哥尼斯堡七桥问题体现的拓扑思想
哥尼斯堡七桥问题讲解
欧拉
问题抽象
岸，岛 点
桥线
实际问题
一笔画问题
“一笔画”是一个 有趣的数学问题，那么 什么样的图形可以一笔 画成呢？有没有什么规 律可循呢？
问题内容
“一笔画”是指笔不离开纸，而且每条 线都只画一次不准重复而画成的图形。
有奇数条边相连的点叫奇点，如：
有偶数条边相连的点叫偶点，如： Nhomakorabea欧拉一笔画的三条结论
当一个图形只有偶点时可以一笔画； 当图形只有2个奇点的时候，也可以一笔画，但
是只能以这两个奇点作为起点和终点； 当图形的奇点数大于2个的时候就不能一笔画了。
读读欧拉，他是我们大家的老师。 ——拉普拉斯
1736年，著名数学家欧拉证明了这个问题的不可能性。
岸，岛 点
桥线
点号 A B C D
边数 3 5 3 3
哥尼斯堡七桥（一笔画）问题
7（2）班：张宸志
故事发生在18世纪的哥尼斯堡城，流经那里的一条 河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联 系起来。
那里风景优美，游人众多，在这美丽的地方， 人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能 不重复的一次性走完这七座桥呢？
1736年，29岁的著名数学 家欧拉向圣彼得堡科学院递交 了《哥尼斯堡的七座桥》的论 文，证明了这个问题的不可能 性。在解答问题的同时，开创 了数学的一个分支—图论和几 何拓扑，也由此展开了数学史 上的新历程。
奇点 奇点 奇点 奇点
所以，根据定理
三可知：此图形无法 一笔画。
数学小演讲《哥尼斯堡七桥问题》
为题，在彼得堡科学院作了一个
有趣的报告，把问题归结为如下 图形的“一笔画”问题。即连续
一笔画出这条曲线，既不重复也
不遗漏。
C
A
D
B
在图中，从A、B、C、D中每个点出发时，都有奇数条叉道。所以它 们都不能作为“路过”的点（这是因为“路过”的点，要有进有出，必 是偶数条叉道）。显然，A、B、C、D四点不可能都不是“路过”的点， 所以这个问题是不可能的。
作为一个趣题，已经有了一个确
切的答案，但它的意义远不止于此。 可以看到，“一笔画”问题与图形的
A
大小、形状无关，即图形作了某种变
形，能否一笔画出的答案不变（如七 桥问题画成右图的样子，与答案无 B C
关）。这就是现代“拓扑学”研究的
问题，所以哥尼斯堡七桥问题和欧拉， 成为“拓扑学”的先驱。 D
应当知道，“一笔画”问题对于解决最短邮路问题和其他规划问题是
哥尼斯堡七桥问题
这是一个广泛流传于民间的数学问题。 俄国的加里宁格勒，18世纪称为哥尼斯堡，普雷格尔河贯穿
全市。它有两个支流们建造了七座大桥把河的两岸连接起来。
于是有人提出这样的问题：一个人能不能一次走完这七座 大桥，既不重复也不遗漏？
这个问题使不少人大伤脑筋，
很有实际意义的。
1.凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。 2.凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点）一定可以一笔画成。 3.其他情况的图都不能一笔画成。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题问题提出18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来。
有个人提出一个问题:一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。
这就是历史上有名的哥尼斯堡七桥问题。
问题进展1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题。
欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢?1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支---图论。
欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥用线表示。
并由此得到了如图一样的几何图形。
若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。
这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。
DB知识准备连通图：任意两个点都有路径可以连通 奇点：通过此点的线有奇数条 偶点：通过此点的线有偶数条探究一个图形可一笔画的条件及一笔画图形画图方法 1、文字刘 口 中 日 田 目 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 2、图形（ ） （ ） （ ） （ ）一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件： 1. 图形必须是连通的。
2. 图中的“奇点”个数是0或2。
画图方法：全偶点：任一个偶点为起点，最后一定能以这个点为终点两奇点：一个奇点为起点，另一个奇点为终点哥尼斯堡七桥问题结论可以由此来判断“哥尼斯堡七桥问题”，4个点全是奇点，可知图不能“一笔画出”，也就是不存在不重复地通过七桥。
优秀小达人1、这是一个奥运五环标志，你能一笔画成？2、下图不能一笔画成，请你想办法使它变成一笔画。
哥尼斯堡七桥问题体现的拓扑思想
哥尼斯堡七桥问题体现的拓扑思想摘要：七桥问题是1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交《哥尼斯堡的七座桥》论文时提出的，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑，也由此展开了数学史上的新进程。
由哥尼斯堡七桥问题出发，分析其蕴含的思想、方法，并引出其中的拓扑思想。
关键词：七桥问题；拓扑；思想；拓扑学（英语：topology），几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴.拓扑学起源于哥尼斯堡七桥问题，以及与此相关的一笔画问题。
它所研究的是几何形体在连续形变，精确地说，双方一一而且双方连续的变换（称为同胚）之下保持不变的性质。
理解得广泛些，拓扑学是研究数学中连续性现象的学科。
有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了，那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。
