2020届辽宁省辽南协作校高三第二次模拟数学理科试题(wd无答案)
辽宁省辽南协作校2019-2020学年度下学期高三第二次模拟考试数学理科试卷及其答案
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2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试试题
数学（理科）
第1卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知{}0)1(>-=x x x A ，{}1<=x x B ，则A Y B=（ ）
A ．)1,0(
B ．R
C ．)1(，-∞
D ．),1()1(+∞-∞Y ，
2．已知复数2020i i z +=．则z =（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．2
3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A ．100，40
B ．100，20
C ．200，40
D ．200，20
4设l 是直线，βα，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若α∥l ，β∥l ，则βα∥
B ．若α∥l ，β⊥l ，则βα⊥
C ．若βα⊥，α⊥l ，则β⊥l
D ．若βα⊥，α∥l ，则β⊥l
5．已知a>b ．则条件“c≤0”是条件“bc ac <”的（ ）条件．。
辽宁省辽南协作校2019-2020学年度下学期高三第二次模拟考试数学理科
姓 名： 考生考号：2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试试题数学（理科）时间：120分钟 试卷满分：150分本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知{}0)1(>-=x x x A ，{}1<=x x B ，则A Y B=（ ）A ．)1,0(B ．RC ．)1(，-∞D ．),1()1(+∞-∞Y ，2．已知复数2020i i z +=．则z =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．23．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，40B ．100，20C ．200，40D ．200，204设l 是直线，βα，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若α∥l ，β∥l ，则βα∥B ．若α∥l ，β⊥l ，则βα⊥C ．若βα⊥，α⊥l ，则β⊥lD ．若βα⊥，α∥l ，则β⊥l5．已知a>b ．则条件“c≤0”是条件“bc ac <”的（ ）条件．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为12、30，则输出的a=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．187．某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是（ ）A ．43B ．83C ．74D ．21 8．已知半径为r 的圆M 与x 轴交于E ，F 两点，圆心M 到y 轴的距离为d ．若EF d =，并规定当圆M 与x 轴相切时0=EF ，则圆心M 的轨迹为（ ）A ．直线B ．圆C ． 椭圆D ．抛物线9．已知周期为π的函数)00)(cos()sin(3)(πϕωϕωϕω<<>+-+=，x x x f 是奇函数，把)(x f 的图像向右平移6π个单位得到g （x ）的图像，则g （x ）的一个单调增区间为（ ） A ．)2,2(ππ- B ．)125,12(ππ- C ．)3,6(ππ- D ．)4,4(ππ- 10．已知数列{}n a 满足N n n a a n n ∈=-+,21．则∑=-n i i a a 211=（ ）A ．n n 111--B ．n n 1-C ．n （n -1）D ．n21 11．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．31B ．21C ．22D ．41 12．已知函数f （x ）满足x x xf x f x ln 1)(2)(2+=+'，ee f 1)(=．当x>0时，下列说法： ①e ef =)1( ②)(x f 只有一个零点 ③)(x f 有两个零点 ④)(x f 有一个极大值其中正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答。
2020届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟数学(理)试题(解析版)
2020届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--≤，{}0B x x =>，则A B =I （ ） A ．[1-，2] B ．（1，2] C ．（0，2]D ．（2，+∞）【答案】C【解析】由题意可得{}12A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}()(){}{}22021012A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}(]120020,2A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤=. 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，属于基础题.2．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1D ．1-【答案】D【解析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解. 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．已知10.330.3log 22,2a b c -===，，则a b c 、、的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由题意结合对数函数、指数函数的性质可得01a b c <<<<，即可得解. 【详解】由题意0.30.3log 2log 10a =<=，1030221b -<=<=，0.30221c =>=， 所以01a b c <<<<. 故选：A. 【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于基础题.4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为ˆ12yx a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A ．100万元 B ．101 万元C ．102万元D ．103万元．【答案】C【解析】由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解. 【详解】 由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905y =++++=， 所以12901286a y x =-=-⨯=-，所以ˆ126y x =-， 当9x =时，ˆ1296102y=⨯-=. 故选：C. 【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3644a a a +=+，则9S =（ ） A ．18 B ．24C ．48D ．36【答案】D【解析】由题意结合等差数列的性质可得54a =，再由等差数列前n 项公式结合等差数列的性质可得1995992a a S a +=⨯=，即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 是等差数列，∴365444a a a a a +=+=+，∴54a =，∴199599362a a S a +=⨯==. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg 110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ） A ．10 B ．100C ．1000D ．10000【答案】D【解析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ， 由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D. 【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题. 7．函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为（ ）A ．(2,0),k k Z π∈B ．(,0),k k Z π∈C ．(,0),2k k Z π∈ D ．(,0),4k k Z π∈ 【答案】D【解析】由题意结合正切函数的图象与性质可得2,2k x k Z π=∈，即可得解. 【详解】 令2,2k x k Z π=∈，则,4k x k Z π=∈， 所以函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了正切函数图象与性质的应用，属于基础题.8．已知二项式121(2)n x x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A ．240 B ．120 C ．48 D ．36【答案】A【解析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式3362162r rr r T C x--+=⋅⋅，令3302r -=即可得解. 【详解】由题意264n=，解得6n =，则1162211(2)(2)n x x x x+=+，则二项式1621(2)x x+的展开式的通项公式为6133622166122rrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=即2r =，则6426622240r r C C -⋅=⋅=. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9．已知函数228,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值不可能是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由题意结合基本不等式可得当1x >时，()4f x a ≥+；由二次函数的性质可得1a >，进而可得924a a -≤+，即可得解. 【详解】由题意当1x >时，()44f x x a a a x =++≥=+， 当且仅当2x =时，等号成立；当1x ≤时，()228f x x ax =-+，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为x a =，当1a <时，()f a 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，不合题意； 当1a ≥时，()1f 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，()192f a =-， 由题意可得924a a -≤+，解得53a ≥； 综上，实数a 的取值范围为53a ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC V 是边长为3的正三角形，BCD V 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A． B ．323πC ．12πD ．643π【答案】B【解析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、22331OA m ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得32m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解.【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD V 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ， 过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，Q ABC V 是边长为3，2CD =，∴332AG =，13BD =11O G =，设1OO m =，则33HA m =， ∴222211134OD DO OO m =+=+，22223312OA OH HA m ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 由22OD OA =可得221333142m m ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭，解得32m =， ∴三棱锥A BCD -外接球的半径21324R m =+=， ∴此三棱锥外接球的体积343233V R ππ==. 故选：B.【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.11．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A B ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若2BC =，1FB =，则AB =（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．6【答案】B【解析】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由抛物线的性质可得1BG FB ==，设AF AH x ==，由平面几何的知识即可得解.【详解】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由题意1BG FB ==，2BC =，设AF AH x ==，由三角形相似可得BG BC AHAC=即1212x x=++，解得3x =， 则4AB AF BF =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12．已知2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ）A ．1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， B ．1(,]6-∞ C ．1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭， D ．1(,]4-∞【答案】D【解析】由题意结合导数转化条件得()22xt e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+， 对函数()f x 求导得()()()2221212()2(1)21x x x e x e f x t x x x t x x ⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，Q 2()2(ln )xe f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1， ∴()220xe x t +=-在()0,∞+上无解，即()22xt e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，则()()()()()222222102222x x x e x e e x g x x x +-+'==>++， ∴函数()g x 在[)0,+∞单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()104g x g >=， ∴14a ≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.二、填空题13．己知x ，y 满足约束条件1020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值是______．【答案】2-【解析】由题意作出可行域，转化目标函数为2y x z =-，数形结合即可得解. 【详解】由题意画出可行域，如图阴影所示：令2z x y =-，目标函数可转化为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，数形结合可得，当直线2y x z =-过点A 时，z 取最小值，由010y x y =⎧⎨-+=⎩可得()1,0A -，此时min 2z =-.故答案为：2-. 【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题.14．古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天，4A 纸之所以流行的重要原因之一，2，2的矩形为“优美”矩形．现有一长方体1111ABCD A B C D -，126AD =，25AC =127AC =，则此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为___________． 【答案】4【解析】由题意求出该长方体的长、宽、高后，根据新概念验证即可得解. 【详解】由题意，该长方体如图所示：Q 126AD =，25AC =127AC =∴211222CC C AC A =-=222211114AD AD AD DD CC =-==-，222CD AC AD =-=，∴2AB CD ==，1122CC AA == ∴12AA AB =12AD AA =2AD AB=， ∴此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为4.故答案为：4. 【点睛】本题考查了长方体几何特征的应用及对于新概念的理解，属于基础题.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S a +=+则n S =______． 【答案】()11312n -+ 【解析】由题意利用数列n a 与n S 的关系可转化条件为131n n S S +=-，进而可得111322n n S S +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】Q 121n n S a +=+，11a =，∴111S a ==，11211n n n n S a S S ++=+=-+,∴131n n S S +=-即113133222n n n S S S +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又11122S -=，∴数列12n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列，∴111322n n S --=⋅，∴()11111331222n n n S --=⋅+=+. 故答案为：()11312n -+. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.16．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，1C 的离心率为37，则2C 的离心率是______． 【答案】3【解析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由椭圆的离心率结合题意可得1123PF F F ==，再由双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =， 由题意椭圆1C 的离心率12111122327F F c c e a a PF PF ====+， 又12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，∴1212347F F F F =+，解得1123PF F F ==，∴双曲线2C 的离心率1222212232F F c ce a a PF PF ====-. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.三、解答题17．已知(2cos ,sin ),(cos ,)m x x n x x ==u r r ，且()f x m n =⋅u r r．（1）求()f x 在[0,]2π上的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC V 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若()32A f =，且2a =，4b c +=，求ABC V 的面积．【答案】（1）[0,3]（2【解析】（1）由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得解；（2）由题意可得3A π=，利用余弦定理可得24()3b c bc =+-，求得4bc =后，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】 （1）由题意可得2()2cos cos f x m n x x x=⋅=+u r r1cos 222cos 2212sin 2126x x x x x π+⎛⎫=⨯+=++=++ ⎪⎝⎭ Q 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ∴()f x 的值域为[0,3]；（2）因为32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2sin 136A π⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 因为0A π<<，所以3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-∴24()3b c bc =+-，由4b c +=可得4bc =，1sin 2ABC S bc A ∴==△【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 是BC 的中点．（1）求证：1A B ∥平面1ADC ； （2）求锐二面角1D AC C --的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）155【解析】（1）连结1A C ，设11AC AC M =I ，由平面几何知识可得1//A B MD ，由线面平行的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示出点的坐标后，求得平面1DAC 的一个法向量m u r、平面1ACC 的一个法向量n r，利用cos ,m n m n m n⋅=⋅u r ru r r u r r 即可得解. 【详解】（1）证明：连结1A C ，设11AC AC M =I ，则M 是1A C 的中点，再连结DM ，因为D 是BC 的中点，所以DM 是1A BC V 的中位线，所以1//A B MD ， 又因为1A B ⊄平面1ADC ，DM ⊂平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC ；（2）取AB 的中点O ，过点O 作1//Oz AA ，连结OC ，易知OB 、OC 、Oz 两两垂直，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则有(1,0,0)A -，13,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,0)C ，13,2)C ， 所以33,22AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()13,2AC =u u u ur ，()3,0AC =u u u r ，设平面1DAC 的一个法向量(,,)m x y z =u r，则133022320m AD x y mAC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++=⎩u u u v v u u u u v v ，令1x =，则有(1,3,1)m =u r ， 设平面1ACC 的一个法向量(,,)n a b c =r，则130320m AC a b n AC a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，令1b =-则)3,1,0n =-r ， 所以13(3)(1)1015cos ,52m n m n m n⋅⨯+-⨯-+⨯===⨯⋅u r ru r r u r r ，所以二面角1D AC C --的余弦值为155． 【点睛】本题考查了线面平行的证明及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.19．某工厂计划建设至少3个，至多5个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品A的未来需求．经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品A的月需求量均在50万件及以上，其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5，需求量在100~200万件的频率为0.3，不低于200万件的频率为0.2．用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品A的需求相互独立．（1）求在未来某连续4个月中，本地区至少有2个月对商品A的月需求量低于100万件的概率．（2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品A的需求量x的限制，并有如下关系：若一个车间正常运行，则该车间月净利润为1500万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系：试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品A的月利润为最大．【答案】（1）1116（2）4个【解析】（1）由独立重复实验的概率公式结合题意计算即可得解；（2）按照建设3个车间、4个车间、5个车间讨论，分别求出对应的分布列和期望，比较期望大小即可得解.【详解】（1）由题意每月需求量在50~ 100万件的概率为0.5，则由独立重复实验概率公式可得所求概率22314 2344441111111112222216P C C C⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）（i）当建设3个车间时，由于需求量在50万件以上，此时的净利润Y的分布列为：则()450014500E Y =⨯=（万元）；（ii ）当建设4个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有1个车间闲置，此时的净利润150035004000Y =⨯-=；需求量100x ≥时，则4个车间正常运行，此时的净利润150046000Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则()40000.560000.55000E Y =⨯+⨯=（万元）（iii ）当建设5个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有2个车间闲置，此时的净利润1500350023500Y =⨯-⨯=； 需求量100200x ≤<时，则4个车间正常运行，会有1个车间闲置， 此时1500460015400Y =⨯-⨯=；需求量200x ≥时，则5个车间正常运行，此时的净利润150057500Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则()35000.554000.375000.24870E Y =⨯+⨯+⨯=（万元） 综上所述，要使该工厂商品A 的月利润为最大，应建设4个生产线车间． 【点睛】本题考查了独立重复实验概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题.20．