完整版勾股定理中的折叠问题

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勾股定理在折叠问题中的应用（讲义和习题）含答案

勾股定理在折叠问题中的应用（讲义和习题）含答案勾股定理在折叠问题中的应用（讲义）课前预习1. 观察图形，回顾轴对称的性质：（1）全等变换：对应边________，对应角_________；（2）对应点所连的线段被对称轴_____________．2. 如图，乐乐将△ABC 沿DE ，EF 分别翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠DOF =139°，则∠C 的度数为（） A ．38°B ．39°C ．40°D ．41°3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6，BC =8，点D 在BC 边上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处．设DE 的长为x ，则CD =__________，BD =_________．（用含x 的代数式表示）知识点睛1. 轴对称（折叠）的思考层次（1）全等变换：对应边_______、对应角_______．（2）对应点与对称轴：①对应点所连线段_____________________；lA'B'C'CBAOFED CB ADEABC②对称轴上的点_______________________．（3）组合搭配：长方形背景下的折叠常出现______三角形．（4）作图：核心是确定_______和_______，有时需要依据不变特征分析转化，然后再补全图形．特征举例：①对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线；②折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上．精讲精练1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，点D 在BC 边上，将直角边AC沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为__________．第1题图第2题图2. 如图，在长方形ABCD 中，AB =5 cm ，在DC 上存在一点E ，将△AED 沿直线AE 折叠，使点D落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为30 cm 2，则EF 的长为_______．3. 如图，在长方形ABCD 中，点E 在AB 边上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处．若AE =5，BF =3，则CF 的长为_______．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，将△ABC折叠，使点B 与点A 重合，折痕分别交AB ，BC 于点D ，E ，则BE=__________，DE=__________．第4题图第5题图5. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处，点A 的对应点为A'．若B'C =3，则AM 的长为__________．DEA BC F ED C BA BFCDA EDEAB CMCBDAB'A'6. 如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，若AB =2，BC =4，则AM =______．第6题图第7题图7. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =5，现将该长方形沿BD 折叠，使点C 落在点C′处，BC′交AD 于点E ，则AE 的长为________．8. 如图，在长方形ABCD 中，AB =15 cm ，点E 在AD 上，且AE =9 cm ，连接EC ，将长方形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则A'C =_________．9. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则EF 的长为_________．第9题图第10题图10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC=2，将△ABC 沿直线l 翻折，点A 落在边BC 的中点D处，直线l 与边AC 交于点E ，则AE 的长为_________．11. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点P 在线段AC 上．若将△PBC 沿PB 折叠，使点C 的对应点C ′落在AB 边上，则BP 的长为_________．BC FAENMD EDCBAC′A'B ADCEFCBEDAC'第11题图第12题图12.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是边BC上一点，BE=5，点F是射线BA上一动点，连接EF，将△BEF沿着EF折叠，使点B的对应点P落在长方形一边的垂直平分线上，连接BP，则BP的长为_________．13.如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△B′CE为直角三角形时，BE的长为_________．【参考答案】课前预习1.（1）相等，相等；（2）垂直平分.2. D3.x，8x知识点睛1.（1）相等、相等（2）①被对称轴垂直平分；②到对应点的距离相等（3）等腰（4）对称轴，对应点精讲精练1. 3 cm2.13cm 53.124.5 25.26.138AC BFEDCBAPDCBAEB′7.8 58.8 cm10.5 411.12.13.32或3勾股定理在折叠问题中的应用（习题）例题示范例1：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC 沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在AC边上的点B′处，若折痕交BC于点E，则B′E的长为_________．思路分析：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4由勾股定理，得AC=5找折痕，转移，表达设B′E=x，由折叠，得BE=B′E=x，AB′=AB=3∴CE=4-x，B′C=2利用勾股定理列方程在Rt△EB′C中，由勾股定理，得x2+22=(4-x)2解得x=32B'ACB复习巩固1. 如图，直角三角形纸片OAB ，∠AOB =90°，OA =1，OB =2，折叠该纸片，使点B 与点A 重合，若折痕交OB 于点C ，交AB 于点D ，则OC 的长为_________．2. 如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，若AB =4 cm ，BC =5 cm ，则EF 的长为________．3. 如图，在长方形纸片ABCD 中，AD =8，折叠纸片使点B 落在线段AC 上的点F 处，折痕交BC 于点E ，若EF =3，则AB 的长为_________．4. 如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，若折痕交BC 于点D ，交AB 于点E ，则CD =________，DE =_________．5. 如图，正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将AB ，AD 分别沿AE ，AF 折叠，点B ，D 恰好都落在点G 处，已知BE =1，则EF 的长为_________．O BCADFCBEDFEABC DDCBA6. 如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D′，点C 落在C′处．若AB =6，AD′=2，则DM =________，CN =_________．7. 如图，长方形ABCD 中，AB =8，BC =4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在点D′处，则重叠部分△AFC 的面积为_________．8. 如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ．若BC =8，AB =4，则AE =_______，EF =________．9. 如图，将长方形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕分别交AD ，BC 于点E ，F ，若AB =3，AD =4，则DE 的长为______．GF E DCBA D'C'NMDAD'D'EABC DF10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若点D在线段BC上，将△ABC沿AD折叠，使点C的对应点C′恰好落在AB边上，则BD的长为_________．11.如图，长方形ABCD中，AB=10，点P是射线AD上一动点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A的对应点A′ 到直线BC的距离等于6，则AP的长为_________．12.如图，长方形ABCD中，AB=12，AD=5，点E是CD边上一点，连接AE，把∠D沿AE折叠，使点D落在点D′处．当△CD′E为直角三角形时，DE的长为____________．【参考答案】例题示范4.3 2复习巩固1.34B CA DAPAB CDA'D'EBCAD2.5 cm 23. 64.7cm4，15cm45.5 26.103，437.109.7 810.5 311.5或2012.103或5。

