1.2不等关系及简单不等式的解法
不等式与不等式组全章教案
不等式与不等式组全章教案第一章：不等式的概念与性质1.1 不等式的定义介绍不等式的基本概念，理解“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等基本不等关系。
通过实例理解不等式的表示方法，如2x > 3。
1.2 不等式的性质探讨不等式的基本性质，如不等式两边加（减）同一个数（式子）不等号方向不变等。
通过例题演示不等式性质的应用，并进行练习。
第二章：不等式的解法2.1 简单不等式的解法介绍解简单不等式的方法，如直接解、移项、合并同类项等。
通过例题讲解解简单不等式的步骤，并进行练习。
2.2 不等式组的解法介绍解不等式组的方法，如图像法、代数法等。
通过例题讲解解不等式组的步骤，并进行练习。
第三章：不等式应用题3.1 线性不等式应用题介绍线性不等式应用题的解法，如线性不等式表示的区域内的问题。
通过例题讲解线性不等式应用题的解法，并进行练习。
3.2 不等式组应用题介绍不等式组应用题的解法，如不等式组表示的区域内的问题。
通过例题讲解不等式组应用题的解法，并进行练习。
第四章：不等式的综合应用4.1 线性不等式的图像介绍线性不等式的图像表示方法，如斜率、截距等。
通过例题讲解线性不等式图像的绘制方法，并进行练习。
4.2 不等式组的图像介绍不等式组的图像表示方法，如可行域等。
通过例题讲解不等式组图像的绘制方法，并进行练习。
第五章：不等式的拓展与应用5.1 不等式的拓展知识介绍不等式的拓展知识，如拉格朗日乘数法等。
通过例题讲解不等式拓展知识的应用，并进行练习。
5.2 不等式在实际问题中的应用介绍不等式在实际问题中的应用，如优化问题等。
通过例题讲解不等式在实际问题中的应用方法，并进行练习。
第六章：不等式的标准形式6.1 不等式的标准形式介绍不等式的标准形式，包括一元不等式和多元不等式。
通过例题演示如何将不等式转换为标准形式，并进行练习。
6.2 不等式标准形式的重要性探讨不等式标准形式在解题和分析中的重要性。
通过例题展示不等式标准形式在解题中的应用，并进行练习。
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法【知识归纳】1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．(2)求出相应的一元二次方程的根.(3)利用二次函数的图像与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠x 1} {x |x ∈R } ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1< x <x 2} ∅ ∅【难点提升】1．一元二次不等式的解集及解集的确定 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)的解集的确定受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的图像，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(其中a >0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2(x 1<x 2) (此时Δ＝b 2－4ac >0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．【学前强化】1．不等式x 2<1的解集为________．2．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是____________．3．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为_____________．4．不等式x －12x ＋1≤0的解集为 ( ) A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)5．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为{x |－2<x <14}，则ab 等于( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．266．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0， 则不等式f (x )>f (1)的解集是________．7．已知f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－3,2)，则a ＝________，c ＝________.8．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为________________．题型一 一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：思维启迪： 解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0. （3）x 2＋2x －3≤0；（4）x －x 2＋6＜0； （5）4x 2＋4x ＋1<0； （6）x 2－6x ＋9≤0；【变式】 解下列不等式：(1)2x 2＋4x ＋3<0； (2)－3x 2－2x ＋8≤0； (3)8x －1≥16x 2.题型二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，求a ，b 的值；思维启迪：先化简不等式为标准形式，再依据解集确定a 的符号，然后利用根与系数的关系列出a ，b 的方程组，求a ，b 的值．【变式】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.题型三一元二次不等式恒成立问题【例3】已知f(x)＝x2－2ax＋2 (a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．思维启迪注意等价转化思想运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．【变式1】已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．思维启迪：化为标准形式ax 2＋bx ＋c >0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0.【变式2】当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围。
一元二次不等式及其解法
由f(x)＝ x － 2x－ 4ln x，定义域为(0，＋∞ )， 2 4 2（ x － x－ 2） ∴ f′(x)＝ 2x－ 2－ ＝ ， x＞ 0， x x 由 f′(x)＞ 0且 x＞ 0，得 x2－ x－ 2＞0且 x＞0， 即 (x－ 2)(x＋ 1)＞ 0且 x＞ 0， 解之得x＞ 2， ∴不等式f′(x)＞ 0的解集为{x|x＞ 2}.
(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号； (3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程 的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根； (4)结合二次函数的图象得出不等式的解 集．特别地，若一元二次不等式的左边的
(2013·九江调研)若将例1的函数f(x)的解析 式改为“f(x)＝x2－2x－4ln x”，求不等式 f′(x)＞0的解集． 2
一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式与相应的二次函数及一 元二次方程的关系如下表
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c (a＞0)的图像
一元二次方程 有两相异实根 2 ax ＋ bx＋c＝ 0 x1，x2(x1＜ x2) (a＞ 0)的根 一元二次不等 {x| x＜x1 式 或x＞x2 } ax2＋ bx＋c＞ 0 ____________ (a＞ 0)的解集 ax2＋ bx＋c＜ 0 {x|x ＜x＜x } 1 2 ___________ (a＞ 0)的解集
6＜ s1＜ 8， 图6－2－1所示，其中 14＜ s2＜ 17.
