热学教程习题参考解(第四章)

《热学教程》习题参考答案
第四章 习 题
4-1. 电子管的真空度为1.333×103-Pa,设空气分子有效直径为3.0×1010-m,求27℃时空气分子的数密度n ,平均自由程λ和碰撞频率Z .(答: 3.2×1017m 3-，7.8 m ，60s 1-) 解：由nkT P =，可得
)m (1021.3317-⨯==
kT
P
n 分子平均自由程为
)m (78.7212
==
n
d πλ
碰撞频率为
)s (2.6081-==
=
λπμ
λ
RT
v
Z
4-2. 求氦原子在其密度2.1×102-kg/m 3,原子的有效直径=d 1.9×1010-m 的条件下的平均自由程λ.(答:1.97×106-m) 解：由n N mn A
μ
ρ=
=，可得
)m (1016.3324-⨯==
μ
ρA
N n 分子平均自由程为
)m (10972.1216
2
-⨯==
n
d πλ 4-3. 试估算宇宙射线中的质子在海平面附近的平均自由程.(答：约m 102.16-⨯)
4-4. 测得温度15℃和压强76cmHg 时氩原子和氖原子的平均自由程分别为
Ar λ=6.7×108-m 和Ne λ=13.2×108-m ，试问：(1)氩原子和氖原子的有效直径各为多少？(2) 20℃和15cmHg 时Ar λ和-40℃和75cmHg 时Ne λ多大？(答(1)101063.3-⨯m,
101059.2-⨯m; (2) 71045.3-⨯m, 71080.1-⨯m)
解：(1)由P
d kT
n d 2
2221ππλ==
，可得 )m (1063.32102
1Ar Ar
-⨯=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=λπP kT d
)m (1059.22102
1Ne Ne -⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=λπP kT d
(2)由分子平均自由程与温度及压强的关系
)m (1045.3107.6288157629378Ar1121
2Ar2--⨯=⨯⨯⨯⨯==
λλT P P T )m (1008.1102.13288
757623378Ne1121
2Ne2--⨯=⨯⨯⨯⨯==
λλT P P T 4-5. 高空的一片降雨云层,单位时间通过单位面积的降雨量为Q =10cm/hour 。

设雨滴在垂直降落过程中始终保持半径为R =1mm 的球状，空气对它的阻力正比与雨滴的速率，比例系数α是常数，等于3.0×103-g/s 。

现有一小昆虫以恒定的速度u (10=u m/s)在此雨区内作水平飞行，若把小昆虫处理为半径为r =4 mm 的小球，当降雨持续稳定后，试确定此小昆虫在雨区中飞行时的平均自由程之上限和下限。

(答:326max .=
λ
cm, 0m in =λ)
4-6. 在5cm×5cm×5cm 加热到770 K 的炉膛中充满原子量为133的铯(Cs)饱和蒸汽,蒸汽压为1.1×104Pa.已知铯原子的有效直径为5.40×1010-m ，试求:(1)一个铯原子飞越炉膛而不经受一次碰撞的概率多大? (2)一个铯原子每秒钟平均发生多少次碰撞? (3)整个炉膛中所有铯原子之间每秒钟将发生多少次碰撞?确(答:(1)()
407.6ex p 1⨯-; (2)4.67×108s 1-; (3) 3.0×1028s 1-)
4-7. 一氢分子(直径为1.0×1010-m)以方均根速率从炉中(=T 4000K)逸出进入冷的氩气室中，室内氩气密度为40×1025个原子每立方米(氩原子直径为3.0×1010-m)，试问：(l)氢分子的速率为多大？(2)把氩原子与氢分子都看成球体，则在相互碰撞时它们中心之间靠得最近的距离为多少？(3)最初阶段，氢分子每秒内受到的碰撞次数为多少？（答：(1)7063 m/s (2)2.0×1010-m (3)3.55×1011s 1-） 解：(1) )m/s (706132==
=μ
RT
v v
(2) )m (100.22
10Ar
H 2-⨯=+=
d d d
(3) 碰撞次数为
)s (1055.31112-⨯===nv d Z N π
4-8. 某种气体分子的平均自由程为10cm 。

在10000段自由程中(1)有多少段比10cm 长? 有多少段比50cm 长? (2)有多少段长于5cm 和短于10cm 以及界于9.9cm 和10cm 之间? (3)自由程恰为10cm 的气体分子有多少?(答:(1)3679,67 (2)2386,37 (3)无 ) 解：(1) 已知：cm 10=λ，100000=N ，cm 101=λ，cm 502=λ，
3679e
1
)exp()](1[010011==-
=-=N N N P N λλλ 67e
1
)exp()](1[0520022==-
=-=N N N P N λλλ (2) 已知：cm 53=λ，cm 103
='λ，cm 9.94=λ，cm 104='λ 2386
)e 1
e
1()]exp()[exp()]}exp(1[)]exp(1{[)]()([00.5330330033
3=-='---=---'--=-'=N N N N P P N λλλλλ
λ
λλλλ
37)e 1
e
1()]exp()[exp()]()([00.99440044
4=-='---=-'=N N N P P N λλλλλλ (3) 已知：cm 105=λ，cm 105
='λ 0)e
1
e 1()]exp()[exp()]()([0550055
5=-='---=-'=N N N P P N λλλλλλ 4-9. 某时刻氧气中有一组分子都刚与其它分子碰撞过，若已知此氧气的平均自由程为2.0cm ，问经过多长时间这一组氧分子中还有一半未与其它分子相碰撞？假设这一组分子都以平均速率在温度为300K 的氧气中运动。

