分离变量法的解题步骤总结
可分离变量的微分方程的解法
可分离变量的微分方程的解法可分离变量的微分方程是指可以化为关于自变量和因变量的两个单独函数的乘积形式的微分方程。
它是一类比较简单的微分方程，其解法比较直观、简单。
下面将介绍可分离变量的微分方程的解法，并提供相关参考内容。
一、可分离变量的微分方程的解法步骤：1. 将方程两边的各项分离开来，将自变量和因变量的函数分别放在一边。
2. 对两边分离出来的函数同时进行积分。
3. 求得两边的积分表达式后，通过移项可以得到最终的解。
二、可分离变量的微分方程的解法示例：以一阶非齐次线性微分方程为例，即dy/dx + P(x)y = Q(x)。
解法如下：1. 将该方程进行重写，变为dy/y = -P(x)dx + Q(x)dx。
2. 将dy/y与-Q(x)dx + P(x)dx进行分离，得到(dy/y) = (-P(x) + Q(x))dx。
3. 对上式两边同时进行积分，得到ln|y| = -∫P(x)dx + ∫Q(x)dx。
4. 移项，解得y = Ce^(-∫P(x)dx) + e^∫Q(x)dx，其中C为常数。
三、参考内容：1. 数学分析教程（中文版）- 微分方程部分，作者：郭家育，出版社：高等教育出版社。
2. 微分方程导论（中文版），作者：Dennis G. Zill，出版社：高等教育出版社。
3. 微积分与几何（中文版）-微分方程部分，作者：David C. Lay，出版社：人民邮电出版社。
4. 可分离变量的微分方程 - 百度百科。
5. Differential Equations - Paul's Online Math Notes。
通过以上参考内容，可以系统地学习可分离变量的微分方程的解法，并理解其中的原理和基本方法。
同时，还可以通过阅读习题和例题，进行练习和巩固，提高解题能力。
可分离变量微分方程解题步骤
可分离变量微分方程解题步骤
解可分离变量微分方程的步骤如下：
1. 将方程分离变量，使其成为可分离变量的形式。
2. 将方程两边同时乘以分母中的因子，使其成为可积分的方程。
3. 对方程两边进行积分。
4. 解出积分结果，并代入初始条件求出常数项。
5. 写出通解。
需要注意的是，在解可分离变量微分方程的过程中，需要小心处理初始条件和积分常数，以确保最终得到的解能够满足初始条件。
如果得到的解不能很好地满足初始条件，可能需要重新检查解题步骤，或者考虑使用其他方法求解微分方程。
第9讲 分离变量法-电工
注意：分离常数取
k 2或k 2 由齐次边界条件所决定 x0,a 0 or x x0,a 0取 k 2
y 0,b
y 0,b 0 or y
0 取k2
第九讲 分离变量法
二、拉普拉斯方程的通解
1、直角坐标系 方程通解为：
( x, y ) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
0
a
0
a
② 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为
(, ) E0 x C E0 cos C
第九讲 分离变量法
（续上例）通解为
( , ) C0 D0 ln ( An cos n Bn sin n )(Cn n Dn n )
通解为：
( , ) C0 D0 ln ( An cos n Bn sin n )(Cn n Dn n )
n 1
第九讲 分离变量法
二、拉普拉斯方程的通解
3、球坐标系下
1 2 u 1 u 1 2u u 2 r =0 2 sin 2 2 2 r r r r sin r sin
(r a)
( r 1)na 2 n 1r ( n1) Pn (cos ) n 1 n 1 [ n( r 1) 1]d
(r a)
第九讲 分离变量法
作
业
3.21 , 3.23 , 3.26, 3.31
根据② ，得 C C，D 0, 0 0
n 1
An 0
( , ) C E0 cos
A1 D1
分离变量法
∞
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + Bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ Ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝
∞
使得
9
k π a Bk kπ ψ ( x ) = ut ( x , 0) = ∑ sin x l l k =1
∞
kπ ϕ ( x ) = u ( x , 0) = ∑ Ak sin x l k =1
X ( x) = C .
