念 , 吸引学生 , 使学生首先产生阅读此文的渴望 , 有一种“不读此文实在是一大遗憾” 的感觉 ,那么 ,学生也就自然有浓厚
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源自文库
刻划浩瀚宇宙天体的运行轨道 , 如此简单的一个数学
式子 ,真称得上奇妙无比 ,美不胜收 。还有许多数学问
题虽然表面形式可能较复杂 , 但其本质总存在简单的
一面 。例“关于 x 的方程 ax2 + 2 (a - 1) x + 4a - 7 = 0 (a ∈
N) ,a = ?方程至少有一个整数根 ? ”若用求根公式求出
于挖掘创设情景 , 让学生鉴赏 、体会树立对称美的意
识 ,进而培养学生自己去发现美的源泉 ,定能激发学生
学习的极大兴趣 。
三 、简单美
简单本是人们做事追求的目标 , 做任何事情是越
简单越好 。在学习数学过程中 , 要把握事物的主要矛
盾 , 把握事物内部最简单最基本的联系 。教师在教学
中提示数学的简单美的特征 , 能够促进学生思维灵活
与 A ∩B = A ∪B 体现了美的对称性 , 只要注意其中的
π
Θ 美 , 也就记住了公式 。再如
2 π
Sin7 xdx
=
0
被积函数
-2
Sin7 x 是奇函数 , 关于原点对称 , 在对称区间上的定积
分为零 ,对称美的这种牵连为解题带来了方便 ,对称美
确实缩短了解题途径 。教师在教学中引导学生只要善
x ,再由 a 的值来讨论 ,运算较为复杂 。若注意到参数 a
的最高次数为一次 , 把方程看作 a 的方程 , 即 a = 2x +
7/ (x + 2)2 及 2x + 7 ≥(x + 2)2 (x ∈Z) ,可确定 a 的值 。这
样讨论整数根 x 的存在就简捷多了 。因此对复杂问题
我们可寻求多种渠道来探索最简单方式 ,以追求美 。
与深刻发展 。如二次函数式 y = ax2 (a ≠0) 看似简单却 应用广泛 ,展现了简单美的一种意境 ,它既可描述自由
落体运动规律 S = /: gt2 , 又可以表达爱因斯坦质能公 式 E = mc2 , 还可用来计算圆的面积 S =πr2 , 而通过二
次函数的图象 ,既可以描绘乒乓球的运动轨迹 ,又可以