(1)求n的值； (2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的 最大速度是多少？ 【审题视点】 (1)由图象信息，将v＝40， v＝70时，代入求s1，s2，得关于n的不等 式组；(2)解关于v的不等式，求最大值．
2018届一轮 复习1.2 不等关系及简单不等式的解法
1.2 不等关系及简单不等式的解法●知识梳理1.一元一次不等式的解法.任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b （a ≠0）的形式. 当a ＞0时，解集为{x |x ＞a b }；当a ＜0时，解集为{x |x ＜ab }. 2.一元二次不等式的解法.任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax 2+bx +c ＞0（或＜0）（其中a ＞0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”. 思考讨论用“数轴标根法”解高次、分式不等式时，对于偶次重根应怎样处理? ●点击双基1.不等式32-+x x x ）（＜0的解集为A.{x |x ＜－2或0＜x ＜3}B.{x |－2＜x ＜0或x ＞3}C.{x |x ＜－2或x ＞0}D.{x |x ＜0或x ＞3}解析：在数轴上标出各根. -2 0 3答案：A2.若不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），则实数a 等于 A.8 B.2 C.－4 D.－8 解析：由|ax +2|＜6得－6＜ax +2＜6，即－8＜ax ＜4.∵不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），易检验a =－4. 答案：C3.已知函数f （x ）是R 上的增函数，A （0，－1）、B （3，1）是其图象上的两点，那么| f （x +1）|＜1的解集是A.（1，4）B.（－1，2）C.（－∞，1］∪［4，+∞）D.（－∞，－1］∪［2，+∞）解析：由题意知f （0）=－1，f （3）=1. 又| f （x +1）|＜1⇔－1＜f （x +1）＜1， 即f （0）＜f （x +1）＜f （3）. 又f （x ）为R 上的增函数， ∴0＜x +1＜3.∴－1＜x ＜2. 答案：B4.不等式x 2－|x －1|－1≤0的解集为____________.解析：当x －1≥0时，原不等式化为x 2－x ≤0，解得0≤x ≤1. ∴x =1；当x －1＜0时，原不等式化为x 2+x －2≤0， 解得－2≤x ≤1.∴－2≤x ＜1. 综上，x ≥－2.答案：{x |－2≤x ≤1}（文）不等式ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，则a +b =_______. 解析：∵ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-<.2310a ba ab a ，，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=121b a ，或⎩⎨⎧-=-=.21b a ， ∴a +b =－23或－3. 答案：－23或－3 5.不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx +c ＞0的解集为_______. 解析：令f （x ）=ax 2+bx +c ，其图象如下图所示，再画出f （－x ）的图象即可.答案：{x |－3＜x ＜－2} ●典例剖析【例1】 解不等式3252---x x x＜－1.剖析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的多项式的商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组.解：原不等式变为3252---x x x＋1＜0，即322322--+-x x x x ＜0⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⇔0320230320232222x x x x x x x x 或，－1＜x ＜1或2＜x ＜3.∴原不等式的解集是｛x ｜－1＜x ＜1或2＜x ＜3｝.【例2】 求实数m 的范围，使y =lg ［mx 2+2（m +1）x +9m +4］对任意x ∈R 恒有意义. 剖析：mx 2+2（m +1）x +9m +4＞0恒成立的含义是该不等式的解集为R . 故应⎩⎨⎧>.00＜，Δm解：由题意知mx 2+2（m +1）x +9m +4＞0的解集为R ，则⎩⎨⎧<+-+=>.04941402）（）（，m m m Δm 解得m ＞41. 评述：二次不等式ax 2+bx +c ＞0恒成立的条件：⎩⎨⎧<>.00Δa ，若未说明是二次不等式还应讨论a =0的情况.思考讨论本题若要使值域为全体实数，m 的范围是什么? 提示：对m 分类讨论，m =0适合. 当m ≠0时，⎩⎨⎧≥>.00Δm ，解m 即可.【例3】 若不等式2x －1＞m （x 2－1）对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.剖析：对于m ∈［－2，2］，不等式2x －1＞m （x 2－1）恒成立，把m 视为主元，利用函数的观点来解决.解：原不等式化为（x 2－1）m －（2x －1）＜0. 令f （m ）=（x 2－1）m －（2x －1）（－2≤m ≤2）.则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.01212201212222）（）（）（，）（）（）（x x f x x f解得271+-＜x ＜231+. 深化拓展1.本题若变式：不等式2x －1＞m （x 2－1）对一切－2≤x ≤2都成立，求m 的取值范围.2.本题若把m 分离出来再求m 的范围能行吗? ●闯关训练 夯实基础1.不等式x +12+x ＞2的解集是 A.（－1，0）∪（1，+∞）B.（－∞，－1）∪（0，1）C.（－1，0）∪（0，1）D.（－∞，－1）∪（1，+∞）解法一：x +12+x ＞2⇔x －2+12+x ＞0⇔11+-x x x ）（＞0⇔x （x －1）（x +1）＞0⇔－1＜x ＜0或x ＞1.解法二：验证，x =－2、21不满足不等式，排除B 、C 、D.答案：A2.设f （x ）和g （x ）都是定义域为R 的奇函数，不等式f （x ）＞0的解集为（m ，n ），不等式g （x ）＞0的解集为（2m ，2n ），其中0＜m ＜2n，则不等式f （x ）·g （x ）＞0的解集是A.（m ，2n ） B.（m ，2n ）∪（－2n，－m ） C.（2m ，2n ）∪（－n ，－m ） D.（2m ，2n ）∪（－2n ，－2m） 解析：f （x ）、g （x ）都是定义域为R 的奇函数，f （x ）＞0的解集为（m ，n ），g （x ）＞0的解集为（2m ，2n）. ∴f （－x ）＞0的解集为（－n ，－m ），g （－x ）＞0的解集为（－2n ，－2m）， 即f （x ）＜0的解集为（－n ，－m ），g （x ）＜0的解集为（－2n ，－2m ）. 由f （x ）·g （x ）＞0得⎩⎨⎧>>00）（，）（x g x f 或⎩⎨⎧<<.00）（，）（x g x f .又0＜m ＜2n，∴m ＜x ＜2n 或－2n＜x ＜－m . 答案：B3.若关于x 的不等式－21x 2+2x ＞mx 的解集为{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值为_______. 解析：由题意，知0、2是方程－21x 2+（2－m ）x =0的两个根， ∴－212--m=0+2.∴m =1. 答案：14.已知f （x ）=⎩⎨⎧<-≥.0101x x ，则不等式x +（x +2）·f （x +2）≤5的解集是____________. 解析：当x +2≥0，即x ≥－2时. x +（x +2）f （x +2）≤5⇔2x +2≤5⇔x ≤23. ∴－2≤x ≤23. 当x +2＜0即x ＜－2时，x +（x +2）f （x +2）≤5⇔x +（x +2）·（－1）≤5⇔－2≤5， ∴x ＜－2.综上x ≤23.答案：（－∞，23］ 5.定义符号函数sgn x =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.010001）（），（），（x x x 当x ∈R 时，解不等式（x +2）＞（2x －1）sgn x .解：当x ＞0时，原不等式为x +2＞2x －1. ∴0＜x ＜3.当x =0时，成立. 当x ＜0时，x +2＞121-x . x －121-x +2＞0. 1224122--+--x x x x ＞0.123322--+x x x ＞0.∴－4333+＜x ＜0.综上，原不等式的解集为{x |－4333+＜x ＜3}. 6.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax （a ∈R ）.解：原不等式变形为ax 2+（a －2）x －2≥0. ①a =0时，x ≤－1；②a ≠0时，不等式即为（ax －2）（x +1）≥0， 当a ＞0时，x ≥a2或x ≤－1； 由于a 2－（－1）=aa 2+，于是 当－2＜a ＜0时，a2≤x ≤－1； 当a =－2时，x =－1； 当a ＜－2时，－1≤x ≤a2. 综上，当a =0时，x ≤－1；当a ＞0时，x ≥a 2或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，a2≤x ≤－1； 当a =－2时，x =－1；当a ＜－2时，－1≤x ≤a2. 培养能力7.解关于x 的不等式log a 3x ＜3log a x （a ＞0，且a ≠1）. 解：令y =log a x ，则原不等式化为y 3－3y ＜0， 解得y ＜－3或0＜y ＜3， 即log a x ＜－3或0＜log a x ＜3. 