勾股定理折叠问题

CB ADE一、折叠问题1、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？2、折叠矩形ABCD 的一边AD ，使D 落在BC 边上的F 处，得折痕AE ，若AB ＝8，BC=10，求CE,CF,EF3、如图，将矩形ABCD 纸片沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在边BC 的F 处，已知3,CE cm =8AB cm =，求图中阴影部分的面积．4、如图，已知长方形ABCD 中AB =8 cm,BC =10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.5、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于________ 。

A CD F ／E图56、将矩形ABCD（A B﹤AD）沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8㎝，AB=4㎝，求三角形BED的面积。

7、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为8、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。

9、P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积.二、生活应用D ˊABCD A ˊ B ˊC ˊ1、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.2、八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面。

勾股定理应用中的翻折问题

4
3 x 2
C
2
1 1 3 (4 x ) 5 x 2 2 3 12 3 x 5 x x 2
3
A x
3
x
E5
3 B
G
4
4-x
训练1:
长方形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
42 (8 x)2 x 2
解： H
x2+32=(9-x)2
x=4 9-x=5
D
3 A 9-x
E
5 5 10 9-x
C 3
4 x 9 F 1 G
B
1、如图，在△ABC中，AB=AC=17， BC=16，求△ABC的面积。
(2)求腰AC上的高。
A
17 8
17 15 B 8 D 16
C
2、如图6，在锐角△ABC中，AD⊥BC， AB=15 ， AD=12 ， AC=13 ，求△ ABC 的周长和面积。
B
D x
如图，∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3， BC=4，DE=EF=2，则求AF的长。 A 3 B 3 2 4 C 3 D
10 E 2 2 F
4
2
如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 B A 1 C 1 A′ P 4 4 5 2 D 1 E
A 15 B 9 12 13 C
D 5
如图，将一根25cm长的细木棍放入长，宽高分别为8cm、6cm、和 10 3 cm的长方体无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长度是多少？ 25

利用勾股定理解决折叠问题

利用勾股定理解决折叠问题
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若 ∠B=30°，AC= 3，求DC的长。 B
E D
C
图1
A(B)
长方形中的折叠
例2：如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边 AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知 AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，
∴AF=AD=10cm，EF=ED，
AB=8 cm，EF＋EC=DC=8cm， ∴在Rt△ABF中
A
D
BF AF2 AB2 102 82 6cm
FC=BC-BF=4cm 设EC=xcm ,则EF=DC－EC=(8－x)cm
E
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
课堂小结
❖ 1、标已知； ❖ 2、找相等； ❖ 3、设未知，利用勾股定理，列方程； ❖ 4、解方程，得解。
EC²=FC²=EF² 即x²＋4²=（8－x）²，x=3cm，
B
F 图2
C
∴EC的长为3cm。
发挥你的想象力
❖ 长方形还可以怎样折叠，要求折叠一次，给出两个已知条件，提出问题，并解答问题。
EAEຫໍສະໝຸດ DDCAD
F
B F
C
C
A
B
B
E FC
课堂小结
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。

