紧束缚方法计算石墨烯能带结构

紧束缚近似下的石墨烯能带计算

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2、紧束缚近似
紧束缚近似是将在一个原子附近的电子看作受该原子势场的作用为主，其他原子势场的作用看作微扰，从而可以得到电子的原子能级和晶体中能带之间的相互关系。在此近似中，能带的电子波函数可以写成布洛赫波函数之和的形式：
k r
1 eikRm
Nm
i
rRm
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二、石墨烯电子能带计算
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石墨烯的一个原胞内包含两个不等价的碳原子A和B，如图1所示，取晶格的基矢为
a 1
3a 2
i
3a j 2
a
2
3a 2
i
3a j 2
b1
2 3a
i
2 3 3a
j
b
2
2 3a
i
2
3 3a
j
由此，可以计算出石墨烯倒空间中第一布里渊区六
个顶点的坐标位置为：图1中相对位置矢量为：
0 ,
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H 12H 2 11|H| 2
1 eikRjA Nj
rRjA
H1 Nj
eikRB j
rRB j
1 e ik (R B j R jA ) N jj
r R jAHr R B j (6）
在紧束缚近似下，只考虑最近邻相互作用。对于每个碳原子而言，有3 个最近邻原子。如图1所示
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谢谢各位老师！
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感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
H |c 11 c 22 E |c 11 c 22 （2）
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用 1 | 两边同时左乘（2）式，可得

Tight-Binding方法在计算石墨烯能带中的应用

Tight-Binding方法在计算石墨烯能带中的应用施仲诚1、2，房鸿1(西安工业大学理学院，陕西西安 710032北京师范大学低能核物理研究所，北京100875;）摘要：通过引入紧束缚近似理论，使用MATLAB计算了石墨烯的能带和π能带图。

结果表明，考虑最近邻原子影响，在Ｋ-Γ-Ｍ-Ｋ方向的全能带图中，观察到了能带的简并特性及能带间的跳跃，与其他方法（如第一原理）符合得很好。

在正交基矢下，π能带（价带和导带）具有完全的对称性，加入轨道重叠后（即非正交基矢），这种对称性被破坏，具体表现为：价带靠近费米面，导带远离费米面，从能量的位移上可以发现，远离比靠近的趋势更为明显。

关键词：紧束缚近似；最近邻原子；能带；轨道重叠；费米面自从2004年，英国的两位科学家安德烈·盖姆和克斯特亚·诺沃塞洛夫等人在实验室中成功制备处单层石墨烯材料[1]以来，人们开始又重新审视前人对于石墨烯的数值计算工作，尤其使用紧束缚近似[2,3,4]的方法对于石墨烯最近邻原子轨道的能带（不考虑重叠积分）的计算工作，另一部分人则在此基础上考虑了重叠积分的修正。

紧束缚近似方法是折中于效率和精确度之间的一种算法，最初于1954年[5]提出，这种方法在体材料能带计算中显示出较大优势，并被适用于表面态和低维材料能带的计算，其模型被不断的修正，所得到的结果也越来越接近实验数据和第一性原理计算所得到的结果，与第一性原理计算方法不同，紧束缚近似计算方法需要一些拟合参数，但其计算效率高，物理图象清晰，因此既适合于能带的定量计算又适合定性分析，在物理学中得到广泛采用。

不过，由于石墨烯是sp2杂化，剩余1个未参与杂化的π轨道，杂化所形成的是σ键，与力学性质相关，π轨道在平面上形成离域大π键，与电学性质相关。

前人的很多工作集中在电学性质[3,6,7]的研究方面，这里我们对σ键形成的能带也进行了计算。

我们采用参考文献中通过实验数据和第一性原理计算方法[8]拟合出的数据所得到参数，使用Matlab编程计算了单层石墨烯在最近邻原子的能带。

石墨烯的能带结构

石墨烯的能带结构
石墨烯是一个二维的单层碳原子晶体，其能带结构与三维晶体不同。

石墨烯的能带结构是一个简单的线性结构，其中存在两个无色散的Dirac点。

在石墨烯中，每个碳原子有三个近邻碳原子，它们在二维平面上形成一个六边形格子。

由于局部电子结构的共价键成键能达到几电子伏特(eV)级别，而高能电子或光子的能量竞相达到几百电子伏特级别，因此大部分情况下，我们只需要关注石墨烯最外层的价带和导带。

