2.4.1抛物线及其标准方程教案(人教版 选修2-1)
高中数学人教A版选修2-1第二章2.4.1 抛物线及其标准方程教案
2.4.1 抛物线及其标准方程教学目标：1. 理解抛物线线的定义,2. 掌握抛物线的四种标准方程，及其特征.3. 强化坐标法求轨迹方程的步骤..一、新课引入1. 二次函数y=x2的是图像开口的抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为 .2. 二次函数y=−x2+4x+3的是图像开口的抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.3. 已知点F是平面内一定点，直线l是平面内不经过F的定直线.H是l上任意一点，过点H作l的垂线l1，线段FH的垂直平分线m交l1于点M，拖动点H，你能发现点M的轨迹满足的几何条件是什么？答：点M的轨迹满足的几何条件是.二、新知讲授1. 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（）的点的轨迹叫做抛物线.规定：点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的.2. 抛物线的标准方程：（1）焦点在x轴上，y2=（p>0）；（2）焦点在y轴上，x2=（p>0）.特征：当时，焦点在x轴上；当时，焦点在y轴上.三、典型例题例1. 概念辨析：若直线l经过点F，则点M的轨迹为.例3. 已知抛物线的标准方程为y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是F(0，−2)，求它的标准方程.例2. 已知点F是平面内一定点，直线l是平面内不经过F的定直线.H是l上任意一点，过点H作l的垂线l1，线段FH的垂直平分线m交l1于点M，求点M的轨迹方程.（记点F到直线l的距离为p（p>0））四、课堂练习练1. 根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F(3，0)的抛物线的标准方程是.（2）准线方程是x=−1的抛物线的标准方程是.4（3）焦点到准线的距离是2，且焦点在x轴上的抛物线的标准方程是.练2. 求下列抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程：（1）抛物线y2=20x开口向，焦点坐标是，准线方程是；y开口向，焦点坐标是，准线方程是；（2）抛物线x2=12（3）抛物线2y2+5x=0开口向，焦点坐标是，准线方程是；（4）抛物线x2+8y=0开口向，焦点坐标是，准线方程是.练3. 已知二次函数y=ax2（a≠0）。
选修2-1教案2.4.1抛物线及其标准方程、几何性质
2.4 抛物线及其标准方程（一）教学要求：掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题.教学重点：求出抛物线的方程.教学难点：抛物线标准方程的推导过程.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下在椭圆、双曲线中学过的动点、定点、定直线吗？2、讨论：若一个动点(,)p x y 到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？二、讲授新课：1、教学抛物线① 定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线.(定义的实质可归纳为”一动三定”)② 抛物线的标准方程:22(0)y px p => 焦点坐标是( ,0)2p F 准线方程是x=-2p 22(0)y px p =-> 焦点坐标是( ,0)2p F - 准线方程是x=2p 22(0)x py p => 焦点坐标是(0, )2p F 准线方程是y=-2p 22(0)x py p =-> 焦点坐标是(0, )2p F - 准线方程是y=2p 2、教学例题：①出示例1：求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1) 焦点坐标是(5,0 )F -(2) 经过点(3,2 )A -(3) 焦点在直线240x y --=上（抛物线草图----抛物线方程---参数p ）②变式训练:求顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线且截直线0210x y -+=.③出示例2：已知抛物线的标准方程是(1)28y x =,(2) 28y x =, 求它的焦点坐标和准线方程（教师示范 → 学生板演 → 小结）3、小结：抛物线的定义;抛物线的标准方程.三、巩固练习：１.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点坐标是(0,4)(2)准线方程是y=4-２. 抛物线2(0)y ax a =≠3.作业：课本P69 1、2题2.4 抛物线及其标准方程（二）教学要求：掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题.教学重点：求出抛物线的方程.教学难点：抛物线标准方程的推导过程.教学过程：一、复习准备：1. 提问：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）220x y =（2）280y x +=2. 焦点在直线4x-3y-12=0上的抛物线的标准方程是_______.二、讲授新课：1、教学抛物线方程的求解① 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化到准线的距离.② 在求抛物线方程时，可以先根据题目的条件做出草图，确定方程的形式后再求参数p 的值.2、教学例题：（1）求抛物线方程① 出示例1：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,3)M m -到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程.（教师讲思路→学生板演→小结方法）② 练习:顶点在原点,焦点在y 上,且过点(4,2 )p 的抛物线方程是______（2）应用抛物线方程③ 出示例2:直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点,过,A B 两点向抛物线的准线做垂线,垂足分别是,P Q ,则梯形APQB 的面积为______(作图----抛物线方程----解决问题)④ 练习:过抛物线24y x =做倾斜角为34π的直线交抛物线与,A B 两点,则AB 的长是______ （3）实际应用问题⑤ 一辆卡车高3cm ,宽 1.6cm ,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍.若拱宽为acm ,求能使卡车通过的a 的最小整数值.(将实际问题转化为数学问题)3、小结：抛物线的定义;抛物线的标准方程三、 巩固练习：①.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为______ ②.抛物线24y x =的准线方程是______,焦点坐标是______③.点(0,8)M 的距离比它到直线7y =-的距离大于1,求M 点的轨迹方程.④.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5m 时,水面宽为8m ,一木船宽4m ,高2m ,载货后木船露在水面的部分高为34m ,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航? ⑤.作业 教材P69 习题2.3 A 组 3教学要求：通过本节的学习,掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.教学重点：能运用性质解决与抛物线有关的问题.教学难点：数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下抛物线的定义,抛物线的标准方程?2、抛物线212y x =上与焦点的距离等于6的点的坐标二、讲授新课：1、教学抛物线的简单几何性质抛物线的标准方程:22(0)y px p =>① 范围:② 对称性:这条抛物线关于x 对称,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.③ 顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,这条抛物线的顶点就是坐标原点④ 离心率:抛物线上点M 与到焦点的准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e 表示,抛物线的离心率e 为12、教学直线与抛物线的位置关系设直线:l y kx b =+,抛物线22(0)y px p =>,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组22y kx b y px=+⎧⎨=⎩解的个数,也等价于方程2220kx px bp -+=解的个数. 3、教学例题：① 出示例1：斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点,且与抛物线相交于,A B 两点,求AB 的长.（画图 →讲解思路→联立方程组 →学生板演）② 变式训练：过点(4,1)p 做抛物线28y x =的弦AB ,恰被p 所平分,求AB 所在的直线方程 (.求直线方程的基本思路是求出斜率k )③ 出示例2：已知抛物线关于x 轴为对称轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点(2,M -,求它的标准方程.④ 练习:已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点是(0,5)F ,求它的标准方程.3、小结：抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系.三、巩固练习：①、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于12(,)A x x ,12(,)B x x 两点,如果126x x +=,那么||AB 的值为多少?②、抛物线28y x =上一点p 到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点的坐标是______ ③、已知直线:l y kx b =+与抛物线22(0)y px p =>相交与,A B 两点,若OA OB ⊥,(O 为坐标原点),且AOB S ∆=,求抛物线的方程.④、作业：教材P69 第4题.教学要求：通过本节的学习,掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.教学重点：能运用性质解决与抛物线有关的问题.教学难点：数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用.教学过程：一、复习准备：1、提问：回顾抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系.2、已知抛物线的焦点是(0,8 )F -,准线是8y =,求它的标准方程.二、讲授新课：1、教学直线与抛物线的位置关系设直线:l y kx b =+,抛物线22(0)y px p =>,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组22y kx b y px=+⎧⎨=⎩解的个数,也等价于方程2220kx px bp -+=解的个数 ① 当0k ≠时,当0∆>时,直线和抛物线相交,有两个公共点;当0∆=时,直线和抛物线相切,有一个公共点;当0∆<时,直线和抛物线相离,无公共点② 若0k =,则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交,有一个公共点,特别地,当直线的斜率不存在时,设x m =,则当0m >, l 与抛物线相交,有两个公共点;当0m =时,与抛物线相切,有一个公共点,当0m <时,与抛物线相离,无公共点.2、教学例题：① 出示例1：已知抛物线方程为24y x =,直线l 过定点(2,1)P -,斜率为k ,当k 何值时,直线l 与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.（教师讲思路→学生板演→小结方法）② 练习：过定点(0,1)P 且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程.③ 出示例2：过抛物线22y x =的顶点做互相垂直的二弦,OA OB .（1）、求AB 中点的轨迹方程 （2）证明：AB 与x 轴的交点为定点④ 练习：求过点(1,1)A -，且与抛物线22y x =+有一个公共点的直线方程）3、小结：直线与抛物线的位置关系.三、巩固练习：1、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点(-到焦点的距离是6，则抛物线的方程为___________2、抛物线24y x =-关于直线2x y +=对称的曲线的顶点坐标为___________3、求抛物线264y x =上的点到到直线43460x y ++=的距离的最小值，并求取得最小值时抛物线上点的坐标.4、经过抛物线28y x =-的焦点且和抛物线的对称轴成60︒的直线交,A B 两点，求||AB 的值5、作业：教材P70 B 组 第1题.。
人教版数学选修2-1抛物线及其标准方程教学案
2.4.1.1抛物线及其标准方程班级姓名小组号【学习目标】1.通过教材了解抛物线的定义，准线及焦点.2.通过教学案掌握焦点在两坐标轴上的抛物线的标准方程.3.通过教师讲解会求简单的抛物线的标准方程，解决相关题目.【重点难点】重点：掌握抛物线的定义、准线及在坐标轴上的标准方程；难点：根据标准方程判断抛物线的焦点、准线的位置，以及求抛物线的标准方程.【学情分析】初中我们学习过二次函数，知道二次函数是一条抛物线，本节课我们将继续研究抛物线及它的相关知识。
我们将先通过数形结合思想根据抛物线的定义来求解它的标准方程，进而引出准线方程。
以及在选择不同的坐标系我们得到不同形式的标准方程。
【导学流程】自主学习内容一、回顾旧知：二、基础知识感知1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2.准线的方程：设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.抛物线就是集合.准线的标准方程为：22(0)y px p=>.它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2px=-.3抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px=，22y px=-，22x py=，22x py=-(0)p>。
三、探究问题:【例1】已知抛物线的标准方程是y²=6x，求它的焦点坐标和准线方程。
【例2】2．以双曲线91622yx-=1的中心为顶点，左顶点为焦点的抛物线方程是（）A.216y x=- B.216y x= C.28y x=- D.28y x=四、基础知识拓展与迁移抛物线还有哪些不同的形式？}|||{dMFMP==请及时记录自主学习过程中的疑难：小组讨论问题预设:已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M-，求它的标准方程。
