概率论与数理统计练习题3答案

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概率论与数理统计(浙大) 习题答案 第3章

概率论与数理统计(浙大) 习题答案 第3章

第三章 多维随机变量及其分布1. 在一箱子中装有12只开关, 其中2只是次品, 在其中取两次, 每次任取一只, 考虑两种试验: (1)放回抽样, (2)不放回抽样. 我们定义随机变量X , Y 如下:⎩⎨⎧=若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品10X ,⎩⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品10Y .试分别就(1), (2)两种情况, 写出X 和Y 的联合分布律.解: (1)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有362512101210)0 ,0(=⋅===Y X P ,3651221210)1 ,0(=⋅===Y X P ,3651210122)0 ,1(=⋅===Y X P ,361122122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律(2)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有66451191210)0 ,0(=⋅===Y X P ,66101121210)1 ,0(=⋅===Y X P ,66101110122)0 ,1(=⋅===Y X P ,661111122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律2. 盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到白球的只数, 求X , Y 的联合分布律.解: (X , Y )的可能取值为(i , j ), i =0, 1, 2, 3, j =0, 1, 2, i +j ≥2, 联合分布律为P (X =0, Y =2)=351472222=C C C ,P (X =1, Y =1)=35647221213=C C C C , P (X =1, Y =2)=35647122213=C C C C , P (X =2, Y =0)=351472222=C C C ,P (X =2, Y =1)=351247121223=C C C C ,P (X =2, Y =2)=353472223=C C C ,P (X =3, Y =0)=352471233=C CC ,P (X =3, Y =1)=352471233=C CC ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律3. 设随机变量(X , Y )概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它042 ,20)6(),(y x y x k y x f . (1)确定常数k ; (2)求P (X <1, Y <3); (3)求P (X <1.5); (4)求P (X +Y ≤4). 解: (1)因为 k dydx y x k dy dx y x f 8)6(),(1242=--==⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-,所以81=k .(2)83)6(81)3 ,1(3210⎰⎰=--=<<dy y x dx Y X P .(3)3227)6(81) ,5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P .(4)32)6(81}4{4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dx Y X P x .4. 将一枚硬币掷3次, 以X 表示前2次中出现H 的次数, 以Y 表示3次中出现H 的次数, 求(X , Y )的联合分布律及边缘分布律.故(X , Y )的联合分布律为(X , Y )关于X 的边缘分布律为即)21 ,2(~b X .(X , Y )关于Y 的边缘分布律为即)21 ,3(~b Y .5. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它00,10)2(8.4),(xy x x y y x f , 求边缘概率密度. 解: ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.40x dy x y x⎩⎨⎧≤≤-=其它010)2(4.22x x x ,⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.41y dx x y y⎩⎨⎧≤≤+-=其它010)43(4.22y y y y . 6. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它00),(y x e y x f y , 求边缘概率密度.解:⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰+∞-000x x dy e x y⎩⎨⎧≤>=-000x x e x . ⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-000y y dx e y y⎩⎨⎧≤>=-000y y ye y . 7. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它01),(22y x y cx y x f . (1)试确定常数c ; (2)求边缘概率密度. 解: (1)因为l =⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-===c dy y c ydx cx dy dxdy y x f yy 21432),(1025210,所以421=c .(2)X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它011421)(~122x ydy x x f X x X⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它011)1(82142x x x .X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰+-其它010421)(~2y ydx d y f Y y y Y⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它0102725y y .8. 将某一医公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X 和Y , 据以往积累的资料知X 和Y 联合分布律为:(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件人布律.解: 在表中运算得(2)因为j ijj j i i i p p y Y P y Y x X P y Y x X P ⋅=======)() ,()|(, 并且P (Y =51)=0.28=p ⋅j , 所以28628.006.0)51|51(====Y X P ,28728.007.0)51|52(====Y X P ,28528.005.0)51|53(====Y X P ,28528.005.0)51|54(====Y X P ,28528.005.0)51|55(====Y X P ,故当8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件分布律为9. 以X 记某一医院一天出生的婴儿的个数, Y 记男婴的个数, 记X 和Y 的联合分布律为)!(!)86.6()14.7() ,(14m n m e m Y n X P mn m -===--(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n ;n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(1)求边缘分布律; (2)求条件分布律;(3)特别写出当X =20时, Y 的条件分布律. 解: (1)边缘分布律:∑∑=--=-=====nm mn m n m m n m e m Y n X P n X P 0140)!(!)86.6()14.7() ,()(∑=--⋅⋅⋅⋅=nm m n m m ne n C 014)86.6()14.7(!1 ∑=--⋅⋅=n m m n m mn C n e 014)86.6()14.7(! !14)86.614.7(!1414n e n e n n --⋅=+=(n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). ∑∑∞=--∞=-=====0140)!(!)86.6()14.7() ,()(n mn m n m n m e m Y n X P m Y P∑∞=---=014)!()86.6(!)14.7(n mn m m n m e m m m e e m e )14.7(!!)14.7(14.786.614--==(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(2)条件分布律:m mn m m e m n m e m Y P m Y n X P m Y n X P )14.7(!)!(!)86.6()14.7()() ,()|(14.714----======= )!()86.6(86.6m n e mn -⋅=--(n =m , m +1, ⋅⋅⋅ ).当m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ 时1414!14)!(!)86.6()14.7()() ,()|(----=======e n m n m e n X P m Y n X P n X m Y P nmn m m n m m n m n -⋅⋅-=)1486.6()1414.7()!(!! m m mn C -⋅⋅=20)49.0()51.0((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , n ). (3)当X =20时, Y 的条件分布为m m mC X m Y P -⋅===2020)49.0()51.0()20|((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , 20).10. 求§1例1中的条件分布律: P (Y =k |X =i )=?解: 由于)(),()|(i X P i X k Y P i X k Y P ======, 而411) ,(⋅===i i X k Y P (i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),41)(==i X P ,所以ii X k Y P 1)|(===(i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),即11. 在第7题中(1)求条件概率f X |Y (x |y ), 特别, 写出当21=Y 时X 的条件概率密度; (2)求条件概率密度f Y |X (y |x ), 特别, 分别写出当31=X , 21=X 时Y 的条件概率密度; (3)求条件概率P (Y ≥1/4|X =1/2), P (Y ≥3|X =1/2). 解: (1)当0<y ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他027421)(),()|(252|y x y y yx y f y x f y x f Y Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他023232y x y y x ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==-其他02121)21(23)21|(232|x x y x f Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他02121232x x .(2)当-1<x ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他01)1(821421)(),()|(2422|y x x x y x x f y x f x y f X X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他01)1(222y x x y ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0191))3/1(1(2)31|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01914081y y ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0141))2/1(1(2)21|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01411532y y .(3))21|41()21|1()21|41(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P1153215324141141=-=⎰⎰ydy ydy ,)21|43()21|1()21|43(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P157153214341=-=⎰ydy .12. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其他010 ,||1),(x x y y x f , 求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y (x |y ). 解: f (x ,y )的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎰-其他0101)(x dy x f x x X ⎩⎨⎧<<=其他0102y x ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰其他0111)(1||y dx x f y Y ⎩⎨⎧<<--=其他011||1y y ,所以当0<x <1时,⎪⎩⎪⎨⎧<==其他0||21)(),()|(|x y xx f y x f x y f X X Y , 当|y |<1时,⎪⎩⎪⎨⎧<-==其他0||||11)(),()|(|x y y x f y x f x y f Y Y X , 13. (1)问第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立?(2)问第12题中的随机变量X 和Y 是否相互独立?(需说明理由) 解: (1)有放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 独立. 不放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 不独立.(2)由于当|y |<x , 0<x <1时, f X (x )⋅f Y (y )=2x (1-|y |)≠f (x , y )=1, 故X 和Y 不独立.14. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合概率密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0, 试求a 有实根的概率.解: (1)按已知X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他0101)(x x f X .由于X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<=⋅=-其他0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)要使a 有实根, 必须方程a 2+2Xa +Y =0的判别式∆=X 2-Y ≥0,⎰⎰⎰---==≥-10202102)1(21)0(22dx e dy e dx Y X P x x y⎰⎰⎰∞--∞-----=-=02121022222121[211dx e dx e dx e x x x πππ 1445.0)]0()1([21=Φ-Φ-=π.15. 第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立. 解: 放回抽样的情况P (X =0, Y =0)=P (X =0)⋅P (Y =0)3625=P (X =0, Y =1)=P (X =0)⋅P (Y =1)365=P (X =1, Y =0)=P (X =1)⋅P (Y =0)3651210122=⋅=P (X =1, Y =1)=P (X =1)⋅P (Y =1)361122122=⋅=.在放回抽样的情况下, X 和Y 是独立的. 不放回抽样的情况:P (X =0, Y =0)66451191210=⋅=,P (X =0)651210==,P (X =0)=P (X =0, Y =0)+P (Y =0, X =1) 6511101121191210=⋅+⋅=,P (X =0)⋅P (Y =0)36256565=⨯=,P (X =0, Y =0)≠P (X =0)P (Y =0), 所以X 和Y 不独立.14. 设X , Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布. Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求有实根的概率. 解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其它0)1 ,0(1)(x x f X ,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y ,可见且知X , Y 相互独立, 于是(X , Y )的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)由于a 有实根, 从而判别式∆=4X 2-4Y ≥0, 即Y ≤X 2. 记}0,10|),{(2x y x y x D <<<<=, ⎰⎰=≤Ddxdy y x f X Y P ),(}{2⎰⎰⎰⎰⎰----=-==10010102022222121x xx y y dx e de dx dy e dxdx e x ⎰-⋅-=00222121ππ)5.08413.0(21)]2()1([21--=Φ-Φ-=ππ 1445.08555.013413.05066312.21=-=⨯-=.15. 进行打靶, 设弹着眯A (X , Y )的坐标X 和Y 相互独立, 且都服从N (0, 1)分布, 规定点A 落在区域D 1={(x , y )|x 2+y 2≤1}得2分; 点A 落在D 2={(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}得1分; 点A 落在D 3={(x , y )|x 2+y 2>4}得0分, 以Z 记打靶的得分, 写出X , Y 的联合概率密度, 并求Z 的分布律.解: (1)因为X ~N (0, 1), Y ~N (0, 1), X 与Y 独立, 故(X , Y )的联合概率密度为22221),(y x e y x f +-=π(-∞<x <+∞, -∞<y <+∞).(2)Z 的可能取值为0, 1, 2.⎰⎰>++-=∈==421222221)),(()0(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π⎰⎰≤++--=422222211x x y x dxdy e π2202022211--=-=⎰⎰e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤+≤+-=∈==4122222221)),(()1(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π22120212221----==⎰⎰e e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤++-=∈==121222221)),(()2(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π21201021212---==⎰⎰e rdr e d r ππθ,故得Z 的分布律为16. 设X 和Y 是相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x X λλ, ⎩⎨⎧≤>=-000)(y y e y f y Y μμ, 其中λ>0, μ>0是常数, 引入随机变量⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01.(1)求条件概率密度f X |Y (x |y ); (2)求Z 的分布律和分布函数. 解: (1)由X 和Y 相互独立, 故⎩⎨⎧>>=⋅=+-其他00 ,0)()(),()(y x e y f x f y x f y x Y X μλλμ.当y >0时,⎩⎨⎧≤>===-000)()(),()|(|x x e y f y f y x f y x f x X Y Y X λλ. (2)由于⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01,且 μλλλλμμλμλ+===≤⎰⎰⎰+∞+-+∞+∞+-0)(0)()(dx e dydx eY X P x xy x ,μλμμλλ+=+-=≤-=>1)(1)(Y X P Y X P ,故Z 的分布律为Z 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=111000)(z z z z F Z μλμ. 17. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧<≤=其他0101)(x x f X , ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f y Y , 求随机变量Z =X +Y 的概率密度.解: 由于X 和Y 是相互独立的, 故⎩⎨⎧><≤=⋅=-其他00 ,10)()(),(y x e y f x f y x f y Y X , 于是Z =X +Y 的概率密度为⎰+∞∞--⋅=dx x z f x f z f Y X Z )()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-=⎰⎰其他01)()(10)()(100z dxx z f x f z dx x z f x f Y X x YX ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤=⎰⎰----其他011010)(0)(z dxe z dx e x z x x z ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-=--其他01)1(101z e e z e zz .18. 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t , 设各周的需要量是相互独立的, 试求: (1)两周需要量的概率密度; (2)三周需要量的概率密度.解: (1)设第一周需要量为X , 它是随机变量; 设第二周需要量为Y , 它是随机变量且与X 同分布, 其分布密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t . Z =X +Y 表示两周需要的商品量, 由X 和Y 的独立性可知:⎩⎨⎧>>=--其它00,0),(y x ye xe y x f y x .因为z ≥0, 所以当z <0时, f z (z )=0; 当z >0时, 由和的概率公式知 ⎰∞+∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(z yzy z e z dy ye ey z ----=⋅-=⎰6)(30)(, 所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z .(2)设Z 表示前两周需要量, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z ,设ξ表示第三周需要量, 其概率密度为:⎩⎨⎧≤>=-000)(x x xe x f x ξ,Z 与ξ相互独立, η=Z +ξ表示前三周需要量, 则因为η≥0, 所以u <0, f η(u )=0. 当u >0时 ⎰∞+∞--=dy y f y u f u f )()()(ξηdy ye e y u y uy u ---⋅-=⎰0)(3)(61u e u -=1205, 所以η的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00120)(5u u e u u f u η.19. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他00,0)(21),()(y x e y x y x f y x .(1)问X 和Y 是否相互独立? (2)求Z =X +Y 的概率密度. 解: (1)X 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=⎰∞++-000)(21)(0)(x x dy e y x x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21x x e x x ,同理Y 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21)(y y e y y f y Y .因为当x >0, y >0时,)()()1)(1(41)(21),()()(y f x f e y x e y x y x f Y X y x y x =++≠+=+-+-,所以X 与Y 不独立. (2)Z 的概率密度为z z x Z e z dx e x z x dx x z x f z f --+∞∞-=-+=-=⎰⎰2021)(21),()((z >0).当z <0时, f Z (z )=0, 所以⎪⎩⎪⎨⎧<>=-0021)(2z z e z z f z Z .20. 设X , Y 是相互独立的随机变量, 它们都服从正态分布N (0, σ 2), 试验证随机变量22Y X z +=具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>≥=-其他0,0)(2222σσσz e z z f z Z ,称Z 服从参数为σ(σ>0)的瑞利(Rayleigh 分布.解: 因为X , Y 相互独立且均服从正态分布N (0, σ 2), 它们的概率密度分别为22221)(σσπx e x f -=, 22221)(σσπy e y f -= , σ>0,故X 和Y 的联合密度为2222221)()(),(σπσy x e y f x f y x f +-=⋅=.22Y X z +=的分布函数为⎰⎰≤+=≤+=≤=222),()()((z)22z y x Z dxdy y x f z Y X P z Z P F⎰⎰-=zd e d 022202221ρρπσθσρπ2222202211σσρρρσz z ed e---==⎰(z >0),当z ≤0时, F Z (z )=0.于是随机变量22Y X z +=的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≥==-其他00 ,0)()(2222σσσz e z dz z dF z f z Z Z .21. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他00 ,10),()(y x be y x f y x . (1)试确定义常数b ;(2)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y );(3)求函数U =max(X , Y )的分布函数. 解: (1)由10)(1=⎰⎰+∞+-dy be dx y x , 即1)1(1010=-=⎰⎰+∞--e b dy e dx e b y x ,得1111-=-=-e e e b .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰∞++-其他0101)(0)(x dy e e e x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他0101x e e e x ,⎩⎨⎧≤>==-∞+∞-⎰000),()(y y e dx y x f x f y X . 显然X 与Y 独立.(3)⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=-1110)1(100)(x x e e e x x F x X⎩⎨⎧≤>-=-0001)(y y e x F y Y , 故U =max(X , Y )的分布函数为F U (u )=P (U ≤u )=P (max(X , Y )≤u ) =P (X ≤u , Y ≤u )=P (X ≤u )P (Y ≤u )⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<==--1110)1(100)()(2u eu e e e u u F u F uu Y X .22. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.解: 设X 1, X 2, X 3, X 4为4只电子管的寿命, 它们相互独立, 同分布, 其概率密度为:22202)160(2021)(⨯--⋅=t T et f π,⎰∞-⨯-==<18022202)160(20121)180(}180{dt t F X f X π ⎰∞--=-======1220160221du e u ut π令 8413.0)2060180(=-Φ=.设N =min{X 1, X 2, X 3, X 4}, 则P {N >180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180} =P {X >180}4={1-p [X <180]}4 =(0.1587)4=0.00063.23. 对某种电子装置的输出测量了5次, 得到观察值X 1,X 2, X 3, X 4, X 5, 设它们是相互独立的随机变量且都服从参数σ=2的瑞种分布.(1)求Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数; (2)求P (Z >4).解: 由20题知, X i (i =1, 2, ⋅⋅⋅ , 5)的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他004)(82x e x x f x X ,分布函数为821)(x X e x F --=(x >0).(1) Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数为 585m ax )1()]([)(2z e z F z F --== (z ≥0), 当z <0时, F max (z )=0.所以Z 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-000)1()(58m ax 2z z e z F z .(2)P (Z >4)=1-P (Z ≤4)=1-F Z (4)5167.0)1(1)1(1525842=--=--=--e e .24. 设随机变量X , Y 相互独立, 且服从同一分布, 试证明 P (a <min{X , Y }≤b )=[P (X >a )]2-[P (X >b )]2 . 解: 因为X 与Y 相互独立且同分布, 故P (a <min{X , Y }≤b )=P (min{X , Y }≤b )-P (min{X , Y }≤a ) =1-P (min{X , Y }>b )-[1-P (min{X , Y }>a )] =P (min{X , Y }>a )-P (min{X , Y }>b ) =P (X >a , Y >a )-P (X >b , Y >b ) =P (X >a )P (Y >a )-P (X >b )P (Y >b ) =[P (X >a )]2-[P (Y >b )]2 .25. 设X , Y 是相互独立随机变量, 其分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为∑=-==ik k i q k p i Z P 0)()()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ),证明: 因为X 与Y 独立, 且X 与Y 的分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 故Z =X +Y 的分布律为∑==+===ik i Y X k X P i Z P 0) ,()( ∑=-===i k k i Y k X P 0) ,( ∑=-===i k k i Y P k X P 0)()( ∑=-=i k k i q k p 0)()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).26. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~π(λ1), Y ~π(λ2), 证明Z =X +Y ~π(λ1+λ2).证明: 因为X , Y 分别服从参数为λ1, λ2的泊松分布, 故X , Y 的分布律分别为 1!)(1λλ-==e k k X P k (λ1>0),2!)(2λλ-==e r r Y P r (λ2>0),由25题结论知, Z =X +Y 的分布律为 ∑=-====ik k i Y P k X P i Z P 0)()()(∑=----⋅=ik ki k e k i e k 02121)!(!λλλλ∑=-+-⋅-=i k k i k k i k i i e 021)()!(!!!21λλλλ i i e )(!21)(21λλλλ+=+-(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 即Z =X +Y 服从参数为λ1+λ2的泊松分布.27. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~b (n 1, p ), Y ~b (n 2, p ), 证明Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ).证明: Z 的可能取值为0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , 2n , 因为 {Z =i }={X +Y =i }={X =0, Y =0}⋃{X =1, Y =i -1}⋃ ⋅⋅⋅ ⋃{X =i , Y =0}, 由于上述并中各事件互不相容, 且X , Y 独立, 则∑=-====ik k i Y k X P i Z P 0) ,()(∑=-===ik k i Y P k X P 0)()(∑=+-----⋅-=ik k i n ki k i n k n k k n p p C p p C 02211)1()1( ∑=--+⋅-=ik ki n k n k n n i C C p p 02121)1( in i i n n p p C -+-=2)1(21(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , n 1+n 2), 所以 Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ),即Z =X +Y 服从参数为2n , p 的二项分布.提示:上述计算过程中用到了公式i n n ik k i n k n C C C21210+=-=⋅∑,这可由比较恒等式2121)1()1()1(n n n n x x x ++=++两边x i 的系数得到.28. 设随机变量(X , Y )的分布律为(1)求P {X =2|Y =2), P (Y =3|X =0); (2)求V =max{X , Y }的分布律; (3)求U =min{X , Y }的分布律; (4)求W =V +U 的分布律. 解: (1)由条件概率公式)2()2,2()2|2(======Y P Y X P Y X P08.005.005.005.003.001.005.0+++++=2.025.005.0==.同理 31)0|3(===X Y P .(2)变量V =max{X , Y }.显然V 是一随机变量, 其取值为V : 0, 1, 2, 3, 4, 5. P (V =0)=P (X =0, Y =0)=0,P (V =1)=P (X =1, Y =0)+P (X =1, Y =1)+P (X =0, Y =1) =0.01+0.02+0.01=0.04,P (V =2)=P (X =2, Y =0)+P (X =2, Y =1)+P (X =2, Y =2) +P (Y =2, X =0)+P (Y =2, X =1)=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16, P (V =3)=P (X =3, Y =0)+P (X =3, Y =1) +P (X =3, Y =2)+P (X =3, Y =3)+P (Y =3, X =0)+P (Y =3, X =1)+P (Y =3, X =2), =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28 P (V =4)=P (X =4, Y =0)+P (X =4, Y =1) +P (X =4, Y =2)+P (X =4, Y =3) =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24, P (V =5)=P (X =5, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =5, Y =3) =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28. (3)显然U 的取值为0, 1, 2, 3.P (U =0)=P (X =0, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =0, Y =3)+P (Y =0, X =1)+ ⋅⋅⋅ +P (Y =0, X =5)=0.28. 同理 P (U =1)=0.30, P (U =2)=0.25, P (U =3)=0.17. (4)W =V +U 的取值为0, 1, ⋅⋅⋅ , 8. P (W =0)=P (V =0, U =0)=0,P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0). 因为V =max{X , Y }=0又U =min{X , Y }=1 不可能上式中的P (V =0, U =1)=0,又 P (V =1, U =0)=P (X =1, Y =0)+P (X =0, Y =1)=0.2, 故 P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0)=0.2,P(W=2)=P(V+U=2)=P(V=2, U=0)+P(V=1,U=1) =P(X=2 Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.03+0.01+0.02=0.06,P(W=3)=P(V+U=3)=P(V=3, U=0)+P(V=2,U=1) = P(X=3,Y=0)+P(X=0,Y=3)+P(X=2,Y=1)+P(X=1,Y=2)=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13, P(W=4)=P(V=4, U=0)+P(V=3,U=1)+P(V=2,U=2) =P(X=4,Y=0)+ P(X=3,Y=1)+P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2 =0.19,P(W=5)=P(V+U=5)=P(V=5, U=0)+P(V=5,U=1)+P(V=3,U=2=P(X=5 Y=0)+P(X=5,Y=1)+P(X=3,Y=2)+P(X=2,Y=3) =0.24,P(W=6)=P(V+U=6)=P(V=5, U=1)+P(V=4,U=2) +P(V=3,U=3)=P(X=5,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=3,Y=3)=0.19,P(W=7)=P(V+U=7)=P(V=5, U=2)+P(V=4,U=3) =P(V=5,U=2)+P(X=4,Y=3)=0.6+0.6=0.12, P(W=8)=P(V+U=8)=P(V=5, U=3)+P(X=5,Y=3)=0.05.。

