求函数的单调区间
单调区间的求法步骤
单调区间的求法步骤
《单调区间的求法步骤单调区间的求法步骤》
嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊单调区间的求法步骤。
这可是数学里挺重要的一块儿知识哦，别怕别怕，咱们一起轻松拿下它！
咱们先来说说第一步哈，那就是求函数的定义域。
这就好比你要去一个好玩的地方，得先知道能去的范围嘛。
比如说一个分式函数，分母不能等于零，不然就没意义啦。
这定义域就是咱们玩耍的场地，可不能搞错喽！
然后呀，咱们令导数等于零，求出导函数的零点。
这零点可重要啦，就像是路上的转折点。
找到它们，咱们就能更好地搞清楚函数的走势。
再然后呢，咱们以这些零点为分界点，把定义域分成几个小段。
这就像是把咱们的大场地分成了几个小区域。
接着，在每个小段里，咱们选一个数，代入导函数，看看是正还是负。
如果是正的，那这一段函数就是单调递增的；要是负的呢，这一段就是单调递减的。
这就好像是在每个小区域里探探路，看看是上坡还是下坡。
比如说，选个 1 代进去，发现导函数是正的，那这一段就是递增的，是不是挺有趣？
还有哦，咱们把单调递增和单调递减的区间都写出来，这可就算大功告成啦！
怎么样，小伙伴们，单调区间的求法步骤是不是也没有那么可怕呀？多练练，多琢磨琢磨，咱们就能轻松掌握，数学的世界也能变得好玩起来哟！加油加油，相信你们都能行！。
高中数学讲义：求函数的单调区间
函数的单调区间单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。
求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。
一、基础知识：1、函数的单调性：设()f x 的定义域为D ，区间I D Í，若对于1212,,x x I x x "Î<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间。
若对于1212,,x x I x x "Î<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间。
2、导数与单调区间的联系（1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x Þ"γ， 此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2f x x =的单调递增区间为[)0+¥，，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内。
（2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减()',()0x a b f x Þ"Σ，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()',()x a b f x "Î，的符号能否推出()f x 在(),a b 的单调性呢？如果()f x 不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。
求单调区间的方法
求单调区间的方法在数学中，单调区间是指函数在某个区间上是单调递增或者单调递减的区间。
在实际问题中，我们经常需要求解函数的单调区间，以便更好地理解函数的性质和行为。
本文将介绍几种常用的方法来求解单调区间。
一、导数法。
导数法是求解单调区间的常用方法之一。
对于给定函数$f(x)$，我们可以通过求解其导数$f'(x)$的符号来确定函数的单调性。
具体步骤如下：1. 求解函数的导数$f'(x)$；2. 找出导数$f'(x)$的零点，即解方程$f'(x)=0$；3. 将零点所在的区间进行划分，并在每个区间内取一个测试点$x_0$；4. 计算测试点$x_0$对应的导数值$f'(x_0)$，根据导数值的正负确定函数在该区间上的单调性。
二、二阶导数法。
在某些情况下，我们可以通过求解函数的二阶导数$f''(x)$来确定函数的单调区间。
具体步骤如下：1. 求解函数的二阶导数$f''(x)$；2. 找出二阶导数$f''(x)$的零点，即解方程$f''(x)=0$；3. 将零点所在的区间进行划分，并在每个区间内取一个测试点$x_0$；4. 计算测试点$x_0$对应的二阶导数值$f''(x_0)$，根据二阶导数值的正负确定函数在该区间上的凹凸性；5. 根据函数的凹凸性和一阶导数的符号确定函数的单调区间。
三、图像法。
图像法是一种直观的方法，通过观察函数的图像来确定其单调区间。
具体步骤如下：1. 绘制函数$f(x)$的图像；2. 通过观察函数图像，找出函数的上升区间和下降区间；3. 根据图像上升和下降的趋势确定函数的单调区间。
四、综合运用。
在实际问题中，我们通常需要综合运用以上方法来确定函数的单调区间。
例如，对于一个复杂的函数，我们可以先通过导数法找出函数的增减点，然后通过二阶导数法确定函数的凹凸性，最后通过图像法直观地确认函数的单调区间。
求函数单调区间的方法及几个常用结论
求函数单调区间的方法及几个常用结论要确定一个函数的单调区间，可以通过以下几种方法：1.分析函数的导数：如果一个函数在一些区间上的导数恒为正（负），则这个函数在该区间上是严格递增（递减）的。
通过求解函数的导数，可以确定函数的单调性。
对于可导函数，我们可以通过求导数的零点来确定函数的单调区间。
导数为正的区间是函数递增的区间，导数为负的区间是函数递减的区间。
2.分析函数的二阶导数：二阶导数表示函数的导数的导数。
如果一个函数在一些区间上的二阶导数恒为正（负），则该函数在这个区间上是凹的（凸的）。
通过求解函数的二阶导数，可以确定函数的拐点。
拐点可以将函数的区间分为凹和凸的两个部分，函数在凹部分是严格递增的，在凸部分是严格递减的。
3.利用函数的性质或图像：对于一些特定形式的函数，可以直接利用函数的性质或图像来判断函数的单调区间。
例如，对于多项式函数而言，函数的次数决定了函数的单调性。
如果一个多项式函数的次数为奇数，则函数是整个实数轴上的单调函数；如果一个多项式函数的次数为偶数，则函数是在一些区间上单调递增或单调递减。
4. 利用数学不等式：当函数定义域为实数时，我们可以通过利用一些数学不等式来判断函数的单调性。
例如，对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果$a > 0$，则函数是开口向上的，函数的单调区间为$(-\infty,+\infty)$；如果$a < 0$，则函数是开口向下的，函数的单调区间为$(+\infty,-\infty)$。
在实际应用中，经常会用到以下几个常用结论：1.定义：如果函数$f$在开区间$(a,b)$上单调递增，且在$x=a$和$x=b$处的极限分别存在，则$f$在闭区间$[a,b]$上连续。
2.定理1：如果函数$f$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，且在开区间$(a,b)$上导数恒为零，则$f$在闭区间$[a,b]$上的函数值都相等。
函数的单调区间怎么求
函数的单调区间怎么求
一：函数单调区间的求法：
（1）图像法
对于能作出图像的函数，我们可以通过观察图像确定函数的单调区间，即第一步作出函数图像，二是由单调性的几何意义划分增减区间，最后一步写出单调区间。
注意：当函数递增或递减区间由几个区间组成时，一般情况下不能取它们的并集，而应该用“和”、“或”连接。
（2）定义法
有些函数如果不能作出函数图像来观察出单调区间，可以用定义法来求其单调区间，即首先可以设X1、X2为该区间内任意的两个值，且X1小于X2，其次作差，令F（X1）-F（X2），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形。
（3）直接法
对于我们所熟知的一次函数、二次函数、反比例函数等，可以根据它们的特征，直接求出单调区间
（4）复合函数单调性的确定
二：求函数最值的方法
（1）函数的最值
（2）利用函数图像求最值
利用函数图像是函数求最值的常用方法，其步骤如下：
（3）利用函数单调性求最值
函数的最值与单调性的关系：
若函数在区间[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b)；若函数在区间[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).。
求复合函数的单调区间
c g ( x1 ) g ( x 2 ) b
又y f (u)在(c, d )上为增函数
即c u1 u2 d
即f [ g ( x1 )] f [ g ( x2 )] y f [ g ( x)]在(a, b)上为增函数
f (u1 ) f (u2 )
例1: 已知函数f (x)在R上是增函数，g(x)在[a,b]上是减 函数，求证：f [g(x)]在[a,b]上是减函数.