一、哥尼斯堡七桥问题简介哥尼斯堡七桥问题是欧拉用抽象的方法探究并解决实际问题的一个典型实例，对开创图论与拓扑学的研究具有重大意义.18世纪的哥尼斯堡是德国的一个美丽的城市，布勒尔河穿城而过，它有两个支流，在哥尼斯堡城中心汇成大河，河中心有一个小岛，河上有七座桥，如图(1)岛上有一座古老的大学，还有哲学家康德的墓地及塑像.当地的居民，特别是大学生们常常到七桥附近散步，渐渐地大家热衷于一个问题:一个人是否能不重复地一次走遍这七座桥而返回出发点？很多人做过尝试，但都未能实现，这便产生了数学史上著名的“七桥问题”，1735年，一群大学生写信将这个难题交给了著名的数学家欧拉二、问题的解决欧拉解决这个问题的第一步是把它尽量简化。
他发现，对于这个问题，岛的大小、陆地的面积、桥的长短与宽窄等都不影响答案。
因此，他用点表示岛与陆地，用线表示桥。
把“七桥图”简化为一个几何图形如图（2）。
这样，原题就转化为一个几何问题：能否从图（2），A、B、C、D四点中的某一点出发，只通过每条路线一次，而把所有的7条路都走完？或者说，能否从图（2），A、B、C、D四点中的某一点开始，不重复地一笔画出这个图？弧连接的顶点叫奇顶点。
哥尼斯堡七桥问题与图论
1736年29《哥尼斯堡的七座桥》的论文，创了数学的一个新的分支—一、哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡在俄罗斯境内，现称为加里宁格勒.生和培养过许多伟大人物.格尔河，横贯城中，如图1所示.流，一条称为新河，一条主流，的商业中心.区、北区、东区和南区.桥，两支流上.这一别致的桥群，图1早在18世纪，散步中走过每座桥，发点？”走遍这七座桥共有A77=7!=验，谈何容易.那么在这5040而形成了著名的图2欧拉请他帮助解决这个他似乎看到其中.经过一年的研究，29岁的并于1736年向彼得堡科哥尼斯堡的七座桥》的论文.C（岛区）、A（南区）；七座桥看成这四个点、6、7七个数字表示，如图3所示.“一笔画”问题：否能一笔不.布勒格尔河模型蔡思明58遍历的路径称作欧拉路径（一个环或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路.图论中的欧拉定理（一笔画定理）要分有向图（边有特定方向的图）与无向图（边没有特定方向的图）两种情况进行讨论.1.无向图的情况定理：连通无向图G有欧拉路径的充要条件为：G中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有0个或者2个.证明：必要性.如果图能够被一笔画成，那么对每个顶点，考虑路径中“进入”它的边数与“离开”它的边数（注意前提是无向图，所以我们不能称其为“入边”和“出边”）.很显然这两个值要么相同（说明该顶点度数为偶），要么相差1（说明该顶点度数为奇）.也就是说，如果欧拉路径不是回路，奇度顶点就有2个，即路径的起点和终点；如果是欧拉回路，起点与终点重合，则不存在奇度顶点.必要性得证.证明：充分性.如果图中没有奇度顶点，那么在G中随机取一个顶点v0出发，尝试构造一条回路c0.如果c0就是原路，则结束；如果不是，那么由于图是连通的，c0和图的剩余部分必然存在某公共顶点v1，从v2出发重复尝试构造回路，最终可将整张图分割为多个回路.由于两条相连的回路可以视为一条回路，所以该图必存在欧拉回路.如果图中有2个奇度顶点u和v，那么若是加一条边将u和v连接起来的话，就得到一个没有奇度顶点的连通图，由上文可知该图必存在欧拉回路，去掉这条新加的边，就是一条以u和v为起终点的欧拉路径.充分性得证.可知，哥尼斯堡七桥问题中的图有4个奇度顶点（1个度数为5，3个度数为3），所以不存在欧拉路径.2.有向图的情况定理：底图连通的有向图G有欧拉路径的充要条件为：G的所有顶点入度和出度都相等；或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的入度与出度之差为1.显然，可以通过与无向图情况相似的思路来证明，过程略.当时的数学界起初并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识，甚至有些人仅仅当其为一个数学游戏.图论这一数学分支诞生后并未得到很好的发展，直到200年后的1936年，匈牙利数学家科尼希出版了《有限图与无限图理论》，此为图论的第一部专著，其总结了进200年来有关图论的成果，这是图论发展的第一座里程碑.此后，图论进入发展与突破的阶段，又经过了半个多世纪的发展，现已成为数学科学的一个独立的重要分支.图论原是组合数学中的一个重要课题.我们用点表示事物，用连接点的边表示事物间的联系，便可得到图论中的图.图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种框架.图论中的理论已应用于经济学、心理学、社会学、遗传学、运筹学、逻辑学、语言学计算机科学等诸多领域.由于现代科学尤其是大型计算机的迅猛发展，使得图论大有用武之地，无论是数学、物理、化学、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、经济乃至社会科学的众多问题，都可以运用图论方法予以解决.当然，图论也是计算机科学的基础学科之一.值得一提的是，欧拉对七桥问题的研究，后演变成多面体理论，得到了著名的欧拉公式V+F=E+2，欧拉公式是拓扑学的第一个定理.哥尼斯堡的七座桥如今只剩下三座，一条新的跨河大桥已经建成，它完全跨过河心岛——内福夫岛，导游们仍向游客讲述哥尼斯堡桥的故事，有的导游甚至仍称“七桥问题”没有被解决，留给游客以遐想.虽然七座哥尼斯堡桥成了历史，但是“七桥问题”留下的“遗产”不像这些桥那样容易破坏，欧拉卓越的解答方式被永载史册.60。
哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]
![哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]](https://img.taocdn.com/s3/m/bc5c022cbdd126fff705cc1755270722192e59b0.png)
哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]⼀、历史背景1736年，年仅29岁的数学家欧拉来到普鲁⼠的古城哥尼斯堡（哲学家康德的故乡，今俄罗斯加⾥宁格勒）。
普瑞格尔河正好从市中⼼流过，河中⼼有两座⼩岛，岛和两岸之间建筑有七座古桥。
欧拉发现当地居民有⼀项消遣活动，就是试图每座桥恰好⾛过⼀遍并回到原出发点，但从来没⼈成功过。
欧拉证明了这种⾛法是不可能的。
