尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第8章 成本函数)

尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）
第8章 成本函数 课后习题详解
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1．在一篇著名的论文里（J. Viner ：“Cost Curves and Supply Curves ”.Zeitschrift fur Nationalokonomie 3 （September 1931）：23-46），维纳批评他的绘图员不能画出一组SAC 曲线，并令其与U 形AC 线的切点也分别是每一条SAC 线的最低点。

绘图员抗议说这种画法是不可能做出的。

在这一辩论中，你将支持哪一方？
答：支持绘图员一方。

理由如下：
假如可以按照维纳的意思作出一组短期平均成本线i SAC ，其中1,2,...,i n =，使得它们和U 形的长期平均成本线AC 分别相切于点i x ，而且切点是i SAC 的最低点。

如果i x 是AC 线的最低点，那么过该点作i SAC 的切线i l ，它应该是一条水平的直线。

同时过i x 点作AC 线的切线i L ，由于i x 不是AC 线的最低点，所以i L 必定不是水平的。

可是i SAC 和AC 相切于点i x 却意味着i l 和i L 是同一直线，所以它们有相同的斜率，这样的结果相互矛盾。

因此，如果i x 不是AC 线的最低点，那么它必然不是i SAC 的最低点。

但是，如果i x 是AC 线的最低点，那么它也是i SAC 的最低点。

2．假定一厂商生产两种不同的产品，数量分别为1q ，2q 。

该厂商的总成本为：()12,C q q 。

对于每种产品的不同产出水平而言，如果()()()1212,00,,C q C q C q q +>，则该成本函数呈现出范围经济。

（1）解释为什么上述关于成本函数的数学方程意味着一家生产混合产品的厂商比两家仅生产单一产品的厂商成本低。

（2）如果两种产品实际上是相同的，则我们可以定义总产出为12q q q =+。

假定此时平均成本（/C q ）随着q 的增加而下降。

证明：该厂商此时也享有范围经济。

解：（1）根据范围经济的定义，由一家厂商同时生产1q 和2q 比由两家不同的企业分别生产1q 和2q 成本更低，因为()1,0C q 意味着一家企业仅生产1q ，()2,0C q 意味着另一家企业仅生产2q ，而()12,C q q 则意味着一家企业同时生产1q 和2q 。

（2）令()12120,0q q q q q =+>>。

由假设可知：()()1211,/,0/C q q q C q q <，从而有：
()()1121,/0q C q q q C q <， ①
类似的，有：
()()2122,/0,q C q q q C q < ②
加总①、②两式可得：()()()1212,,00,C q q C q C q <+，即该厂商也享有范围经济。

3．史密斯与琼斯教授将出版一本新的初级教科书。

作为真正的科学家，他们提供了写作本书的生产函数如下：
1212q S J =
其中q 表示完成本书的页码数，S 为史密斯教授将要花费的工作时间（小时）数，J 为琼斯教授花费的工作小时数。

史密斯教授认为其每小时工作价值为3美元，他花费了900小时准备初稿。

琼斯教授的每小时工作价值为12美元，并将修改史密斯教授的初稿以完成此书。

（1）琼斯教授必须耗费多少小时，以完成一本具有下列页数的书：150页？300页？450页？
（2）这本成书第150页的边际成本是多少？第300页的边际成本是多少？第450页的边际成本是多少？
解：（1）由于史密斯教授已经花费了900个小时准备初稿，所以生产函数就变为：
1
11/22
2
90030q J J ==
这样本问题就变成了求解下面三个方程：
1/2115030J = 1/2236030J = 1/2345030J =
解得125J =，2144J =，3225J =。

即琼斯教授完成150页、300页、450页的书分别需要耗费25小时、144小时、225小时。

（2）生产书的成本函数为：
()2
290031227003075q q c q ⎛⎫
=⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭
相应的边际成本2
75
MC q =。