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数,求X 和Y 的联合分布律.(X ,Y )的可能取值为(i , j ),i =0,1,2,3, j =0,12,i + j ≥2,联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f(1) 确定常数k ; (2) 求{}3,1<<Y X P (3) 求{}5.1<X P ; (4) 求{}4≤+Y X P . 分析:利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分,其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解:(1)∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ,∴81=k (2)83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P (3)3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P (4)32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次,以X 表示前2次出现H 的次数,以Y 表示3次中出现H 的次数,求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第三章

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第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为X\Y12311/61/91/1821/3a1/9求a.分析:dsfsd1f6d54654646解答:由分布律性质∑i⋅jPij=1,可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答:P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(2)P{0<Y≤b};解答:P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(3)P{X>a,Y≤b}.解答:P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求:(1)P{12<X<32,0<Y<4;解答:P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求:(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答:P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求:(3)F(2,3).解答:F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量,且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答:P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值:(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512,请列出(X,Y)的概率分布表,并写出关于Y的边缘分布.解答:(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零,且有16+13+112+512=1,故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值,故事件:{X=-1,Y=0},{X=0,Y=13,{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件,其概率必为零. 因而得到下表:Y01/31pk7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0),其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答:由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1,且由正态分布图形的对称性,知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它, (1)确定常数k;(2)求P{X<1,Y<3};(3)求P{X<1.5};(4)求P{X+Y≤4}.解答:如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求:(1)常数c;(2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答:(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时,显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时,显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后,设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答:fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布,求联合分布密度和边缘分布密度. 解答:区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16,由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它,fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为从而(X,Y)的联合概率分布为P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a},故由上式有P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)但当a>0时,两者均不成立,出现矛盾,故X与∣X∣不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求X与Y的联合概率密度;(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0,求它有实根的概率.解答:(1)由题设易知fX(x)={1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立,故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如图所示得到:P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx]=1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]=1-2π[Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413,Φ(0)=0.5,于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413,所以P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立,且都等可能地取1,2,3为值,求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.解答:由于U≥V,可见P{U=i,V=j}=0(i<j).此外,有P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),于是,随机变量U和V的联合概率分布为=∫01dy∫y2y12dx=14,P{U=1,V=1}=1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=1,V=0}=1/2,即U\V01011/401/41/2习题4设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解答:FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.当z<0时,FZ(z)=P(∅)=0;当z≥0时,FZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdy=12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ=∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.故Z的分布函数为FZ(z)={1-e-z22,z≥00,z<0.Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立?(2)求Z=X+Y的概率密度.解答:(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0即{x>0x<z时,f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时,fZ(z)=0;当z>0时,fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是,Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立,若X服从(0,1)上的均匀分布,Y服从参数1的指数分布,求随机变量Z=X+Y的概率密度.解答:据题意,X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它,fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy=∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见:当z≤0时,有fX(z-y)=0,故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时,fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.(1)试确定常数b;(2)求边缘概率密度fX(x),fY(y);(3)求函数U=max{X,Y}的分布函数.解答:(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数b.∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1,所以b=11-e-1,从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.(2)由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它,fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它(3)因为f(x,y)=fX(x)fY(y),所以X与Y独立,故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)F Y(u),其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1,所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0,因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成,L1和L2的寿命分别为X与Y,其概率密度分别为ϕ1(x)={αe-αx,x>00,x≤0,ϕ2(y)={βe-βy,y>00,y≤0,其中α>0,β>0,α≠β,试求系统L的寿命Z的概率密度.解答:设Z=min{X,Y},则F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z}=1-[1P{X<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]由于F1(z)={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0,F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0,故F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0,从而ϕ(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0.习题9设随机变量X,Y相互独立,且服从同一分布,试证明:P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.解答:设min{X,Y}=Z,则P{a<min{X,Y}≤b}=FZ(b)-FZ(a),FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}=1-[P{X>z}]2,代入得P{a<min{X,Y}≤b}=1-[P{X>b}]2-(1-[P{X>a}]2)=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.证毕.复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关,其中2只是次品,在其中取两次,每次任取一只,考虑两种试验:(1)放回抽样;(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下:X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律.解答:(1)有放回抽样,(X,Y)分布律如下:P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536; P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536,P{X=0,Y=1}=10×212×12=536, P{X=1,Y=1}=2×212×12=136,(2)不放回抽样,(X,Y)的分布律如下:P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566, P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066,P{X=1,Y=1}=2×112×11=166,习题2假设随机变量Y服从参数为1的指数分布,随机变量Xk={0,若Y≤k1,若Y>k(k=1,2),求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率.解答:因为Y服从参数为1的指数分布,X1={0,若Y≤11,若Y>1, 所以有P{X1=1}=P{Y>1}=∫1+∞e-ydy=e-1,P{X1=0}=1-e-1,同理P{X2=1}=P{Y>2}=∫2+∞e-ydy=e-2,P{X2=0}=1-e-2,因为P{X1=1,X2=1}=P{Y>2}=e-2,P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}-P{X1=1,X2=1}=e-1-e-2,P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1-e-1,P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}-P{X1=0,X2=0}=0,故(X1,X2)联合分布率与边缘分布率如下表所示:习题3在元旦茶话会上,每人发给一袋水果,内装3只橘子,2只苹果,3只香蕉. 今从袋中随机抽出4只,以X记橘子数,Y记苹果数,求(X,Y)的联合分布.解答:X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2.P{X=0,Y=0}=P{∅}=0,P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70,P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70,P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70,P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70,P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70,P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70,P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70,P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70,P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70,P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70,P{X=3,Y=2}=P{∅}=0,所以,(X,Y)的联合分布如下:习题4设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y解答:由题设X与Y相互独立,即有pij=pi⋅p⋅j(i=1,2;j=1,2,3), p⋅1-p21=p11=16-18=124,又由独立性,有p11=p1⋅p⋅1=p1⋅16故p1⋅=14.从而p13=14-124-18, 又由p12=p1⋅p⋅2, 即18=14⋅p⋅2.从而p⋅2=12. 类似的有p⋅3=13,p13=14,p2⋅=34.将上述数值填入表中有习题5设随机变量(X,Y)的联合分布如下表:求:(1)a值;(2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y);(3)(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)与FY(y).解答:(1)\because由分布律的性质可知∑i⋅jPij=1, 故14+14+16+a=1,∴a=13.(2)因F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}①当x<1或y<-1时,F(x,y)=0;②当1≤x<2,-1≤y<0时,F(x,y)=P{X=1,Y=-1}=1/4;③当x≥2,-1≤y<0时,F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12;④当1≤x<2,y>0时,F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2;⑤当x≥2,y≥0时,F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}+P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}=1;综上所述,得(X,Y)联合分布函数为F(x,y)={0,x<1或y<-11/4,1≤x<2,-1≤y<05/12,x≥2,-1≤y<01/2,1≤x<2,y≥01,x≥2,y≥0.(3)由FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为:FX(x)={0,x<114+14,1≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2,同理,由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为FY(y)={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0.习题6设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={c(R-x2+y2),x2+y2<R0,x2+y2≥R,求:(1)常数c; (2)P{X2+Y2≤r2}(r<R).解答:(1)因为1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dydx=∫∫x2+y2<Rc(R-x2+y)dxdy=∫02π∫0Rc(R-ρ)ρdρdθ=cπR33,所以有c=3πR3.(2)P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2<r23πR3[R-x2+y2]dxdy=∫02π∫0r3πR3(R-ρ)ρdρdθ=3r2R2(1-2r3R).习题7设f(x,y)={1,0≤x≤2,max(0,x-1)≤y≤min(1,x)0,其它,求fX(x)和fY(y).解答:max(0,x-1)={0,x<1x-1,x≥1, min(1,x)={x,x<11,x≥1,所以,f(x,y)有意义的区域(如图)可分为{0≤x≤1,0≤y≤x},{1≤x≤2,1-x≤y≤1},即f(x,y)={1,0≤x≤1,0≤y≤x1,1≤x≤2,x-1≤y≤1,0,其它所以fX(x)={∫0xdy=x,0≤x<1∫x-11dy=2-x,1≤x≤20,其它,fY(y)={∫yy+1dx=1,0≤y≤10,其它.习题8若(X,Y)的分布律为则α,β应满足的条件是¯, 若X与Y独立,则α=¯,β=¯.解答:应填α+β=13;29;19.由分布律的性质可知∑i⋅jpij=1, 故16+19+118+13+α+β=1,即α+β=13.又因X与Y相互独立,故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}, 从而α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j},=(19+α)(14+α+β)=(19+α)(13+13)=29,β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}=(118+β)(13+α+β)=(118+β)(13+13),∴β=19.习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={ce-(2x+y),x>0,y>00,其它,(1)确定常数c; (2)求X,Y的边缘概率密度函数;(3)求联合分布函数F(x,y); (4)求P{Y≤X};(5)求条件概率密度函数fX∣Y(x∣y); (6)求P{X<2∣Y<1}.解答:(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1求常数c.∫0+∞∫0+∞ce-(2x+y)dxdy=c⋅(-12e-2x)\vline0+∞⋅(-e-y)∣0+∞=c2=1,所以c=2.(2)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞2e-2xe-ydy,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0,fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0+∞2e-2xe-ydx,y>00,其它={e-y,y>00,y≤0.(3)F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dvdu={∫0x∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它={(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>00,其它.(4)P{Y≤X}=∫0+∞dx∫0x2e-2xe-ydy=∫0+∞2e-2x(1-e-x)dx=13.(5)当y>0时,fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2e-2xe-ye-y,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0.(6)P{X<2∣Y<1}=P{X<2,Y<1}P{Y<1}=F(2,1)∫01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.习题10设随机变量X以概率1取值为0, 而Y是任意的随机变量,证明X与Y相互独立.解答:因为X的分布函数为F(x)={0,当x<0时1,当x≥0时, 设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y),则当x<0时,对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{∅∩(Y≤y)}=P{∅}=0=FX(x)FY(y);当x≥0时,对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{S∩(Y≤y)}=P{Y≤y}=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定义,由F(x,y)=FX(x)FY(y)知,X与Y独立.习题11设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立,且服从同一分布,试证P{X≤Y}=1/2. 解答:因为X,Y独立,所以f(x,y)=fX(x)fY(y).P{X≤Y}=∫∫x≤yf(x,y)dxdy=∫∫x≤yfX(x)fY(y)dxdy=∫-∞+∞[fY(y)∫-∞yfX(x)dx]dy=∫-∞+∞[fY(y)FY(y)]dy=∫-∞+∞FY(y)dFY(y)=F2(y)2∣-∞+∞=12,也可以利用对称性来证,因为X,Y独立同分布,所以有P{X≤Y}=P{Y≤X},而P{X≤Y}+P{X≥Y}=1, 故P{X≤Y}=1/12.习题12设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为若X与Y相互独立,求参数a,b,c的值.解答:关于X的边缘分布为由于X与Y独立,则有p22=p2⋅p⋅2 得b=(b+19)(b+49) ①p12=p1⋅p⋅2 得19=(a+19)(b+49) ②由式①得b=29, 代入式②得a=118. 由分布律的性质,有a+b+c+19+19+13=1,代入a=118,b=29, 得c=16.易验证,所求a,b,c的值,对任意的i和j均满足pij=pi⋅×p⋅j.因此,所求a,b,c的值为a=118,b=29,c=16.习题13已知随机变量X1和X2的概率分布为且P{X1X2=0}=1.(1)求X1和X2的联合分布律;(2)问X1和X2是否独立?解答:(1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律,再根据条件P{X1X2=0}=1, 求出联合分布. 列表如下:P{X1=1,X2=1}=0,P{X1=-1,X2=1}=0.再由p⋅1=p-11+p11+p01, 得p01=12, p-10=p-1⋅=p-11=14,p10=p1⋅-p11=14,从而得p00=0.(2)由于p-10=14≠p-1⋅⋅p⋅0=14⋅12=18, 所以知X1与X2不独立.习题14设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)={1πR2,x2+y2≤R20,其它,(1)求X与Y的边缘概率密度;(2)求条件概率密度,并问X与Y是否独立?解答:(1)当x<-R或x>R时,fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=∫-∞+∞0dy=0;当-R≤x≤R时,fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=1πR2∫-R2-x2R2-x2dy=2πR2R2-x2.于是fX(x)={2R2-x2πR2,-R≤x≤R0,其它.由于X和Y的地位平等,同法可得Y的边缘概率密度是:fY(y)={2R2-y2πR2,-R≤y≤R0,其它.(2)fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)注意在y处x值位于∣x∣≤R2-y2这个范围内,f(x,y)才有非零值,故在此范围内,有fX∣Y(x∣y)=1πR22πR2⋅R2-y2=12R2-y2,即Y=y时X的条件概率密度为fX∣Y(x∣y)={12R2-y2,∣x∣≤R2-y20,其它.同法可得X=x时Y的条件概率密度为fY∣X(y∣x)={12R2-x2,∣y∣≤R2-x20,其它.由于条件概率密度与边缘概率密度不相等,所以X与Y不独立.习题15设(X,Y)的分布律如下表所示X\Y -112-12 1/102/103/102/101/101/10求:(1)Z=X+Y; (2)Z=max{X,Y}的分布律.解答:与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类似,本质上是利用事件及其概率的运算法则. 注意,Z的相同值的概率要合并.概率(X,Y)X+YXYX/Ymax{X,Y}1/102/103/102/101/101/10(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221-112222于是(1)习题16设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={1,0<x<1,0<y<2(1-x)0,其他,求Z=X+Y的概率密度.解答:先求Z的分布函数Fz(z),再求概率密度fz(z)=dFz(z)dz.如右图所示.当z<0时,Fz(z)=P{X+Y≤z}=0;当0≤z<1时,Fz(z)=P{X+Y≤z}=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0z-x1dy=∫0z(z-x)dx=z2-12x2∣0z=12z2;当1≤z<2时,Fz(z)=∫02-zdx∫0z-xdy+∫2-z1dx∫02(1-x)dy=z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2;当z≥2时,∫∫Df(x,y)dxdy=∫01dx∫02(1-x)dy=1.综上所述Fz(z)={0,z<012z2,0≤z<1z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2,1≤z<21,z≥2,故fz(z)={z,0≤z<12-z,1≤z<20,其它.习题17设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={2e-(x+2y),x>0,y>00,其它,求随机变量Z=X+2Y的分布函数.解答:按定义FZ(Z)=P{x+2y≤z},当z≤0时,FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫∫x+2y≤z0dxdy=0.当z>0时,FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0(z-x)/22e-(x+2y)dy=∫0ze-x⋅(1-ex-z)dx=∫0z(e-x-e-z)dx=[-e-x]∣0z-ze-z=1-e-z-ze-z,故分布函数为FZ(Z)={0,z≤01-e-z-ze-z,z>0.习题18设随机变量X与Y相互独立,其概率密度函数分别为fX(x)={1,0≤x≤10,其它, fY(y)={Ae-y,y>00,y≤0,求:(1)常数A; (2)随机变量Z=2X+Y的概率密度函数.解答:(1)1=∫-∞+∞fY(y)dy=∫0+∞A⋅e-ydy=A.(2)因X与Y相互独立,故(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={e-y,0≤x≤1,y>00,其它.于是当z<0时,有F(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}=0;当0≤z≤2时,有F(z)=P{2X+Y≤z}=∫0z/2dx∫0z-2xe-ydy=∫0z/2(1-e2x-z)dx;当z>2时,有F(z)=P{2X+Y≤2}=∫01dx∫0z-2xe-ydy=∫01(1-e2x-z)dx.利用分布函数法求得Z=2X+Y的概率密度函数为fZ(z)={0,z<0(1-e-z)/2,0≤z<2(e2-1)e-z/2,z≥2.习题19设随机变量X,Y相互独立,若X与Y分别服从区间(0,1)与(0,2)上的均匀分布,求U=max{X,Y}与V=min{X,Y}的概率密度.解答:由题设知,X与Y的概率密度分别为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={1/2,0<y<20,其它,于是,①X与Y的分布函数分别为FX(x)={0,x≤0x,0≤x<11,x≥1, FY(y)={0,y<0y/2,0≤y<21,y≥2,从而U=max{X,Y}的分布函数为FU(u)=FX(u)FY(u)={0,u<0u2/2,0≤u<1u/2,1≤u<21,u≥2,故U=max{X,Y}的概率密度为fU(u)={u,0<u<11/2,1≤u<20,其它.②同理,由FV(v)=1-[1-FX(v)][1-FY)]=FX(v)+FY(v)-FX(v)FY(v)=FX(v)+FY(v)-FU(v),得V=min{X,Y}的分布函数为FV(v)={0,v<0v2(3-v),0≤v<11,v≥1,故V=min{X,Y}的概率密度为fV(v)={32-v,0<v<10,其它.注:(1)用卷积公式,主要的困难在于X与Y的概率密度为分段函数,故卷积需要分段计算;(2)先分别求出X,Y的分布函数FX(x)与FY(y), 然后求出FU(u),再求导得fU(u); 同理先求出FV(v), 求导即得fV(v).。

