用平行线解决抛物线中的面积问题 (导学案)
【2019最新】七年级数学上册 5-2-1 平行线导学案(无答案)(新版)华东师大版
aC B 【2019最新】七年级数学上册 5-2-1 平行线导学案（无答案）（新版）华东师大版学习目标：1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的两种位置关系；2．理解并掌握平行公理及其推论的内容；3．会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线；4．了解在实践中总结出来的基本事实的作用和意义，并初步感受公理化思想。
重点：探索和掌握平行公理及其推论.难点：：：对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质一、抽测反馈：（我会做）1.两条直线相交有________个交点。
平面内两条直线的位置关系只有相交和________。
2.经过直线外一点，有________条直线和已知直线平行.3. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线________。
即若a// b ，b//c,则________//________.二、自主学习（我最棒）（一）平行线1、定义及表示方法：在同一平面内．．．．．．，____________________________是平行线。
直线a 与b 平行，记作____________________。
2、对平行线概念的理解：定义中强调“在同一平面内”，为什么要强调这句话？ （ 在空间中，是否存在既不平行又不相交的两条直线?提示：用长方体来说明 ）总结：同一平面内两条直线的位置关系有两种：（1）____________（2）____________。
（二）画平行线及平行线的一个基本事实。
工具：直尺、三角板 方法：一“放”；二“靠”；三“推”；四“画”。
3、请你根据此方法练习画平行线： 已知:直线a,点B,点C.（1）过点B 画直线a 的平行线,能画____________条； （2）过点C 画直线a 的平行线,能画____________条；（3）从（1）、（2）中，你能得出什么结论？（平行线的一个基本事实）（三）平行线的一个推论1、思考：上图中，①你画的两条直线有什么位置关系？________________ ②从中你能得出什么结论？（平行线的一个推论）c b a CA G AB· P C D EF③符号语言：∵a// b ，b // c （已知）∴______________ （如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行）三、展示提升：（我最棒）如图,P 是直线AB 外一点,CD 与EF 相交于P.若CD 与AB 平行,则EF 与AB 平行吗?为什么?2.根据下列要求画图.(1)如图(1),过点A 画MN∥BC;(2)如图(2),过点P 画PE∥OA,交OB 于点E,过点P 画PH∥OB,交OA于点H; C B A(1) (2)3.如图，长方体ABCD-EFGH ， （1）图中与棱AB 平行的棱有哪些？图中与棱AD 平行的棱有哪些？（3）作图连接AC 、EG ，问AC 、EG 是否平行？梳理小结：（我能行）五、检测达标：（我会做）1．下列命题：（1）长方形的对边所在的直线平行；（2）经过一点可作一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交；（4）经过一点可作一条直线与已知直线垂直．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、下列推理正确的是（）A、因为a//d, b//c,所以c//dB、因为a//c, b//d,所以c//dC、因为a//b, a//c,所以b//cD、因为a//b, d//c,所以a//c3.下列说法正确的有( )①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种;③若线段AB与CD没有交点,则AB∥CD;④若a∥b,b∥c,则a与c不相交.A.1个B.2个C.3个D.4个4.同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为_______________。
“平移抛物线求面积”教学设计
“平移抛物线求面积”教学设计点评：山东—吴金华一、创设情境,导入新课情境 如图1,在一块长20m ,宽12 m 的草坪中有一条抛物线形的路,它的横向宽度为2 m ,你能根据图中的数据,计算阴影部分的面积吗?点评：问题情境与学生生活联系紧密，有利于激发学生学习的积极性。
【学生活动】思考,发言. 【教师活动】总结,组织学生评价.点评：学生活动和教师活动过于简略。
教师对学生活动应具有预见性，当根据学生表现，给予切实的评价；教师活动当体现学法与解题方法的指导作用。
答案:把路的右边(或左边)的部分向左(或右)平移,空出一部分(如图所示),该部分图形的面积与抛物线形路的面积相等,故阴影部分的面积为:20×12-20×2=200m 2.点评：解题方法巧妙。
借助图形平移的性质，化抽象为具体，使学生的思路豁然开朗，不言而喻。
【感悟】借助图形平移的性质,可把不规则图形的计算问题转化为规则图形的计算问题,突显平移的优越性.二、合作交流,解读探究问题1如图2,抛物线y 1＝-x 2＋2向右平移1个单位得到抛物线y 2,则阴影部分的面积S =_________.【引导分析】1.抛物线y 1及抛物线y 2的顶点坐标分别是多少?2.把抛物线y 1在第一象限内的部分向右平移几个单位长度,与抛物线y 2重合?3.阴影部分面积与哪个规则图形面积相等?答案:1.抛物线y 1及抛物线y 2的顶点坐标分别是(0,2),(1,2).2.把抛物线y 1在第一象限内的部分向右平移1个单位长度,与抛物线y 2重合.3.阴影部分面积与矩形PONM 图形面积相等(即为:2).【双向沟通】师生互动:学生在教师的引导下,就上面引导分析中的问题,逐个进行思考发言,教师组织学生共同评价,并就不正确的结论进行纠正,形成共识,得出正确结论.教师引导学生进行解题切入口的探究分析,同时,进行解题方法的归纳.问题2如图3,试求两条抛物线y 1=21-x 2＋1、y 2=21-x 2-1与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分图1 图3图2的面积.