现在看来，欧拉的证明过程⾮常简单，但他对七桥问题的抽象和论证思想，开创了⼀个新的学科：图论(Graph)。
如今，⽆论是数学、物理、化学、天⽂、地理、⽣物等基础科学，还是信息、交通、经济乃⾄社会科学的众多问题，都可以应⽤图论⽅法予以解决。
图论还是计算机科学的数据结构和算法中最重要的框架（没有之⼀）。
⾸先能想到的证明⽅法是把⾛七座桥的⾛法都列出来，⼀个⼀个的试验，但七座桥的所有⾛法共⽤7\！=5040种，逐⼀试验将是很⼤的⼯作量。
欧拉作为数学家，当然没那样想。
欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，每⼀座桥抽象成连接顶点的⼀条边，那么哥尼斯堡的七座桥就抽象成下⾯的图：Processing math: 100%假设每座桥都恰好⾛过⼀次，那么对于A、B、C、D四个顶点中的每⼀个顶点，需要从某条边进⼊，同时从另⼀条边离开。
进⼊和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进⼊的边，就有多少条出去的边，也就是说，每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是偶数。
⽽上图中A、C、D四个顶点的相连边都是3，顶点B的相连边为5，都为奇数。
因此，这个图⽆法从⼀个顶点出发，遍历每条边各⼀次。
欧拉的证明与其说是数学证明，还不如看作是⼀个逻辑证明。
⼀个曾难住那么多⼈的问题，竟然是这样⼀个简单的出⼈意料的推理，还开创了⼀个新的学科。
欧拉⾮常巧妙的把⼀个实际问题抽象成⼀个合适的数学模型，这种研究⽅法就是我们应该掌握的数学模型⽅法。
这并不需要运⽤多么深奥的理论，但能想到这⼀点，却是解决问题的关键。
七桥问题
18世纪著名古典数学问题之 一。在哥尼斯堡的一个公园 里，有七座桥将普雷格尔河 中两个岛及岛与河岸连接起 来（如图）。问是否可能从 这四块陆地中任一块出发， 恰好通过每座桥一次，再回 到起点？欧拉于1736年研究 并解决了此问题，他把问题 归结 “一笔画”问题，证明 上述走法是不可能的。
但是，为什么不可以呢？
拓扑游戏
由左图可知，这个图形 有两个奇结点。
1
2
简单的一笔画问题
3
这个图形就不可以一笔 为什么呢 画。 仔细观察，这个图形有 四个奇结点； 所以不能一笔画。 没有奇数个奇结点的图 形。42源自 1总结一下
两个奇结点的图形可以一笔画 两个奇结点以上的图形不可以一笔画。 所以，奇结点少于三个的图形就可以一
七桥问题基本简介
七桥问题是1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科 学院递交《哥尼斯堡的七座桥》论文是提出的， 在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分 支——图论与几何拓扑，也由此展开了数学史 上的新进程。问题提出后，很多人对此很感兴 趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始 终未能解决。欧拉通过对七桥问题的研究，不 仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而 且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条 结论，人们通常称之为“欧拉定理”。
欧拉：瑞士数学家及自然科学家 在1707年4月15日出生于瑞士 的巴塞尔，1783年9月18日于俄国 的圣彼得堡逝世。欧拉出生于牧 师家庭，自幼受到父亲的教育。 13岁时入读巴塞尔大学，15岁大 学毕业，16岁获得硕士学位。 欧拉(Euler，1707－1783)
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为 数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。 此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、 分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》 （1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原 理》（1768-1770）都成为数学中的经典著作。
拓扑
莫比乌斯带是一种拓扑图形，什么是拓扑呢？拓扑所研究的是几何图形的一些性质，它们在图形被弯曲、拉 大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句 话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻 近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就 能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成 为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8，“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。 拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不再介绍。
应该指出，环面不具有这个性质。设想，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形， 对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。
直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合 性质也是拓扑性质。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯（1790～1868） 在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。
公元1858年，莫比乌斯发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条具有魔术般的性质。因为，普通纸 带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面 （即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸 带，称为“莫比乌斯带”。