概率论与数理统计03-第三章作业及答案

概率论与数理统计03-第三章作业及答案

概率论与数理统计03-第三章作业及答案习题3-1⽽且12{0}1P X X ==. 求1和2的联合分布律.解由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, ⽽121{0}{0}04P X P X =?==≠, 所以X 1和X 2不独⽴.2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为(,)(6),02,24,0,.f x y k x y x y =--<<<其它求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞, 得2424222204211d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-= , 所以 18k =. (2) 31201,31{1,3}d (6)d 8(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<==--??1322011(6)d 82y x x y =--321113()d 828y y =-=?. (3) 1.51.5 { 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞-∞-∞<==??4 1.521d (6)d 8y x y x --=22011(6)d 82y x x y =--?421633()d 882y y =-? 2732=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下⽅区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)?的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈(,)d d Gf x y x y =??44201d (6)d 8x y x y x -=--??4422011(6)d 82xy x x y -=--?42211[(6)(4)(4)]d 82y y y y =----? 42211[2(4)(4)]d 82y y y =-+-? 423211(4)(4)86y y =----?23=. 图3-8 第4题积分区域3. ⼆维随机变量(,)X Y 的概率密度为2(,),1,01,0,f x y kxy x y x =≤≤≤≤其它.试确定k , 并求2{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤. 解由2111401(,)d d d (1)d 26xk k f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞-∞====-??,解得6=k .因⽽ 2112401{(,)}d 6d 3()d 4x xP X Y G x xy y x x x x ∈==-=. 4. 设⼆维随机变量(X , Y )概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.y x x y x f x y -=??≤≤≤≤其它求关于X 和Y 边缘概率密度.解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因⽽, 有24.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(2),01,0,x X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞-<<==-<<=其它.其它. 124.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(34),01,0,yY y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞-<<==-+<<=其它.其它.5. 假设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量 1,1,1,1,U X U --=>-??若≤若 1,1,1, 1.U Y U -=>??若≤若试求:(1) X 和Y 的联合概率分布;(2){P X Y +≤1}.解 (1) 见本章第三节三(4).(2){P X Y +≤1}1{1}P X Y =-+>1{1,1}P X Y =-==13144=-=. 习题3-21. 设(X , Y )的分布律为求: (1) 在条件X =2下Y 的条件分布律;(2) {22}P X Y ≥≤.解 (1) 由于6.02.01.003.0}2{=+++==X P ,所以在条件X =2下Y 的条件分布律为216.03.0}2{}1,2{}2|1{========X P Y X P X Y P ,06.00}2{}2,2{}2|2{========X P Y X P X Y P ,616.01.0}2{}3,2{}2|3{========X P Y X P X Y P ,316.02.0}2{}4,2{}2|4{========X P Y X P X Y P ,{P Y ≤2}{1}{2}P Y P Y ==+==0.10.3000.20.6++++=. ⽽{2,2}{2,1}{2,2}{3,1}{3,2}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==≥≤0.3000.20.5=+++=.因此{2,2}{22}{2}P X Y P X Y P Y =≥≤≤≥≤0.550.66==. 2. 设⼆维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<其它求:(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ;(2)11{}.22P Y X ≤≤ 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2xX f x f x y y y x +∞-∞===?;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =.故 2,01,()0,其它.X x x f x <<=??当02()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-;当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故 1,02,()20,.Y yy f y -<<=其它 (2) 当z ≤0时,()0Z F z =; 当z ≥2时,1)(=z F Z ;当0z f x y x y -=≤2x12202-2d 1d d 1d zxz x zx y x y =?+24z z =-.故 1,02,()20,.()其它Z zzz f z F z -<<'== (3) {}{}11311322161122442≤,≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===. 3. 设G 是由直线y =x , y =3,x =1所围成的三⾓形区域, ⼆维随机变量(,)X Y 在G 上服从⼆维均匀分布.求: (1) (X , Y )的联合概率密度;(2) {1}P Y X -≤;(3) 关于X 的边缘概率密度.解 (1)由于三⾓形区域G 的⾯积等于2, 所以(,)X Y 的概率密度为∈=.),(,0,),(,21),(G y x G y x y x f (2)记区域x y y x D -=|),{(≤}1与G 的交集为0G ,则{1}P Y X -≤0011113d d (2)22224G G x y S ===-=??. 其中0G S 为G 0的⾯积.(3) X 的边缘概率密度()(,)d X f x f x y y +∞-∞=?. 所以,当]3,1[∈x 时, 311()d (3)22X xf x y x ==-?. 当1x 时, 0)(=x f X .因此∈-=.,0],3,1[),1(21)(其它x x x f X习题3-31. 设X 与Y 相互独⽴, 且分布律分别为下表:求⼆维随机变量(,)X Y 的分布律.解由于X 与Y 相互独⽴, 所以有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =?====,6,5,2,0;0,21,1=--=j i .因此可得⼆维随机变量(,)X Y 的联合分布律2. 设(X , Y )的分布律如下表:问,αβ为何值时X 与Y 相互独⽴? 解由于边缘分布满⾜23111,1i j i j p p ??====∑∑, ⼜X , Y 相互独⽴的等价条件为p ij = p i . p .j (i =1,2; j =1,2,3).故可得⽅程组 21,3111().939αβα++==?+解得29α=,19β=.经检验, 当29α=,19β=时, 对于所有的i =1,2; j =1,2,3均有p ij = p i .p .j 成⽴. 因此当29α=,19β=时, X 与Y 相互独⽴..3. 设随机变量X 与Y 的概率密度为()e (,)0,.,01,0,x y b f x y x y -+=?<<>?其它 (1) 试确定常数b .(2) 求边缘概率密度()X f x , ()Y f y . (3) 问X 与Y 是否相互独⽴?解 (1) 由11()101(,)d d e d d e d e d (1e )x y y x f x y x y b y x b y x b +∞+∞+∞+∞-+----∞-∞====-?,得 111e b -=-.(2) ()(,)d X f x f x y y ∞-∞=?1e ,01,1e 0,xx --<<=-??其它.()(,)d Y f y f x y x ∞-∞=?e ,0,0,y y ->=其它.(3) 由于(,)()()X Y f x y f x f y =?,所以X 与Y 相互独⽴.4. 设X 和Y 是两个相互独⽴的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为21e ,0,()20Y yy f y y ->=,≤0.(1) 求X 和Y 的联合概率密度.(2) 设关于a 的⼆次⽅程为220a Xa Y ++=, 试求a 有实根的概率.解 (1) 由题设知X 和Y 的概率密度分别为1,01,()0,X x f x <<=??其它, 21e ,0,()20,.yY y f y ->=其它因X 和Y 相互独⽴, 故(X , Y )的联合概率密度为21e ,01,(,)()()20,.yX Y x y f x y f x f y -<<>==其它 (2) ⽅程有实根的充要条件是判别式⼤于等于零. 即244X Y ?=-≥20X ?≥Y .因此事件{⽅程有实根}2{X =≥}Y .下⾯计算2211221(,)d d e d (1e)d 2yxx Df x y xdy x y x --===-2121ed 12[(1)(0)]0.1445xx πΦΦ-=-=--≈?.图3-3 第6题积分区域习题3-41. 设⼆维随机变量(X ,Y )的概率分布为YX 0 10 0.4 a 1 b 0.1若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独⽴, 求常数a , b .解⾸先, 由题设知0.40.11a b +++=. 由此得0.5a b +=. 此外,{0}0.4P X a ==+,{1}{0,1}{1,0}0.5P X Y P X Y P X Y a b +====+===+=, {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====. 根据题意有{0,1}{0}{1}P X X Y P X P X Y =+===+=,即(0.4)0.5a a =+?. 解得0.4,0.1a b ==.2. 设两个相互独⽴的随机变量X ,Y 的分布律分别为求随机变量Z = X + Y 的分布律.解随机变量Z = X + Y 的可能取值为7,5,3.Z 的分布律为18.06.0.03}2,1{}3{=?=====Y X P Z P , {5}{1,4}{3,2}0.30.4070.60.54P Z P X Y P X Y ====+===?+?=,28.04.07.0}4,3{}7{=?=====Y X P Z P ,或写为3. 设X 和Y 是两个相互独⽴的随机变量, 且X 服从正态分布N (µ, σ2 ), Y 服从均匀分布U (-a , a )( a >0), 试求随机变量和Z =X +Y 的概率密度.解已知X 和Y 的概率密度分别为22()2()x X f x µσ--=,),(+∞-∞∈x ;-?-∈=).,(,0),,(,21)(a a y a a y ay f Y .由于X 和Y 相互独⽴, 所以22()21()()()d d 2z y a Z X Y f z f z y f y y y a µσ---+∞=1[()()]2z µa z µa ΦΦa σσ-+---. 4. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正⽅形G={(x,y )|1≤x ≤3, 1≤y ≤3}上的均匀分布, 试求随机变量U=|X -Y|的概率密度f (u ).解由题设知, X 和Y 的联合概率密度为111,3,3,(,)40,.x y f x y =≤≤≤≤其它记()F u 为U 的分布函数, 参见图3-7, 则有当u ≤0时,(){||F u P X Y =-≤u }=0; 当u ≥2时,()1F u =;当0< u <2时, 图3-7 第8题积分区域||(){}(,)d d x y uF u P U u f x y x y -==≤≤21[42(2)]412u =-?- 211(2)4u =--.故随机变量||U X Y =-的概率密度为1(2),02,()20,u u p u -<<=其它..总习题三1. 设随机变量(X , Y )的概率密度为<<<=.,0,10,||,1),(其它x x y y x f 求条件概率密度)|()|(||y x f x y f Y X X Y 和.解⾸先(,)其它X x x f x f x y dy +∞-∞<<==??1,01,()1,10,0,(,)≤其它.Y y y f y y y f x y dx +∞-∞-<<==+-图3-9第1题积分区域当01y <<时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x <<-=??取其它值.当1y -<≤0时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x -<<+=??取其它值.当10<,||,(|)20,Y X y x f y x x y <=取其它值.2. 设随机变量X 与Y 相互独⽴, 下表列出⼆维随机变量(,)X Y 的分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填⼊表中空⽩处 .解⾸先, 由于11121{}{,}{,}P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==, 所以有24P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=.在此基础上利⽤X 和Y 的独⽴性, 有11111{,}124{}1{}46P X x Y y P X x P Y y =======.于是 2113{}1{}144P X x P X x ==-==-=.再次, 利⽤X 和Y 的独⽴性, 有12211{,}18{}1{}24P X x Y y P Y y P X x =======. 于是 312111{}1{}{}1623P Y y P Y y P Y y ==-=-==--=.最后, 利⽤X 和Y 的独⽴性, 有2222313{,}{}{}428P X x Y y P X x P Y y ======?=; 2323311{,}{}{}434P X x Y y P X x P Y y ======?=; 1313111{,}{}{}43123.(34)e (,)0,.,0,0,x y k f x y x y -+=?>>??其它(1) 求常数k ;(2) 求(X ,Y )的分布函数;(3) 计算{01,02}P X Y <<≤≤; (4) 计算(),x f x ()y f y ;(5) 问随机变量X 与Y 是否相互独⽴?解 (1)由3401(,)d d e d e d 12xy kf x y x y k x y +∞+∞+∞+∞---∞-∞===,可得12=k .(2) (X ,Y )的分布函数(,)(,)d d x y F x y f u v x y -∞-∞=??.当x ≤0或y ≤0时,有 0),(=y x F ;当,0>>y x 时,34340(,)12e d e d (1e )(1e )x即 34(1e )(1e ),0,0,(,)0,.其它x y x y F x y --?-->>=??(3) {01,02}P X Y <<≤≤38(1,2)(0,0)(1e )(1e )F F --=-=--.(4) (34)012ed ,0,()(,)d 0,其它.x y X y x f x f x y y +∞-++∞-∞>==所以 33e ,0,()0,其它.x X x f x -?>=??类似地, 有44e ,0,()0,其它.y Y y f y -?>=?显然2),(),()(),(R y x y f x f y x f Y X ∈??=, 故X 与Y 相互独⽴. 4.解已知),(Y X 的分布律为注意到41260}1{}1{=++====Y P X P , ⽽0}1,1{===Y X P ,可见P{X=1, Y=1}≠P{X=1}P{Y=1}. 因此X与Y不相互独⽴.(2) Z X Y =+的可能取值为3, 4, 5, 6, 且316161}1,2{}2,1{}3{=+===+====Y X P Y X P Z P , }1,3{}2,2{}3,1{}4{==+==+====Y X P Y X P Y X P Z P 3 112161121=++=, 3(3) V =21}2,2{}1,2{}2,1{}2{===+==+====Y X P Y X P Y X P V P , 2 1}2{1}3{==-==V P V P . 即max(,)V X Y =的分布律为(4) min{U =}3,1{}2,1{}1{==+====Y X P Y X P U P}1,2{}1,3{==+==+Y X P Y X P 21=, 21}1{1}2{==-==U P U P .即min{,}U X Y =的分布律为(5) W U =+31}1,2{}2,1{}2,1{}3{===+=======Y X P Y X P V U P W P ,。

某大学概率论与数理统计期末考试试题3详细解答

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1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发生的概率为解:3.0)(=+B A B A P 即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .2、已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.(20分)解:设A =‘任取一产品,经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则(1) ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= (2) ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===. 3、已知连续型随机变量X 的分布函数为),(,arctan )(∞-∞∈+=x x B A x F ,求(1)常数A 和B ,(2))11(<<-X p ,(3)概率密度)(x f 。