石墨烯的费米面在K点处与价带相交，这个交点是双价带结构中的能源极值点，称为Dirac点。

由于石墨烯的晶格结构以及碳原子的π轨道特性，这个点出现在唯一的两个对称点处，即K点和K'点。

在K点和K'点处，碳原子的高度对称性使得石墨烯中的电荷载流子表现出线性色散关系。

通过改变能带结构的形状和尺寸，可以调节石墨烯的电学性质，实现对电子传输的控制。

总之，石墨烯的能带结构具有独特的线性结构，其中包含两个无色散的Dirac点。

这种结构赋予了石墨烯优异的电学和热学性质，使其成为当今材料科学研究中的热点。

基于紧束缚模型的双层石墨烯能带结构

基于紧束缚模型的双层石墨烯能带结构作者：王影来源：《硅谷》2014年第21期摘 ;要 ;双层石墨烯是能隙可调控的半导体材料，由于具有奇特的电学性质和光学性质，因此，此类材料有望在光电子工业引起新的革命。

本文采用紧束缚模型方法，给出双层石墨烯动量表象的哈密顿矩阵，数值计算了能带结构，分析了双层石墨烯中三种层间跃迁对能带结构的影响。

关键词 ;双层石墨烯;紧束缚模型;能带结构中图分类号：TP212 ; ; ;文献标识码：A ; ; ;文章编号：1671-7597（2014）21-0022-01石墨烯是由碳原子紧密堆积形成的平面六角晶格结构的二维材料，由于其具有丰富的物理和化学性质，而广受关注[1-3]。

石墨烯在电子元件、晶体管、透明触控屏幕、光板、太阳能电池等领域具有潜在的应用。

单层石墨烯的价带和导带交于狄拉克点，在狄拉克点附近，具有线性的色散关系。

双层石墨烯同样是零能隙材料，但在狄拉克点附近是抛物线型色散关系。

实验和理论都证明在双层石墨烯中外加垂直平面的电场会出现0.1-0.3eV的能隙[4-5]，这意味着双层石墨烯在电子及光电子工业中具有巨大的潜在应用。

本文从紧束缚模型出发，推导了双层石墨烯在动量表象形式下的哈密顿矩阵，计算了能带，分析了双层石墨烯中三种层间跃迁对能带结构的影响，本文的推导及分析对双层石墨烯的实际应用具有一定的意义。

1 ;晶体结构和布里渊区单层石墨烯原子堆积形式是六角蜂窝状结构，如图1左侧所示，每个原胞包含A、B格点两个碳原子，其实空间晶格基矢可取为，其中，为碳-碳键键长。

连接最近邻碳原子之间（如图1左侧，中心A格点原子到最近邻的3个B格点原子）的3个矢量分别为。

六角蜂窝格子的倒格子仍然为相同的形状，倒格子原胞基矢为，第一布里渊区形状如图1右侧所示，同样为六角蜂窝格子，其中高对称性的特殊点在动量空间中坐标为，不等价的和又称为狄拉克点。

图1 ;单层石墨烯的几何结构及第一布里渊区图2 ;双层石墨烯结构图，左侧：平视图;右侧：俯视图石墨烯是由单层石墨烯按AA堆积，或者是AB（Bernal）堆积形成。

石墨烯能带结构的紧束缚近似计算_梁先庆

1
（16）
解这个行列式即可得本征能量的关系式：
1 2 E = {H11 + H 22 ± [( H11 − H 22 ) 2 + 4 H12 ] 2 } 2 再回过头来看看 H 11、H 22、H 12 ：
H11 = ϕ1 H ϕ1 =
（17）
1 N
∑e
j
ik ⋅ R A j
φ (r − R jA ) H
ϕ1 =
1 ik ⋅ R A e j φ (r − R jA ) ∑ N j 1 ik ⋅ R B ϕ2 = e j φ (r − R B ∑ j ) N j
（8）（9）
其中 N 为晶体的原胞数， φ (r ) 为碳原子 pz 轨道的波函数，矢量 R j = n a1 + m a 2 为第 j = (n, m) 个原胞的位矢，
用
（11）
ϕ1 左乘（11）式，可得：
ϕ1 H c1ϕ1 + c2ϕ2 = c1 ϕ1 H ϕ1 + c2 ϕ1 H ϕ 2
= ϕ1 E c1ϕ1 + c2ϕ2 = E (c1 ϕ1 ϕ1 + c2 ϕ1 ϕ2 )
同理，用
（12）
ϕ 2 左乘（11）式，可得：
ϕ2 H c1ϕ1 + c2ϕ2 = c1 ϕ 2 H ϕ1 + c2 ϕ2 H ϕ 2
那么对应的石墨烯晶格 K 空间的倒格子基矢为：
b1 = b2 =
2π 2 3π i+ j 3a 3a 2π 2 3π i− j 3a 3a
（3）（4）
由此，可以计算出石墨烯倒空间中第一布里渊区六个顶点的坐标位置，分别为：（
2π 2 3π , )， 3a 9a

