尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第8章 成本函数)

尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）

第8章 成本函数 课后习题详解

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1．在一篇著名的论文里（J. Viner ：“Cost Curves and Supply Curves ”.Zeitschrift fur Nationalokonomie 3 （September 1931）：23-46），维纳批评他的绘图员不能画出一组SAC 曲线，并令其与U 形AC 线的切点也分别是每一条SAC 线的最低点。绘图员抗议说这种画法是不可能做出的。在这一辩论中，你将支持哪一方？

答：支持绘图员一方。理由如下：

假如可以按照维纳的意思作出一组短期平均成本线i SAC ，其中1,2,...,i n =，使得它们和U 形的长期平均成本线AC 分别相切于点i x ，而且切点是i SAC 的最低点。如果i x 是AC 线的最低点，那么过该点作i SAC 的切线i l ，它应该是一条水平的直线。同时过i x 点作AC 线的切线i L ，由于i x 不是AC 线的最低点，所以i L 必定不是水平的。可是i SAC 和AC 相切于点i x 却意味着i l 和i L 是同一直线，所以它们有相同的斜率，这样的结果相互矛盾。因此，如果i x 不是AC 线的最低点，那么它必然不是i SAC 的最低点。但是，如果i x 是AC 线的最低点，那么它也是i SAC 的最低点。

2．假定一厂商生产两种不同的产品，数量分别为1q ，2q 。该厂商的总成本为：()12,C q q 。对于每种产品的不同产出水平而言，如果()()()1212,00,,C q C q C q q +>，则该成本函数呈现出范围经济。

（1）解释为什么上述关于成本函数的数学方程意味着一家生产混合产品的厂商比两家仅生产单一产品的厂商成本低。

（2）如果两种产品实际上是相同的，则我们可以定义总产出为12q q q =+。假定此时平均成本（/C q ）随着q 的增加而下降。证明：该厂商此时也享有范围经济。

解：（1）根据范围经济的定义，由一家厂商同时生产1q 和2q 比由两家不同的企业分别生产1q 和2q 成本更低，因为()1,0C q 意味着一家企业仅生产1q ，()2,0C q 意味着另一家企业仅生产2q ，而()12,C q q 则意味着一家企业同时生产1q 和2q 。

（2）令()12120,0q q q q q =+>>。由假设可知：()()1211,/,0/C q q q C q q <，从而有：

()()1121,/0q C q q q C q <， ①

类似的，有：

()()2122,/0,q C q q q C q < ②

加总①、②两式可得：()()()1212,,00,C q q C q C q <+，即该厂商也享有范围经济。

3．史密斯与琼斯教授将出版一本新的初级教科书。作为真正的科学家，他们提供了写作本书的生产函数如下：

1212q S J =

其中q 表示完成本书的页码数，S 为史密斯教授将要花费的工作时间（小时）数，J 为琼斯教授花费的工作小时数。史密斯教授认为其每小时工作价值为3美元，他花费了900小时准备初稿。琼斯教授的每小时工作价值为12美元，并将修改史密斯教授的初稿以完成此书。

（1）琼斯教授必须耗费多少小时，以完成一本具有下列页数的书：150页？300页？450页？

（2）这本成书第150页的边际成本是多少？第300页的边际成本是多少？第450页的边际成本是多少？

解：（1）由于史密斯教授已经花费了900个小时准备初稿，所以生产函数就变为：

1

11/22

2

90030q J J ==

这样本问题就变成了求解下面三个方程：

1/2115030J = 1/2236030J = 1/2345030J =

解得125J =，2144J =，3225J =。即琼斯教授完成150页、300页、450页的书分别需要耗费25小时、144小时、225小时。

（2）生产书的成本函数为：

()2

290031227003075q q c q ⎛⎫

=⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭

相应的边际成本2

75

MC q =

。把150q =、300、450分别代入边际成本的表达式得14MC =，28MC =，312MC =。

4．假定厂商固定要素比例的生产函数为{}min 5,10q K L =。资本与劳动的租金价格分别为1v =，3w =。

（1）计算厂商的长期总成本、长期平均成本与长期边际成本。

（2）假定K 在短期内固定为10，计算厂商的短期总成本、平均成本与边际成本。第10单位的边际成本是多少？第50单位呢？第100单位呢？

解：（1）由生产函数的形式{}min 5,10q K L =可知，两种生产要素是互补的。

厂商的成本最小化问题为：

{}min 5,n 10mi 3K L

s t K L L

K q

..+=，

对于最优的K 和L ，必有510K L q ==成立，从中解得5q K =

，10

q

L =。把这两个式子代入目标函数式中，得到成本函数()0.5LTC q q =，相应的平均成本函数和边际成本函数分别为0.5AC =，0.5M C =。

（2）当10K =时，厂商的生产函数为：

10 0550 5L L q L ≤≤⎧=⎨>⎩

因此厂商的成本函数为（如图8-4所示）：

0.310 050

25 50

q q STC q +≤<⎧=⎨=⎩任意不小于的数

相应的边际成本和平均成本为：

0.3

050 50q SMC q ≤≤⎧=⎨+∞=⎩

0.310 0500.550q

q SAC q +≤≤⎧=⎨=⎩

任意不小于的数

总成本、边际成本和平均成本曲线如图8-4所示。

图8-4 总成本、边际成本和平均成本曲线

5．假定某厂商的生产函数是q =100K =。K 的租金价格为1v =（美元）

，L 的工资率为4w =（美元）。 （1）计算厂商的短期总成本曲线及短期平均成本曲线。

（2）厂商的短期边际成本函数是什么？如果生产25个曲棍球棒，则厂商的SC ，SAC 与SMC 是什么？若生产数量分别为50、100、200时，这些曲线是什么样的？

（3）画出厂商的SAC 与SMC 曲线，标出（2）中所求得的点。

（4）SMC 曲线与SAC 曲线在何处相交？解释为什么SMC 曲线通常交于SAC 线的最低点。