当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＞a 3-}∪{x |a3＜x ＜1}；当a ＞1时，不等式的解集为{x |0＜x ＜a 3-}∪{x |1＜x ＜a 3}.8.有点难度哟！已知适合不等式|x 2－4x +a |+|x －3|≤5的x 的最大值为3，求实数a 的值，并解该不等式. 解：∵x ≤3，∴|x －3|=3－x .若x 2－4x +a ＜0，则原不等式化为x 2－3x +a +2≥0.此不等式的解集不可能是集合{x |x ≤3}的子集，∴x 2－4x +a ＜0不成立. 于是，x 2－4x +a ≥0，则原不等式化为x 2－5x +a －2≤0.∵x ≤3， 令x 2－5x +a －2=（x －3）（x －m ）=x 2－（m +3）x +3m ，比较系数，得m =2，∴a =8. 此时，原不等式的解集为{x |2≤x ≤3}. 探究创新9.关于x 的不等式⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--055220222k x k x x x ）（，的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围.解：由x 2－x －2＞0可得x ＜－1或x ＞2.∵⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--055220222k x k x x x ）（，的整数解为x =－2，又∵方程2x 2+（2k +5）x +5k =0的两根为－k 和－25. ①若－k ＜－25，则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}； ②若－25＜－k ，则应有－2＜－k ≤3. ∴－3≤k ＜2.综上，所求k 的取值范围为－3≤k ＜2. ●思悟小结1.一元二次不等式的解集与二次项系数及判别式的符号有关.2.解分式不等式要使一边为零，转化为不等式组.如果能分解，可用数轴标根法或列表法.3.解高次不等式的思路是降低次数，利用数轴标根法求解较为容易.4.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论. ●教师下载中心 教学点睛1.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程.因此在教学中向学生强调保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.2.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解，这体现了转化与化归的数学思想.3.解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确.拓展题例【例1】 解关于x 的不等式12-ax ax ＞x （a ∈R ）.解法一：由12-ax ax ＞x ，得12-ax ax －x ＞0，即1-ax x＞0.此不等式与x （ax －1）＞0同解.若a ＜0，则a1＜x ＜0； 若a =0，则x ＜0； 若a ＞0，则x ＜0或x ＞a1. 综上，a ＜0时，原不等式的解集是（a1，0）； a =0时，原不等式的解集是（－∞，0）； a ＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（a1，+∞）. 解法二：由12-ax ax ＞x ，得12-ax ax －x ＞0，即1-ax x＞0.此不等式与x （ax －1）＞0同解.显然，x ≠0.（1）当x ＞0时，得ax －1＞0.若a ＜0，则x ＜a1，与x ＞0矛盾， ∴此时不等式无解；若a =0，则－1＞0，此时不等式无解； 若a ＞0，则x ＞a1. （2）当x ＜0时，得ax －1＜0. 若a ＜0，则x ＞a 1，得a1＜x ＜0； 若a =0，则－1＜0，得x ＜0； 若a ＞0，则x ＜a1，得x ＜0. 综上，a ＜0时，原不等式的解集是（a1，0）； a =0时，原不等式的解集是（－∞，0）；a ＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（a1，+∞）.【例2】 f （x ）是定义在（－∞，3］上的减函数，不等式f （a 2－sin x ）≤f （a +1+cos 2x ）对一切x ∈R 均成立，求实数a 的取值范围.解：由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++≥-≤++≤-x a x a x a x a 2222cos 1sin 3cos 13sin ，， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥---≤+≤222221sin 49cos 2sin 3）（，，x a a x a x a 对x ∈R 恒成立. 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥--≤≤max22221sin 4912）（，，x a a a a ∴－2≤a ≤2101-.。
一元二次不等式及其解法和基本不等式
一元二次不等式及其解法和基本不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时教学目标：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。
重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
教学过程1.课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P84互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：250x x -< (1)2.讲授新课1）一元二次不等式的定义象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2）探究一元二次不等式250x x -<的解集怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 250x x ->；当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即当0<x<5时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0,即250x x -<；所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。
3）探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：220,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集呢？ 组织讨论，总结讨论结果：（l ）抛物线 =y c bx ax ++2（a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2=0的判别式ac b 42-=∆三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a<0可以转化为a>0分Δ>O ，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)有两相异实根 有两相等实根[范例讲解]例2 (课本第87页)求不等式01442>+-x x 的解集. 解：因为210144,0212===+-=∆x x x x 的解是方程.所以，原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠21x x 例3 (课本第88页)解不等式0322>-+-x x . 解：整理，得0322<+-x x .因为032,02=+-<∆x x 方程无实数解，所以不等式0322<+-x x的解集是∅.从而，原不等式的解集是∅.3.随堂练习: 课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）4.课时小结:解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若③ 写出解集.5.评价设计: 课本第89页习题3.2[A]组第1题§3.2一元二次不等式及其解法第2课时教学目标：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；重点：熟练掌握一元二次不等式的解法难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 教学过程:1.课题导入1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格2.讲授新课[范例讲解]例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21120180s x x =+在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h ）解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h ，根据题意，我们得到21139.520180x x +>移项整理得：2971100x x +->显然 0> ，方程2971100x x +-=有两个实数根，即1288.94,79.94x x ≈-≈。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2含有绝对值的
【做一做3】 解不等式|2x-5|-|x+1|<2.
分析:利用零点分区间法解题.
解:令 2x-5=0,得 x= 5 . 令x+1=0,得 x=-1.