石墨烯电子能带结构的计算

石墨烯电子能带结构的计算摘要：本文简要阐述了石墨烯的结构和主要特性，采用碳原子的SP2 杂化理论和能带理论，运用紧束缚近似方法计算了石墨的能带结构。

关键词：石墨烯，结构和性质，紧束缚近似，能带结构一、引言石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新材料。

是一种由碳原子以SP2杂化轨道组成六角型呈蜂巢晶格的平面薄膜，只有一个碳原子厚度的二维材料。

石墨烯目前是世上最薄，最坚硬，电阻率最小的材料。

而且电子迁移的速度极快，因此被期待可用来发展出更薄、导电速度更快的新一代电子元件或晶体管。

由于石墨烯实质上是一种透明、良好的导体，也适合用来制造透明触控屏幕、光板、甚至是太阳能电池。

二、石墨烯结构石墨烯是由碳六元环组成的两维(2D)周期蜂窝状点阵结构, 它可以翘曲成零维(0D)的富勒烯(fullerene),卷成一维(1D)的碳纳米管(carbon nano-tube, CNT)或者堆垛成三维(3D)的石墨(graphite), 因此石墨烯是构成其他石墨材料的基本单元。

石墨烯的基本结构单元为有机材料中最稳定的苯六元环, 是目前最理想的二维纳米材料。

理想的石墨烯结构是平面六边形点阵，可以看作是一层被剥离的石墨分子，每个碳原子均为sp2杂化，并贡献剩余一个p轨道上的电子形成大π键，π电子可以自由移动，赋予石墨烯良好的导电性。

二维石墨烯结构可以看是形成所有sp2杂化碳质材料的基本组成单元。

三、石墨烯特性1、电子运输石墨烯表现出了异常的整数量子霍尔行为。

其霍尔电导为量子电导的奇数倍，且可以在室温下观测到。

这个行为已被科学家解释为“电子在石墨烯里遵守相对论量子力学，没有静质量”。

2、导电性石墨烯结构非常稳定。

石墨烯中各碳原子之间的连接非常柔韧，当施加外部机械力时，碳原子面就弯曲变形，从而使碳原子不必重新排列来适应外力，也就保持了结构稳定。

这种稳定的晶格结构使碳原子具有优秀的导电性。

石墨烯中的电子在轨道中移动时，不会因晶格缺陷或引入外来原子而发生散射。

石墨烯能态密度

石墨烯能态密度
引言概述：
石墨烯作为一种新型的二维材料，具有出色的导电性、热传导性和机械性能，引起了广泛的研究兴趣。

石墨烯的能态密度是描述其电子能级分布的重要物理量，对于理解和设计石墨烯的电子性质具有重要意义。

本文将从五个大点出发，详细阐述石墨烯的能态密度。

正文内容：
1. 石墨烯的基本特性
1.1 石墨烯的结构特点
1.2 石墨烯的电子能级分布
1.3 石墨烯的导电性和热传导性
2. 石墨烯的能带结构
2.1 石墨烯的能带图像
2.2 石墨烯的费米能级
2.3 石墨烯的能带间隙
3. 石墨烯的能态密度计算方法
3.1 第一性原理计算方法
3.2 紧束缚模型计算方法
3.3 有效质量模型计算方法
4. 石墨烯的能态密度的影响因素
4.1 温度的影响
4.2 外加电场的影响
4.3 缺陷和杂质的影响
5. 石墨烯的能态密度的应用
5.1 石墨烯的能带调控
5.2 石墨烯的电子输运性质
5.3 石墨烯的光电性能
总结：
综上所述，石墨烯的能态密度是描述其电子能级分布的重要物理量。