提问展示问题预设：-的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：求过点(3,2)课堂训练问题预设：1.抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为2.到点A(－1,0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是________．整理内化：1.课堂小结2.本节课学习内容中的问题和疑难3.教学反思2.4.1.1抛物线及其标准方程【课后限时训练】时间50分钟第Ⅰ部分 本节知识总结第Ⅱ部分 基础知识达标一、选择题1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是A ．28y x =- B ．28y x =C ．24y x =-D ．24y x =2．若抛物线2y ax =的准线与椭圆22143x y +=的右准线重合，则a 的值是（ ） A.8 B.8- C.16 D.16- 3.抛物线21(0)y x m m=<的焦点坐标是( ) A.(0,)4m B. (0,)4m - C. 1(0,)4m D. 1(0,)4m- 4. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．45.以双曲线91622y x -=1的中心为顶点，右顶点为焦点的抛物线方程是（ ） A.216y x =- B.216y x = C.28y x =- D.28y x =二、填空题6．以双曲线221169x y -=的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．7．抛物线y 2＝16x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________． 8.焦点到准线的距离是2的准线方程是 .9.设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是 。
高中数学选修2-1新教学案：2.4.1抛物线及其标准方程(1)
选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程 （学案）（第1课时）【知识要点】 抛物线的定义及其标准方程. 【学习要求】1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,掌握抛物线的定义,准确推导出抛物线的标准方程.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第64 页～第66页）1. 我们学过的二次函数221,2y x y x ==的图象是 . 抛物线2y x =上的点到点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭和直线14y =-的距离的大小关系是 . 抛物线212y x =上的点到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭和直线12y =-的距离的大小关系是 . 上面两个事实说明了什么问题 .2.抛物线、抛物线的焦点、抛物线的准线：平面内与 和 距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的 直线l 叫做抛物线的 .3.根据求曲线方程的步骤,你能想到几种不同的建系方法?能分别推导出对应的方程吗? 取经过点F 且垂直于直线l 的直线为轴,垂足为K ,并使原点与线段KF 的中点重合,建立直角坐标系xoy ,设(0)KF p p =>,那么焦点F 的坐标为 ,准线l 的方程为 ,推导出的抛物线方程为 .4.根据抛物线的方程,填写下面的表格: 标准方程图形 焦点坐标 准线方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->【基础练习】1．根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1) 焦点是()3,0F ; (2) 准线方程式是14x =-; (3) 焦点到准线的距离是2.2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 220y x =; (2) 212x y =; (3) 2250;y x += (4) 280x y += . 【典型例题】例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 24x y =; (2) 235y x =;变式1：求抛物线2y ax =的焦点坐标和准线方程.例2 抛物线的焦点在直线20x y -+=上,则抛物线的标准方程为 ( ) (A) 2244x y y x =-=和 (B) 2244x y y x ==-和 (C) 2288x y y x ==-和 (D) 2288x y y x =-=和 变式2：求焦点在直线240x y --=上的抛物线的标准方程. 例3 抛物线216x y =上的点P 到焦点的距离等于8,求点P 的坐标.变式3：在抛物线22y px =上,横坐标为4的点,到焦点的距离为5,则p 的值为 ( ) (A)12(B) 1 (C) 2 (D) 41. 已知抛物线的焦点为（1，0），则抛物线的标准方程 ( ). （A ）22y x = （B ）22y x =- （C ）24y x = （D ）24y x =- 2. 抛物线214y x =的焦点坐标为 （ ）. （A ）(0,116) （B ）(116,0) （C ）(0,1) （D ）(1,0)3.已知抛物线的准线方程是2x =，则抛物线的标准方程( ).(A) 28y x = (B) 28y x =-(C) 28x y = (D) 28x y =-4.抛物线22y x =上到焦点的距离等于6的点的坐标是 . 5. 抛物线2x ay =的准线方程是2x =,则a 的值为 ( ).(A)18 (B) 8 (C) 18- (D) -86.抛物线24x y =-上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ).(A) 1716-(B) 1516- (C) 78- (D) 07.已知抛物线22(0)y px p =>上有一点(4,)M y ,它到焦点F 的距离为5,则(OFM O ∆为坐标原点）的面积 .8.已知圆222230x y x y +-+-=经过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则p 的值 为 .9.经过点(3,-2)的抛物线的标准方程 .10.抛物线的焦点在y 轴上,点A (m,-2)在抛物线上,且AF =3,求抛物线的标准方程. 11.已知圆222230x y x y +-++=与抛物线22(0)y px p =->的准线相切，则抛物线的方程为 .28y x =上,且动圆恒与直线1. 一动圆的圆心在抛物线20x +=相切，则动圆比过定点 （ ）.（A ）(4,0) （B ）(2,0) （C ）(0,2) （D ）(0,-2)2.抛物线28(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离为a ,则点M 到y 轴的距离为 .选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程 （教案）（第一课时）【教学目标】: 引导从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,掌握抛物线的定义,准确推导出抛物线的标准方程.【重点】 ：对抛物线定义的理解及抛物线方程的推导. 【难点】 ：掌握抛物线的标准方程.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第64 页～第66页）1. 我们学过的二次函数221,2y x y x ==的图象是抛物线. 抛物线2y x =上的点到点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭和直线14y =-的距离的大小关系是相等. 抛物线212y x =上的点到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭和直线12y =-的距离的大小关系是相等. 上面两个事实说明了什么问题抛物线上的点到一个定点和一条定直线的距离相等.2.抛物线、抛物线的焦点、抛物线的准线：平面内与定点和定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点直线l 叫做抛物线的准线.3.根据求曲线方程的步骤,你能想到几种不同的建系方法?能分别推导出对应的方程吗? 取经过点F 且垂直于直线l 的直线为轴,垂足为K ,并使原点与线段KF 的中点重合,建立直角坐标系xoy ,设(0)KF p p =>,那么焦点F 的坐标为,0)p（2,准线l 的方程为px=-2,推导出的抛物线方程为2px =2y .4.根据抛物线的方程,填写下面的表格: 标准方程 图形焦点坐标 准线方程22(0)y px p =>(,0)2p2p x =-22(0)y px p =->(,0)2p -2p x =22(0)x py p =>(0,)2p2p y =-22(0)x pyp =->(0,)2p -2p y =【基础练习】1．根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1) 焦点是()3,0F ; (2) 准线方程式是14x =-; (3) 焦点到准线的距离是2.解: (1) 212y x =; (2) 2y x =; (3) 22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-. 2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 220y x =; (2) 212x y =; (3) 2250;y x += (4) 280x y += .解: (1) 焦点坐标F （5，0），准线方程x=-5 ;(2) 11焦点坐标F （0,），准线方程y=-88 ;(3) 55焦点坐标F （-，0），准线方程x=88;(4) 焦点坐标F （0,-2），准线方程y=2 . 【典型例题】例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 24x y =; (2) 235y x =;【审题要津】 抛物线的方程不是标准方程,可先把平方项的系数比到另一边,然后根据四种不同形式的标准方程写出焦点坐标和准线方程.解: (1)由24x y =得: 214x y =,由12,4p = 18p ∴= ,所以焦点为1(0,)16,准线方程为116y =-; (2)由235y x =得: 253y x =,552,36p p =∴=,所以交点坐标为5(,0)12,准线方程为 512x =-. 【方法总结】求抛物线的焦点坐标和准线方程,关键是把方程化成标准形式. 变式1：求抛物线2y ax =的焦点坐标和准线方程.解: 由2y ax =得: 21111,02,0)24x y a p p a a a a=>==∴当时，焦点为（,准线方程为14y a =-;210a x y a ⎛⎫<=-- ⎪⎝⎭当时，方程为,112,,2p p a a =-=-∴焦点为 1(0),4a 1，准线方程为y=-4a. 例2 抛物线的焦点在直线20x y -+=上,则抛物线的标准方程为 ( C ) (A) 2244x y y x =-=和 (B) 2244x y y x ==-和 (C) 2288x y y x ==-和 (D) 2288x y y x =-=和【审题要津】因为抛物线的焦点在坐标轴上,又在直线20x y -+=上，所以抛物线的焦点为直线20x y -+=与坐标轴的焦点.解: 直线20x y -+=与两坐标轴的交点分别为(-2,0),(0,2).当(-2,0)为焦点时,抛物线的标准方程为28y x =-.当(0,2)为焦点时, 抛物线的标准方程为28x y = .【方法总结】知道了抛物线的焦点,则可求p ,求抛物线标准方程可直接代入标准方程. 变式2：求焦点在直线240x y --=上的抛物线的标准方程.解：直线240x y --=与坐标轴的交点为（4，0），（0，-2）.当焦点为（4，0）时,抛物线标准方程为216y x =;当焦点为（0，-2）时, 抛物线标准方程为28x y =-.例3 抛物线216x y =上的点P 到焦点的距离等于8,求点P 的坐标.【审题要津】根据给出的抛物线方程,求出抛物线的准线,由P 到焦点的距离等于8,知P 到准线的距离也是8,可求出P 点的纵坐标,代入抛物线方程,可求P .解: 由2168,p p ==∴得抛物线的准线为y=-4 ,设点P 的坐标为00(,)P x y ,则2000048,4,4168y y y x y x +=∴====±把代入得：,(8,0),(8,0).P ∴-【方法总结】借助于抛物线定义转化距离是解决此类问题常用的方法.变式3：在抛物线22y px =上,横坐标为4的点,到焦点的距离为5,则p 的值为 ( C ) (A)12(B) 1 (C) 2 (D) 41. 已知抛物线的焦点为（1，0），则抛物线的标准方程 ( C ). （A ）22y x = （B ）22y x =- （C ）24y x = （D ）24y x =- 2. 抛物线214y x =的焦点坐标为 （ C ）. （A ）(0,116) （B ）(116,0) （C ）(0,1) （D ）(1,0)3.已知抛物线的准线方程是2x =，则抛物线的标准方程( B ).(A) 28y x = (B) 28y x =-(C) 28x y = (D) 28x y =-4.抛物线22y x =上到焦点的距离等于6的点的坐标是1111(,11),(,11)22-. 5. 抛物线2x ay =的准线方程是2x =,则a 的值为 ( C ).(A)18 (B) 8 (C) 18- (D) -86.抛物线24x y =-上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( B ).(A) 1716-(B) 1516- (C) 78- (D) 07.已知抛物线22(0)y px p =>上有一点(4,)M y ,它到焦点F 的距离为5,则(OFM O ∆为坐标原点）的面积2.8.已知圆222230x y x y +-+-=经过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则p 的值 为6.9.经过点(3,-2)的抛物线的标准方程223290y x x y =+=或.10.抛物线的焦点在y 轴上,点A (m,-2)在抛物线上,且AF =3,求抛物线的标准方程. 解：由题意可设抛物线标准方程为22(0)x py p =->，由AF =3知1,22pp =∴=， 所以抛物线标准方程为24x y =- .11.已知圆222230x y x y +-++=与抛物线22(0)y px p =->的准线相切，则抛物线的方程为28y x =- .1. 一动圆的圆心在抛物线28y x =上,且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆比过定点（ B ）.（A ）(4,0) （B ）(2,0) （C ）(0,2) （D ）(0,-2)2.抛物线28(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离为a ,则点M 到y 轴的距离为2a p - .。
人教版高中数学选修241《抛物线及其标准方程》教学设计