高中数学知识点精讲精析 哥尼斯堡七桥问题
2 哥尼斯堡七桥问题十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。
渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图1这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。
因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉。
欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。
图上其它的点是“过路点”——画的时候要经过它。
现在看“过路点”具有什么性质。
它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。
因此，在“过路点”进出的边总数应该是偶数，即“过路点”是偶点。
如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因此必须是偶点，这样图上全体点都是偶点。
如果起点和终点不是同一点，那么它们必须是奇点，因此这个图最多只能有二个奇点。
现在对照七桥问题的图，所有的顶点都是奇点，共有四个，所以这个图肯定不能一笔画成。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。
事实上，中国民间很早就流传着这种一笔画的游戏，从长期实践的经验，人们知道如果图的点全部是偶点，可以任意选择一个点做起点，一笔画成。
从哥尼斯堡七桥问题看数学抽象性
从哥尼斯堡七桥问题看数学的抽象摘要：由哥尼斯堡七桥问题出发，分析其蕴含的思想、方法，并引出数学抽象方法的概念，定义，特点及运用.关键字：七桥问题；抽象；特点；方法数学无论是在内容上还是方法上都呈现出极其高度的抽象性.数学的抽象有两个基本特征:概括性和深刻性.用数学方法思考事物时，往往把这些事物的物理属性、化学属性和生物属性等全撇开，而只考虑其量的特征、形的特征.以下以哥尼斯堡七桥问题为例谈数学的抽象.一、哥尼斯堡七桥问题简介哥尼斯堡七桥问题是欧拉用抽象的方法探究并解决实际问题的一个典型实例，对开创图论与拓扑学的研究具有重大意义.18世纪的哥尼斯堡是德国的一个美丽的城市（现属于俄罗斯），布勒尔河穿城而过，它有两个支流，在哥尼斯堡城中心汇成大河，河中心有一个小岛，河上有七座桥，如图1(1)岛上有一座古老的大学，还有哲学家康德的墓地及塑像.当地的居民，特别是大学生们常常到七桥附近散步，渐渐地大家热衷于一个问题:一个人是否能不重复地一次走遍这七座桥而返回出发点？很多人做过尝试，但都未能实现，这便产生了数学史上著名的“七桥问题”，1735年，一群大学生写信将这个难题交给了著名的数学家欧拉.图1欧拉首先从千百人次的失败中猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，但如何来证明它呢？欧拉是这样想这个问题的:既然岛与两岸无非是桥的连接地点，两岸陆地也是桥通往的地点，那么就不妨把这四处地点抽象成四个点，并把七座桥抽象成七条线，这样在不改变问题的实质的前提下，问题就转化成了一个有关几何图形的问题，如图1(2)所示，即人们步行走过两岸和七座桥时，就相当于用笔画出此图.于是问题转化为:能否用笔不重复地一笔画出此图.接着欧拉进一步研究了一笔画问题的结构和特征：一笔画有一个起点和一个终点，当起点和终点重合时，称该图形为封闭图形，否则称为开放图形.除起点和终点外，一笔画中间可能出现一些曲线的交点，在这些交点处曲线一进一出，因此其连结的曲线总是偶数条，这些交点就称为“偶点”，由此看来，只有起点和终点通过的曲线可能是奇数条，称通过曲线是奇数条的起点和终点为“奇点”，特别地，当起点和终点重合时，便成为一个偶点，不再是奇点.正是通过上述研究，欧拉断言:任何一个一笔画，要么没有“奇点”，要么恰有两个“奇点”，而在“七桥问题”所对应的图形中，四个点都是“奇点”，因此它不能一笔画成，从而说明人们不可能不重复地一次走过哥尼斯堡的七座桥.欧拉没有满足于“七桥问题”的解决，而是继续深入研究，终于用严密的数学语言证明了一个可鉴别任一图形能否一笔画出的“一笔画定理”:一个网络（任意一个有限条弧线构成的图形，且每条弧线都有两个相异的端点）是一笔画，当且仅当该网络是连通的，并且奇顶点的个数是0或2.欧拉解决这一问题所用的思维方法，就是抽象方法，即从感性认识上升到理性抽象，再由理性抽象升华为理性认识，这也是人们认识事物常用的一种抽象思维方式.“七桥问题”有力地说明，数学抽象将实际问题中许多无关紧要的东西（如桥的大小、形状之类）舍去，而紧紧抓住其中带有本质特征的东西，从而构造出一些在逻辑上无矛盾的“纯粹”的数学关系.二、数学抽象的概念数学是反映现实世界的，它产生于人类的实际需要.数学最初概念与原理的建立，是以经验为基础的长期历史发展的结果.对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，想要研究其存在的规律，这需要人们对现实问题进行深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识.比如实际问题中有许多因素，在建立数学模型时，不可能，也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑，只需考虑其中的最主要的因素即可.根据其特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，通过抽象、简化、引进变量等处理过程，将实际问题用数学方式表达，即用数学式子（如函数，图形，代数方程，微分方程，积分方程等）来描述（表达，模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的规律，然后运用数学方法及计算机技术进行求解.数学抽象是抽象方法在数学中的具体运用，也就是利用抽象方法把大量生动的关于现实世界空间形式和数量关系的直观背景材料进行去伪存真，由此及彼，由表及里的加工和制作，即提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论.三、数学抽象的特点抽象性在简单的数字运用中就得以体现，比如两个抽象数字相乘，我们关心的并不是孩子的数目乘以苹果的数目，还是苹果的数目乘以苹果的单价．直线、平面、空间都是抽象的概念，n维空间乃至无穷维空间也都是抽象的概念.数学抽象的特点在于以下几个方面:第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切，这里量是抽象的，空间也是抽象的，如圆的方程，数域F上的线性空间等概念，只剩下了变量之间的关系和运算.