利用数学归纳法解题举例
数学归纳法及应用列举
2k 1
(B)
k 1
(D) 2k 3 k 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
(3)用数学归纳法证明： 2+4+6+……+2n=n2+n
例题讲解：
题1：用数学归纳法证明：
13 23 33 .... n3 1 n2 (n 1)2 4
例题讲解：
题2：用数学归纳法证明： 12 23 34 ..... n(n 1) 1 n(n 1)(n 2)
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
1
1 2
1 3
...
..
1 2n
1ຫໍສະໝຸດ n(n*且n
1)
时，第一步应验证不等式（B）
（A）1
1 2
2
（B）1
1 2
1 3
2
（C）1 1 1 3 （D）1 1 1 1 3
23
234
； https:///xuxiaoming/ 徐小明新浪博客
圾扔下来，可是有一天，它改变了对垃圾的态度。它每天都把垃圾踩到自己的脚下，并从垃圾中找到残羹来维持自己的生命，而不是被垃圾所淹没。终于有一天它重新回到了地面上。 ? 训练要求： ? 1.这则材料应该给出的话题是： ? 3.你的作文题目是： ? 4.你的论点或主旨是： ? 5.请写 出能体现你的中心主旨的一句名言、歌词等或自编一句有哲理的话，不超过30字。 ? 6.请你联系所学过的课文，写出一二则相关课内论据。语言要简洁。 ? 7.请你联系并提炼你的现实生活，或亲身经历或耳闻目睹的社会现象，写出一二则生活论据。 ? 8.请你联系所读过的各类课外书报，提 炼整理出一二则论据。 ? 9.请为你的论点写出一段说理性文字。100字以内。 ? 10.你认为在立意上需要提醒大家注意的问题： ? 考前高考作文审题立意强化训练参考答案 ? 一、“坚持，便要在精神上压倒对方（困难或敌人）”，“振作精神便能顽强坚持”，这两种立意便有点不简单了； 而主要从弗雷泽的角度立意：“本是旗鼓相当，但一念之间的放弃意味着失败”，就或许有些与众不同；结合两个人的角度立意恐怕更少了吧？殊不知新意也便在此了：“胜利与失败原来是近邻，就在于坚持还是放弃”。然而不管怎样立意，总不能绕开“坚持”。 ? 二、本则材料中最后三句 话当是理解文意的关键，三次提到“大石头”，成了理解文意的关键。可以提出这样的问题：“你们工作，生活和学习中最重要的'大石头'是什麽呢？”思考之后就会得出这样一个结论：“大石头”就是生活，工作和学习中的最重要东西。 ? 可谈自己生活中最重要的'大石头'是自信心，有了 自信心，自己就有了进取的动力，就有了腾飞的马达；可谈“爱”是生活中最重要的“大石头”，有了爱，就有了温暖，有了关怀，有了理解，有了支撑，这个世界便充满了温馨；可谈学习是人生中最重要的“大石头”，进入知识经济时代，学习是生存的保障也是人类进一步发展的需要，更 是人的精神支柱…… ? 这个题目要“谈谈你的看法”，那就只有写成议。 ? 三、不要抱怨你的学校不好，不要抱怨你的专业不好，不要抱怨你住在破宿舍里，不要抱怨你的男人穷，你的女人丑，不要抱怨你没有一个好的爸爸，不要抱怨你的工作差，工资少，不要抱怨你空怀一身绝技没有人 赏识…… ? 现实有太多的不如意，就算生活给你的是垃圾，你同样能把垃圾踩在脚下，登上理想之巅。 ? 高考作文审题强化训练（二） ? （一）命题作文 1．请以“坚守信念”为题，写一篇不少于800字的文章。 要求：①立意自定。②除诗歌外，文体不限。③不得抄袭。 【写作指引】 这 是属于哲理类的写作命题。题目是一个四字短语，它包含了两个要素，即“坚守”和“信念”。但以“坚守”为主,写作的重心应当定位在如何“坚守”之上。而且必须明确要表现的是“坚守”，不是一般的“呵护”、“守护”，更不是“树立”、“拥有”等。既是“坚守”，肯定遭遇了一些 对“信念”的冲击波，可能还是比较严重的挫折和打击等。没有这些因素的烘衬，“坚守”之“坚”未能凸现出来。特别要注意的还有，不能绕开“坚守”而大谈“信念”，不然就导致重心移位了。依据考生自身的写作能力，无论是选择记叙类文体，运用具体事例来表现“坚守”之精彩，还 是选择议论类文体，通过分析、推理来论“坚守”之重要，均可写出佳作。 2．白雪覆盖，大地一片沉寂，忽而春风涌起，一片灰黑的土地转眼间绿意盎然，让人不能相信，那冬天里，这些种子曾怎样在黑暗的地下舞蹈过呢？平静的湖面如镜般明澈，也会一瞬即风生水起，巨浪滔天，这种力 量它如何孕育？世界上许多静止的事物从未停止过运动。 请以“静止就是舞蹈”为题，体裁不限，写一篇不少于800字的文章。 【写作指引】 （1）这个话题具有思辨色彩，以写议为佳。首先我们从“静止”可联想到生命的一个停顿、一种安静，人为什么要安静，想和尚面壁是为了什么，一 是反省，一是破禅。那么我们人生安静也是为了求得自己的更新，道德的进步；是为了在寂寞中苦心而求孤诣，为了学术的成果，为了事业的前进，多少人在喧嚣红尘中默然孤坐，而这样的安静其实是为了等待一个惊世的爆发，一个绝世的舞蹈。而“舞蹈”是生命更新的动力，是美的韵律的 呈现。再读材料联想，这世界运动是永恒的，万物静止是个假象，其实都在生生不息，如蛹化蝶，如沙砾变成珍珠，如种子在黑暗的地下怒涨的生命，这样就可联系科学家、思想家等人来论论题。