课题：选修（2-1）2.4.1抛物线及其标准方程三维目标：1、知识与技能（1）掌握抛物线的定义及抛物线的四种标准方程和对应的图形；（2）掌握抛物线的标准方程，会根据所给的条件确定抛物线的标准方程；（3）理解抛物线标准方程的推导过程并了解求抛物线的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法；（4）学会用待定系数法与定义法求抛物线的方程并要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．2、过程与方法（1）通过构设情景：回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？从而引领学生自主学习、合作探究出抛物线的图形和方程。
在这一过程中，培养学生观察、实验、探究、交流等数学活动能力，同时培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力；（2）通过合作交流，不断体会归纳、概括思想方法的重要性和实用性。
（3）通过解决问题从本质上认识用待定系数法与定义法求抛物线的方程的思想。
3、情态与价值观（1）通过学生的积极参与、学习抛物线和方程的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；(2) 通过对抛物线和方程知识的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（3）通过形象具体的轨迹问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，并对学生进行运动、变化、对立、统一以及理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育，从而体会事物之间普遍联系的辩证思想，。
体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。
教学重点：抛物线的定义和标准方程及用待定系数法求抛物线的标准方程。
教学难点：抛物线标准方程的推导过程。
教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：★前面我们学习了椭圆和双曲线及其性质，其中有一种轨迹问题能把这两种曲线统一起来：到定点的距离和到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹问题。
高中数学选修2-1精品教案8：2.4.1抛物线及其标准方程教学设计
2.4.1抛物线及其标准方程教学目标1.知识与技能掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线．2．过程与方法掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．提高学生观察、类比、分析和概括的能力．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．教学重点：(1)抛物线的定义及焦点、准线；(2)抛物线的四种标准方程和p的几何意义．教学难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系．以多媒体课件为依托，课件可增强课堂教学的直观性、趣味性，促进学生积极思维，能够在动态演示过程中化解教学难点，突出教学重点．抛物线的定义问题导思图2－4－1如图2－4－1，把一根直尺固定在图板内直线l的位置，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，再把一条绳子的一端固定于三角板的另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔描出一条曲线，思考下面两个问题：1．笔尖(设为动点M)在运动过程中满足的条件是什么？【答案】笔尖到直线l的距离和到定点F的距离相等．2．此曲线是否为椭圆或一支双曲线？为什么？如果不是，猜想它是什么？ 【答案】 不是，因为它不满足椭圆或双曲线的定义，抛物线．平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.抛物线的标准方程 问题导思抛物线的开口方向不同，所对应的方程不同，抛物线有几种不同形式的方程？ 【答案】 随开口方向的不同，抛物线有四种形式的方程．例题解析例1：(1)已知抛物线的标准方程是y 2=6x ,求它的焦点坐标和准线方程． (2)已知抛物线的焦点是F (0,-2)，求它的标准方程.解:(1)因为p ＝3，故抛物线的焦点坐标为，准线方程为(2)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上,且故所求抛物线的标准方程为x 2=-8y. 3,02（）3.2x =-2,4,2pp ==变式训练求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点M(－6,6)；(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．【思路探究】(1)过点M(－6,6)的抛物线有几种情况？(2)所求抛物线的焦点是什么？有几种情况？【自主解答】(1)由于点M(－6,6)在第二象限，∴过M的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2px(p>0)，将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴抛物线的焦点是F(2,0)，∴p2＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程是y2＝8x.②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F(0，－3)，∴p2＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.规律方法1．求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型；(2)求参数p 的值； (3)确定抛物线的标准方程．2．当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y 2＝ax 或x 2＝ay (a ≠0)的形式，以简化讨论过程．例2一种卫星接收天线的轴截面如图(1)所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.设抛物线的标准方程是由已知条件可得，点A 的坐标是（0.5，2.4），代入方程得,即p =5.76.所以，所求抛物线的标准方程是, 焦点坐标是（2.88，0）.变式训练 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解：22(0),y px p =>22.420.5,p =⨯211.52y x=如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85，∴抛物线方程为x 2＝－165y .∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，则h ＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．规律方法1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程．(2)利用已求方程求点的坐标．课堂小结1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题．2．在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p 的值)”的程序求解.当堂达标训练1．若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．线段 C ．直线 D ．射线 【解析】 动点P 的条件满足抛物线的定义． 【答案】 A2．抛物线x 2＝－16y 的焦点坐标是( ) A ．(0，－4) B ．(0,4) C ．(4,0) D ．(－4,0)【解析】 p 2＝4，焦点在y 轴上，开口向下，焦点坐标应为(0，－p2)，即(0，－4)．【答案】 A3．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．【解析】 化方程为标准方程形式为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上，∴准线方程为y ＝－18. 【答案】 y ＝－184．抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．解 设焦点为F (－p2，0)，M 点到准线的距离为d ， 则d ＝|MF |＝10， 即9＋p2＝10，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x . 将M (－9，y )代入抛物线的方程， 得y ＝±6.∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)． 如图2－4－2所示，图2－4－25. 水池中央有一喷泉，水管的长|O ′P |＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线的形状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，点P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到个位)解：如图所示，建立平面直角坐标系． 设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)． 由题意得P (－1，－1)，∴p ＝12，故抛物线的方程为x2＝－y.设B(x，－2)，则x＝2，∴|O′B|＝1＋ 2.∴水池的直径为2(1＋2)≈5(m)，即水池的直径至少应设计为5 m.。
人教版数学选修2-1抛物线及标准方程教学案
2.4.1.1抛物线及其标准方程班级姓名小组号【学习目标】1.通过教材了解抛物线的定义，准线及焦点.2.通过教学案掌握焦点在两坐标轴上的抛物线的标准方程.3.通过教师讲解会求简单的抛物线的标准方程，解决相关题目.【重点难点】重点：掌握抛物线的定义、准线及在坐标轴上的标准方程；难点：根据标准方程判断抛物线的焦点、准线的位置，以及求抛物线的标准方程.【学情分析】初中我们学习过二次函数，知道二次函数是一条抛物线，本节课我们将继续研究抛物线及它的相关知识。
我们将先通过数形结合思想根据抛物线的定义来求解它的标准方程，进而引出准线方程。
以及在选择不同的坐标系我们得到不同形式的标准方程。
【导学流程】自主学习内容一、回顾旧知：二、基础知识感知1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2.准线的方程：设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.抛物线就是集合.准线的标准方程为：22(0)y px p=>.它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2px=-.3抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px=，22y px=-，22x py=，22x py=-(0)p>。
三、探究问题:【例1】已知抛物线的标准方程是y²=6x，求它的焦点坐标和准线方程。
【例2】2．以双曲线91622yx-=1的中心为顶点，左顶点为焦点的抛物线方程是（）A.216y x=- B.216y x= C.28y x=- D.28y x=四、基础知识拓展与迁移抛物线还有哪些不同的形式？}|||{dMFMP==1 / 4请及时记录自主学习过程中的疑难：小组讨论问题预设:已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M-，求它的标准方程。
【人教A版高中数学选修2-1教案】《2.4.1抛物线及其标准方程(二)》教案
课型：新授课上课时间：年月日星期____
教
学
目
标
1.知识与技能
(1)能正确运用抛物线的定义与标准方程解题；
(2)学会用待定系数法与定义法求曲线的方程。
2.过程与方法
通过对旧知识的复习和归定义法求曲线的方程。
（1）焦点坐标是F（－5，0）
（2）经过点A（2，－3）
分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况
解：（1）焦点在x轴负半轴上， ＝5，
所以所求抛物线的标准议程是 ．
（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2＝2px或x2＝－2py．
点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
∴所求抛物线的标准方程是 或x2＝－ y
补充练习：
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y2＝8x（2）x2＝4y（3）2y2＋3x＝0（4）
2．根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）焦点是F（－2，0） （2）准线方程是
3.情感、态度与价值观
培养学生的动手计算、分析、归纳的能力。
教学重点
用待定系数法与定义法求抛物线的方程。
教学难点
用待定系数法与定义法求抛物线的方程。
教学方法
对比法、数形结合。
教学过程：
批注
活动一：创设情景、引入课题（5分钟）
问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？
1、抛物线的定义？2、抛物线方程的各种形式？
解；设抛物线的标准方程是y2=2px (p>0)。有已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4）代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76
高中数学 2.4.1抛物线及其标准方程学案新人教版选修2-1
2.4.1抛物线的标准方程导学案一、学习目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程 二、学习重点抛物线的定义及标准方程 （一）复习旧知在初中，我们学习过了二次函数2y ax bx c =++，知道二次函数的图象是一条抛物线 例如：（1）24y x =，（2）24y x =-的图象（自己画出函数图像）（二）学习新课 1.抛物线的定义探究1观察抛物线的作图过程，探究抛物线的定义：抛物线的定义： 2.抛物线的标准方程要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系. 探究2 设焦点F 到准线l 的距离为(0)p p >，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程. 推导过程：我们把方程22(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程是2p x =-。
在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：(三)例题例1（1）已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程,（2）已知抛物线的焦点是()0,2F -，求它的标准方程. 解：例2 一种卫星接收天线的轴截面如图（课本59页图1），卫星波速呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经放射聚集到焦点处。
已知接收天线的口径（直径）为4.8m ，深度为0.5m 。
试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