0 0.4 1
f ( x) log
0.4
y log 0.4 t是减区间。
x
2
4 x 3的单调递增区间为 2,3 ,
单调递减区间为1, 2 。
拓展1：判断函数f ( x) log
2
拓展2：判断函数f ( x) log
a
x
x 2 4 x 3 的单调性。
y u是定义域内是的单调递增函数。
又u x 2 1在 2,3 上是减函数。
2
y x 2 4 x 3在 2,3 上是减函数。
故函数y x 2 4 x 3的单调递减区间为 2,3。
问 你 求 函 ： 能 出 数
y x 2 4 x 3的 调 增 吗 单 递 区 ？
函数，记为y=f(u),u 又是x 的函数，记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的 定义域的交集不空，则确定了一个y关于x 的函y=f[g(x)],这时y叫x的复合函数，其中 u叫中间变量，y=f(u)叫外层函数，u=g(x) 叫内层函数。x
u
y
y ax2 bx c(a 0)
O
x
b 2a
x
正弦函数的单调区间公式
正弦函数的单调区间公式首先要记住f(x)=sinx的单调增区间是x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],单调减区间是x∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],k∈Zf(x)=cosx的单调增区间是x∈[2kπ-π,2kπ],单调减区间是x∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z遇到复合函数时,把ωx+φ看作一个整体,以余弦函数为例,函数简化为f(x)=Asin α由于单调区间和A没有关系,所以单调增区间为α∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z这时把α=ωx+φ带回,有ωx+φ∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z解得单调增区间为x∈[(2kπ-π-φ)/ω,(2kπ-φ)/ω],k∈Z举个例子：求f(x)=5sin(2x+π/4)的单调增区间f(x)的单调增区间为2x+π/4∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z则2x∈[2kπ-3π/4,2kπ+π/4],k∈Z即x∈[kπ-3π/8,kπ+π/8],k∈Z扩展资料:单调区间是指函数在某一区间内的函数值y，随自变量x的值增大而增大（或减小）恒成立。
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
注：在单调性中有如下性质。
图例：↑（增函数）↓（减函数）↑+↑=↑两个增函数之和仍为增函数↑-↓=↑增函数减去减函数为增函数↓+↓=↓两个减函数之和仍为减函数↓-↑=↓减函数减去增函数为减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)。
那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数。
函数的单调性及单调区间
函数的单调性及单调区间1．函数的单调性及单调区间【知识点的认识】一般地，设函数f （x ）的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2， 当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数．若函数f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么①f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．②（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．。
专题10 求函数的单调区间(教师版)
专题10 求函数的单调区间【热点聚焦与扩展】从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)证明不等式、研究函数的零点等.（5）考查数形结合思想的应用．单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.高考对单调性的考查有小题，但多出现在大题中，涉及单调性应用的题目较多.1、函数的单调性：在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数． 在上为减函数．2、导数与单调区间的联系（1）函数在可导，那么在上单调递增.此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零.等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：的单调递增区间为，而，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为在处的导数为0，但是位于单调区间内.（2）函数在可导，则在上单调递减（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由的符号能否推出在的单调性呢？如果不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性.（这也是求函数单调区间的理论基础） 3、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域（2）求出的导函数（3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间(,)a b ()f x '()f x (,)a b '()0()f x f x ≥⇔(,)a b '()0()f x f x ≤⇔(,)a b ()f x (),a b ()f x (),a b ()',()0x a b f x ⇒∀∈≥，()2f x x =[)0+∞，()'00f =()3f x x =0x =()0,0()f x (),a b ()f x (),a b ()',()0x a b f x ⇒∀∈≤，()',()x a b f x ∀∈，()f x (),a b ()f x ()f x '()f x '()0f x >0<x ()f x（4）列出表格4、求单调区间的一些技巧（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）.另一方面通过定义域对取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解 （2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式（3）一般可令，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）（4）若的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若的解集为，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么是定义域上的减函数（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，增→减，复合函数单调性同增异减等.如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定. 5、求单调区间的一些注意事项（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内.例如函数的单调减区间为，若写成就出错了（0不在定义域内）. （2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的符号.有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的.并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题.依然以为例，如果写成，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件.由性质可知，如果在两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的.【经典例题】例1. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数9】设函数()ln 21ln 21f x x x =+--，则()f x（ ）A ．是偶函数，且在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增 B ．是奇函数，且在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减 C ．是偶函数，且在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭单调递增 D ．是奇函数，且在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭单调递减 x '()0f x >()f x '()0f x >()f x '()0f x >∅()f x ()1-⨯1y x=()()0,,,0+∞-∞[)0,+∞1y x=()()0,,0+∞-∞1y x=()()0,,,0+∞-∞【答案】D【思路导引】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果． 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确．故选D ． 