情形（C）
λ >0
其通解为
X ( x) = C1 cos λ x + C2 sin λ x,
由边界条件推出 C2 = 0,
22
再由 X ′(l ) = C1 λ sin λ l = 0 知道为了使 必须
C1 ≠ 0,
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
sin λ l = 0.
λ l = kπ ,
kπ λ = λk = 2 , l
2 2
于是有
(k = 1,2,3," ).
本征值
(k = 1,2 ,3," ).
X k ( x) = Ck sin
kπ x, l
(k = 1,2," )
本征 函数
7
k 2π 2 λ = λk = 2 , l
(k = 1,2 ,3," ) 代入另一个方程可得
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
把变量形式的解代入方程可得
XT ′′ = a 2 X ′′ T
即
T ′′(t ) X ′′( x) = 2 a T (t ) X ( x)
以及
数理方程第二章分离变量法
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
分离变量法的解题步骤总结
n
如果电势不依赖于方位角，则
B n () r [ A r ( ] P ( c o s ) n n 1 ) r n 0 S
n nS
几种常见的边界条件
导体为等位体； ˆ 均匀场： E i E , E zE r c o s z 0 0 0 S
B m n m (r) [A r (n ] P c o s )c o sm n ( 1 ) r n 0m 0 S
n n mS n
D m n m [ C r (n ]P c o s )s inm n ( 1 ) r n 0m 0 S
n n mS
r S
柱的轴心或球心处若没有线电荷或点电荷，则 电位为有限值； 若电荷分布于有限区域，则无穷远处电位趋近 于零； 周期边界条件。
分离变量法的解题步骤总 结
解题步骤
确定求解区域，写出电势所满足的方程（一般 为Laplace方程）和边界条件（包括物理边界 条件和自然边界条件）； 根据边界的形状选取坐标系； 写出通解（其中包含有待定系数）； 把边界条件代入通解中，确定待定系数，从而 得到问题的解； 对问题进行讨论。
二维情况下直角坐标系通解形式
xy , A x BC D y A s i n k x B c o s k x C s i n h ky D c o s h ky 1 x 1 x 1 y 1 y A s i n h k x B c o s h k x C s i n ky D c o s ky 2 x 2 x 2 y 2 y
导数分离变量法知识点
导数分离变量法知识点一、知识概述“导数分离变量法知识点”①基本定义：导数分离变量法就是在解决含有导数的方程或不等式时，把含有变量的式子放在等号或不等号的一边，把不含变量的式子放在另一边，这样可以方便我们进一步分析和求解。
就像是把一群羊和一群牛分开，好分别照顾它们一样。
②重要程度：在数学学科里，尤其是涉及导数的问题中，它是一种非常有用的方法。
很多看似复杂的导数等式或不等式，一用这个方法就条理清晰了，是解决很多导数相关问题的一把“钥匙”。
③前置知识：得先掌握导数的基本概念和求导公式，像幂函数的求导公式(x^n)' = nx^(n - 1)等。
还得了解一些基本的等式和不等式运算规则，不然即便分离了变量，后面也做不了。
④应用价值：在研究函数的单调性、极值、最值等方面有着广泛的应用。
比如在物理学里研究速度随时间的变化规律时可能就会用到，或者经济学里分析成本随产量的变化时也可能涉及。
二、知识体系①知识图谱：在导数这一块知识中，它是属于利用导数解决问题的一个很重要的方法，就像大树上的一个重要树枝。
②关联知识：和求导公式、函数的单调性、函数的极值等知识都有联系。
如果求不出函数的导数，就没办法有效使用分离变量法；而求出的导数也是为了进一步了解函数特性，和函数单调性、极值等相关。
③重难点分析：掌握难度不算特别大，关键是要能准确地把变量分离出来，有时候那些式子看起来乱糟糟的就很棘手。
重难点主要就在准确识别哪些部分是含有变量可以分到一边的，哪些是常数能分到另一边的。
④考点分析：在考试里是比较常考的内容。
可能会单独出一道用分离变量法解导数方程或者不等式的题目，也可能在综合题里涉及。
考查方式就是让你求解变量的取值范围、证明某个不等式什么的。
三、详细讲解【方法技能类】①基本步骤：先把含有导数的等式或者不等式列出来，比如f'(x)+g(x)h(x)=k(x)这种式子（这只是个例子啊）。
然后把含有x这个变量的式子尽可能全地放到一边，假设就是含g(x)h(x)这部分的放到一边，另一边就是k(x)- f'(x)。
微分方程的变量分离法
微分方程是数学中一个重要的研究对象，它描述了物理、经济、生态等领域中许多问题的变化规律。
其中，变量分离法是解微分方程的一个常用方法之一，它通过将微分方程中的变量进行分离，从而使得方程变得更容易求解。
首先，我们来看一个简单的微分方程：dy/dx - y = sin(x)这是一个一阶线性非齐次微分方程。
我们可以将变量分离来求解它。
首先，将dy与dx分离，得到：dy/y = sin(x)dx然后，我们对方程两边进行积分，得到：∫(dy/y) = ∫sin(x)dx左边的积分结果是ln|y|，右边的积分结果是-cos(x)。
所以，原方程的通解可以表示为：ln|y| = -cos(x) + C其中C为常数。
通过这个简单的例子，我们可以看到变量分离法的基本步骤。
首先，将变量分离，然后对两边进行积分。
最后，根据得到的积分结果，得到原方程的通解。
需要注意的是，积分过程中要考虑到不定积分的初值问题，以确定常数C的具体取值。