(20分)4、已知随机变量),(Y X 的分布律为(20分)问:(1)当βα,为何值时,X 和Y 相互独立。

(2)求{}12>=Y X P 。

5、设随机变量X 服从)1,0(N 分布,求随机变量Xe Y =的概率密度函数。

(10分)6、向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立,且均服从2(0,2)N 分布. 求(1)命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率;(2)命中点到目标中心距离Z =的数学期望.(20分)解: (1){,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ----=--=-=-⎰;(2)22818x y EZ E e dxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r r reedr dr +∞---+∞+∞-∞=-+==⎰1、(10分)将3粒黄豆随机地放入4个杯子,求杯子中盛黄豆最多为一粒的概率八分之三(20分)设随机变量X 的概率密度为1,02,()0,.ax x f x +≤≤⎧=⎨⎩其它求(1)常数a ; (2)X 的分布函数()F x ; (3)(13).P X <<3、(10分)设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,求随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为)(y f Y2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______.答案:161-e解答:λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22即 0122=--λλ 解得1=λ,故161)3(-==e X P3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案:04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==-因为~(0,2)X U,所以(0X F =,即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它另解 在(0,2)上函数2y x =严格单调,反函数为()h y =所以04,()0,.Y X y f y f <<==⎩其它4. 设随机变量Y X ,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,2)1(-=>e X P ,则=λ_________,}1),{min(≤Y X P =_________.答案:2λ=,-4{min(,)1}1e P X Y ≤=-解答:2(1)1(1)P X P X ee λ-->=-≤==,故 2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y ≤=->1(1)(1)P X P Y =->> 41e -=-.5. 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21 是来自X 的样本,则未知参数θ的极大似然估计量为_________.答案:1111ln ni i x n θ==-∑解答: 似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nn n i n i L x x x x x θθθθθ==+=+∏1ln ln(1)ln nii L n xθθ==++∑1ln ln 01ni i d L nx d θθ==++∑解似然方程得θ的极大似然估计为1111ln ni i x n θ==-∑.二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.设,,A B C 为三个事件,且,A B 相互独立,则以下结论中不正确的是 (A )若()1P C =,则AC 与BC 也独立. (B )若()1P C =,则AC 与B 也独立.(C )若()0P C =,则A C 与B 也独立.(D )若C B ⊂,则A 与C 也独立. ( )答案:(D ).解答:因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A ),(B ),(C )都是正确的,只能选(D ).事实上由图可见A 与C 不独立.2.设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ,则(||2)P X >的值为 (A )2[1(2)]-Φ. (B )2(2)1Φ-.(C )2(2)-Φ. (D )12(2)-Φ. ( )答案:(A )解答: ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选(A ).3.设随机变量X 和Y 不相关,则下列结论中正确的是(A )X 与Y 独立. (B )()D X Y DX DY -=+.(C )()D X Y DX DY -=-. (D )()D XY DXDY =. ( )解答:由不相关的等价条件知,0y x cov 0xy =⇒=),(ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+(,) 应选(B ).4.设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立,则,αβ的值为(A )21,99αβ==. (A )12,99αβ==.(C ) 11,66αβ== (D )51,1818αβ==. ( )解答: 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+ ∴29α=, 19β= 故应选(A ).5.设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本,则下列结论中正确的是(A )1X 是μ的无偏估计量. (B )1X 是μ的极大似然估计量. (C )1X 是μ的相合(一致)估计量. (D )1X 不是μ的估计量. ( )答案:(A ) 解答:1EX μ=,所以1X 是μ的无偏估计,应选(A ).三、(7分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02, 求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解:设A =‘任取一产品,经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则(1) ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= (2) ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===.四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数, 求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.解:X 的概率分布为3323()()()0,1,2,3.55kkkP X k C k -===即01232754368125125125125XPX 的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251, 3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩263,55EX =⨯=231835525DX =⨯⨯=.五、(10分)设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求(1)(,)X Y 关于X 的边缘概率密度;(2)Z X Y =+的分布函数与概率密度.(1)(,)X Y 的概率密度为2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它(2)利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 当 0z <或1z >时()0Z f z = 01z ≤≤时 00()222z zZ f z dx x z ===⎰故Z 的概率密度为2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z 的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.z z z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Z z z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立,且均服从2(0,2)N 分布. 求(1)命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率;(2)命中点到目标中心距离Z =的数学期望.1){,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ------=-=-⎰;(2)22818x y EZ E edxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r rre e dr dr+∞---+∞+∞-∞=-+==⎰七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:cm)2~(,)X Nμσ,今抽取容量为16的样本,测得样本均值10x=,样本方差20.16s=. (1)求μ的置信度为0.95的置信区间;(2)检验假设2:0.1Hσ≤(显著性水平为0.05).(附注)0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===解:(1)μ的置信度为1α-下的置信区间为/2/2(((X t n X t nαα--+-0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n tα=====所以μ的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132)(2)2:0.1Hσ≤的拒绝域为22(1)nαχχ≥-.221515 1.6240.1Sχ==⨯=,20.05(15)24.996χ=因为220.052424.996(15)χχ=<=,所以接受H.。

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1.设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值:)0,0(,)1,1(-,31,1(-及)0,2(,且取这几组值的概率依次为61,31,121和125,求二维随机变量),(Y X 的联合分布律.解:由二维离散型随机变量分布律的定义知,),(Y X 的联合分布律为2.某高校学生会有8名委员,其中来自理科的2名,来自工科和文科的各3名.现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席.设X ,Y 分别为主席来自理科、工科的人数,求:(1)),(Y X 的联合分布律;(2)X 和Y 的边缘分布律.解:(1)由题意,X 的可能取值为0,1,2,Y 的可能取值为0,1,2,3,则561)0,0(3833====C C Y X P ,569)1,0(381323====C C C Y X P ,569)2,0(382313====C C C Y X P ,561)3,0(3833====C C Y X P ,283)0,1(382312====C C C Y X P ,289)1,1(38131312====C C C C Y X P ,283)2,1(382312====C C C Y X P ,0)3,1(===Y X P ,563)0,2(381322====C C C Y X P ,563)1,2(381322====C C C Y X P ,0)2,2(===Y X P ,0)3,2(===Y X P .),(Y X 的联合分布律为:(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他.,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求:(1)常数k ;(2))3,1(<<Y X P ;(3))5.1(<Y P ;(4))4(≤+Y X P .解:方法1:(1)⎰⎰⎰⎰--==∞+∞-∞+∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰,∴81=k .(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y .(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰∞+∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y .(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x .方法2:(1)同方法1.(2)20<<x ,42<<y 时,⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=,其他,0),,(=y x F ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他.,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P .(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F .(4)同方法1.4.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他.,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求:(1)常数A ;(2)),(Y X 的联合分布函数.解:(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞+--∞+∞-∞+∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰∞+∞+--=02d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-,∴2=A .(2)0>x ,0>y 时,⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=,其他,0),(=y x F ,∴⎩⎨⎧>>--=--其他.,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x .5.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他.,0,10,10,),(y x Axy y x f 求:(1)常数A ;(2)),(Y X 的联合分布函数.解:(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-A y y x x A y x y x f ,∴4=A .(2)10≤≤x ,10≤≤y 时,⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=,10≤≤x ,1>y 时,⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=,10≤≤y ,1>x 时,⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=,1>x ,1>y 时,⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u ,其他,0),(=y x F ,∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他.,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F .6.把一枚均匀硬币掷3次,设X 为3次抛掷中正面出现的次数,Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求:(1)),(Y X 的联合分布律;(2)X 和Y 的边缘分布律.解:由题意知,X 的可能取值为0,1,2,3;Y 的可能取值为1,3.易知0)1,0(===Y X P ,81)3,0(===Y X P ,83)1,1(===Y X P ,0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ,0)3,2(===Y X P ,0)1,3(===Y X P ,81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为:7.在汽车厂,一辆汽车有两道工序是由机器人完成的:一是紧固3只螺栓;二是焊接2处焊点,以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目,以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目,且),(Y X 具有联合分布律如下表:求:(1)在1=Y 的条件下,X 的条件分布律;(2)在2=X 的条件下,Y 的条件分布律.解:(1)因为)1,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=,所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ,81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ,101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ,401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ,故在1=Y 的条件下,X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=,所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ,41)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ,81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ,故在2=X 的条件下,Y 的分布律为:Y 012P8541818.设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他.,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求:(1)常数c ;(2)X 的边缘概率密度函数;(3))2(<+Y X P ;(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y .解:(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞++-∞+∞-∞+∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰∞+∞+--=02d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-,∴2=c .(2)0>x 时,⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(⎰∞++-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=,0≤x 时,0)(=x f X ,∴⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 2)(2x x x f x X ,同理⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(y y y f y Y .(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=20202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x .(4)由条件概率密度公式得,当0>y 时,有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他.其他.,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ,同理,当0>x 时,有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他.其他.,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y .9.设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他.,0,0,10,3),(x y x x y x f 求:(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数;(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ,)|(|x y f X Y .解:(1)10<<x 时,⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰,其他,0)(=x f X ,∴⎩⎨⎧<<=其他.,0,10,3)(2x x x f X ,密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ,∴10<<y 时,⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰,其他,0)(=y f Y ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他.,0,10),1(23)(2y y y f Y .(2)当10<<y 时,有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他.其他.,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X .当10<<x 时,有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他.其他.,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y .10.设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他.,0,10,3)|(32|y x y x y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他.,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P .解:⎩⎨⎧<<<==其他.,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ,则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx .11.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他.,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求:(1)),(Y X 的边缘概率密度;(2)X 与Y 是否独立;(3))),((D Y X P ∈,其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域.解:(1)10<<x 时,x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰∞+∞-,其他,0)(=x f X ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他.,0,10,322)(2x x x x f X ,20<<y 时,⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ,其他,0)(=y f Y ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他.,0,20,316)(y y y f Y .(2)∵),()()(y x f y f x f Y X ≠,∴X 与Y 不独立.(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=,∴⎰⎰+=∈102222d d 3()),((xxx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x .12.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他.,0,0,0,e )1(),(2y x y xy x f x试讨论X ,Y 的独立性.解:当0>x 时,xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002,当0≤x 时,0)(=x f X ,故⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(x x x x f x X ,同理,可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ,因为)()(),(y f x f y x f Y X =,所以X 与Y 相互独立.13.设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布,求X 与Y 的边缘概率密度,并判断X 与Y 是否相互独立.解:由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他.,0,,21),(2a y x a y x f ,当0<<-x a 时,有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-∞+∞-,当a x <≤0时,有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---∞+∞-,当a x ≥时,0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ,故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2,同理,由轮换对称性,可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2,显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠,所以X 与Y 不相互独立.14.设X 和Y 时两个相互独立的随机变量,X 在)1,0(上服从均匀分布,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度;(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ,试求a 有实根的概率.解:(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他.,0,10,1)(x x f X ,因为X 与Y 相互独立,所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他.,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f y Y X ,(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤,记为D ,即}|),{(2X Y Y X D ≤=,设=A {a 有实根},则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=12d e12x x ⎰--=12d e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=.15.设i X ~)4.0,1(b ,4,3,2,1=i ,且1X ,2X ,3X ,4X 相互独立,求行列式4321X X X X X =的分布律.解:由i X ~)4.0,1(b ,4,3,2,1=i ,且1X ,2X ,3X ,4X 相互独立,易知41X X ~)84.0,16.0(b ,32X X ~)84.0,16.0(b .因为1X ,2X ,3X ,4X 相互独立,所以41X X 与32X X 也相互独立,又32414321X X X X X X X X X -==,则X 的所有可能取值为1-,0,1,有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=,)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=,)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=,故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他.,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数.解:0≤z 时,若0≤x ,则0),(=y x f ;若0>x ,则0<-=x z y ,也有0),(=y x f ,即0≤z 时,0),(=y x f ,此时,0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F .0>z 时,若0≤x ,则0),(=y x f ;只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时,0),(≠y x f ,此时,⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1.综上⎩⎨⎧≤>--=--.0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ,所以⎩⎨⎧≤<='=-.0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z .17.设X ,Y 是相互独立的随机变量,其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他.,0,10,1)(x x f X ,⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度.解:0<z 时,若0<x ,则0)(=x f X ;若0≥x ,则0<-=x z y ,0)(=-x z f Y ,即0<z 时,0)()(=-x z f x f Y X ,此时,0d )()()(=-=⎰∞+∞-x x z f x f z f Y X Z .10≤≤z 时,若0<x ,则0)(=x f X ;只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ,此时,z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(.1>z 时,若0<x ,0)(=x f X ;若1>x ,0)(=x f X ;若10≤≤x ,则0>-=x z y ,此时,0)()(≠-x z f x f Y X ,z x z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(.综上,⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--.0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z .18.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他.,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立?(2)求Y X Z +=的概率密度.解:(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠,∴X 与Y 不独立.(2)0≤z 时,若0≤x ,则0)(=x f X ;若0>x ,则0<-=x z y ,0),(=y x f ,此时,0d ),()(=-=⎰∞+∞-x x z x f z f Z .0≥z 时,若0≤x ,则0)(=x f X ;只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ,此时,⎰∞+∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e)(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ .19.设X 和Y 时相互独立的随机变量,它们都服从正态分布),0(2σN .证明:随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-.0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ.证:因为X 与Y 相互独立,均服从正态分布),0(2σN ,所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y x f +-⋅=,(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时,有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ,此时,2222e)(σσz Z z z f -=;当0<z 时,=≤+}{22z Y X ∅,所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ,此时,0)(=z f Z ,综上,⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-.0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ.20.设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布,求},min{Y X Z =的概率密度.解:由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他.,0,20,10,21),(y x y x f ,易证,X ~]1,0[U ,Y ~]2,0[U ,且X 与Y 相互独立,⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=.2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ,可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=.1,1,10,223,0,02z z z z z ,求导,得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他.,0,10,23)(z z z f Z .21.设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他.,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ;(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ;(3)求函数},max{Y X U =的分布函数.解:(1)⎰⎰⎰⎰∞++-∞+∞-∞+∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x⎰⎰∞+--=1d e d e y x b y x )e 1(|)e (|)e (1102-+∞---=-⋅=b b y x ,∴1e11--=b .(2)10<<x 时,1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ,其他,0)(=x f X ,∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他.,0,10,e 1e )(1x x f xX ,0>y 时,⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(y y x x -+--=-=⎰e d e e1110)(1,0≤y 时,0)(=y f Y ,∴⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(y y y f y Y .(3)0≤x 时,0)(=x F X ,10<<x 时,101e 1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ,1≥x 时,1)(=x F X ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--.1,1,10,e1e1,0,0)(1x x x x F x X ;0≤y 时,0)(=y F Y ,0>y 时,y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0,∴⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,e 1)(y y y F y Y ,故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---.1,e 1,10,e1e1,0,01u u u uu .。

概率论与数理统计第三章习题答案

概率论与数理统计第三章习题答案
⎛ 3⎞ 3 ⎛ 3⎞ 3 = ⎜1 − ⎟ ⋅ + ⎜1 − ⎟ ⋅ + " ⎝ 4⎠ 4 ⎝ 4⎠ 4 3 5 ⎤ 3 ⎡1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ = ⎢ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + "⎥ 4⎣ ⎢4 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎥ ⎦
3
3 = ⋅ lim 4 n→∞
1⎡ ⎛1⎞ ⎢1 − ⎜ ⎟ 4⎣ ⎢ ⎝4⎠
0, 1, 2, 5,由题意,显然 ξ ~ B(5,0.2) 解:设 ξ代表设备使用的个数, ξ= ",
2 2 3 2 (1) P (ξ = 2) = C 5 p q = C5 ⋅ (0.2) 2 ⋅ (0.8) 3 = 0.2048
( 2) P (ξ ≤ 2) = P (ξ = 0) +P (ξ = 1) +P (ξ = 2)
2⎡ ⎛2⎞ ⎢1 − ⎜ ⎟ k ∞ 3⎣ ⎢ ⎝3⎠ ⎛2⎞ 而 ∑ ⎜ ⎟ = lim n →∞ 2 k =1 ⎝ 3 ⎠ 1− 3 1 所以, 2 c=1,从而 c = . 2
n −1
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
=
2 1− 3
2 3
=2
3 ,以 ξ 表示首次取得成功的试 验 4 次数序号,试写出 ξ 的分布律,并求出 ξ 为偶数的概率 p。 7.设在某种试验中,试验 成功的概率为
0 1 2 = C5 (0.2) 0 (0.8) 5 + C 5 (0.2)1 (0.8) 4 + C 5 (0.2) 2 (0.8) 3 = 0.94208
( 3) P (ξ ≥ 2) = 1 − P (ξ = 0) − P (ξ = 1)
0 1 = 1 − C5 (0.2) 0 (0.8) 5 − C 5 (0.2)1 (0.8) 4 = 0.26272

概率论与数理统计习题三及答案

概率论与数理统计习题三及答案
2
当 x 0, y 1 时, F x, y 1 dx0
0 2
2 x 1
4dy 1
(2)X 的边缘密度函数为
f X x f x, y dy

3
西南交通大学 2017—2018 学年第(一)学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
1 x0 = 2 0, 其他 Y 的边缘密度函数为
=
0
2 x 1
4dy,
1 42 x 1, x 0 2 0, 其他
f Y y f x, y dx

=
y 1 4dx, 0 y 1
2
0
0,
其他
=
21 y , 0 y 1 0,
其他
1 1 1 1 4 1 1 1 1 (3)f , 4 , 而 f X 2, f Y , 易见 f , f X f Y , 4 3 4 3 3 4 3 4 3
或写成 X\Y 1 2 3 1 0 2 3
1 6 1 12
1 6 1 6 1 6
1 12 1 6
0
P X Y P X 1, Y 1 P X 2, Y 2 P X 3, Y 3
1
1 。 6
西南交通大学 2017—2018 学年第(一)学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案

1 x 2 x 1 x 0, y 2 x 1 时, F x, y 1 dx0 4dy 4 x 2 4 x 1 ; 2 2
y 0
当 x 0,0 y 1 时, F x, y 0 dy y 1 4dx 2 y y 2 ;