【专家解读】本题的特点是注重函数性质的综合应用，本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解函数奇偶性、单调性的含义． 例2.【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；【答案】（1）减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞．【思路导引】（1）将1a =代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，将其转化为2xea x =+有两个解，令()(2)2xe h x x x =≠-+，求导研究函数图像的走向，从而求得结果．【解析】（1）当1a =时，()(2)xf x e x =-+，'()1xf x e =-， 令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >， ∴()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞．【专家解读】本题的特点是灵活运用导数研究函数的性质，本题考查了导数与函数的单调性，考查导数与函数的零点，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是结合函数的图像研究问题．例3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；【答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增; 【思路导引】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可； (2)首先讨论0x =的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()'21x f x e x =+-，由于()''20x f x e =+>，故()'f x 单调递增，注意到()'00f =，故：当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增．【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数的单调性、极值（最值），考查数形结合、分类讨论思想，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数．【考向总结】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； (4)考查数形结合思想的应用．例4.【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+．（1）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．【答案】（1）对函数()g x 求导，把导函数()g x '的分子构成一个新函数()m x ，再求导得到()m x '，根据()m x '的正负，判断()m x 的单调性，进而确定()g x '的正负性，最后求出函数()g x 的单调性． 【解析】（1）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a+---==>--且)x a ≠，因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a --+'=-，设()2(ln ln )m x x a x x x a =--+，则有()2(ln ln )m x a x '=-，当x a >时，ln ln x a >，∴()0m x '<，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，∴()g x 单调递减；当0x a <<时，ln ln x a <，∴()0m x '>，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，∴()g x 单调递减，∴函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间．【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数单调性，考查不等式恒成立的参数取值范围问题，考查转化与化归思想，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键是应用参数分离法解决不等式恒成立的参数取值范围问题．例5.【2020年高考全国Ⅱ卷理数21】已知函数()2sin sin 2f x x x =．（1）讨论()f x 在区间()0,π的单调性；【答案】（1）当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增，当2,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当2,3x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增． 【思路导引】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；【解析】(1)由函数的解析式可得：()32sin cos f x x x =，则：()()224'23sin cos sin f x x x x =-()2222sin 3cos sin x x x =- ()222sin 4cos 1x x =-()()22sin 2cos 12cos 1x x x =+-，()'0f x =在()0,x π∈上的根为：122,33x x ππ==， 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增； 当2,33x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减； 当2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增． 【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数的单调性，考查应用导数证明不等式，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键是应用三角函数的有界性进行合理放缩证明不等式．例6.【2020年高考全国Ⅲ卷文数20】已知函数()32f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性： 【答案】（1）详见解析；【思路导引】（1）'2()3f x x k =-，对k 分0k ≤和0k >两种情况讨论即可； 【解析】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，∴()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x <<令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增．【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数的单调性，考查导数与函数的零点，考查数形结合及分类讨论思想，考查数学运算、逻辑推理、直观想象等学科素养． 例7. （2019·天津高三期中（理））已知函数，. （Ⅰ）若 ，求的值；（Ⅰ）讨论函数的单调性. 【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅰ)答案见解析. 【解析】(Ⅰ)由题意可得：，故，Ⅰ. (Ⅰ)Ⅰ函数，其中a >1， Ⅰf (x )的定义域为(0,+∞)，， 令f ′(x )=0,得x 1=1,x 2=a −1. Ⅰ若a −1=1,即a =2时,，故f (x )在(0,+∞)单调递增.Ⅰ若0<a −1<1，即1<a <2时， 由f ′(x )<0得，a −1<x <1； 由f ′(x )>0得，0<x <a −1，或x >1.故f (x )在(a −1,1)单调递减,在(0,a −1),(1,+∞)单调递增. Ⅰ若a −1>1，即a >2时，由f ′(x )<0得,1<x <a −1;由f ′(x )>0得，0<x <1，或x >a −1. 故f (x )在(1,a −1)单调递减,在(0,1),(a −1,+∞)单调递增. 综上可得,当a =2时,f (x )在(0,+∞)单调递增；当1<a <2时,f (x )在(a −1,1)单调递减,在(0,a −1),(1,+∞)单调递增； 当a >2时,f (x )在(1,a −1)单调递减,在(0,1),(a −1,+∞)单调递增.()()211ln 2f x x ax a x =-+-1a >'(2)0f =a ()f x ()1a f x x a x '-=-+()122=02a f a -=-+'3a =()()211ln 2f x x ax a x =-+-()()()()()11111'x x a x x a a f x x a x x x⎡⎤----+--⎣⎦=-+==()()21'0x f x x-=≥例8.（2019·北京高考模拟（理））已知函数 ．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅰ）当时，（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅰ）若在区间内单调递减，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅰ）（Ⅰ）递增区间为，单调递减区间为和，（Ⅰ）【解析】（Ⅰ）当时，， 所以所以曲线在点 处的切线方程为 即； （Ⅰ）时，（Ⅰ）函数，定义域为 ，所以，令 ，得 Ⅰ时，在 和， ；在， ．