(答:3.1×105-s)
解：已知：cm 0.2=λ，K 300=T ，设经过t 时间还有一半未与其它分子相碰撞，则分
子走过的距离为t v x =，πμ
RT
v 8=
，则
2
1
)exp()(1=-
=-λx
x P → t v x ==2ln λ 则 )s (1011.32ln 85-⨯=⋅=
λπμ
RT
t
4-10. 需将阴极射线管抽到多高的真空度，才能保证从阴极发射出来的电子中有90%能无碰撞地达到20cm 处的阳极？取取温度300K 时的空气分子的有效直径3.65×1010-m.(答:21080.2-⨯Pa)
解：已知：cm 20=λ，%90)(=λP ，K 300=T ，m 1065.310-⨯=d ，则
9.0)exp()(1=-=-λ
λ
λP → )1.9(m 190(cm)9
.0ln ==-
=λ
λ
由于电子的有效直径与气体分子的有效直径相比，可以忽略不计，因而可把电子看成质点。

又因为，因电子的速率远远大于气体分子的平均速率，所以气体分子可看作相对静止，所以凡中心离电子的距离等于或小于的分子都能与电子相碰，且碰撞截面为：
224
1)2(d d ππσ==
电子的平均自由程为
P
d kT n 241πσλ==
则 )Pa (1008.242
2
-⨯==
λ
πd kT P 4-11. 设阴极射线管中电子束在数密度为n 和有效直径为d 的气体中行进。

当电子束入射压强为=p 13.3 Pa 的气体时,在阴极处的电子流为104-A,而在离阴极距离0.1m 处测得的电子流为3.68×105-A 。

(1)已知气体分子的有效直径为1Å，试应用思考题4-1的结果，求电子的平均自由程e λ和气体的温度T ；(2)当气体的压强为=p 26.6 Pa 时，探测器测得的电子流为多少安培? (答: (1)10 cm ，757 K ；(2)1.35×105-A)
4-12. 用旋转圆柱体法测量气体的粘滯系数。

将半径为1R 的圆柱体沿轴悬挂在金属细丝上，柱体外套一个与之共轴的半径为2R 的圆筒，其间充粘滯系数需测定的气体。

当外筒以一定角速度ω转动时，气体粘滯性使圆柱体受到力矩M ，产生小扭转角ϑ与金属细丝的扭转力矩βϑ=M 相平衡。

β称为扭转模量，与细丝材料的性质和尺度有关。

在金属细丝上固定有光点反射镜，由光点的移动可精确地测定扭转角ϑ，从而求出气体的粘
滞系数η。

试证明粘滞系数()
L R R R R 2
1222122
4πωβϑη-=，这里的L 是圆柱体的长。

4-13. 设有半径为2R 的柱形圆筒，其中含有半径为1R 的并与之同轴的圆柱体，以速度u 沿轴线朝正z 方向运动。

试确定粘滞系数为η的、充满柱形圆筒和柱体之间的不可
压缩气体(或液体)的流动速度谱()r v 以及作用于柱体表面(或柱形圆筒内壁)单位长度上的粘滞力τ。

(答:()r v =()()212ln ln R R R r u ；()21R R u πητ2=) 解：取单位长度柱体，由牛顿粘滞定律及粘滞现象的宏观规律：
t r dr
dv
t S dr dv K ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
=πηη2 变换： tdv r
dr
K
πη4= 积分：tu R R K tdv r dr
K
u R R ⋅=⇒⋅=⎰⎰πηπη2ln 22
101
2 tv R r
K tdv r dr K
v r
R
⋅=⇒⋅=⎰⎰πηπη2ln 22
02
两式比较：)
/ln()
/ln()(212R R R r u
r v =
单位长度柱体表面受到的粘滞力为
)
/ln(22])/ln()/ln([212212R R u
R R R R r u dr d S dr dv πηπηητ=⋅⋅=⋅⋅
= 4-14. 同心圆壳半径分别为21r r 和(21r r >),中间充满热导率为χ的气体。

在球中心装有辐射功率为P 的球形热源,使得内圆壳的温度2T ,外圆壳的温度1T ,试求气体内稳定的温度分布和确定热导率χ的公式.(答: ()()()()1
1
121
12201020------=--r r
r r T T T T ;
()
()102011124T T r r P --=--πχ.)
解：气体内稳定时，一定时间内球形热源向外传递的热量是恒定的，由热传导定律
24r dr
dT
P πχ⋅⋅
= 变换： dT r
dr
P
πχ42= 积分：)(4)11(421122121
2
T T P r r dT r dr P
T T r r -=-⇒=⎰⎰πχπχ )(4)11(422222
T T P r r dT r
dr P
T T r
r
-=-⇒=⎰⎰πχπχ
两式比较：11
121
12212)(-------+=r r r r T T T T
由第一式：)
(4)11(
2112T T P r
r --=πχ
4-15. 今测得氮气在0℃时的导热系数为23.7×103-W/m ﹒K ，定容摩尔热容为20.9 J/mol ﹒K,试计算氮分子的有效直径。