解：变式训练1：课本（59页） 1. 已知抛物线的准线方程是x =—41，求它的标准方程. 2. 已知抛物线的标准方程是2y 2+5x =0,求它的焦点坐标和准线方程. 解：变式训练2：在抛物线y 2=2x 上求一点P ，使P 到焦点F 与到点A （3，2）的距离之和最小. (四)小结1、抛物线的定义；2、抛物线的四种标准方程；3、注意抛物线的标准方程中的字母P 的几何意义 (五)课后练习1.抛物线y 2=ax (a ≠0)的准线方程是 ( )(A )4a x =-；(B)x =4a ；(C)||4a x =- ；(D)x =||4a2.抛物线21x m y =（m ≠0）的焦点坐标是（ ） (A ) （0，4m ）或（0，4m -）；(B) （0，4m）(C) （0，m 41）或（0，m 41-）；(D) （0，m41）3.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F (0,3)，(2)焦点到准线的距离是2.4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2=20x ；(2)x 2+8y =0.5.点M 到点（0，8）的距离比它到直线y ＝－7的距离大1，求M 点的轨迹方程。
高二数学人教A版选修2-1第二章：2.4.1-抛物线及其标准方程 学案
第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程【学习目标】1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念；2.掌握抛物线的标准方程及其推导；3.明确抛物线标准方程中p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题.【情景引入】生活中存在着各种形式的抛物线【探究新知】探究一 抛物线的定义问题一：在初中，我们学习了二次函数2y ax bx c =++，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）24y x =，（2）24y x =-的图象：思考：动点满足什么条件时，动点运动的轨迹是抛物线？问题二:如上图右,点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH l ⊥，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M .．拖动点H ，观察点M 的轨迹，你能发现点M 满足的几何条件吗？抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.概念的理解：定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1).探究二探求抛物线的标准方程问题三:求曲线方程的基本步骤是怎样的？建系→设点→列式→化简→检验思考：如何建立适当的直角坐标系？抛物线的标准方程如何推导？问题四:在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。
那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请你完成下面的表格.图形标准方程焦点坐标准线方程)0(22>=ppxy)0,2(p2px-=理解新知：（1）__________________________________________________________（2）___________________________________________________________________（3）___________________________________________________________________【理论迁移】题型一、抛物线标准方程、相关量的求解例1．（1）已知抛物线的标准方程是26y x =，则它的焦点坐标和准线方程是__________（2）已知二次函数2y ax =，则它的焦点坐标和准线方程是_______________（3）若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点,则实数a =__________.例2．求满足下列条件的抛物线的标准方程（1）焦点是()0,2F - （2）点()3,2- （3）焦点在240x y --=上题型二、抛物线定义的理解与应用、轨迹问题例3．（1）抛物线)0(22>=p px y 上一点 M 点的横坐标0x ，则点 M 到焦点的距离是 ．（2）抛物线 x y 122=上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ．（3）(,4)M m 在抛物线 2x ay =上, M 与焦点的距离等于5，则抛物线的标准方程_____ 例4．点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，求动点M 的轨迹方程.[变式1]若动圆M 与圆22:(2)1C x y -+=外切,又与直线:10l x +=相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )A 28y x = B. 28y x =- C. 24y x = D. 24y x =- [变式2]动点(,)M x y 的坐标满足方程225|3412|x y x y +=+-，则动点M 的轨迹是（ ）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对题型三、抛物线中的最值问题例5．已知点M 抛物线24y x =上的动点,点(3,2)A ,(1,0)F ，求||||MA MF +的最小值以及取最小值是M 的坐标.[变式1](7,8)A ，M 到准线距离为1d ，求1||MA d +的最小值[变式2](7,8)A ，M 到y 轴距离为2d ，求2||MA d +的最小值[变式3]已知点M 抛物线24y x =上的动点,点M 到直线4y x =+距离3d ，点M 到y 轴距离为4d ,求34d d +的最小值例6．已知点M 抛物线24y x =上的动点,(3,0)A ，求||MA 的最小值.[变式1] 已知点M 抛物线24y x =上的动点,,动点Q 在圆22(3)1x y -+=上运动，求||MQ 的最小值.[变式2] 已知点M 抛物线24y x =上的动点,求点M 到直线4y x =+距离d 的最小值.。
《2.4.1抛物线及其标准方程》教学设计
《2.4.1抛物线及其标准方程》教学设计【教材分析】“抛物线及其标准方程”是高中数学教材选修2-1第二章第四部分的第一节课。
此节是建立在已学过圆、椭圆、双曲线（特别是后两者）的基础上，由圆锥曲线的第二定义展开，得到的一类特殊的曲线，同时也弥补了离心率为1的情况。
同时，抛物线的定义也为后续抛物线的几何性质做了铺垫。
所以“抛物线及其标准方程”这节课不仅在教材中起到了承上启下的作用，同时也对圆锥曲线提出了统一的定义（第二定义：到焦点的距离与到相应准线的距离的比为常数（e））。
该课时通过引导学生观察，寻找到几何和代数之间的桥梁——建系，再次巩固了学生对于几何问题代数化的一种同法。
【学情分析】本人所带班级学生的学习习惯的差异导致学生课前准备有所差异，比如建系的过程，有课前预习的同学普遍会把坐标系建成满足标准方程的格式，而未预习的学生可能建系就有所差异，甚至于无从下手。
建系时，引导学生回顾已学过的椭圆、双曲线的建系规则，向着最简、最美的方向想，充分考查曲线的对称性的特点。
对于已预习的同学，建议可否还有其他建系方式等。
【学习目标及要求】：1.学习目标：（1）.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．（2）.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．（3）.通过观察实物图和一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．2.重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过观察实物图和一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．3. 难点：运用坐标法建立抛物线的标准方程．【教学方法】：合作探究【教学过程】：一．新课引入：学生观察实物图得出图片的共同性。
由此引入课题，以投篮运动的轨迹联系以前所学的二次函数，引出抛物线有哪些几何特征？二、探究精讲探究一：如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样粉笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们思考抛物线有怎样的几何特征，并归纳抛物线的定义，教师总结．定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．探究二：抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师启发辅导，小结：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．化简后得：y2=2px(p＞0)．讨论得出抛物线四种形式，完成下表师：如何看焦点的确定焦点位置？椭圆：看分母。
高中数学选修2-1精品教案1：2.4.1 抛物线及其标准方程教学设计
2.4.1 抛物线及其标准方程教学目标：知识与技能目标使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．过程与方法目标要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．情感，态度与价值观目标（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
教学重点：使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．教学难点：使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．一.复习引入回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？二.思考分析如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：|DA|＝|DC|.三.抽象概括抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.抛物线标准方程的几种形式线的焦点；一条定直线l ，即为抛物线的准线；一个定值，即点M 与点F 的距离和M 到l 的距离之比等于1.定点F 不能在直线上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线．2．抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点取决于一次项，开口取决于正负号，即标准方程中，如果含的是x 的一次项，则焦点就在x 轴上，并且焦点的横坐标为2p 4(或－2p 4)，相应的准线是x ＝－2p 4(或x ＝2p4)；如果含的是y 的一次项，有类似的结论．3．抛物线标准方程中的参数p 的几何意义是焦点到准线的距离． 四.例题分析及练习[例1] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为2y ＋4＝0； (2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．[思路点拨] 确定抛物线的类型→设出标准方程→确定参数→写出方程[精解详析] (1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)．又p2＝2，所以2p ＝8，故抛物线的标准方程为x 2＝8y .(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝x －2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(3)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .[感悟体会] 求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)． 训练题组11．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝16xB ．y 2＝－16xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：由双曲线方程x 216－y 29＝1，可知其焦点在x 轴上．由a 2＝16，得a ＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)，∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则由p2＝4，得p ＝8，故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x .答案：A2．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m 的值； (2)求抛物线的焦点和准线方程．解：(1)法一：∵抛物线焦点在x 轴上，且过点M (－3，m )， ∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F (－p2，0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋3－p 22＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F (－p 2，0)，准线方程x ＝p2.由抛物线定义知，点M 到焦点的距离等于5，即点M 到准线的距离等于5， 则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上，∴m 2＝24，∴m ＝±26，∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. (2)∵p ＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程是x ＝2.[例2] 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)．在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|P A |的值最小．[思路点拨] 把|PF |转化为点P 到准线的距离→画出草图→数形结合 →求出点P 的坐标 [精解详析] ∵(－2)2<8×4，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部．如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B .由抛物线的定义可知：|PF |＋|P A |＝|PQ |＋|P A |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF |＋|P A |取得最小值，即为|AB |.此时P 的横坐标为－2，代入x 2＝8y 得y P ＝12.故使|PF |＋|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为(－2，12)．