不过，有时候并不是所有的微分方程都可以直接进行变量分离。
有些微分方程需要通过一定的变换才能分离变量。
接下来，我们来看一个例子：dy/dx = (x^2+y^2)/(xy)这是一个一阶非线性微分方程。
我们可以通过变换的方式将其转化为一个可进行变量分离的形式。
我们令u = y/x，从而有：y = ux将这个变换代入原微分方程中，得到：du/dx = (1+u^2)/u然后，我们将方程两边分离：u(1+u^2)du = dx对两边进行积分，得到：∫[u(1+u^2)]du = ∫dx左边的积分结果是(1/2)(u^2+1)^2，右边的积分结果是x+C。
所以，原方程的通解可以表示为：(1/2)(u^2+1)^2 = x+C将u=y/x代回去，得到：(1/2)((y/x)^2+1)^2 = x+C通过这个例子，我们可以看到变量分离法的灵活性。
有时候，通过适当的变换，我们可以将原微分方程转化为适合变量分离的形式，从而更容易求解。
分离变量法
<<电磁场与电磁波>>读书报告姓 名：学 院： 学 号：专 业：题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩：二〇一四年四月Xxx工程学院电子工程类一．引言分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。
在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。
分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。
而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。
求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。
这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。
这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。
二．内容1.分离变量法的特点：分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。
它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。
我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法.2.推导过程:直角坐标系中的拉普拉斯方程：2222220 x y zϕϕϕ∂∂∂++=∂∂∂我们假设是三个函数的乘积,即(,,)()()()x y z X x Y y Z z ϕ=其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得然后上式同时除以XYZ ，得0X Y Z X Y Z''''''++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：即α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。
由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则当α2<0时，令α=jk x(k x为正实数)，则或当α2>0时，令α=k x ，则或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。
分离变量积分
分离变量积分分离变量积分法是微积分中的一种常见求解方程的方法，它能够将一个复杂的方程转化为两个简单的方程，从而解决问题。
本篇文章中，我们将介绍分离变量积分法的基本原理、应用方法和例题解析，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
一、基本原理对于一般的微分方程dy/dx=f(x)g(y)，如果将y和x的函数分别归到一边，即将所有包含y的项归到一边，所有包含x的项归到另一边，则可得到以下形式：g(y)dy=f(x)dx此时，对两边同时积分，即可得到解析式：这个解析式可以用来求解原微分方程。
其中，左边的积分是y的函数，右边的积分是x的函数，因此，只需要逐一求解这两个简单的积分即可得到原方程的解。
二、应用方法分离变量积分的应用方法主要包括以下几个步骤：3、逐一解出左右积分，并将它们组合在一起，得到原方程的解析式。
4、根据题目所给的初始条件，求出未知的常数，并得到特定的解析式。
需要注意的是，在具体求解过程中，有些微分方程并不容易直接分离变量，这时需要采用一些方法进行处理。
例如，可以采取两边同乘一个函数的方法，将方程转化为可分离变量的形式。
此外，对于某些方程，可能需要进行一定的代数运算和化简，才能得到可分离变量的形式。
三、例题解析以下是一些关于分离变量积分法的例题解析。
例1：解微分方程dy/dx=4xy，y(0)=2。
解题思路：ln|y|=2x^2+C其中C是积分常数。
根据题目所给的初始条件，y(0)=2，代入得到：因此，解析式为：这样就得到了微分方程的通解。
将初始条件y(0)=2代入解析式中，可得到：因此，C=ln2。
最终的特解为：总结：。
分离变量法总结——从理论到实践的偏微分方程定解方法
(7)
a
则称 f (x) 是归一化的. 而若对于函数集合 {fi}, 恒有
b
(fi, fj) ≡ fi∗(x)fj(x)dx = δij,
(8)
a
则称此函数集合是正交归一的. √
Example 18.6 函数集合 einx/ 2π, n = 0, ±1, ±2, · · · 在 [−π, π] 上是正交归一的
b
cα = fα∗(x)f (x)dx = (fα, f ).