己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点2P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆， （1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =u u u r u u u r，求圆M 半径r 的取值范围．【答案】（1）22:12y C x +=（2）【解析】（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=2221b a c =-=，即可得解；（2）当直线斜率不存在时，r =l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得||GH =由圆的性质可得||AB =||||AB GH =，可得24212132r k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意1c =，122|a PF PF =+=22a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212y x +=；（2）当直线斜率不存在时，圆M 过原点，符合题意，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ， 由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，则2212y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22220k x +-=，>0∆， 则1212220,2x x x x k +==-+，所以||H G ==点M 到直线l 的距离d =，则||AB =， 因为AG BH =u u u r u u u r，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上，只需||||AG BH =即||||AB GH =，所以()2222812421k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则()()2422224242212332*********k k k r k k k k k k +++⎛⎫=+==+ ⎪++++++⎝⎭因为24223132224k k k ⎛⎫++=+-≥ ⎪⎝⎭，所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；综上，r 的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题. 21．已知函数()1ln f x ax x =++． （1）221()()(1)2g x af x x a a x =+-++，求函数()g x 的单调区间： （2）对于任意0x >，不等式()xf x xe ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≤【解析】（1）求导后，按照1a >、1a =、01a <<与0a ≤分类，分别解出不等式()0g x '>，即可得解；（2）转化条件得对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x--≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e x F x x+'=，设2()ln xh x x e x =+，求导后可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=，则()0()F x F x ≥，设()()0x x xe x ϕ>=，求导后可得()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，即可证000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，代入求出()0F x 后，即可得解. 【详解】（1）由题意21()ln (1),(0)2g x a x x a x a x =+-++>， 则2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a g x x a x x x'-++--=+-+==， （i ）当1a >时，()0g x '>的解集为((,1))0,a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,1)和(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ；（ii ）当1a =时，()0g x '≥，则()g x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间； （iii ）当01a <<时，()0g x '>的解集为(0,)(1,)a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间为(,1)a ；（iiii ）当0a ≤时，()0g x '>的解集为(1,)+∞，则()g x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1).（2）由已知，问题等价于对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x--≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e xF x x+'=， 设2()ln xh x x e x =+，则()21()2xh x x x e x'=++， 在(0,)+∞上，()0h x '>，()h x 单调递增，又12110e h e e -⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，(1)0h e =>，所以1(1)0h h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=， 在()00,x 上，()0F x '<，()F x 单调递减； 在()0x +∞上，()0F x '>，()F x 单调递增； 所以()0()F x F x ≥，又有00001ln 20000000111ln ln ln x x x x x e x x e x e ex x x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔⇔， 设()()0xx xex ϕ>=，则有()001lnx x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()(1)0xx x e ϕ'=+>， 所以在(0,) +∞上，()x ϕ单调递增，所以000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，所以()0000000ln 111()1x x e x x F x F x x x --+-≥===， 故实数a 的取值范围为1a ≤. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于难题.22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221162x y +=，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()6πρθ+=若将曲线1C 上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，倍，得曲线2C ． （1）写出直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(1,0)P ， 直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值． 【答案】（10y --=，224x y +=（2【解析】（1）转化直线l的极坐标方程为12sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线l 的直角坐标方程；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y的对应点，由题意得12x xy ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入化简即可得解；（2）写出直线的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，代入2C 的直角坐标方程，由根与系数的关系可得1A B t t +=-，30A B t t =-<，转化条件11PA PB+=即可得解.【详解】 （1）Q 直线l的极坐标方程可化为12sin 2ρθθ⎫-=⎪⎪⎝⎭，∴直线l0y --=；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P xy 的对应点， 则12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，∴()2221162x '⎝⎭+=，化简得()()224x y ''+=， ∴曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=；（2）由题意点(1,0)P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)， 将直线l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得：230t t +-=，112130∆=+=>，则1A B t t +=-，30A B t t =-<，∴11113A BA B A B A B A B t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====⋅⋅. 【点睛】 本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()ln(12)f x x x m =--+-．（1）当2m =时，求函数()y f x =的定义域；（2）己知函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭（2）3m <-【解析】（1）由题意，分类讨论求解不等式|1||2|2x x --+>，即可得解； （2）转化条件得|1||2|m x x <--+恒成立，由绝对值三角不等式求得|1||2|x x --+的最小值即可得解.【详解】（1）当2m =时，由题意可得|1||2|2x x --+>，所以2122x x x <-⎧⎨-++>⎩或21122x x x -≤<⎧⎨--->⎩或1122x x x ≥⎧⎨--->⎩，解得32x <-， 所以函数()y f x =的定义域为3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭；（2）由题意可得|1||2|0x x m --+->恒成立即|1||2|m x x <--+恒成立， 又因为()()()|1||2||2||1||21|3x x x x x x --+=-+--≥-+--=-， 当且仅当1x ≥时，等号成立.所以实数m 的取值范围为3m <-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.。
2020届辽宁省部分重点中学协作体高三模拟数学(理科)试题(解析版)
辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（理科）试卷考试时间：120分钟 考试分数：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}220A x xx =--≤，{}0B x x =>，则A B =I （ ）A. [1-，2]B. （1，2]C. （0，2]D. （2，+∞）【答案】C 【分析】由题意可得{}12A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}()(){}{}22021012A x xx x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}(]120020,2A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤=. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，属于基础题. 2.已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. i - B. iC. 1D.1-【答案】D 【分析】 根据复数z 满足()11zi i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z 满足()11zi i +=-，所以()()()211111i i z i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知10.330.3log 22,2a b c -===，，则a b c 、、的大小关系是（ ）A.a b c <<B. a c b <<C.c a b <<D.b c a <<【答案】A【分析】由题意结合对数函数、指数函数的性质可得01a b c <<<<，即可得解. 【详解】由题意0.30.3log 2log 10a =<=，1030221b -<=<=，0.30221c =>=，所以01a b c <<<<. 故选：A.【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于基础题. 4.已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为ˆ12yx a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A. 100万元 B. 101 万元C. 102万元D. 103万元．【答案】C 【分析】由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解. 【详解】由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905y =++++=， 所以12901286a y x =-=-⨯=-，所以ˆ126yx =-， 当9x =时，ˆ1296102y=⨯-=. 故选：C.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3644a a a +=+，则9S =（ ）A. 18B. 24C. 48D. 36【答案】D 【分析】由题意结合等差数列的性质可得54a =，再由等差数列前n 项公式结合等差数列的性质可得1995992a a S a +=⨯=，即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 是等差数列，∴365444a a a a a +=+=+，∴54a =，∴199599362a a S a +=⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg 110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ） A. 10 B. 100C. 1000D. 10000【答案】D 【分析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg 110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ， 由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D.【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题. 7.函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为（ ） A.(2,0),k k Z π∈ B. (,0),k k Z π∈C. (,0),2k k Z π∈ D. (,0),4k k Z π∈ 【答案】D 【分析】由题意结合正切函数的图象与性质可得2,2k x k Z π=∈，即可得解.【详解】令2,2k x k Z π=∈，则,4k x k Z π=∈， 所以函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正切函数图象与性质的应用，属于基础题. 8.已知二项式121(2)nx x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A .240B. 120C. 48D. 36【答案】A 【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式3362162r rr r T C x--+=⋅⋅，令3302r -=即可得解. 【详解】由题意264n=，解得6n =，则1162211(2)(2)n x x x x+=+，则二项式1621(2)x x +的展开式的通项公式为6133622166122rrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=即2r =，则6426622240r r C C -⋅=⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9.已知函数228,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值不可能是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【分析】由题意结合基本不等式可得当1x >时，()4f x a ≥+；由二次函数的性质可得1a >，进而可得924a a -≤+，即可得解.【详解】由题意当1x >时，()44f x x a a a x =++≥=+， 当且仅当2x =时，等号成立； 当1x ≤时，()228f x x ax =-+，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为x a =，当1a <时，()f a 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，不合题意； 当1a ≥时，()1f 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，()192f a =-，由题意可得924a a -≤+，解得53a ≥； 综上，实数a 的取值范围为53a ≥. 故选：A.【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 10.已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC V 是边长为3的正三角形，BCD V 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）A. B.323πC. 12πD.643π【答案】B 【分析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OHAG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、221OA m ⎫=+-⎪⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得2m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解.【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD V 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ， 过点O 作OHAG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，Q ABC V 是边长为3，2CD =，∴33AG =，13BD =11O G =，设1OO m =，则332HA m =-，∴222211134OD DO OO m =+=+，2222331OA OH HA m ⎫=+=+-⎪⎪⎝⎭， 由22OD OA =可得22133314m m ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，解得32m =， ∴三棱锥A BCD -外接球的半径21324R m =+=， ∴此三棱锥外接球体积343233V R ππ==. 故选：B .【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A B ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若2BC =，1FB =，则AB =（ ）A. 3B. 4C. 6D. 6【答案】B 【分析】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由抛物线的性质可得1BG FB ==，设AF AH x ==，由平面几何的知识即可得解.【详解】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由题意1BG FB ==，2BC =，设AF AH x ==，由三角形相似可得BG BC AH AC =即1212x x=++，解得3x =， 则4AB AF BF =+=.故选：B.【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12.已知2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ）A. 1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， B. 1(,]6-∞C. 1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭，D. 1(,]4-∞【答案】D 【分析】由题意结合导数转化条件得()22x t e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+，对函数()f x 求导得()()()2221212()2(1)21xx x e x e f x t x x x t x x⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，Q 2()2(ln )xe f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1， ∴()220x e x t +=-在()0,∞+上无解，即()22xt ex =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，则()()()()()222222102222x x x e x e e x g x x x +-+'==>++， ∴函数()g x 在[)0,+∞单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()104g x g >=， ∴14a ≤. 故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.己知x ，y 满足约束条件1020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值是______．【答案】2- 【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为2y x z =-，数形结合即可得解.【详解】由题意画出可行域，如图阴影所示：令2z x y =-，目标函数可转化为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，数形结合可得，当直线2y x z =-过点A 时，z 取最小值，由010y x y =⎧⎨-+=⎩可得()1,0A -，此时min 2z =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题.14.古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天，4A 纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近2，我们称这种满足了2的矩形为“优美”矩形．现有一长方体1111ABCD A B C D -，126AD =25AC =127AC =“优美”矩形的个数为___________． 【答案】4 【分析】由题意求出该长方体长、宽、高后，根据新概念验证即可得解.【详解】由题意，该长方体如图所示：Q 126AD =，25AC =127AC =，∴211222CC C AC A =-=，222211114AD AD AD DD CC =-==-，222CD AC AD =-=，∴2AB CD ==，1122CC AA == ∴12AA AB =12AD AA =2AD AB=， ∴此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为4.故答案为：4.【点睛】本题考查了长方体几何特征的应用及对于新概念的理解，属于基础题. 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S a +=+则n S =______．【答案】()11312n -+ 【分析】由题意利用数列n a 与n S 的关系可转化条件为131n n S S +=-，进而可得111322n n S S +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得解.【详解】Q 121n n S a +=+，11a =，∴111S a ==，11211nn n n S a S S ++=+=-+,∴131n n S S +=-即113133222n n n S S S +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又11122S -=，∴数列12n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列，∴111322n n S --=⋅，∴()11111331222n n n S --=⋅+=+. 故答案为：()11312n -+. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.16.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，1C 的离心率为37，则2C 的离心率是______．【答案】3 【分析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由椭圆的离心率结合题意可得1123PF F F ==，再由双曲线的离心率公式即可得解.【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由题意椭圆1C 的离心率12111122327F F c c e a a PF PF ====+， 又12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，∴1212347F F F F =+，解得1123PF F F ==，∴双曲线2C 的离心率1222212232F F c ce a a PF PF ====-. 故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答， （一）必考题：共60分17.已知(2cos ,sin ),(cos ,)m x x n x x ==u r r ，且()f x m n =⋅u r r． （1）求()f x 在[0,]2π上的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC V 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC V 的面积．