[感悟体会] 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用；其次是注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等． 训练题组23．点P 为抛物线y 2＝2px 上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．位置由F 确定解析：如图，抛物线的焦点为F (p 2，0)，M 为PF 的中点，准线是l ：x ＝－p2.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么|PF |＝|PH |，且|QH |＝|OF |＝p2.作MN ⊥y 轴于N ，则MN 是梯形PQOF 的中位线，即|MN |＝12(|OF |＋|PQ |)＝12|PH |＝12|PF |，故以PF 为直径的圆与y 轴相切．答案：B4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172B ．3C. 5D.92解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P 点，A (0,2)点，抛物线的焦点F (12，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝|AF |＝0－122＋2－02＝172.答案：A[例3] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[思路点拨] 分析题意→建立平面直角坐标系→设出抛物线标准方程→确定点的坐标求p →利用方程求值→回答实际问题[精解详析] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．∵拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，∴A (10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)，则102＝－2p (－2)，∴p ＝25，∴抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时，y ＝－150×82＝－1.28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1.28)，此时B 点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．而船体高为5米，∴无法通行．又∵5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(吨)， 所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．[感悟体会] 涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决．建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解． 训练题组35．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反光镜顶点的距离是( ) A ．11.25 cm B ．5.625 cmC ．20 cm D ．10 cm解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)．∵A (40,30)在抛物线上，∴302＝2p ×40，∴p ＝454，∴光源到反光镜顶点的距离为p 2＝4524＝458＝5.625 (cm)． 答案：B6．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为(a2，－a4)，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a4)，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay .将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3，即a 4－0.82a>3.解得a >12.21或a <－0.21(舍去)．∴使卡车通过的a 的最小整数值为13. 五.课堂小结与归纳1．求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定型”(确定焦点位置)→定量(参数p 的值)的程序求解．2．应用定义可以解决两类问题：①求抛物线的方程；②涉及抛物线的最值问题，通常将到焦点的距离转化为到准线的距离，充分利用直角梯形的性质解题． 六.当堂训练1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,0)C ．(0，116)D ．(116，0)解析：由y ＝4x 2得x 2＝14y ，∴抛物线焦点在y 轴正半轴上且2p ＝14，∴p ＝18，∴焦点为(0，116)．答案：C 2．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：由椭圆方程可知a ＝6，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴椭圆右焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4.答案：D3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1C.54 D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 的中点到y 轴的距离为12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 答案：C4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( ) A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：由抛物线的定义得|PF |＝|P A |，由直线AF 的斜率为－3， 可知∠P AF ＝60°.△P AF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝4cos60°＝8. 答案：B5．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________． 解析：由抛物线方程y 2＝2px (p >0)，得其准线方程为x ＝－p2.又圆的方程为(x －3)2＋y 2＝16，∴圆心为(3,0)，半径为4.依题意，得3－(－p2)＝4，解得p ＝2.答案：26．右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽______米．解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，抛物线方程为x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米． 答案：2 67．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. 解：(1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)．由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6，∴方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)． 由抛物线定义得5＝|AF |＝|m ＋p2|.又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .8．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m)解：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 依题意有P ′(1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝12.故得抛物线方程为x 2＝－y .B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2， 即|AB |＝2，则|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2) m ，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.。
2.4.1 抛物线及其标准方程-高中数学人教A版选修2-1公开课教案
2.4.1 抛物线及其标准方程执教者：赖忠艳 2019.11.28意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义1．回顾平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？2．简单实验如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．3．定义这样，可以把抛物线的定义概括成：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(三)抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：方案1：(由第一组同学完成，请一学生板练．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2- 30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．化简后得：y2=2px-p2(p＞0)．方案2：(由第二组同学完成，请一学生板练)以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(如图)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．化简得：y2=2px+p2(p＞0)．方案3：(由第三、四组同学完成，请一学生板练．)取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图．抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．化简后得：y2=2px(p＞0)．比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．方程是x2=-8y．练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是F(3，0)；(3)焦点到准线的距离是2．由三名学生板练，教师予以纠正．这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．(五)课时小结本节课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．（六）布置作业到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y； (2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0．3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．4．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．板书设计2.4.1 抛物线及其标准方程1.抛物线的定义2.抛物线的标准方程例教学反思1.让学生自己探索如何建立坐标系，能使求得的方程最为简洁，提高学生知识的迁移能力。
人教版高中数学选修2.4.1《抛物线及其标准方程》教案
《2.4.1 抛物线的标准方程》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
掌握抛物线的定义、几何图形，会推导抛物线的标准方程，能够利用给定条件求抛物线的标准方程，灵活运用定义解决具体问题.
（二）过程与方法
通过观察、思考、探究与合作交流等一系列数学活动，锻炼观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，进一步感受坐标法及数形结合的思想.
（三）情感态度与价值观
通过观看介绍我国研发的FAST射电望远镜、实验演示抛物线原理等视频，激发学习兴趣，体会抛物线极为广泛而重要的应用，同时也增强民族自豪感.
二、教学重点
抛物线的定义及标准方程.
三、教学难点
抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导.
四、教学过程。
2.4.1抛物线及其标准方程教案(人教版-选修2-1)(1)
抛物线及其标准方程岳阳市十三中 任洋琪教学目标：1.能从抛物线的画法中抽象出其几何特征，并掌握抛物线的定义；2.会合理建系推导出抛物线的方程；掌握抛物线标准方程的四种形式；3.会根据所给条件求出抛物线的标准方程，会求抛物线的焦点坐标和准线方程。
教学重点抛物线的定义及标准方程教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择） 教学过程一、课题引入在初中，我们学习了二次函数2y ax bx c =++，知道二次函数的图像是抛物线，那么到底什么样的曲线是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容。
二、新课讲授如图所示，把一根直尺固定在图上直线l 的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A ，取绳长等于点A 到直角顶点C 的长（即点A 到直线l 的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F ，用铅笔尖扣着绳子，使点A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.请同学们说出这条曲线有什么特征？可以发现这条曲线上任意一点P 到F 的距离与它到直线l 的距离相等.再把图板绕点F 旋转90°，曲线即为初中见过的抛物线.1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.若“直线l 经过点F ”，M 的轨迹又是什么呢？（过F 且与l 垂直的直线）从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点M 满足到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等。
那么动点M 的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？大家先回忆一下一般求曲线方程的步骤.1.建系，设点；2.写出适合x,y 的方程；3.列方程；4.化简；5.（证明）根据抛物线定义，知道F 是定点，l 是定直线，从而F 到l 的距离为定值，设为p ，则p 是大于0的数.要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系。
人教课标版高中数学选修2-1：《抛物线及其标准方程(第1课时)》教案-新版