把150q =、300、450分别代入边际成本的表达式得14MC =，28MC =，312MC =。

4．假定厂商固定要素比例的生产函数为{}min 5,10q K L =。

资本与劳动的租金价格分别为1v =，3w =。

（1）计算厂商的长期总成本、长期平均成本与长期边际成本。

（2）假定K 在短期内固定为10，计算厂商的短期总成本、平均成本与边际成本。

第10单位的边际成本是多少？第50单位呢？第100单位呢？
解：（1）由生产函数的形式{}min 5,10q K L =可知，两种生产要素是互补的。

厂商的成本最小化问题为：
{}min 5,n 10mi 3K L
s t K L L
K q
..+=，
对于最优的K 和L ，必有510K L q ==成立，从中解得5q K =
，10
q
L =。

把这两个式子代入目标函数式中，得到成本函数()0.5LTC q q =，相应的平均成本函数和边际成本函数分别为0.5AC =，0.5M C =。

（2）当10K =时，厂商的生产函数为：
10 0550 5L L q L ≤≤⎧=⎨>⎩
因此厂商的成本函数为（如图8-4所示）：
0.310 050
25 50
q q STC q +≤<⎧=⎨=⎩任意不小于的数
相应的边际成本和平均成本为：
0.3
050 50q SMC q ≤≤⎧=⎨+∞=⎩
0.310 0500.550q
q SAC q +≤≤⎧=⎨=⎩
任意不小于的数
总成本、边际成本和平均成本曲线如图8-4所示。

图8-4 总成本、边际成本和平均成本曲线
5．假定某厂商的生产函数是q =100K =。

K 的租金价格为1v =（美元）
，L 的工资率为4w =（美元）。

（1）计算厂商的短期总成本曲线及短期平均成本曲线。

（2）厂商的短期边际成本函数是什么？如果生产25个曲棍球棒，则厂商的SC ，SAC 与SMC 是什么？若生产数量分别为50、100、200时，这些曲线是什么样的？
（3）画出厂商的SAC 与SMC 曲线，标出（2）中所求得的点。

（4）SMC 曲线与SAC 曲线在何处相交？解释为什么SMC 曲线通常交于SAC 线的最低点。

现假定生产曲棍球棒所用的资本在短期内固定为K 。

（5）计算该厂商的总成本，它是q ，w ，v 和K 的函数。

（6）在给定q ，w ，v 下，资本存量应为多少才能使总成本最小？
（7）利用你在（6）中的结论来计算曲棍球生产的长期总成本。

（8）当4w =（美元），1v =（美元）时，图示曲棍球生产的长期总成本。

利用（1）计算K 分别为100，200，400时的短期总成本曲线，从而验证长期总成本曲线是短期总成本曲线的包络线。

解：（1）短期内，固定投入的数量为100K =，所以厂商的生产函数为：
20q L =所以厂商的短期总成本函数为()2
2100410020100q q STC q ⎛⎫
=+⨯=+ ⎪⎝⎭
，相应的短期平均成本
函数为()100100
q
SAC q q =+。

（2）短期边际成本函数为()50
q
SMC q =
，由此可知，当厂商的产量分别为25个、50个、100个、200个时，短期总成本分别为106.25美元、125美元、200美元、500美元，短期边际成本分别为0.5、1、2、4，短期平均成本分别为4.25美元、2.5美元、2美元、2.5美元。

（3）厂商的短期平均成本曲线SAC 与边际成本曲线SMC 如图8-5所示。

图8-5 短期平均成本和短期边际成本曲线
（4）SMC 与SAC 相交于SAC 曲线的最低处。

当多生产一单位的产品的成本的增加低于平均成本时，平均成本下降；当多生产一单位的产品的成本的增加高于平均成本时，平均成本上升。

并且，在边际报酬递减规律作用下，边际成本曲线呈先下降后上升的U 形。

因此，当多生产一单位的产品的成本等于平均成本时，平均成本最低。

（5）在短期内，当K K =时，q =，从而可以解得：2 /4L q K =。

因而厂商的总成本函数为：
2/4SC vK wL vK K wq =+=+
（6）
22/40SC
v K wq K
∂=-=∂，从而可以解得使总成本最小的资本存量为： 0.50.5 = 0.5K qw v -
（7）由（6）可知，长期总成本为：
0.50.50.50.50.50.50.50.5C vK wL q q qw w v w v v =+=+=
（8）当4w =，1v =时，长期总成本为：2C q =。