【引导分析】1.抛物线y 1及抛物线y 2的顶点坐标分别是多少?2.抛物线 y 2=-21x 2-1可以看成是由抛物线y 1=-21x 2＋1,向哪个方向平移几个单位而得? 3.把格点矩形ABCD 向下平移几个单位长度后,两抛物线重合?此时,它可与哪个格点矩形重合?4.阴影部分面积与哪个规则图形面积相等?答案: 1.抛物线y 1及抛物线y 2的顶点坐标分别是(0,2), (0,0).2.抛物线y 2由抛物线y 1向下平移2个单位长度而得.3.格点矩形ABCD 向下平移2个单位长度后,两抛物线重合.此时,它可与哪个格点矩形BEFC 重合.4.阴影部分面积与矩形ABCD 面积相等(即为:8).【双向沟通】师生互动:学生在教师的引导下,就上面的问题,逐个进行思考发言,教师组织学生共同评价,并就不正确的结论进行纠正,形成共识,得出正确结论.教师引导学生进行解题切入口的探究分析,同时,进行解题方法的归纳.点评：引导分析环环相扣，意在帮助学生构建抛物线形路面的教学模型，将不规则图形转化为规则图形，符合学生的认知规律。
利用平行线解决抛物线中面积问题
=S△CAB，如果存在请求出点D的坐标，若不存在请说 明理由。 A
如果三个景点A、B、C 在一个抛物线形围墙边上， 能不能在这个围墙的边 上找到满足要求的景点D？ B
C
LQ @ LQZX
变式1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过 A（0，2），B（-2，0），C（1，0）三点 （1）求该抛物线的表达式； （2）抛物线上是否存在点D ， 使得S△DAB =S△CAB,如 果存在请求出点D的坐标，若不存在请说明理由。
A
B
LQ @ LQZX
C
变式2：如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过 A（0，2），B（-2，0），C（1，0）三点 （1）求该抛物线的表达式； 1 （2）抛物线上是否存在点D ，使得S△DAB =2 S△CAB,如 果存在请求出点D的坐标，若不存在请说明理由。
A
B
LQ @ LQZX
C
变式3：如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过 A（0，2），B（-2，0），C（1，0）三点 （1）求该抛物线的表达式； 2 （2）抛物线上是否存在点D ，使得S△DAB =3 S△CAB,如 果存在请求出点D的坐标，若不存在请说明理由。
LQ @ LQZX
在公园内有如图所示的三角形花园，现 在工程需要将C处改造掉，为了让花园的面 积不变，在平面内能否找到点P使得 S△PAB=S△ABC？如果能请画出点P的位置 A B C
LQ @ LQZX
例1：如图建立平面直角坐标系A（0，2），B（-2，
0），C（1，0），在y轴上是否存在点D，使得S△DAB
A
B
LQ @ LQZX
用平行线解决抛物线中的面积问题(导学案)
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用平行线解决抛物线中的面积问题 （导学
案）
徐古中学杨军
导学目标：1、理解并掌握用平行线解决抛物线中面积问题的方法，进一步提
高学生的分析、推理能力和计算能力。
2、培养学生的在数学学习中的转化思想，感受转化思想在数学活 动中的作用。
3、通过学习，培养和提升学生运用数学知识解决问题的能力，感 受成功的喜悦。
导学重、难点：1、如何在坐标轴上找到满足条件的点。
2、作出正确的平行线并求出其解析式。
导学过程：一、复习故知，引出新知。
我们已经学习了二次函数图像的内容，知道了二次函数的解析 式和图像的联系。
下面我们来看一个问题：
问题1:如图，抛物线y=-x 2
+2x+3与两轴
交于A 、B 、C 三点，请同学们求出它们的坐标。
10 15
归纳:
二、学习新知。
问题2 :连接AC ,请同学们在
坐标轴上找一点D ，使得S AACD =3, 请同学们思考并找寻。
8
10
3、 如图，抛物线y=-x 2
-4x+5与x 轴交于A 、B 两点, 交y 轴于点C ,其顶点为P 连PC 。
抛物线上有 一点E,且S PCE =15,求点E 的坐标。
2、如图，已知抛物线y=2
「3x" x 轴交于A 、B 两点,
交y 轴于C ,在抛物线上有一点 使得 S A ACF =4 , 求点P 的坐标。
2
4
、
4
6
三、课堂训练。
1、 在刚才的例题中，连接BC,在抛
物线上有一点F ,且S A BCF =3,求F 的坐标。
2019最新人教版九年级数学二次函数的应用之一(面积问题)导学案教案
班级姓名使用日期：2019-09 九年级数学学案 主备课人 江云桂Q D C B A Pxy B A O P 二次函数的应用之一(面积问题)教学目标：1．会根据实际问题构建函数模型，把实际问题中的变量关系表示成二次函数关系；2．会运用二次函数的知识解决实际问题中的面积问题．【复习引入】1. 用一根长为32cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm 2． 2．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m ，则能建成的饲养室面积最大为 m 2．【探究新知】探究一 1. 如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ） A ．cm 2B ．cm 2 C ．cm 2 D ．cm 22．如图，在边长为24cm 的正方形纸片ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A 、B 、C 、D 四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E 、F 在AB 边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE =BF =x （cm ）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V ；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S 最大，试问x 应取何值？