Ⅰ所以的单调递增区间为 和，单调递减区间为；Ⅰ当 时，在， ；在和 ， ．()2kxe f x x=()k R ∈0k =()y f x =()()1,1f --0k ≠()f x ()f x ()0,1k 230x y -+=2,0k ⎛⎫⎪⎝⎭2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+()(],00,2-∞0k ≠()221f x x x -==()3322f x x x -'=-=-()12f '-=()11f -=()y f x =()()1,1f --()()()111y f f x --=---⎡⎤⎣⎦230x y -+=0k ≠()2kxe f x x={}0x x ≠()()224422kxkx kx e kxx ke x e x f x xx -⋅-⋅'==()0f x '=2x k=0k >(),0-∞2,k ⎛⎫+∞⎪⎝⎭()0f x '>20,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x (),0-∞2,k ⎛⎫+∞⎪⎝⎭20,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭k 0<2,0k ⎛⎫⎪⎝⎭()0f x '>2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+()0f x '<所以 的单调递增区间为，单调递减区间为和；（Ⅰ）由 在区间 内单调递减，Ⅰ时，，有，所以 ； Ⅰ当时，在 递减，符合题意 综上的取值范围是【精选精练】1．（2020·安徽肥东·高三三模）已知a 为实数，3()32=++f x ax x ，若'(1)3-=-f ，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A．( B．22⎛- ⎝⎭C．(D．2⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】()332f x ax x =++，则()2'33,f x ax =+又()'13f -=-，则()1333f a '-=+=-，解得a=-2,()263,f x x '=-+解()0,f x '>得x <<则函数()f x的单调递增区间为,⎛ ⎝⎭故选B. 2．（2020·浙江柯桥·高三三模）已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）()f x 2,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+()f x ()0,10k >()20,10,k ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭21k≥02k <≤k 0<()f x ()0,∞+k ()(],00,2-∞A ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()()0,1,4,+∞C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,4)【答案】B【解析】结合图象：()01x ∈，和()4x ∈+∞，时，()()f x f x '<，即()()0f x f x -<′， 而()()()0xf x f xg x e -=<′′，故()g x 在()0,1，()4,+∞递减，故选B ．3．（2020·四川宜宾·高三三模）定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()x f x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()1,2【答案】B【解析】若虚线部分为函数()y f x =的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与x 轴有三个交点，不合乎题意；若实线部分为函数()y f x =的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与x 轴恰好也只有两个交点，合乎题意. 对函数()xf x y e=求导得()()xf x f x y e'='-，由0y '<得()()f x f x '<，由图象可知，满足不等式()()f x f x '<的x 的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭， 因此，函数()xf x y e =的单调递减区间为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭.故选：B. 4．（2020·湖南高三三模）若函数()()122f x x x =≠- ，则f (x ) A ．在(-2Ⅰ+∞ ),内单调递增 B ．在(-2Ⅰ+∞)内单调递减C ．在(2Ⅰ+∞)内单调递增D ．在(2Ⅰ+∞)内单调递减【答案】D【解析】由()12f x x =-可得()()21'2f x x =-- 因为2x <或2x >时Ⅰ()()21'02f x x =-<-Ⅰ()()122f x x x ∴=≠-在(),2-∞和()2,+∞内是减函数，故选D. 5．（2020·江苏崇川·南通一中高三三模）如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数213()22f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0C ．[0，1]D ．[1]【答案】D【解析】因为函数213()22f x x x =-+的对称轴为x ＝1， 所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数， 又当x≥1时，()13122f x x x x=-+，令13()122g x x x =-+(x ≥1)，则222133'()222x g x x x-=-=， 由g′(x)≤0得1x ≤≤即函数()13122f x x x x=-+在区间上单调递减， 故“缓增区间”I为，故选D.6．（2020·聊城一中高三三模）若直线y ex b =+是曲线ln y x =的一条切线，则函数()3ln f x b x x x=---的单调递增区间是（ ） A ．()0,3 B ．()1,3-C ．()3,+∞D ．(),1-∞-和()3,+∞【答案】A【解析】设切点为()00,ln x x ，则可得过该点的切线方程为：001ln 1y x x x =+-，又知切线为：y ex b =+， 故得：01x e =，1ln 12b e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则： ()33ln 2ln f x b x x x x x x=---=--， ()2231f x x x=-+'，令0f x ，解得：2230x x --<，即()1,3x ∈- 又该函数定义域为：0,，故单调增区间为()0,3.故选：A.7．（2020·全国高三三模）函数()1xx f x xe e +=-的单调递增区间是____________.【答案】()1,e -+∞【解析】因为函数()1xx f x xe e+=-，则()()11xxx x f x e e ee x x e ++'=--+=，令()0f x '>，可得1x e >-，所以单调递增区间是()1,e -+∞. 故答案为：()1,e -+∞8．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三三模）函数3()ln 4f x x =-的单调递减区间是_________【答案】90,4⎛⎤ ⎥⎝⎦或90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】33'()44f x x x -=-=，由3'()04f x x =<，又0x >得904x <<． Ⅰ减区间为9(0,)4，答9(0,]4也对． 故答案为9(0,)4或9(0,]4．9．（2020·贵州毕节·高三三模）已知函数()()()()21ln 10xf x x f x f e '=-+-，则()f x 的单调递减区间为______. 【答案】(]1,0-【解析】由题意，1x >-，()()()()()00021ln 0100f f f e f '=-+-=-，所以(0)0f =，故()()()21ln 1f x x f x '=-+，()()2111f f x x ''=-+， 所以()()211111f f ''=-+，解得()112f '=，故()1111xf x x x '=-=++， 0f x，即01xx +≤，解得，10x -<≤，故()f x 的单调递减区间为1,0.故答案为：1,010．（2020·五华·云南师大附中高三三模）函数()2sin cos 2[,0]f x x x x π=-∈-，的单调增区间为_____________. 【答案】5,62ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和,06π⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】因为()2sin cos 2f x x x =-，所以()2cos 2sin 22cos (12sin )f x x x x x '=+=+.令()0f x '>，则cos 012sin 00x x x π>⎧⎪+>⎨⎪-⎩，或cos 012sin 00x x x π<⎧⎪+<⎨⎪-⎩，所以06x π-<或562x ππ-<<-，所以函数()2sin cos 2,[,0]f x x x x π=-∈-的单调增区间为5,62ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和,06π⎛⎤- ⎥⎝⎦故答案为5,62ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和,06π⎛⎤- ⎥⎝⎦． 