勾股定理中的折叠问题(分类整理版)

勾股定理中的折叠问题
1、如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求
线段BN的长．
2、在一张直角三角形纸片中,两条直角边BC等于6,AC等于8,将三角形ABC按如图所示的方式折叠,使点A 和点B重合,折痕为DE,求CD的长
3、如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）
的面积．
变式：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在
斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。

4、如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10CM,求DE的长
5、在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后,点D恰好在对角线AC上的点F处、求EF的长。

6、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落
在CD边上的点G处，求BE的长.
7、如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
（1）试说明：AF=FC；
（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长．。

勾股定理中的折叠问题

1、标已知；2、找相等；3、设未知，利用勾股定理，列方程；4、解方程，得解。
(3) 折叠重合的两部分图形关于哪条直线成轴对称？
2.折叠直角三角形纸片，使点 C 落在 AB 上的点 E 处．已知 BC=12，∠B=30°， ∠C=90°，求 DE 的长 4.一张直角三角形的纸片，如图所示折叠，使两个锐角的顶点 A、B 重合。若
A E B∠B=30°，A Nhomakorabea=，求 DC 的长。
D
勾股定理中的折叠问题
1.如图，折叠直角三角形纸片，使点 C 落在 AB 上的点 E 处．折痕为 AD。 (1)你能找出其中全等的三角形吗？ (2)图中有哪些相等的角和相等的线段？ 3.直角三角形纸片 ABC，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠△ABC 的一角，使点 B 与点 A 重合，展开得折痕 DE，求 BD 的长．
E A F D
B
C
6. 如图，将一矩形纸片 OABC 放在直角坐标系中 ,O 为原点 ,C 在 x 轴上,OA=6,OC=10.，OA 上取一点 E，将△EOC 沿 EC 折叠，使 O 落在 AB 边上的 D 点，求 E 点的坐标。
8.如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B′的位置，AB′与 CD 交于点 E.若 AB=8，DE=3，P 为线段 AC 上的任意一点，PG⊥AE 于 G，PH⊥EC 于 H，试求 PG+PH 的值，并说明理由.
C
1、标已知；2、找相等；3、设未知，利用勾股定理，列方程；4、解方程，得解。
勾股定理中的折叠问题
5.如图所示，将长方形纸片 ABCD 的一边 AD 向下折叠，点 D 落在 BC 边的 F 处。已知 AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求 EC 的长。 7．如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F ，连结 AE ．（1）证明： BF DF ．（2）若 AB=6，BC=10，求 AF 的长

利用勾股定理解决图形折叠和求图形面积的问题

（2）注意折叠中90度角的位置变化，通常在折叠后，因为90度角的位置变化，会产生直角三角形，进而可以运用勾股定理求解。
思路点拨:
（1）折叠问题的变与不变，变的是折叠前后图形的位置，不变的是折叠前后图形的形状和大小，因此折叠前后的两个图形是全等的，进而可以利用全等的性质求解。
（2）注意折叠中90度角的位置变化，通常在折叠后，因为90度角的位置变化，会产生直角三角形，进而可以运用勾股定理求解。
（3）学会将待求量设为未知数，通过勾股定理建立等量关系式，从方程的思想看待问题，从而将几何问题代数化。
题一
如图，长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC 上的F处，已知AB＝6，BC=10，则EC等于( ) A．3 B．C＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线 BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段 DE的长为( ) A．3
思路点拨:
（1）折叠问题的变与不变，变的是折叠前后图形的位置，
不变的是折叠前后图形的形状和大小，因此折叠前后的
两个图形是全等的，进而可以利用全等的性质求解。
思路点拨:
（1）折叠问题的变与不变，变的是折叠前后图形的位置，不变的是折叠前后图形的形状和大小，因此折叠前后的两个图形是全等的，进而可以利用全等的性质求解。
（2）利用数形结合思想，将已知条件和分析过程标在图上，通过勾股定理建立等量关系式，将几何问题代数化，进行求解。
B.15/4 C．5
D.15/2
题三
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图
中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，
那么△ADC′的面积是(
)．
总结：
（1）在折叠问题中注意找相等的边和相等的角，注意90度角位置发生的变化。