探究二在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，动点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿AB 向点B 移动；同时点P 从点B 出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C 移动，连接QP ，QD ，PD ．若两个点同时运动的时间为x 秒（0＜x ≤3），设△QPD 的面积为S ，用含x 的函数关系式表示S ；当x 为何值时，S 有最大值？并求出最小值．探究三如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过A (3，0)，B (0，3)两点． （1）求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式；（2）如图，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标，如果不存在，请简要说明理由．【巩固练习】已知抛物线y=ax 2+bx －3经过(-1，0)，(3，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y =kx 与抛物线交于A ，B 两点．（1）写出点C 的坐标并求出此抛物线的解析式；（2）当原点O 为线段AB 的中点时，求k 的值及A ，B 两点的坐标； （3）是否存在实数k 使得△ABC 的面积为2103？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．。
第三讲 二次函数与面积(平行线法)
九年级十一短期课二次函数与面积（平行线法）平行线法与二次函数面积问题ABC BDA S S =△△（过C 点作AB 的平行线CD ,则两三角形同底等高）面积定值问题【例1】抛物线顶点坐标为点(1,4)C ,交x 轴于点(3,0)A ，交y 轴于点B .（1）求此抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ,使ABC ABP S S △△21=,若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.二次函数与面积（平行线法）知识点睛例题精讲【例2】已知抛物线c bx x y ++=2的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B .（1）如图1，若点P 的横坐标为1，点B 的坐标为(3,6)，试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M 是直线AB 下方抛物线上的一点，且B 3A M S ∆=，求点M 的坐标；【巩固】（2014.武汉）如图，已知直线AB ：y ＝kx ＋2k ＋4与抛物线y ＝21x 2交于A 、B 两点（1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 坐标（2）当k ＝－21时，在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使△ABP 的面积等于5。
【例3】已知二次函数228233y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，A 在B 点的左边，与y 轴交于C 点，点P 在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边4PAC S =△，求P 点坐标．面积相等问题【例1】如图，抛物线y ＝mx 2－2mx －3m （m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点M 为抛物线的顶点，且OC ＝OB(1)求抛物线的解析式(2)若抛物线上有一点P ，连PC 交线段BM 于Q 点，且S △BPQ ＝S △CMQ ，求P 点的坐标【巩固】（1）已知，抛物线213222y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．D 为第四象限的抛物线上一点，CD 交x 轴于E 点，若ACE DBE S S =△△，求直线CD 的解析式．（2）如图，抛物线223y x x =--交坐标轴于A 、B 、C 三点，M 为顶点，点N 在x 轴上，且BCN BCM S S =△△，求N 点坐标．【题1】如图，抛物线212y x c =-+与x 轴交于点A 、B ，且经过点92D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若点C 为抛物线上一点，且直线AC 把四边形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线AC 的解析式；【题2】抛物线c bx x y ++-=2经过点A 、B 、C ，已知)01(，-A ，)30(，C .（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线交抛物线于点D ，当ABC ∆的面积最大时，求点P 的坐标；。
华师大版七年级数学上4.8.1平行线__导学案
a CB七年级数学导学案设计 主备人：周晓迎预习笔记总第43课时 课题： 平行线①符号语言：∵b ∥a ，c ∥a （已知） ∴b ∥c （如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行）②探索：如图,P 是直线AB 外一点,CD 与EF 相交于P.若CD 与AB 平行,则EF 与AB 平行吗?为什么?4.思维拓展：完成下列推理，并在括号内注明理由。
①、如图1所示，因为AB // DE ，BC // DE （已知）。
所以A,B,C 三点_____（ ）②、如图2所示，因为AB // CD ，CD // EF （已知），所以________ // _________( )【二】展现提升。
例1、过直线外一点画（作）已知直线的平行线已知：直线AB ，及直线AB 外一点P ，请过P 点作直线AB 的平行线。
例2、请写出图中的平行线：预习笔记一放：放三角板，把直角三角板的一条直角边与已知直线重合。
二靠：靠直尺，把直尺靠在直角三角板另一条直角边上。