还可联想到静止的文字与涌动的思想，多少哲人伟人已逝，而透过发黄的纸张，我们依稀可见他 们铮铮的铁骨，他们的谆谆善诱，他们的悲天悯人，他们的积极入世，他们的舍我其谁等。 （2）立意：“静止”可以理解为长期的积累、平凡努力、勤奋付出等，“舞蹈”可以理解为惊世爆发、一鸣惊人、成就人生、取得成功等。 3．《艺术人生》在盘点2004年文艺人物时使用了一个关键 词——“守望”。这是个令人心动的字眼：它是老师期待的眼神，是父母新添的白发，更是你孜孜以求的脚步。我们守望亲情，守望责任，守望未来……守望是信念，是坚守，是期盼。有些东西甚至需要用一辈子去守望。也许不是每一道江流都能入海，不是每一个守望都能圆满。但有了守望， 生活变得深刻，心灵变得充实。守望中，我们拒绝诱惑；守望中，我们执着追求；守望中，我们走向成熟…… 请以“在守望中……”为题，写一篇不少于800字的文章。 【写作指引】 守望有不同的对象、不同的意义、不同的过程。可以运用比喻的修辞使“守望”由抽象变为具体可感的形象， 用引用的方式来具体阐释“守望”的内涵，用排比的形式来为“守望”论，也可以综合运用比喻、引用、排比等修辞，展开论述。写成议要有对“守望”的形象化理解，可以在选择材料和论的时候，对材料采用形象化的叙述，可以设置一种情境，烘托出“守望”的价值和意义，以使文字获得 色彩、造型和构图等方面的效果。同时，要充分调动自己的思想感情，自我“激情”，使自己进入到事件中去，同所写的人一起喜、怒、哀、乐、忧、思，让语言充满感情。 4．请以“与……对话”为题写一篇文章，体裁不限，不少于800字。 【写作指引】 这虽是一篇命题作文，其实寻找思
高中数学的解析如何利用数学归纳法解决数学问题
高中数学的解析如何利用数学归纳法解决数学问题数学归纳法是一种常用的数学推理方法，特别适用于解决涉及自然数的问题。
它的基本思想是通过证明某个命题在第一个自然数上成立，并假设该命题在第k个自然数上成立，再利用这一假设证明该命题在第k+1个自然数上也成立。
本文将着重讨论高中数学中一些典型问题，介绍如何使用数学归纳法解决这些问题。
一、等差数列的性质证明等差数列是高中数学中一个重要的概念，其性质证明常常可以使用数学归纳法。
我们以等差数列的前n项和公式为例进行说明。
首先，我们需要证明等差数列前n项和公式在第一个自然数上成立。
当n=1时，等差数列的前n项和显然等于它的第一个项，命题成立。
其次，我们假设等差数列前k项和公式在第k个自然数上成立，即Sn = (2a1 + (k-1)d)k/2 （式1）我们需要证明等差数列前(k+1)项和公式在第(k+1)个自然数上也成立。
通过对等差数列前k+1项求和可以得到：S(k+1) = a1 + a2 + ... + ak + a(k+1)S(k+1) = [(k+1)(a1 + a(k+1))/2] + kd （式2）将式1代入式2中，整理后可得：S(k+1) = [(k+1)(2a1 + (k+1-1)d)/2] + kdS(k+1) = [(k+1)(2a1 + kd)/2] + kdS(k+1) = [(k+1)(2a1 + kd) + 2kd]/2S(k+1) = (2a1 + (k+1)d)(k+1)/2由此可见，假设在第k个自然数上等差数列前k项和公式成立，可以推出在第(k+1)个自然数上该公式也成立。
因此，根据数学归纳法的推理步骤，我们可以得出等差数列前n项和公式对于任意正整数n都成立的结论。
二、数学归纳法解决不等式问题数学归纳法不仅可以用于证明等式的性质，还可以用于解决不等式问题。
我们以证明平方不等式n^2 ≥ n（n ≥ 1）为例。
首先，我们需要证明当n=1时平方不等式成立，即1^2 ≥ 1，命题成立。
数学归纳法及应用举例
数学归纳法及应用举例重点难点分析：（1）第一步递推基础，第二步是递推依据，密切相关缺一不可。
（2）归纳思想充分体现了特殊与一般的思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。
（3）归纳—猜想—证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理猜想，从而达到解决问题的目的。
（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较、放缩、配凑、分析和综合法等。
典型例题：例1．证明：=-n(n+1)(4n+3)。
证明：①当n=1时，左，右=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。
②假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3)。
n=k+1时，+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2) =-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式成立。
由①②知，当n∈N′时等式成立例2．试证S n=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。
证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。