2.4.1抛物线及其标准方程（第1课时）一、教学目标 （一）学习目标1.理解抛物线的定义，明确焦点、准线的概念；2.掌握抛物线的方程及标准方程的推导；3.熟练掌握抛物线的四个标准方程. （二）学习重点 1.抛物线的定义；2.选择适当坐标系探求抛物线的标准方程. （三）学习难点四种形式的抛物线的标准方程的由来和区分. 二、教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务 写一写：（1）定义：平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，这个定点叫做抛物线的焦点，直线叫做准线.（2）抛物线的标准方程：焦点在x 轴上：22(0)y px p =>或22(0)y px p =-> 焦点在y 轴上：22(0)x py p =>或22(0)x py p =->. 2.预习自测下列语句正确的个数（ ）（1）抛物线的方程都是二次函数;（2）抛物线的焦点到准线的距离是(0)p p >; （3）抛物线的开口方向由一次项确定;（4）焦点在坐标轴上的抛物线的开口方向有四种可能性. A.1 B.2 C.3D.4答案：C解析：【知识点】抛物线的定义与方程.【解题过程】抛物线的开口方向有四种，只有开口向上或向下的对应方程是二次函数，故（1）错误.点拨：利用抛物线的定义判断.（二）课堂设计探究一：结合实例，认识抛物线●活动①创设情景，引入新课展示彩虹、投篮、桥梁、隧道、太阳灶、手电筒等实例，引入新课，激发学生的学习热情.【设计意图】通过生活中的应用实例，一方面吸引学生的注意力，让学生对抛物线有一个感性上的认识，另一方面让学生意识到到研究抛物线的必要性，感受到数学来源与生活，生活离不开数学.提问：抛物线到底有什么样的几何性质？怎么样给抛物线下一个定义呢？如图，在黑板上画一条直线AB，使直尺与直线AB重合，然后取一个三角板，将一条拉链CD固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端用图钉固定在F点，将三角板的另一边直角边贴在直线AB上，在拉练M处放置一只粉笔，上下沿直线拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.●活动②归纳提炼，形成定义思考：（1）为什么是拉链，而不是任意的两根绳子?回答：拉链可保证两段线的距离相等，绳子还得测量，操作不方便. （2）为什么三角形的一条直角边要和直线AB 重合? 回答：保证是垂直距离.从而得出抛物线的图形特点，仿照椭圆与双曲线的定义，要求学生说出抛物线的定义.抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F 不在定直线l 上），定点F 叫抛物线焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.注意：定点F 不能在定直线l 上，若定点F 在定直线l 上，则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的直线.探究二：探究抛物线的方程 ●活动①师生互助，建立方程 （1）推导出焦点在x 轴正半轴的情形 思考提示：①作为已知条件，焦点F 到准线l 的距离可以假设为p （已知）； ②从已知条件看，一般我们可以怎样取坐标系？如图所示，取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交与点K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴，并且使焦点F 在x 轴的正半轴上，建立直角坐标系xoy .设抛物线的焦点F 到准线的距离为p ，则p FK =||，焦点F 的坐标为)0,2(p F ，准线2:p x l -=. 设抛物线上任意一点),(y x M ，则2p x =+222)2()2(px y p x +=+-⇔px y 22=⇔．我们把22(0)y px p =>叫做“顶点在原点、焦点在x 正半轴上”的抛物线的标准方程，焦点F 的坐标为：(,0)2p F ，准线l 的方程为：2px =-，开口向右，其中p为正数，它的几何意义是：焦点到准线的距离（简称“焦准距”）. （2）其余三种抛物线的标准方程类似地，我们可以建立如下表所示的坐标系，从而得到抛物线方程的另外三种形式px y 22=，px y 22-=，py x 22-=()0>p ．这四种方程都叫做抛物线的标准方程．●活动②比较分析，得出规律提问：抛物线的四种形式的标准方程的相同点和区别是什么？如何根据抛物线的标准方程判断焦点位置？方程的共同特点:左边都是二次式,且系数为1；右边都是一次式. 焦点位置的判断方法：在标准形式下，看一次项，（1）若一次项的变量为x （或y ），则焦点就在x （或y ）轴上；（2）若一次项的系数为正（或负），则焦点在正（或负）半轴. 【设计意图】通过四种情况的观察、对比，引导学生发现抛物线的标准方程与图形之间的内在联系，从而得到跟一般的规律，在这里充分体现了解析几何中数形结合的思想.●活动③巩固基础、检查反馈例1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． （1）26y x =；（2）24y x =-； 【知识点】抛物线的焦点与准线方程.【解题过程】（1）焦点坐标：3(,0)2F ，准线方程：32x =-.（2）将方程化为标准形式：214x y =-，故焦点坐标：1(0,)16F -，准线方程：116y =.【思路点拨】求抛物线的焦点坐标以及准线方程需要将方程转化为标准形式处理.【答案】（1）3(,0)2F ,32x =-；（2）1(0,)16F -,116y =.同类训练：求下列抛物线的焦点坐标与准线方程. （1）28x y =-（2）2120y x +=答案：（1）(0,2)F -，2y =；（2）(3,0)F -，3x =. 解析：【知识点】抛物线的焦点与准线方程.【解题过程】（1）焦点坐标：(0,2)F -，准线方程：2y =.（2）将方程化为标准形式：212y x =-，故焦点坐标：(3,0)F -，准线方程：3x =. 点拨：求抛物线的焦点坐标以及准线方程需要将方程转化为标准形式处理. 例2.（1）已知抛物线的焦点是(0,2)F -，求它的标准方程. （2）已知抛物线的准线是2x =-，求它的标准方程. 【知识点】抛物线的标准方程.【解题过程】（1）由题意可设抛物线方程为：22(0)x py p =->，则22p-=-，故4p =，所以抛物线标准方程为：28x y =-.（2）由题意可设抛物线方程为：22(0)y px p =>，则22p-=-，故4p =，所以抛物线标准方程为：28y x =.【思路点拨】求抛物线的标准方程的一般方法：（1）确定焦点的位置；（2）确定抛物线方程的形式；（3）确定p 值（焦准距）；（4）将p 值代入. 【答案】（1）28x y =-；（2）28y x =.同类训练：根据下列条件写出抛物线的标准方程.（1）焦点是(0,3)；（2）准线是3y =. 答案：（1）212x y =；（2）212x y =-. 解析：【知识点】抛物线的标准方程.【解题过程】（1）由题意可设抛物线方程为：22(0)x py p =>，则32p=，故6p =，所以抛物线标准方程为：212x y =.（2）由题意可设抛物线方程为：22(0)x py p =->，则32p-=-，故6p =，所以抛物线标准方程为：212x y =-.点拨：求抛物线方程时要通过焦点坐标或准线方程先确定开口方向“定型”，后“定量”.例3.求抛物线2(0)x ay a =≠的焦点坐标、准线方程. 【知识点】抛物线的标准方程. 【解题过程】抛物线方程转化为21(0)y x a a=≠ 当0a >，124p a =，故焦点坐标为1(,0)4a ，准线方程为14x a =-； 当0a <，124p a =-，故焦点坐标为1(,0)4a ，准线方程为14x a=-.【思路点拨】解题时首先要判断抛物线的对称轴和开口方向. 【答案】见解题过程.同类训练：已知抛物线24(0)y ax a =≠，求它的焦点坐标及p 的值. 答案：见解题过程.解析：【知识点】抛物线的标准方程.【解题过程】抛物线方程转化为214x y a=. 当0a >时，18p a =，焦点坐标为1(0,)16F a ；当0a <时，18p a =-，焦点坐标为1(0,)16F a.点拨：解题时首先要判断抛物线的对称轴和开口方向. 3.课堂总结 知识梳理1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上），定点F叫抛物线焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程：焦点在x轴上：22(0)=->；y px p=>或22(0)y px p焦点在y轴上：22(0)x py px py p=->.=>或22(0)重难点归纳1.焦点位置的判断方法：在标准形式下，看一次项：（1）若一次项的变量为x（或y），则焦点就在x（或y）轴上；（2）若一次项的系数为正（或负），则焦点在正（或负）半轴.2.求抛物线的标准方程的一般方法：（1）确定焦点的位置；（2）确定抛物线方程的形式；（3）确定p值（焦准距）；（4）将p值代入.（三）课后作业基础型自主突破1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．圆D．双曲线答案：A.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】∵点(1,1)在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线．点拨：注意判断定点与定直线的位置关系.2．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为（）A．y2＝12xB．y2＝－12xC．x2＝12yD ．x 2＝－12y 答案：C.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线． 点拨：焦点在y 正半轴上的抛物线.3．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：D.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】解法一：∵y ＝4，∴x 2＝4·y ＝16，∴x ＝±4， ∴A (±4,4)，焦点坐标为(0,1)，5=.解法二：抛物线的准线为y ＝－1，∴A 到准线的距离为5，又∵A 到准线的距离与A 到焦点的距离相等． ∴距离为5.点拨：利用抛物线定义解题.4．抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为（ ） A ．1 B ．32 C ．2 D ．52 答案：D.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】∵点P(2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m，∴m＝4，P到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F到准线距离为2，∴M到抛物线准线的距离为d＝3＋22＝52.点拨：利用抛物线定义解题.5．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为________．答案：1 8 -解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】抛物线方程化为标准形式为x2＝1a y，由题意得a<0，∴2p＝－1a，∴p＝－12a，∴准线方程为y＝p2＝－14a＝2，∴a＝－18.点拨：先将方程转化为标准形式再求解.6．以双曲线x216－y29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是_________________．答案：220y x=-.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，又p＝10，∴y2＝－20x.点拨：利用抛物线定义解题.能力型师生共研7．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线焦点为F，则△MPF的面积为（）A．10B．8C．6D．4答案：A.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】设P (x 0，y 0)，∵|PM |＝5，∴x 0＝4，∴y 0＝±4， ∴S △MPF ＝12|PM |·|y 0|＝10. 点拨：利用抛物线定义解题.8．(2013·江西理，14)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________. 答案：6p .解析：【知识点】抛物线的定义. 【解题过程】如图不妨设B (x 0，－p 2)．F (0，p2)，FD ＝p ，可解得B (3＋p 24，－p 2)．在Rt △DFB 中，tan30°＝BD DF ，∴33＝3＋p 24p. ∴p 2＝36，p ＝6.点拨：利用抛物线定义解题. 探究型多维突破9．求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）过抛物线y 2＝2mx 的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝6；（2）抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，点P (－5，25)到焦点的距离是6. 答案：见解题过程.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】（1）设抛物线的准线为l ，交x 轴于K 点，l 的方程为x ＝－m 2，如图，作AA ′⊥l 于A ′，BB ′⊥l 于B ′，则|AF |＝|AA ′|＝|FK |＝|m |，同理|BF |＝|m |.又|AB |＝6，则2|m |＝6.∴m ＝±3，故所求抛物线方程为y 2＝±6x .（2）设焦点F (a,0)，||6PF ==，即a 2＋10a ＋9＝0，解得a ＝－1或a ＝－9.当焦点为F (－1，0)时，p ＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－4x ；当焦点为F (－9,0)时，p ＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－36x . 点拨：注意求抛物线方程时首先要确定开口方向.10．一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am ，求使卡车通过的a 的最小整数值．答案：13.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则B点的坐标为(a 2，－a 4)，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a 4)，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay .将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a .欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3，即a 4－0.82a >3，由于a >0，得上述不等式的解为a >12.21，∴a 应取13.点拨：利用抛物线定义解题.自助餐1．抛物线y ＝－14x 2的准线方程为（ ）A ．x ＝116B ．x ＝1C ．y ＝1D ．y ＝2答案：C.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】抛物线的标准方程为x 2＝－4y ，准线方程为y ＝1.