三移：直尺固定不动，移动三角尺使其边与直线外已知点重合。
四画：沿着直角三角板直角边画直线学习目标 1、了解平行线的概念，理解同一平面内两条直线间的位置关系； 2、掌握平行公理及平行线的画法。
重点：平行线的概念、画法及平行公理。
难点：解平行线的概念和根据几何语言画出图形。
【一】预习交流。
一：平行线1、在同一平面上，如果有直线a 、b（1）如果直线a 、b 有一公共点，则称直线a 、b 相交； （2）如果直线a 、b 没有公共点，则称直线a 、b 平行。
概括：在同一平面内不相交的两条直线叫做 ；在同一平面内，不重合的直线的位置关系： 。
（3）平行线：直线AB 与直线CD 互相平行 图形：记作：（二）画平行线 1、 工具：直尺、三角板2、 方法：一“放”；二“靠”；三“移”；四“画”。
3、请你根据此方法练习画平行线： 已知:直线a,点B,点C.(1)过点B 画直线a 的平行线(2)过点C 画直线a 的平行线,它与过点B 的平行线平行吗?（三）平行公理及推论1、思考：上图中，①过点B 画直线a 的平行线，能画 条；②过点C 画直线a 的平行线，能画 条；③你所画的直线有什么位置关系？ 。
最新九年级数学《二次函数图象中的面积问题》导学案
二次函数图象中的面积问题（导学案）学习目标：1、熟练掌握抛物线中特殊点的求法，体会数形结合、方程等数学思想。
2、会求抛物线中常见图形的面积，体会转化、建模等数学思想。
3、培养发散思维，力求做到一题多解，多题归一一、设疑自探1图一图二图三图四反思归纳1、一般取在 上的线段为底边.2、三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形 。
即采用割或补的方法把它转化成易于求出面积的图形. 二、解疑合探: （中考真题改编）已知二次函数y=-x 2+2x+3的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 、C 三点.（1）若D 为抛物线上的一动点(点D 与点C 不重合)，且S △ABD=S △ABC ； 求点D 的坐标.（2）已知点N 为二次函数图象上的一个动点，且点N 在直线BC 的上方（点N 与B 、C 不重合），过N 作X 轴的垂线交BC 于M ，求MN 的最大值。
（3）已知点N 为二次函数图象上的一个动点，且点N 在直线BC 的上方 （点N 与B 、C 不重合），设点N 的横坐标为m.①用含m 的代数式表示△NBC 面积; ②求△NBC 面积的最大值. NYOABxC三、质疑再探走进中招：你能行！已知二次函数y=x2-2x-3 与x 轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P求出一个你提出的面积；(2)在抛物线上（除点C外），使得S△NAB = 3S△ABC，若存在，求出点N（3）抛物线上的第二象限内是否存在一点使△PBC的面积最大？若存在，求出点P及△PBC归纳梳理通过本节课的复习我学会了_________________________________________________体会到了___________________________________数学思想课后检测：中考真题1、如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ， 使得△QAC 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．2、解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x 轴于点（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ， 使S △PAB ＝2S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.。
九年级数学上册 21.3.3 实际问题与一元二次方程—几何面积导学案 (新版)新人教版(1)
21.3.3实际问题与一元二次方程—几何面积一、预习目标及范围：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.范围：自学课本P20-P21，完成练习.二、预习要点（1）主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的是等量关系. 如果图形不规则应或成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;（2）与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用列方程.三、预习检测1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（）2.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm²，则原来正方形的铁皮的面积为。
3.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m²，求花边的宽。
探究案一、合作探究活动内容1：探究3：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？思考：（1）本题中有哪些数量关系？（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试．活动内容2：典例精析例题2、如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?二、随堂检测1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=02. 某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.养鸡场的面积能达到180m 2吗?如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.3. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.参考答案预习检测：1.B2. 64cm ²3. 解：设花边的宽为xcm ，依题意得：（6+2x ）（3+2x ）=40解得：x 1=1，x 2=112-（应舍去） 即花边的宽度为1m 。