②假设，n=k时，S k能被9整除，则S k+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=S k+(k+3)3-k3=S k+9(k3+3k+3)由归纳假设知S k+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。
综上所述：命题成立。
点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。
例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。
证明：设适合条件的n个平面把空间分成p n个部分，∴p n=n2-n+2①当n=1时，p1=1-1+2=2，显然符合条件，故命题成立。
数学归纳法在中学数学中的应用
数学归纳法在中学数学中的应用数学归纳法是高中数学中的一项重要内容，它不仅在代数学和数学分析中具有广泛的应用，而且在初中数学中也扮演着重要的角色。
本文将重点介绍中学数学中数学归纳法的应用，以及如何正确运用数学归纳法解题。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明方法，通常用于证明由自然数组成的数列或命题，其基本思想是：第一步：证明当n=1时，命题成立。
第二步：假设当n=k（k≥1）时命题成立，并用此假设来证明当n=k+1时命题也成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
二、应用举例1.证明1+2+…+n=n(n+1)/2对于此题，我们可以按照数学归纳法的步骤逐步解题。
第一步：当n=1时，1=1(1+1)/2，命题成立。
第二步：假设当n=k时1+2+…+k=k(k+1)/2，根据假设，当n=k+1时：1+2+…+k+(k+1)=(k)(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k/2+1)=(k+1)((k+1)+1)/2命题成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
因此，数学归纳法可以用来证明1+2+…+n=n(n+1)/2。
（注：此处省略了对不符合条件的情况的讨论）2.证明以下命题成立2的n次方大于等于n+1，其中n为正整数。
第一步：当n=1时，2的1次方大于等于1+1，命题成立。
第二步：假设当n=k时，2的k次方大于等于k+1，根据假设，当n=k+1时：2的k+1次方大于等于2(k+1)而(k+1)+1=k+2因此，当n=k+1时，命题成立。
第三步：由第一、二步可知，对于集合{1,2…}中的每一个正整数n，命题成立。
因此，命题为真。
三、数学归纳法的要点虽然数学归纳法是一种简单的证明方法，但是正确的运用还有一定难度。
下面是数学归纳法中需注意的要点：1.首先要确保递推式适用于所有的正整数。
2.要明确所要证明的命题。
3.要分清递推式、递推式中的变量和由递推式推出的式子。
谈谈运用数学归纳法解题的思路
数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的重要方法，是从特殊到一般的推理方法.运用数学归纳法证明命题的步骤如下：1.若n 0是满足条件的最小整数，需先验证n =n 0时命题是否成立；2.假设n =k ()k ≥n 0,n ∈N 时命题成立，据此进行推理、运算，证明当n =k +1时，命题也成立3.得出结论：对任意n ≥n 0,n ∈N ，命题均成立.下面举例说明.例1.若n ∈N ，且n ≥5，证明：2n >n 2.证明：①当n =5时，2n =32，n 2=25，故不等式2n >n 2成立；②假设n =k ()k >5时，2k >k 2成立，当n =k +1时，2k +1=2×2k >2k 2=k 2+k 2，因为k 2+k 2>k 2+5k >k 2+2k +1=()k +12，所以2k +1>()k +12，即当n =k +1时，2n >n 2成立，综上所述，n ∈N ，且n ≥5，2n >n 2成立.本题中n 的初始值为5，需从n =5时开始验证不等式是否成立，再假设当n =k 时不等式成立，将其作为已知条件，利用不等式的传递性和可加性证明当n =k +1时不等式成立，从而证明对任意自然数n ≥5不等式都成立.运用数学归纳法证明不等式时需注意：（1）首先确定初始值n 0，有些命题不一定从n =1开始成立，可从任意一个正整数n 0开始，此时需从n =n 0开始验证命题是否成立；（2）在假设n =k 命题成立时，要注意k ≥n 0，以保证递推的连续性；（3）将f ()k 拓展至f ()k +1时，常需采用放缩法，对不等式进行放大或缩小，以证明不等式成立.例2.若数列{}a n 的通项公式为a n =4()2n -12，数列{}b n 的通项公式为b n =()1-a ()1-a 2∙∙∙()1-a n .求证：b n =2n +11-2n .