点拨：将方程转化为标准形式处理.2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12答案：B.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，点P 到准线的距离为4＋2＝6，故点P 到该抛物线焦点的距离为6.点拨：利用抛物线定义解题.3．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a （a >2p ），则点M 的横坐标是（ ）A ．a ＋p 2B ．a －p 2C ．a ＋pD ．a －p答案：B.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】设抛物线上点M (x 0，y 0)，如图所示，过M 作MN ⊥l 于N (l 是抛物线的准线x ＝－p 2)，连MF .根据抛物线定义，|MN |＝|MF |＝a ，∴x 0＋p 2＝a ，∴x 0＝a －p 2，所以选B.点拨：利用抛物线定义解题.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为（ ） A.12B ．1C ．2D ．4答案：C.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】抛物线的准线为x ＝－p 2， 将圆方程化简得到(x －3)2＋y 2＝16，准线与圆相切，则－p 2＝－1，∴p ＝2，故选C.点拨：利用抛物线定义解题.5．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是（ ）A ．y 2＝94x B ．x 2＝43yC ．y 2＝－94x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝43y答案：D.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上， ∴94p =-，p ′＝23， ∴抛物线方程为y 2＝－92x 或x 2＝43y . 点拨：利用抛物线定义解题.6．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程．答案：当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x .当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】∵点M 到对称轴的距离为6，∴设点M 的坐标为(x,6)．又∵点M 到准线的距离为10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 62＝2px ，x ＋p 2＝10.解得⎩⎨⎧ x ＝9，p ＝2，或⎩⎨⎧x ＝1，p ＝18. 故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x .当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .点拨：利用抛物线定义解题.。
人教课标版高中数学选修2-1《抛物线及其标准方程(第2课时)》教案-新版
2.4.1抛物线及其标准方程（第2课时）一、教学目标（一）学习目标1.掌握抛物线的定义与标准方程；2.利用抛物线的标准方程和定义来解决问题.（二）学习重点1.抛物线定义的应用.2.抛物线的焦点弦长求法.（三）学习难点灵活利用抛物线的定义解决问题.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第64页至第67页.（2）想一想：如何求抛物线的标准方程？（3）写一写：用待定系数法求抛物线标准方程时，如果开口方向不确定，可设抛物线的方程为2y ax =或2x ay =（0a ≠），分别表示焦点在x 轴或y 轴上但开口方向不确定的抛物线；其中，抛物线2y ax =的焦点为4a ±（，0）. 2.预习自测（1）顶点在原点，准线方程为4y =的抛物线方程为（ ）A.216y x =B.216y x =-C.216x y =D.216x y =-答案：D解析：【知识点】抛物线的方程.【解题过程】由题意知：抛物线的开口向下，设抛物线方程为22x py =-，则42p =，故8p =，所以抛物线方程为：216x y =-.点拨：注意求抛物线方程要先定型后定量.（2）抛物线218y x =-的准线方程是（ ） A.132x = B.12x = C.2y =D.4y =答案：C解析：【知识点】抛物线的方程.【解题过程】抛物线方程为：28x y =-，故4p =，所以准线方程为：22p y ==. 点拨：将抛物线方程转化为标准方程处理.（3）若抛物线22y px =上横坐标为6的点到焦点距离为10，p =（ ）A.4B.8C.10D.16答案：B解析：【知识点】抛物线的定义和方程. 【解题过程】由题意知：6102p +=，故8p =. 点拨：利用抛物线的定义解题.（4）抛物线24(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离为a ，则M 到y 轴的距离为（ ）A.a p -B.a p +C.2p a - D.2a p +答案：A.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由抛物线定义知：M 到准线的距离为a .又准线方程为x p =-，故M 到y 轴距离为a p -.点拨：注意把握抛物线的定义.（二）课堂设计1.知识回顾（1）抛物线的定义是什么？（2）抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么，并说出对应的焦点坐标和准线方程？2.新知讲解上节课，我们研究了抛物线的定义以及各种形式的标准方程，下面我们在定义的基础上进一步利用定义解决具体问题.探究一 求抛物线方程例1.根据下列条件，求出抛物线的标准方程.（1）过点(3,2)-；（2）焦点在x 轴上，且抛物线上一点(,)A m 3到焦点的距离为5.【知识点】抛物线的标准方程【解题过程】（1）设所求的抛物线方程为：y px 2=-2或()x py p 2=2>0 抛物线过点(3,2)-，()p ∴4=-2-3或,或p p p 299=2⨯2∴==34， ∴所求抛物线方程为y x 24=-3，或x y 29=2（2）由题意，可设抛物线方程为()y px p 2=2>0，(,)A m 3到焦点距离为5，由抛物线的定义有,即p p +3=5=42，所以所求抛物线方程为y x 2=8 点拨：求抛物线的标准方程常常采用待定系数法，利用题中所给条件确定抛物线方程中参数p 的值，由于（1）题中抛物线过点(3,2)-，即抛物线经过第二象限，于是要分两种情况.求抛物线标准方程的解题步骤：（1）确定抛物线的开口方向；（2）设出抛物线的标准方程；（3）用抛物线的定义或待定系数法确定p 的值，写出抛物线的标准方程. 答案：（1）y x 24=-3，或x y 29=2；（2）y x 2=8. 同类训练：双曲线221(0)x y mn m n-=≠的离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn 的值为（ ） A.316B.38C.163D.83 答案：A.解析：【知识点】抛物线的方程【解题过程】抛物线24y x =焦点坐标为(1,0)，则由题意知：113,1444m n ==-=，故316mn =. 点拨：利用抛物线的方程解题.例2.点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，求点M 的轨迹方程.【知识点】曲线的方程、抛物线的定义.【解题过程】如图所示，设点M 的坐标为(,)x y由已知条件可知，点M 与点F 的距离等于它到直线40x +=的距离.根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以(4,0)F 为焦点的抛物线. ∵42p = ∴8p =因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为216y x =.点拨：定义法求轨迹是解决轨迹问题的一种重要方法，充分利用抛物线的定义将问题转化处理.答案：216y x =.同类训练：已知圆22:(+2)+=1A x y 与定直线:2l x =，动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程.答案：y x =-28解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】依题意可知：P 到圆心(2,0)A -的距离与到定直线2x =的距离相等，∴P 点轨迹为抛物线，其中4p =，开口向左∴P 点的轨迹方程为：2-8y x ∴=点拨：由相切的定义可知点P 到点A 的距离与点P 到直线2x =，符合抛物线的定义.探究二 焦点弦长问题例3.斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于两点,A B ，求线段AB 的长.【知识点】抛物线的定义.【解题过程】如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点(1,0)F ，准线方程1x =-.由题可知，直线AB 的方程为1y x =-，代入抛物线方程24y x =，整理得2610x x -+=法一：解上述方程得1233x x =+=-分别代入直线方程得1222y y =+=-即,A B 的坐标分别为(322++--∴||8AB ===法二：设1122(,),(,)A x y B x y ,由抛物线定义可知，||AF 等于点A 到准线1x =-的距离||AA '，即1||||1AF AA x '==+.同理2||||1BF BB x '==+.∴12||||||28AB AF BF x x =+=++=.点拨：将直线方程与抛物线方程结合可求出具体交点坐标运算.在例3的第二种方法中我们不难发现：对于抛物线22(0)y px p =>，过焦点F 的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y ，则1212||,||,||22p p AF x BF x AB x x p =+=+=++. 答案：||8AB =同类训练：已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3,)M m -到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值.答案：28y x =-，m =±解析：【知识点】抛物线的定义与方程.【解题过程】法一：设抛物线方程22(0)y px p =->，则焦点(,0)2p F -，由题设可得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=5)23(6222p m p m 解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==624624m p m p 或. 故抛物线的方程为28y x =-,m 的值为±62.法二：设抛物线方程为22(0)y px p =->，则焦点(,0)2p F -，准线方程为2p x =. 根据抛物线的定义，M 到焦点的距离等于5，也就是M 到准线的距离等于5，则352p +=，即4p = 因此抛物线方程为28y x =-又点(3,)M m -在抛物线上，于是m =±.点拨：焦点在x 轴上的抛物线有两种形式，一种开口向右，另一种开口向左，因为M 的横坐标是3-，所以开口向左.先设出抛物线标准方程，根据M 在抛物线上与M 到焦点的距离等于5可得出两个方程.从而得出方程组，解方程组即可.另外也可根据抛物线定义，M 到焦点的距离等于M 到准线的距离.例4.已知抛物线x y 2=4，点P 是此抛物线上动点，点A 坐标为(,)126，求点P 到点A 的距离与到x 轴距离之和的最小值.答案：PA PC +的最小值为12.B解析：【知识点】抛物线的定义【解题过程】将x =12代入x y 2=4，得y =36>6A ∴点在抛物线外部，抛物线焦点(,)F 01，准线:l y =-1，过P 作PB l ⊥于点B ，交x 轴于点C 则PA PC PA PB PA PF +=+-1=+-1，由右图可知，当,,A P F 三点共线时，PA PF +最小.PA PF ∴+的最小值为FA =13， 故PA PC +的最小值为12.点拨：由于x 轴平行于准线，所以PF 和到准线的距离d 相等，故PA PC PA d PF PA +=+-1=+-1，再结合几何关系处理.同类训练：在抛物线22y x =上求一点P ，使P 到焦点F 与到点(3,2)A 的距离之和最小.答案：P (2,2).解析：【知识点】抛物线的定义【解答过程】如下图所示，设抛物线的点P 到准线的距离为||PQ由抛物线定义可知：||||PF PQ =∴||||||||PF PA PQ PA +=+显然当,,P Q A 三点共线时，||||PQ PA +最小.∵(3,2)A ，可设0(,2)P x 代入22y x =得02x =故点P 的坐标为(2,2).点拨：P 是抛物线上任一点，如按一般思路设出坐标，再用两点间距离表示出P 到焦点F 的距离及P 到点A 的距离，接着得出一关系，从而求最值的话，计算上太繁；此题可用抛物线的定义，用P 到焦点F 的距离等于P 到准线l 的距离即可作出.3.课堂总结知识梳理求抛物线标准方程的解题步骤：（1）确定抛物线的开口方向；（2）设出抛物线的标准方程；（3）用抛物线的定义或待定系数法确定p 的值，写出抛物线的标准方程. 重难点归纳（1）用待定系数法求抛物线标准方程时，如果开口方向不确定，可设抛物线的方程为2y ax =或2x ay =（0a ≠），分别表示焦点在x 轴或y 轴上但开口方向不确定的抛物线；（2）当抛物线不在标准位置时，用定义来求方程；（三）课后作业基础型自主突破1．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．y 2＝16xB ．y 2＝－16xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x答案：A.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由双曲线方程x 216－y 29＝1，可知其焦点在x 轴上，由a 2＝16，得a ＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)，∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则由p 2＝4，得p ＝8，故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x .故选A.点拨：利用抛物线定义解题.2．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．x ＋4＝0B ．x －4＝0C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x答案：D.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】依题意可知M 点到点F 的距离等于M 点到直线x ＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p ＝8，顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上， ∴其方程为y 2＝16x ，故答案是D.点拨：利用抛物线定义解题.3．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为（ ）A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4答案：C.