石墨烯的能带结构、能态密度计算方法以及影响因素的研究为我们深入理解石墨烯的电子性质提供了重要的理论基础。

石墨烯的能态密度的应用涉及到能带调控、电子输运性质和光电性能等领域，对于石墨烯在电子器件、光电器件等领域的应用具有重要意义。

随着对石墨烯的研究不断深入，相信石墨烯的能态密度将在更多领域展现出其独特的应用价值。

Si-P掺杂石墨烯的稳定性和能带结构的理论研究

墨烯结构的形成能较低，比较稳定 Q S i 掺杂石墨烯的能带结构在 G 点产生了约 0 .1 e V 的带隙，从良导体过渡到了半导体 Q
在 P 或 S i - P 掺杂石墨烯体系中，费米能级上升而穿过价带，使掺杂系统保持金属性。态密度计算表明，P 或 S i - P 掺杂石
1 计算方法
计算主要采用基于紧束缚密度泛函计算方法的 D F T B 软件包。紧束缚密度泛函计算方法对交换积分进行近似和参数化，紧束缚近似简化后的哈密顿矩阵元由电荷自洽决定，是一种半经验的计算方法，并且计算速度很高，可以计算较大体系[8]。计算中 C、S i 和 P 赝势选择 matsci，自洽场迭代使用简约布里渊区的 2 x 2 x 2 的 [ 点，自洽迭代的收敛精度为10-5eV〇计算的石墨烯模型为6 x 6 的结构，共 7 2 个原子，平面
作者简介：牛群磊（1994一），男，河南洛阳人，在读本科，主要从事低维半导体材料设计与研究。
通讯作者: 朱伟玲（1965— ），女，广东高州人，硕士，教授，主要从事光电子技术及低维半导体材料性质研究。
墨烯体系中费米能级附近主要由 P 原子的 3P 态电子和 C 原子的 2P 态电子占据，主要的电子性质与 P 的 3 键词：掺杂石墨烯 ; 紧束缚密度泛函；稳定性；能带结构

基于Zigzag边界和Armchair边界石墨烯能级能量和自由电子分布密度的研究(本科毕业论文答辩)资料

紧束缚近似下石墨烯能级能量和自由电子分布密度计算有限大理想石墨烯能级计算：
对于有限大石墨烯，系统哈密顿量为：
H t Ai B j A iB j ij
4 1 6
2 5 3
A1 A1 （A1 B1 ）h （A1 B1 ）SES B B 1 1
石墨烯块含有的能级数（含简并能级在内）与包含的碳原子的个数相等，能级能量都存在正负能级能量关于E=0相互对称的现象。 1) 含碳六元环个数不同的Zigzag石墨烯能级能量曲线变化趋势大致相同。 2) 随着碳六元环个数的增加，最高能级和最低能级的能量差值会逐渐增大，但这种增大会随着碳六元环个数的增加而变得缓慢。 3) 当能级处在区间｛-1.5,-1｝和｛1,1.5｝时，能级间的能量差值变化较为缓慢。
H -t (AiσB j σ B jσAi σ)
i j
Ai
1 N
e i kR i Ak ，B j
k
1 N
eik R k

j
Bk
傅里叶变换
Ai
1 N
e -i k R k

i
Ak ，B j
1 N
e -i k R k

j
Ak
紧束缚近似下Zigzag石墨烯能级能量计算结果
最高能级
一半能级
自由电子填满一半的能级或者充满全部能级的时候，自由电子在各个碳原子上的平均分布个数是一样的.
紧束缚近似下Armchair石墨烯自由电子分布密度计算结果
•自由电子充满一半的能级或全部的能级的时候，石墨烯每个碳原子周围的自由电子分布的平均个数是相等的; •位于扶手边界扶手位置的碳原子在半满向邻近±1个能级跃迁的时候，其周围的电子分布的密度变化显著，而非扶手椅边界椅座位置的碳原子几乎不变。

石墨烯

石墨烯xxx长沙理工大学物理与电子科学学院摘要：分析了石墨烯的结构，介绍石墨烯的电子能带结构和量子力学对它的理论描述，并阐述了石墨烯的一些特性。

另外也讲述制备石墨烯的几种方法和特性表征。

最后是对石墨烯近几年的发展了解并展望未来。

引言：自从2004年石墨烯被发现以来，获得了科学界广泛关注。

石墨烯作为一种新型炭质材料，由单层碳原子紧密堆积成二维晶格结构。

它的理论比表面积达2600 m2／g，热导率为3 kw／m·K，室温下平面上的电子迁移率为1．5×10 cm2／V·s，拉伸模量和本征强度分别为1000 GPa和130 GPa。