概率论与数理统计03-第三章作业及答案

概率论与数理统计03-第三章作业及答案

习题3-1而且12{0}1P X X ==. 求1和2的联合分布律.解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04P X P X =⋅==≠, 所以X 1和X 2不独立.2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为(,)(6),02,24,0,.f x y k x y x y =--<<<<⎧⎨⎩其它 求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰, 得2424222204211d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰, 所以 18k =. (2) 31201,31{1,3}d (6)d 8(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<==--⎰⎰⎰⎰1322011(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰321113()d 828y y =-=⎰. (3) 1.51.5{ 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞-∞-∞<==⎰⎰⎰4 1.521d (6)d 8y x y x --=⎰⎰1.5422011(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 421633()d 882y y =-⎰ 2732=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)⨯的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈(,)d d Gf x y x y =⎰⎰44201d (6)d 8x y x y x -=--⎰⎰4422011(6)d 82xy x x y -=--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 42211[(6)(4)(4)]d 82y y y y =----⎰ 42211[2(4)(4)]d 82y y y =-+-⎰ 423211(4)(4)86y y =----⎡⎤⎢⎥⎣⎦23=. 图3-8 第4题积分区域3. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2(,),1,01,0,f x y kxy x y x =⎧⎨⎩≤≤≤≤其它.试确定k , 并求2{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤. 解 由2111401(,)d d d (1)d 26xk k f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰,解得6=k .因而 2112401{(,)}d 6d 3()d 4x xP X Y G x xy y x x x x ∈==-=⎰⎰⎰. 4. 设二维随机变量(X , Y )概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.y x x y x f x y -=⎧⎨⎩≤≤≤≤其它 求关于X 和Y 边缘概率密度.解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因而, 有24.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(2),01,0,x X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞-<<==-<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它. 124.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(34),01,0,yY y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞-<<==-+<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它.5. 假设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量 1,1,1,1,U X U --=>-⎧⎨⎩若≤若 1,1,1, 1.U Y U -=>⎧⎨⎩若≤若试求:(1) X 和Y 的联合概率分布;(2){P X Y +≤1}.解 (1) 见本章第三节三(4).(2){P X Y +≤1}1{1}P X Y =-+>1{1,1}P X Y =-==13144=-=. 习题3-21. 设(X , Y )的分布律为求: (1) 在条件X =2下Y 的条件分布律;(2) {22}P X Y ≥≤.解 (1) 由于6.02.01.003.0}2{=+++==X P ,所以在条件X =2下Y 的条件分布律为216.03.0}2{}1,2{}2|1{========X P Y X P X Y P ,06.00}2{}2,2{}2|2{========X P Y X P X Y P ,616.01.0}2{}3,2{}2|3{========X P Y X P X Y P ,316.02.0}2{}4,2{}2|4{========X P Y X P X Y P ,{P Y ≤2}{1}{2}P Y P Y ==+==0.10.3000.20.6++++=. 而{2,2}{2,1}{2,2}{3,1}{3,2}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==≥≤0.3000.20.5=+++=.因此{2,2}{22}{2}P X Y P X Y P Y =≥≤≤≥≤0.550.66==. 2. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<<⎧⎨⎩其它 求:(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ;(2)11{}.22P Y X ≤≤ 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2xX f x f x y y y x +∞-∞===⎰⎰;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =.故 2,01,()0,其它.X x x f x <<=⎧⎨⎩当0<y <2时,12()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-⎰⎰;当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故 1,02,()20,.Y yy f y -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它 (2) 当z ≤0时,()0Z F z =; 当z ≥2时,1)(=z F Z ;当0<z <2时, (){2Z F z P X Y =-≤2}(,)d d x y zz f x y x y -=⎰⎰≤2x12202-2d 1d d 1d zxz x zx y x y =⋅+⋅⎰⎰⎰⎰24z z =-.故 1,02,()20,.()其它Z zzz f z F z -<<'==⎧⎪⎨⎪⎩ (3) {}{}11311322161122442≤,≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 3. 设G 是由直线y =x , y =3,x =1所围成的三角形区域, 二维随机变量(,)X Y 在G 上服从二维均匀分布.求:(1) (X , Y )的联合概率密度;(2) {1}P Y X -≤;(3) 关于X 的边缘概率密度.解 (1)由于三角形区域G 的面积等于2, 所以(,)X Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(G y x G y x y x f (2)记区域x y y x D -=|),{(≤}1与G 的交集为0G ,则{1}P Y X -≤0011113d d (2)22224G G x y S ===-=⎰⎰. 其中0G S 为G 0的面积.(3) X 的边缘概率密度()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰. 所以,当]3,1[∈x 时, 311()d (3)22X xf x y x ==-⎰. 当1<x 或3>x 时, 0)(=x f X .因此 ⎪⎩⎪⎨⎧∈-=.,0],3,1[),1(21)(其它x x x f X习题3-31. 设X 与Y 相互独立, 且分布律分别为下表:求二维随机变量(,)X Y 的分布律.解 由于X 与Y 相互独立, 所以有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =⋅====,6,5,2,0;0,21,1=--=j i .因此可得二维随机变量(,)X Y 的联合分布律2. 设(X , Y )的分布律如下表:问,αβ为何值时X 与Y 相互独立? 解由于边缘分布满足23111,1i j i j p p ⋅⋅====∑∑, 又X , Y 相互独立的等价条件为p ij = p i . p .j (i =1,2; j =1,2,3).故可得方程组 21,3111().939αβα++==⋅+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得29α=,19β=.经检验, 当29α=,19β=时, 对于所有的i =1,2; j =1,2,3均有p ij = p i .p .j 成立. 因此当29α=,19β=时, X 与Y 相互独立..3. 设随机变量X 与Y 的概率密度为()e (,)0,.,01,0,x y b f x y x y -+=⎧<<>⎨⎩其它 (1) 试确定常数b .(2) 求边缘概率密度()X f x , ()Y f y . (3) 问X 与Y 是否相互独立? 解 (1) 由11()101(,)d d e d d e d e d (1e )x y y x f x y x y b y x b y x b +∞+∞+∞+∞-+----∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,得 111e b -=-.(2) ()(,)d X f x f x y y ∞-∞=⎰1e ,01,1e 0,xx --<<=-⎧⎪⎨⎪⎩其它.()(,)d Y f y f x y x ∞-∞=⎰e ,0,0,y y ->=⎧⎨⎩其它.(3) 由于(,)()()X Y f x y f x f y =⋅,所以X 与Y 相互独立.4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为21e ,0,()20Y yy f y y ->=⎧⎪⎨⎪⎩,≤0.(1) 求X 和Y 的联合概率密度.(2) 设关于a 的二次方程为220a Xa Y ++=, 试求a 有实根的概率.解 (1) 由题设知X 和Y 的概率密度分别为1,01,()0,X x f x <<=⎧⎨⎩其它, 21e ,0,()20,.yY y f y ->=⎧⎪⎨⎪⎩其它 因X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的联合概率密度为21e ,01,(,)()()20,.yX Y x y f x y f x f y -<<>==⎧⎪⎨⎪⎩其它 (2) 方程有实根的充要条件是判别式大于等于零. 即244X Y ∆=-≥20X ⇔≥Y .因此事件{方程有实根}2{X =≥}Y .下面计算2{P X ≥}Y (参见图3-3).2{P X ≥}Y 2211221(,)d d e d (1e)d 2yxx Df x y xdy x y x --===-⎰⎰⎰⎰⎰2121ed 12[(1)(0)]0.1445xx πΦΦ-=-=--≈⎰.图3-3 第6题积分区域 习题3-41. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为YX 0 10 0.4 a 1 b 0.1若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独立, 求常数a , b .解 首先, 由题设知0.40.11a b +++=. 由此得0.5a b +=. 此外,{0}0.4P X a ==+,{1}{0,1}{1,0}0.5P X Y P X Y P X Y a b +====+===+=, {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====. 根据题意有{0,1}{0}{1}P X X Y P X P X Y =+===+=,即(0.4)0.5a a =+⨯. 解得0.4,0.1a b ==.2. 设两个相互独立的随机变量X ,Y 的分布律分别为求随机变量Z = X + Y 的分布律.解 随机变量Z = X + Y 的可能取值为7,5,3.Z 的分布律为18.06.0.03}2,1{}3{=⨯=====Y X P Z P , {5}{1,4}{3,2}0.30.4070.60.54P Z P X Y P X Y ====+===⨯+⨯=,28.04.07.0}4,3{}7{=⨯=====Y X P Z P ,或写为3. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X 服从正态分布N (μ, σ2), Y 服从均匀分布U (-a , a )( a >0), 试求随机变量和Z =X +Y 的概率密度.解 已知X 和Y 的概率密度分别为22()2()x X f x μσ--=,),(+∞-∞∈x ;⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=).,(,0),,(,21)(a a y a a y ay f Y .由于X 和Y 相互独立, 所以22()21()()()d d 2z y a Z X Y f z f z y f y y y a μσ---+∞-∞-=-=⎰⎰=1[()()]2z μa z μa ΦΦa σσ-+---. 4. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形G={(x,y )|1≤x ≤3, 1≤y ≤3}上的均匀分布, 试求随机变量U=|X -Y|的概率密度f (u ).解 由题设知, X 和Y 的联合概率密度为111,3,3,(,)40,.x y f x y =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤其它记()F u 为U 的分布函数, 参见图3-7, 则有 当u ≤0时,(){||F u P X Y =-≤u }=0; 当u ≥2时,()1F u =;当0< u <2时, 图3-7 第8题积分区域||(){}(,)d d x y uF u P U u f x y x y -==⎰⎰≤≤21[42(2)]412u =-⨯- 211(2)4u =--.故随机变量||U X Y =-的概率密度为1(2),02,()20,u u p u -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它..总习题三1. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其它x x y y x f 求条件概率密度)|()|(||y x f x y f Y X X Y 和.解 首先2,01,()0,.(,)其它X x x f x f x y dy +∞-∞<<==⎧⎨⎩⎰1,01,()1,10,0,(,)≤其它.Y y y f y y y f x y dx +∞-∞-<<==+-<⎧⎪⎨⎪⎩⎰图3-9第1题积分区域当01y <<时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x <<-=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当1y -<≤0时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x -<<+=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当10<<x 时, |1,||,(|)20,Y X y x f y x x y <=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.2. 设随机变量X 与Y 相互独立, 下表列出二维随机变量(,)X Y 的分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填入表中空白处 .解 首先, 由于11121{}{,}{,}P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==, 所以有11121111{,}{}{,}6824P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=.在此基础上利用X 和Y 的独立性, 有11111{,}124{}1{}46P X x Y y P X x P Y y =======.于是 2113{}1{}144P X x P X x ==-==-=.再次, 利用X 和Y 的独立性, 有12211{,}18{}1{}24P X x Y y P Y y P X x =======. 于是 312111{}1{}{}1623P Y y P Y y P Y y ==-=-==--=.最后, 利用X 和Y 的独立性, 有2222313{,}{}{}428P X x Y y P X x P Y y ======⨯=;2323311{,}{}{}434P X x Y y P X x P Y y ======⨯=;1313111{,}{}{}4312P X x Y y P X x P Y y ======⨯=.因此得到下表3.(34)e (,)0,.,0,0,x y k f x y x y -+=⎧>>⎨⎩其它(1) 求常数k ;(2) 求(X ,Y )的分布函数;(3) 计算{01,02}P X Y <<≤≤; (4) 计算(),x f x ()y f y ;(5) 问随机变量X 与Y 是否相互独立?解 (1)由3401(,)d d e d e d 12xy kf x y x y k x y +∞+∞+∞+∞---∞-∞===⎰⎰⎰⎰,可得12=k .(2) (X ,Y )的分布函数(,)(,)d d x y F x y f u v x y -∞-∞=⎰⎰.当x ≤0或y ≤0时,有 0),(=y x F ;当,0>>y x 时,34340(,)12e d e d (1e )(1e )xyu v x y F x y u v ----==--⎰⎰.即 34(1e )(1e ),0,0,(,)0,.其它x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩(3) {01,02}P X Y <<≤≤38(1,2)(0,0)(1e )(1e )F F --=-=--.(4) (34)012ed ,0,()(,)d 0,其它.x y X y x f x f x y y +∞-++∞-∞⎧>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰所以 33e ,0,()0,其它.x X x f x -⎧>=⎨⎩类似地, 有44e ,0,()0,其它.y Y y f y -⎧>=⎨⎩ 显然2),(),()(),(R y x y f x f y x f Y X ∈∀⋅=, 故X 与Y 相互独立. 4.解 已知),(Y X 的分布律为注意到41260}1{}1{=++====Y P X P , 而0}1,1{===Y X P ,可见P{X=1, Y=1}≠P{X=1}P{Y=1}. 因此X与Y不相互独立.(2) Z X Y =+的可能取值为3, 4, 5, 6, 且316161}1,2{}2,1{}3{=+===+====Y X P Y X P Z P , }1,3{}2,2{}3,1{}4{==+==+====Y X P Y X P Y X P Z P 3112161121=++=, 316161}2,3{}3,2{}5{=+===+====Y X P Y X P Z P . 即Z X Y =+(3) V =21}2,2{}1,2{}2,1{}2{===+==+====Y X P Y X P Y X P V P , 21}2{1}3{==-==V P V P . 即max(,)V X Y =的分布律为(4) min{U =}3,1{}2,1{}1{==+====Y X P Y X P U P}1,2{}1,3{==+==+Y X P Y X P 21=, 21}1{1}2{==-==U P U P .即min{,}U X Y =的分布律为(5) W U =+31}1,2{}2,1{}2,1{}3{===+=======Y X P Y X P V U P W P ,}2,2{}3,1{}4{==+====V U P V U P W P31}2,2{}1,3{}3,1{===+==+===y X P Y X P Y X P , 31}2,3{}3,2{}3,2{}5{===+=======Y X P Y X P V U P W P .5. 2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它. (1) 求P {X >2Y }; (2) 求Z = X +Y 的概率密度f Z (z ).解 (1) 1120227{2}(,)d d d (2)d 24yx yP X Y f x y x y y x y x >>==--=⎰⎰⎰⎰. (2) 方法一: 先求Z 的分布函数:()()(,)d d Z x y zF z P X Y Z f x y x y +=+=⎰⎰≤≤.当z <0时, F Z (z )<0; 当0≤z <1时, 1()(,)d d d (2)d zz yZ D F z f x y x y y x y x -==--⎰⎰⎰⎰= z 2-13z 3; 当1≤z <2时, 2111()1(,)d d 1d (2)d Z z z yD F z f x y x y y x y x --=-=---⎰⎰⎰⎰= 1-13(2-z )3; 当z ≥2时, F Z (z ) = 1. 故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()()(2),12,0,Z Z z z z f z F z z z ⎧-<<⎪'==-<⎨⎪⎩≤其它.方法二: 利用公式()(,)d :Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰2(),01,01,(,)0,x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其它 2,01,1,0,.z x x z x -<<<<+⎧=⎨⎩其它当z ≤0或z ≥2时, f Z (z ) = 0;当0<z <1时, 0()(2)d (2);zZ f z z x z z =-=-⎰当1≤z <2时, 121()(2)d (2).Z z f z z x z -=-=-⎰故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()(2),12,0,.Z z z z f z z z ⎧-<<⎪=-<⎨⎪⎩≤其它.6. 设随机变量(X , Y )得密度为21,01,02,(,)30,.其它x xy x y x y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩≤≤≤≤试求: (1) (X , Y )的分布函数; (2) (X , Y )的两个边缘分布密度; (3) (X , Y )的两个条件密度; (4) 概率P {X +Y >1}, P {Y >X }及P {Y <12|X <12}.解 (1) 当x ≤0或y ≤0时, φ(x , y ) = 0, 所以 F (x , y ) = 0.当0<x ≤1, 0<y ≤2时, φ(x , y ) = x 2+13xy ,所以 201(,)(,)d d [()d ]d 3x yx yF x y u v u v u uv v u -∞-∞==+⎰⎰⎰⎰ϕ32211312x y x y =+. 当0<x ≤1, y >2时,2(,)(,)d d [(,)d ]d [(,)d ]d xyx y x F x y u v u v u v v u u v v u -∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ϕϕϕ22001[()d ]d 3xu uv v u =+⎰⎰21(21)3x x =+.当x >1, 0<y ≤2时,10(,)(,)d d [(,)d ]d xyyF x y u v u v u v v u -∞-∞==⎰⎰⎰⎰ϕϕ12001[()d ]d 3y u uv v u =+⎰⎰1(4)12y y =+. 当x >1, y >2时,122001(,)[()d ]d 13F x y u uv v u =+=⎰⎰.综上所述, 分布函数为220,00,1(),01,02,341(,)(21),01,2,31(4),1,02,121,1, 2.或≤≤≤≤≤≤x y y x y x x y F x y x x x y y y x y x y ⎧⎪⎪+<<⎪⎪⎪=+<>⎨⎪⎪+><⎪⎪>>⎪⎩(2) 当0≤x ≤1时,22202()(,)d ()d 2,33X xy x x y y x y x x ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 222,01,()30,.其它≤≤X x x x x ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩当0≤y ≤2时,12011()(,)d ()d ,336Y xy y x y x x x y ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 11,02,()360,.其它≤≤Y y y y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩(3) 当0≤y ≤2时, X 关于Y = y 的条件概率密度为2(,)62(|).()2Y x y x xy x y y yϕϕϕ+==+当0≤x ≤1时, Y 关于X = x 的条件概率密度为(,)3(|).()62Xx y x yy xy xϕϕϕ+==+(4) 参见图3-10.图3-10 第9题积分区域图3-11 第9题积分区域1{1}(,)d dx yP X Y x y x yϕ+>+>=⎰⎰12201165d()d.372xx x xy y-=+=⎰⎰同理, 参见图3-11.{}(,)d dy xP Y X x y x yϕ>>=⎰⎰122117d()d.324xx x xy y=+=⎰⎰1111{,}(,)112222{|}1122{}()22XP X Y FP Y XP X F<<<<==<211(,)22121()534.32()d|Xyx y xx xϕ+==⎰如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!。

概率论与数理统计第3章复习题(含解答)

概率论与数理统计第3章复习题(含解答)