勾股定理折叠问题

勾股定理折叠问题勾股定理是数学中最基础的定理之一，又被称为“经典的三角形定理”。

它的核心概念是当两条边的平方相加等于第三条边的平方，那么这个三角形便是直角三角形，这时这条等式就可以写成a2 + b2 = c2。

勾股定理也可以用来解决各种折叠问题。

折叠问题是一种要求将若干张尺寸不同的纸条组合成特定形状的搭建问题。

例如有一张尺寸为的纸条，要求将其折叠成三角形的形状，那么就可以使用勾股定理来解决这样的折叠问题。

已知三角形的两条边a和b，要求折叠纸条拼凑成直角三角形，可以使用勾股定理来解决。

首先，将纸条折叠成两个小三角形，其中一个三角形的边长为a，另一个三角形的边长为b，根据勾股定理，就可以求出两小三角形的高度，即c，将两个小三角形拼接成一个直角三角形，假设将其拼接的角度为γ，则γ的大小可以根据勾股定理求出，即γ = arccos（）。

可以看出，使用勾股定理可以很方便地解决折叠问题，有助于提高工作效率。

然而，由于折叠问题的复杂性，有些折叠问题可能是无法通过勾股定理来解决的。

比如，当纸条尺寸比较大时，很难将其精确地折叠成要求的形状，或者特定形状需要纸条折叠多次，在折叠过程中精确度可能会有所损失，从而使用勾股定理解决折叠问题变得更加困难。

另外，在折叠问题中，也有一些特殊情况需要考虑。

比如，在折叠一个尺寸为的纸条时，有可能出现三角形不能顺利折叠的情况，或者当纸条数量有限时，也有可能出现无法精确折叠的情况。

此时，就需要考虑其他对解决折叠问题的办法。

总之，在折叠问题中，勾股定理可以作为一种参考，有助于计算纸条折叠后形状的精确度、大小等，但是当出现特殊情况时，就需要采取其他更有效的方法来解决折叠问题了。

勾股定理的折叠问题课件3

解： H D 3 A 9-x E 5 5 10 9-x 4 x 9 F 1 G
x2+32=(9-x)2
x=4 9-x=5
C 3 B
专题四展开思想
1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。 2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。
例1:如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点 A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是 ( B ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 2
4
3 x 2
C
2
1 1 3 (4 x ) 5 x 2 2 3 12 3 x 5 x x 2
3
A x
3
x
E5
3 B
G
4
4-x
训练1:
长方形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
42 (8 x)2 x 2
Ａ
A
２０
20
2 3
Ｃ 3 ２ 3 2
B
3
∵ AB2=AC2+BC2=625, ∴ AB=25.
2 Ｂ
例 4:. 如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
5
C
B
20
15
A A
B C B
平面展开问题如图所示，现在已测得长方体木块的长3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。
H G F B
D A C

专题勾股定理与折叠问题

专题：勾股定理在折叠问题中应用.知识要点一. 1）折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等（）利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算.（2.典例解析二（一）三角形的折叠落CADAC沿折叠，使点，AB=10，D为BC上一点，将Rt1.如图，⊿ABC中，∠C=90°，AC=6的长AB上，求CD在AC′C B DB重合，与点A沿为中，∠如图，2.Rt⊿ABCC=90°， DAB上一点，将⊿ABCDE折叠，使点的长，求①若AC=4，BC=8CE ADB C E②若，求折痕DE的长BC=32AC=24，DB C E（二）矩形的折叠BD上，1.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线AGAB = 2得折痕DG，若，BC = 1，求CD′A?BA G的求 ECAB=8cm，BC=10cm，边的点2.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BCF 处，已知DA长.EB FC在的边OAx轴上，变式：如图．在直角坐标系中，矩形ABC0AC，轴上，点边0C在yB的坐标为（13），将矩形沿对角线翻折，B的．那么点轴于点交点的位置，且ADyED点落在D坐标为ABC=8cmAB=4cm如图，矩形纸片ABCD，，，现将、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF3.的长；①求DF′Ｄ②求重叠部分△AEF的面积；ＦＤＡEF的长.③求折痕ＣＢＥ（三）正方形的折叠MN落在F处，折痕为落在BC边的中点E处，点A的正方形1.将边长为8cmABCD折叠，使D的长；①求线段CN A D M′AN②求AM；C B E③求折痕MN的长CDABCDMN折叠，使点落在边上的正方形纸片，将其沿变式：如图，四边形是边长为9B???3?BC，且对应点为，则处，点的的长是___________.AAMBA。