【最新】华师大版七年级数学上册《5.1.平行线》导学案
新华师大版七年级数学上册《5.1.平行线》导学案学习目标:1.认识平行线,初步知道平行线的性质；2.会用三角板和直尺画平行线,体会画图过程认真操作的重要性;3.重点:用三角板和直尺画平行线.预习导学——不看不讲【知识点梳理】阅读教材P169做一做上面,解决下列问题:1.在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.2.如图1,直线a与直线b互相平行,记作“a∥b”.3.在同一平面内,两条不重合的直线的位置关系只有两种:相交或平行. 图14.图2所示的方法是画一条直线b与已知直线a平行的方法,则∠1=∠2.图2【讨论】在同一平面内不相交的两条线段是不是一定是平行线?不一定.【预习自测】举出生活中两个平行线的例子:铁轨、马路旁的电线杆.【问题探究一】阅读教材P169“做一做”～P170,解决下列问题：如图3,点P是直线AB外一点.图3 图4 图51.经过点P可以画1条直线与已知直线AB平行.2.请你动手画一画.画法:(1)把三角板的一边与直线AB重合,再用直尺(或另一块三角板)靠紧三角板的另一边;(2)沿直尺推动三角板,使原来和直线AB重合的一边经过点P；(3)过三角板原来与直线AB重合的这条边画直线CD.(如图4)CD就是所要画的经过点P,且与已知直线AB平行的直线.3.上面画图使用的工具是直尺与三角板.【归纳总结】基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.【讨论】请同学们仿照上面平行线的画法,画三条直线,使它们满足:a//b、b//c,你会发现什么结论？a//c,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.【预习自测】如图5,在三角形ABC中,过点A画BC的平行线DE.解:如图6所示.图6合作探究-----不议不讲互动探究1:在同一平面内,直线n m 、相交于点O,且n l //,则直线l 和m 的关系是 ( B ).A.平行B.相交C.重合D.以上都有可能【变式训练】直线n m 、为空间内的两条直线,则n m 、的位置关系是( D ).A.平行B.相交C.不在同一个平面内D.平行或相交或不在同一个平面内 互动探究2:在同一平面内,直线l 和k 满足下列条件,写出对应的位置关系: 若l 和k 没有交点,则l 和k 的关系是平行;若l 和k 只有一个交点,则l 和k 的关系是相交.互动探究3:如图7,按要求画图：过D 点画DF//AB 交BC 于点F,作DE//BC 交AC 于点E.图7 图8 解:如图8所示.【方法归纳交流】解平行线的有关问题是利用基本事实:“经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.”与“如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.”.互动探究4:(方法指导:注意分类讨论画出符合题意的图形进行解答)在同一平面内,画图说明三条直线有几种位置关系? 解:三条直线有四种位置关系如图9、10、11、12所示.图9 图10 图11 图12学习笔记【知识链接】生活中的平行线应用很多,真是枚不胜举.现在我们共同欣赏一下世界各国国旗上的平行线.【学法指导】学习“平行线”画法时,注意画图的工具是直尺、三角板.它的画法按画图顺序可以概括为：“一合、二靠、三推、四画”八个字,即①将三角板的一边与已知直线重合;错误！未找到引用源。
初中数学_二次函数中的面积计算教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数中的面积计算》教学设计一、教学目标1、使学生熟练掌握抛物线中特殊点的求法，体会数形结合、方程等数学思想。
2、引导学生会求抛物线中常见图形的面积，体会转化、建模等数学思想。
3、培养学生发散思维，力求做到一题多解，多题归一。
二、教学重难点分析及解决措施1、教学重点：会利用直角坐标系中二次函数相关特殊点求几何图形的面积。
2、教学难点：对数形结合的数学思想的理解。
3、解决措施：本节课重在通过学习总结解决二次函数中面积计算问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。
为了提高课堂效率，展示学生的学习效果以及让学生更好的理解方法，辅以信息技术。
三、教学过程尝试求解∆ABC 的面积。
1、2、3、归纳总结：1、一般取在坐标轴上的线段作为底边。
2、三边均不在坐标轴上的三利用几何画板，让B、C 两点在抛物线上运动形成不同的图形，引导学生观察总结，只要是抛物线上的点，出现求解面积，找到特殊点之后，用点的坐标去表示线段的长，一般选取在坐标轴上的线段当成底边去解决，动点问题是学生的难点，让学生体会以静带动的思考方式，突破难点。
同时应用割补法求三角形面积，突出本节课重点，化特殊的形式为一般的形式进而总结规律方法。
已知二次函数32xy2--=x与X轴交于A、B 两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.1、求出A、B、C、P的坐标。
2、你能求出哪些图形的面积?3、在抛物线上1问求特殊点的坐标学生基本上都可以完成，在步骤上可能存在个别问题，运用希沃手机助手投影几份学生作品，让学生找出差别，选择最佳步骤进行整改。
2问的学生交流之后进行展示可以借助希沃白板进行书写。
3问学生在展示不同的答案之后可以借助几何画板构造S △NAB = S△ABC（三）拓展提高，体验中考进一步了解在找面积相等的点的时候可以用计算的方法也可以借助图形。
60 平行模型解决二次函数中的面积问题
平行模型解决二次函数中的面积问题【模型展示】初中数学中考压轴题有一种常考的类型，二次函数最大面积问题。
常用的方法有平行法、铅垂高法、矩形覆盖法等。
本文主要说明一下平行法，一般都是平移定底找最大高，形成与二次函数图像只有一个交点。
然后利用一次函数与二次函数图像只有一个交点，联立出一元二次方程解根的判别式等于零，进而求出一次函数解析式，交点坐标可求。
最大高一般都是空中有高平移至与坐标轴交点处，构成直角三角形，与已知一次函数与坐标轴所夹直角三角形相似。