石墨烯是零带隙半导体，其载流子迁移率比硅高100倍，在室温下具有微米级自由程和大的相干长度，是纳米电路的理想材料。

此外，石墨烯还具有完美的量子隧道效应及半整数的量子霍尔效应等一系列性质[1-2]。

这些优异的性能使得石墨烯在纳米电子器件、气体传感器、电池，超级电容器和储氢方面及纳米复合材料等领域有光明的应用前景。

一、石墨烯的结构石墨烯为复式六角晶格（图1），每个六边形结构中有两个碳原子，每个原子与最近邻的三个原子间形成三个盯键。

由于每个碳原子有四个价电子，所以每个碳原子又会贡献出一个剩余的P电子，它垂直于石墨烯平面，与周围原子形成未成键的电子。

这些1r电子在晶体中自由移动，赋予了石墨烯良好的导电性。

二、石墨烯的特点——电子能带结构石墨烯是二维碳原子蜂巢晶格，是由两个A型或B型的三角布拉维晶格(三角子晶格)组成．其载流子(电子和空穴)波函数具有双旋量，也就是说载流子除了通常的1／2自旋外，还有与它的子格自由度相联系的1／2赝自旋．石墨烯的电子能带结构可由最近邻紧束缚模型得到[3]．导带电子(π电子)能从一个碳原子的2p 轨道跃迁到与它最近邻的3个碳原子之一，跃迁振幅(共振积分)为γ≡t ≈3eV．色散关系(能量和动量的关系)为：E=±γ√‾(1+4cos(k₂•а)+4cos(k₂•а)cos(k₁•√‾₃•а ))， (1)其中，晶格常数а=0．246nm，碳原子的间距为а∕√‾₃=0．143nm．导带(CB，а= +1)和价带(VB，а=一1)分别对应上述色散关系中的不同正负号．导带和价带接触处为不等价的Dirac 点(分别对应能谷K和K´)，如图2所示[3]．能量E作为二维布洛赫波矢(也是动量)(k₁，k₂)的函数．六边形布里渊区上K或点K´(Dirac点)附近，色散关系是线性的，从局部来看相当于圆锥(见图2放大区)．费米能级位于Dirac点处，费米面也由Dirae点构成．价带(VB)填满电子，导带(CB)是空的．由此可见，未参杂石墨烯是无带隙的．在Dirae点附近，电子的能量只依赖动量且成线性关系，类似于无质量的相对论粒子．因此，在低能且靠近K和K´点时，电子由二维无质量Dirac本征方程描述：−ίhυσ•▽φ(r)∕2π=Εφ(r)， (2)这里，V =√‾₃•aπ／h≈1000000m／s是石墨烯电子的传输速度，相当于有效光速；φ(r)是电子波函数，E是能量，p→ίh∕2π▽是坐标表象下的动量算符．图2 紧束缚模型计算的石墨烯能带结构三、石墨烯的特性石墨烯最大的特性是室温下传递电子的速度比已知导体都快，运动速度为光速的1／300，远远超过了电子在一般导体中的运动速度，具有优良的导电性。

石墨烯及其应用

一.石墨烯的结构及性能简介：石墨烯是由单质C 构成的层状平面结构，每个C 通过2sp 杂化与周围C 原子构成正六边形的环，没个C 原子贡献剩余的一个p 轨道电子行成大π键，π电子可以自由移动，因而石墨烯有良好的导电性。