专题：勾股定理折叠问题 PPT课件

的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC 20cm宽，AB 16cm
的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落
在BC边上的F处，…… 请你根据①②步骤解答下列问题：
（1）找出图中∠FEC的余角；
A
D
（2）计算EC的长．
E
B
FC
３．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，现将A、
二、矩形的折叠
１．如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1，求AG。
D
C
• A´
AG
B
2.为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的
庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都
在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品
5、动ห้องสมุดไป่ตู้操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，
使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的
端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E
在BC边上可移动的最大距离为
.
BE
C
P
A
QD
6、把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3， PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_______。
C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，
①求DF的长；
②求重叠部分△AEF的面积；
③求折痕EF的长。
Ｄ´
④着色部分的面积为多少？Ａ
ＦＤ
ＢＥ
Ｃ

利用勾股定理解决折叠问题

A D
E
B F C
抽查清：8号同学只做第一问，其余全做
如图，沿AE折叠长方形ABCD，使点D 恰好落在BC边的点F处，已知AB=8cm BC=10cm （1）求CE的长 A D （2）求S△AEF E
B
F
C
利用勾股定理解素，明确解题思路，掌握解题步骤. 2. 能正确利用勾股定理解决有关折叠问题.
题型一：求线段长度
如图，有一长方形纸片ABCD,长AD=9 宽AB=3，若将其折叠，使点D与点B重合，求DE的长. E D 解：由折叠可知：DE=BE
A B
设DE=X 则 BE=X AE=9-X 在Rt△ABE中，∠A=90°
F C′ C
根据勾股定理可得：
32+（9-X）2=X2
解得：X=5
∴DE=5
变式训练（一）：
如图所示，折叠长方形ABCD的一边AD, 使点D落在BC边的F处，已知AB=8 BC=10 求CE的长.
A
D
E
B
F
C
变式训练（二）：
题型二：求线段的取值范围（走进中招）如图折叠长方形纸片ABCD，使点B落在边AD 上的点F处，折痕EG 的两端分别在AB、BC上（含端点） AB=6 BC=10，求点F和点A的最远距离和最近距离. 求 AF 的取值范围 . G C B
2≤AF ≤ 6
E A
F
D
当堂训练：
如图，折叠一个长方形纸片，沿着AE 折叠后，点D恰好落在BC边的以点F处，已知AB=8 BC=10 求S△EFC
如图，长方形ABCD中，AB=12 BC=5 点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的以点A′ 处，求AE的长.

勾股定理应用中的翻折问题

D
E B
P
M
A
N Q
如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点 A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围 100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以 18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?
N
D E 60 B 60 80 100
x=6 BC=2x=12
16-x 8
S
ABC
1
12 8
B
48
2
x
Dx
C
如图，∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3， BC=4，DE=EF=2，则求AF的长。
A
3
B
C
3
4
3 10
E
D
2
2
2
F
4
2
如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。
度是多少？
25 E 5
10 3
20
C6
10 B
D
8
A
如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°, 点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时, 周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?
勾股定理之折
叠问题
SC SA+SB=SC SA a c
b
a2+b2=c2 SB