当产量为100q =时，短期成本曲线为：()
2100100/100SC K q ==+，长期成本为：200SC =。

当产量为200q =时，短期成本曲线为：()2200200/200SC K q ==+，长期成本为：400SC =。

当产量为400q =时，短期成本曲线为：(
)
2400400/400SC K q ==+，长期成本为：800SC =。

如图8-6所示。

图8-6 短期成本与长期成本曲线
6．一个富有进取心的企业家购买了两个工厂以生产装饰品。

每个工厂生产相同产品而且每个工厂的生产函数都是i i q K L =1,2i =）。

每个工厂在各自拥有的资本存量方面却不同。

工厂1拥有125K =，工厂2拥有2100K =。

K 与L 的租金价格由1w v ==元给出。

（1）如果该企业家试图使短期生产总成本最小，则产出应如何在两个厂间分配？
（2）给定在两个工厂间的最优产量分配，计算短期总成本、平均成本与边际成本曲线。

产量为100、125与200时的边际成本是多少？
（3）在长期，应如何在两个工厂间分配产量？计算长期总成本、平均成本与边际成本曲线。

（4）如果两个厂商呈现规模报酬递减，则（3）将会有什么变化？ 解：（1）短期内，每个工厂的固定投入的数量是确定的，所以它们的生产函数就变为：
1q =
2q =
于是两个工厂各自的短期成本函数为：
()2
1112525
q STC q =+
()22
22100100
q STC q =+ 工厂1边际成本为()1
11225q SMC q =； 工厂2边际成本为()2
2250
q SMC q =。

由等边际法则()()1122SMC q SMC q =，即有：
12
22550
q q =
解得：121
4
q q =，即产量在两个工厂之间分配的比例为1∶4。

设总产量为Q ，则工厂1
产量为15Q ，工厂2产量为4
5
Q 。

（2）把121
4
q q =代入成本最小化问题的预算约束中，解得10.2q q =，20.8q q =，把它们
代入成本最小化问题的目标函数式中就得到了该企业的短期总成本函数：
2121412555125q STC STC q STC q ⎛⎫⎛⎫
=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则短期平均成本函数为：
125125
q
SAC q =
+ 短期边际成本函数为：
2125
q SMC =
所以当100q =时，200
1.6125
SMC ==； 当125q =时，1252
2125
SMC ⨯==； 当200q =时，2200
3.2125
SMC ⨯=
=。

（3）长期内，由于两个工厂的生产函数相同，那么对于每一个单独的工厂而言，其成本最小化问题是：
112
2
min K L
vK wL
s t q K +..=，
利用拉格朗日乘数法解得资本和劳动力的要素需求函数为：
1
2
w K q v ⎛⎫= ⎪⎝⎭
1
2
w L q v -
⎛⎫= ⎪⎝⎭
把要素需求函数代入目标函数式中得到单个工厂的长期成本函数：
()
1/2
22LTC q wv q ==
这样企业的成本最小化问题就是：
12
12
12min q q q q s t q
q q ..++=，
易见，长期内无论在两个工厂之间如何分配产量，都不会影响企业的总成本。

这是由于长期内厂商可以自由调整要素投入量，要素可在各部门之间自由流动，所以企业的长期成本函数为2LTC q =，相应的长期边际成本和长期平均成本分别为2LAC LM C ==。

（4）如果两个工厂的生产技术表现出规模报酬递减，那么厂商的产量分配标准是使得每个工厂生产的最后一单位产品的边际成本相同，即()()1122MC q MC q =。

特别地，由于本题假设两个工厂的生产函数相同，所以最优的产量分配方案是每个工厂生产相同的产量，即：
121
2
q q q ==
7．CES 生产函数可以推广为允许对投入进行加权。

在两投入情形下，这样的生产函数为：
()()(),q f K L aK bL γρ
ρρ
⎡⎤
==+⎣⎦
（1）该函数所对应的总成本函数是什么？（提示：你当然可以重新求解。