【答案】（1）[0,3]（2【分析】（1）由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得解； （2）由题意可得3A π=，利用余弦定理可得24()3b c bc =+-，求得4bc =后，利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）由题意可得2()2cos cos f x m n x x x=⋅=+u r r1cos 222cos 2212sin 2126x x x x x π+⎛⎫=⨯+=++=++ ⎪⎝⎭ Q 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ∴()f x 的值域为[0,3]；（2）因为32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 136A π⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0A π<<，所以3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-∴24()3b c bc =+-，由4b c +=可得4bc =，1sin 2ABC S bc A ∴==△【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18.已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 是BC 的中点．（1）求证：1A B ∥平面1ADC ； （2）求锐二面角1D AC C --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）155【分析】（1）连结1A C ，设11AC AC M =I ，由平面几何知识可得1//A B MD ，由线面平行的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示出点的坐标后，求得平面1DAC 的一个法向量m u r 、平面1ACC 的一个法向量n r ，利用cos ,m nm n m n⋅=⋅u r ru r r u r r 即可得解. 【详解】（1）证明：连结1A C ，设11AC AC M =I ，则M 是1A C 的中点，再连结DM ，因为D 是BC 的中点，所以DM 是1A BC V 的中位线，所以1//A B MD ， 又因为1A B ⊄平面1ADC ，DM ⊂平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC ；（2）取AB 的中点O ，过点O 作1//Oz AA ，连结OC ，易知OB 、OC 、Oz 两两垂直，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则有(1,0,0)A -，132D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,0)C ，13,2)C ， 所以33,22AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()13,2AC =u u u ur ，()3,0AC =u u u r ，设平面1DAC 的一个法向量(,,)m x y z =u r，则133022320m AD x y mAC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++=⎩u u u v v u u u u v v ，令1x =，则有(1,3,1)m =-u r ， 设平面1ACC 的一个法向量(,,)n a b c =r，则130320m AC a b n AC a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u u vv ，令1b =-则()3,1,0n =-r ， 所以13(3)(1)1015cos ,52m n m n m n⋅⨯+-⨯-+⨯===⨯⋅u r ru r r u r r ，所以二面角1D AC C --15． 【点睛】本题考查了线面平行的证明及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.19.某工厂计划建设至少3个，至多5个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品A 的未来需求．经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品A 的月需求量均在50万件及以上，其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5，需求量在100~200万件的频率为0.3，不低于200万件的频率为0.2．用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品A 的需求相互独立．（1）求在未来某连续4个月中，本地区至少有2个月对商品A 的月需求量低于100万件的概率．（2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品A 的需求量x 的限制，并有如下关系：若一个车间正常运行，则该车间月净利润为1500万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系：试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品A 的月利润为最大． 【答案】（1）1116（2）4个 【分析】（1）由独立重复实验的概率公式结合题意计算即可得解；（2）按照建设3个车间、4个车间、5个车间讨论，分别求出对应的分布列和期望，比较期望大小即可得解. 【详解】（1）由题意每月需求量在50~ 100万件的概率为0.5，则由独立重复实验概率公式可得所求概率223142344441111111112222216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）（i ）当建设3个车间时，由于需求量在50万件以上，此时的净利润Y 的分布列为：则()450014500E Y =⨯=（万元）；（ii ）当建设4个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有1个车间闲置，此时的净利润150035004000Y =⨯-=；需求量100x ≥时，则4个车间正常运行，此时的净利润150046000Y =⨯=；则Y 的分布列为：则()40000.560000.55000E Y =⨯+⨯=（万元）（iii ）当建设5个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有2个车间闲置，此时的净利润1500350023500Y =⨯-⨯=；需求量100200x ≤<时，则4个车间正常运行，会有1个车间闲置， 此时1500460015400Y =⨯-⨯=；需求量200x ≥时，则5个车间正常运行，此时的净利润150057500Y =⨯=；则Y 的分布列为：则()35000.554000.375000.24870E Y =⨯+⨯+⨯=（万元） 综上所述，要使该工厂商品A 的月利润为最大，应建设4个生产线车间．【点睛】本题考查了独立重复实验概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题.20.己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点2P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆， （1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =u u u r u u u r，求圆M 半径r 的取值范围．【答案】（1）22:12y C x +=（2）【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=2221b a c =-=，即可得解；（2）当直线斜率不存在时，r=l 方程为：y kx =， ()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得||GH =||AB =||||AB GH =，可得24212132r k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ， 由题意1c=，122|a PF PF =+=22a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212y x +=；（2）当直线斜率不存在时，圆M 过原点，符合题意，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ，由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，则2212y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22220k x +-=，>0∆， 则1212220,2x x x x k+==-+，所以||H G ==，点M 到直线l的距离d=，则||AB =，因为AG BH =u u u ru u u r，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上，只需||||AG BH =即||||AB GH =，所以()2222812421k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则()()2422224242212332*********k k k r k k k k k k +++⎛⎫=+==+ ⎪++++++⎝⎭因为24223132224k k k ⎛⎫++=+-≥ ⎪⎝⎭， 所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；综上，r的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题. 21.已知函数()1ln f x ax x =++． （1）221()()(1)2g x af x x a a x =+-++，求函数()g x 的单调区间： （2）对于任意0x >，不等式()xf x xe ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≤ 【分析】（1）求导后，按照1a >、1a =、01a <<与0a ≤分类，分别解出不等式()0g x '>，即可得解；（2）转化条件得对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x --≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x--=，则22ln ()x x e x F x x+'=，设2()ln xh x x e x =+，求导后可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00hx =，即0()0F x '=，则()0()F x F x ≥，设()()0x x xe x ϕ>=，求导后可得()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，即可证000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，代入求出()0F x 后，即可得解.【详解】（1）由题意21()ln (1),(0)2g x a x x a x a x =+-++>， 则2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a g x x a x x x'-++--=+-+==， （i ）当1a >时，()0g x '>的解集为((,1))0,a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,1)和(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ；（ii ）当1a =时，()0g x '≥，则()g x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间；（iii ）当01a <<时，()0g x '>的解集为(0,)(1,)a +∞U ，则()g x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间为(,1)a ；（iiii ）当0a ≤时，()0g x '>的解集为(1,)+∞，则()g x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1).（2）由已知，问题等价于对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x--≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e xF x x+'=， 设2()ln xh x x e x =+，则()21()2x h x xx e x'=++， 在(0,)+∞上，()0h x '>，()h x 单调递增，又12110eh ee -⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，(1)0h e =>，所以1(1)0h h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以01,1x e ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=， 在()00,x 上，()0F x '<，()F x 单调递减；在()0x +∞上，()0F x '>，()F x 单调递增；所以()0()F x Fx ≥，又有00001ln 20000000111ln ln ln x x x x x e x x e x e e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔⇔，设()()0xx xe x ϕ>=，则有()001lnx x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()(1)0xx x e ϕ'=+>， 所以在(0,) +∞上，()x ϕ单调递增，所以000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，所以()0000000ln 111()1x x e x x F x F x x x --+-≥===， 故实数a 的取值范围为1a ≤.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221162x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()6πρθ+=1C 上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的倍，得曲线2C ．（1）写出直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(1,0)P ， 直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值． 【答案】（1）0y -=，224x y +=（2【分析】（1）转化直线l的极坐标方程为12sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线l 的直角坐标方程；设点(),Px y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y的对应点，由题意得12x xy ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入化简即可得解； （2）写出直线的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，代入2C 的直角坐标方程，由根与系数的关系可得1A B t t +=-，30A B t t =-<，转化条件11PA PB+=即可得解.【详解】（1）Q 直线l的极坐标方程可化为12sin 22ρθθ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭，∴直线l的直角坐标方程为0y -=；设点(),Px y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P xy 的对应点，则12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，∴()22221162x ⎛⎫' ⎪'⎝⎭+=，化简得()()224x y ''+=，∴曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=；（2）由题意点(1,0)P 在直线l 上，21则直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)， 将直线l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得：230t t +-=，112130∆=+=>，则1A B t t +=-，30A B t t =-<， ∴1111A B A B A B A B A B t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====⋅⋅. 【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23.已知函数()ln(12)f x x x m =--+-．（1）当2m =时，求函数()y f x =的定义域；（2）己知函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭（2）3m <- 【分析】（1）由题意，分类讨论求解不等式|1||2|2x x --+>，即可得解；（2）转化条件得|1||2|m x x <--+恒成立，由绝对值三角不等式求得|1||2|x x --+的最小值即可得解.【详解】（1）当2m =时，由题意可得|1||2|2x x --+>， 所以2122x x x <-⎧⎨-++>⎩或21122x x x -≤<⎧⎨--->⎩或1122x x x ≥⎧⎨--->⎩，解得32x <-， 所以函数()y f x =的定义域为3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭； （2）由题意可得|1||2|0x x m --+->恒成立即|1||2|m x x <--+恒成立，又因为()()()|1||2||2||1||21|3x x x x x x --+=-+--≥-+--=-，当且仅当1x ≥时，等号成立.所以实数m 的取值范围为3m <-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题。
2020届辽南高三理科数学二模试卷含答案
高三数学理（二模答）—2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试题数学（理科）参考答案选择题：1.C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.C 7.C 8.C 9.B 10.B 11.A 12.D 填空题：13.214.1215.16.6π解答题：17.（1）由已知得：sin A 2=2sin 2A 2因为sin A 2≠0，所以sin A 2=12………………………………（3分）因为A 2∈（0，π2），所以A =π3………………………………（5分）（2）由已知得：ìíî12bc sin A =33b +c =7因为b>c 所以b =4,c =3………………………………（8分）由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A得a =13………………………………（10分）由正弦定理a sin A =b sin B 得sin B ………………………………（12分）18.（1）茎叶图如下甲88635234乙13993…………………………………………（3分）散点图如下：传球成功次数传球成功次数甲乙45403530254540353025场次012345012345场次1高三数学理（二模答）—…………………………………（5分）（2）-x 甲=28+33+36+38+455=36,-x 乙=39+31+43+39+335=37，s 2甲=(28-36)2+(33-36)2+(36-36)2+(38-36)2+(45-36)25=64+9+0+4+815=1585=31.6s 2乙=(39-37)2+(31-37)2+(43-37)2+(39-37)2+(33-37)25=4+36+36+4+165=965=19.2………………………………………………………（9分）（3）选乙比较好，理由如下：由（2）可知，-x 甲<-x 乙，且s 2甲>s 2乙,说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，所以选择乙比较好…………………………………（12分）选甲比较好，理由如下：由（1）和（2）可知，虽然-x 甲<-x 乙,但数值相差不大，且由近期5场比赛的数据分析，甲的传球成功次数一直在稳定增加，而乙则有所波动，说明甲球员的状态和潜力要好一些，所以选择甲比较好.…………………………………（12分）（上述两种答案答出一种即可以给分）19.（1）证明：由题意可知，BC ⊥CD ，AE ⊥BC ，AE ∩CD=E ，AE ⊂平面ADC ，DC ⊂平面ADC ，所以BC ⊥平面ADC ，又AD ⊂平面ADC ，所以BC ⊥AD ，因为AD ⊥AB ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AB ∩BC=B所以AD ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC .……………………………………（4分）（2）过点A 作直线AZ ⊥平面ABD ，以点A 为原点，分别以AB 、AD 、AZ 所在直线为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AD =1，则A （0，0，0），D （0，1，0），B （2，0，0），设点E 的坐标为（a ，b ，c ），则C 的坐标为（2a ，2b -1，2c ）， AE =（a ，b ，c ）， BE =(a -2，b ，c ) AE · BE =a (a -2)+b 2+c 2=-12……①又| DE |2=a 2+(b -1)2+c 2=1……②，| BC |2=(2a -2)2+(2b -1)2+(2c )2=1……③解由①②③构成的方程组可得ìíîïïïïïïïïa =34b =12c =，即点E 的坐标（34，12…………（8分）进而 DE =(34，-12), BD =(-2，1，0)设平面BDC 的一个法向量为 n =（x ，y ，z ），可得ìíî n · DE =0 n · BD =0所以ìíîïï34x -12y +=0-2x +y =0，令x =1，解得y=2，z =，即 n =（1，2，………（10分）A B C D E x yz 2易知，平面ABD的一个法向量m=（0，0，1），cos< n, m>= n· m|n||m|=31×1=14，由图可知，二面角C-BD-A的大小为锐角，二面角C-BD-A的余弦值为14.………………………………（12分）20.（1）定义域（0，+∞）当a=3时，f(x)=e x-ln x-3f′(x)=e x-1x………………………………（1分）f″(x)=e x+1x2>0,(f″(x)为f′(x)的导函数)∴f′(x)单调递增∵f′(12)=e12-2<0，f′(1)=e-1>0，∴∃x0∈(12,1)使f′(x0)=e x0-1x0=0，e x0=1x0，∴x∈(0,x0)时,f′(x)<0,f(x)递减，x∈(x0，+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增所以f(x)min=f(x0)=e x0-ln x0-3=1x0+x0-3又f(x0)在(12,1)递减，f(x0)<f(12)<2+12-3<0………………………………（3分）f(1e3)=e1e3-ln1e3-3=e1e3>0∴在(0,x0)上有且只有一个零点又f(e)=e e-ln e-3=e e-4>22-4=0所以在(x0,+∞)上有且只有一个零点综上，函数f(x)有且仅有两个零点………………………………（6分）（2）由x1,x2是函数f（x）的两个零点知e x1=ln x1+a,e x2=ln x2+a∴e x1+e x2=ln x1+ln x2+2a=ln x1x2+2a要证e x1x2>e x1+e x2+2-2a需证e x1x2>ln x1x2+2a+2-2a令x1x2=t∈(0,+∞)需证e t-ln t-a>2-a（也可去证e t-ln t-2>0证法也与（1）同理）………………………………（9分）令f(t)=e t-ln t-a与（1）同理得f(t)min=e t0-ln t0-3=1t0+t0-a>2-a,t0∈(12,1)∴e t-ln t-a>2-a∴e x1x2>e x1+x2+2-2a………………………………（12分）3高三数学理（二模答）—高三数学理（二模答）—21.（1）∵点M 是抛物线C 1：y 2=2px ()p >0的准线与x 轴的交点，∴M æèçöø÷-p 2,0，又∵C 2()1,0,||MC 2=3||OM ，∴1+p 2=3×p 2，∴p =1.∴抛物线C 1的标准方程为y 2=2x .………………………………（4分）（2）设P ()x 0,y 0,A ()0,b ,B ()0,c ，则bc <0，x 0>0.直线PA 的方程为()y 0-b x -x 0y +bx 0=0，直线PB 的方程为()y 0-c x -x 0y +cx 0=0.∵△APB 的内切圆为圆C 2：()x -12+y 2=1，∴||()y 0-b ×1+bx 0()y 0-b 2+x 02=1,||()y 0-c ×1+cx 0()y 0-c 2+x 02=1，整理得()x 0-2b 2+2y 0b -x 0=0,()x 0-2c 2+2y 0c -x 0=0.∴b,c 是方程()x 0-2x 2+2y 0x -x 0=0的两根，该方程判别式Δ=4x 20>0.∴b +c =-2y 0x 0-2,bc =-x 0x 0-2.………………………………（6分）∵bc <0,x 0>0,∴x 0>2，∴()b -c 2=()b +c 2-4bc =æèçöø÷-2y 0x 0-22-4æèçöø÷-x 0x 0-2=4x 02+4y 02-8x 0()x 0-22.∵y 02=2x 0,∴()b -c 2=4x 02()x 0-22,∴||b -c =||||||2x 0x 0-2=2x 0x 0-2.所以△APB 的面积S =12||b -c x 0=x 02x 0-2.………………………………（10分）令t =x 0-2,∴x 0=t +2,t >0，∴S =()t +22t =t +4t +4≥+4=8，当且仅当t =4t ,t =2时，等号成立，此时x 0=4.所以△APB 面积的最小值为8.………………………………（12分）22.（1）由题意可得|a|=1，故l 的参数方程为{x =4t +1y =3t -1（t 为参数），圆C 的参数方程为{x =1+cos θy =-2+sin θ（θ为参数），消去参数t ，得l 的普通方程为3x -4y -7=0，消去参数θ，得C 的普通方程为(x -1)2+(y +2)2=1.………………………………（5分）4高三数学理（二模答）—（2）l ′的方程为y =34(x +m )-74，即3x -4y +3m -7=0，因为圆C 上只有一个点到l ′的距离为1，圆C 的半径为1，所以C (1,-2)到l ′的距离为2，即|3+8+3m -7|5=2，解得m =2（m =-143<0舍去）.………………………（10分）23.（1）当a =1时，f ()x =||x -1+||x -4=ìíîïï5-2x ,x ≤13,1<x <42x -5,x ≥4，当x ≤1时，f ()x <x ，无解；当1<x <4时，f ()x <x 可得3<x <4；当x ≥4时，f ()x <x 可得4≤x <5；故不等式f ()x <x 的解集为()3,5．………………………………（5分）（2）∵f ()x =||x -a +||x -4≥||()x -a -()x -4=||a -4，∴||a -4≥4a -1=4-a a ．当a <0或a ≥4时，不等式显然成立；当0<a <4时，1a≤1，则1≤a <4．故a 的取值范围为()-∞,0⋃[)1,+∞．………………………………（10分）5。
【精准解析】辽宁省辽南协作校2020届高三第二次模拟数学(理)试题
B. R
C. (,1)
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合 A，再求并集即可.