初中数学勾股定理处理折叠4种模型及求最值3种方法

勾股定理处理折叠4种模型及求最值3种方法模型1 折叠构造直角三角形1．（2019•保定二模）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．4B．3C．2D．5【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解【解析】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x∵D是BC的中点，∴BD＝3在Rt△NBD中，x2+32＝（9﹣x）2，解得x＝4．即BN＝4，选A模型2 折叠构造三垂直图形2．（2019秋•青岛期中）已知，如图，点E是长方形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿着AE对折，点D 恰好折叠到边BC上的F点，若AD＝10，AB＝8，那么AE＝5√5．【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理即可得到结论【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠B＝C＝∠D＝90°∵将△ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点∴AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，∴BF=√AF2−AB2=√102−82=6，∴CF＝4∵EF＝DE＝8﹣CE，∴（8﹣CE）2＝42+CE2，∴CE＝3，∴EF＝5∴AE=√AF2+EF2=√102+52=5√53．（2020春•西城区校级期中）如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE 折叠后点D恰好落在BC边上的点F处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得P A+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．【分析】（1）先判断出AF＝AD＝8，进而利用勾股定理求出BF＝6，最后在Rt△ECF，利用勾股定理，即可得出结论（2）先作出点E关于BC的对称点E，进而求出DE'，再利用勾股定理即可得出结论【解析】（1）长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝8在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=√AF2−AB2=6∴CF＝BC﹣BF＝4设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2∴16+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CE＝3（2）如图，延长EC至E'使CE'＝CE＝3，连接AE'交BC于P此时，P A+PE最小，最小值为AE'∵CD＝8，∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11在Rt△ADE'中，根据勾股定理得，AE'=√AD2+DE′2=√221模型3 折叠构造全等三角形4．（2019春•思明区校级期中）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的纵坐标为（）A．﹣2B．﹣2.4C．−2√2D．−2√3【分析】由折叠的性质和平行线的性质得出证出∠DBO＝∠BOA，证出BE＝OE，得到DE＝AE，过D作DF⊥OE于F，利用勾股定理及面积法求出DF的长即可．【解析】∵点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），∴OA＝8，OC＝4由折叠得：∠CBO＝∠DBO，OD＝OC＝4，BD＝BC，∠ODB＝∠OCB∵四边形ABCO是矩形∴BC∥OA，OC＝AB＝4，∠OCB＝∠BAO＝90°，BC＝OA＝8∴∠CBO＝∠BOA，∠ODE＝90°，BD＝OA，∴∠DBO＝∠BOA∴BE＝OE，∴DE＝AE设AE＝x，则BE＝OE＝8﹣x在Rt△ABE中，根据勾股定理得：42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3即OE＝5，DE＝AE＝3过D作DF⊥OA于F∵S△OED=12OD•DE=12OE•DF，∴DF=3×45=125=2.4∴点D的纵坐标为﹣2.4，选B5．（2019春•红河州期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为103．【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE＝AB，已知AC的长，可将CE的长求出，再根据勾股定理可求BD的长．【解析】在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=10根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10，DE＝BD∵AC＝8，∴CE＝AE﹣AC＝2在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2，∴BD2＝（BC﹣BD）2+CE2，∴BD2＝（6﹣BD）2+4∴BD=10 36．（2017秋•成华区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠，使点B落在矩形内点B′处，连接CB′，则CB′的长为185．【分析】连接BB′，根据三角形的面积公式求出BH，得到BB′，根据直角三角形的判定得到∠BB′C＝90°，根据勾股定理求出答案．【解析】连接BB′交AE于H∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3又∵AB＝4，∴AE=√AB2+BE2=√42+32=5，∴BH=125，则BB′＝2BH=245∵B′E＝BE＝EC∴∠BB ′C ＝90°，根据勾股定理得，CB ′=√BC 2−BB′2=√62+(245)2=1857．（2020•张家港市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG （1）求证：△ABG ≌△AFG （2）求∠EAG 的度数（3）求BG 的长【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB ＝AF ，∠B ＝∠AFG ＝90°，利用HL 得△ABG ≌△AFG （2）由（1）可得∠F AG =12∠BAF ，由折叠的性质可得∠EAF =12∠DAF ，继而可得∠EAG =12∠BAD ＝45° （3）首先设BG ＝x ，则可得CG ＝6﹣x ，GE ＝EF +FG ＝x +3，然后利用勾股定理GE 2＝CG 2+CE 2，得方程：（x +3）2＝（6﹣x ）2+32，解此方程即可求得答案【解析】（1）证明；在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ＝CD ，∠D ＝∠B ＝∠BCD ＝90° ∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE∴AD ＝AF ，DE ＝EF ，∠D ＝∠AFE ＝90°，∴AB ＝AF ，∠B ＝∠AFG ＝90° 又∵AG ＝AG在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，{AG =AGAB =AF ，∴△ABG ≌△AFG （HL ）（2）∵△ABG ≌△AFG ，∴∠BAG ＝∠F AG ，∴∠F AG =12∠BAF 由折叠的性质可得：∠EAF ＝∠∠DAE ，∴∠EAF =12∠DAF∴∠EAG ＝∠EAF +∠F AG =12（∠DAF +∠BAF ）=12∠DAB =12×90°＝45°（3）∵E是CD的中点，∴DE＝CE=12CD=12×6设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF+FG＝x+3∵GE2＝CG2+CE2，∴（x+3）2＝（6﹣x）2+32，解得x＝2∴BG＝2模型4 折叠构造等腰三角形8．（2020•碑林区校级月考）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A 落在点A′处（1）试说明：B′E＝BF（2）若AE＝3，AB＝4，求BF的长【分析】（1）由折叠可得BF＝B'F，∠B'FE＝∠EFB，由AD∥BC可得∠DEF＝∠EFB，则∠B'EF＝∠B'FE，即结论可得（2）由折叠可得AE＝A'E＝3，AB＝A'B'＝4，根据勾股定理可得B'E的长，即可起BF的长【解析】（1）∵折叠，∴∠B'FE＝∠EFB，BF＝B'F∵AD∥BC∴∠B'EF＝∠BFE，∴∠B'EF＝∠B'FE∴B'E＝B'F，∴BF＝B'E（2）∵折叠，∴AE＝A'E＝3，AB＝A'B'＝4，∠A＝∠A'＝90°∴根据勾股定理可得B'E＝5∵B'E＝BF，∴BF＝59．