第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象，首先，数学抽象往往是在其他学科抽象基础上的再抽象.例如，正比例函数是物理学中匀速直线运动和简谐运动的再抽象.其次，数学抽象具有逐级抽象的特点.更为重要的是，数学抽象的特殊性表现在数学中一些概念与真实世界的距离是如此遥远以致常常被看成“思维的自由想象物和创造物”，即数学中所谓的“理想元素”（如无穷远点）.比如说，我们生活的这个现实世界是个三维空间，人们对于一维、二维及三维空间很熟悉，在这三种空间中任何两点问的距离可以度量出来，很直观，四维以上的空间，我们就看不见模不着了，至于无限维空间是什么样就很难理解.第三，数学本身几乎全在处理抽象概念和它们的相互关系.自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，而数学家证明定理只需用推理和计算.总之，量和空间是抽象的，概念是抽象的，数学的方法也是抽象的．四、数学抽象的基本方法1．理想化抽象在纯粹理想的状态下，对事物进行简单化与完善化的加工处理，撇开事物的具体内容，排除次要的、偶然的因素，融合事物的一般的本质的属性，抽象出相应数学内容的方法.例如:经济学上的多年度经济预测，年降雨量的年度曲线绘制.2．强抽象与弱抽象强抽象是指在已知概念中，加强对某一属性的限制，抽象出作为原概念特例的新概念的方法，即通过扩大原概念的内涵缩小外延来建立新概念的抽象方法.例如:从四边形概念出发，对两组对边给予适当限制，则得平行四边形和梯形的概念.若从平行四边形概念出发，再对边或角分别进行适当限制，可得到菱形、矩形及正方形的概念.弱抽象是指在已知概念中，减弱对某一属性的限制，抽象出比原概念更为广泛的新概念，使原概念成为新概念的特例的方法，即通过缩小原概念的内涵扩大外延来建立新概念的抽象方法.例如:从全等三角形概念出发，借助弱抽象就可获得相似形与等积形的概念，它们分别保留了“形状相同”与“面积相等”的特性.3.等置抽象从一类对象（具体的或抽象的个体）中抽象出其中的某种共同属性的抽象方法.例如:实数集上的全体n阶方阵，考虑的运算为矩阵的加法；实数集上的行列式为1的全体n阶方阵，考虑的运算为矩阵的乘法；模n的剩余类，其运算为规定的剩余类间的加法等等.这些集合既有有限集合，也有无限集合，运算也各不相同，但却具有相同的属性，即:关于运算封闭，结合律成立，每个集合都有单位元，每个元素有逆元，从而抽象出群的概念.4. 存在性抽象先用假设的方法对抽象出来的数学概念存在给予肯定，并由此发展出一定的数学理论，然后在理论和实践中加以验证，从而确认新的数学理论的合理性.例如:自然数集合{}n是经过三个层次抽象而成的，被称为三度抽象物：古代人们在生产实践中，用“结绳计数”的方法，由计算个别具体数量而得到个别自然数的概念.这是第一步抽象.第二步，人们从数个别自然数中发现进行“加一”的运算，可以得到后继数，这样无限制的运算下去就得到无限序列:1,2,,,n，这就抽象出了一般的任意自然数n的概念，从而进一步得到每一个自然数n的概念.第三步，从无限序列: 发现，每一个自然数都具有相同的特征，根据Cantor的“概括原理”，抽象1,2,,,n出一切自然数能构成无穷集合{}n，从而形成了自然数集合的概念.五、利用抽象法解决数学问题的方法1.利用图形化进行抽象在现实生活中，有不少问题可以利用图形化方法进行抽象，把实际问题抽象成数学问题，从而利用数学方法解决实际问题. 欧拉解决哥尼斯堡七桥问题就是应用图形化方法的典型范例.例1 任选六个人在一起集合，试证其中必有三个人相互认识或相互不认识.此问题常称为六人集合问题，现利用图形法的方法将问题简化.把任选的六个人抽象为平面上任选的六个点，分别用字母A，B，C，D，E，F来表示.如果其中有两个人互相认识，就在代表这两个人的两点之间连一条实线段，否则就连虚线段.这样六点中的任意两点都要连线，不是实线就是虚线.从这六点中任意取一点比如A，它与其它五点有5条连线（图2）.由于5条线段只有实线与虚线两种，根据抽屉原理，其中至少有3条线段是同一种线段.不妨设AC，AD，和AE是三条实线段，那么CE，CD，DE三条线中只要有一条实线段，就是一个三边是实线段的三角形，这表示这个三角形的三个顶点代表的三个人互相认识；如果CE，CD，DE都不是实线段，那么三角形CDE 的三边都是虚线段，这表示C，D，E三个人互相不认识.如果AC，AD，和AE都是虚线段，也可以用同样的方法证明.这个问题进一步研究即拉姆赛(Ramsey)数，是一个很广泛的概念，同时也是一个诱人的悬而未决的问题.2. 利用方程化函数化进行抽象在现实生活中，有不少问题可以利用方程化函数化的数学方法进行抽象，然后通过方程组或函数图来解决实际问题.如“百钱买百鸡”问题，说的是买1只公鸡5文钱，买1只母鸡3文钱，买3只小鸡才1文钱，问用100文钱买100只鸡来.并规定100只鸡中公鸡、母鸡和小鸡都要有，而且不准多，也不准少，一定要刚好百钱百鸡，问公鸡、母鸡和小鸡各几只？ 设公鸡有X 只，母鸡有Y 只，小鸡有Z 只，则可得方程组:3. 利用概念等价化进行抽象时，应该注意把握简单化与完善化的分寸，既不能将问题过于简单化，与实际问题情形有太大的出入，也不能使抽象后的数学问题过于复杂化，以致失去简化问题的作用.DAEC BF 图2参考文献：[1] 卢开澄,卢华明.图论及其应用[M].北京:清华大学出版社,1995.[2] 王朝瑞.图论[M].北京:北京理工大学出版社,2001.[3] 王树禾.离散数学引论[M].合肥:中国科技大学出版社,2001.[4] 屈婉玲,耿素云,张立昂.离散数学[M].北京:高等教育出版社,2008.[5] 张顺燕.数学的源与流[M].北京:高等教育出版社,2003.[6] 叶立军.数学方法论[M].杭州:浙江大学出版社,2008.。
拓扑学心得
拓扑学心得初识拓扑学，是在数学建模培训的时候，当时是老师介绍欧拉在1736年解决的哥尼斯堡的七桥问题：哥尼斯堡的普雷格尔河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。
人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。
这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。
1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。
欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。