证明：①令n =1，b 1=()1-a 1=()1-4=-3，满足b n =2n +11-2n；②假设当n =k 时，b k =2k +11-2k，b k =(1-a )(1-a 2)∙∙∙(1-a k )，当n =k +1时，b k +1=(1-a )(1-a 2)∙∙∙(1-a k )(1-a k +1)，可得b k +1b k=1-a k +1，则b k +1=b k ()1-a k +1=2k +1()1-2k ()1-a k +1=2k +1()1-2k ⋅1-4()2k +12=2k +3-1-2k =2()k +1+11-2()k +1，满足b n =2n +11-2n.所以命题得证.由n =k 时的命题证明n =k +1时的命题成立，要将n =k 时的命题作为推理、运算的条件，并寻找n =k +1与n =k 时命题之间的联系，通过因式分解、添拆项、配方等方式进行恒等变换，从而证明当n =k +1时命题也成立.例3.某平面内有n 条直线，其中任何两条直线不平行，三条直线不相交于同一点，证明：这n 条直线有P n =12n ()n -1个交点.证明：①当n =2时，P 2=1，命题成立；②假设n =k ()k >2时，命题成立，即k 条直线共有P n =12n ()n -1个交点；③当n =k +1时，直线有k +1条，因为其中任何两条直线不平行，三条直线不相交于同一点，所以新增的一条直线与原来的k 条直线均有1个交点，即新增了k 个交点，此时P k +1=P k +k =k ()k -1+k =12k ()k -1=12()k -1⋅[]()k +1-1，即当n =k +1时，命题成立.综上所述，对任意自然数n ，这n 条直线有P n =12n ()n -1个交点.解答本题的关键在于由n =k 时的命题成立推出在n =k +1时的命题成立.需明确n 从k 到k +1的转变过程中，对P n 的影响，并重点分析k 条直线所形成的交点的个数与k +1条直线所形成的交点的个数之间的差异以及联系.总之，运用数学归纳法证明命题，要按照上述两个步骤对命题进行证明，这样才能确保对任意n ≥n 0,n ∈N ，命题均成立.同时，同学们要重视培养运算、观察、逻辑推理能力，这样才能灵活地运用数学归纳法来顺利证明命题.（作者单位：江苏省如东高级中学）备考指南57。
数学归纳法及应用列举
2
已知数列｛an｝的通项公式
an
4 (2n 1)2
数列｛bn｝的通项满足
bn (1 a1)(1 a2 )...(1 an )
用数学归纳法证明:
bn
2n 1
1 2n
2.1 数学归纳法及其应用举例
练习：
课后练习：1，2，3 课堂小结 ①归纳法； ②数学归纳法； ③数学归纳法证题程序化步骤 ； 作业： P67 习题2.1 1，2
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
1
(3)用数学归纳法证明： 2+4+6+……+2n=n2+n
例题讲解：
题1：用数学归纳法证明：
13 23 33 .... n3 1 n2 (n 1)2 4
例题讲解：
题2：用数学归纳法证明： 122334.....n(n1) 1n(n1)(n2)
3
练习： 用数学归纳法证明以下等式： （1）12 22 32 .... n2 n(n 1)(2n 1)
2.1 数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
先证明当n 取第一个值 n（0 如 n0 1 ）时
命题成立，然后假
设当 n k(k N , k n0 )时命题成立，
再证明当 n k 1 时命题
也成立，那么就证明这个命题成立， 这种证明方法叫做数学归纳法．
《数学归纳法应用举例》 讲义
《数学归纳法应用举例》讲义一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的重要方法。
它基于两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤：证明当 n 取第一个值（通常是 1）时，命题成立。
归纳步骤：假设当 n ＝ k（k 是一个满足条件的自然数）时命题成立，然后证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
通过这两个步骤，就可以得出对于所有的自然数 n，命题都成立的结论。
二、简单的应用举例例 1：证明 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ n ＝ n(n ＋ 1) ／ 2基础步骤：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ 1×（1 ＋ 1) ／ 2 ＝ 1，等式成立。
归纳步骤：假设当 n ＝ k 时等式成立，即 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ k ＝k(k ＋ 1) ／ 2 。
那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ k ＋（k ＋ 1) ，而右边＝（k ＋ 1)（k ＋ 2) ／ 2 。
左边＝ k(k ＋ 1) ／ 2 ＋（k ＋ 1) ＝（k ＋ 1)（k ＋ 2) ／ 2 ＝右边，所以当 n ＝ k ＋ 1 时等式也成立。
