分离变量法的解题步骤总结
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(rv) (A B ln rC )(C D)
rCn ( An sin n Bn cos n) rCn (Cn sin n Dn cos n) n1
球坐标系下的通解
(rv)
n0
n
[ AnmrSn
m0
Bnm r (n1)
S
]Pnm (cos
)
cos
m
n0
n
[Cnm rSn
m0
周期边界条件。
分离变量法的解题步骤总 结
解题步骤
确定求解区域，写出电势所满足的方程（一般 为Laplace方程）和边界条件（包括物理边界 条件和自然边界条件）；
根据边界的形状选取坐标系； 写出通解（其中包含有待定系数）； 把边界条件代入通解中，确定待定系数，从而
得到问题的解； 对问题进行讨论。
二维情况下直角坐标系通解形式
Βιβλιοθήκη Baidu
Dnm r (n1)
S
]Pnm
(cos
) sin
m
如果电势不依赖于方位角，则
(rv)
[ AnrSn
n0
Bn r (n1)
S
]Pn
(cos
)
几种常见的边界条件
导体为等位体；
均柱匀的场轴：心或Er 球 iˆ心z E处0, 若rS没有线E电0z荷或E点0r电S c荷os， 则
电位为有限值；
若电荷分布于有限区域，则无穷远处电位趋近 于零；
x, y Ax BCy D
A1 sin kx x B1 cos kxx C1 sinh ky y D1 cosh ky y A2 sinh kx x B2 cosh kxx C2 sin ky y D2 cos ky y
柱坐标系与z变量无关的二维一般解
rCn ( An sin n Bn cos n) rCn (Cn sin n Dn cos n) n1
球坐标系下的通解
(rv)
n0
n
[ AnmrSn
m0
Bnm r (n1)
S
]Pnm (cos
)
cos
m
n0
n
[Cnm rSn
m0
周期边界条件。
分离变量法的解题步骤总 结
解题步骤
确定求解区域，写出电势所满足的方程（一般 为Laplace方程）和边界条件（包括物理边界 条件和自然边界条件）；
根据边界的形状选取坐标系； 写出通解（其中包含有待定系数）； 把边界条件代入通解中，确定待定系数，从而
得到问题的解； 对问题进行讨论。
二维情况下直角坐标系通解形式
Βιβλιοθήκη Baidu
Dnm r (n1)
S
]Pnm
(cos
) sin
m
如果电势不依赖于方位角，则
(rv)
[ AnrSn
n0
Bn r (n1)
S
]Pn
(cos
)
几种常见的边界条件
导体为等位体；
均柱匀的场轴：心或Er 球 iˆ心z E处0, 若rS没有线E电0z荷或E点0r电S c荷os， 则
电位为有限值；
若电荷分布于有限区域，则无穷远处电位趋近 于零；
x, y Ax BCy D
A1 sin kx x B1 cos kxx C1 sinh ky y D1 cosh ky y A2 sinh kx x B2 cosh kxx C2 sin ky y D2 cos ky y
柱坐标系与z变量无关的二维一般解