1、如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E(4,0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．图1满分解答（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4,0)、B (2,0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34DG CO BG AO ==．所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,4-．因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．图2图3（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ．以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．联结GM ，那么GM ⊥l ．在R t △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在R t △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6．所以点M 1的坐标为(－4,6)，过M 1、E 的直线l 为334y x =-+．根据对称性，直线l 还可以是334y x =+．2、如图1，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ．（1）用含m 的式子表示a ；（2）求证：AD AE 为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点A 、B 、F 的坐标后，点D 的坐标也可以写出来．点E 的纵坐标为定值是算出来的．2．在计算的过程中，第（1）题的结论21a m=及其变形21am =反复用到．3．注意到点E 、D 、F 到x 轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F 作AD 的平行线与x 轴的交点，就是要求的点G ．满分解答（1）将C (0,－3)代入y ＝a (x 2－2mx －3m 2)，得－3＝－3am 2．因此21a m =．（2）由y ＝a (x 2－2mx －3m 2)＝a (x ＋m )(x －3m )＝a (x －m )2－4axm 2＝a (x －m )2－4，得A (－m ,0)，B (3m ,0)，F (m ,－4)，对称轴为直线x ＝m ．所以点D 的坐标为(2m ,－3)．设点E 的坐标为(x ,a (x ＋m )(x －3m ))．如图2，过点D 、E 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ′、E ′．由于∠EAE ′＝∠DAD′，所以''''EE DD AE AD =．因此()(3)33a x m x m x m m+-=+．所以am (x －3m )＝1．结合21a m =，于是得到x ＝4m ．当x ＝4m 时，y ＝a (x ＋m )(x －3m )＝5am 2＝5．所以点E 的坐标为(4m ,5)．所以'3'5AD DD AE EE ==．图2图3（3）如图3，由E (4m ,5)、D (2m ,－3)、F (m ,－4)，可知点E 、D 、F 到x 轴的距离分别为5、4、3．那么过点F 作AD 的平行线与x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G ．证明如下：作FF ′⊥x 轴于F ′，那么'4'3GF FF AD DD ==．因此534AE AD GF ==．所以线段GF 、AD 、AE 的长围成一个直角三角形．此时GF ′＝4m ．所以GO ＝3m ，点G 的坐标为(－3m ,0)．3、如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1满分解答（1）B 的坐标为(b ,0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x,x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1,0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2(14b b =-．解得843b =±Q 为(1,23．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。
人教版七年级下册数学5.2.1 平行线导学案
第五章相交线与平行线推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 .即如果b ∥a,c ∥a，那么 . 三、自学自测1.如图，过点C 作直线AB 的平行线，下列说法正确的是（ ） A.不能作 B.只能作一条 C.能作两条 D.能作无数条2.判断正误：（1）没有公共点的两条直线叫作平行线；（ ） （2）两条直线的位置关系只有两种：相交和平行；（ ）（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：相交、垂直和平行.（ ）四、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点究探究点1：平线的定义及表示问题1：如图，分别将木条a 、b 与木条c 钉在一起，并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线.转动a ，直线a 从在c 的左侧与直线b 相交逐步变为在右侧与b 相交.想象一下，在这个过程中，有没有直线a 与直线b 不相交的位置呢？课堂探究教学备注配套PPT 讲授1.情景引入 （见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片7-9）问题2：平行线的定义是什么？定义中哪些词语比较重要？问题3：观察下列图形，哪些画出了你心目中的平行线？归纳总结：平行线的定义包含三层意思：（1）在同一平面内”前提条件；（2）“不相交”就是说两条直线没有交点；（3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段．