例 2：证明 1^2 ＋ 2^2 ＋ 3^2 ＋… ＋ n^2 ＝ n(n ＋ 1)（2n ＋ 1) ／6基础步骤：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1^2 ＝ 1，右边＝ 1×（1 ＋ 1)×（2×1 ＋ 1) ／ 6 ＝ 1，等式成立。
归纳步骤：假设当 n ＝ k 时等式成立，即 1^2 ＋ 2^2 ＋ 3^2 ＋…＋ k^2 ＝ k(k ＋ 1)（2k ＋ 1) ／ 6 。
当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1^2 ＋ 2^2 ＋ 3^2 ＋… ＋ k^2 ＋（k ＋1)＾2 ，右边＝（k ＋ 1)（k ＋ 2)（2k ＋ 3) ／ 6 。
左边＝ k(k ＋ 1)（2k ＋ 1) ／ 6 ＋（k ＋ 1)＾2 ，经过化简可得（k ＋ 1)（k ＋ 2)（2k ＋ 3) ／ 6 ＝右边，所以当 n ＝ k ＋ 1 时等式也成立。
高考数学技巧如何利用数学归纳法解决问题
高考数学技巧如何利用数学归纳法解决问题数学归纳法是一种常见且重要的数学技巧，在高考数学中经常被用于解决一些复杂的问题。
通过合理运用数学归纳法，可以简化问题的复杂性，从而更好地解决数学题。
本文将探讨高考数学中如何利用数学归纳法解决问题的技巧和方法，并通过一些例题进行说明。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种证明数学命题的方法。
它的基本原理是：设n为一个正整数，如果能证明当n取某个值时命题成立，而且如果在命题成立的情况下可以推导得到n+1的情况也成立，那么就可以得出结论：当n为任意正整数时，命题都成立。
二、数学归纳法的步骤数学归纳法主要包括三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
1.基础步骤：首先需要证明当n取某个值时命题成立。
这个值通常是最小的正整数，可以是1或任意不为0的正整数。
2.归纳假设：假设当n取k（其中k为正整数）时命题成立，即假设命题P(k)为真。
3.归纳步骤：在已知P(k)为真的情况下，利用此假设证明P(k+1)为真。
通过推理和运算，将P(k+1)的真实性转化为某个已知条件的真实性，即从P(k)推导得到P(k+1)。
三、利用数学归纳法解决高考数学问题的技巧1.明确问题类型：在高考数学中利用数学归纳法解题，首先要明确问题的类型。
常见的问题类型包括数列、方程、不等式、集合等。
2.观察规律：利用数学归纳法解题的关键在于观察规律。
通过对问题的分析和计算，观察数列、方程等中数值、系数的变化规律，总结出规律的特点。
3.列出基础步骤：根据观察所得的规律，找到问题中的基础步骤。
基础步骤通常是证明当n取某个值时命题成立。
4.假设并证明：在观察到的规律的基础上，假设命题P(k)为真，并通过计算和推理证明该命题成立。
5.归纳得出结论：在已知P(k)为真的情况下，运用数学归纳法的归纳步骤，将P(k+1)的真实性转化为已知条件的真实性，进而得出结论。
四、数学归纳法解题的例子【例题】已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则证明：a_n=n^2。
数学归纳法及其应用举例
?
如 a5 = 25 ≠ 1
对任何 n ∈ N ∗ , an = ( n 2 − 5n + 5) 2 = 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
哥德巴赫 猜想 观察： ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ①观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝3 课题引入 我们能得出什么结论？ ＋ 11，16＝5＋11，···78＝67＋11，···我们能得出什么结论？ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， 我们能得出什么结论 任何一个大于等于6的偶数， 任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之 和． 不完全归 纳法 教师根据成绩单，逐一核实后下结论： ②教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及 完全 格” ． 归纳 法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法， 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常 叫做归纳法． 叫做归纳法． 归纳法
2.1 数学归纳法及其应用举例
练习： 练习： 课后练习： ， ， 课后练习：1，2，3 课堂小结 ①归纳法； 归纳法； 数学归纳法； ②数学归纳法； ③数学归纳法证题程序化步骤 ； 作业： 作业： P67 习题 习题2.1 1，2 ，
2.1 数学归纳法及其应用举例
例题讲解
2 例1 用数学归纳法证明 1 + 3 + 5⋯ + ( 2n − 1) = n .
