2019版三维方案数学同步人教A版选修4-4 第二讲 一 曲线的参数方程 2.圆的参数方程

2．圆的参数方程圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝yr ，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)．[例1] (1)在y 轴左侧的半圆(不包括y 轴上的点)； (2)在第四象限的圆弧．[解] (1)由题意，圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ∈[0,2π))，在y 轴左侧半圆上点的横坐标小于零，即x ＝r cos θ<0，所以有π2<θ<3π2，故其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ>0，y ＝r sin θ<0，解得3π2<θ<2π.故在第四象限的圆弧的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π.(1)确定圆的参数方程，必须仔细阅读题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题易忽视θ的范围而致误．(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎨⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，12为半径的圆.[例2] 若x ，y 22[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ， 则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)， ∴－25≤2x ＋y ≤25，即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2. 故实数a 的取值范围为[1－2，1＋2]．一、选择题1．已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：选D 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．2．已知圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选B 圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化成普通方程为(x ＋1)2＋y 2＝2，圆心(－1,0)到直线y ＝x ＋3的距离d ＝|－1＋3|2＝2，故选B.3．若直线y ＝ax ＋b 经过第二、三、四象限，则圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限解析：选B 根据题意，若直线y ＝ax ＋b 经过第二、三、四象限，则有a <0，b <0.圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)，圆心坐标为(a ，b )，又由a <0，b <0，得该圆的圆心在第三象限，故选B.4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入得， (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝34，所以其最大值为36. 二、填空题5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________．解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)令2cos θ＝1，得cos θ＝12，∴sin θ＝±32.∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)． 答案：(1，3)，(1，－3)6．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：根据题意，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，表示圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1的圆，而直线的方程为x ＋y －1＝0，易知圆心在直线上， 则AB 为圆的直径，故|AB |＝2r ＝2. 答案：27．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)，则直线l 与圆C 相交所得的弦长为________．解析：直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1， 展开可得32ρsin θ＋12ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋3y －2＝0，圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝4， 可得圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－3－2|12＋(3)2＝32.∴直线l 与圆C 相交所得弦长＝2r 2－d 2＝24－⎝⎛⎭⎫322＝7.答案：7 三、解答题8．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t (t 为参数，0≤t ≤π)化为普通方程，并说明方程表示的曲线．解：因为0≤t ≤π，所以－3≤x ≤5，－2≤y ≤2.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t ，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＝16cos 2t ＋16sin 2t ＝16，所以曲线的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝16(－3≤x ≤5，－2≤y ≤2)．它表示的曲线是以点(1，－2)为圆心，4为半径的上半圆．9．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32. 10．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值． 解：(1)O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的普通方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，由(1)知圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2.。