2
(1)当 x≤-1 时,原不等式等价于-(2x-5)+(x+1)<2,
即-x+6<2,即 x>4,无解.
(2)当-1<x<
5 2
时,原不等式等价于-(2x-5)-(x+1)<2,
题型一 题型二 题型三
解法一:(几何法)如图,设数轴上与-2,1对应的点分别是A,B,则A,B 两点的距离是3,因此区间[-2,1]上的数都不是原不等式的解.为了求 出不等式的解,关键要在数轴上找出与点A,B的距离之和为5的点. 将点A向左移动1个单位到点A1,这时有|A1A|+|A1B|=5;
同理,将点B向右移动1个单位到点B1,这时也有|B1A|+|B1B|=5. 从数轴上可以看到,点A1与B1之间的任何点到点A,B的距离之和 都小于5;点A1的左边或点B1的右边的任何点到点A,B的距离之和都 大于5. 所以,原不等式的解集是(-∞,-3]∪[2,+∞).
2.2 绝对值不等式的解法
1.会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围. 2.会解|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c四种类 型的绝对值不等式.
1.(1)解绝对值不等式的主要依据 解含绝对值的不等式的主要依据为绝对值的定义、绝对值的几 何意义及不等式的性质. (2)绝对值不等式的解法
【做一做1】 解下列绝对值不等式: (1)|x|<3;(2)|x|>4.
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.2绝对值不等式的解法课件北师大版选修4_5
• [互动探究]若本例条件变为“若关于x的不等式|x＋2| －|x－1|≥a的解集为R”，求实数a的取值范围．
解：法一 令 y1＝|x＋2|－|x－1|，y2＝a， 3，x≥1，
则 y1＝2x＋1，－2≤x＜1， －3，x＜－2.
• 函数y1，y2的图像如图所示．由图可知当a＜－3时，
• 不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( ) • A．(－∞，4) B．(－∞，1) • C．(1,4) D．(1,5) • 解析：①当x＜1时，原不等式等价于 • 1－x－(5－x)＜2，即－4＜2， • 所以x＜1.
• ②当1≤x≤5时，原不等式等价于 • x－1－(5－x)＜2，即x＜4， • 所以1≤x＜4. • ③当x＞5时，原不等式等价于x－1－(x－5)＜2， • 即4＜2，无解． • 综合①②③知x＜4. • 答案：A
• 3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解
法 几何意义
• (1)可以利用绝对值不等式的___________零_.点
• (2)利用分类讨论的思想，以绝对值的
“____________”为分界点，将数轴分成几个区间，
然后确定符号各个绝对值中的多绝对项值式符号的____________，
• 所以实数a的取值范围是(－∞，－3)．
• 【点评】 (1)含参数的绝对值不等式的解法与不含 参数的绝对值不等式的解法完全一样，只不过要注 意对参数的取值的讨论．
• (2)对于已知含参数的绝对值不等式的解集情况或恒 成立情况，求参数的值或取值范围的问题，关键是 根据其解集或恒成立构建关于参数的方程、不等式 或函数，再求解．
第一章 不等关系与基本不等式
一元二次不等式及其解法
拓展提升 三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数 主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形 式来研究．
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相 应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问 题，关系如下：
数的关系可得－21＋2＝－ba， －21×2＝2a，
∴a＝－2，b＝3， 故 ax2＋bx－1>0 可变为－2x2＋3x－1>0， 即 2x2－3x＋1<0，解得12<x<1.
[规律小结] 1.对一元二次不等式概念的三点说明
(1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含 有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即 哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可．
xx＝94
.
(5)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，因为 Δ＝62－40＝－
4<0，所以原不等式的解集为∅.
(6)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0，因为 Δ＝9－4×2×2
＝－7<0，所以原不等式的解集为 R.
拓展提升 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项 系数为正．
∈R}；
(2)当2a>2，即
0<a<1
时，原不等式的解集为xx>
2或 a
x<2；
(3)当2a<2，即 a<0 或 a>1 时，
原不等式的解集为xx<2a
或x>2.
综上所述，当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x<2}；
高一数学一元二次不等式的解法
则
-12
,b
-2
.
.
4、若不等式x 2 ax (a 3) 0的解集是，则实数a的 取值范围是
-2≤a≤6
小结:
1.一元二次不等式的概念与标准形式
2.三个“二次”的关系 3.一元二次不等式的解法及其步骤
一.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系
b2 4ac(a 0)
0
0
0
y ax2 bx c
两个不等实根 ax 口诀：两根之 bx c 0 （设 x1 x2 ） 间 2
2
口诀：两根之 外 两个相等实根 没有实根
ax bx c 0 x x x1或x x2 ax bx c 0
练习2：
1、已知函数 当
-1＜x＜2
y x 2 bx c 的图象与x轴的交 时，y 0； 时，y 0.
x 2 mx n 0的 .
2
点横坐标为 1和2, 则当 x＞2或x＜-1
2、若方程 解集是
x 2 mx n 0 无实数根，则不等式
R
a
1， 3、已知不等式ax bx 2 0的解是 1 x 2 3
1 2
1 3
式x2-bx-a<0的解集是
A.(2,3) 1 1 C. ( , ) 3 2
（ A ）
B.(-∞,2)∪(3,+∞)
D.( , 1 ) ( 1 , ) 3 2 1 1 解析 由题意知 , 是方程ax2-bx-1=0的根,所 2 3 1 1 b 1 1 1 以由韦达定理得 ( ) , ( ) . 2 3 a 2 3 a 解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解集 为(2,3).