(11)
a
6
4. 因为
b
n
2
f (x) − cαi fαi (x) dx
a
i=1
n
=(f, f ) − c∗αi (fαi , f )
i=1
n
n
− cαi (f, fαi ) + |cαi |2
i=1
i=1
n
=(f, f ) − |cαi |2,
存在. Proof 由于
b
f1∗(x)f2(x)dx
a
|f1(x)|2 + |f2(x)|2 − 2|f1(x)| · |f2(x)| = |f1(x)| − |f2(x)| 2 ≥ 0
3
因此 所以, 积分 存在. 于是 也存在.
|f1∗(x)f2(x)| = |f1(x)| · |f2(x)| ≤
正交归一 若对于所有的 i 和 j,
(xi, xj ) = δij
则称矢量组 {x1, x2, · · · } 是正交归一的.
正交归一的矢量一定线性无关. 任何一组线性无关的矢量都可以正交归一化.
Schmidt 正交化 任何一组线性无关的矢量 y1, y2, y3, ...
第三讲分离变量法
0时, X ( x ) C1 cos x C2 sin x
C1 0 C 2 sin l 0
由边界条件
从而
n 2 , n 1,2, l
2 2
特征函数为：
n x X ( x ) C 2 sin , l
n 1,2,
T 的方程
n T a T 0 2 l
取参数
''
''
T X 2 X aT
''
''
X ( x ) X ( x ) 0 ②
''
T a T 0
'' 2
…..…….. ③
利用边界条件
X (0)T ( t ) 0 ④ X ( l )T ( t ) 0
④ 成立 X (0) 0, X ( l ) 0
特点: 方程齐次, 边界齐次.
设 u( x , t ) X ( x )T ( t ) 且u( x , t ) 不恒为零，代入 方程和边界条件中得
XT '' a 2 X ''T 0 ①
由 u( x , t )不恒为零，有：
X ( x ) T (t ) 2 X ( x ) a T (t )
n 1,2,
所以 ( x ), ( x ) 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 将 1 2 l n u0 (0x , t )0 A0 l (B0d t A 0 ) An n 0 ( ) cos d
l l n at n at l n x un ( x , t ) ( An cos Bn sin 2 )lcos n 1 l n 1,2, l l B0 0 0 ( )d Bn l 0 ( ) cos d l n a l 故 n at n at n x u( x , t ) A0 B0 t ( An cos Bn sin ) cos l l l n 1
变量分离方程的解法
变量分离方程的解法变量分离法是一种常用的求解微分方程的方法。
它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶微分方程。
其中，f(x)和g(y)是x和y的函数。
变量分离法的基本思想是将方程两边同时积分，但由于x和y是独立的变量，所以需要将方程分离为x和y两个部分的积分。
在进行分离后，可以分别对两个部分进行积分，得到一个关于x的方程和一个关于y的方程，然后再通过求解这两个方程来得到最终的解。
下面我们将详细介绍变量分离法的具体步骤。
步骤一：将方程进行变形，将所有含有y的项都移到方程的一边，将含有x的项都移到方程的另一边，得到以下形式的方程：g(y)dy =f(x)dx。
步骤二：对上述方程两边同时积分，得到∫g(y)dy = ∫f(x)dx。
这一步需要对两边的积分进行计算，具体计算方法与一般的积分计算相同。
步骤三：计算上述方程的两边的积分。
这一步是将方程中的积分求解出来，得到关于x和y的两个方程。
步骤四：求解得到的两个方程。