更为简便的
方法是利用例8.2的结论，在本生产函数中，一单位资本投入的价格是/v a ，一单位劳动投入的价格是/w b 。

）
（2）如果1γ=，1a b +=，可以证明，当0ρ→时，该生产函数收敛于柯布-道格拉斯生产函数。

对于这种特殊的CES 函数，其相应的总成本函数是什么？
（3）对于两投入生产函数而言，劳动的相对支出份额为/wL vK 。

证明：对于（2）中的柯布-道格拉斯函数而言，此份额是不变的。

劳动的相对支出份额如何受到参数a 和b 的影响？
（4）计算前面介绍的一般的CES 生产函数相应的劳动支出份额。

/w v 的变化将如何影响该份额？替代弹性σ将如何影响该效应的方向？参数a 和b 的大小如何影响该效应的方向？
解：（1）在例8.2中，令K aK '=，L bL '=，从而有：/K K a ='，/L L b ='。

因而生产函数可以变为：
()()(),q f K L K L γ
ρ
ρ
ρ
⎡⎤=''='+'⎣⎦
总成本为：
w v C wL vK L K a b
=+=
'+'
因而可以将资本和劳动投入视为K '，L '，相应的价格为v a 、w b。

利用例8.2中的结论可得，总成本为：
()()1/1111///C q v a w b σ
σσ
γ---⎡⎤
=+⎣⎦
其中，()1/1σρ=-。

（2）当1γ=，1a b +=时，生产函数为：
()()1
,1q f K L a K a L ρ
ρ
ρ
ρ
⎡⎤==+-⎣⎦
因而有：
()()()()()()()()()1
000111222ln 1lim 1exp lim ln 1ln 1exp lim 1ln ln 1 exp 12a K a L a K a L a K aK a L a L a K a L aK a L a a K ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ→→→⎧⎫⎡⎤+-⎪⎪⎣⎦⎡⎤+-=⎨⎬⎣⎦⎪⎪
⎩⎭
⎧⎫+--⎡⎤⎪⎪⎣⎦=⎨⎬⎡⎤+-⎪⎪⎣⎦⎩⎭
⎧⎫+-⎡⎤⎪⎪⎣⎦==-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎩⎭
洛必塔法则 对于柯布-道格拉斯函数而言，其相应的成本函数为：
()(){
}
1/11111
0(1)
lim
//a b a b C q
v a w b qa b v w σ
σσγρσ-----→→→⎡⎤=
+=⎣⎦
即
（3）对于柯布-道格拉斯函数而言，劳动的相对支出份额为：
()()()()//////L K wL vK w v L K MP MP L K b a ===
因而劳动的相对支出份额不变。

但是该相对支出份额受到参数a 与b 的影响，它与a 成反比，与b 成正比。

（4）在一般的CES 函数中，劳动的相对支出份额为：
()()()()()
()
1
///////L K wL vK w v L K MP MP L K v w b a σσ
-===
其中，()1/1σρ=-。

因为0σ>，所以劳动的相对支出份额是/b a 的增函数。

如果1σ>，则劳动的相对支出份额变化的方向与/v w 变化的方向相同；如果1σ<，则劳动的相对支出份额变化的方向与/v w 变化的方向相反。

这与替代性影响相对支出份额的直观相一致。

8．劳动和资本的引致需求的自价格弹性定义为：
,,c c c c c
c
l w
k v
l w k v e e w v l k ∂∂=⋅=⋅∂∂ （1）对例8.2中的成本函数，求,c
l w
e 和,c
k v e 。

（2）证明：一般情况下，有：,,0c
c l
w
l v e e +=。

（3）证明：引致需求函数的交叉价格导数是相等的——即证明c c
l k v w
∂∂=
∂∂。

利用这一结论证明,,c
c l k l
v
k w s e s e =，
其中l s ，k s 分别是总成本中劳动的份额（/wl c ）和资本的份额（/vk c ）。