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而y P ＝±26，∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12×2×26＝2 3.点拨：利用抛物线的焦半径公式0||2p PF x =+. 4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有（ ）A ．|P 1F |＋|P 2F |＝|FP 3|B ．|P 1F |2＋|P 2F |2＝|P 3F |2C ．2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |D ．|P 2F |2＝|P 1F |·|P 3F |答案：C.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】∵点P 1，P 2，P 3在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，两边同时加上p ，得2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p 2，即2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |，故选C.点拨：利用抛物线定义解题.5. 已知圆x y x 22+-6-7=0与抛物线()y px p 2=2>0的准线相切，则抛物线的焦点坐标是_________.答案：(1,0).解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】圆的方程：22(3)16x y -+=，由题意知：12p -=-，解得：2p =，从而有(1,0)F .点拨：注意应用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径.6.抛物线y x 2=8上的动点M 到定点(,)A 32的距离与它到焦点F 的距离之和的最小值为________.答案：5.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由几何关系知：||||5MA MF +≥.点拨：利用抛物线的定义解题.能力型师生共研7．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为（ ） A.522B ．522＋1 C.522－2D ．522－1答案：D.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】设抛物线焦点为F ，过P 作P A 与准线垂直，垂足为A ，作PB 与l 垂直，垂足为B ，则d 1＋d 2＝|P A |＋|PB |－1＝|PF |＋|PB |－1，显然当P 、F 、B 三点共线(即P 点在由F 向l 作垂线的垂线段上)时，d 1＋d 2取到最小值，最小值为522－1.点拨：结合几何关系，利用抛物线定义解题.8.若正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点在抛物线()y px p 2=2>0上，则这个三角形的面积为_________.答案：2解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由对称性，正三角形另外两个顶点关于x 轴对称，设为(),(,)a a ，将其代入抛物线方程中得6a p =，故正三角形的边长为=，从而有：21sin 60122S =⋅⋅=. 点拨：利用抛物线的方程以及几何性质解题.探究型 多维突破9.过抛物线()y px p 2=2>0的焦点F 作倾斜角为π4的直线，交抛物线于,A B 两点，A 点在x 轴上方，求AF FB .答案：3+解析：【知识点】抛物线的定义. 【解题过程】直线AB 的倾斜角为π4，且过焦点(,)p F 02∴可设直线:p AB y x =-2将y px 2=2代入上面的方程，得y py p 22-2-=0，解得(y p =1±，又A 点在x轴上方，((A B y p y p ∴=1+=1-，AB AFy FB y ∴===3+点拨：注意线段比例关系的处理“化斜为直”.10.如图，已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且AF BF +=8，线段AB 的垂直平分线恒过定点(,)Q 60，求此抛物线的方程.答案：y x 2=8.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】设抛物线方程为()y px p 2=2>0，其准线方程为p x =-2，设(,),(,)A x y B x y 1122，由抛物线的定义知,p p AF x BF x 12=+=+22， 又AF BF +=8，,即p p x x x x p 1212∴+++=8+=8-22， (,)Q 60在线段AB 的中垂线上，,即()()QA QB x y x y 22221122∴=-6+=-6+， 又,y px y px 221122=2=2，所以()()x x x x p 1212-+-12+2=0，又AB 与x 轴不垂直，x x 12∴≠，故,即x x p p p p 12+-12+2=8--12+2=0=4，所求抛物线为y x 2=8.点拨：利用抛物线的定义解题.自助餐1.抛物线x y 2=16的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16答案：C.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】216p =，则8p =.点拨：利用抛物线的定义解题.2.已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(,)M m -2到焦点的距离为4，则m 等于（ ）A ．4B ．-2C ．或4-4D ．或2-2答案：C.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由题意可设：22x py =-，由抛物线定义得：242p +=，故28x y =-，将(,)M m -2代入方程得：4m =±.点拨：利用抛物线的定义解题.3.若点P 到点(,)F 40的距离比它到直线x +5=0的距离小1，则P 点的轨迹方程为（ ）A ．y x 2=-16B ．y x 2=-32C ．y x 2=16D ．y x 2=32答案：C解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】由条件知点P 到直线4x =-的距离等于它到点(4,0)的距离，由抛物线定义得：y x 2=16.点拨：利用抛物线的定义解题.4.已知(,),(,)P x y Q x y 1122是抛物线()y px p 2=2>0上不同的两点，则y y p 212=-是直线PQ 通过抛物线焦点的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点】抛物线的定义. 【解题过程】设:2p PQ x my =+，联立22y px =可得：2220y pmy p --=，故212y y p =-.点拨：注意利用直线的横截距表示方程，便于计算.5.抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y =-3与抛物线相交于点A ，5=AF ，求抛物线的标准方程．答案：x y x y 18,222±=±=.解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】在x 轴上的抛物线的标准方程为：()y ax a 2=2≠0，)3,(-m A 则由抛物线的定义得a AF m 5==+2，又()am 2-3=2 所以,a a =±1=±9故所要求抛物线的方程为：x y x y 18,222±=±=点拨：利用抛物线的定义解题.6．如图所示，P 为圆M ：(x －3)2＋y 2＝1上的动点，Q 为抛物线2y x =上的动点，试求|PQ |的最小值．1. 解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】如右图所示，连结PM ，QM ，QM 交圆M 于R ，设点Q 坐标为(x ，y )，∵|PQ |＋|PM |≥|QR |＋|RM |，∴|PQ |≥|QR |，∴|PQ |min ＝|QR |min ＝|QM |min －1.∵||QM=＝x2－5x＋9＝≥11 2，∴当x＝52时，|PQ|min＝|QM|min－1＝112－1.即|PQ|的最小值为112－1.点拨：利用抛物线的定义解题.。
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2.4.1 抛物线及其标准方程
一、三维目标 （一）知识与技能
（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程 （二）过程与方法
通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。
并进一步感受坐标法及数形结合的思想。
（三）情感态度与价值观
进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。
二、教学重点
抛物线的定义及标准方程 三、教学难点
抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择） 四、教学过程
1.课题引入
在初中，我们学习了二次函数2
y ax bx c =++，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）2
4y x =，（2）2
4y x =-的图象（展示两个函数图象）：
师：……那么，如果问你怎么样的曲线是抛物线，你可以回答我吗？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容。
（板书课题：2.4.1 抛物线及其标准方程）
2.抛物线的定义
P 64 信息技术应用（课堂中几何画板演示画图过程）
先看一个实验：
如图：点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH l ⊥，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M 。
拖动点H ，观察点M 的轨迹，你能发现点M 满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论） 可以发现，点M 随着H 运动的过程中，始终有|MH|=|MF|，即点M 与定点F 和定直线l 的距离相等。
（演示）
我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
师：对于“直线l 经过点F ”的情况，我们留到习题课再讨论。
3.抛物线的标准方程
从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点M 满足到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等。
那么动点M 的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？
要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系。
探讨建立平面直角坐标系的方案（演示学生最可能想到的三种建系方案）
1 2 3
方案（一） 方案（二） 方案（三）
问题：哪种方案的方程更简单呢？
按照方案三的建系方式推导抛物线方程……直接演示方案一和二对应的方程，由学生观察对比得出方案三的方程最简单，方案一二的方程推导可以留作课后思考问题。
1 2 3
2
2
2(0)y px p p =-> 2
2
2(0)y px p p =+> 2
2(0)y px p =>
2.若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算
3.强调P 的意义。
4.教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解(),x y 为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。
所以这些方程都是抛物线的方程
（选择标准方程）
师：我们把方程2
2(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是
,02p ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，准线方程是2p x =-。
（演示） 师：上面我们主要研究了抛物线开口向右的情况，那么如果它的开口方向是向左、向上或者
向下，其对应的方程又如何了呢？
（演示下列表格的第一列和第一行）
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
)
0(22
>=p px y
)0,2
(p 2
p x -
=
)
0(22>-=p px y
)0,2
(p -
2
p x =
)
0(22>=p py x
)2
,0(p
2
p y -
=
)
0(22>-=p py x
)2
,0(p -
2
p y =
（学生完成第二行，教师巡视个别辅导。
类比椭圆第二种标准方程的推导完成第三和第四行。
）
对表格的说明：统观四种情况（学生记忆） （1）(0)p p >表示焦点F 到准线l 的距离；
（2）抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。
若一次项是x ，则对称轴为x 轴，焦点
在x 轴上；若一次项是y ，则对称轴为y 轴，焦点在y 轴上；（对称轴看一次项） （3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向坐标轴正方向；若一次项前面的
系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向；（符号决定开口方向） 4.例题讲解
例1（1）已知抛物线的标准方程是2
6y x =，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点是()0,2F -，求它的标准方程。
分析（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出p 的值得到焦点坐标和准线方程。
（2）先判定出焦点在y 轴上，从而得到一次项为y ，再求出p 的值进而写出方程。
解：（1）因为3p =，所以抛物线的焦点坐标为3
,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
，准线方程为32
x =- （2）因为抛物线的焦点在y 轴上，所以抛物线方程为2
8x y =-。
随堂练习1
P 67练习1
1 根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是()30F ， （2）准线方程是1
4
x =-
（3）焦点到准线的距离是2
随堂练习2P
67练习2 （时间有多于则完成）
5.课堂小结
让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容： 1、抛物线的定义
2、抛物线的标准方程有四种不同的形式
3、p 的几何意义是: 焦点到准线的距离
4、标准方程中p 前面的正负号决定抛物线的开口方向． 6.作业布置
（1）必做题 P 73 A 组1，2，3
（2）选做题 P 74 B 组1
7.
五、后记。