这一步是解决所得到的两个方程，得到x和y之间的关系。
下面我们通过一个具体的例子来说明变量分离法的具体步骤。
例子：求解微分方程dy/dx = x/(1+y^2)。
解：步骤一：将方程进行变形，得到(1+y^2)dy = xdx。
步骤二：对上述方程两边同时积分，得到∫(1+y^2)dy = ∫xdx。
计算积分得到y + (1/3)y^3 = (1/2)x^2 + C1，其中C1是积分常数。
步骤三：求解得到的两个方程。
首先，将y+(1/3)y^3=(1/2)x^2+C1转化为y的方程：y+(1/3)y^3=(1/2)x^2+C1、然后，将该方程移项，得到(1/3)y^3+y-(1/2)x^2-C1=0。
这是一个关于y的方程。
其次，将y+(1/3)y^3=(1/2)x^2+C1转化为x的方程：y+(1/3)y^3-(1/2)x^2-C1=0。
然后，将该方程移项，得到(1/2)x^2-y-(1/3)y^3+C1=0。
2.3拉普拉斯方程的解——分离变量法
d2 f d 2g d 2h gh 2 fh 2 fg 2 0 dx dy dz
然后用fgh 除上式，得
f " g " h" 0 f g h
令
f" k x2 f
g" 2 k y g
h" k z2 h
知分离变数间有关系为
2 2 kx ky kz2 0
分离变数 kx 、k y 、 kz 与变量无关，且不可全为实数或虚数。
d 2 f ( x) 2 k x f ( x) 0 2 dx 2 d g ( y) 2 k y g ( y) 0 2 dy d h( z ) 2 k z h( y ) 0 2 dz
这样，将拉普拉斯方程的求解问题分解为三个分别仅与x、 y、z变量有关的常微分方程组的求解，以下以与x有关的微 分方程为例，说明当分离变数取不同值时的特征解。
f ( x) a2e
或
x x
b2e
x x
f ( x) a3 sinh x x b3 cosh x x
e x ex sinh( x) 2
e x ex cosh(x ) 2
e e sin(x ) 2i
ix
ix
e ix e ix cos(x ) 2
2
d 2 f ( x) 2 k x f ( x) 0 的特征解有： 2 dx
当
kx 0 时，则Fra bibliotek2 xf ( x) a0 x b0
f ( x) a1 sin kx x b1 cos kx x
时， 则
当 k 0 时， 则 当
2 x
k 0, kx ix (x 0)
3 分离变量法
根据(3.1.6)得
X (0) A 0 ，
X (l ) B sin l 0 ，
因为要求非零解，所以 sin l 0 ，因而得 l n , 则
n n , (n 1, 2, ) l
(3.1.1a) (3.1.1b) (3.1.1c)
其中 ( x), ( x) 为已知函数. 为求解混合问题的解， 考虑物理中的简谐波， 简谐波 前行遇到固定边界反射回来为同频率的反向波，与原来的波叠加形成驻波，各点 的频率相同， 只是振幅不同. 驻波可表示为 u( x, t ) X ( x)T (t ) ， 只含有自变量 x 的 函数和 t 的函数，即具有可分离变量的形式. 下面试求方程(3.1.1a)的非平凡解， 使它满足齐次边界条件(3.1.1b)，设解为
X 0 ( x) A0 x B0 ,
3 分离变量法
分离变量法是求解常微分方程的一个重要解法 . 对于某些典型区域上的常 系数线性偏微分方程，分离变量法同样是一个非常重要的解法. 通过使用分离变 量法把偏微分方程转化为常微分方程，解出这些常微分方程的解，则得到所要求 的偏微分方程的解 . 本章重点介绍分离变量法及特征函数法的基本思想和具体 步骤. 这里我们所讨论的问题主要是有界区域上的弦振动问题、热传导问题以及 圆域上的拉普拉斯方程问题 . 本章所需要的数学工具是常系数线性常微分方程 理论和傅里叶(Fourier)级数理论相关的知识.