那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。
经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。
并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。
而后的“四色问题”等拓扑学经典问题都向我们展现了拓扑学的广泛应用以及它独特的思考方式。
为我们用学好数学以及更深刻的理解数学提供了一种思路。
下面我将谈谈我在本学期对本书前三章的学习心得体会。
首先，在《集合论与逻辑》一章中，我们利用高中所学知识就可以很容易的理解集合与函数的相关概念，比如集合中的每一个事物都叫做“元素”，也可以叫做“成员”、“点”，集合根据元素个数可以分为有限集合和无限集合。
同样，我们又学习了集合与元素、集合与集合之间的表示以及集合间的运算等。
而这其中我们首次接触到集合的族的概念，即以集合作为元素的集合我们称之为“族”。
同时也给出了有限集和无限集的定义，这与我们在《近世代数》中所学的定义是不一样的，但它也给我们新的思考方式。
开集的概念直接传承于开区间，但却是抽取了开区间这个概念的本质内容所形成的。
开集最终是一个适合范围很广的概念，也在某些性质上与开区间概念有所不同。
设某非空集合X，它的幂集为2^X。
若某集族T是该幂集的子集，同时还满足下述三个公理：1）、T中的任何元素（元素是集合）之并还是属于T；2）、T中的任何有限个元素之交还是属于T；3）、X本身以及空集是T的元素。
七桥问题
七桥问题目录七桥问题故事背景推断方法最终成果展开编辑本段七桥问题1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支-----图论与几何拓扑。
也由此展开了数学史上的新进程。
问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。
七桥问题和欧拉定理。
欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。
编辑本段故事背景七桥问题七桥问题Seven Bridges Problem18世纪著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来(如左图上)。
有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题(如左图下)——一笔画问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.编辑本段推断方法当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
哥尼斯堡七桥问题探究
哥尼斯堡七桥问题探究欧拉对于《哥尼斯堡桥》一文进行了深入分析与研究，解开了“哥尼斯堡七桥问题”所蕴含的丰富数学思想。
通过对七桥问题进行研究与分析，能够让我们对于数学领域中的相关知识予以深入掌握，带给我们更为丰富的数学视角与视野。
标签：哥尼斯堡桥七桥问题欧拉数学思想一、哥尼斯堡七桥问题简述“七桥问题”出现于18世纪哥尼斯堡城。
在这个城市中有七座桥，当时居民十分热衷：一个散步者怎样将这七座桥走遍，并且每座桥都不重复。
要想符合所提出的要求，应当与以下两个条件相适应：第一，所谓的“不重复”指的是，每座桥只能走一次；第二，所谓的“走遍”指的是，每座桥都应当走到不应当被落下。
这些问题的解决是欧拉所完成的，在很多的文献资料中，都提到了欧拉对七桥问题解决的方法，实际上，在欧拉的论文《问题解决与几何位置》中，只包括以下的三幅图与两个表格。
该问题主要包括两个特征：第一，该问题全部来源于现实；第二，该问题属于新数学领域范畴，欧拉的解答所具备的创新性非常突出，对数学教育工作的开展具有至关重要的启发作用。
二、欧拉对七桥问题的解答第一步就是，对描述路线的简洁方法进行寻找。
将河流分割的陆地区域分别用A、B、C 、D表示，地点A到达地点B需要对桥a或b进行跨越，记作AB，倘若再从地点B跨越桥f到达地点D，记作ABD，字母B不仅代表首次跨越的终点，也代表第二次跨越的起点，其余地点也根据这种方法进行类推。
其发现：第一，该表示方法与跨越的桥不存在任何关联；第二，跨越n座桥的路线正好可以用n+1个字母来代表。
该问题就转变成符合条件的八个字母排列问题。
在部分区中，所连接的桥不止一座，部分字母会多次出现，所以，应当对每个字母所出现的次数进行确定。
为了对某个字母出现次数的法则进行判定，欧拉选取单独的区域A，并对多座桥进行随意设置，散步者可以利用不同的桥离开或进入A，所通过的桥数决定着字母A出现的次数，倘若桥数为奇数，表1将其规律进行了揭示，也就是桥数加1的和再除以2，就是字母A所出现的次数。
哥尼斯堡七桥问题与数学抽象
1
思维是数学的灵魂；抽象思维是数 学思维中最根本、最基础的部分。
抽象就是把同类事件中最关键、最 根本的本质性的东西拿出来，加以归纳 综合，使其具有更大Fra bibliotek推广性和普适性 。
学会数学“抽象”是一种基本的数 学素养。
“抽象”是数学的武器，数学的优势 。
我们应该喜欢“抽象”，学会“抽 象”的手段。
不过，在橡皮几何里也有一些图形的性质保持不变 。例如：点变化后仍然是点，线变化后依旧是线， 相交的图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交 。
简单地说，拓扑学就是研究有形的物体在连续变换 下，怎样还能保持性质不变。
拓扑学研究的课题极为有趣。比 如：左手戴的手套能否在空间掉 转位置后变成右手戴的手套？一 个车胎能否从里面朝外头把它翻 转过来？是否存在只有一个面的 纸张？一只有耳的茶杯与救生圈 或花瓶比较，与哪一个更相似些 ？诸如此类，都属于拓扑学研究 的范畴。许多难以置信的事情， 在拓扑学中似乎都有可能。
把问题转化为数学方式的叙述：找到“一个 图形是一笔画”的充分必要条件，并且对是 一笔画的图形给出一笔画的方法。
三步抽象的作用
第一步抽象是把地图抽象成“点线图 ”（把岛和岸抽象成点，把桥抽象成线 ），既简化了问题的条件，又突出了问 题的本质；
第二步抽象是把问题抽象成“一笔画 问题 ”，明确了问题的本质；
第三步抽象是把这个问题转化为数学 方式的叙述，便于我们数学方式的理性 思维。
三个层次的课堂讨论， 与欧拉共思考，同探索
欧拉把图形上的点分成了两类；请考虑：如 果是你，你会分成哪两类？
为了“一笔画”成功，图形中的偶结点多一 些好，还是奇结点多一些好？
奇结点少一些好， 少到几个才能“一笔画”呢？
解决哥尼斯堡七桥问题
考核要求