11．（2020·四川省绵阳江油中学高三三模）已知函数()()2102xf x axe ax ax a =--≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，函数()f x 在(),0-∞上的最小值为()g a ，若不等式()()ln g a ta a ≥--有解，求实数t 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）12,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由()212xf x axe ax ax =--， 得()()()()()'1111xxf x a x e x a x e ⎡⎤=+-+=+-⎣⎦，Ⅰ当0a >时，令()0f x '>，得()()110xx e +->，所以1010xx e +>⎧⎨->⎩，或1010x x e +<⎧⎨-<⎩，即11x x e >-⎧⎨>⎩或11x x e <-⎧⎨<⎩， 解得0x >或1x <-．令()0f x '<，得()()110xx e +-<，所以1010xx e +>⎧⎨-<⎩或1010x x e +<⎧⎨->⎩，即11x x e >-⎧⎨<⎩或11x x e <-⎧⎨>⎩， 解得10x -<<或x ∈∅．所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，()0,+∞；单调递减区间为()1,0-．Ⅰ当0a <时，令()0f x '>，得()()110xx e +-<，由Ⅰ可知10x -<<；令()0f x '<，得()()110xx e +->，由Ⅰ可知1x <-或0x >．所以函数()f x 的单调递增区间为()1,0-；单调递减区间为(),1-∞-，()0,+∞． 综上可得，当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，()0,+∞；单调递减区间为()1,0-． 当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1,0-；单调递减区间为(),1-∞-，()0,+∞．（2）由（1）可知若0a <，则当(),0x ∈-∞时，函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，所以()()1111122g a f ae a a a e -⎛⎫=-=--+=- ⎪⎝⎭， 所以不等式()()ln g a ta a ≥--有解等价于()11ln 2a ta a e ⎛⎫-≥--⎪⎝⎭有解， 即()ln 112a t e a-≥-+有解(0)a <， 设()()ln (0)x x x xϕ-=<，则()()21ln 'x x xϕ--=，所以当(),x e ∈-∞-时，()'0x ϕ<，()x ϕ单调递减， 当(),0x e ∈-时，()'0x ϕ>，()x ϕ单调递增， 所以()x ϕ的极小值也是最小值，且最小值为()()ln 1e e e eϕ-==--， 从而1111222t e e e≥--=-， 所以实数t 的取值范围为12,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 12．（2020·湖南高三三模）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) ()0,1 【解析】（1）()()()()()1211'220ax x f x ax a x x x-+=+--=>若0a ≤，()'0f x <，()f x 在()0,+∞上单调递减； 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，即()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0f x >，即()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）若0a ≤，()f x 在()0,+∞上单调递减，()f x 至多一个零点，不符合题意. 若0a >，由（1）可知，()f x 的最小值为11ln 1f a a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令()1ln 1h a a a =-+，()211'0h a a a=+>，所以()h a 在()0,+∞上单调递增， 又()10h =，当()0h a ≥时，[)1,a ∈+∞，()f x 至多一个零点，不符合题意， 当()0h a <时，()0,1a ∈ 又因为21210a a f e e e e ⎛⎫⎛⎫=++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合单调性可知()f x 在11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点 令()ln g x x x =-，()11'1x g x x x-=-=，当()0,1x ∈时，()g x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()g x 单调递增，()g x 的最小值为()110g =>，所以ln x x > 当3ax a->时， ()()()222ln 2f x ax a x x ax a x x =+-->+-- ()()2330ax a x x ax a =+-=+->结合单调性可知()f x 在3,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭有一个零点 综上所述，若()f x 有两个零点，a 的范围是()0,1。
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .举一反三：【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7．已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三：【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，，则为：解：，又为奇函数，所以．8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)<f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t 的范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a<-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a>1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0<x1<x2，∵0<x1<x2，∴x1-x2<0，x1·x2>0(1)当时0<x1·x2<1，∴x1·x2-1<0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x<a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.。
三角函数的单调区间公式
三角函数的单调区间公式三角函数的单调区间公式1、在0°~90°，正弦函数y=sin x从0递增到1：2、在90°~180°，正弦函数y=sin x从1递减到0：3、在180°~270°，正弦函数y=sin x从0递减到-1：4、在270°~360°，正弦函数y=sin x从-1递增到0：5、在0°~90°，余弦函数y=cos x从1递增到0：6、在90°~180°，余弦函数y=cos x从0递减到-1：7、在180°~270°，余弦函数y=cos x从-1递增到0：8、在270°~360°，余弦函数y=cos x从0递增到1：9、在0°~90°，正切函数y=tan x从0递增到无穷大：10、在90°~180°，正切函数y=tan x从无穷大递减到0：11、在180°~270°，正切函数y=tan x从0递减到无穷大负值：12、在270°~360°，正切函数y=tan x从无穷负大增动0：在数学中，三角函数是一组非常重要的函数，它们需要更具体的说明，即相应的函数的单调区间的范围。
这些单调区间的范围，也就是函数y = sin x, y = cos x和y = tan x的单调区间是其中三种最常见的三角函数。
关于三角函数的单调区间的公式有一对数学的一对概念，它们是：1、函数的单调性：2、函数的极值点：具体到三角函数，它们的单调性指的是它们在某一区间上在增加或减小，而极值点指的是在某一区间上他们的值没有继续增加或减少了。
根据上述概念，三角函数的单调区间可以总结为：1、在0°~90°，正弦函数y=sin x从0递增到1：2、在90°~180°，正弦函数y=sin x从1递减到0：3、在180°~270°，正弦函数y=sin x从0递减到-1：4、在270°~360°，正弦函数y=sin x从-1递增到0：5、在0°~90°，余弦函数y=cos x从1递增到0：6、在90°~180°，余弦函数y=cos x从0递减到-1：7、在180°~270°，余弦函数y=cos x从-1递增到0：8、在270°~360°，余弦函数y=cos x从0递增到1：9、在0°~90°，正切函数y=tan x从0递增到无穷大：10、在90°~180°，正切函数y=tan x从无穷大递减到0：11、在180°~270°，正切函数y=tan x从0递减到无穷大负值：12、在270°~360°，正切函数y=tan x从无穷负大增动0：由于三角函数的单调性和极值点的关系，所以可以用来推导各种需要求解三角函数的实际问题中依据函数计算出函数值。
求函数的单调性的方法
求函数的单调性的方法
求函数的单调性的方法可以使用导数的方法和增减性的方法。