《概率论与数理统计》第三章复习题解答1. 设Y X ,的分布律分别为且已知0)(=<Y X P ,4)1(=+>Y X P .(1)求),(Y X 的联合分布律;(2)判定Y X ,独立否;(3)求),min(),,max(,321Y X Z Y X Z Y X Z ==+=的分布律.解:(1) 由0)(=<Y X P 知0)1,1()0,1(==-=+=-=Y X P Y X P ,故0)1,1()0,1(==-===-=Y X P Y X P ;由41)1(=+>Y X P 知41)1,1(=-==Y X P .于是可以填写出如下不完整的联合分布律、边缘分布律表格:再由联合分布律、边缘分布律的关系可填出所余的3个空, 得到(2) 41)1,1(=-=-=Y X P ,而2141)1()1(⋅=-=-=Y P X P ,故Y X ,不独立. (3) 在联合分布律中增加0=X 的一行,该行ij p 均取为0,分别沿路径:对ij p 相加, 得2. 设平面区域G 由曲线xy 1=, 直线2,1,0e x x y ===所围成. ),(Y X 在G 上服从均匀分布, 求)2(X f .解:区域G 的面积.2][ln 12211===⎰e e G x dx xS 故),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<<=其它 ,0 10,1,21),(2x y e x y x f . ⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰∞∞-其它 ,0 1 ,2121),()(210e x x dy dy y x f x f x X , .41)2( =∴Xf 3. 一个电子仪器由两个部件构成,Y X ,分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知),(Y X 的联合分布函数为⎩⎨⎧>>---=+---其它 0,0 0 ,1),()(5.05.05.0y ,x e e e y x F y x y x(1) 问Y X ,是否独立;(2)求两个部件的寿命都超过0.1千小时的概率.解:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-=∞+=-其它 0, 0 ,1),()(5.0x e x F x F x X , ⎪⎩⎪⎨⎧>-=+∞=-其它 0, 0 ,1),()(5.0y ey F y F y Y , 从而有)()(),(y F x F y x F Y X =, 所以Y X ,相互独立.(2) 由Y X ,相互独立知)]1.0(1)][1.0(1[)1.0()1.0()1.0,1.0(≤-≤-=>>=>>Y P X P Y P X P Y X P.)]1.0(1)][1.0(1[1.005.005.0---==--=e e e F F Y X4. 设),(Y X 的联合概率密度⎪⎩⎪⎨⎧><+=其它,0 0,1,2),(22y y x y x f π,⎩⎨⎧≥<=Y X Y X U ,1,0,⎪⎩⎪⎨⎧<≥=Y X Y X V 3 ,13,0,求:(1) ),(V U 的联合分布律;(2))0(≠UV P .解:(1) 0)()3,()0,0(00=Φ=≥<====P Y X Y X P V U P p ;432),()3,()1,0(01===<<====⎰⎰OCD OCDS dxdy y x f Y X Y X P V U P p 扇形扇形π; 612),()3,()0,1(10===≥≥====⎰⎰OAB OABS dxdy y x f Y X Y X P V U P p 扇形扇形π; 1212),()3,()1,1(11===<≥====⎰⎰OBC OBCS dxdy y x f Y X Y X P V U P p 扇形扇形π. 于是有联合分布律:(2) 121)0(11==≠p UV P . 5. 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10 ,1),(y x y x f求:(1))21,21(≤≤Y X P ;(2))21(>+Y X P ;(3))31(≥Y P ;(4))21(>>Y Y X P .解:(1)4121211),()21,21(21,21=====≤≤⎰⎰⎰⎰≤≤G Gy x S dxdy dxdy y x f Y X P ;(2)=>+)21(Y X P 8721212111),(21=-===⎰⎰⎰⎰>+G Gy x S dxdy dxdy y x f ;(3)=≥)31(Y P 32)311(11),(31=-===⎰⎰⎰⎰≥G Gy S dxdy dxdy y x f ;(4)41211212121)21()21,()21(=⋅=>>>=>>Y P Y Y X P Y Y X P .6. 设),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-=其它 ,0 2,2010 ,20),(x y x x x xcy x f求:(1) 常数c ;(2) )(x f X ;(3) )(x y f X Y ;(4) )128(=≥X Y P .解:(1) ,25)210(20),(1201020102c dx xcdy xx c dx dxdy y x f xx =-=-==⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-.251 =∴c(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-==⎰⎰∞∞-else x x dy x xdy y x f x f x x X0, 2010 ,50202520),()(2.(3) 2010 <<x 时,0)(≠x f X ,)(x y f X Y 有定义,且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=--==elsex y xx x x x x f y x f x y f X X Y 0, 2,250202520)(),()( (4) )20,10 (12∈=x ,⎪⎩⎪⎨⎧<<==∴elsey X y f XY 0,126 ,61)12( ,从而 3261)12()128(1288=====≥⎰⎰∞dy dy X y f X Y P X Y .7. 设Y X ,相互独立且都服从]1,0[上的均匀分布, 求Y X Z +=的概率密度.解:⎰∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(, 其中⎩⎨⎧<<=其它x x f X ,0 10 ,1 )(, ⎩⎨⎧<-<=-其它 x z x z f Y ,0 10 ,1 )(. ⎩⎨⎧<<-<<⇔⎩⎨⎧<-<<<⇔≠-z x z x x z x x z f x f Y X 11010100)()(. (区域见图示)(1)10<<z 时, zdx z f zZ =⋅=⎰011)(;(2) 21<≤z 时, z dx z f z Z -=⋅=⎰-211)(11;(3) )2,0(∉z 时, 0)(=z f Z .综上知⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<=其它 z z z z z f Z ,0 21 ,210 , )(.8*. 设),(Y X 的联合概率密度⎩⎨⎧<<=-其它 ,0 0 ,),(yx xe y x f y ,求(1) )21(<<Y X P ,)21(=<Y X P ;(2)Y X Z +=的概率密度;(3) )1),(min(<Y X P .解:(1) ① 102142512121)()()2()2,1()21(22221202102202102---=---=--==<<<=<<-------⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e e e e e dxe e x dx e e x dy xe dx dyxe dxY P Y X P Y X P x x xy x y; ②⎪⎩⎪⎨⎧≤>===--∞∞-⎰⎰0 0, 0,21),()(20y y e y dx xe dx y x f y f y y yY , 02)2( 2≠=∴-e f Y ,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<<====--elsex xe xef x f Y x f Y Y X 0, 20 ,22)2()2,()2(22 ,从而 412)2()21(101=====<⎰⎰∞-dy x dx Y x f Y X P Y X . (2) ⎰∞∞--=dx x z x f z f Z ),()(, 其中2000),(zx xx z x x z x f X <<⇔⎩⎨⎧>->⇔≠-. (区域见图示)(1) 0>z 时, ⎰⎰---==2020)()(z xzz x z Z dx xe edx xez f 2)12(zze ze---+=; (2)0≤z 时, 0)(=z f Z .综上知⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=--0 ,0 0,)12()(2z z e ze zf z z Z .(3))1,1(1)1),(min(1)1),(min(≥≥-=≥-=<Y X P Y X P Y X P1111,12111),(1-∞-∞∞-≥≥-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰e dx xe dy xe dxdxdy y x f x xyy x .9*. 设),(Y X 的联合概率密度⎩⎨⎧>>=+-其它 ,0 0,0,),()(y x e y x f y x ,求Y X Z -=的概率密度.解:)()()(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤= (1) 0<z 时, 0)()(=Φ=P z F Z ;(2) 0=z 时, 0),()()(0====⎰⎰>=x y Z dxdy y x f X Y P z F(3)0>z 时, 如图⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+---+--+<<-+==zz x zx y x zz x y x zx y z x Z dy e e dxdy e e dxdxdy y x f z F 0),()(⎰⎰∞--+------+-=zz x z x x z zx x dx e e e dx ee )()1(0z zx z z z xz xe dx e e e dx ee e-∞------=-+-=⎰⎰1)()(202综上知⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0 ,0 0 ,1)(z z e z F z Z , 求导得⎩⎨⎧≤>=-0,0 0,)(z z e z f z Z .10. 设B A ,是两个随机事件, 且,41)(,21)(,41)(===B A P A B P A P 引进随机变量 ⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=不发生当发生当 不发生当发生当 B B Y A A X ,0 ,1 , ,0 ,1.判断下列结论的正误, 并给予分析:(1)B A ,互不相容;(2)B A ,相互独立;(3)Y X ,相互独立;(4)1)(==Y X P ;(5)41)1(22==+Y X P . 解:(1)检验0)(=AB P 是否成立. 事实上0812141)()()(≠=⋅==A B P A P AB P , 故B A ,相容, 原结论错. (2)检验)()()(B P A P AB P =是否成立. 事实上由于41)(,41)(==B A P A P ,.)()()()()( A P B P B A P B P AB P ==∴ 即)()()(B P A P AB P =成立, 故B A ,独立, 原结论对.(3)检验Y X ,的联合分布律与边缘分布律之积是否都相等. 事实上81)(11==AB P p ;838121)()()()(01=-=-=-==AB P B P AB B P B A P p ; 818141)()()()(10=-=-=-==AB P A P AB A P B A P p ;83818381100=---=p . 于是有经检验, Y X ,的联合分布律与边缘分布律之积都相等, 故原结论对.(4)只需正确求出)(Y X P =的值. 事实上0218183)(1100≠=+=+==p p Y X P , 故原结论错. (5)只需正确求出)1(22=+Y X P 的值. 事实上41218183)1(100122≠=+=+==+p p Y X P , 故原结论错.。

概率论与数理统计第3章课后题答案

概率论与数理统计第3章课后题答案

概率论与数理统计第3章课后题答案第三章连续型随机变量3.1 设随机变数 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率:(1)P( a);(2)P( a);(3)P( a);(4)P( a) 解:(1)P( a) F(a 0) F(a);(2)P( a) F(a 0);(3)P( a)=1-F(a);(4)P( a) 1 F(a 0)。

3.2 函数F(x) 11 x2是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果(1) x(2)0 x ,在其它场合适当定义;(3)- x 0,在其它场合适当定义。

解:(1)F(x)在(- , )设随机变数 具有对称的分布密度函数p(x),即p(x) p( x),证明:对任意的a 0,有(1)F( a) 1 F(a)12ap(x)dx;(2)P( a) 2F(a) 1;(3)P( a) 2 1 F(a) 。

证:(1)F( a)ap(x)dx 1ap(x)dx=1ap( x)dx 1ap(x)dx=1 F(a) 1 (2)P( ap(x)dxap(x)dxa12a0ap(x)dx;ap(x)dx 2 p(x)dx,由(1)知1-F(a)故上式右端=2F(a) 1;12ap(x)dx。

(3)P( a) 1 P( a) 1 [2F(a) 1] 2[1 F(a)]3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数,又a 0,b 0是两个常数,且a b 1。

证明F(x) aF1(x) b F2(x)也是一个分布函数,并由此讨论,分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型?证:因为F1(x)与F2(x1) F2(x2),于是F(x1) aF1(x1) b F2(x1) aF1(x2) b F2(x2) F(x2)F2(x都是分布函数,当x1 x2时,F1(x1) F1(x2),又xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] 0xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] a b 1xxF(x 0) aF1(x 0) b F2(x 0) aF1(x) b F2(x) F(x)所以,F(x)也是分布函数。

第三章试题答案 概率论与数理统计

第三章试题答案 概率论与数理统计

第三章历年考题一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设二维随机变量(X,Y)的分布律为则P{X+Y=0}=()A.0.2B.0.3C.0.5D.0.7答案:C度为⎩⎨⎧<<-<<-=,,;y ,x ,c )y ,x (f 其他01111 则常数c=( )A.41B.21C.2D.4答案:A律为设p ij=P{X=i,Y=j}i,j=0,1,则下列各式中错误..的是()A.p00<p01B.p10<p11C.p00<p11D.p10<p01答案:D,律为则P{X=Y}=( ) A .0.3 B .0.5 C .0.7 D .0.8答案:A5.设随机变量(X ,Y )的联合概率密度为f(x,y)=.;0y ,0x ,0,e Ae y 2x 其它>>⎪⎩⎪⎨⎧--则A=( )A.21B.1C.23D.2答案:D6.设二维随机变量(X 、Y )的联合分布为( )则P{XY=0}=( ) A. 41 B.125C.43D.1答案:C7.已知X ,Y 的联合概率分布如题6表所示题6表F (x,y )为其联合分布函数,则F (0,31)=( )A .0B .121C .61 D .41答案:D8.设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧>>+-其它00,0)(y x e y x则P (X ≥Y )=( ) A .41 B .21C .32D .43 答案:B9.设随机变量X 与Y 独立同分布,它们取-1,1两个值的概率分别为41,43,则{}=-=1XY P ( )A .161B .163C .41D .83答案:D10.设三维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=∞+),(x F ( ) A .0B .)(x F XC .)(y F YD .1答案:B11.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y). 其联合概率分布为()则F(0,1)=A.0.2B.0.6C.0.7D.0.8答案:B12.设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤+.,0;1y 0,2x 0),y x (k 其它则k=( )A.41B.31C.21D.32答案:B13.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为则P{XY=2}=( )A .51B .103C .21D .53答案:C14.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=,,0;10,10,4),(其他y x xy y x f 则当0≤y ≤1时,(X ,Y )关于Y 的边缘概率密度为f Y ( y )= ( )A .x 21B .2xC .y 21D .2y答案:D15.设随机变量X ,Y 相互独立,其联合分布为则有( )A .92,91==βαB .91,92==βαC .32,31==βαD .31,32==βα答案:B 因为91,92==βα31)91(91}1{}2{}1,2{3131********αβα+=======----=+Y P X P Y X P 解方程组即得15. .设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-;,0,0,0,2),()2(其它y x ey x f y x 则P{X<Y}= ( )A .41B .31C .32D .43 答案:B15. .设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧>>+-其它0y ,0x e )y x (则P (X ≥Y )=( )A .41B .21C .32D .43 答案:B二、填空题(本大题共15小题,每空2分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

《概率论与数理统计》习题及答案 第三章

《概率论与数理统计》习题及答案  第三章

《概率论与数理统计》习题及答案第 三 章1.掷一枚非均质的硬币,出现正面的概率为p (01)p <<,若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数,求X 的分布列。

解 ()X k =表示事件:前1k -次出现正面,第k 次出现反面,或前1k -次出现反面,第k 次出现正面,所以11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=2.袋中有b 个黑球a 个白球,从袋中任意取出r 个球,求r 个球中黑球个数X 的分布列。

解 从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法,r 个球中有k 个黑球的取法有k r kb a C C -,所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==,max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+, 此乃因为,如果r a <,则r 个球中可以全是白球,没有黑球,即0k =;如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球,此时k 应从r a -开始。

3.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件,第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+,以X 表示三个零件中合格品的个数,求X 的分布列。

解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。

则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=, 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=, 123123123(2)()P X P A A A A A A A AA ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=,20 1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=. 即X 的分布列为01231611624242424XP. 4.一汽车沿一街道行驶,需通过三个设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布。

概率论与数理统计习题解答(第3章)

概率论与数理统计习题解答(第3章)