（2019•潮南区一模）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D落在点H的位置上，点C恰好落在边AD上的点G处，连接EG．（1）△GEF是等腰三角形吗？请说明理由；（2）若CD＝4，GD＝8，求HF的长度．【分析】（1）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠GFE＝∠GEF，进而得出△GEF是等腰三角形（2）设HF长为x，则GF长为（8﹣x），在Rt△FGH中，依据勾股定理可得x2+42＝（8﹣x）2，即可得到HF的长度【解析】（1）∵长方形纸片ABCD∴AD∥BC∴∠GFE＝∠FEC∵∠FEC＝∠GEF∴∠GFE＝∠GEF∴△GEF是等腰三角形（2）∵∠C＝∠H＝90°，HF＝DF，GD＝8设HF长为x，则GF长为（8﹣x）在Rt△FGH中，x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3∴HF的长为3利用勾股定理求最值方法1化曲为直求最值1．（2020•历下区期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m时，这段葛藤的长是（）m．A．3B．2.6C．2.8D．2.5【分析】先把树干当作圆柱体从侧面展开，求出葛藤绕树干盘旋1圈时上升的高度，进而可得出结论．【解析】∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m，如图所示：AC=√AB2+BC2=1.3m，∴这段葛藤的长＝2×1.3＝2.6m，选B2．（2020•福田区校级期中）如图，一圆柱高BC为20cm，底面周长是10cm，一只蚂蚁从点A爬到点P处吃食，且PC=35BC，则最短路线长为（）A．20cm B．13cm C．14cm D．18cm【分析】根据题意画出图形，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出AP即可【解析】如图展开，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长则∠C＝90°，AC=12×10cm＝5cm∵BC＝20cm，PC=35BC，∴CP＝12cm由勾股定理得：AP=√AC2+CP2=√52+122=13（cm）即蚂蚁爬行的最短路线长是13cm，选B方法2化折为直求最值3．（2020•市北区期中）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm．A．25B．20C．24D．10√5【分析】分三种情况：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下AB，再进行比较．【解析】把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1，AB=√(10+20)2+52=√925=5√37（cm）把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2，AB=√202+(10+5)2=25（cm）把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，AB=√102+(20+5)2=√725=5√29（cm）∵√925＞√725＞25所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm，选A4．（2020•开福区校级期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5dm、3dm和1dm，A 和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是13dm．【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案【解析】将台阶展开，如图，因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5所以AB2＝AC2+BC2＝169，所以AB＝13（dm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13dm5．（2020•盐城期末）有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深为AE＝40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60cm；一小虫想从鱼缸外的A 点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？【分析】（1）做出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；（2）A′G为直角△A′EG的斜边，根据勾股定理求解即可【解析】（1）如图所示，AQ+QG为最短路程（2）∵在直角△AEG中，AE＝40cm，AA′＝120∴A′E＝80cm又EG＝60cm∴AQ+QG＝A′Q+QG＝A′G=√A′E2+EG2=100cm∴最短路线长为100cm方法3 利用对称求最值6．（2019秋•秦淮区期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是（）A ．125B ．4C ．5D ．245【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点E 作EQ ⊥AC 于点Q ，EQ 交AD 于点P ，连接CP ，此时PC +PQ ＝EQ 取最小值，根据勾股定理可求出AB 的长度，再根据EQ ⊥AC 、∠ACB ＝90°即可得出EQ ∥BC ，进而可得出AE AB=AQ AC=EQ BC，代入数据即可得出EQ 的长度，此题得解【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点E 作EQ ⊥AC 于点Q ，EQ 交AD 于点P ，连接CP ，此时PC +PQ ＝EQ 取最小值，如图所示在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8 ∴AB =√AC 2+BC 2=10 ∵AD 是∠BAC 的平分线 ∴∠CAD ＝∠EAD在△ACD 和△AED 中，{∠CAD =∠EAD∠ACD =∠AED =90°AD =AD ，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AE ＝AC ＝6∵EQ ⊥AC ，∠ACB ＝90° ∴EQ ∥BC ∴AE AB=AQ AC=EQ BC∴EQ =245 选D7．（2019春•渝中区校级期末）如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝6，CD ＝4，CD 为△ABC 的中线，点E 、点F 分别为线段CD 、CA 上的动点，连接AE 、EF ，则AE +EF 的最小值为245．【分析】过B 作BF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，则BF 的长即为AE +EF 的最小值，根据等腰三角形的性质得到AD =12AB ＝3，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论【解析】过B 作BF ⊥AC 于F ，交CD 于E则BF 的长即为AE +EF 的最小值 ∵AC ＝BC ＝5，CD 为△ABC 的中线 ∴AD =12AB ＝3∵S △ABC =12AB •CD =12AC •BF ∴BF =6×45=245 ∴AE +EF 的最小值为2458．（2020•清江浦区期中）如图，E为正方形ABCD边AB上一点，BE＝3，AE＝1，P为对角线BD上一个动点，则P A+PE的最小值是5．【分析】连接EC交BD于点P，此时P A+PE最小，在RT△EBC中求出EC即可解决问题【解析】连接EC交BD于点P，此时P A+PE最小理由：∵四边形ABCD是正方形∴A、C关于直线BD对称∴P A+PE＝PC+PE＝EC∴此时P A+PE最小（两点之间线段最短）P A+PE最小值＝EC=√BC2+BE2=√42+32=5故答案为5．9．（2019秋•攀枝花期末）已知：如图Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝8，M在BC上，且BM＝2，N 是AC上一动点，则BN+MN的最小值为10．【分析】根据平面内线段最短，构建直角三角形，解直角三角形即可【解析】过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B'，使OB'＝OB，连接MB'，交AC于N此时MB'＝MN+NB'＝MN+BN的值最小连接CB'∵BO⊥AC，AB＝BC，∠ABC＝90°∴∠CBO=12×90°＝45°∵BO＝OB'，BO⊥AC∴CB'＝CB∴∠CB'B＝∠OBC＝45°∴∠B'CB＝90°∴CB'⊥BC根据勾股定理可得MB′＝1O，MB'的长度就是BN+MN的最小值．。