单层石墨烯厚度仅0.35mm ，约为头发丝直径的二十万分之一。

在石墨烯的每个六边形结构单元中含有2个C 原子，因为每个C 原子有1/3属于该六边形中，六边形的面积为0.052平方纳米，石墨烯的密度为0.77毫克每平方米。

石墨烯的结构非常稳定，碳碳键仅为1.42Å。

石墨烯内部的碳原子之间的连接很柔韧，当施加外力于石墨烯时，碳原子面会弯曲变形，使得碳原子不必重新排列来适应外力，从而保持结构稳定。

这种稳定的晶格结构使石墨烯具有优秀的导热性。

另外，石墨烯中的电子在轨道中移动时，不会因晶格缺陷或引入外来原子而发生散射。

由于原子间作用力十分强，在常温下，即使周围碳原子发生挤撞，石墨烯内部电子受到的干扰也非常小。

电子在石墨烯中运动时不易被散射，其迁移率可达)/(cm 10225s V ⋅⨯ ，是Si 中电子迁移率的140倍。

石墨烯最大的特性是其中电子的运动速度达到了光速的1/300，远远超过了电子在一般导体中的运动速度。

这使得石墨烯中的电子，或更准确地，应称为“载荷子”(electric charge carrier)，的性质和相对论性的中微子非常相似。

此外，石墨烯在是温下还是导电性很好的材料。

石墨烯还是已知材料中强度和硬度最高的材料，1平方厘米的石墨烯层片能承重4kg 。

因此在复合材料领域有很强的应用价值。

二.石墨烯的制备方法：I .机械剥离法虽然石墨烯同一六边形内的C 原子之间作用力很强，但由于其特殊的层状结构，层与层之间的范德瓦尔斯力却是很弱，因此便提供了人们直接将石墨烯撕下来的可能。

盖姆等人提供了一种简单的方法，就是用胶带黏住是名片的两侧反复剥离从而得到石墨烯。

这种方法得到的石墨烯一般在几微米十几微米之间，最大能到毫米量级，人们用肉眼便可观察。

紧束缚模型理论介绍和能带结构

ℏ2 2 − 2��
+ �� =
ℏ2 2 − 2��
−
�� 2 ��
原子轨道波函数：�� = �� , ��
�� 4×4 �� 4×4 ��
��
小结
步骤一：选定体系，如石墨烯，查阅量子力学相关书籍得到C原子在特定位置�� 处的轨道波函数，如s轨道�� − �� 、px轨道�� − �� 等；
位于�� 处能级为��的氢原子轨道：�� − ��
将布洛赫函数展开为瓦尼尔函数的线性组合：�� =
实际上为实空间和倒空间的傅立叶变换
��
引入波恩-卡门条件：
�� + �� + �� + �� = ��
1 =��1 �� − ��1
��1

紧束缚近似方法在计算石墨烯能带中的应用

１］制备处单层石墨烯材料［以来，人们开始又重新审
Ｍａｔｌａｂ编程计算了单层石墨烯在最近邻原子的能带．
视前人对于石墨烯的数值计算工作，尤其使用紧束
２－４］的方法对于石墨烯最近邻原子轨道的能缚近似［
１理论方法与计算细节
１．１全能带采取原子轨道的线性组合（作为基矢，ＬＣＡＯ）
哈密顿量为
，Ｈｋ α Ι Ｊ＝ β
与杂化的 π 轨道，杂化所形成的是 σ键，与力学性质相关，与电学 π 轨道在平面上形成离域大 π 键，
３，６－７］性质相关．前人的很多工作集中在电学性质［的
∑ｅ
ｍｍ
）（ · ｉｋＲＲ－－ＩＪ
紧束缚近似方法是折中于效率和精确度之间的一种算法最初于1954年5提出这种方法在体材料能带计算中显示出较大优势并被适用于表面态和低维材料能带的计算其模型被不断的修正所得到的结果也越来越接近实验数据和第一性原理计算所得到的结果与第一性原理计算方法不同紧束缚近似计算方法需要一些拟合参数但其计算效率高物理图象清晰因此既适合于能带的定量计算又适合定性分析在物理学中得到广泛采用
［］
的计算，其模型被不断的修正，所得到的结果也越来越接近实验数据和第一性原理计算所得到的结果，与第一性原理计算方法不同，紧束缚近似计算但其计算效率高，物理图方法需要一些拟合参数，因此既适合于能带的定量计算又适合定性象清晰，在物理学中得到广泛采用．分析，
（ａａ槡３，．Ｂ＝（０）－－，２２

石墨烯系统的磁场效应

（2）绘能带图图
3.二次量子化的哈密顿量
（1）无磁场的哈密顿量
在瓦尼尔表象中,以场算符代替波函数
(r )
Cnl
其中
是瓦尼尔表象中电子的消灭算符， l 是格点的晶格矢。
n ,l ,
Cnl an (r l )
按照标准办法，系统的二次量子化哈密顿
H hr
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 y
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 y 0
4 n 4 n
a b 0 1 i 0 1 i EB g B ai ai 1 0 1 0 a bi bi b i i i

g B ai a a a b b b b i i i i i i i i

（2）石墨烯的晶体结构及能带结构
石墨烯的结构
石墨烯电子能带结构图
（3）石墨烯电子性质和霍尔效应
2.利用紧束缚近似法计算无边界石墨烯的电子能级

（1）计算过程
由二次量子化的哈密顿量：
H t (ai b j H c )
i, j
i，j 求和只求最近邻的，则有
H t aibi aibi aibi aibi H c

l

l
l

而对于Graphene的一个元胞中含有的两种类型的C ，则有
H
C
i

石墨烯能带结构的

1 ��
��
��∙��
�� (r-��下，石墨烯体系的波函数可由原子轨道线在性组合得到，这种组合通常可以表示为：
其中 c1 和 c2为组合系数。系统波函数满足薛定谔方程，故将上式代入有：
结论

