圆锥曲线小题 专题训练

圆锥曲线小题训练

一、求离心率的值

1.椭圆C:x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2,过F 2垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为

A. 12

B.32

C.13

D.33

【答案】D

由题意得，2×b 2a =2a －b 2a ，又b 2

a

2=1－e 2即可求得. 2.已知抛物线y 2=8x 与双曲线x 2m －y 2＝1交于A ，B 两点，

且抛物线的准线与x 轴交于点D,点F 为物线的焦点.若△ADF 为等腰直角三角形，则双线的离心率是

A. 2

B. 2

C.1

D.22

【答案】D

3已知双曲线C 1：x 2m + y 2m －10

＝1与双曲线C 2：x 2－y 24=1有相同的渐近线，则双曲线C 1的离心率为

A. 5

B.5

C.54

D.52

【答案】A

4.已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0),点F 为左焦点,点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A,B 两点，且

AB 的中点为M （1，12）,则椭圆的离心率为 A.22 B.12 C. 14 D.32

【答案】A 提示：点差法，中点坐标代入即可求.

5.双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点,I 为△PF 1F 2的内心，PI 交x 轴于Q 点,若｜F 1Q ｜=｜PF 2｜且PI :IQ=2:1,则双曲线的离心率e 的值为 . 【答案】32

提示：三角形内心的性质，PF 1:PF 1=PI :IQ （可用△PF 1I 与△QF 1I 面积比来证明）

6.设双曲线C:x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2,直线x=a 与C 的渐近线的一个交点记为P,若|PF 2|，|PF 1|, |F 1F 2|成等比数列，则C 的离心率为 A.4－ 3 B.2+ 3 C.4－ 5 D.2+5

【答案】D

7.设双曲线C:x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的

夹角为α，且cosα=13，则C 的离心率为 A.52 B.62 C.72 D.2

【答案】B

8.双曲线C:y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点（2，2），则该双曲线离心率为 A.62 B. 2 C. 3 D.3

【答案】C

9.已知双曲线E:x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)焦距为2

c ，圆C 1:(x －c)2+y 2=r 2与圆C 2:x 2+(y －m )2=4r 2

(m ∊R)外切，且E 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则E 的离心率为 A.62 B. 2 C. 5 D.32

【答案】A 提示：m 2+c 2=(3r)2结合点到直线的距离可求.

10.已知点M 在以A ，B 为焦点的椭圆上，点C 为该

椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件，MA

→+MB

→=2MC →，|MA →|=2|MB →|=2|MC →|则该椭圆的离心率为 .

【答案】63 提示：画图可得C 为坐标原点，所以M 的横坐标为c 2，|MB |=|MC |=n=2a 3，|MA |=m =4a 3

，设BC 中点为D ，则△MBD 中cos ∠MBD=c 2n ，在△MAB

中，利用余弦定理可得a ，c 关系，进而求得离心率.

二、求离心率的取值范围

1.已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(b ＞a ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0),若双曲线上存在点P,使的a sin∠PF 1F 2

=c sin∠PF 2F 1

，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 A. (1,2+1) B.(2,+∞)C.( 2 ,2+1) D. (2+1,+∞)

【答案】C

设点P 在双曲线右支非x 轴上.由正弦定理可得|PF 2|sin∠PF 1F 2=|PF 1|sin∠PF 2F 1

为方便运算,设| PF 1 | =m , | PF 2 |=n,则m sin∠PF 1F 2=n sin∠PF 2F 1，所以m n =c a ，又m -n=2a ，所以n=2a 2c -a ，m =2ac c -a

，又sin∠PF 1F 2≠0，所以P 、F 1、F 2不共线，所以m +n ＞2c ，2a 2c -a +2ac c -a

＞2c 而b ＞a ＞0，可解的答案C.

2.已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F,过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于P,Q 两点,点P 在第一象限,点Q 在第四象限，则该双曲线离心率的取值范围为 A. (2,2) B.(1,2) C.(1,3) D.(2,2)

【答案】B

由已知，得－b a ＞-1,即b a ＜1，所以b 2≤c 2即c 2－a 2＜

a 2,故1＜e ＜2.

【怎么解】正确理解题目中给出的条件，将条件“点

P 在第一象限,点，Q 在第四象限”转化为－b a ＞-1.

3.设抛物线M ：x 2=4py (p >0)的焦点为F,其准线与双曲

线N ：x 2a 2－y 2＝1的两个交点分別是A 、B ，若存在抛物线M 使得△FAB 是等边三角形，则双曲线N 的离心率的取值范围是 A. (1,233) B.(233,+∞) C.(72,+∞) D.(1,+∞)

【答案】C

抛物线的焦点坐标为F(p ，0)，准线方程为y=－p ，把y=－p 代入双曲线方程，可得A ，B 的坐标，其绝对