【详解】 A x x(1 x) 0 x 0 x 1 ，故 A B (,1) .
故选：C. 【点睛】本题考查并集的求法，属于基础题.
2.已知复数 z i i2020 .则| z | ( )
A. 2
故选：C． 【点睛】本题考查算法案例，解题时只要模拟程序运行，判断变量值变化，判断循环条件， 得出结论． 7.某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是( )
3
A.
4
B. 3 8
4
C.
7
D. 1 2
【答案】C 【解析】 【分析】 利用列举法确定基本事件的总数，再得出至少有两个孩子是女孩所包含的基本事件，最后利 用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，某家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩， 基本事件有：（男男女），（男女男），（女男男），（男女女），（女男女），（女女男），（女女女）， 共有 7 个， 其中至少有两个孩子是女孩包含的基本事件有： （男女女），（女男女），（女女男），（女女女），共有 4 个，
10000 由图乙可知，高中生近视率为 50% ， ∴抽取的高中生近视人数为 40 50% 20 （人）. 故选：D..
【点睛】本题主要考查的是统计图及分层抽样的应用，解答本题的关键是能从图中获取关键
信息，接下来结合已知中的数据进行解答即可，属于常考题.
4.设 l 是直线， ， 是两个不同的平面( )
理利用圆的弦长公式列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
9.已知周期为 的函数 f (x) 3 sin(x ) cos(x )( 0, 0 π) 是奇函数，把
2020届辽宁省部分重点中学协作体高三下学期高考模拟考试数学(理)试题(带答案)
辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（理科）试卷考试时间： 120 分钟f 考试分数： 150 分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题，1—12题， 共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，13-23题，共90分）。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
作答时，将答案写在答题卡，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}022≤--=x x x A ，{}0>=x x B ，则A ∩B=（ ）A ． [-1，2]B ．（1，2]C ．（0，2]D ．（2，+∞） 2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(，i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．1- C ．1 D ．i 3．已知3.0313.02,22log ===-c b a ，，则c b a 、、的大小关系是（ ）A ． a<b<cB ，a<c<bC ． c<a<bD ． b<c<a 4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为a x y+=12ˆ，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A ．100万元 B ．101 万元 C ．102万元 D ．103万元． 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（ ）A ．18B ． 24C ．48D ．366．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为dB x f )(，则有12101lg10)(-⨯⨯=xx f ，则dB 90的声音与dB 50的声音强度之比为（ ） A ．10 B ．100 C ．1000 D ．10000 7．函数x y 2tan =图象的对称中心坐标为（ ）A ．Z k k ∈),0,2(πB ．Z k k ∈),0,(πC ．Z k k ∈),0,2(π D ．Z k k ∈),0,4(π8．已知二项式nxx )12(21+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A ．240 B ．120 C ．48 D ．369．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+-=1,41,82)(2x a x x x ax x x f ，若)(x f 的最小值为)1(f ，则实数a 的值不可能是（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．410．已知三棱锥A —BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A ．π34 B ．332π C ．π12 D ．364π11．已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若|BC|=2，|FB|=1，则|AB|=（ ）A ．3B ．4C ．6D ．612．已知)2(ln 2)(xx x t x e x f x ++-=恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞6]41(e Y ， B ．]61,(-∞ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧6]410[e Y ， D ．]41,(-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知x ， y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+-0201y y x y x ，则y x -2的最小值是 .14．古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在1:2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天， A4纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近1:2，我们称这种满足了1:2的矩形为“优美”矩形。
2020年辽宁大连高三二模理科数学试卷-学生用卷
2020年辽宁大连高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第1题5分2007年高考真题全国卷I理科第2题5分设a是实数，且a1+i +1+i2是实数，则a=（）．A. 12B. 1 C. 32D. 22、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第2题5分设集合M={x||x|⩾3，x∈R}，N={y|y=x2，x∈M}，则M∩N=（）．A. MB. NC. 空集D. R3、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第3题5分2017~2018学年6月广东深圳盐田区盐田高级中学高一下学期月考理科第9题5分已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ⩽π2)，且此函数的图象如图所示，则点P(ω,φ)的坐标是（）．A. (2,π2)B. (2,π4)C. (4,π2)D. (4,π4)4、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第4题5分设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且f(1)>1，f(2)=2m−3m+1，则m的取值范围是（）．A. m<23且m≠−1B. m<23C. −1<m<23D. m<−1或m>235、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第5题5分2007年高考真题全国卷I理科第10题5分(x2−1x )n的展开式中，常数项为15，则n=（）．A. 3B. 4C. 5D. 66、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第6题5分2017年江西新余高三二模理科第7题5分在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+2−a n=1+(−1)n(n∈N+)，则S100=（）．A. 0B. 1300C. 2600D. 26027、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第7题5分2017~2018学年陕西西安未央区西安中学高二下学期期末理科平行班第10题5分2017年四川成都双流区双流中学高三一模理科第8题5分如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=√x围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）．A. 12B. 14C. 13D. 168、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第8题5分已知点A(3,√3)，O是坐标原点，点P(x,y)的坐标满足{√3x−y⩽0x−√3y+2⩾0y⩾0，设z为OA→在OP→上的投影，则z的取值范围是（）．A. [−√3,√3]B. [−3,3]C. [−√3,3]D. [−3,√3]9、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第9题5分如图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、⋯、A m[如A2表示身高(单位：cm)在[150,155]内的学生人数]．图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160∼180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）．A. i <9B. i <8C. i <7D. i <610、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第10题5分直线√2ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交于A 、B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为（ ）．A. 0B. √2C. √2−1D. √2+111、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第11题5分|OA →|=1，|OB →|=√3，OA →⋅OB →=0 ，点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC →=mOA →+nOB →(m,n ∈R)，则m n 等于（ ）．A. 13B. 3C. √33D. √312、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第12题5分2019~2020学年安徽合肥蜀山区合肥一六八中学高二上学期期末理科第10题5分抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB =120°，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为M 1，则|MM 1||AB|的最大值为（ ）．A. 4√33B. √3C. 2√33D. √33二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第13题5分甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有 种．（用数字作答）14、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第14题5分2012年北京房山区高三期末已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 cm 3．15、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第15题5分已知a n=log n+1(n+2)(n∈N+)，我们把使乘积a1⋅a2⋅a3⋅⋯⋅a n为整数的数n叫做“劣数”，则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为．16、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第16题5分某学生对函数f(x)=xsinx进行研究后，得出如下四个结论：①函数f(x)在[−π2,π2]上单调递增；②存在常数M>0，使|f(x)|⩽M|x|对一切实数x都成立；③函数f(x)在(0,π)上无最小值，但一定有最大值；④点(π,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心，其中正确的是．（填序号）三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第17题12分如图，在△ABC中，B=π4，AC=2√5，cosC=2√55．(1) 求sinA．(2) 记BC的中点为D，求中线AD的长．18、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第18题12分某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为15，路段CD发生堵车事件的概率为18）．(1) 请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小．(2) 若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E(ξ)．19、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第19题12分在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E（图1），沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC（图2）．(1) 若F是AB的中点，求证：CF//平面ADE．(2) P是AC上任意一点，求证：平面ACD⊥平面PBE．(3) P是AC上一点，且AC⊥平面PBE，求二面角P−BE−C的大小．20、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第20题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．(1) 求直线ON（O为坐标原点）的斜率K ON．(2) 对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角θ(θ∈R)使等式：OM→=cosθOA→+sinθOB→成立．21、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第21题12分已知函数f(x)=ax+lnx，a∈R．(1) 求函数f(x)的极值．(2) 对于曲线上的不同两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如果存在曲线上的点Q(x0,y0)，且x1<x0<x2使得曲线在点Q处的切线l//P1P2，则称l为弦P1P2的伴随直线，特别地，当x0=λx1+(1−λ)x2(0<λ<1)时，又称l为P1P2的λ−伴随直线．① 求证：曲线y =f (x )的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的．② 是否存在曲线C ，使得曲线C 的任意一条弦均有12−伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第22题10分已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是{x =√22t +m y =√22t（t 是参数）． (1) 将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程．(2) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB|=√14，试求实数m 的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第23题10分已知不等式|x −a |<b 的解集是{x |−1<x <5}．(1) 求实数a ，b 的值．(2) 解不等式|a +b |+|a −b |⩾|a |(|x −1|+|x −2|)．1 、【答案】 B;2 、【答案】 B;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】72;;14 、【答案】4315 、【答案】2026;16 、【答案】②③;17 、【答案】 (1) 3√10．10;(2) √5．;18 、【答案】 (1) 路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．;(2) 37．60;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;(3) 45°．;20 、【答案】 (1) −1．3;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) 当a⩾0时，f(x)没有极值；)，没有极小值．当a<0时，f(x)的极大值为−1+ln(−1a;(2)①证明见解析．②存在，证明见解析．;22 、【答案】 (1) (x−2)2+y2=4，y=x−m．;(2) m=1或m=3．;23 、【答案】 (1) a=2，b=3．;(2) {x|0⩽x⩽3}．;。
辽宁省辽南协作校高2020届高2017级高三第二次模拟理科数学试题及参考答案解析