1. 使用导数的方法：首先求出函数的导函数，然后讨论导函数的符号来判断函数的单调性。
- 如果导函数大于0，即导函数在某个区间上恒为正，那么函数在这个区间上是增函数；
- 如果导函数小于0，即导函数在某个区间上恒为负，那么函数在这个区间上是减函数；
- 如果导函数大于等于0，即导函数在某个区间上恒为非负，那么函数在这个区间上是非递减函数；
- 如果导函数小于等于0，即导函数在某个区间上恒为非正，那么函数在这个区间上是非增函数。
2. 使用增减性的方法：通过比较函数在不同区间上的取值来判断函数的单调性。
- 如果函数在某个区间上是递增的，即函数在这个区间上随着自变量的增大而增大，那么函数在这个区间上是增函数；
- 如果函数在某个区间上是递减的，即函数在这个区间上随着自变量的增大而减小，那么函数在这个区间上是减函数；
- 如果函数在某个区间上是非递减的，即函数在这个区间上随着自变量的增大保
持不减或者不降，那么函数在这个区间上是非递减函数；
- 如果函数在某个区间上是非递增的，即函数在这个区间上随着自变量的增大保持不增或者不降，那么函数在这个区间上是非递增函数。
通过以上两种方法可以判断函数的单调性。
需要注意的是，在使用导数的方法判断函数的单调性时，要先确定函数的定义域，并排除导数不存在的点；而在使用增减性的方法判断函数的单调性时，则需要根据函数的表达式或者图像来进行分析。
函数的单调性求解技巧
函数的单调性求解技巧函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质，也就是函数图像的上升或下降趋势。
在数学中，确定函数的单调性是解决不等式和优化问题的重要步骤。
本文将介绍一些常用的技巧和方法，帮助读者更好地求解函数的单调性。
一、导数法求解函数的单调性最常用的方法就是使用导数。
利用导数可以确定函数的增减性。
具体步骤如下：1.求函数的导数。
设函数为f(x)，则求导得到f'(x)。
2.求出f'(x)的零点。
零点即为f(x)的增减区间的分界点。
3.根据f'(x)的正负确定f(x)的单调性。
当f'(x)>0时，f(x)在该区间上单调递增；当f'(x)<0时，f(x)在该区间上单调递减。
例如，求解函数f(x) = x^2 + 3x + 2的单调性：1.求导得到f'(x) = 2x + 3。
2.令f'(x) = 0，解得x = -3/2。
3.当x < -3/2时，f'(x) < 0，函数f(x)在该区间上单调递减；当x > -3/2时，f'(x) > 0，函数f(x)在该区间上单调递增。
二、二阶导数法除了使用一阶导数外，还可以通过二阶导数的正负确定函数的凹凸性，从而进一步确定函数的单调性。
1.求函数的二阶导数。
设函数为f(x)，求导得到f''(x)。
2.求出f''(x)的零点。
零点即为f(x)的拐点。
3.根据f''(x)的正负确定f(x)的凹凸性。
当f''(x)>0时，f(x)在该区间上为凹函数，即函数图像上凹；当f''(x)<0时，f(x)在该区间上为凸函数，即函数图像下凸。
4.进一步根据一阶导数f'(x)的正负确定f(x的单调性。
当f''(x)>0且f'(x)>0时，f(x)在该区间上单调递增；当f''(x)>0且f'(x)<0时，f(x)在该区间上单调递减。
判断单调性的5种方法
判断单调性的5种方法
1. 增减方法：取函数的导数，若导数恒大于0，则函数单调增；若导数恒小于0，则函数单调减。
2. 零点方法：取函数的导数，找出导数为0的点，若导数在该点左侧恒大于0，右侧恒小于0，则函数在该点处取得极大值，即在该区间内为单调增；若导数在该点左侧恒小于0，右侧恒
大于0，则函数在该点处取得极小值，即在该区间内为单调减。
3. 二阶导数方法：取函数的二阶导数，若二阶导数恒大于0，
则函数凹向上，为单调增；若二阶导数恒小于0，则函数凹向下，为单调减。
4. 局部区间验证法：通过选取函数的若干局部区间，查看函数在每个区间内的增减情况，若函数在每个区间内都是单调增或单调减，则整个函数为单调增或单调减。
5. 极限判定法：取函数的两个不同自变量取极限，若极限之间的函数值关系与自变量关系相同，则函数为单调增或单调减。
求函数的单调区间
G (a, b)
y
o
a
b
x
o
a
b
x
导数与函数的单调性有什么关系？
二、问题探究
2 y x 4x 3的单调性. 讨论函数
解：取 x1 x2 R ，
f ( x1 ) f ( x2 ) ( x12 4x1 3) ( x22 4x2 3)
( x1 x2 )( x1 x2 ) 4( x1 x2 )
变式：求函数
解 : y 9 x 2 6 x
2
1 1 6 x 3 0, x , 单调增区间为 ( ,); 2 2 1 1 6 x 3 0, x , 单调减区间为 (, ). 2 2 3 2
y 3 x 3 x 的单调区间。
2 2 9 x 6 x 0, x 或x 0,单 调 增 区 间 为 (,0)， ( ,); 3 3 2 2 2 9 x 6 x 0,0 x ,单 调 减 区 间 为 (0, ). 3 3
2、函数 y sin x, x (0, 2 ) 的递减区间是 3、求证:
f ( x) ex 在区间 (, )上是增函数.
0） 变式：f ( x) e x在区间（－， 内是减函 数.
x
六、课堂小结 1.函数的单调性与其导函数正负的关系
2.求函数的单调区间的一般步骤
O
1 2
y
fx = 2x3-6x2+7
x
说明:当函数的单调增区间或减区间有多 个时，单调区间之间不能用 连接，只 能分开写，或者可用“和” “,”连接。
应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数象如图所示：
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。
求二次函数单调区间
求二次函数单调区间二次函数是高中数学中非常重要的一个概念，它的图像是一个开口朝上或朝下的平滑曲线，有着许多特殊的性质。
在图像上，二次函数的单调性指的是函数在某一区间内是单调递增还是单调递减，对于学习和应用二次函数都有着重要的作用。
一、二次函数的基本性质1. 二次函数一般式：y=ax^2+bx+c（a≠0）其中，a、b、c为常数，a的符号决定了二次函数的开口方向，当a>0时，函数开口朝上，当a<0时，函数开口朝下。
2. 二次函数的对称轴：x=-b/2a。
可以通过求出二次函数的对称轴，来求出函数的最值。
3. 二次函数的顶点坐标：( -b/2a , c-b^2/4a)。
在二次函数的对称轴上，函数的取值达到最大或最小值，称为函数的极值点或顶点。
当a>0时，函数的最小值为顶点，当a<0时，函数的最大值为顶点。
二次函数的单调性与二次函数的导数有着密切的关系，通过求导进行分析，可以确定二次函数在哪些区间是单调递增或单调递减。
下面，将介绍二次函数单调区间的求法：1. 求导二次函数的导函数为f'(x)=2ax+b，利用导数的符号可以判断其原函数在哪些区间内单调递增或单调递减。
当导数为正值时，函数单调递增；当导数为负值时，函数单调递减；当导数为零时，函数的极值点即为函数的最值点。
2. 分析导数符号分析导数符号，可以将整个定义域分成若干个区间，每个区间内的导数符号相同，代表函数在该区间内单调递增或单调递减。
将导数符号的变化情况用不等式来表达，求解不等式，得出函数单调性的区间解。
具体步骤如下：（1）求出二次函数的导数：f'(x)=2ax+b（2）分析导数的符号并求出导数为0的临界点：f'(x)>0，x∈(x1,x2);f'(x)<0，x∈(-∞,x1)U(x2,+∞);f'(x)=0，x=x1或x2。
（3）将函数定义域拆解成若干个小区间，并根据导数符号确定每个小区间内函数的单调性，如下表所示：| 区间 | 符号 | 单调性 || ------- | ------- | -------------- || 有理数 | f'(x)>0 | 递增 || (x1,x2) | f'(x)=0 | 拐点 || 无理数 | f'(x)<0 | 递减 || ------- | ------- | -------------- || 全区间 | f'(x)>0 | $x \in(x_{1}, x_{2})$ || | f'(x)<0 | $x \in(-\infty, x_{1}) \cup\left(x_{2},+\infty\right)$ |三、例题分析例1：已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中，a<0，且f(1)>0，求函数f(x)的单调递减区间。
第06讲 函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法