(答:2.23×1010-m)
解：根据V V C R T d k c v ,23231μπμπλρχ⋅==
则
)m (1023.2)32(
102
1,-⨯==R
T
kC d V
πμχπ
μ
4-16 若人体皮肤表面温度为C 33 ,表面积为2m 8.1，若已知他所穿衣服厚m 01.0，导热系数约为K m w 10
42
⋅⨯-,当晚的环境温度C 5 -，试估计人体在单位时间里向外
界散发的热量.（答：约274 W ）
解：由热传导定律，单位时间内传递的热量为：
)J (6.273)J (8.101
.0)5(331042=⋅-⋅⨯=⋅∆⋅
=-S d T Q χ 4-17. 在标准状态下，氦气的粘滞系数为1.89×105-Pa ﹒s,求:(l)在此状态下氦原子的平均自由程λ；(2)氦原子的半径.(答:(1) 2.65×107-m (2)8.9×1011-m)
解：(1) 根据λπμ
λπμμλρη⋅⋅=⋅⋅==RT p RT RT p v 83183131
则
)m (1064.2837-⨯==
μ
πηλRT
p
(2) 根据 P
d kT 2
2πλ=
则
)m (109.8)2(2121121
-⨯===P
kT d r λπ
4-18. 在标准状态下，氧的扩散系数为1.9×105-m 2/s ，求氧分子的平均自由程λ和分子有效直径d 。

(答: 8103.13-⨯m, 2.5×1010-m)
解：根据λπμλ⋅⋅==RT
v D 83131
则 )m (1034.1837-⨯==RT
D
πμ
λ
根据
P
d kT 2
2πλ=
则
)m (105.2)2(102
1
-⨯==P
kT d λπ
4-19. 保温瓶胆的两壁间相距=l 4×103-m,已知空气分子的直径为=d 3.0×1010-m,求室温17℃下,瓶胆的两壁间的压强降为多少时,才能使空气的导热系数等于大气压下导热系数1％,从而使保温瓶有保温作用.(答:2.56×102-Pa)
解：根据V V C R
T
k c v ,3231μπμσλρχ⋅
==，χ与P 无关，但是P 值减小到λ与容器的线度可相比时，则χ随P 值的减小而减小，因此当l ≥λ时，压强为
)Pa (50.2222
2===
l
d kT
d kT P m πλπ 随后χ随P 值的减小而减小，减小为1%时，
)Pa (1050.2%12-⨯==m P P
4-20. 用热线法测定气体热导率。

如图所示，有长为=l 0.10 m 和内壁半径为=2r 5.0×104-m 的金属圆柱形筒，其中沿轴张有半径为
=1r 5.0×105-m 电阻丝。

已知筒中贮有压强为1atm 的氦气，当电阻丝单
位长度消耗电能10.50J/m ﹒s 时，电阻丝的温度1T =300K ，金属筒壁的温度2T =273K ，试求氦气中建立稳定温度场后：(1)氦气的热导率χ；(2)氦原子的平均自由程(温度取1T 和2T 的平均值)λ；(3)氦原子的有效直径
d 。

(取三位有效数字) (答：(1)0.143 J/m ﹒s ﹒K;(2) 71075.6-⨯m ；(3)1.16×1010-m) 解：(1)设单位时间单位长度消耗电能为P ，由热传导定律
rl dr
dT
Pl πχ2⋅⋅
-= 习题4-20图
变换： dT r
dr
P πχ2-= 积分：)(2ln 2211
2212
1
T T r r P dT r dr
P
T T r r -=⇒-=⎰⎰πχπχ
则：
)K s m /J (143.0)
(2)
/ln(2112⋅⋅=-=
T T r r P πχ
(2)由
λπμλπμλμπμμλρχμT
R p R RT RT p C RT RT p c v V V 22383183131,=⋅=⋅==
气体的平均自由程：)m (1057.627-⨯==
R
T
p πμχλ
(3) 根据 P
d kT 2
2πλ=
则
)m (1016.1)2(1021
-⨯==P
kT d λπ
4-21. 一夜寒流未名湖上的空气温度a T 骤降到冰点i T 以下,温度为0T 的湖面上结出厚度为0z 的一层冰.若已知水的比热,冰的导热系数和单位质量的熔解热分别为p c ,κ和l ;冰层与大气间的对流放热系数为h ,试求形成0z 冰层厚度所需时间τ.(注意: 冰层上表面温度b T 是可变的,它随冰层厚度z 的增加而减小.冰厚z 处在t d 时间内增加z d 厚度所放出来的热量和熔解热将通过对流放热释放出来.)
( 答:()[]()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=220a i p i 012h z T T l c T T κκρτ)。