我们在本次展示中介绍了紧束缚近似方法在石墨烯能带结构计算上的详细过程，通过分析可知石墨烯的价带与导带相交于第一布里渊区的六个顶点上，说明石墨烯是一种零带隙的半导体，为石墨烯具有独特的电学性质提供了理论上的解释，同时也为石墨烯性能的进一步研究提供理论基础。此外，本文还展示了现代化数学软件 Matlab 的作图，将数学公式图形化，可以更好的激发学生学习固体物理理论的兴趣。
石墨烯

2010 年的诺贝尔物理学奖授予了两位发现石墨烯的科学家，主要是由于这种材料具有特殊的结构和电学性质，在未来具有巨大的潜在应用前景。自从被发现以来，石墨烯就已成为备受瞩目的国际前沿和研究热点。因此，在这我们将展示固体物理学中的紧束缚近似方法在石墨烯能带结构研究上的应用，这样既加深了对所学知识的理解，同时还展示了所学知识在前沿科学上的应用，进而激发学生学习和探索的积极性
石墨烯结构分析
石墨烯是由碳六元环组成的二维周期蜂窝状点阵结构，如图所示。每个碳原子都具有四个价电子，并按平面正三角形等距离的和 3 个碳原子相连，每个碳原子以 sp 2 杂化和周围的 3 个碳原子形成 3 个 σ 键。

碳原子的波函数形式为：

式中ψ (2s) c 、ψ (σ 2 p) c i 分别为 2s、δi 方向上 2p 轨道的波函数。在垂直于石墨层的方向上还剩余的一个 2pz 轨道和一个价电子与近邻原子相互作用形成贯穿于整个石墨层的离域 π 键。由于位于平面内 σ 键的 3 个电子并不参与导电，因此我们在计算石墨烯的能带结构时只考虑位于 π 键上的那一个电子。石墨烯的每个原胞包含两个不等价的碳原子 A 和 B，它们之间的键长 a=1.42 Å 。如下图所示，

石墨烯纳米带电子结构的紧束缚法研究

10 期
胡海鑫等: 石墨烯纳米带电子结构的紧束缚法研究
71 57
定义 H jcj = 3<jc( kc, r ) H <j ( k , r ) 4, ( 6) Sjcj = 3<jc ( kc, r ) <j ( k, r ) 4,
上式简化为
6 Cj ( H jcj - E ( k) Sjcj ) = 0.
HAB ,
C0
( 19)
1
SAB
S = [ SAB ] *
. 1
( 20)
将( 19) 及( 20) 式代入( 8) 式中, 同时为简单起见, 令
C0 = 0, BAB = 0, 可解得
E( k) = ? | H AB | 2 .
( 21)
令 A 原子的位置矢量为 R, 最近邻的 B 原子的
位置矢量为 Rci ( i = 1, 2, 3, ,, n) , 则 B 到 A 的间
取为 L=
a 5
nm, 利用( 33) 式( 取
C=
2166
eV) 计算得
到的导带结构如图 4 所示. 显然, 此时的锯齿边石墨
烯纳米带是半导体型的.
下面我们推导锯齿型石墨烯纳米带为金属型的
条件. 在( 33) 式中令
cos
3 2
ak
y
=
1,
cos
a nP 2L
=
-
1 2
,
此时, E( ky ) = 0( 即费米能级) , 可得
71 59
图 2 椅型边石墨烯纳米带导带图( 半导体型)
即当椅型边石墨烯纳米带的宽度
L=
3 an 2( 2nc+ 1)
时