1、作业: 每2学时安排一次作业，约20 次作业，30%记录学期总成绩。 2、考试: 闭卷考试，占学期总成绩70%。
2018/11/27 宁德师范高等专科学校 5
教学参考书
1、尤承业. 基础拓扑学讲义, 北京大学出版社, 1997 2、陈奕培. 一般拓扑学, 厦门大学出版社, 1996 3、梁基华、蒋继光. 拓扑学基础, 高等教育出版社, 2005 4、王敬庚. 直观拓扑(第二版), 北京师范大学出版 社, 2001 5、孙克宽、郭驼英、梁肇军. 拓扑学(第二版), 华中师 范大学出版社, 2002 6、[美]斯蒂芬•巴尔. 拓扑实验(许明译, 上海教育出版 社), 2002 7、杨忠道. 浅论点集拓扑、曲面和微分拓扑, 湖南教育 出版社, 1993
第三章 几类重要的拓扑性质(讲授22学时, 习题7学 时) 连通性, 局部连通性, 道路连通性, 可数性公理, 分离性公理, 紧性, 度量空间的紧性与可数性, Urysohn度量化定理
2018/11/27 宁德师范高等专科学校 4
教 材
熊金城《点集拓扑学讲义》( 第三版 ) ， 高等教育出版社，2003
2018/11/27 宁德师范高等专科学校 2
教学目标
掌握拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、 例子、性质。掌握连通性，可数性，分离性，紧 性等拓扑性质。掌握几个重要的拓扑性质的可积 性、可商性和遗传性。
教学要点
拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例 子、性质。连通性，可数性，分离性，紧性等拓 扑性质。几个重要的拓扑性质的可积性、可商性 和遗传性。
一般拓扑学 豪 斯 道 夫
拓扑学
代数拓扑学 E 嘉 当 莱 夫 谢 茨
微分拓扑学
吴 文 俊
世界著名数学疑难问题简介
世界著名数学疑难问题简介哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图 1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。
欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图 2于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。
(更多的了解，请参看《力学园地》2010-4期的“释疑解惑”的介绍。
)哥德巴赫猜想1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出两个问题：第一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3，14=3+11等。
第二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。
这就是著名的哥德巴赫猜想。
它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。
实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。
1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。
但是第一个问题至今仍未解决。
由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和，简记为“m+n”。
哥尼斯堡七桥问题
七桥问题的起源
18世纪初，哥尼斯堡的居民开 始对城市中的七座桥梁产生了 浓厚的兴趣。
当时，人们开始思考是否能够 遍历这七座桥梁，每座桥只过 一次，最后回到起始点。
这个问题引起了广泛的关注和 讨论，成为了著名的哥尼斯堡 七桥问题。
02
问题描述
七座桥与哥尼斯堡城市的关系
哥尼斯堡是位于普鲁士王国的一个城市，拥有七座桥梁连接 城市的各个部分。这些桥梁是该城市的重要交通枢纽，也是 文化和历史遗产。
05
结论
哥尼斯堡七桥问题的历史地位和意义
1 2
开启图论研究先河
哥尼斯堡七桥问题被视为图论和欧拉路径研究的 起点，为后续图论学科的发展奠定了基础。
推动数学发展
该问题的解决推动了数学领域中拓扑学和几何学 的发展，对数学理论产生了深远的影响。
3
Hale Waihona Puke 激发探索精神哥尼斯堡七桥问题激发了人们对数学和图论的兴 趣，促使更多人投身于数学研究，推动数学科学 的进步。
物等，以推动数学和其他学科的共同发展。
THANKS
感谢观看
03
欧拉的研究
欧拉对七桥问题的初步探索
欧拉对七桥问题的初步探索始于对哥尼斯堡城市结构的观察。他注意到城市中的七座桥，并 思考是否可以从哥尼斯堡的一个地方开始，遍历所有的桥，每座桥只过一次，最后回到开始 的地方。
欧拉注意到，尽管哥尼斯堡的居民可能认为这是一个有趣的问题，但并没有实际的数学模型 或理论来支持或解决这个问题。
哥尼斯堡七桥问
• 引言 • 问题描述 • 欧拉的研究 • 七桥问题的扩展和影响 • 结论
01
引言
哥尼斯堡背景介绍
01
哥尼斯堡是普鲁士王国的城市， 位于普鲁士东部的奥得河畔，是 重要的交通枢纽和商业中心。
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哥尼斯堡七桥问题体现的拓扑思想
摘要：七桥问题是1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交《哥尼斯堡的七
座桥》论文时提出的，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑，也由此展开了数学史上的新进程。
由哥尼斯堡七桥问题出发，分析其蕴含的思想、方法，并引出其中的拓扑思想。
关键词：七桥问题；拓扑；思想；
拓扑学（英语：topology），几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴.拓扑学起源于哥尼斯堡七桥问题，以及与此相关的一笔画问题。
它所研究的是几何形体在连续形变，精确地说，双方一一而且双方连续的变换（称为同胚）之下保持不变的性质。
理解得广泛些，拓扑学是研究数学中连续性现象的学科。
有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了，那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。
一、哥尼斯堡七桥问题简介
哥尼斯堡七桥问题是欧拉用抽象的方法探究并解决实际问题的一个典型实例，对开创图论与拓扑学的研究具有重大意义.