一元二次不等式及其解法课件
一元二次不等式的解集在实数轴上可以用一个开区间或并集形式表示，它的解也可以用图像 来表示。
性质
一元二次不等式的解集对加、乘、取反等运算具有相应的不等性质，并与二次函数的图像有 密切关系。
一元二次不等式的解法
方程法解一元二次不等式
将不等式转化成关于未知数的二 次方程，并通过求根公式计算求 解。
图像法解一元二次不等式
一元二次不等式及其解法 课件
欢迎来到一元二次不等式及其解法课件。本课程将为大家介绍一元二次不等 式的定义、特性以及解法，并提供疑难问题的解析与讨论。
一元二次不等式的定义和性质
定义
一元二次不等式是形如 ax^2+ bx + c < 0 (a > 0) 的不等式，其中 a、b、c 是实系数，x 是未知 数。
根据二次函数的图像来确定不等 式的解集，特别是在根与极值处 交叉的情况，可以通过分段来确 定解集。
直观法解一元二次不等式
常用于解决一元二次不等式的近 似解，因为不需要求解二次方程 或画出图像，只需要根据一些常 用不等关系，直观地确定不等式 解集的上下确界。
解一元二次不等式的注意事项
1 不等式的基本性质
一元二次不等式的应用举例
1
例一
已知 a + b + c = 1，证明 a^2 + b^2 + c^2 ≥
例二
2
1/3
求解 x/(x+1) < 2-x，其中 x≠-1
3
例三
求解方程根号析与讨论
题型难点分析
对于典型题目，分析其解法、注意事项和解答技巧， 还可以结合例题和考试真题来讲解。
答疑解惑小结
归纳、总结一些学生常犯的错误，提供对策和解决 方法，为学生答疑解惑。
C.第3章 不等式
第三章不等式1.1不等关系1.2不等关系与不等式课时目标1.初步学会作差法比较两实数的大小.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a，b的大小(1)文字叙述：如果a－b是正数，那么a____b；如果a－b等于____，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a____b，反之也成立．(2)符号表示：a－b>0⇔a____b；a－b＝0⇔a____b；a－b<0⇔a____b. 2．常用的不等式的基本性质(1)a>b⇔b____a(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a____c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c____b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac____bc；a>b，c<0⇒ac____bc；(5)a>b，c>d⇒a＋c____b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac____bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒a n____b n；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒na____nb.一、选择题1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A.1a<1b B．a2>b2 C.ac2＋1>bc2＋1D．a|c|>b|c|2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2 B.ab2>ab>a C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a3．已知a、b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是()A．a2<b2B．a2b<ab2 C.1ab2<1a2b D.b a< a b4．若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则()A．a<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．b<c<a 5．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是()A．b－a>0 B．a3＋b3<0 C．a2－b2<0 D．b＋a>0 6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是()A．ab>ac B．ac>bc C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2二、填空题7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为____________．8．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．9．若x∈R，则x1＋x2与12的大小关系为________．10．设n>1，n∈N，A＝n－n－1，B＝n＋1－n，则A与B的大小关系为________．三、解答题11．设a>b>0，试比较a2－b2a2＋b2与a－ba＋b的大小．12．设f(x)＝1＋log x3，g(x)＝2log x2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．能力提升13．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1 D.1 214．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定作差的结果是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．2.1 一元二次不等式的解法课时目标1.会解简单的一元二次不等式.2.了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．1．一元一次不等式：一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式．(1)若a >0，解集为________________；(2)若a <0，解集为________________． 2．一元二次不等式：一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：(1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．3(a >0)的解集一、选择题1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32 2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2} 3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( )A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞)B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)5．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)二、填空题7．二次函数28．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是______________．9．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 10．不等式(x 2－x ＋1)(x 2－x －1)>0的解集是________________．三、解答题11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.能力提升13．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1C.⎝⎛⎭⎫0，1a 3D.⎝⎛⎭⎫0，2a 3 14．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．2.2 一元二次不等式的应用课时目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．1.一元二次不等式的解集：判别式 Δ＝b 2－4acΔ>0x 1<x 2 Δ＝0 Δ<0ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)2.(1)f (x )g (x )>0⇔________； (2)f (x )g (x )≤0⇔__________； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔__________；ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔__________. (2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则：a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔____________； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔____________. 4．简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f (x )>0用穿针引线法(或数轴穿根法)求解，其步骤是： (1)将f (x )最高次项的系数化为正数；(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积或商的形式；(3)将每个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f (x )值的符号变化规律，写出不等式的解集．一、选择题1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( )A ．(－3,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1}3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}4．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]5．不等式x 2－x －6x －1＞0的解集为( )A.{}x | x ＜－2，或x ＞3B.{}x | x ＜－2，或1＜x ＜3C.{}x | －2＜x ＜1，或x ＞3D.{}x | －2＜x ＜1，或1＜x ＜36．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 二、填空题7．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________.8．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．9．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )<0的解集可用P 、Q 表示为________． 10．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？12．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．能力提升13．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19 C.509D ．不存在14．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，注意分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ； (2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3.1 基本不等式课时目标 1.理解基本不等式的内容及其证明；2.能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab (当且仅当______时取“＝”号)．2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b2____ab (当且仅当a ____b 时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中______称为a ，b 的算术平均数，______称为a ，b 的几何平均数． 3．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )；(2)当x >0时，x ＋1x ≥____；当x <0时，x ＋1x ≤______.(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥____；当ab <0时，b a ＋ab≤____.(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )．一、选择题1．已知a >0，b >0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b 中最小的是( )A.a ＋b 2B.abC. a 2＋b 22D.2ab a ＋b2．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n 3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab <1 4．已知正数0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b 5．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )A.12 B ．b C ．2ab D ．a 2＋b 2 6．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3二、填空题7．若a <1，则a ＋1a －1有最______值，为________．8．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y 的最小值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．10．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．三、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .12．a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥na －c，求n 的最大值．能力提升13．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．214．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c .1．设a ，b 是两个正实数，用min(a ，b )表示a ，b 中的较小的数，用max(a ，b )表示a ，b中的较大的数，则有min(a ，b )≤21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max(a ，b )．当且仅当a ＝b时，取到等号．2．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取…＝‟号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .3.2 基本不等式与最大(小)值课时目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．