2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试试题理科数学试题第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知{}(1)0A x x x =->,{}|1B x x =<,则A B =( )A.(0,1)B.RC.(,1)-∞D.(,1)(1,)-∞⋃+∞【参考答案】：C先求出集合A ,再求并集即可.【详细解答】{}{}(1)001A x x x x x =->=<<,故(,1)A B ⋃=-∞. 故选：C.本题考查并集的求法,属于基础题. 2.已知复数2020z i i =+.则||z =( ) 2B.1C.0D.2【参考答案】：A易得20201i =,所以1z i =+,进而根据模长公式计算即可.. 【详细解答】因为2101010102020()(1)1i i ==-=,所以1z i =+,所以|2|z =故选：A .本题考查复数的运算,考查计算能力,属于基础题.3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A.100,40B.100,20C.200,40D.200,20【参考答案】：D首先根据扇形统计图中的数据求出学生总数,接下来结合已知求出样本容量,根据上述所求进一步求出抽取的高中学生人数,然后结合图乙进行解答即可.【详细解答】由图甲可知,学生总数为45003500200010000++=(人), 故抽取的样本容量为100002%200⨯=(人), 其中抽取的高中学生有20002004010000⨯=(人)；由图乙可知,高中生近视率为50%,∴抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=(人). 故选：D ..本题主要考查的是统计图及分层抽样的应用,解答本题的关键是能从图中获取关键信息,接下来结合已知中的数据进行解答即可,属于常考题. 4.设l 是直线,α,β是两个不同的平面( ) A.若//l α,l β//,则//αβ B.若//l α,l β⊥,则αβ⊥ C.若αβ⊥,l α⊥,则l β⊥ D.若αβ⊥,//l α,则l β⊥【参考答案】：B根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详细解答】由l 是直线,α,β是两个不同的平面,可知： A 选项中,若//l α,l β//,则α,β可能平行也可能相交,错误；B 选项中,若//l α,l β⊥,由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥,正确；C 选项中,若αβ⊥,l α⊥,由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂,错误；D 选项中,若αβ⊥,//l α,则l ,β可能平行也可能相交,错误. 故选：B.本题考查了线面、面面间的位置关系的判断,考查了空间思维能力,属于基础题. 5.已知a b >,则条件“0c ≤”是条件“ac bc <”的( )条件. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【参考答案】：B根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详细解答】先判断充分性：若0c ≤,又a b >,当0c时,ac bc <不成立,故充分性不成立；再判断必要性：若ac bc <,又a b >,所以0c <,可得0c ≤,故必要性成立, 所以条件“0c ≤”是条件“ac bc <”的必要不充分条件条件. 故选：B.本题主要充分条件和必要条件的判定,同时考查不等式的性质,属于基础题.6.如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”,执行该算法框图,若输入的a b 、分别为12、30,则输出的a =( )A.2B.4C.6D.18【参考答案】：C模拟程序运行,观察变量值的变化,判断循环条件可得结论.【详细解答】程序运行时变量值变化如下：12,30a b ==；满足a b ,不满足a b >,301218b =-=；满足a b ,不满足a b >,18126b =-=；满足a b ,满足a b >,1266a =-=；不满足ab ,输出6a =.故选：C.本题考查算法案例,解题时只要模拟程序运行,判断变量值变化,判断循环条件,得出结论. 7.某个家庭有三个孩子,已知其中一个孩子是女孩,则至少有两个孩子是女孩的概率是( ) A.34B.38C.47D.12【参考答案】：C利用列举法确定基本事件的总数,再得出至少有两个孩子是女孩所包含的基本事件,最后利用古典概型的概率计算公式,即可求解.【详细解答】由题意,某家庭有三个孩子,已知其中一个孩子是女孩,基本事件有：(男男女),(男女男),(女男男),(男女女),(女男女),(女女男),(女女女),共有7个,其中至少有两个孩子是女孩包含的基本事件有： (男女女),(女男女),(女女男),(女女女),共有4个, 则至少有两个孩子是女孩的概率是47P =. 故选：C .本题主要考查了概率的求法,以及古典概型及概率的计算,其中解答中列用列举法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了运算能力. 8.已知半径为r 的圆M 与x 轴交于,E F 两点,圆心M 到y 轴的距离为d .若d EF =,并规定当圆M 与x 轴相切时0EF =,则圆心M 的轨迹为( )A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线【参考答案】：C设圆心(,)M x y ,利用圆的弦长公式,得出222x r y =-,即可得到圆心M 的轨迹,得到答案.【详细解答】如图所示,设圆心(,)M x y ,则圆心M 到y 轴的距离为d x =, 由圆的弦长公式,可得222222EF r d r y =-=-,因为d EF =,即222x r y =-,整理得22244x y r +=,即222214x y r r+=,即圆心M 的轨迹为椭圆. 故选：C .本题主要考查了轨迹的判定与求解,其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系,合理利用圆的弦长公式列出方程是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.9.已知周期为π的函数()3)cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<是奇函数,把()f x 的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象,则()g x 的一个单调增区间为( ) A.,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【参考答案】：B利用三角函数的恒等变换,化简得到函数()f x 的解析式,再结合三角函数的图象变换,求得()g x 的解析式,结合三角函数的性质,即可求解.【详细解答】由函数())cos()2sin()6f x x x wx πωϕωϕϕ=+-+=+-因为函数()f x 周期为π,且函数()f x 是奇函数, 可得22w ππ==,且06πϕ-=,解得6π=ϕ,即()2sin(2)f x x =, 把()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()2sin(2)3g x x π=-的图象, 令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈,解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈, 令0k =,可得函数()f x 的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：B .本题主要考查了三角恒等变换,以及三角函数的图象变换和正弦型函数的图象与性质的综合应用,其中解答中熟记三角函数的图象变换,以及三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.10.已知数列{}n a 满足12,n n a a n n N +-=∈.则211ni i a a ==-∑( ) A.111n n-- B.1n n - C.(1)n n -D.12n【参考答案】：B首先利用累加法求出()11n a a n n -=-,再利用裂项相消法求和即可； 【详细解答】解：因为12,n n a a n n N +-=∈,所以2121a a -=⨯,3222a a -=⨯,4323a a -=⨯,……,()121n n a a n --=⨯- 所以()()()()()213212122211n n a a a a a a n n n --+-++-=⨯+⨯++⨯-=-所以()11n a a n n -=-所以()21111111223341ni i a a n n==++++-⨯⨯⨯-⨯∑11111111223341n n=-+-+-++-- 11n =-1n n-=故选：B本题考查累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和,属于中档题.11.在直角坐标系xOy 中,F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,,A B 分别为左、右顶点,过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ,Q 两点,连接PB 交y 轴于点E ,连接AE 交PQ 于点M ,若M 是线段PF 的中点,则椭圆C 的离心率为( ) A .2B.12C.13D.14【参考答案】：C由题意结合几何性质找到a ,c 的关系即可确定椭圆的离心率.【详细解答】如图,连接BQ ,则由椭圆的对称性易得∠PBF =∠QBF ,∠EAB =∠EBA ,所以∠EAB =∠QBF ,所以ME //BQ . 因为△PME ∽△PQB ,所以PE PM EB MQ =,因为△PBF ∽△EBO ,所以OF EP OBEB=,从而有PM OF MQOB=,又因为M 是线段PF 的中点,所以13OFPM c e a OB MQ ====. 本题选择C 选项.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法：①求出a ,c ,代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2＝a 2－c 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).12.已知函数()f x 满足21()2()1ln ,()x f x xf x x f e e+=+='.当0x >时,下列说法：①1f e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()f x 只有一个零点；③()f x 有两个零点；④()f x 有一个极大值.其中正确的是( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【参考答案】：D令2()()g x x f x =,求导后结合已知可得()g x x lnx c =+,得到2()x lnx cf x x +=,再由()1f e e=求得0c .可得()lnx f x x=,求出1()f e 的值判断①；再由导数求得极值判断④；由极大值大于0,且当0x +→时,()f x →-∞,当x →+∞时,()0f x →判断函数零点个数,可得②正确；③错误.【详细解答】解：令2()()g x x f x =, 则2()()2()1g x x f x xf x lnx '='+=+, ()g x x lnx c ∴=+, 2()x lnx cf x x +∴=,()21e cf e e e +==,0c ∴=. 2()x lnx lnxf x x x∴==, 则11()1lne f e ee==-,故①错误；21()lnxf x x -∴'=, 当(0,)x e ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数, 当(,)x e ∈+∞时,()0f x '<,()f x 为减函数,()f x ∴的极大值为()10lne f e e e==>,故④正确； 而当0x +→时,()f x →-∞,当x →+∞时,()0f x →,()f x ∴只有一个零点,故②正确；③错误. ∴其中正确的是②④.故选：D.本题考查命题的真假判断与应用,考查利用导数研究函数的单调性,训练了利用导数求函数的最值,属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数()4log (23)a f x x =+-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点P ,且点P 在函数()g x x α=的图象上,则α=______. 【参考答案】：2令对数的真数等于1,求得x 、y 的值,即为定点P 的坐标,再代入函数()g x 的解析式即可求出α的值.【详细解答】解：令231x -=得：2x =,此时()24f =,∴函数()4log (23)(0a f x x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点(2,4),即(2,4)P ,又点P 在函数()g x x α=的图象上,24α∴=,2α∴=,故答案为：2.本题主要考查对数函数的图象经过定点问题,属于基础题.14.已知数列{}n a 为等差数列,125,,?a a a 成公比不为1的等比数列,且94a =,则公差d =_____.【参考答案】：817由等比数列的定义和中项性质,可得公差d 不为0,结合等差数列的通项公式,解方程可得所求d .【详细解答】解：由数列{}n a 为等差数列,1a ,2a ,5a 成公比不为1的等比数列,可得2125a a a =,即2111(4)()a a d a d +=+,且0d ≠,化为12a d =,由94a =,可得184a d +=, 解方程可得1417a =,817d =, 故答案为：817. 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题.15.已知平面向量a 与b 的夹角60︒,且||2,||1a b ==.若平面向量m 满足22m a m b ⋅=⋅=,则||m =______.【参考答案】考虑到平面向量a 与b 的夹角和模长都属于特殊值,不妨采用坐标的方式进行运算,设平面向量(,)m x y =,向量(1,0)b =,则(1,3)a =,然后将其代入等式中,并结合数量积的坐标运算法则,可建立关于x 和y 的方程组,解之可得向量m ,进而可求得其模长. 【详细解答】解：设平面向量(,)m x y =,向量(1,0)b =,则(1,3)a =, 22m a m b ==,∴22x x +==,解得1,x y =,∴2m x =.故答案为：3. 本题考查平面向量数量积运算,采用坐标的方式进行运算可达到事半功倍的效果,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础题.16.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上,PA PB PC ==,ABC 是边长为2的正三角形,E 为PA 中点,BE PB =,则球O 的体积为_______.【参考答案】由题意画出图形,证明三棱锥P ABC -为正三棱锥,且三条侧棱两两互相垂直,再由补形法求外接球球O 的体积.【详细解答】解：如图,由PA PB PC ==,ABC ∆是边长为2的正三角形,可知三棱锥P ABC -为正三棱锥,则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心,取AB 的中点F ,连接BO 并延长,交AC 于G ,则AC BG ⊥,又PO AC ⊥,PO BG O =,BG ⊂平面PBG ,PO ⊂平面PBG ,可得AC ⊥平面PBG ,则PB AC ⊥,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,//EF PB ∴,又5BE PB =,所以222PB PE BE +=即PB PA ⊥,ACPA A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,所以PB ⊥平面PAC ,∴正三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直,把三棱锥补形为正方体,则正方体外接球即为三棱锥的外接球, 其直径,22226R PA PB PC =++=,所以62R =,则球O 的体积为33446633V R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：6π.本题考查多面体外接球体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,考查计算能力,属于中档题. 三、解答题17.已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、,且cos cos 12B CA ++=. (1)求角A 的值. (2)若ABC 面积为33且7()b c b c +=>,求a 及sinB 的值.【参考答案】：(1)3π；(2)13a =,3913.(1)利用三角恒等变换与三角形的内角和公式,即可求得A 的值； (2)由三角形的面积公式和余弦、正弦定理,即可求得a 与sin B 的值. 【详细解答】解：(1)ABC ∆中,coscos 12B CA ++=,所以cos()1cos 22AA π-=-,所以2sin 2sin 22A A = 因为sin02A ≠,所以1sin 22A =因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3A π=(2)由ABC面积为11sin 22S bc A bc ===解得12bc =；又7()b c b c +=>, 所以4b =,3c =；由余弦定理得,22212cos 169243132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,所以a =；由正弦定理得,sin sin a b A B=,解得4sin sin b AB a===.本题考查了三角函数求值运算问题,也考查了解三角形的应用问题,属于中档题.18.数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用,它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯,进而指导人们接下来的行动.某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员,他收集到了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数,如下表：(1)根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数,完成茎叶图(茎表示十位,叶表示个位)；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图； (2)求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差；(3)主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平,同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位球员?并说明理由.【参考答案】：(1见解析；(2)36,37x x ==甲乙,231.6s =甲,219.2s =乙；(3)见解析.(1)根据两名球员近期5场比赛的传球成功次数,将样本数据有条理地列出来即可完成茎叶图,进而画出散点图.(2)利用平均数公式,方差公式即可求解.(3)由(2)可知,x x <甲乙,且22x x >乙甲,说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲,且比较稳定,可知选择乙比较好.【详细解答】解：(1)茎叶图如图散点图如图：(2)2833363845365x ++++==甲,3931433933375x ++++==乙,222222(2836)(3336)(3636)(3836)(4536)649048115831.6555s -+-+-+-+-++++====甲222222(3937)(3137)(4337)(3937)(3337)436364169619.2555s -+-+-+-+-++++====乙(3)选乙比较好,理由如下：由(2)可知,x x <甲乙,且22s s >甲乙,说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲,且比较稳定,所以选择乙比较好.本题考查了茎叶图,平均数,方差,考查了学生的计算能力和数形结合思想,属于基础题. 19.已知矩形,2ABCD AB BC =,E 为DC 中点,将BCD 至BD 折起,连结AC AE BE 、、.(1)当AE BC ⊥时,求证：AD AC ⊥；(2)当12AE BE ⋅=-时,求二面角C BD A --的余弦值. 【参考答案】：(1)证明见解析；(2)14.(1)由线面垂直的判定定理可证BC ⊥平面ADC ,再由线面垂直的性质定理可知BC AD ⊥,进而由线面垂直的判定定理可证AD ⊥平面ABC ,最后由线面垂直的性质定理可证AD AC ⊥；(2)过点A 作直线AZ ⊥平面ABD ,以点A 为原点,分别以AB AD Az 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,设1AD =,E 的坐标为(,,)a b c ,由已知关系构建三元一次方程组求得,,a b c ,再分别计算平面BDC 和平面ABD 的法向量,最后由数量积公式求夹角的余弦值即可.【详细解答】(1)证明：由题意可知,,,BC CD AE BC AE CD E ⊥⊥⋂=,AE ⊂平面ADC ,DC ⊂平面ADC ,所以BC ⊥平面ADC ,又AD ⊂平面ADC ,所以BC AD ⊥, 因为AD AB ⊥,AB平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,AB BC B ⋂=所以AD ⊥平面ABC ,又AC ⊂平面ABC .所以AD AC ⊥.(2)过点A 作直线AZ ⊥平面ABD ,以点A 为原点,分别以AB AD Az 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,设1AD =,则(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0)A D B ,设点E 的坐标为(,,)a b c ,则C 的坐标为(2,21,2)a b c -,(,,),(2,,)AE B a b c E a b c ==-221(2)2a abc AE BE ⋅=-++=- ①又2222||(1)1D a c E b =+-+= ②,2222||(22)(21)(2)1a b c BC =-+-+= ③解由①②③构成的方程组可得3412a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,即点E的坐标31,,424⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 进而313,,,(2,1,0)424DE BD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面BDC 的一个法向量为(,,)n x y z =,可得00n DE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以31304220x y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩,令1x =,解得32,3y z ==,即31,2,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 易知,平面ABD 的一个法向量(0.0,1)m =,313cos ,411143n m n m n m===⨯++⋅, 由图可知,二面角C BD A --的大小为锐角,二面角C BD A --的余弦值为14.本题考查空间中线线垂直的证明,还考查了利用空间向量求二面角的余弦值,属于中档题. 20.