(完整版)勾股定理中的折叠问题

C E勾股定理中的折叠问题例1：如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F:处（折痕为AE ）(1)求BF 的长； (2)求EC 的长。

BC ，使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3，BC=5，例2：已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（）A 、6cm 2B 、8cm 2C 、10cm 2D 、12cm 2对应练习：1、如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，•若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少？第11题图AE BCDF2、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，求重合部分△EBD 的面积例3：有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？对应练习：1、如图，在△ABC 中，∠B= 90，AB=BC=6，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。

AECDB ADBCE F例4：如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，恰与AE 重合，求CD对应练习：1、如图，四边形ABCD 是矩形，AB =3，BC =4，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点F 处，连接DF ，CF 与AD 相交于点E ，求DE 的长和△ACE 的面积.2、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG .ACD BEG A BC'EDCB A 总结：一、三角形中的折叠基本图形二、矩形FEDCBA EA(B)图1ACBDC ´ABCD E FA ′B ′。

(完整版)利用勾股定理解决折叠问题及答案

小专题(二) 利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( )A.252 cmB.152 cmC.254 cm D.154cm2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( )A ．1 cmB ．1.5 cmC ．2 cmD ．3 cm3．(青岛中考)如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( )A ．4B ．3 2C ．4.5D ．54．如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( )A ．3 B.154 C ．5 D.1526．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是( )A．210－2B．6C．213－2D．47．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE 的周长为________．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是________．9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________．10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题1．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )A．6 cm B．12 cmC．13 cm D．16 cm2．如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.3．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是________m(精确到0.01 m)．4．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？5．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．参考答案类型11．D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.A 7.7 8.6 cm29.13310．1.511.因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以△ADE≌△AFE.所以DE＝FE，AD＝AF.因为BC＝20 cm，AB＝16 cm，所以CD＝16 cm，AD＝AF＝20 cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝12 cm.所以CF＝20－12＝8(cm)．因为四边形ABCD是长方形，所以∠C＝90°.设CE＝x，则DE＝EF＝16－x，在Rt△CEF中，由勾股定理，得(16－x)2＝64＋x2.解得：x＝6.所以EC＝6 cm.答：EC＝6 cm，CF＝8 cm.类型21．C 2.15 3.2.604．把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上，如图．构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连接AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC.即O为DC的中点，由勾股定理，得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.5．(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2＝（4＋4）2＋52＝89.∵l1>l2，∴最短路径的长是89.。