精品二轮第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法【知识要点】一、判断函数单调性的方法判断函数单调性一般有四种方法：单调四法 导数定义复合图像 1、定义法用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设D x x ∈21,，且12x x <；②作差，求)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.2、复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：3、导数判断法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数()f x '，若()f x 在区间(,)a b 内，总有()0(()0)f x f x ''><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）.4、图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间D ，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间D 是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数. 二、证明函数的单调性的方法证明函数的单调性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用来判断函数的单调性，但是不能用来证明.三、求函数的单调区间求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像 1、定义法 :由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少.2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.3、导数法:先求函数的定义域D ，然后求导()f x '，再解不等式()()0f x '>< ,分别和D 求交集，得函数的递增（减）区间 .4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区间.四、一些重要的有用的结论1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数xy 1=、x y =和3x y =；偶函数在其对称区间上的单调性相减，如函数2x y =.2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数⨯增函数不一定是增函数，函数x y =和函数3x y =都是增函数，但是它们的乘积函数4x y =不是增函数. 3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”. 4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题.5、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开.如函数()y f x =的增区间为(1,2),(3,5).不要写成(1,2)(3,5).【方法讲评】【例1】证明函数()(0)f x x a x=+>在区间)+∞是增函数.【反馈检测1】讨论函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上的单调性.【例2】已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >，(2)1f =.（1）求证()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上时增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<.【反馈检测2】已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1],0m n m n ∈-+≠时，有()()0f m f n m n +>+.（1）解不等式1()(1)2f x f x +<-（2）若2()21f x t at ≤-+对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，求实数t 的取值范围.【例3】已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围.【反馈检测3】已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (1)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.【例4】 设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的单调区间与极值.【反馈检测4】 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点,A B 及CD 的中点P 处，已知20AB km =,10CB km = ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且,A B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道,,AO BO OP ，设排污管道的总长为y km ． （1）按下列要求写出函数关系式：①设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km ) ，将y 表示成x 的函数关系式．（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【反馈检测5】函数()f x 的导函数'()f x ，对x R ∀∈，都有'()()f x f x >成立，若(ln 2)2f =，则满足不等式()xf x e >的x 的范围是（ ）A ．1x >B ．01x <<C ．ln 2x >D ．0ln 2x <<CBPOAD【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<方法三 复合函数分析法 使用情景 较简单的复合函数.解题步骤先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.【例5】【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【反馈检测7】 已知函数22()sin 3sin sin()2cos 2f x wx wx wx wx π=+++ (0)x R w ∈>，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π. (1) 求w ；(2)(2)若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及单调递减区间．方法四 图像法使用情景 函数的图像比较容易画出.解题步骤一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.【例6】求函数2()||f x x x =-+的单调区间.【反馈检测8】 已知函数),1()(0)(-=≥x x x f x R x f 时上的偶函数，当是定义在 （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若)(x f =2，求x 的值； （3）画出该函数的图像并根据图像写出单调区间.精品二轮第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法参考答案【反馈检测1答案】当12a >时，原函数是增函数；当12a <时，原函数是减函数.【反馈检测2答案】（1）104x ≤≤；（2）022t t t =≥≤-或或 【反馈检测2详细解析】212121212121()()(1)1,()()()()()()f x f x x x f x f x f x f x x x x x +->>-∴-=+-=--设1>212121212121()()()()()00()()f x f x f x f x x x x x x x x x +-+-=->->+-+-由已知得21111211()()0()(1)111024112x f x f x f x f x x x x x⎧-≤+≤⎪⎪∴->∴+<-∴-≤-≤∴≤<⎨⎪⎪+<-⎩函数在定义域内单调递增。
绝对值函数单调区间怎么求
绝对值函数单调区间怎么求
要求绝对值函数 f(x) = |x| 的单调区间，可以通过以下步骤来求解：
1. 首先，我们需要了解绝对值函数的定义。
绝对值函数 f(x) = |x| 在不同的 x 值下具有不同的定义：
- 当x ≥ 0 时，f(x) = x；
- 当 x < 0 时，f(x) = -x。
2. 考虑 x 的取值情况：
- 如果x ≥ 0，则 f(x) = x；
- 如果 x < 0，则 f(x) = -x。
3. 针对不同的情况，我们可以得到下面两个函数：
- 当x ≥ 0 时，f(x) = x；
- 当 x < 0 时，f(x) = -x。
4. 对于一元函数 f(x) = x，我们知道当x_1 ≤ x_2 时，有 f(x_1) ≤ f(x_2) 成立，也就是说该函数在整个定义域上是单调递增的。
5. 对于一元函数 f(x) = -x，我们知道当x_1 ≤ x_2 时，有 f(x_1) ≥ f(x_2) 成立，也就是说该函数在整个定义域上是单调递减的。
综上所述，绝对值函数 f(x) = |x| 在x ≥ 0 区间上是单调递增的，在 x < 0 区间上是单调递减的。
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函数的单调区间单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。
求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。
一、基础知识：1、函数的单调性：设()f x 的定义域为D ，区间I D ⊆，若对于1212,,x x I x x ∀∈<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间。
若对于1212,,x x I x x ∀∈<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间。
2、导数与单调区间的联系（1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x ⇒∀∈≥，此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2f x x =的单调递增区间为[)0+∞，，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内。