已知函数()ln xf x e x a =--.(1)若3a =.证明函数()f x 有且仅有两个零点； (2)若函数()f x 存两个零点12,x x ,证明：121222x x x x e e e a >++-.【参考答案】：(1)证明见解析；(2)证明见解析.(1)当3a =时,函数()ln 3xf x e x =--,定义域为(0,)+∞,利用导数分析其单调性01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使()f x 在()00,x 单调递减,在()0,x +∞单调递增,进而分别计算并判断()0f x ,31f e ⎛⎫⎪⎝⎭,()f e 与零的大小比较,最后由零点的存在性定理即可确定零点的个数；(2)由12,x x 是函数()f x 的两个零点,知1212ln ,ln x xe x a e x a =+=+,进而表示1212ln 2x x e e x x a +=+,再由分析法逐步反推不等式,最后令12(0,)x x t =∈+∞,构造函数()ln 2t f t e t =--,由(1)的单调性分析,表示最小值并由双勾函数证得ln 20t e t -->,即可得证.【详细解答】(1)由题可知,定义域(0,)+∞当3a =时,函数()ln 3xf x e x =--,则1()xf x e x'=-,21()0xf x e x +'=>'(()f x ''为()f x '的导函数)()f x '∴单调递增12120,(1)102f e f e ⎛⎫=-<=-> ''⎪⎝⎭, 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使0000011()0,x x f x e e x x '=-==. ()00,x x ∴∈时,()0,()f x f x '<单调递减；()0,x x ∈+∞时,()0,()f x f x '>单调递增所以()0min 00001()ln 33xf x f x e x x x ==--=+- 由双勾函数性质可知,()0f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭递减,()0111230222f x f ⎛⎫<=+-=-< ⎪⎝⎭,33113311ln 30e e f e e e e ⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭,且3112e <, ∴在()00,x 上有且只有一个零点又2()ln 34240e e f e e e e =--=->-=,且1e > 所以在()0,x +∞上有且只有一个零点 综上,函数()f x 有且仅有两个零点(2)由12,x x 是函数()f x 的两个零点,知1212ln ,ln x xe x a e x a =+=+121212ln ln 2ln 2x x e e x x a x x a ∴+=++=+要证121222x x x x e e e a >++-需证121212ln 222ln 2x x ex x a a x x >++-=+令12(0,)x x t =∈+∞ 需证ln 20t e t --> 令()ln 2tf t e t =--与(1)同理得0min 000011()ln 22220,,12tf t e t t t t ⎛⎫=--=+->-=∈ ⎪⎝⎭所以ln 20t e t --> 故121222x x x x e e a +>+-本题考查利用导数与零点的存在性定理研究函数的零点,还考查了利用分析法证明不等式,属于难题.21.已知点M 是抛物线1C ：()220y px p =>的准线与x 轴的交点,点P 是抛物线1C 上的动点,点A 、B 在y 轴上,APB △的内切圆为圆2C ：()2211x y -+=,且23MC OM =,其中O 为坐标原点.(1)求抛物线1C 的标准方程； (2)求APB △面积的最小值. 【参考答案】：(1)22y x =；(2)8.(1)由()22,0,1,0,32p M C MC OM ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求出1p =,可得抛物线1C 的标准方程； (2)设()()()00,,0,,0,P x y A b B c ,写出直线,PA PB 的方程,根据圆2C 与直线,PA PB 相切,得到,b c 的关系,写出APB △的面积,结合基本不等式,即可得到最小值. 【详细解答】(1)点M 是抛物线1C ：()220y px p =>的准线与x 轴的交点,,02p M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭,又()221,0,3C MC OM =,13122p p p ∴+=⨯∴=，. ∴抛物线1C 的标准方程为22y x =.(2)设()()()00,,0,,0,P x y A b B c ,则0bc <,直线PA 的方程为()0000y b x x y bx --+=,直线PB 的方程为()0000y c x x y cx --+=.APB 的内切圆为圆2C ：()2211x y -+=,1==,整理得()()22000000220,220x b y b x x c y c x -+-=-+-=.,b c ∴是方程()2000220x x y x x -+-=的两根,00002,22y xb c bc x x ∴+=-=---. 000,0,2bc x x <>∴>,()()()22222000002000244844222y x x y x b c b c bc x x x ⎛⎫⎛⎫+-∴-=+-=---== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭. ()()2220002042,2x y x b c x =∴-=-,00002222x x b c x x ∴-==--.所以APB △的面积2000122x S b c x x =-=-.令002,2,0t x x t t =-∴=+>,()224448t S t tt +∴==++≥=,当且仅当4,2t t t ==时,等号成立,此时04x =.所以APB △面积的最小值为8.本题考查抛物线的标准方程和与抛物线有关的最值问题,考查基本不等式和学生的运算化简的能力,属于较难的题目.请考生在22—23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写(涂)清题号.选修4—4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2431x t a y t ⎧=+⎨=-⎩(t 为参数),圆C 的参数方程为21cos 2sin x a y a θθ⎧=+⎨=-+⎩(θ为参数). (1)求l 和C 的普通方程；(2)将l 向左平移(0)m m >后,得到直线l ',若圆C 上只有一个点到l '的距离为1,求m .【参考答案】：(1)3470x y --=,22(1)(2)1x y -++=；(2)2m =.(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用点到直线的距离公式的应用和关系式的平移变换的性质的应用求出结果.【详细解答】(1)由题意可得||1a =, 故l 的参数方程为4131x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数), 圆C 的参数方程为1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数), 消去参数t ,得l 的普通方程为3470x y --=,消去参数θ,得C 的普通方程为22(1)(2)1x y -++=.(2)l '的方程为37()44y x m =+-,即34370x y m -+-=, 因为圆C 上只有一个点到l '的距离为1,圆C 的半径为1,所以(1,2)C -到l '的距离为2, 即|3837|25m ++-=,解得2m =(1403m =-<舍去). 本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到直线的距离公式的应用,函数的关系式的平移变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.选修4—5：不等式选讲23.设函数()()40f x x a x a =-+-≠.(1)当1a =时,求不等式()f x x <的解集；(2)若()41f x a≥-恒成立,求a 的取值范围. 【参考答案】：(1)()3,5；(2)()[),01,-∞+∞.(1)把1a =代入,利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；(2)利用绝对值的三角不等式求出()f x 的最小值,然后求解关于a 的不等式即可.【详细解答】(1)当1a =时,()52,1143,1425,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩,当1x ≤时,()f x x <,无解；当14x <<时,()f x x <可得34x <<；当4x ≥时,()f x x <可得45x ≤<；故不等式()f x x <的解集为()3,5.(2)()()()444f x x a x x a x a =-+-≥---=-,4441a a a a-∴-≥-=. 当0a <或4a ≥时,不等式显然成立； 当04a <<时,11a ≤,则14a ≤<. 故a 的取值范围为()[),01,-∞+∞.本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题,零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法.。
2020年辽宁省辽南协作校高考数学模拟试卷(理科)(5月份)
2020年辽宁省辽南协作校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|log2x<1}，B={x|x2−x−2<0}，则∁B A=()A. (−∞,2)B. (−1,0]C. (−1,2)D. (−1,0)2.已知z=5a2+i(a>0)，若z⋅z−=5，则a=()A. 1B. √5C. √3D. 53.已知a=30.3,b=(12)π,c=log5√6，则()A. a>b>cB. c>b>>aC. a>c>bD. b>a>c4.某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额(单位：万元)进行统计并得到如图折线图．下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是()A. 甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B. 根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在[20,25]内C. 根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D. 乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元5.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是()A. f(x)=sin5x2−x−2x B. f(x)=cosx2x−2−xC. f(x)=cos5x|2x−2−x|D. f(x)=sin5x|2x−2−x|6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于π4，若∀x∈R,f(x)≤|f(π6)|，则正数φ的最小值为()A. π6B. 5π6C. π3D. π47.执行如图所示的程序框图，若输入的m=10227，n=7305，则输出的结果是()8. 抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为√3的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为抛物线C 上的动点，且点P 在l 的左侧，则△PMN 面积的最大值为( )A. √3B. 2√3C. 2√33D. 16√399. 甲、乙两人进行飞镖比赛，规定命中6环以下(含6环)得2分，命中7环得4分，命中8环得5分，命中9环得6分，命中10环得10分(两人均会命中)，比赛三场，每场两人各投镖一次，累计得分最高者获胜．已知甲命中6环以下(含6环)的概率为13，命中7环的概率为14，命中8环的概率为16，命中9环的概率为16，命中10环的概率为112，乙命中各环对应的概率与甲相同，且甲、乙比赛互不干扰．若第一场比赛甲得2分，乙得4分，第二场比赛甲、乙均得5分，则三场比赛结束时，乙获胜的概率为( )A. 83144B. 1116C. 12D. 71810. 在矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，沿矩形对角线BD 将△BCD 折起形成四面体ABCD ，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD 中，当DA ⊥BC 时，BC ⊥AC ；②四面体ABCD 的体积的最大值为245；③在四面体ABCD 中，BC 与平面ABD 所成角可能为π3； ④四面体ABCD 的外接球的体积为定值． 其中所有正确结论的编号为( )A. ①④B. ①②C. ①②④D. ②③④11. 已知F 1，F 2分别为双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点，双曲线上的点P 到原点的距离为b ，且sin∠PF 2F 1=3sin∠PF 1F 2，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√22x B. y =±√32x C. y =±√2xD. y =±√3x12. 已知函数f(x)=3cosx+2cos 2x 23cosx ⋅tan x2+1+sinx+cosx 1+sinx−cosx(0<x <π2)，则f(x)的最小值为( )A. √33B. 2√33C. 5√33D. 2√3二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(4,m)，向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为√5，则m =______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =2√7,b =4,A =120°，则△ABC 的面积为______． 15. 若sinα1−cosα=13，则2cosα+3sinα−2sin 2α2=______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 在四棱锥P −ABCD 中，P −BCD 是底面边长为2的正三棱锥，E 为PC 的中点，异面直线DE 与BC 所成角的余弦值为√612，则正三棱锥P −BCD 的侧棱长为 (1) ；若AD ⊥PD ，AD ⊥AB ，AC = (2) ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设{a n }是一个首项为2，公比为q(q ≠1)的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)已知数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1=1，且√S n −√S n−1=1(n ≥2)，求数列{a n ⋅b n }的前n 项和T n ．18. 如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，AB =1，AA 1=3，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 是棱C 1D 1的中点，平面AEC 1与直线DD 1相交于点F ． (1)证明：直线MN//平面AEC 1F . (2)求二面角E −AC −F 的正弦值．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=l(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =3b 5与C 交于A ，B 两点．∠AF 2B =90°，M 为椭圆C 上任意一点，且|MF 1|⋅|MF 2|的最大值为16．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的上顶点N 作两条不同的直线，分别交椭圆C 于另一点P 和Q(异于N)，若直线NP ，NQ 的斜率之和为6，证明直线PQ 恒过定点，并求出定点的坐标．20. 2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了．在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始．为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A ，B 两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下： ①单独投给A 方案，则A 方案得1分，B 方案得−1分； ②单独投给B 方案，则B 方案得1分，A 方案得−1分； ③弃权或同时投票给A ，B 方案，则两种方案均得0分．前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案．假设A ，B 两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为23和12．(1)在第1名物业人员投票结束后，A 方案的得分记为ξ，求ξ的分布列； (2)求最终选取A 方案为小区管理方案的概率．21.已知函数f(x)=(x2−6x+a)e x．(1)若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与直线5x+y=0平行，求f(x)的单调区间；(2)当a=11时，若f′(m)=f′(x1)+f′(x2)2(m>1)，且x1≠x2，证明：m>x1+x22．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为{x=−1+√14cosφy=1+√14sinφ(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.曲线C3的极坐标方程为ρ=√1+8sin2θ，曲线C1与曲线C2的交线为直线l．(1)求直线l和曲线C3的直角坐标方程；(2)直线l与x轴交于点M，与曲线C3相交于A，B两点，求|1|MA|−1|MB||的值．23.设函数f(x)=2x−1−|x−1|．(1)求不等式f(x)<3的解集；(2)若方程f(x)=x2+ax有两个不等实数根，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A ={x|log 2x <1}={x|0<x <2}，B ={x|−1<x <2}， ∴∁B A ={x|−1<x ≤0}， 故选：B ．先求出集合A ，B ，再利用补集的定义即可算出结果． 本题主要考查了集合的基本运算，是基础题． 2.【答案】A【解析】解：z =5a(2−i)(2+i)(2−i)=2a −ai ，∴5=z ⋅z −=√(2a)2+(−a)2，a >0，解得a =1． 故选：A ． z =5a(2−i)(2+i)(2−i)=2a −ai ，利用互为共轭复数的性质可得z ⋅z −=√(2a)2+(−a)2，a >0，解得a ．本题考查了复数的运算法则、互为共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.【答案】C【解析】解：∵30.3>30=1，∴a >1， ∵0<(12)π<(12)1=12，∴0<b <12，∵log 5√6>log 5√5=12，且log 5√6<log 55=1，∴12<c <1，∴a >c >b ， 故选：C ．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用． 4.【答案】A【解析】解：对于A ，甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，最高营业额远低于32万元，A 错误． 对于B ，甲门店的营业额的平均值为12+18+21+28+32+25+24+18+169=1949≈21.6，即该门店营业额的平均值在区间[20,25]内，B 正确．对于C ，根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势，C 正确．对于D ，乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元，最小值为5万元，则极差为25万元，D 正确． 故选：A ．据折线图分别判断ABCD 的正误即可．本题考查了频率分布折线图，考查数形结合，是一道基础题． 5.【答案】C【解析】解：观察图象可知，函数的图象关于y 轴对称，而选项B ，D 为奇函数，其图象关于原点对称，不合题意； 对选项A 而言，当x ∈(0,π5)时，f(x)<0，不合题意；故选：C ．由函数的对称性及特殊点的函数值，利用排除法得解．6.【答案】B【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4， 所以12⋅2πω=π4，解得ω=4，故f(x)=sin(4x +φ)，又因为∀x ∈R,f(x)≤|f(π6)|，∴x =π6是f(x)的一条对称轴，所以4×π6+φ=π2+kπ，k ∈Z ，∴φ=kπ−π6,k ∈Z ． 