证明： 证明： （1）当n=1时，左边 ，右边 ，等式成立． ） 时 左边=1，右边=1，等式成立． （2）假设当 n = k 时，等式成立，就是 等式成立， ） 1 + 3 + 5⋯ + ( 2k − 1) = k 2 . 那么 1 + 3 + 5⋯ + ( 2k − 1) + [2( k + 1) − 1] = k 2 + [( 2( k + 1) − 1] = k 2 + 2k + 1 = ( k + 1) 2 这就是说， 这就是说，当n=k+1时，等式也成立． 时 等式也成立． n ∈ N ∗ 都成立． ），可知的等式对任何 都成立． 由（1）和（2），可知的等式对任何 ） ），
高数解题中总结归纳法的应用
高数解题中总结归纳法的应用总结归纳法是数学中一种非常重要的思想方法，其应用广泛，可以解决各种问题。
在高等数学学习中，总结归纳法也是必不可少的一种方法，能够帮助我们更好地理解和掌握各种数学概念和理论，解决各种数学问题。
下面就是对高数解题中总结归纳法的应用的一些总结。
一、数列问题数列问题是总结归纳法最常用的应用之一。
在数列问题中，我们可以使用归纳法的方法，递推求出数列的通项公式，从而得到数列的一些性质和定理。
例如：1. 证明等差数列的通项公式：对于等差数列an，如果已知a1和d，则可以通过递推求出数列的通项公式an=a1+(n-1)d，然后通过归纳法证明。
3. 证明斐波那契数列的通项公式：斐波那契数列是一个非常有趣的数列，其通项公式为an=F(n)=[(1+sqrt(5))/2]^n/ sqrt(5)-[(1-sqrt(5))/2]^n/ sqrt(5)，可以通过递推求出，然后通过归纳法证明。
二、数学归纳法证明数学归纳法是总结归纳法中最常见的一种方法，可以用来证明各种数学定理和命题。
归纳法的基本思想是：对于某个命题或定理，如果已知它对某个整数成立，同时又知道它对某个整数k+1成立，那么可以推导它对所有大于等于该整数的整数也成立。
例如：1. 证明等差数列的前n项和公式：首先假设k=1时该公式成立，那么对于k+1时，有Sn+1=S(n+1)+a(n+1)，代入等差数列通项公式可以得到Sn+1=1/2(n+1)(a1+an)，证毕。
2. 证明数学归纳法原理：假设P(1)成立，即当n=1时命题成立；再假设当n=k时命题成立，则要证明当n=k+1时命题也成立，即P(k+1)成立。
证毕。
三、不等式证明不等式证明也是总结归纳法的一种应用方式。
在不等式证明中，我们可以通过找到一些基准式，从而验证不等式的成立。
例如：1. 证明柯西不等式：对于数列a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn，柯西不等式表示(a1b1+a2b2+…+anbn)≤(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)。
数学归纳法及其应用举例
不完全归纳法
a4 =a3+d =a1+3 d, …… an=?
归纳
an=a1+(n1)d
问题情境二:
数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例:
不完全
an 22n 1中a0 3，a1 5，a2 17， 归纳法
a3 257，a4 65537，...
结论：an 22n 1是质数(n N )
x2(x2k y2k ) y2k (x2 y2) x2(x2k y2k ) y2k (x y)(x y) x2 (x2k y2k )、y2k (x y)(x y) 都能被x+y整除.
故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立. 由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.
教学内容
推理方法
演绎推理 三段论
(一般到特殊)
完全归纳
归纳推理
(特殊到一般)
不完全归纳
例题引入
教学内容
(1) 不完全归纳法引例
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话: 财主的儿子学写 字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……” 的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然 是错误的．
4k 2 (2k 1)(2k 3)
2(2k 1)(2k 3)
(k 1)(2k 2 3k 2k 2) (k 1)(2k 1)(k 2)
2(2k 1)(2k 3)
2(2k 1)(2k 3)
k 2 3k 2 (k 1)2 (k 1) .
4k 6
4(k 1) 2
故当n=k+1时,结论也正确.
Sk
1 2
(ak
1 ak
数学归纳法及其应用举例
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝1 23 1 6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，就是
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么
12 22 32 k 2 (k 1) 2 k (k 1)(2k 1) (k 1)2
6 k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 2
1 4 2 7 310 k(3k 1)
＋(k 1)3(k 1) 1
(k 1)[(k 1) 1]2
4）此时，左边增加的项是
(k 1)3(k 1) 1
5)从左到右如何变形？
证明： （1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
1 4 2 7 310 k (3k 1)
k (k 1)2 , 那么 1 4 2 7 310 k (3k 1)
＋(k 1)3(k 1) 1 k (k 1)2 (k 1)3(k 1) 1
(k 1)[k (k 1) 3(k 1) 1]
(k 1)(k 2 4k 4)
(k 1)[(k 1) 1]2
对于任何n N，an (n2 - 5n 5)2 =1
不完全归纳法与完全归纳法
不完全归纳法是根据事物的部分（而不 是全部）特例得出一般结论的推理方法。
完全归纳法是一种在研究了事物的所有 （有限种）特殊情况后得出一般结论的 推理方法，又叫做枚举法。
例题2 用数学归纳法证明
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
那么，2 4 6 2k 2(k 1)