u( x, t ) X ( x)T (t )
将(3.1.2)代入方程(3.1.1a)，两边同除以 a 2 XT ，得到，
T (t ) X ( x) 2 a T (t ) X ( x)
拉普拉斯方程的解——分离变量法
∵
∫ sin
0
b
0 mπy nπy sin dy = b b b / 2
b
n ≠ m b = δ mn sin x （正交归一性） n=m 2
∴
∞ mπy b dy = C n δ mn = C m b / 2 ∑ ∫0 b 2 n =1 b m πy 2 2V b mπ C m = ∫ V sin dy = ⋅ sin y ′dy ′ b 0 b b mπ ∫0 4V （m = 奇数） 2V mπ =[ [ − cos y ′] 0 = mπ mπ （m = 偶数） 0 ∞ 4V 1 mπy − mπx / b sin e ϕ ( x, y ) = ∑ b π m =1,3,5L m
S
∂ϕ 2 ∂n
表面无自由电荷。 V
S
z=l
O y
四．应用实例（习题课）
1． 两无限大平行导体板，相距为 l ，两板间电势差为 V (与 x, y , z 无关)，一板接地，求两板间的电势 ϕ 和 E 解： （1）边界为平面，故应选直角坐标系 下板接地 ϕ
S1
r
x
= 0 ，为参考点
（2）定性分析：由于在 z = l 处， ϕ = V 常数，可考虑 ϕ 与 x, y 无关。 （3） 列出方程并给出解：在 0 < z < l 区域， （ 4） ∇ ϕ = 0
(ϕ (r = a ) ≡ 0) ） 。
选柱坐标系： 对称性分析： ① 导体为圆柱，柱上电荷均匀分布， ϕ 一定与 θ 无关。 ② 柱外无电荷，电力线从面上发出后，不会终止到面上，只能 终止到无穷远，且在导体面上电场只沿 er 方向，可认为 ϕ 与 z 无关，
y r θ o z x
r
第八章 分离变量法
得
b λ 4a
2 4
1 n + π 2 π L = nπ + ,λ = 2 L
2
b2 + 4a4
T n (t ) = c n e u (x , t ) =
a
2 n +1 2 b2 ( π )2 + 2L 4a4
t t
∑
∞
n =1
cne
2 n + 1π 2 b2 + 2L 4a4
第八章 分离变量法
8.1 齐次方程的分离变量法 对线性偏微分方程有一个重要解法—— 分离变量法. 下面我们通过一些实例来介绍此方法. 例1 讨论两端固定的均匀弦的自由振动. 定解问题 : utt -a2uxx =0 ( 0<x<L) u|x=0 =0, u|x=L =0 ( t >0 ) u|t=0 =φ(x),ut|t=0=ψ(x) 解:令 u(x,t )=X(x) T(t) (1) 把(1)式代入原方程得:
对此问题我们 要求的是非平凡解——即u≠0 情况,也就是有振动情况. XT ' ' a 2 X ' 'T = 0 .(2 )
X '' T '' = 2 = λ , X a T X ' ' + λ X = 0 .(3 ) T
''
+ λ a 2 T = 0 .(4 ),
对第一类齐次边界条件
(3 )当 λ
l
l
l
1 1 A0 = ∫ (ξ )dξ , B0 = ∫ψ (ξ )dξ . l0 l0 2 nπξ 2 nπξ An = ∫ (ξ ) cos dξ , Bn = ∫ψ (ξ )cos l dξ .(15) l 0 l nπa 0
2-分离变量法-1
d 2 X ( x) 2 X ( x) 0 2 dx
dX 0 dx
( ) e
a ( 2 2 )
dX H2X 0 x=0， dx
d 2Y ( y ) 2 0<y<b Y ( y) 0 2 dy dY y=b H 4Y 0 y=0， Y 0 dy
x
0 ＜ x ＜ ∞，τ＞0
O
T hT 0 x
x ＝0 ，τ＞0
半无限大物体的导热
T F ( x)
0 ≤x ≤ ∞ ，τ＝ 0
解：1．分离函数
d( ) a 2 ( ) 0 d
T ( x, ) X ( x)( )