问题4：平行用符号怎么表示？两条直线平行用符号怎么表示？探究点2：平行线的画法、平行公理及推论画一画：(1)经过点C 能画出几条直线？ (2)与直线AB 平行的直线有几条？(3)经过点C 能画出几条直线与直线AB 平行？ (4)过点D 画一条直线与直线B 平行，与()中 所画的直线平行吗？归纳总结：1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知线平行..平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.典例精析 例1：判断：（1）两条直线不相交就平行；（ ）（2）在同一平面内，两条不同的直线有且只有一个交点；（ ） （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（ ） （4）平行同一条直的两条直线互平行. ）例2：如图，P 是∠AOB 内一点.（1）过点P 分别画出OA ，OB 的平行线；（2）量一量：画出的两条平行线所夹的角与∠O 有什么样的数量关系？教学备注 配套PPT 讲授 3.探究点2新知讲授（见幻灯片10-14）4.课堂小结教学备注配套PPT讲授5.当堂检测（见幻灯片15-20）二、课堂小结平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条线互相平行.当堂检测1.下列说法正确的是（）A.在同一平面内，不相交的两条射线是平行线B.在同一平面内，不相交的两条线段是平行线C.在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系不是相交就是平行D.不相交的两条直线是平行线2.下列说法正确的是（）A.一条直线的平行线有且只有一条B.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C.经过一点有两条直线与某一直线平行D过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.下列推理正确的是（）A.因为a // d,b // c，所以c // dB.因为a // c,b // d，所以c // dC.因为a // b,a // c，所以b // cD.因为a // b,c // d，所以a // c4.完成下列推理，并在括号内注明理由.（1）如图，因为AB // DE，BC // DE，（已知）所以A,B,C三点；（）（2）如图，因为AB // CD，CD // EF，（已知）所以________ // _________.（）5.【能力拓展】如图，直线a ∥b，b∥c，c∥d，那么a ∥d吗？为什么？1、成都，是一个微笑的城市，宁静而美丽。
导学案：《平行线的妙用：求面积》.docx
学 1、掌握在平行的条件下面积问题的解决方法。
习目 2、能利用平行解决实际问题中的面积问题。
标想一想:你有什么发现： ________________________________________________________ 练一练：如图4,平行四边形ABCD 的面积为a, E 、F 分别为DC 、BC 延长线 上两点，连接DF 、AF 、AE 、BE,求出图中阴影部分的面积，并说明理由.图4拓展推广：(1)如图5,是我市某广场的一平行四边形绿地ABCD, PQ 、MN 分 别平行于DC 、AD,它们相交于点0,其中S 四边形AM0P = 300m 2, S 四边形NCQ0=400m 2, 现进行绿地改造，在绿地内部作一个区域0MDQ (连接DM 、QD 、图中阴影部 课题 平行线的妙用：求面积 备课人 赵彩娟 导入课题 请看幻灯片我是小法官 尝试练习 分)种植不同的花草，求出阴影部分面积.试一试：已知平行四边形ABCD 的面积为100, M 是AB 所在直线上一点.(1) 如图1：当点M 与B 重合时，S ADCH = _______ .(2) 如图2,当点M 与B 与A 均不重合时，S ADCM = __________________ •图51、如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为5、3,那么AAEG 的面积的 值（）.2、三个正方形如图排列，中间正方形的边长是3厘米，求阴影部分的面积.如图，四边形ABCD 是一块某地示意图，EFG 是流经这块菜地的水渠，水 渠左边的地属张家承包，右边的地属李家承包，现村委会在田园规划中需将 流经菜地的水渠取直，并要保持张、李两家的承包土地面积不变，请你设计 一个挖渠的方案，就在给出的图形上画出设计示意图，并说明理由.你有什么收获、新想法?探索提高 实践应用自我总结阅读理解：如图(1),己知直线AB/7CD, A 、B 为直线n 上两点，C 、D 为直线m 上两点,根据上述内容解决以下问题：已知正方形ABCD 的边长为4, G 是边CD 上一 点，以CG 为边作正方形GCEF. (1) 如图(2),当点G 与点D 重合时，ABDF 的面积为 _______________ . (2) 如图(3),当点G 是CD 的中点时，ABDF 的面积为 ______________ . (3) 如图(4),当CG=a 时，则ABDF 的面积为 ___________ ,并说明理由. 易证明: S AABC -S AABD-当堂检测。
《二次函数中的面积问题》导学案
二次函数与三角形面积问题
学习目标：1.能根据点的坐标表示三角形的面积；2.会利用函数及其性质解决面积问题；
3.体会数形结合的思想.
学习重点：会用动点的坐标表示三角形的面积，并会用函数及其性质解决面积问题.学习难点：构造、割补三角形表示其面积，理解转化的思想.
一、课前热身：
1、如图，已知A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)，求S ΔABC .
（备用图）方法一：方法二：
变一变：如图，在二次函数c bx ax y ++=2中，已知A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)，求ABC S ∆.
二、新课探究：
1、如图，二次函数322++-=x x y 与y 轴，x 轴分别交于点A ，B .若点D 是直线AB 上方抛物线上的一个动点（不与点A ，B 重合），若ABD S ∆=？，求D 点的坐标.