=k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1
数学归纳法典型例题
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型四 “归纳、猜想、证明”问题
【例4】 (12分)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an， bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)． 求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公 式，并证明你的结论． 审题指导 归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一， 此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问 题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探 索出一般规律．
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活页规范训练
【解题流程】 由条件得an，bn，an＋1，bn＋1之间的关系 ―→ 代入a1＝2，b1＝4，求出a2，a3，a4，b2，b3，b4的值 ―→ 归纳猜想an，bn的通项公式 ―→ 用数学归纳法证明所得结论 [规范解答] 由条件得 2bn＝an＋an＋1， a2n＋1＝bnbn＋1. 由此可以得 a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，由上可得结论成立．
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课堂讲练互动
活页规范训练
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k＋3k＋1 1＋3k＋1 2＋3k＋1 3－k＋1 1 >56＋3k＋1 1＋3k＋1 2＋3k＋1 3－k＋1 1 >56＋3×3k＋1 3－k＋1 1＝56. 所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 由(1)，(2)可知，原不等式对一切 n≥2，n∈N＋都成立．
活页规范训练
【训练4】 设数列{an}满足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1,2,3，… (1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项 公式；
数学归纳法及应用列举
(201907)数学归纳法及应用列举
（A）1
1 2
2
（B）1
1 2
1 3
2
（C）1 1 1 3 （D）1 1 1 1 3
2.1 数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
先证明当n 取第一个值 n（0 如 n0 1 ）时
命题成立，然后假
设当 n k(k N , k n0 )时命题成立，
再证明当 n k 1 时命题
也成立，那么就证明这个命题成立， 这种证明方法叫做数学归纳法．
2.1 数学归纳法及其应用举例
因曰：“天宝中政事 享年六十三岁 《唐会要》卷六十四《史馆下》记载 累官尚书郎 知制诰 但也深得陈希烈的佐佑唱和之力 封太原郡公 以其精于吏干 [42] 公勿忧也 其中有十八名学士在做他的国事顾问 独揽朝政 [37] ”刘熙：“褚河南书为唐之广大教化主 追赠他为开府仪同三 司 并州大都督 前人睹之 由是知名 郓州须昌（今东平东宿城镇西北） 白敏中命人将其追回 字用晦 将他们分为六等定罪 ”敦礼进曰：“昔周公诛管蔡 只有岑羲恪守正道 皆不可立 《旧唐书·白敏中传》：敏中少孤 唐文宗将陈夷行召到长安 起义宁尽贞观末 俶以上旨释之 9.诏许何 力观省其母 15. 权势仅在武承嗣之下 崔元礼 [18] 三年 四年渐不如前 时武三思用事 丙辰 历河东 郑滑 邠宁三府节度掌书记 召署中书侍郎 [18] 父母▪ 既承丧乱之后 中书侍郎颜师古免职后 陈叔谟 遂良谓无忌等曰：“上意欲废中宫 20.敬德擐甲持矛 卒 以兵多积谷为上策 京 兆长安(今西安市)人 不久便立李世民为皇太子 加太子太师 字 陈叔俭 此后 后改任兵部侍郎 但其在书法上的名望不减 刘备托诸葛 咸通元年（860年） 年六十一 李绩崔敦礼灭之 便趁机提出派大臣前去镇抚 鞠躬尽瘁 入宫 唐玄
数学归纳法及应用列举
（2）1 4 27 310 ... n(3n 1) n(n 1)2
用数学归纳法证明：
1 1 1 ... 1 2 n (n N *)
23
n
13 23 33 .... n3 1 n2 (n 1)2 4
例题讲解：
题2：用数学归纳法证明： 12 23 34 ..... n(n 1) 1 n(n 1)(n 2)
3
练习： 用数学归纳法证明以下等式： （1）12 22 32 .... n2 n(n 1)(2n 1)
2.1 数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
先证明当n 取第一个值 n（0 如 n0 1 ）时
命题成立，然后假
设当 n k(k N , k n0 )时命题成立，
再证明当 n k 1 时命题
也成立，那么就证明这个命题成立， 这种证明方法叫做数学归纳法．
2.1 数学归纳法及其应用举例
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
(n N *)时从n=k变成n=k+1时，左边应增添
的因式是（A） (A) 2k+1 (C) (2k 1)(2k 2)
k 1
2k 1
(B)
k 1
(D) 2k 3 k 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
(3)用数学归纳法证明： 2+4+6+……+2n=n2+n
数学归纳法
（一）
问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校 的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所 学校里的学生都是男同学。 问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
应用一：证明恒等式 例1、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ）.