习 题 三 (A )三、解答题1. 设口袋中有3个球,它们上面依次标有数字1,1,2,现从口袋中无放回地连续摸出两个球,以X ,Y 分别表示第一次与第二次摸出的球上标有的数字,求(X ,Y )的分布律. 解:(X ,Y )取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式: P {X =1,Y =1}=P {X =1}P {Y =1|X =1}=2/3⨯1/2=/3, P {X =1,Y =2}= P {X =1}P {Y =2|X =1}=2/3⨯1/2=1/3, P {X =2,Y =1}= P {X =2}P {Y =1|X =2}=1/3⨯2/2=1/3. (X ,Y )的分布律用表格表示如下:2.设盒中装有8支圆珠笔芯,其中3支是蓝的,3支是绿的,2支是红的,现从中随机抽取2支,以X ,Y 分别表示抽取的蓝色与红色笔芯数,试求: (1) X 和Y 的联合分布律;(2) P {X ,Y } ∈ A },其中A = {(x ,y )| x + y ≤ 1}. 解:X ,Y 所有可能取到的值是0, 1, 2(1) P {X =i , Y =j }=P {X =i }P {Y =j |X =i }=282223C C C C j i j i --, i , j =0,1,2, i +j ≤2 或者用表格表示如下:(2)P{(X ,Y )∈A }=P {X +Y ≤1}=P {X =0, Y =0}+P {X =1,Y =0}+P {X =0,Y =1}=3/28+9/28+6/28=9/14.3.设事件B A 、满足,21)|(,21)|(,41)(===A B P B A P A P 记X ,Y 分别为一次试验中A ,B 发生的次数,即⎩⎨⎧=不发生,发生A A X 0,1,⎩⎨⎧=不发生,发生,B B Y 0 1,求:二维随机变量(X ,Y )的分布律.解:因为P (A )=1/4,,21)|(=A B P 由P (B |A )=2/14/1)()()(==AB P A P AB P 得P (AB )=1/8, 由P (A |B )=2/1)()(=B P AB P 得P(B)=1/4.(X ,Y )取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则 P {X =0,Y =0}=)(1)()(B A P B A P B A P -===1-P (A )-P (B )+P (AB )=5/8, P {X =0,Y =1}=)(B A P =P (B -A )=P (B )-P (AB )=1/8, P {X =1,Y =0}=)(B A P =P (A -B )=P (A )-P (AB )=1/8, P {X =1,Y =1}=P (AB )=1/8.4.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10 ,),(其它y x Axy y x f 试求: (1) 常数A (2) P {X = Y } (3) P {X < Y }(4) (X ,Y )的分布函数. 解:(1)由归一性知:1=, 故A=4(2) P {X =Y }=0, (3) P {X <Y }=.(4)F (x ,y )=即F (x ,y )=5.设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其它0,20,10 ,3),(2y x xyx y x f求P {X + Y ≥ 1}. 解:P{X+Y ≥1}=7265)3(),(102121=+=⎰⎰⎰⎰-≥+dydx xy x dxdy y x f xy x 6.将一枚硬币掷3次,以X 表示前2次中出现正面的次数,以Y 表示3次中出现正面的次数,求X ,Y 的联合分布律及(X ,Y )的边缘分布律.解:X 的所有可能取值为0,1,2,Y 的所有可能取值为0,1,2,3. P {X =0,Y =0}=0.53=0.125; P {X =0,Y =1}=0.53=0.125P {X =1,Y =1}=25.05.05.0212=⨯C , P {X =1,Y =2}=25.05.05.0212=⨯C P {X =2,Y =2}=0.53=0.125, P {X =2,Y =3}==0.53=0.125 X ,Y 的分布律及边缘分布律可用表格表示如下:Y X 0 1 2 3 P i . 0 0.125 0.125 0 0 0.25 1 0 0.25 0.250.52 00.125 0.125 0.25P .j0.125 0.375 0.375 0.125 1解法2:,21)21()21(}|{}{},{22⨯=======-iiiC i X j Y P i X P j Y i X P.1,0,3,2,1,0,2,1,0=-==i j j i7.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(yx e y x f y 求边缘概率密度f X (x ),f Y (y ).解:⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(yx e y x f y⎩⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-+∞-∞+∞-⎰⎰0,00,0,00,),()(x x e x x dy e dy y x f x f xxy X ⎩⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥==--∞+∞-⎰⎰0,00,0,00,),()(0y y ye y y dx e dx y x f y f y y yY 8.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,01,),(22y x y cx y x f 求:(1) 确定常数c(2) 边缘概率密度f X (x ),f Y (y ).解:⎩⎨⎧<≤≤=0,01,),(22x y x y cx y x f(1)214212),(1104211122cdx x x c ydydx cx dxdy y x f x =-===⎰⎰⎰⎰⎰-∞+∞-∞+∞-所以 c=21/4(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎩⎪⎨⎧<==⎰⎰∞+∞-其它其它,,01||,8)1(2101||,421),()(42122x x x x ydy x dy y x f x f x X⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰-∞+∞-其它其它,,010********),()(252y y y ydx x dx y x f y f y yY 9.设平面区域D 由曲线xy 1=及直线y = 0,x = 1,x = e 2围成,二维随机变量(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布,求边缘概率密度f X (x ),f Y (y ). 解:2|ln 12211===⎰e e D x dx xS (X ,Y )在区域D 上服从均匀分布,故f (x ,y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,21),(Dy x y x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰⎰∞+∞-其它(,01,21),()210X e x dy dy y x f x f x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤≤≤-=-===--∞+∞-⎰⎰⎰其它(10,0),11(2121,2121),()221112X 2y e e y y dx e dx dx y x f x f y e 10.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,3),(xy x x y x f 试求条件概率密度f (y | x ).解:⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,3),(xy x x y x f)0)(( )(),()|(|>=x f x f y x f x y f X X X Y ⎪⎩⎪⎨⎧≤<===⎰⎰∞+∞-其它,010,233),()(20x x xdy dy y x f x f x X当0<x ≤1时,⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,00,233)(),()|(2|xy x x x f y x f x y f X X Y即,⎪⎩⎪⎨⎧≤<<=其它,010,2)|(|x y x x y f X Y11.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它,0,10,1),(xy x y x f 求条件概率密度f (x | y ).解:⎩⎨⎧<<<=其它,0||,10,1),(xy x y x f⎪⎩⎪⎨⎧>-=≤+===⎰⎰⎰-∞+∞-0,10,1),()(11y y dx y y dx dx y x f y f y y Y当y ≤0时,⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<+==其它,0,10,11)(),()|(|x y x x y x f y x f y x f Y Y X当y >0时,⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-==其它,0,10,11)(),()|(|x y x x y x f y x f y x f Y Y X所以,⎪⎩⎪⎨⎧<<<-==其它,01||0,||11)(),()|(|x y y x f y x f y x f Y Y X12.已知随机变量Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,010,5)(4y y y f Y 在给定Y = y 条件下,随机变量X 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其它,010,3)(32y x y x y x f 求概率P {X > 0.5}. 解:由)(),()|(|x f y x f y x f Y Y X =得 ⎩⎨⎧<<<<==其它,00,10,15)()|(),(2|yx y yx y f y x f y x f Y Y X644715),(}5.0{15.0125.0===>⎰⎰⎰⎰+∞+∞∞-xdydx yx dydx y x f X P 13.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为试分别求),max(Y X Z =和),min(Y X W =的分布律. 解:Z =max(X ,Y ),W =min(X ,Y )的所有可能取值如下表Z =max(X ,Y ),W =min(X ,Y )的分布律为14.设X 和Y 是相互独立的随机变量,且)(~),(~θθE Y E X ,如果定义随机变量Z 如下:⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z ,0,1 求Z 的分布律.解:⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(x x e x f x X θθ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(y y e y f yY θθ 由独立性得X ,Y 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-其它,00,0,1),(2y x e y x f yx θθ 则P {Z =1}=P {X ≤Y }=211),(002==⎰⎰⎰⎰∞++-≤xyx yx dydx edxdy y x f θθ P {Z =0}=1-P {Z =1}=0.5故Z 的分布律为15.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它,01,1),(22y x y x f π求边缘概率密度f X (x ),f Y (y );并问X 与Y 是否独立?解:⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它,01,1),(22y x y x f π⎪⎩⎪⎨⎧<-===⎰⎰---∞+∞-其它,01||,121),()(222112x x dy dy y x f x f x x X ππ 同理,⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它,01||,12)(2y y y f Y π显然,)()(),(y f x f y x f Y X ≠,所以X 与Y 不相互独立16.设随机变量X 和Y 相互独立,试在以下情况下求Y X Z +=的概率密度, (1) )1,0(~),1,0(~U Y U X ; (2) )1(~),1,0(~Exp Y U X .解:(1)⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(Y y y f利用卷积公式:⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(求f Z (z ))()(x z f x f Y X -=⎩⎨⎧+<<<<其它,01,10,1x z x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<≤-===-=⎰⎰⎰-∞+∞-其它2110,02,)()()(110z z z dx z dx dx x z f x f z f z z Y X Z(2) ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X ⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(Y y y e y f y 利用卷积公式:⎰+∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎩⎨⎧+<<>=--其它,01,0,)()(y z y y e y f y z f y Y X⎰+∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--=≥<≤=-----⎰⎰其它其它110,0,)1(,1110,0,,10z z e e e z z dy e dy e z zzz y z y17.设)1,1(~),1,0(~N Y N X ,且X 与Y 独立,求}1{≤+Y X P . 解:由定理3.1(P75)知,X +Y ~N (1,2),故5.0)0(}21121{}1{=Φ=-≤-+=≤+Y X P Y X P 18.设随机变量(X ,Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-. ,0;0,0,)(21),()(其它y x e y x y x f y x(1) 问X 和Y 是否相互独立? (2) 求Y X Z +=的概率密度. 解:(1) )1(21)(21),()0)(X +=+==-+∞+-+∞∞-⎰⎰x e dy e y x dx y x f x f x y x ((x>0) 同理,)1(21)(+=-y e y f yY y>0 显然,)()x (),(y f f y x f Y X =,所以X 与Y 不相互独立 (2).利用公式⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z )()(,被积函数⎪⎩⎪⎨⎧>>=⎪⎩⎪⎨⎧>->-+=---+-其它其它,0,0,21,00,0,)(21),()(xz x ze x z x e x z x x z x f z x z x所以⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z )()(,⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤>=≤>=--⎰0,00,210,00,2120z z e z z z dx ze z z z19. 设某系统L 由两个相互独立的系统L 1,L 2联合而成,各连接方式如图所示.已知L 1,L 2的使用寿命X 与Y 分别服从参数为α,β 的指数分布,求以下各系统L 使用寿命Z 的分布函数及概率密度.解:并联时,系统L 的使用寿命Z=max{X ,Y} 因X ~Exp (α),Y ~Exp (β),故⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(x x e x f x X αα, ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(y y e y f y Y ββ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F xX α, ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0,00,1)(y y e y F y Y β ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--==--0,00),1)(1()()()(z z e e z F z F z F z z Y X Z βα⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---0,00,)11(11)(11z z e e e z f z z z Z βαβαβαβα 串联时,系统L 的使用寿命Z =min{X ,Y }⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-0,00,1)](1)][(1[1)(11z z e z F z F z F z Y X Z βα ⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-0,00,11)(11z z e z f zZ βαβα (B )1.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为已知随机事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立,求a ,b 的值.解:P {X =0}=a +0.4,P {X +Y =1}=P {X =1,Y =0}+P {X =0,Y =1}=a +b. P {X =0,X +Y =1}=P {X =0,Y =1}=a 由于{X =0}与{X +Y =1}相互独立,所以 P {X =0, X +Y =1}=P {X =0} P {X +Y =1}即 a =(a +0.4)(a +b ) (1) 再由归一性知:0.4+a +b +0.1=1 (2) 解(1),(2)得 a =0.4, b =0.1 2.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它 ,010,10 ,2),(y x y x y x f (1) 求P {X > 2Y }(2) 求Z = X + Y 的概率密度f Z (z ). 解: (1) 247)2(),(}2{10202=--==>⎰⎰⎰⎰>xyx dydx y x dxdy y x f Y X P (2) 利用公式dx x z x f z f Z ⎰+∞∞--=),()(计算⎩⎨⎧<-<<<-=-其它,010,10,2),(x z x z x z x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<<-=-=⎰⎰⎰-∞+∞-2,021,)2(10),22,021,)2(10,)2(),()(2110z z z z z z z dx z z dx z dx x z x f z f z z Z (3.设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其它,020,4101,21)(x x x f X令2X Y =,),(y x F 为二维随机变量(X ,Y )的分布函数,求 (1) Y 的概率密度)(y f Y ;(2) )4,21(-F .解:(1) F Y (y )=P {Y ≤y }=P {X 2≤y } 当y <0时,f Y (y )=0当y ≥0时,)()(}{)(y F y F y X y P y F X X Y --=<<-=从而,⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤<=⎪⎩⎪⎨⎧-+=4041,8110,83)]()([21)(y y y y y y f y f yy f X X Y ,(2) F (-1/2,4)=P {X ≤-1/2,Y ≤4}= P {X ≤-1/2,X 2≤4} =P {-2≤X ≤-1/2}=4121)(211212==⎰⎰----dx dx x f X 4.设(X ,Y )为二维离散型随机变量,X 和Y 的边缘分布律分别如下:如果1}0{==XY P ,试求 (1) (X ,Y )的分布律; (2) 问X 与Y 是否独立. 解:P {XY ≠0}=1-P {XY =0}=0 即 P {X =-1,Y =1}+P {X =1,Y =1}=0由概率的非负性知,P {X =-1,Y =1}=0,P {X =1,Y =1}=0由边缘分布律的定义,P {X =-1}= P {X =-1,Y =0}+ P {X =-1,Y =1}=1/4 得P {X =-1,Y =0}=1/4再由P {X =1}= P {X =1,Y =0}+ P {X =1,Y =1}=1/4 得P {X =1,Y =0}=1/4再由P {Y =1}=P {X =-1,Y =1}+ P {X =0,Y =1}+ P {X =1,Y =1}= P {X =0,Y =1} 知P {X =0,Y =1}=1/2最后由归一性得:P {X =0,Y =0}=0(X ,Y )的分布律用表格表示如下:(2) 显然,X 和Y 不相互独立,因为P {X =-1,Y =0}≠ P {X =-1}P {Y =0}5.设随机变量X 与Y 相互独立,且),(~),,(~2ππσμ-U Y N X ,求Z = X + Y 的概率密度(计算结果用标准正态分布分布函数)(x Φ表示).解:X 与Y 相互独立,利用卷积公式dx x z f x fz f Y XZ ⎰+∞∞--=)()()(计算,21)(222)(σμσπ--=x X ex f ⎪⎩⎪⎨⎧-∈=其它,0),(,21)(πππy y f Y ⎪⎩⎪⎨⎧<-<-=---其它,0,221)()(222)(ππππσσμx z e x z f x f x Y X⎰⎰⎰+---+---+∞∞-==-=ππσμπππσμπσππσz z x z z x Y X Z dx edx edx x z f x f z f 22222)(212)(21221)()()()]()([21}{21ππππππ--+=+<<-=z F z F z X z P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+Φσμπσμππz z 21 6.设二维随机变量(X ,Y )在矩形}10,20),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布,试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度)(s f S . 解:(X ,Y )~U(G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,21),(Gy x y x f设F (x )和f (s )分别表示S =XY 的分布函数和密度函数 F (s )=P {XY <s} s<0时,F S (s)=0s ≥0时,⎪⎩⎪⎨⎧+≥=⎰⎰⎰⎰s s xs S dydxdydx s F 010*******,1, 所以,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+<=2,12,2ln 220,0s s s s s s F S于是,S =XY 概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,020,2ln 21)(s ss f S 7.设随机变量X 与Y 相互独立,其中X 的分布律为而Y 的概率密度为f (y ),求随机变量Y X U +=的概率密度)(u g . 解:由全概率公式: F U (u )=P {U ≤u }={X +Y ≤u }=P {X =1}P {X +Y ≤u |X =1}+ P {X =2}P {X +Y ≤u |X =2} = P {X =1}P {1+Y ≤u }+ P {X =2}P {2+Y ≤u } =0.3⨯F Y (u -1)+0.7⨯F Y (u -2)所以,f U (u ) =0.3⨯f Y (u -1)+0.7⨯f Y (u -2)8.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,,,020,10 ,1),(x y x y x f 求:(1) (X ,Y )的边缘概率密度f X (x ),f Y (y ); (2) Y X Z -=2的概率密度)(z f Z ; 解:(1) ⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,1),(x y x y x f⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,010,2,010,1),()(20x x x dy dy y x f x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,020,21,020,1),()(12y yy dx dx y x f y f y Y (2) ⎰⎰≤-=≤-=≤=zy x Z dxdy y x f z Y X P z Z P z F 2),(}2{}{)(如图所示,当z<0时,F Z (z)=0; 当z ≥2时,F Z (z)=1 当0≤z<2时:411)(212222020z z dydx dydx z F z xz x zx Z -=+=⎰⎰⎰⎰- 综上所述,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=2,120,40.0)(2z z z z z z F Z 所以Z 的概率密度为:⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=20,21,0)(z zz f Z 其它 9.设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,在X = x (0 < x < 1)的条件下,随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布,求: (1) 随机变量X 和Y 的联合概率密度; (2) Y 的概率密度; (3) 概率P {X + Y > 1}. 解:(1) ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其它,010,0,1)|(|x x y xx y f X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<<==其它(,010,1)()|),(|x y xx f x y f y x f X X Y(2) ⎩⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,010,ln ,010,1),()(1y y y dx x dx y x f y f y Y (3) 2ln 11),(}1{P 15.011-===≥+⎰⎰⎰⎰-≥+xx y x dydx xdxdy y x f Y X10. 设随机变量X 与Y 相互独立,X 的分布律为31}{==i X P ,(i = – 1,0,1),Y 的概率密度为⎩⎨⎧<≤=其它,010,1)(y y f Y ,记Y X Z +=,求:(1) 求}021{=≤X Z P (2) 求Z 的概率密度)(z f Z .解:(1) P {Z ≤1/2|X =0}=P {X +Y ≤1/2|X =0}=P {Y ≤1/2}=1/2 (2) 由全概率公式:F Z (z )=P {Z ≤z }=P {X +Y ≤z }=P {X =1}P {X +Y ≤z |X =1} +P {X =0}P {X +Y ≤z |X =0}=P {X =-1}P {X +Y ≤z|X =-1} = P {X =1}P {1+Y ≤z }+P {X =0}P {Y ≤z }=P {X =-1}P {-1+Y ≤z } =1/3⨯[F Y (z -1)+ F Y (z )+ F Y (z +1)]从而,f Z (z ) =1/3⨯[f Y (z -1)+ f Y (z )+ f Y (z +1)]=⎪⎩⎪⎨⎧<<-其它,021,31z11.设X 与Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;0,10 ,3),(其它x y x x y x f 试求Y X Z -=的概率密度. 解:⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,3).(xy x x y x f⎰⎰-≥=-≥=≤-=≤=zx y Z dxdy y x f Z X Y P z Y X P z Z P z F ),(}{}{}{)(如图,当z<0时,F Z (z)=0; 当z ≥1时,F Z (z )=1当0≤z<1时:22333)(3100z z xdydx xdydx z F z xz x zxZ -=+=⎰⎰⎰⎰-综上得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=1,010,2230,0)(3z z z z z z F Z 12Z 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=其它,010),1(23)(2z z z f Z12.设X 与Y 独立同分布,且都服从标准正态分布N (0,1),试求22Y X Z +=的分布. 解:,21)(22x X ex f -=π,21)(22y Y ey f -=π22221)()(),(y x Y X e y f x f y x f +-==π}{}{)(22z y x P z Z P z F Z ≤+=≤=当z<0时,F Z (z)=0; 当z ≥0时,220222222222121),(}{)(z zr z y x Z erdrd edxdy y x f z Y X P z F --≤+-===≤+=⎰⎰⎰⎰πθπ所以,Z 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其它,00,)(22z ze z f z Z。

《概率论与数理统计答案》第三章

《概率论与数理统计答案》第三章
第三章
习题参考答案与提示
第三章 随机变量的数字特征习题参考答案与提示
1.设随机变量 X 的概率分布为
X
-3 0.1
0 0.2
1 0.3
5 0.4
pk 试求 EX 。
答案与提示: EX = 2 。 2.已知随机变量 X 的分布列为
X
0 0.1
1
p
2 0.4
3 0.2
Pk
答案与提示:(1)由归一性, p = 0.3 ; (2) EX = 1.7 ; (3) DX = 0.81 3.已知随机变量 X 的分布列为


D X −Y = 1−
26.设灯管使用寿命 X 服从指数分布,已知其平均使用寿命为 3000 小时,现有
—5—

若一周 5 个工作日里无故障可获利 10 万元,发生一次故障仍获利 5 万元,发生二次2π网

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3 ; 2
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EZ =
1 , DZ = 3 ; 2
w. c
解:(1)由数学期望、方差的性质及相关系数的定义( ρ XY =
第三章
习题参考答案与提示
求:(1) Y = 2 X 的数学期望;(2) Y = e −2 X 的数学期望。 答案与提示:(1) EY = E 2 X = 2 ;(2) EY = Ee −2 X = 1/ 3 。
1 11.试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过 。 4
答案与提示:事件在 n 次独立重复试验中发生的次数服从参数为 n , p 的二项分 布 B ( n, p ) ,当然在一次试验中发生的次数应服从 B (1, p ) ,即为(0-1)分布。
f ( x) = 1 − x− β e 2α