d 2 X ( x) 2 X(x) 0 2 dx
( ) e
a 2
特征值问题：
d 2 X ( x) 2 X 0 0 xL 2 dx X x=0 0 x
X HX 0 x
特征函数：
X (m x) B cos(m x)
x=L
超越方程：
tgL H
原导热问题的基本解 ：
Tm X ( m x)( ) B cos( m x)e
2
m 1
L H
2 m
2 2 m H2 2 2
H
cos( m x)e
2
2 am
cos( m x ')F ( x ')dx '
0
L
分离变量法解题步骤：
T ( x, ) X ( x)( ) 1．分离函数 引进n-1个分离常数，获得n个常微分方程； 2．求解分离方程的分离解 求解特征值问题：特征函数，超越方程及范数 3、根据线性叠加原理，由分离解得到导热问 题的完全解
第二章-分离变量法-1
T = F (x )
0 ≤ x ≤L ，τ＝ 0 ＝
解：1．分离函数 ．
假定该问题的解可以分解成空间函数与 时间函数的乘积形式
T ( x,τ ) = X ( x )Γ(τ )
代入微分方程及定界条件，转化为 个常 代入微分方程及定界条件，转化为2个常 微分方程——分离方程 微分方程 分离方程
T ( x,τ ) = X ( x )Γ (τ )
上式所示的解既满足原导热问题的微分方程， 上式所示的解既满足原导热问题的微分方程，又满 足边界条件，但它不一定满足初始条件。因此， 足边界条件，但它不一定满足初始条件。因此，还 需将初始条件应用于上式。 需将初始条件应用于上式。
F ( x) = ∫
∞
β =0
C ( β )[β cos( β x) + H sin( β x)]dβ
数学描述： 数学描述：
h
1
初始时 T=F(x)
1 ∂T ( x,τ ) ∂ 2T ( x,τ ) = a ∂τ ∂x 2
x
0 ＜ x ＜ ∞，τ＞0 ， ＞
O
∂T λ − hT = 0 ∂x ∂x
x ＝0 ，τ＞0 ＞
半无限大物体的导热
T = F (x )
0 ≤x ≤L ，τ＝ 0 ＝
解：1．分离函数 ．
1 d 2 X ( x) 1 d Γ (τ ) = X ( x ) dx 2 a Γ (τ ) d τ
dΓ(τ ) + aβ 2 Γ(τ ) = 0 dτ
1 ∂T ( x,τ ) ∂ 2T ( x,τ ) = a ∂τ ∂x 2
= -β
2
d 2 X ( x) + β 2 X( x) = 0 dx 2
∂X + HX = 0 ∂x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
rCn ( An sin n Bn cos n) rCn (Cn sin n Dn cos n) n1
球坐标系下的通解
(rv)
n0
n
[ AnmrSn
m0
Bnm r (n1)
S
]Pnm (cos
)
cos
m
n0
n
[Cnm rSn
m0
x, y Ax BCy D
A1 sin kx x B1 cos kxx C1 sinh ky y D1 cosh ky y A2 sinh kx x B2 cosh kxx C2 sin ky y D2 cos ky y
柱坐标系与z变量无关的二维一般解
分离变量法的解题步骤总 结
解题步骤
确定求解区域，写出电势所满足的方程（一般 为Laplace方程）和边界条件（包括物理边界 条件和自然边界条件）；
根据边界的形状选取坐标系； 写出通解（其中包含有待定系数）； 把边界条件代入通解中，确定待定系数，从而
得到问题的解； 对问题进行讨论。
二维情况下直角坐标系通解形式
Dnm r (n1)) sin
m
如果电势不依赖于方位角，则
(rv)
[ AnrSn
n0
Bn r (n1)
S
]Pn
(cos
)
几种常见的边界条件
导体为等位体；
均柱匀的场轴：心或Er 球 iˆ心z E处0, 若rS没有线E电0z荷或E点0r电S c荷os， 则
电位为有限值；
若电荷分布于有限区域，则无穷远处电位趋近 于零；
周期边界条件。