（4）利用（2）、（3）中的结论证明：,,0c
c l k l
v
k w s e s e +=。

（5）用文字解释这些不同弹性之间的关系，并讨论它们与一般投入需求理论之间的相
关性。

解：（1）对于固定比例情形，因为q 保持不变，所以有：,,0c
c l w
k v e e ==；
对于科布-道格拉斯情形，,/c
l
w
e ααβ=-+，,/c k v e βαβ=-+；
对于CES 情形，根据教材中例8.4可知：
()()()()/1111/11111
,,11 c c l v w q q v w w w q v w w σσγσσσσσ
γσσσ
σσ--------∂=
=⋅+-∂-=+
()()()()
/1111/11111
,,11c c k v w q q v w v v q v w v σσγσσσσσ
σσσ
σσ--------∂=
=⋅+-∂-=+
因此则有：
()()()(),1
11111111111111111c c c
l w
c l w
e w l w q v w w w v w w l
w v v w v w σσ
σσσσσσσσσ
σσσσ
σ
σσσσσσσ-----------------∂=⋅∂⎡⎤=+-++-⋅⎢⎥-⎣⎦⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭
()()()(),1
1111111111111c c c
k v
c k v e v k v q v w v v v w v k
w v w σσ
σσσσσσσγ
σ
σσσσσ--------------∂=⋅∂⎡⎤=+-++-⋅⎢⎥-⎣⎦=-+
（2）由于成本函数关于投入的价格是一次齐次的，所以引致需求函数关于投入价格是
零次齐次的。

利用欧拉定理可得：0c c w
v l w l v +=。

该式两端除以c l 可得：0c c w v c c w v
l l l l
+=，即：
,,0c c l w l v e e +=
（3）利用Young 定理可得：
22c c
l C C k v w v v w w
∂∂∂∂===
∂∂∂∂∂∂
该等式左乘c
c vwl l C
，右乘c c vwk k C 可得：
c c c c
c c vwl l k vwk v w l C k C ∂∂⋅=
∂∂ c c c c
c c l v wl k w vk v C w C
l k ∂∂⋅⋅=⋅⋅
∂∂ 可得：
,,0c c l k l v k w s e s e +=
（4）利用（2）（3）中的结论可得：
,,,,0c c c c l k l v l w l v k w s e e s e e ⋅⋅+⋅⋅=
（5）所有上述结论在经验研究（特别是计量经济模型中）提供了一些重要的检验依据。

0c
c w
v c c w v
l l l l
+=意味着劳动和资本价格的微小变动不会引起劳动要素需求的增加，因为工资率w 的增加导致劳动要素需求增加，而资本价格v 的提高将导致劳动需求增加，这两种
效应恰好抵消，从而使劳动要素需求保持不变。

,,0c c l k l w k w s e s e +=意味着：工资率w 变化所引起的劳动和需求量变化的百分比按其各自
在成本支出中所占比例加权之和为0。

9．假设总成本函数为：
2/31/3C qw v =
（1）利用谢泼德引理计算投入k 和l 的要素需求函数。

（2）利用你在（1）所得的结论计算潜在的生产函数q 。

解：（1）由谢泼德引理可知，劳动和资本的需求为：
1/3
23C v l q w w ∂⎛⎫
== ⎪∂⎝⎭ 2/313C w k q v v ∂⎛⎫== ⎪
∂⎝⎭
（2）从（1）中的方程中消去/w v 可得：()
2/3
1/32/31/3
2/31/3332q l k Bl k ⎛⎫
== ⎪
⎝⎭，从而该生产函
数为柯布—道格拉斯型，其中()2/3
1/3
332B ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭。

10．假设一厂商的总成本函数为：
()
C q v w =+
（1）利用谢泼德引理计算投入k 和l 的要素需求函数。

（2）利用你在（1）所得的结论计算潜在的生产函数q 。

（3）你可以利用例8.2中的结论来验证CES 成本函数在0.5σ=，1ρ=-的情况下将导致此成本函数。

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985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解 解：（1）由谢泼德引理可知，劳动和资本的需求为：
0.5C k Bv q v -∂=
=∂ 0.5C l Bw q w
-∂==∂ 其中，()0.50.5B v w =+。

（2）由（1）可得：
0.5
q v k B
= 0.5
q w l B
= 从而有：1q q k l
+=，或111k l q ---+=。

因而生产函数为：()111kl q k l k l
---=+=+。

（3）当1ρ=-时，()1/10.5σρ=-=。

因而例8.2中的成本函数为：
()()()()
121/111/0.50.5110.51/0.50.5lim 2C q v w q v w q v w v w γσσγσρσγ---→-→⎧⎫=+=+⎨⎬⎩⎭
=++即 当1γ=时，此上述函数即为本题中的成本函数。

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