令k =1，得φ=5π6为最小值．故选：B ．根据函数f(x)的性质可知，相邻的与x 轴的两个交点距离是半个周期，由此可求得ω，然后π6是最值点，求出φ的值． 本题考查据图求式问题的基本思路，注意抓住特殊点、特殊线去求周期、ω、φ的值等，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得 d =2922，m =7305，n =2922， d =4383，m =4383，d =1461，m =2922，n =1461， d =1461，所以输出的结果是1461． 故选：A ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量d 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题主要考查了程序框图的应用，考查了计算求解能力，属于基础题． 8.【答案】D【解析】解：由题意可知直线l 的方程为：y =√3(x −1)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 代入抛物线的方程可得3x 2−10x +3=0，x 1+x 2=103，由抛物线的性质可得|MN|=x 1+x 2+p =103+2=163；设与直线l 平行的直线为：y =√3x +m ，代入抛物线的方程可得3x 2+(2√3m −4)x +m 2=0， 当直线：y =√3x +m 与抛物线相切时，P 到直线l 的距离有最大值， 所以△=(2√3m −4)2−4×3×m 2=0，解得m =√33，直线l 与直线y =√3x +√33的距离d =2√33， 所以△PMN 面积的最大值为12×163×2√33=16√39， 故选：D ．由题意可得直线l 的方程与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得弦长MN 的值，设与直线l 平行的直线与抛物线相切时，平行线间的距离最大，即△PMN 的面积最大，求出面积的最大值． 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题． 9.【答案】B【解析】解：由题意，若三场比赛结束时，乙获胜，则第三场比赛乙至多落后甲1分，当甲乙都得2分时，乙获胜，概率为P1=13×13=19；当乙得4分时，则甲至多的5分，乙获胜，概率为P2=14(13+14+16)=316；当乙得5分时，则甲至多的6分，乙获胜，概率为P3=16(13+14+16+16)=1172；当乙得10分时，乙获胜，概率为P4=112×1=112；故乙获胜的概率为P=P1+P2+P3+P4+P5+P6=1116，故选：B．由题意利用相互独立事件的概率乘法公式，分类讨论，求得结果．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：如图，当DA⊥BC时，∵BC⊥DC，∴BC⊥平面DAC，∵AC⊂平面DAC，∴BC⊥AC，即①正确；当平面BCD⊥平面ABD时，四面体ABCD的体积最大，最大值为13×12×3×4×125=245，即②正确；当平面BCD⊥平面ABD时，BC与平面ABD所成的角最大，为∠CBD，而sin∠CBD=CDBD =45<√32=sinπ3，∴BC与平面ABD所成角一定小于π3，即③错误；在翻折的过程中，△ABD和△BCD始终是直角三角形，斜边都是BD，其外接球的球心永远是BD的中点，外接球的直径为BD，∴四面体ABCD的外接球的体积不变，即④正确．∴正确的有①②④，故选：C．①由线面垂直的判定定理可证明BC⊥平面DAC，再由线面垂直的性质定理可知BC⊥AC；②当平面BCD⊥平面ABD时，四面体ABCD的体积最大，再利用棱锥的体积公式进行运算即可得解；③当平面BCD⊥平面ABD时，BC与平面ABD所成的角最大，为∠CBD，求出sin∠CBD，并与sinπ3比较大小即可得解；④在翻折的过程中，△ABD和△BCD始终是直角三角形，外接球的直径为BD，于是四面体ABCD的体积不变．本题考查立体几何中的综合，涉及线面垂直的判定定理与性质定理、线面夹角、棱锥和球的体积公式等，考查学生的空间立体感和推理论证能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：∵F1，F2分别为双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点，∴不妨设双曲线的焦点坐标为F1(0,−c)、F2(0,c)，sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2，所以|PF1|=3|PF2|，|PF1|−|PF2|=2a，∴|OF2|=c，c2=a2+b2，∴∠OPF2=90°，∵PH⊥OF2，∴PH=abc ，设P(m,n)，∴|m|=abc，n=b2c，把P点的坐标代入双曲线方程可得：b=√2a，∴该双曲线的渐近线方程y=±√22x.故选：A．通过sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2，得到|PF1|=3|PF2|，结合双曲线的定义求出|PF1|=3a，|PF2|=a，利用|OP|=b，设P(m,n)，求出P的坐标，把P点的坐标代入双曲线方程转化求解渐近线方程．本题给出双曲线的简单性质的应用，在已知焦点三角形中的角度关系下求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单性质的知识，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：f(x)=3cosx+2cos2x23cosx⋅tan x2+1+sinx+cosx1+sinx−cosx=3cosx+2cos2x23cosx⋅sinx2cos x2+2cos2x2+2sin x2cos x22sin2x2+2sin x2cos x2，=sin x 2cos x2+sinx3cosx+cosx2sin x2=sinx3cosx+2sinx．所以f′(x)=(sinx3cosx )′+(2sinx)′=13cos2x−2cosxsin2x=−6cos3x−cos2x+13cos2xsin2x，令t=cosx∈(0,1)，则g(t)=−6t3−t2+1在(0,1)上为减函数．且g(12)=0．所以当0<x<π3时，12<t<1，g(t)<0，即f′(x)<0；当π3<x<π2时，0<t<12，g(t)>0，即f′(x)>0；故函数f(x)的最小值为f(π3)=5√33．故选：C．首先利用三角函数的关系式的变换，对函数的关系式进行化简，再利用函数的导数和换元法的应用求出函数的单调区间，最后求出函数的最小值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的导数与单调区间的关系，换元法，函数的最值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：由题意，可知向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=√42+m2=√16+m2=√5，两边平方，可得25m216+m2=5，整理，得m2=4，解得m=−2，或m=2，当m=−2时，√16+m2=−√5，不符合题意，∴m=2．故答案为：2．本题根据向量a⃗在b⃗ 方向上的投影公式为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|，然后代入进行计算可解出m的值，注意将m的值代入进行检验得到正力．本题属基础题．14.【答案】2√3【解析】解：∵a=2√7,b=4,A=120°，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得28=16+c2−2×4×c×(−12)，可得c2+4c−12=0，解得c=2，∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2×√32=2√3．故答案为：2√3．由已知利用余弦定理可得c2+4c−12=0，解得c=2，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．15.【答案】−2【解析】解：∵sinα1−cosα=13，∴3sinα=1−cosα，∴2cosα+3sinα−2sin2α2=2(2cosα+1−cosα−2)1−cosα=−2．故答案为：−2．由已知可得3sinα=1−cosα，代入所求利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解．本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础题．16.【答案】4√7【解析】解：如图，记F为PB的中点，点G为BC的中点，则EF为△PBC的中位线，所以EF//BC，EF=12BC=1，则∠FED为异面直线DE与BC所成的角，作平行四边形PDCQ，设PD=a，因为“平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和”，所以DQ2+PC2=2PD2+2CD2，即(2DE)2+a2=2a2+2×22，得DE=√a2+82．因为DE=DF，所以cos∠FED═√612=12 EF DE =√a2+8，解得a=4，易证平面PDG⊥平面ABCD，AD⊥PD，所以可以推出AD⊥平面PDG，可得AD⊥DG．因为DG⊥BC，AD⊥AB，所以四边形ABGD为矩形，因为△BCD的边长为2，所以AB=DG=√3，故AC═√22+(√3)2=√7．由“平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和”和cos∠FED 得出a 的值，再利用线面垂直和面面垂直关系得出四边形ABGD 为矩形，最后利用勾股定理即可得出结论．本题主要考查利用异面直线成角，平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和以及利用线面垂直和面面垂直关系解决问题，属于中档题．17.【答案】解：(1){a n }是一个首项为2，公比为q(q ≠1)的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列， 可得4a 2=3a 1+a 3，即4×2q =3×2+2q 2，解得q =3(1舍去)， 则a n =2⋅3n−1，n ∈N ∗；(2)由√S 1=√b 1=1，且√S n −√S n−1=1(n ≥2)， 可得{√S n }是首项和公差均为1的等差数列， 可得√S n =1+n −1=n ，即S n =n 2， 可得n =1时，b 1=S 1=1；n ≥2时，b n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1， 对n =1时，该式也成立， 则b n =2n −1，n ∈N ∗，可得a n ⋅b n =2(2n −1)⋅3n−1，则T n =2[1⋅1+3⋅3+5⋅9+⋯+(2n −1)⋅3n−1]， 3T n =2[1⋅3+3⋅9+5⋅27+⋯+(2n −1)⋅3n ]，上面两式相减可得−2T n =2[1+2(3+9+⋯+3n−1)−(2n −1)⋅3n ] =2[1+2⋅3(1−3n−1)1−3−(2n −1)⋅3n ]，化简可得T n =2+2(n −1)⋅3n ．【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式和数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题．(1)由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；(2)运用等差数列的定义和通项公式可得S n ，再由数列的递推式可得a n ，则a n ⋅b n =2(2n −1)⋅3n−1，结合数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简计算可得所求和． 18.【答案】解：(1)证明：∵平面BB 1C 1C//平面AA 1D 1D ，平面AEC 1F ∩平面BB 1C 1C =EC 1，平面AEC 1F ∩平面AA 1D 1D =AF ， ∴C 1E//AF ，由题意得D 1F =2FD ， 设点G 为D 1F 的中点，连结GM ，GN ， ∵N 是棱C 1D 1的中点，∴GN//FC 1，∵GN ⊄平面AEC 1F ，FC 1⊂平面AEC 1F ，∴GN//平面AEC 1F ，∵D 1F =2FD ，A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴GM//AF ，∵GM ⊄平面AEC 1F ，AF ⊂平面AEC 1F ，∴GM//平面AEC 1F ， ∵GN ∩GM =G ，∴平面MNG//平面AEC 1F ， ∵MN ⊂平面MNG ，∴MN//平面AEC 1F .(2)解：∵AB =1，DD 1=3，如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A(1,0，0)，C(0,1，0)，F(0,0，1)，E(1 1,2)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，2)，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)， 设平面ACE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y =0m⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0，取z =1，得m⃗⃗⃗ =(−2,−2,1)， 设平面ACF 的法向量n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b =0n ⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +c =0，取a =1，得n⃗ =(1,1，1)， 设二面角E −AC −F 的平面角为θ，∴sinθ=(√33)=√63， ∴二面角E −AC −F 的正弦值为√63．【解析】(1)推导出C 1E//AF ，D 1F =2FD ，设点G 为D 1F 的中点，连结GM ，GN ，推导出GN//平面AEC 1F ，GM//平面AEC 1F ，从而平面MNG//平面AEC 1F ，由此能证明MN//平面AEC 1F .(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC −F 的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)联立直线与椭圆的方程：{x 2a 2+y 2b 2=1y =3b5，解得：{x =−4a5y =3b 5或{x =4a5y =3b 5， 设A(−45a,35b)，B(45a,35b)，则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c −45a,35b)，F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c +45a,35b)， 因为∠AF 2B =90°，所以F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以=(−c −45a,35b)⋅(−c +45a,35b)=0，即c 2−1625a 2+925b 2=0， 可得9a 2=16b 2，即3a =4b ， 又因为|MF 1|⋅|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2=a 2=16，所以a =4，b =3， 所以椭圆C 的方程为：x 216+y 29=1；(2)证明：当直线PQ 的斜率存在时，显然斜率不为0，否则直线PN ，QN 的斜率之和为0，不合题意， 设直线PQ 的方程为：y =kx +m ，(k ≠0,m ≠0)，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 联立直线PQ 与椭圆的方程：{y =kx +mx 216+y 29=1，整理可得：(9+16k 2)x 2+32kmx +16m 2−144=0，由△=322k 2m 2−4(9+16k 2)(16m 2−144)>0，整理可得：m 2<16k 2+9， 则x 1+x 2=−32k9+16k 2，x 1x 2=16m 2−1449+16k 2①，由k NP +k NQ =6，即kx 1+m−3x 1+kx 2+m−3x 2=2k +(m −3)⋅x 1+x 2x 1x 2=6②将①代入②，整理可得：m =k −3， 所以y =kx +k −3=k(x +1)−3， 所以直线PQ 恒过(−1,−3)；当直线PQ 的斜率不存在时，设直线PQ 的方程为x =x 0， 设P(x 0,y 1)，Q(x 0,y 2)，其中y 2=−y 1，即y 1+y 2=0， 由k NP +k NQ =6，可得y 1−3x 0+y 2−3x 0=y 1+y 2−6x 0=−6x 0=6，可得x 0=−1，故当直线PQ 的斜率不存在时，直线也恒过(−1,−3)点， 综上所述，直线PQ 恒过定点(−1,−3)．【解析】(1)将直线AB 的方程与椭圆联立求出两根之积，两根之和，由∠AF 2B =90°，所以F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出a ，b 的关系，再由|MF 1|⋅|MF 2|的最大值为16及均值不等式可得a 的值，进而求出b 的值，写出椭圆的标准方程； (2)分直线PQ 的斜率存在和不存在两种情况讨论求出参数的关系，进而证明直线PQ 恒过定点(−1,−3)． 本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及均值不等式的应用，属于中档题． 20.【答案】解：(1)由题意知，ξ的所有可能取值为−1，0，1，P(ξ=−1)=(1−23)×12=16，P(ξ=0)=23×12+13×12=12，P(ξ=1)=23×(1−12)=13，1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”， 由(1)知，P(M 1)=[P(ξ=1)]2=(13)2=19，记M 2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，P(M 2)=C 21[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)=2×(13)2×12=19，记M 3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，①若A 方案比B 方案多4分，有两类：第一类，A 方案前三次得了一次1分两次0分，最后一次得1分，其概率为C 31⋅[P(ξ=1)]2⋅[P(ξ=0)]2=112； 第二类，A 方案前两次得了一次1分一次−1分，后两次均得1分，其概率为C 21⋅P(ξ=−1)⋅[P(ξ=1)]3=181， ②若A 方案比B 方案多2分，有三类：第一类，A 方案四次中得了一次1分，其他三次全0分，其概率为C 41⋅[P(ξ=0)]3⋅P(ξ=1)=16； 第二类，A 方案前三次得了一次1分，一次0分，一次−1分，最后一次得了1分，其概率为A 33⋅[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)⋅P(ξ=−1)=118；第三类，A 方案前两次得了一次1分一次−1分，第三次得1分，第四次得0分，其概率为C 21⋅[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)⋅P(ξ=−1)=154．故P(M 3)=112+181+16+118+154=109324，∴最终选取A 方案为小区管理方案的概率为P =P(M 1)+P(M 2)+P(M 3)=19+19+109324=181324．【解析】本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列，考查学生对数据的分析能力和处理能力，属于中档题．(1)ξ的所有可能取值为−1，0，1，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列；(2)记M 1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，M 2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，M 3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，然后根据独立重复事件的概率逐一求出每种事件对应的概率，最后将三种事件的概率相加即可得解．21.