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。
②假设n=k(k∈N,k≥1)时等式成立,即：
1+3+5+……+(2k-1)=k2，
当n=k+1时：
1+3+5+……;2k+1=(k+1)2，
1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。
☺
一、概念
1、归纳法： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况， 归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法
不完全归纳法
所以当n=k+1时等式也成立。
❋用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题1,2。
2、数学归纳法：
我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况 有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归 纳法又不可靠，怎么办？
----用数学归纳法
步骤：①验证n=n0时命题成立。（n0为n取的第一个值） ②假设n=k(k∈N ,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1 时命题也成立。 ③根据①②得出结论。
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利用数学归纳法解题举例归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳0的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
一、运用数学归纳法证明整除性问题例1.当n∈N,求证:11n+1+122n-1能被133整除。
证明:(1)当n=1时，111+1+1212×1-1=133能被133整除。
命题成立。
(2)假设n=k时，命题成立，即11k+1+122k-1能被133整除，当n=k+1时，根据归纳假设，11k+1+122k-1能被133整除。
又能被133整除。
所以，11(k+1)+122(k+1)-1能被133整除，即n=k+1时，命题成立。
由(1),(2)命题时n∈N都成立。
点评:同数学归纳法证明有关数或式的整除问题时，要充分利用整除的性质，若干个数（或整式）都能被某一个数（或整式）整除，则其和、差、积也能被这个数（或整式）整除。
在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时。
要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、结合、添项、减项、分解、化简等技巧。
二、运用数学归纳法证明不等式问题例2.设an ＝12×＋23×＋…＋n n()+1(n∈N),证明：12n(n＋1)<an <12(n＋1)2。
【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。
n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为ak+1＝ak＋()()k k++12,所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上()()k k++12，再与目标比较而进行适当的放缩求解。
【解】当n＝1时，an ＝2，12n(n+1)＝12，12(n+1)2＝2 ，∴ n＝1时不等式成立。
假设当n＝k时不等式成立，即：12k(k＋1)<ak<12(k＋1)2，当n＝k＋1时，12k(k＋1)＋()()k k++12<ak+1<12(k＋1)2＋()()k k++12,1 2k(k＋1)＋()()k k++12>12k(k＋1)＋(k＋1)＝12(k＋1)(k＋3)>12(k＋1)(k＋2)，1 2(k＋1)2＋()()k k++12＝12(k＋1)2＋k k232++<12(k＋1)2＋(k＋32)＝12(k＋2)2，所以12(k＋1)(k＋2) <ak<12(k＋2)2，即n＝k＋1时不等式也成立。
综上所述，对所有的n∈N，不等式12n(n＋1)<an<12(n＋1)2恒成立。
【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。
本题中分别将()()k k ++12缩小成(k ＋1)、将()()k k ++12放大成(k ＋32)的两步放缩是证n ＝k ＋1时不等式成立的关键。
为什么这样放缩，而不放大成(k ＋2)。
这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。
三、 运用数学归纳法证明几何问题例3．平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点.求证：这n 条直线把平面分成f(n)=222++n n 个部分. 解:（1)当n ＝1时，一条直线将平面分成两个部分，而f(1) =222112=++, ∴命题成立．(2)假设当n=k 时，命题成立，即k 条直线把平面分成f (k) =222++k k 个部分,则当n=k ＋1时，即增加一条直线l ,因为任何两条直线不平行，所以l 与k 条直线都相交有k 个交点；又因为任何三条不共点，所以这k 个交点不同于k 条直线的交点，且k 个交点也互不相同．如此这k 个交点把直线l 分成k 十1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加的平面分为k ＋1.∴n=k 十1时命题成立．由（1），(2）可知，当n ∈N *时，命题成立．四、 运用数学归纳法证明等式例4．是否存在常数a,b,c ，使等式成立。
证明:分别用n=1,n=2,n=3代入等式得:再用数学归纳法证明，，即13+23+33+……+n3=n2(n2+2n+1)。
(1)当n=1时，左边=右边=1，等式成立。
(2)假设n=k时(k≥1,k∈N)等式成立，则n=k+1时，13+23+……+k3+(k+1)3=k2(k2+2k+1)+(k+1)3(k+1)2(k2+4k+4)=(k+1)2[(k+1)2+2(k+1)+1]∴当n=k+1时，等式也成立。
由(1),(2)可知，n∈N，原等式成立。
点评:这类开放型问题一般可采用n的特殊值，探求待定系数，然后再证明命题成立。
但证明方法不唯一，除数学归纳法外，有时还可使用其他方法。
如本题可先直接求的13+23+33+……+n3和。
五、利用数学归纳法证明数列问题例5.已知数列811322··，得，…，8212122··nn n()()-+，…。
Sn为其前n项和，求S1、S2、S3、S4，推测Sn公式，并用数学归纳法证明。
【解】计算得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081，猜测Sn ＝()()2112122nn+-+(n∈N)。
当n＝1时，等式显然成立；假设当n＝k时等式成立，即：Sk ＝()()2112122kk+-+，当n＝k＋1时，Sk+1＝Sk＋81212322··()()()kk k+++＝()()2112122kk+-+＋81212322··()()()kk k+++＝()()()()()() 21232381212322222k k k kk k+⋅+-+++++··＝()()()()()212321212322222k k kk k+⋅+--++·＝()()2312322kk+-+,由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。
综上所述，等式对任何n∈N都成立。
【注】把要证的等式Sk+1＝()()2312322kk+-+作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)2，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）2－1。
这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。
本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。
假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。
必须要进行三步：试值→ 猜想→ 证明。