设x ，y 为正实数(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当______时，积xy 有最____值，且这个值为______． (2)若xy ＝p (积p 为定值)，则当______时，和x ＋y 有最____值，且这个值为______． 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：(1)x ，y 必须是______；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为______； 求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为______． (3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．一、选择题1．函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2 2B ．4 2C ．16D ．不存在3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值14．函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值为( )A ．2 B.52 C ．1 D ．不存在 5．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1126．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92 二、填空题7．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________．8．已知正数a ，b 满足a ＋b －ab ＋3＝0，则ab 的最小值是________．9．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．10．函数y＝log a(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图像恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则1m＋2n的最小值为________．三、解答题11．已知x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?能力提升13．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有() A．2∈M,0∈M B．2∉M,0∉M C．2∈M,0∉M D．2∉M,0∈M 14．设正数x，y满足x＋y≤a·x＋y恒成立，则a的最小值是______.1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑结合函数图象求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．4.1 二元一次不等式(组)与平面区域课时目标1.了解二元一次不等式表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．1．二元一次不等式(组)的概念含有________未知数，并且未知数的次数是____的不等式叫做二元一次不等式． 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为________________． 2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线__________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成______以表示区域不包括边界．不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成______． 3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定(1)直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得的符号都____． (2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由____________的符号可以断定Ax ＋By ＋C >0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．一、选择题1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6>0x <0B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6≥0x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧ y >－23x －2y ＋6>0x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6<0x <02．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( )A ．(－1,6)B ．(－6,1)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞) 3．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所在的区域为( )4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤12，x －y >－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( )A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．1 6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A.73 B.37 C.43 D.34二、填空题7．△ABC 的三个顶点坐标为A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，则△ABC 的内部及边界所对应的二元一次不等式组是_____________．8．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________．9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________． 10．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．三、解答题11．利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3y ≥26x ＋7y ≤50的整数解．12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于直线x＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是多少？能力提升13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞) 14．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是_______．1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分． 2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路，不可马虎大意，常先确定x 的范围，再逐一代入不等式组，求出y 的范围最后确定整数解的个数．4.2 简单线性规划课时目标 1.了解线性规划的意义.2.会求一些简单的线性规划问题．名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式可行解 满足____________的解(x ，y ) 可行域 所有________组成的集合 最优解 使目标函数取得____________的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.7152．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．103．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x ，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1，0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)24．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,35．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x ，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125D ．2 二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为________． 三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋6)(x ＋y －6)≥01≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．4.3 简单线性规划的应用课时目标1.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.2.掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．1．用图解法解线性规划问题的步骤：(1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．一、选择题1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( )如图所2. 示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的 值为( )A.14B.35 C ．4 D.533．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱5．如图所示，目标函数z ＝kx －y 的可行域为四边形OABC ，仅点B (3,2)是目标函数的最优解，则k 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫23，2B.⎝⎛⎭⎫1，53C.⎝⎛⎭⎫－2，－23D.⎝⎛⎭⎫－3，－43 二、填空题 6．(2009·山东)某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元． 7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大． 三、解答题9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能 既满足营养，又使费用最省？10．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？能力提升11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数 z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－1 D ．112．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别至少为15、18、 27块，问各截这两种钢板多少张可得所 需三种规格成品，且使所用钢板张数最 少？1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优 整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．。
第04讲 一元二次不等式及简单不等式(解析版)
f (1 m) f (1 m 2) 0 ，则实数 m 的取值范围为_______．
【答案】(0，1)．
【解析】
f
x
为定义在
1,1
上的奇函数，
f
0
0
， x 1,0 时，f
x
x2
x
x
1 2
2
1 4
，
f x 在 1,0 上单调递减， f x 为奇函数， f x 在0,1 上单调递减， f x 在 1,1 上单调
所以原不等式的解集为{x|4－ 13<x<4＋ 13}.
（2）方法一:2
-+11≤0
等价于
-1≤0, 2 +1>
0,①或
-1≥0, 2 +1
<
0.②
解①得-12<x≤1,解②得 x∈⌀,
所以原不等式的解集为
-
1 2
,1
.
方法二:不等式2
-+11≤0⇔
( 2
-1)(2 +1
+ 1) ≠ 0,
≤
0,
所以由二次不等式知
7 / 14
若关于 x 的一元二次不等式 x2﹣6x+a≤0 的解集中有且仅有 3 个整数，则
t2) ≤ 0
− 12 + L ≤ 0
t1)＞0 ，即 1 − h + L＞0 ，
解得 5＜a≤8，又 a∈Z，
所以 a＝6，7，8．
故选：ABC．
含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不
判别式Δ＝b2－4ac
《不等式的性质》教案
《不等式的性质》教案第一章：不等式的概念与基本性质1.1 不等式的定义与表示方法介绍不等式的概念，理解“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等基本不等关系。
学习使用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示不等式。
1.2 不等式的基本性质学习不等式的传递性质、反射性质和封闭性质。
掌握不等式的同向相加、反向相减、同向乘除等基本变换方法。
第二章：不等式的解法2.1 简单不等式的解法学习解一元一次不等式，例如：3x 7 > 2。
掌握不等式的解法步骤，包括移项、合并同类项、系数化等。
2.2 不等式的组解法学习解不等式组，例如：{3x 7 > 2, 2x + 5 ≤15}。
掌握解不等式组的步骤，包括画数轴、找出解集、合并解集等。
第三章：不等式的应用3.1 最大值与最小值的求解学习使用不等式求解函数的最大值和最小值问题。
掌握利用不等式转化为等式求解极值的方法。
3.2 不等式在实际问题中的应用学习将实际问题转化为不等式问题，并求解。
举例说明不等式在实际问题中的应用，如利润最大化、成本最小化等。
第四章：不等式的证明4.1 直接证明学习使用直接证明法证明不等式，例如：证明a+b ≥2√(ab)。
4.2 综合证明学习使用综合证明法证明不等式，例如：证明a²+ b²≥2ab。
4.3 反证法学习使用反证法证明不等式，例如：证明不等式a+b ≤2√(ab) 是错误的。
第五章：不等式的进一步性质5.1 不等式的恒等变形学习使用恒等变形法，如替换、移项、合并同类项等，保持不等式的恒等成立。
5.2 不等式的比例性质学习不等式的比例性质，例如：若a > b，且c > d，则ac > bd。
5.3 不等式的均值不等式学习使用均值不等式，如算术平均数不等式、几何平均数不等式等，求解不等式问题。
第六章：不等式的应用举例6.1 线性规划问题学习如何将线性规划问题转化为不等式问题。
一元二次不等式及其解法课件
1 2
, 32
)
【活学活用】
1.已知函数f(x)=(ax-1)·(x+b)，如果不
等式f(x)>0的解集是(-1,3)，则不等式
f(-2x)<0的解集是( A)
(A)(-∞,
3 2
)∪( 12
,+∞)
(B)( 3 , 1) 22
(C)(-∞,
12)∪(
3 2
,+∞)
(D)(
1 2
, 32
)
思维拓展：高次不等式穿根法
基础 篇
例1：解下列一元二次不等式
(1)x2 3x 4 0; (2) x2 x 3 1; (3)2x2 3x 2 0; (4)4x2 12x 9 0.