【答案】解：(1)∵f′(x)=(x 2−4x +a −6)e x ， ∴f′(0)=a −6=−5，故a =1， ∴f′(x)=(x +1)(x −5)e x ，令f′(x)>0得x <−1或x >5，令f′(x)<0，得−1<x <5，∴f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)，(5,+∞)，单调递减区间是(−1,5)；(2)证明：∵f(x)=(x 2−6x +11)e x ，∴f′(x)=(x 2−4x +5)e x ， 令g(x)=(x 2−4x +5)e x ，则g′(x)=e x (x −1)2≥0， ∴g(x)在R 递增， ∵f′(x 1)+f′(x 2)2=f′(m)，∴f′(x 1)−f′(m)=f′(m)−f′(x 2)， ∴f′(x 1)−f′(m)与f′(m)−f′(x 2)同号，不妨设x 1<m <x 2，设ℎ(x)=f′(2m −x)+f′(x)−2f′(m)(x >m >1)， 则ℎ′(x)=−e 2m−x (2m −x −1)2+e x (x −1)2，∵e 2m−x <e x ，(2m −x −1)2−(x −1)2=(2m −2)(2m −2x)<0， ∴ℎ′(x)>0，∴ℎ(x)在(m,+∞)递增，∴ℎ(x)>ℎ(m)=0，∴ℎ(x 2)=f′(2m −x 2)+f′(x 2)−2f′(m)>0， ∴f′(2m −x 2)>2f′(m)−f′(x 2)=f′(x 1)， 又∵f′(x)在R 递增， ∴2m −x 2>x 1，即m >x 1+x 22．【解析】(1)求出函数的导数，根据f′(0)=−5，求出a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)代入a 的值，根据f′(x 1)−f′(m)与f′(m)−f′(x 2)同号，不妨设x 1<m <x 2，设ℎ(x)=f′(2m −x)+f′(x)−2f′(m)(x >m >1)，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题． 22.【答案】解：(1)已知曲线C 1的参数方程为{x =−1+√14cosφy =1+√14sinφ(φ为参数)，转换为直角坐标方程为(x +1)2+(y −1)2=14①．曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ.整理得ρ2=4ρcosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=4②．所以①②两个方程相减得：3x −y −6=0．曲线C 3的极坐标方程为ρ=√1+8sin 2θ，根据{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程为x 29+y 2=1．(2)直线l 与x 轴交于M(2,0)所以直线l 的参数方程为{x =2+√1010ty =3√1010t(t 为参数)，代入x 29+y 2=1，得到：41t 2−2√10t −25=0． 所以t 1+t 2=2√1041，t 1t 2=−2541故|1|MA|−1|MB||=|t 1−t 2t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|═(2√1041)+41004122541=√45004122541=30√525=6√55．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(x)=2x −1−|x −1|={3x −2,x ≤1x,x >1，∵f(x)<3，∴{3x −2<3x ≤1或{x <3x >1，∴x ≤1或1<x <3，∴x <3，∴不等式的解集为(−∞,3)；(2)方程f(x)=x 2+ax ，即2x −1−|x −1|=x 2+ax ， 显然x =0不是方程的根，故a =−x 2+2x−|x−1|−1x，令g(x)=−x 2+2x−|x−1|−1x ={1−x,x ∈[1,+∞)−x −2x +3,x ∈(−∞,0)∪(0,1), 当x <0时，−x −2x +3=(−x +2−x )+3>2√2+3， 作出g(x)的图象，如图所示：∵方程f(x)=x 2+ax 有两个不等实数根， ∴由图象可知a ∈(−∞,0)∪(2√2+3,+∞)．【解析】(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后由f(x)<3，利用零点分段法解不等式即可； (2)根据方程f(x)=x 2+ax ，可得a =−x 2+2x−|x−1|−1x，然后构造函数g(x)=−x 2+2x−|x−1|−1x，利用数形结合法求出a的取值范围．本题考查了绝对值不等式的解法和函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题．。
2020年辽宁协作体-理数答案
步骤应有作图（到 1 分）、简证（到 3 分）、求解(到 6 分)
19.解：（I）由 n 次重复试验恰好发生 k 次的概率公式可知，在未来的 4 个月
中，至少有 2 个月的月需求量低于 100 万件的概率：
方法一：
p
C42
(
1 2
)2
(1
1)2 2
C43
(
1 2
)3
(1
1 )1 2
C44
(
1 2
)4
cos 2x 3 sin 2x 1 2sin(2x ) 1 ………………………3 分 6
Q
x
0,
2
,
2x 6
6
,
7 6
,
f
(x)的值域为0,3 …………6
分
（II）因为 f ( A) 3 ，所以 2sin( A ) 1 3 ， sin( A ) 1
2
6
6
因为 0 A ，所以 A ． 3
（ II ） 方 法 一 ： 取 AB 的 中 点 O , A1B1 的 中 点 O1 , 连 结 OO1 和 OC , 易 知
OB, OC, OO1 两两垂直，以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。则有
高三数学理科答案 共 6 页 (第 1 页)
A(1, 0, 0), D( 1 , 3 , 0), C(0, 22
20．解：（I）设椭圆的焦距为 2c ，
方法一：利用椭圆定义 2a | PF1 | PF2 | 2 2 , a2 2 ,
所以 b2 a2 c2 1,故 C ： y2 x2 1………………………………………4 分 2
方法二：由已知
1
a2
1 2b2
2020年辽宁省辽南协作校高考数学二模试卷(理科)
2020年辽宁省辽南协作校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知{|(1)0}A x x x =->，{|1}B x x =<，则(A B =U ) A ．(0,1) B ．RC ．(,1)-∞D ．(-∞，1)(1⋃，)+∞2．（5分）已知复数2020z i i =+，则||(z = ) A ．2B ．1C ．0D ．23．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，104．（5分）设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥5．（5分）已知a b >，则条件“0c …”是条件“ac bc <”的( )条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．（5分）如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为12、30，则输出的(a = )A ．2B ．4C ．6D ．187．（5分）某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是( ) A ．34 B ．38C ．47D ．128．（5分）已知半径为r 的圆M 与x 轴交于E ，F 两点，圆心M 到y 轴的距离为d ．若||d EF =，并规定当圆M 与x 轴相切时||0EF =，则圆心M 的轨迹为( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线9．（5分）已知周期为π的函数()3)cos()(0f x x x ωϕωϕω=+-+>，0)ϕπ<<是奇函数，把()f x 的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，则()g x 的一个单调增区间为( ) A ．(,)22ππ-B ．5(,)1212ππ-C ．(,)63ππ-D ．(4π-，)4π10．（5分）已知数列{}n a 满足12n n a a n +-=，*n N ∈．则211(ni i a a ==-∑) A ．111n n-- B ．1n n- C ．(1)n n - D ．12n11．（5分）在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A 2B ．12 C ．13D ．1412．（5分）已知函数()f x 满足2()2()1x f x xf x lnx '+=+，1()f e e=．当0x >时，下列说法： ①1()f e e =；②()f x 只有一个零点；③()f x 有两个零点；④()f x 有一个极大值．其中正确的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数()4log (23)(0a f x x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点P ，且点P 在函数()g x x α=的图象上，则α= ．14．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列，且94a =，则公差d = ．15．（5分）已知平面向量a r 与b r 的夹角60︒，且||2a =r ，||1b =r ．若平面向量m r 满足22m a m b ==r r r r g g ，则||m =r ．16．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E 为PA 中点，BE ，则球O 的体积为 ． 三、解答题17．（12分）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 12B CA ++=． （1）求角A 的值．（2）若ABC ∆面积为7()b c b c +=>，求a 及sin B 的值．18．（12分）数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用，它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯，进而指导人们接下来的行动．某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员，他收集到了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数，如表：（1）根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数，完成下面茎叶图（茎表示十位，叶表示个位）；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图； （2）求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差；（3）主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平，同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力．你认为主教练应选哪位球员？并。
辽宁省2020版高考数学二模试卷(理科)(I)卷(模拟)
辽宁省2020版高考数学二模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高二下·富阳月考) 设全集，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·长春月考) 已知函数，则的图像（）A . 关于原点对称，但不关于轴对称B . 关于轴对称，但不关于原点对称C . 关于原点对称，也关于轴对称D . 既不关于原点对称，也不关于轴对称3. （2分）已知实数x,y满足不等式组，那么的最小值是（）A .B .C . 5D . 84. （2分）以q为公比的等比数列{}中，，则“”是“”的（）A . 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2017·泉州模拟) 若等比数列{an}的前n项和，则a3a5=（）A . 4B . 8C . 16D . 326. （2分）执行如图的程序框图，若输人a=319，b=87，则输出的a是（）A . 19B . 29C . 57D . 767. （2分） (2019高三上·武清月考) 函数的图象大致为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·资阳期末) 袋中装有编号分别为1，2，3，…，2n的2n（n∈N*）个小球，现将袋中的小球分给A，B，C三个盒子，每次从袋中任意取出两个小球，将其中一个放入A盒子，如果这个小球的编号是奇数，就将另一个放入B盒子，否则就放入C盒子，重复上述操作，直到所有小球都被放入盒中，则下列说法一定正确的是（）A . B盒中编号为奇数的小球与C盒中编号为偶数的小球一样多B . B盒中编号为偶数的小球不多于C盒中编号为偶数的小球C . B盒中编号为偶数的小球与C盒中编号为奇数的小球一样多D . B盒中编号为奇数的小球多于C盒中编号为奇数的小球二、填空题 (共6题；共7分)9. （1分） (2019高三上·扬州月考) 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第________象限.10. （1分）直线的极坐标方程为________11. （1分）在产品检验时，常采用抽样检查的方法．现在从100件产品（已知其中有3件不合格品）中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有________ 种．（用数值作答）12. （2分）(2019·台州模拟) 在中，是边上的中线，∠ABD＝ .若，则∠CAD＝________；若，则的面积为________.13. （1分） (2018高二上·佛山期末) 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上点作的垂线，垂足为 .设，与相交于点 .若，则的值为________．14. （1分） (2019高一上·安康期中) 函数的零点个数为________.三、解答题 (共6题；共45分)15. （10分） (2017高三上·嘉兴期中) 已知函数 .（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值.16. （10分） (2017高二下·景德镇期末) 电商中“猫狗大战”在节日期间的竞争异常激烈，在刚过去的618全民年中购物节中，某东当日交易额达1195亿元，现从该电商“剁手党”中随机抽取100名顾客进行回访，按顾客的年龄分成了6组，得到如下所示的频率直方图．（1）求顾客年龄的众数，中位数，平均数（每一组数据用中点做代表）；（2）用样本数据的频率估计总体分布中的概率，则从全部顾客中任取3人，记随机变量X为顾客中年龄小于25岁的人数，求随机变量X的分布列以及数学期望．17. （10分）(2019·永州模拟) 如图，在多面体中，四边形为矩形，直线与平面所成的角为，，，， .（1）求证：直线平面；（2）点在线段上，且，求二面角的余弦值.18. （5分）(2017·长春模拟) 已知函数f（x）=x2eax ．（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）在（1）条件下，求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值；（Ⅲ）设函数g（x）=2ex﹣，求证：当a=1，对∀x∈（0，1），g（x）﹣xf（x）＞2恒成立．19. （5分） (2019高二上·洛阳月考) 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．20. （5分）(2020·浙江) 已知数列{an}，{bn}，{cn}中，a1＝b1＝c1＝1，cn+1＝an+1﹣an ， cn+1＝•cn（n∈N*）．（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比q＞0，且b1+b2＝6b3 ，求q与an的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差d＞0，证明：c1+c2+…+cn＜1+ ．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共45分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、。
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2020届辽宁省辽南协作校高三第二次模拟数学理科试题
一、单选题
(★) 1. 已知，，则( )
A．B．C．D．
(★) 2. 已知复数.则( )
A．B．1C．0D．2
(★★) 3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．100，40B．100，20C．200，40D．200，20
(★★) 4. 设是直线，，是两个不同的平面( )
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
(★★) 5. 已知，则条件“ ”是条件“ ”的( )条件.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
(★★) 6. 如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的分别为12、30，则输出的( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．18
(★★★) 7. 某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
(★★★) 8. 已知半径为 的圆
与 轴交于 两点，圆心 到 轴的距离为 .若
，并规定当圆
与 轴相切时 ，则圆心
的轨迹为( )
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．抛物线
(★★★) 9. 已知周期为 的函数
是奇函数，把
的图象向右平移 个单位得到
的图象，则
的一个单调增区间为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
(★★★) 10. 已知数列 满足 .则 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
(★★★★) 11. 在直角坐标系
中， 是椭圆 ： 的左焦点， 分
别为左、右顶点，过点
作 轴的垂线交椭圆 于 ， 两点，连接 交 轴于点
，连
接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
(★★★) 12. 已知函数满足.当时，下列说法：① ；② 只有一个零点；③ 有两个零点；④ 有一个极大值.其中正确的是( )
A．①③B．②③C．①④D．②④
二、填空题
(★★) 13. 已知函数（且）的图象恒过定点，且点在函数的图象上，则______.
(★★) 14. 已知数列为等差数列，成公比不为1的等比数列，且，则公差
_____.
(★★) 15. 已知平面向量与的夹角，且.若平面向量满足，则______.
(★★★) 16. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，为中点，，则球的体积为_______.
三、解答题
(★★★) 17. 已知的内角所对的边分别为，且.
（1）求角的值.
（2）若面积为，且，求及的值.
(★★★) 18. 数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用，它用统计的方法来帮助人
们分析以往的行为习惯，进而指导人们接下来的行动.
某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员，他收集到了甲、乙两名
球员近期5场比赛的传球成功次数，如下表：
场次第一场第二场第三场第四场第五场
甲2833363845
乙
39
31
43
39
33
（1）根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数，完成茎叶图（茎表示十位，叶表示个位）；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图； （2）求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差； （3）主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平，同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位球员?并说明理由.
(★★★) 19. 已知矩形
， 为 中点，将 至 折起，连结
.
（1）当 时，求证：
；
（2）当
时，求二面角
的余弦值. (★★★★★) 20. 已知函数
.
（1）若 .证明函数
有且仅有两个零点；
（2）若函数
存在两个零点
，证明： .
(★★★★) 21. 已知点
是抛物线
：
的准线与 轴的交点，点 是抛物线
上的动点，点 、 在 轴上， 的内切圆为圆
：
，且
，
其中 为坐标原点. （1）求抛物线 的标准方程； （2）求
面积的最小值.
(★★★) 22. 在直角坐标系
中，直线 的参数方程为 （ 为参数），圆 的参数
方程为
（ 为参数）.
（1）求 和 的普通方程；
（2）将向左平移后，得到直线，若圆上只有一个点到的距离为1，求. (★★★) 23. 设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．。