石墨烯高输运性能的能带解释

中
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就是说，在
V
型能带曲线的拐点（狄拉克锥点）处，
dE dk
不连续，
d2E dk 2
→
，
m* → 0 。因此，石墨烯具有很好的输运性能。
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中
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dk 2
dk
线的斜率不连续）时， d 2 E dk 2
→
。换而言之，如果一种材料的能带曲线在某一个
k 点处的斜率不连续，则波矢位于该点的电子的运动速度非常快，此种学MOOC
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运性能（包括导电性和导热性）也很好。
石墨烯的能带结构如下图所示。可以看出，石墨烯具有 V 型的能带曲线。也
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石墨烯高输运性能的能带解释
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在《能带理论》部分的课程学习中，我们已知有效质量 m*是为了使晶体中
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运动的电子满足经典的牛顿第二定律 F = ma ，而电子在晶体中所受到的周期性
势场作用全部考虑的，具有与静止质量相同量纲的物理量。

紧束缚方法计算石墨烯能带结构

• 紧束缚方法利用所有原子的电子波函数的线性叠加作为零级近似波函数
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2Hale Waihona Puke 石墨烯晶体结构可编辑ppt
3
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4
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5
为第j（m,n)个原胞的位矢, 的位矢
则分别为第j个原胞中A原子和B
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6
紧束缚近似下石墨烯体系的波函数可由原子轨道线性组合得到：薛定谔方程：
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7
原子轨道不发生交叠，即：即可进一步得：得久期方程：
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8
利用久期方程可得，本征能量：
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9
紧束缚近似下，只考虑最近邻原子间的相互作用力：
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10
若令是倒格矢在(x,y)上的分量
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?紧束缚方法利用所有原子的电子波函数的线性叠加作为零级近似波函数石墨烯晶体结构为第jmn个原胞的位矢则分别为第j个原胞中a原子和b的位矢紧束缚近似下石墨烯体系的波函数可由原子轨道线性组合得到
紧束缚方法计算石墨烯能带结构
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1
紧束缚方法
• 石墨烯中电子受原子核束缚较强，而原子之间的相互作用较弱，晶体中的电子状态更接近于孤立原子中的情形。

石墨烯电子能带结构的计算

二维电子气的性质更加稳定．
１石墨烯电子能带计算
石墨烯（ａｈｎ）层碳原子二维晶体，由碳原子的２Ｇｒｐｅｅ为单ｓ与２２轨道形成杂化．杂化过程中，ｐ，
每碳子最邻三原形处同平内互角孕的个共键剩的道个原与近的个子成于一面相夹为３价，下２轨电
通过控ＳＧａｈｎ］ｐｔｒｅｅ的几何构型使其呈现金属或者半导体的特性¨２．ｒｈｎ，引Ｇａｅｅ对于门压、吸附、缺陷、．ｐ掺杂等调制手段的响应也与ＣＴＮ有很多相似之处．这使得人们可以将研究ＣＴＮ过程中积累的很多经验直
接用于Ｇａｈｎ．一方面，Ｇａｈｎｒｐｅｅ另ｒｐｅｅ可以用传统的电子束刻蚀技术（ｔｏｒｐｙｍｅｏｓ制成电路或加１ｈｇａｈｔｄ）ｉｈ
ＨＵＡＮＧｉ．ｉＴｅｔｅ
（ｐｒｎｆｈｓｓＸｉｇａｉｅｓｙＣｅｚｏ２００ＣｉａＤｅａｔｔｙｉ，ａｎｎＵｎｖｒｔ，ｈｎｈｕ３０，ｈｎ）ｍｅｏＰｃｎｉ４
Ａｂｔａｔａｅｎｔｅｓｈｂｉｆｃｒｏｎａｄｔｅｒ，ｔｅｂｎｔｕｔｒｆＧｒｐｅｅｉｃｌｕａｅｙｕｉｇｔｅｓｒｃ：Ｂｓｄｏｈｐｙｒｄｏａｂｎａｄｂｎｈｏｙｈａｄｓｃｕｅｏａｈｎｓａｃｌｔｄｂｓｎｈｒｔｈ — ｉｄｎｃｅ，ｎｓｃａａｔｒｏ－ｉｎｉｎｌｌｃｒｎｇｓｉｄｓｕｓｄｉｉａｅｉｔｂｎｉｇｓｈｍｅａｄｉｈｒｃｅｆｗｏｄｍｅｓａｅｔｏａｉｃｓｅｔｓｐ￣ｇｔｔｏｅｓｎｈｐＫｅｒｓＧｒｐｅｅｔｅｔｈ・ｉｄｎｃｅ；ａｄｓｒｃｒ．ｙｗｏｄ：ａｈｎ；ｈｇｔｎｉｇｓｈｍｅｂｎｔｔｅｉｂｕｕ