概率论与数理统计答案 第三章习题

概率论与数理统计答案 第三章习题


f
X
(
x)
fY
(
y)
2x(1
0,
|
y |),0
x 1,| y|1 其它
f (x, y)
故X和Y不相互独立.
14.设X和Y是相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,
Y的概率密度为
fY
(
y)
1 2
e
y
2
,
y
0
(1)求X和Y的联合概率密度;
0, y 0
(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.
(X,Y)关于Y的边缘分布律可用Y= j时 X取所有可能取的值的概率相加而得. 也可以单独列表如下:
X0 1 2
pk 1 2 1
4 44
Y0 1 2 3
pk 1 3 3 1
8 88 8
X Y0123
012
1 10 0 88
0 220
88
00 11
88
1 P{Y=j} 8
3 8
3 8
1 8
P{X=i}
0 25/36 5/36 5/6
0 45/66 10/66 5/6
1 5/36 1/36 1/6
1 10/66 1/66 1/6
P{X=i} 5/6 1/6 1
P{X=i} 5/6 1/6 1
13(1)问第1题中的随机变量X和Y是否相互独立?(需说明理由) 解 (1)P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}对(X,Y)所有可能取值 (i,j)( i ,j =0,1)都成立,故放回抽样X和Y相互独立.
y)dy y (4)
4
(2)
2

概率论与数理统计习题三参考答案

概率论与数理统计习题三参考答案

概率论与数理统计习题三参考答案1. 某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次,每次随机地取10件进行检验,如果发现其中的次品多于1,就去调整设备。

以X 表示一天中调整设备的次数,求。

(设诸产品是否为次品是相互独立的。

) )(X E 解:解法一 用Y 表示10件中次品的个数,则)1.0,10(~B Y 而X 表示一天中调整设备的次数,,),4(~p B X {}2≥=Y p p {}{}{}1012=−=−=≥Y P Y P Y p Q()()9110100101.011.01.011−⋅−−−=C C 264.0= 056.14)(==∴p X E解法二 设为发现次品数i X 4,3,2,1 111,0=⎩⎨⎧=i X i ,,次品数大于发现次品数小于等于 则4321X X X X X +++=)()()()()(4321X E X E X E X E X E +++={}{}{}100次品数等于次品数等于P P X P i +==∴()()9110100101.011.01.01−⋅+−=C C 743.0= {}{}264.0011==−==∴i i X P X P 056.1264.04)(=×=∴X E2. 将3只球随机地逐个放入4只编号分别为1,2,3,4 的盒子中,以X 表示至少有一只球的盒子的最小号码,是求。

)(X E 解:解法一 X 可取1、2、3、4{}6437433133323213=++==∴C C C X P {}6419422233323213=++==C C C X P{}6474133332313=++⋅==C C C X P {}6414143===X P 162564146473649264371)(=×+×+×+×=∴X E 解法二 1625162316521691)(=×+×+×=∴X E 3. 若随机变量X 的分布律为()=⎭⎫⎩⎨⎧−=+i x P ii 21121i ,i =1,2 ,……., 是否存在。

《概率论与数理统计》 韩旭里 谢永钦版 习题三及答案

《概率论与数理统计》 韩旭里 谢永钦版 习题三及答案

习题三1.将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表:2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表:3.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为F (x ,y )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量(X ,Y )在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,434636F F F F −−+ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin4346361).4=−−+=i i i i题3图说明:也可先求出密度函数,再求概率。

4.设随机变量(X ,Y )的分布密度f (x ,y )=⎩⎨⎧>>+−.,0,0,0,)43(其他y x A y x e 求:(1) 常数A ;(2) 随机变量(X ,Y )的分布函数; (3) P {0≤X <1,0≤Y <2}. 【解】(1) 由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+−∞−∞===∫∫∫∫得 A =12 (2) 由定义,有 (,)(,)d d y xF x y f u v u v −∞−∞=∫∫(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x −+−−⎧⎧−−>>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩∫∫其他(3) {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y −+−−=<≤<≤==−−≈∫∫5.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<<<−−.,0,42,20),6(其他y x y x k(1) 确定常数k ;(2) 求P {X <1,Y <3}; (3) 求P {X <1.5}; (4) 求P {X +Y ≤4}.【解】(1) 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞−∞−∞=−−==∫∫∫∫故 18R = (2) 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x −∞−∞<<=∫∫130213(6)d d 88k x y y x =−−=∫∫ (3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=∫∫∫∫如图1.542127d (6)d .832x x y y =−−=∫∫(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=∫∫∫∫如图b240212d (6)d .83xx x y y −=−−=∫∫题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,0.2)上服从均匀分布,Y 的密度函数为f Y (y )=⎩⎨⎧>−.,0,0,55其他y y e求:(1) X 与Y 的联合分布密度;(2) P {Y ≤X }.题6图【解】(1) 因X 在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而55e ,0,()0,.y Y y f y −⎧>=⎨⎩其他 所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y i 独立5515e 25e ,00.20,0.20,0,y y x y −−⎧⎧×<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. (2) 5()(,)d d 25ed d yy xDP Y X f x y x y x y −≤≤=∫∫∫∫如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xy x x y x−==−+≈∫∫∫7.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为F (x ,y )=⎩⎨⎧>>−−−−.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求(X ,Y )的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y −+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x −≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞−∞=∫x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧−−≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩∫其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞−∞=∫12y4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧−⎧−+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩∫其他题8图 题9图9.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<−.,0,0,其他e y x y 求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞−∞=∫e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞−−⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩∫其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞−∞=∫0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y −−⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩∫其他题10图10.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他y x y cx(1) 试确定常数c ;(2) 求边缘概率密度. 【解】(1)(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞−∞−∞∫∫∫∫如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==∫∫得 214c =. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞−∞=∫212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧−−≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩∫其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞−∞=∫5227d ,01,20,0, .x y x y y ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他 11.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y 求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y(x |y ).题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞−∞=∫1d 2,01,0,.xxy x x −⎧=<<⎪=⎨⎪⎩∫其他 111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y −+∞−∞⎧=+−<<⎪⎪⎪===−≤<⎨⎪⎪⎪⎩∫∫∫其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1,1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪−⎪⎪==−<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X ,最大的号码为Y .(1) 求X 与Y 的联合概率分布; (2) X 与Y 是否相互独立? 【解】(1) X 与Y 的联合分布律如下表(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===×=≠===i 故X 与Y 不独立 (1)求关于X 和关于Y 的边缘分布; (2) X 与Y 是否相互独立?(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===×i 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立. 14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为f Y (y )=⎪⎩⎪⎨⎧>−.,0,0,212/其他y y e(1)求X 和Y 的联合概率密度;(2) 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求a 有实根的概率.【解】(1) 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y −⎧>⎪==⎨⎪⎩其他. 故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y −⎧<<>⎪=⎨⎪⎩i 独立其他题14图(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y Δ=−≥故 X 2≥Y ,从而方程有实根的概率为:22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=∫∫21/2001d e d 21(1)(0)]0.1445.x y x y−==Φ−Φ=∫∫15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X 和Y 相互独立,且服从同一分布,其概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ (1) 当z ≤0时,()0Z F z =(2) 当0<z <1时,(这时当x =1000时,y =1000z)(如图a ) 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==∫∫∫∫ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠∫题15图(3) 当z ≥1时,(这时当y =103时,x =103z )(如图b ) 3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y x x y x y +∞≥==∫∫∫∫336231010101=d 12y y zy z +∞⎛⎞−=−⎜⎟⎝⎠∫即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧−≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160,202)分布.随机地选取4 只,求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4),则X i ~N (160,202), 从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥i 之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥i 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =−<−<−<−<i i i44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡−⎤⎛⎞=−<=−Φ⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦=−Φ== 17.设X ,Y 是相互独立的随机变量,其分布律分别为P {X =k }=p (k ),k =0,1,2,…, P {Y =r }=q (r ),r =0,1,2,….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=−ik k i q k p 0)()(,i =0,1,2,….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数,所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====−==∪∪ ∪ 于是0{}{,},ik P Z i P X k Y i k X Y =====−∑相互独立{}{}ik P X k P Y i k ===−∑i()()ik p k q i k ==−∑18.设X ,Y 是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n ,p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ,p 的二项分布.【证明】方法一:X +Y 可能取值为0,1,2,…,2n .0{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====−∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii kk n ki k n k P X i P Y k i n n p q p qi k i n n p qi k i n p q k =−−−+=−=−===−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑∑∑i方法二:设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…,μn ′均服从两点分布(参数为p ),则 X =μ1+μ2+…+μn ,Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以,X +Y 服从参数为(2n ,p )的二项分布.(2) 求V =max (X ,Y )的分布律; (3) 求U =min (X ,Y )的分布律; (4) 求W =X +Y 的分布律. 【解】(1){2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ (2){}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤=10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i −=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为V =max (X ,Y ) 0 1 2 3 4 5 P 00.04 0.16 0.28 0.24 0.28(3) {}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k ik i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑ 0,1,2,3,i =于是U =min (X ,Y ) 0 1 2 3 P0.28 0.30 0.25 0.17(4)类似上述过程,有W =X +Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.0520.雷达的圆形屏幕半径为R ,设目标出现点(X ,Y )在屏幕上服从均匀分布. (1) 求P {Y >0|Y>X };(2) 设M =max{X ,Y },求P {M >0}.题20图【解】因(X ,Y )的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他 (1){0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=∫∫∫∫π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r rR r r R θθ=∫∫∫∫3/83;1/24==(2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=−≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=−≤≤=−=−=∫∫21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0,x =1,x=e 2所围成,二维随机变量(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布,求(X ,Y )关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少?题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===∫(X ,Y )的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他(X ,Y )关于X 的边缘密度函数为1/2011d 1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩∫其他 所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X ,Y )联合分布律及关于X 和x 2 1/8P {Y =y j }=p j 1/6 1【解】因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===−= 而X 与Y 独立,故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====i ,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =×==== 即:1111{}/.2464P X x ===又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y ===同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1jj P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==−−=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====−===−=故23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (0<p <1),且中途下车与否相互独立,以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率;(2)二维随机变量(X ,Y )的概率分布.【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n p p m n n −===−≤≤= .(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======ie C (1),,0,1,2,.!mm n mnnp p n m n n n λλ−−=−≤≤=i 24.设随机变量X 和Y 独立,其中X 的概率分布为X ~⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛7.03.021,而Y 的概率密度为f (y ),求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F (y )是Y 的分布函数,则由全概率公式,知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤−=+≤−=由于X 和Y 独立,可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤−+≤−0.3(1)0.7(2).F u F u =−+−由此,得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u ′′′==−+−0.3(1)0.7(2).f u f u =−+−25. 设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求P {max{X ,Y }≤1}.解:因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩因为X ,Y 相互独立,所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为其中a ,b ,c 为常数,且X 的数学期望E (X )= −0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5,记Z =X +Y .求: (1) a ,b ,c 的值; (2) Z 的概率分布; (3) P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知,a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =−,可得0.1a c −+=−.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ,b ,c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为−2,−1,0,1,2,{2}{1,1}0.2P Z P X Y =−==−=−=,{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =−==−=+==−=,{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===−=+==+==−=,{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===,{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====,即Z 的概率分布为Z −2 −1 0 1 2 P0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.。

概率论与数理统计第三__课后习题答案

概率论与数理统计第三__课后习题答案

习题一:写出下列随机试验的样本空间:(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解:连续5 次都命中,至少要投5次以上,故}{Λ,7,6,51=Ω; (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解:}{12,11,4,3,22Λ=Ω; (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解:医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以}{Λ,2,1,03=Ω;(4) 从编号为1,2,3,4,5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解:属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故: ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格;解:用0 表示合格, 1 表示不合格,则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω;(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解:用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故: ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ωπ;(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解:}{207ππx x =Ω;(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解:()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ;(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ;(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃; (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃;(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃; (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃; (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃;(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ; 注意:此类题目答案一般不唯一,有不同的表示方式。

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概率论与数理统计 练习题3答案
题目部分,(卷面共有22题,100分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(10小题,共30分)
1、设袋中有6个球,其中有2个红球,4个白球,随机地等可能地作无放回抽样,连续抽两次,则使P A ()
1
3
成立的事件A 是( )。

A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球
C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球
D 、 第一次抽得白球,第二次抽得红球, 答案:B
2、一批产品的废品率为0.01,从中随机抽取10件,则10件中废品数是2件的概率为:( )。

A 、2
2
10(0.01)C
C 、282
10(0.01)(0.99)C
B 、8
2
8
10(0.01)(0.99)C D 、8
8
2
10(0.01)(0.99)C
答案:C
3、设 的密度函数为2
1
(), (1)
x x
而2 ,则 的密度函数()y =( )。

A 、
21
(1)
y B 、
2
1(1)
4
y
C 、
21
(4)
y
D 、
22
(4)
y
答案:D
4、设 , 相互独立,且都服从相同的01 分布,即
(1)q p
则下列结论正确的是( )。

A 、
B 、2
C 、2
D 、~(2,)B p
答案:D
5、在下面的命题中,错误的是( )。

A 、若~(0,1)N ,则2
1E B 、若~(1,)B p ,则2
E p C 、若~()P ,则2
2
2E
D 、若 服从区间[,]a b 上的均匀分布,则22
2
3
a a
b b E
答案:C
6、设随机变量,X Y 独立同分布,记, X Y X Y ,则随机变量 与 之间的关系必然是( )。

A 、不独立 B 、独立 C 、相关系数等于0 D 、相关系数不为0
答案:C
7、设129,,, 独立同分布,i E =1,i D =1,(i =1,2,…9) 则对于任意给定的正数0 有( )。

A 、921111i i P
B 、92111
119i i P
C 、921191i i P
D 、9219
91i i P
答案:
D
8、设X X X n 12, 是来自随机变量X 的样本,1
1n
i i X x n ,则以下结论错误的是( )。

A 、()()E X E X
B 、()
()D X D X n
C 、()()
D X D X
D 、X 是()
E X 的无偏估计量
答案:C
9、设某种零件的寿命2
~(,)Y N ,其中 和2
均未知。

现随机抽取4只,测得寿命(单
位小时)为1502,1453,1367,1650,则用矩法估计可求得ˆ
=__________,2
ˆ =___________。

答案:1493,14069
10、在统计假设的显著性检验中,下列说法错误的是( )。

A 、拒绝域和接收域的确定与显著性水平 有关
B 、拒绝域和接收域的确定与所构造的随机变量的分布有关
C 、拒绝域和接收域随样本观测的不同而改变
D 、拒绝域和接收域是互不相交的 答案:C
二、填空(5小题,共10分)
1、平面上有12个点,其中任意三点都不在一条直线上,这些点可以确定_____________条不同的直线。

答案:66
2、设袋中有两个白球和三个黑球,从袋中依次取出一个球,有放回地连续取两次,则取得二个白球的事件的概率是_____________. 答案:
22
0.1655
3、已知随机变量 的分布函数为 1,
x 0211
, 0224
1,
2x
e F x x x x
,写出其分布密度()x
答案: 1 021
024
0 2x
e x x x x
4、已知( , )的联合分布为
则E ___________E ___________ 答案:0.9, 1.15E E
5、设总体2
~(, )X N ,其中2
已知,若要检验
,需用统计量X U。

若对
单边检验;统计假设为00:H (0 已知);10:H .则拒绝区间为__________,若单边假设为00:H ,10:n H ,则拒绝区间为__________,(给定显著水平为 ,样本均值为X ,样本容量为n ,且可记1 为标准正态分布的n(1) 分位数)。

答案:1, U U 即1U 三、计算(5小题,共40分)
1、盒中有10只外形相同的晶体管,其中有4只次品,6只正品,现从中随机地抽取一只测试,测试后不放回,直到找出4只次品为止,求最后一只次品晶体管在第10次测试时发现的概率。

答案:A 表事件"在第10次测试时发现最后一只次品管子" 基本事件总数为1010!P
A 所包含事件数C 439 !
42
()105
P A
2


{}0.1,{}0.3,{}0.4
P c b P c d P a b ,则
{}P a d =__________。

答案:0.6
3、一袋中有21张卡片,每张卡片上各标有自然数1,2,3,4,…,21中的一个数字,从袋中任取一张卡片,且每张卡片被取到的可能性是相同的,设随机变量
1,0,
取出的卡片上标有偶数取出的卡片上标有奇数
1,0,
取出的卡片上的数字能被3整除
取出的卡片上的数字能不被3整除
试写出( , )的联合概率分布律及关于 和关于 的边缘概率分布律 答案:( , )的联合分布列
关于 的边缘分布列
关于 的边缘分布列
4、设随机变量~(0,1)N ,试求:(1)2
(21)E ;(2)2
(21)D 。

答案:解:
(1)2
2
(21)(0)21112E E E
(2)2
2
2
4
3
2
(21)(21)(4241)D E E
2
432
24241x x x x x e dx
2
4
22
21x x
x e
dx
6
注:
22
2
1x x dx
,24
2
3x x dx
5、岩石密度的测量误差服从2
(0,0.2)N ,其中均方差0.2是由容量为12的子样估计得到,求 的90%的置信区间.
(注:2
2
2
2
0.950.050.950.05(11)19.68,(11) 4.575,(12)21.03,(12) 5.23) 答案:10.9,
0.05,10.95,1112
2
n
220.950.05(11)19.68(11) 4.575
0.149,0.31
∴ 的90%的置信区间为;(0.149,0.31)
四、应用(2小题,共20分)
1、一批零件中有9个正品与3个废品,安装机器时,从这批零件中任取一个,如果每次取出的废品不再放回而再另取一个零件,直到取得正品时为止,求在取得正品以前已取出废品数 的分布律。

答案:
2、已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数单位均是7300,均方差是700,利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。

答案:设 表示每毫升含白细胞数,
22()7300,()700E D
根据切比雪夫不等式,得
{52009400}{52007300730094007300}
{210073002100}{33}
P P P P E
22
8
319
3P E。

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