三、变式探究：
1、如图，二次函数223y x x =-++与y 轴，x 轴分别交于点A ，B .若点D 是直线AB 上方抛物线上的一个动点（不与点A ，B 重合），问：是否存在点D 使得
4ABD S ∆=？
若存在，请求出D 点的坐标；若不存在，请说明理由.
四、小结反思：
解决动三角形面积问题的方法有哪些？有哪些收获？
五、中考链接，跟踪训练：
【2019·十堰调考】已知抛物线y =-x 2-2x +3与坐标轴相交于A ，B ，C 三点，顶点为D ，在第一象限内的抛物线上有一点M ，连接AM ，CM ，恰有S ∆ACM =S ∆ACD ，求点M 的坐标.。
初中数学华东师大八年级下册(2023年新编)第18章 平行四边形平行线的等积变换导学案
平行线下的等积变换 班级： 姓名： 组别： 【学习目标】 1．理解和掌握利用平行线将三角形进行等积变换的基本步骤和方法； 2．运用平行线的等积变换的功能来解决相应的问题. 【温故知新】 1、已知a ∥b , AB ⊥b ，CD ⊥b , 则AB = .（平行线间的距离处处 ） 2、平行线的判定方法:两条直线被第三条直线所截，如果同位角 ，两直线平行。
如果 ，两直线平行。
如果 ，两直线平行。
【合作探究一】【观察】如图，已知l 121•21• 现在我们利用同___等 的三角形面积相等这个结论,一起来完成下列活动.【合作探究二】活动 如图，已知△ABC ，请你找一点P ，使得△PBC 与△ABC 面积相等，请找出点P 的所有可能位置.A B C AB C【归纳总结】构造平行线进行等积变换的策略由此，我发现: 构造平行线，可以将一个三角形变成与它面积 的三角形。
从而实现等积变换。
具体做法：第一步，确定原三角形的一边作为 边；（即确定同 ）第二步，过公共边所对的顶点作直线l 1 （平行于或不平行于）公共边；（即确定等 ） 那么在l 1上 (任意或固定)找一点 ，把这一点分别与公共边上的两个端点连结，得到一个新三角形. 那么这样得到的新三角形的面积与原三角形的面积 .活动拓展: 已知△ABC ，请你画一个新三角形，使得与△ABC 有一条公共边，并且与△ABC 面积相等。
请你 找出新三角形的所有可能位置。
【当堂检测】1.如图， 梯形ABCD 中，AD ∥BC,在这块梯形的田地里分别种植大豆（着色部分）和芝麻（空白部分），由于生产需要，若想种植大豆的两块地合并成一块，，且使原来种植大豆和芝麻的面积不改变，你该如何设计？2.如图，正方形ABCD 和BEFG 的边长分别为a ，b ，其中点 A 、B 、E 在同一条直线上，则△DGE 的面积是 ．a DC A B b备用图 备用图【课后作业】1. 网格中小正方形的边长为1，你有哪些方法求△ABC 的面积？2.如图，在平面直角坐标系中，已知A （-1,0），B （0,-2），请在直线y=1上找一点P ，使得△PAB 与△OAB 面积相等. 并求出点P 的坐标。
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连接OQ。若S△OQC=2S△PQC，求P的坐标。
二、学习新知。
问题2：连接AC，请同学们在
坐标轴上找一点D，使得S△ACD=3,
请同学们思考并找寻。
问题3：抛物线上是否存在一点E，使得
S△ACE=3,若存在，求E点的坐标；若不存
在，请说明理由。
归纳：
三、课堂训练。
1、在刚才的例题中，连接BC,在抛
物线上有一点F，且S△BCF=3,求F的坐标。
2、如行线解决抛物线中的面积问题 (导学案)
徐古中学 杨军
导学目标：1、理解并掌握用平行线解决抛物线中面积问题的方法，进一步提高学生的分析、推理能力和计算能力。
2、培养学生的在数学学习中的转化思想，感受转化思想在数学活动中的作用。
3、通过学习，培养和提升学生运用数学知识解决问题的能力，感受成功的喜悦。
导学重、难点：1、如何在坐标轴上找到满足条件的点。
2、作出正确的平行线并求出其解析式。
导学过程：一、复习故知，引出新知。
我们已经学习了二次函数图像的内容，知道了二次函数的解析式和图像的联系。下面我们来看一个问题：
问题1：如图，抛物线y=-x2+2x+3与两轴
交于A、B、C三点，请同学们求出它们的坐标。
交y轴于C，在抛物线上有一点P，
使得S△ACP=4，求点P的坐标。
3、如图，抛物线y=-x2-4x+5与x轴交于A、B两点，
交y轴于点C，其顶点为P,连PC。抛物线上有一点E,且S△PCE=15,求点E的坐标。
4、 如图，抛物线y= 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC。P为抛物线
对称轴右侧第一象限内一点，