18世纪的哥尼斯堡是德国的一个美丽的城市，布勒尔河穿城而过，它有两个支流，在哥尼斯堡城中心汇成大河，河中心有一个小岛，河上有七座桥，如图(1)岛上有一座古老的大学，还有哲学家康德的墓地及塑像.当地的居民，特别是大学生们常常到七桥附近散步，渐渐地大家热衷于一个问题:一个人是否能不重复地一次走遍这七座桥而返回出发点？很多人做过尝试，但都未能实现，这便产生了数学史上著名的“七桥问题”，1735年，一群大学生写信将这个难题交给了著名的数学家欧拉
二、问题的解决
欧拉解决这个问题的第一步是把它尽量简化。
他发现，对于这个问题，岛的大小、陆地的面积、桥的长短与宽窄等都不影响答案。
因此，他用点表示岛与陆地，用线表示桥。
把“七桥图”简化为一个几何图形如图（2）。
这样，原题就转化为一个几何问题：能否从图（2），A、B、C、D四点中的某一点出发，只通过每条路线一次，而把所有的7条路都走完？或者说，能否从图（2），A、B、C、D四点中的某一点开始，不重复地一笔画出这个图？弧连接的顶点叫奇顶点。
如果一个网络图只有偶顶点，那么它一定可以一笔画，并回到起点；如果一个网络图只有两个奇顶点，那么它可以从一个奇顶点出发，到另一个奇顶点结束，一笔画完；如果一个网络图只有一个奇顶点或者多于2个奇顶点，那么它一定不能一笔画。
最后，欧拉把上述结论用于图2，由于它的顶点都是奇顶点，所欲它一定不能一笔画。
也就是说，“七桥问题”的答案是否定的。
欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。
对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。
人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。
具有欧拉回路的图叫做欧拉图。
一笔画的特征：
⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
⒊其他情况的图都不能一笔画出。
(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。
)
“七桥问题”的解决方案均是采用某种捆扎的概念（开集）使点集中的点与点之间发生关系。
“七桥问题”的解决归结为在七桥问题的图模型中寻找遍历每一条边恰好一次而回到原地的途径。
欧拉解决这个问题开创了图论典型的思维方式和论证方式，反思欧拉解决“七桥问题”的思路有助于把握图论的本原思想，接受图论的思维方式和解题技巧。
三、体现的拓扑思想
欧拉为什么能抽象出图模型并据此解决七桥问题呢？是他利用特征抽象分析法与拓扑思考方式来考虑问题的结果。
所谓特征抽象分析法就是把研究对象的本质特征抽取出来舍弃非本质特征的分析法。
为了解决七桥问题，首先要给出问题的正确表征，尽量把问题简化，使得容易抓住问题的要点，对于七桥问题，陆地和岛的大小，桥的曲直长短是无关紧要的，只要关心点与点之间是否有线相连，故可用图来表征七桥问题的情景和结构。
所谓拓扑思考方式就是只考虑图形中顶点和边线的个数而不考虑其大小和形状的思考方式。
为了解决七桥问题，将图中顶点和边线的关联情况（顶点的度数）作为切入点，寻找有解的必要条件。
在寻
找有解必要条件的过程中，这种不考虑所画图的大小和形状，仅考虑图中顶点和边线个数的思考方式正是拓扑学的思考方式。
特征抽象分析和拓扑思考方式是把实际问题变成一个图论问题研究额关键。
如：树是图论中的专有名词，它的原型就是窗外有枝有叶的绿色树木，用特征抽象分析法定义树，所谓树就是无圈的连通图。
其中度数为1的顶点称为叶，每个连通片皆为树的图成为林。
对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，想要研究其存在的规律，这需要人们对现实问题进行深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。
欧拉解决这一问题所用的思维方法，就是抽象方法，即从感性认识上升到理性抽象，再由理性抽象升华为理性认识，这也是人们认识事物常用的一种抽象思维方式。
“七桥问题”有力的说明，数学抽象讲实际问题中许多无关紧要的东西（如桥的大小、形状之类）舍去，而紧紧抓住其中带有本质特征的东西，从而构造出一些在逻辑上无矛盾的“纯粹”的数学关系。
在我们熟悉的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形，如果两者能够完全重合，那么这两个图形就叫做全等图形。
可是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或形状都可以发生变化，即拓扑学中没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。
欧拉在解决“七桥问题”时，画的图形仅考虑点和线的个数，不去考虑它的大小、形状。
这些就是拓扑学思考问题的出发点。
简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。
拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。
比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。
换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全不一样的。
直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这就是拓扑性质，在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。
二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。
拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。
拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。
因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。
通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。
本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。
拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，
要想用一两句话讲清楚拓扑学的对象，看来不是一件容易的事，不如让我们来看看哪一类问题有“拓扑”性质，运用了拓扑思想。
拓扑学不像数论、代数学、几何学和分析学，它们的对象比较具体、比较清楚，而拓扑学的问题则较为深刻、较为抽象。
不过，自古以来，许多数学问题和物理学问题都涉及到拓扑，它也不是从天上掉下来的。
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