例1：解下列一元二次不等式
(1)x2 3x 4 0;-，-1 U4，+
(2) x2 x 3 1;-1, 2
专题二
一元二次不等式及其解法
学习目标
❖ 学习目标: 通过复习进一步理解“三个二次”的关 系，掌握一元二次不等式的解法并会实际运用。
❖ 学法指导：体会数形结合、分类讨论的思想方法， 加强计算能力的培养。
❖ 学习重点、难点：一元二次不等式的解法及其步骤、 恒成立问题、实际应用问题。
[导入新知] 【概念回顾】 1．一元二次不等式 我们把只含有 一个 未知数，并且未知数的 最高次数是2 的 不等式，称为一元二次不等式，即形如 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或 ax2＋ bx＋c＜0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
[类题通法] 解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小 于 0 进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论；
一元二次不等式及其解法
当 a＝0 时，原不等式的解集为(－∞，－1]；
而g
a
是一次函数，所以
g g
(1) (1)
x
x2 2
5x 3x
2
6
0
0，
解得x 1或x 3.所以x的取值范围是{x | x 1或x 3}．
5.已知函数y＝lg[(a2－4)x2＋2(a＋2)x＋a－1]的定 义域为R，求实数a的取值范围．
a的取值范围是(4，＋∞)．
解关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0.
【自主解答】 不等式 x2－2ax－8a2<0 可化为(x＋2a)·(x－ 4a)<0，
(1)当－2a＝4a，即 a＝0 时，不等式即为 x2<0，解集为∅； (2)当－2a>4a，即 a<0 时，则 4a<x<－2a； (3)当－2a<4a，即 a>0 时，则－2a<x<4a. 综上所述：当 a＝0 时，原不等式的解集为∅； 当 a<0 时，原不等式解集为{x|4a<x<－2a}； 当 a>0 时，原不等式解集为{x|－2a&式恒成立问题
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)的等价条
件是
a＝0 b＝0 c>0
或a>0 Δ<0
；
(2)不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集是全体实数(或恒成立)的等价条
一元二次不等式与简单的分式不等式的解法
一元二次不等式与简单分式不等式的解法知识梳理1．一元一次不等式的解法一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集为(1)当a＞0时，解集为{x|x＞b a}.(2)当a＜0时，解集为{x|x＜b a}.2. 一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4acΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 图象一元二次方程的根有两相异实根x1＝－b－Δ2a，x2＝－b＋Δ2a有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞{x|x＜x1或x{x|x≠－b2a，x R0(a＞0)的解集＞x2} ∈R}ax2＋bx＋c<0(a＞0){x|x1＜x＜x2} ∅∅口诀：大于取两边，小于取中间．3．分式不等式的解法(1)f(x)g(x)＞0f(x)·g(x)＞0，f(x)g(x)＜0f(x)·g(x)＜0；(2)f(x)g(x)≥0⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x) ≥0，g(x)≠0，，f(x)g(x)≤0⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x) ≤0，g(x)≠0，；(3)f(x)g(x)＞mf(x)g(x)－m＞0f(x)－m·g(x)g(x)＞0．4．简单高次不等式解法对于简单高次不等式一般用序轴标根法求解，步骤是先求出各表达式为零时的根，再作图求解．作图口诀：“自右向左，自上向下，奇穿偶不穿”，其中“奇穿偶不穿”含义为，若对应根对应根为奇数个，则穿过该点，如果为偶数个，则作图时不穿过该点．例如解不等式x (x－1)2(x－2)3＞0，在作图时，由于0,2这两个根分别是1个、3个，有奇数个根，因此作图时应穿过；而1这个根有2个，也就是有偶数个，因此作图时不穿过，如下图所示：由图知不等式x (x －1)2(x －2)3＞0解集为{x |x ＜0或x ＞2}．5．几点注意事项(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或＞0)，若二次项含有字母参数时，不一定是二次不等式，要分a ＝0和a ≠0讨论．(2)解分式不等式f (x )g (x )＞m 时，不要直接在不等式两边同乘以分母，因为此时g (x )正负不确定．正确做法是移项将右边化为0，即化为f (x )g (x )－m ＞0，然后通分求解． 典例剖析题型一 一元二次不等式解法例1 解下列不等式(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2) x 2－3x ＋2≥0；解析 (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43， 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2≤x ≤43. (2) 原不等式可化为(x －1)(x －2)≥0，解得x ≤1或x ≥2． 所以原不等式的解集为{x | x ≤1或x ≥2}．变式训练 解不等式0＜x 2－x －2≤4解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.解题要点 求解一元二次不等式时，一般先通过变形，将不等式右边化为0，左边x 2前系数化为正，求出根或因式分解后借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集．题型二 分式不等式解法例2 不等式x －3x －1≤0的解集为________． 答案 {x |1<x ≤3}解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)(x －1)≤0，x ≠1，∴1<x ≤3.变式训练 函数f (x )＝ 1－x x ＋2的定义域为________． 答案 (－2,1]解析 1－x x ＋2≥0⇔x －1x ＋2≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤1，x ≠－2⇔－2<x ≤1.解题要点 求解分式不等式时，需要将各个因式x 前系数化为正，然后也可以借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集．但应注意等号问题，分母不可为0．题型三 一元二次不等式与一元二次方程根之间关系问题 例3 关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab >0的解集是{x |x <－1或x >4}，则a ＋b ＝________．答案 －3解析 由题意知，－1，4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，∴ a ＋1＝－3，ab ＝－4.∴ a ＝－4，b ＝1.∴ a ＋b ＝－3.变式训练 已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则a ＝________，c ＝________．答案 －1，－2 解析 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c a＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.解题要点 解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系，一元二次函数与x 轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，利用一元二次方程的根，结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式．因此反过来，由一元二次不等式的解集，可以得到对应的一元二次方程的根，结合根与系数关系即可求出参数值． 题型四 一元二次不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2－2x －1<0恒成立，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m <0（－2）2－4m （－1）<0，解得m <－1.变式训练 已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0，即k 2>2，∴k >2或k <－ 2.解题要点 一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ<0.题型五 含参数一元二次不等式解法例5 解关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2＞0(a ∈R ，a ≠0) 解析 由x 2－2ax －3a 2＞0知(x －3a )(x ＋a )＞0.由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论．当a ＜0时，x ＜3a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞3a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜3a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞3a 或x ＜－a .解题要点 对含参数一元二次不等式主要分三种讨论： 讨论二次项系数、讨论Δ，讨论两根的大小，具体如下：(1)当二次项系数含有参数应讨论是系数等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．当堂练习1．（2015江苏）不等式2x 2－x ＜4的解集为________．答案 {x |－1＜x ＜2}解析 ∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.2．不等式x －2x 2－1<0的解集为________． 答案 {x |x <－1或1<x <2}解析 (x －2)(x 2－1)<0，(x ＋1)(x －1)(x －2)<0，数轴标根可得，x <－1或1<x <2．3. 不等式x －1x ＋2<0的解集为________． 答案 (－2,1)解析 原不等式化为(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1，∴原不等式的解集为(－2,1)．4．