2019版三维方案数学同步人教A版选修4-4 第二讲 一 曲线的参数方程 2.圆的参数方程

2．圆的参数方程

圆的参数方程

(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝y

r ，即圆心在原点O ，

半径为r 的圆的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝r cos ωt ，

y ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀

速圆周运动的时刻．

(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为

⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝r cos θ，

y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．

(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋R cos θ

y ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)．

[例1] (1)在y 轴左侧的半圆(不包括y 轴上的点)； (2)在第四象限的圆弧．

[解] (1)由题意，圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝r cos θ，

y ＝r sin θ

(θ∈[0,2π))，

在y 轴左侧半圆上点的横坐标小于零，即x ＝r cos θ<0，所以有π2<θ<3π

2

，故其参数方程为

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝r cos θ，y ＝r sin θ

⎝⎛⎭⎫

θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝r cos θ>0，y ＝r sin θ<0，

解得3π

2

<θ<2π.故在第四象限的圆弧的参数方程为

⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝r cos θ，y ＝r sin θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π.

(1)确定圆的参数方程，必须仔细阅读题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题易忽视θ的范围而致误．

(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．

1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，

则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋cos θ，

y ＝sin θ

(0≤θ＜2π)．

2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝cos θ，

y ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明

轨迹是什么曲线．

解：设中点M (x ，y )．则⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝2＋cos θ2，

y ＝0＋sin θ2

，即⎩⎨⎧

x ＝1＋1

2

cos θ，

y ＝1

2sin θ，

(θ为参数)这就是所

求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，1

2

为半径的圆.

[例2] 若x ，y 22[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．

[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ， 则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，

故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)， ∴－25≤2x ＋y ≤25，

即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.

圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．

3．已知圆C ⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝cos θ，

y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．

解：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，

即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π

4. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π

4≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2. 故实数a 的取值范围为[1－2，1＋2]．

一、选择题

1．已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ

(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )

A ．(0,2)

B ．(0，－2)

C ．(－2,0)

D ．(2,0)

解析：选D 将⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2＋2cos θ，

y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．

2．已知圆的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝－1＋2cos θ，

y ＝2sin θ

(θ为参数)，则圆心到直线y ＝x ＋3的距

离为( )

A ．1 B. 2 C ．2

D ．2 2

解析：选B 圆的参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－1＋2cos θ，

y ＝2sin θ(θ为参数)化成普通方程为(x ＋1)2＋

y 2

＝2，圆心(－1,0)到直线y ＝x ＋3的距离d ＝|－1＋3|

2

＝2，故选B.

3．若直线y ＝ax ＋b 经过第二、三、四象限，则圆⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心

在( )

A ．第四象限

B ．第三象限

C ．第二象限

D ．第一象限

解析：选B 根据题意，若直线y ＝ax ＋b 经过第二、三、四象限，则有a <0，b <0.圆的

参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝a ＋r cos θ，

y ＝b ＋r sin θ

(θ为参数)，圆心坐标为(a ，b )，又由a <0，b <0，得该圆的圆

心在第三象限，故选B.

4．P (x ，y )是曲线⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值

为( )

A ．36

B ．6

C ．26

D ．25

解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入得， (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α

＝26＋10sin(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝3

4，所以其最大值为36. 二、填空题

5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________．

解析：圆x 2

＋y 2

＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2cos θ，

y ＝2sin θ

(θ为参数)

令2cos θ＝1，得cos θ＝12，∴sin θ＝±3

2.

∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)． 答案：(1，3)，(1，－3)

6．曲线⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝cos θ，

y ＝1＋sin θ(θ为参数)与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.