（2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减()',()0x a b f x ⇒∀∈≤，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()'f x在(),a b的单调性呢？如果()f x不x a b f x∀∈，的符号能否推出(),()是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。
（这也是求函数单调区间的理论基础）3、利用导数求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域（2）求出()f x的导函数'()f x（3）令'()0f x的单调增（或减）f x>（或0<），求出x的解集，即为()区间（4）列出表格4、求单调区间的一些技巧（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。
另一方面通过定义域对x取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解（2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式（3）一般可令'()0f x>，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若()f x不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）（4）若'()0f x是定义域上的增函数，f x>的解集为定义域，那么说明()若'()0f x>的解集为∅，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么()f x是定义域上的减函数（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，()1-⨯增→减，复合函数单调性同增异减等。
如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。
5、求单调区间的一些注意事项（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。
例如函数1y x =的单调减区间为()()0,,,0+∞-∞，若写成[)0,+∞就出错了（0不在定义域内）（2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的符号。
有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的。
并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。
依然以1y x =为例，如果写成()()0,,0+∞-∞，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件。
由1y x =性质可知，如果在()()0,,,0+∞-∞两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的。
6、二阶导函数的作用：①几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于()"f x 而言，决定的是()'f x 的单调性。
当()''0f x >时，()'f x 单调递增，意味着()'f x 随x 的增大而增大，由于导数的几何意义为切线斜率，故切线斜率k 随x 的增大而增大；同理，当()''0f x <时，()'f x 单调递减，则切线斜率k 随x 的增大而减少。
那么在图像上起到什么作用呢？单调增有三种： 其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不同，所以如果说()'f x 是决定函数单调性的，那么()''f x 在已知单调性的前提下，能够告诉我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。
（1）当()"0f x >，其图像特点为： 我们称这样的函数为下凸函数（2）当()"0f x <，其图像特点为： 我们称这样的函数为上凸函数②代数意义：当通过()'f x 无法直接判断符号时，可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单调性，再看能否利用条件判断符号。
二、典型例题：例1：下列函数中，在()0,+∞上为增函数的是（ ）A. ()sin2f x x =B. ()x f x xe =C. ()3f x x x =-D. ()ln f x x x =-+思路：本题只需分析各个函数在()0,+∞上的单调性即可。
A 选项()sin2f x x =通过其图像可知显然在()0,+∞不单调；B 选项()()'1x x x f x e xe x e =+=+，当()0,x ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在()0,+∞单调递增；C 选项()231=3f x x x x ⎛=--+ ⎝⎭⎝⎭‘可得()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减，在3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；D 选项()'111x f x x x -=-+=，可得()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减。
综上，B 符合条件答案：B例2：函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）A. ()0,+∞B. (),0-∞C. ()2,+∞D.(),2-∞-思路：先分析()f x 的定义域：()()240,22,x x ->⇒∈-∞-+∞，再观察解析式可得()f x 可视为函数212log ,4y t t x ==-的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，可分别分析两个函数的单调性，对于12log y t=而言，y 对t 是减函数。
所以如要求得增区间，则24t x =-中t 对x 也应为减函数。
结合定义域可得()f x 的单调增区间为(),2-∞- 答案：D例3：求函数()()32333x f x x x x e -=+--的单调区间（2009宁夏，21题（1）） 思路：第一步：先确定定义域，()f x 定义域为R ，第二步：求导：()()'232()363333x x f x x x e x x x e --=+--+-- ()()()3933x x x x e x x x e --=--=--+,第三步：令'()0f x >,即()()330x x x x e ---+>第四步：处理恒正恒负的因式，可得()()330x x x -+<第五步：求解()()3,03,x ∈-+∞,列出表格例4：求函数()()ln ln 2f x x x x =+-+的单调区间解：定义域()0,2x ∈()()()()(()2'221121=2222x x x x x x x f x x x x x x x x x -+-++--=++==----()0,2x ∈20,0x x ∴-<+>∴令导数()'0f x >解得：0x x -<⇒<式的过程）∴例5：求函数()2f x =的单调区间 解：()()122'32112ln ln ln 4ln 122x x x x x x f x x x -⋅-==⋅ 令()'0f x >，即解不等式()ln ln 40x x -<，解得40ln 41x x e <<⇒<< ()f x ∴的单调区间为例6：求函数()1ln f x x x =--的单调区间思路：函数还有绝对值，从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值，在求导进行单调性分析解：()1ln ,11ln ,01x x x f x x x x -->⎧=⎨--<<⎩，当()0,1x ∈时，()1ln f x x x =--为减函数 当()1,x ∈+∞时，()'111x f x x x -=-=1x > ()'0f x ∴> ()f x ∴在()1,+∞单调递增综上所述：()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增小炼有话说：（1）对于含绝对值的函数，可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去掉绝对值，从而将函数转变为一个分段函数。
（2）本题在()0,1x ∈时，利用之前所学知识可直接判断出()f x 单调递减，从而简化步骤。
导数只是分析函数单调性的一个工具，若能运用以前所学知识判断单调性，则直接判断更为简便例7：（1）若函数()()()1ln 10,01x f x ax x a x -=++≥>+在区间[)1,+∞单调递增，则a 的取值集合是__________（2）若函数()()()1ln 10,01x f x ax x a x-=++≥>+的递增区间是[)1,+∞，则a 的取值集合是___________解：（1）思路：()()()()2'22221111a ax a f x ax x ax x +-=-=++++，由()f x 在[)1,+∞单调递增可得：1x ∀≥，()()()()2'22201211ax a f x a x ax x +-=≥⇒+≥++。
2max211a x ⎛⎫∴≥= ⎪+⎝⎭ 1a ∴≥（2）思路：()f x 的递增区间为[)1,+∞，即()f x 仅在[)1,+∞单调递增。
令()'222020a f x ax a x a->⇒+->⇒>，若1a >，则()f x 单调递增区间为()0,+∞不符题意，若01a <≤，则x >时，()'0f x >。
所以11a =⇒= 答案：（1）1a ≥，（2）1a =小炼有话说：注意两问的不同之处，在（1）中，只是说明()f x 在区间[)1,+∞单调递增，那么()f x 也可以在其他区间单调递增，即[)1,+∞是增区间的子集。