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．答案 (2,3)解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3).5．若关于x 的不等式12x 2＋(2－m )x <0的解集是{x |0<x <2}，则实数m ＝________.答案 3解析 由题知x ＝0或x ＝2是方程12x 2＋(2－m )x ＝0的根，可得m ＝3.课后作业一、 填空题1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析 不等式x －12x ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0⇒－12<x ≤1. 2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集为________．答案 {x |x ≥1或x ＝－2}解析 由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1≥0或x ＋2＝0，解得x ≥1或x ＝－2.3．若0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m)＜0的解集为________． 答案 {x |m ＜x ＜1m }解析 当0<m <1时，m <1m. 4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为________．答案 {x |－1<x <12} 解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为{x |－1<x <12}. 5．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c ＞0的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1 解析 由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－4,1)知a ＜0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以－4＋1＝－b a ，－4×1＝c a ，即b ＝3a ，c ＝－4a .故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a ＞0，即3x 2＋x －4＜0，解得－43＜x ＜1.。
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专题一
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1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”. (1)a>b⇔ac2>bc2. ( × )
(2)a>b>0,c>d>0⇒������ > ������. (
解析:∵集合
1-������
B.{x|-1<x<3} D.{x|-1<x<0 或 1<x<3}
������
1-������ ������
A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},B=
<
0 ={x|x<0 或 x>1},
∴A∩B={x|-1<x<0 或 1<x<3}.故选 D.
5.函数 y= 3-2������-������ 2 的定义域是
������
������
)
(3)若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0. ( ) ������-2 (4)不等式 ������+1≤0 的解集是[-1,2]. ( × ) (5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则关于x的不等 式ax2+bx+c>0的解集为R. ( × )
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考ห้องสมุดไป่ตู้三
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对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a,b,c的大小关系是( A ) A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b (2)已知a,b是实数,且e<a<b,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的 大小关系是 . ab>ba 解析: (1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b. 又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2.∴b=a2+1.
������ ������
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不等式的性质及应用 例2(1)如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是( D ) A.a2>a>-a2>-a B.a2>-a>a>-a2 C.-a>a2>a>-a2 D.-a>a2>-a2>a (2)设a,b为正实数.现有下列命题: ①若 a2-b2=1,则 a-b<1;
[-3,1]
.
解析:由 3-2x-x2≥0,即 x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.所以函数 y= 3-2������-������ 2 的定义域是[-3,1].
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解析: (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)· (a2-1). ∵a1∈(0,1),a2∈(0,1), ∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0. ∴M>N. (2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数.
a b
b
b+m b
b -m
a
a+m
< b -m (b-m>0).
a -m
2.(x-a)(x-b)>0 或(x-a)(x-b)<0 型不等式的解法口诀:大于取两边,小于 取中间. 3.恒成立问题的转化:a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max;a≤f(x)恒成立 ⇒a≤f(x)min. 4.能成立问题的转化:a>f(x)能成立⇒a>f(x)min;a≤f(x)能成立 ⇒a≤f(x)max.
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考纲要求 1.了解现实世界和日常生 活中存在着大量的不等关 系. 2.了解不等式(组)的实际背 景. 3.会从实际问题的情境中 抽象出一元二次不等式模 型. 4.通过函数图象了解一元 二次不等式与相应的二次 函数、一元二次方程的联 系. 5.会解一元二次不等式,对 给定的一元二次不等式,会 设计求解的程序框图.
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1.两个实数比较大小的方法 ������-������ > 0⇔������ > = (1)作差法 ������-������ = 0⇔������
< ������-������ < 0⇔������ ������ > 1⇔������ > ������
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2.(2017江西吉抚七校质量监测2,文5)若0<a<b<1,则下列不等式 成立的是( D ) 1 1 3 3 A.a >b B. ������ < ������ C.ab>1 D.lg(b-a)<0 解析:∵0<a<b<1,∴0<b-a<1,∴lg(b-a)<0. 3.已知a,b>0,且a≠1,b≠1.若logab>1,则( D ) A.(a-1)(b-1)<0 B.(a-1)(a-b)>0 C.(b-1)(b-a)<0 D.(b-1)(b-a)>0 解析:当0<a<1时,由logab>1,得b<a. ∵a<1,∴b<a<1,∴b-a<0,b-1<0,a-1<0. ∴(a-1)(b-1)>0,(a-1)(a-b)<0,(b-a)(b-1)>0. ∴排除A,B,C. 当a>1时,由logab>1,得b>a>1. ∴b-a>0,b-1>0.∴(b-1)(b-a)>0.故选D.
ln������ ,可得 ������
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思考比较两个数(式)大小常用的方法有哪些? 解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法. (1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常 采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平 方式. (2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关 键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小. (3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.
������, ������, ������. ������(������∈R,������ > 0), ������(������∈R,������ > 0), ������(������∈R,������ > 0).
(2)作商法 ������ = 1⇔������ ������ < 1⇔������
b
Δ=0
Δ<0
没有实 数根 R
{x|x>x2或x<x1} {x|x1<x<x2}
⌀
⌀
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1.若 a>b>0,m>0,则a < a+m ; a > a -m (b-m>0);b > b+m ;
五年考题统计
命题规律及趋势 高考对本节内容 很少单独命题考 查,对不等关系及 一元二次不等式 的考查常与集合 结合在一起,有时 与函数的定义域、 充要条件、判断命 题真假、数或式的 大小比较、不等式 的恒成立及同解 变形等问题结合 在一起.
2015 全国Ⅰ,文 20 2015 全国Ⅱ,文 12 2016 全国Ⅱ,文 1 2017 全国Ⅰ,文 1 2017 全国Ⅱ,文 8
(6)可开方:a>b>0⇒ ������
������
>
������
������(n∈N,n≥2).
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