二次函数与特殊的三角形(含答案)

二次函数与特殊的三角形

第一组等腰三角形

(2016山东临沂，26，13分)（5）

如图，在平面直角坐标系中，直线y=－2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点．点C的坐标是(8，4)，连接AC，BC．

(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q 从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？

(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

(2016新疆建设兵团，23，13分）如图，抛物线23(0)y ax bx a =+-≠的顶点为E ，该抛物

线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且BO =OC =3AO ，直线113

y x =-+与y 轴交于点D ．（12） （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由．

(2016重庆A ，26，12分)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2133y x x =-++与x 轴交于A ．B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点E .

(1)判断△ABC 的形状，并说明理由；

(2)经过B ．C 两点的直线交抛物线的对称轴于点D ，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，点Q 从点P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y 轴上的点N 处，最后沿适当的路径运动到点A 处停止. 当点Q 的运动路径最短时，求点N 的坐标及点Q 经过的最短路径的长；

(3)如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E 在射线AE 上移动，点E 平移后的对应点为点E ′，点A 的对应点为点A ′. 将△AOC 绕点O 顺时针旋转至△11AOC 的位置，点A ．C 的对应点分别为点1A ，1C ，且点1A 恰好落在AC 上，连接1'C A ，1'C E . △1''A C E 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E ′的坐标；若不能，请说明理由.

第二组 直角三角形

10.（ 2016山东省枣庄市，25，10分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B．

⑴若直接y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；

⑵在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与点C的距离之和最小，求点M 的坐标；

⑶设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

答案：1、(1)解：令y=0，则－2x+10=0，x=5，∴A(5，0)．

把x=0代入y=－2x+10，得y=10，∴B(0，10)．

设过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，可得

025506484c a b c a b c ，，

ì=ïï++=íï++=ïî 解得16560a b c ，，ì=ïïïï=íïï=ïïî

- ∴抛物线的解析式为y=16x 2－56

x ．……………………………………………3分 △ABC 是直角三角形，理由如下：

∵B(0，10)，A(5，0)，

∴OA=5，OB=10，∴AB 2

=125，

AB=

∵C (8，4)，A(5，0)，∴AC 2=25，AC=5．

∵B(0，10)，C(8，4)，∴BC 2=100，BC=10．

∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°．…………………………………5分

(2)∵PA=QA ，

又∵PA 2=(2t)2+52，QA 2=(10－t)2+52，

∴(2t)2+52=(10－t)2+52， 解得t=103

． 故当运动时间为

103秒时，PA=QA ．…………………………………8分 (3)存在．

抛物线y=16x 2－56x 过O ，A 两点，则对称轴是x=52，设M 的坐标为(52

，m)， ①当AM=BM 时，M 是AB 的垂直平分线与抛物线的交点，

设抛物线的对称轴与x 轴交于点P ，与AB 交于点Q ，

由题意可知PQ ∥y 轴，P 是OA 的中点，

∴Q 是AB 的中点，

∴AB 的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是Q ，此时不能形成三角形．

②当AB=BM 时，(

52

)2+(10－m)2=AB 2=125，解得m 1

，m 2

， ∴M 1(52

，202+)，M 2(52

，202-)．…………………………………10分 ③当AB=AM 时，(5－52

)2+m 2=AB 2=125，解得m 3

=2，m 4=

－2， ∴M 3(52

)，M 4(52

)． 综上所述，存在点M ，共有4个点，分别是M 1(52

，202+)，M 2(52

，202-)，

M 3(

52，M 4(52．…………………………………12分 解：（1）由抛物线23(0)y ax bx a =+-≠，令x =0，得y =－3

∴C （0，－3），

∴OC =3

∵BO =OC =3AO ，

∴OB =3，AO =1．

∴A （－1，0），B （3，0）

代入23(0)y ax bx a =+-≠，得：

30,9330a b a b --=⎧⎨+-=⎩

解得：1,2a b =⎧⎨=-⎩

∴抛物线的解析式为223y x x =--．

（2）P 1（1，－1），P 2（1，3-），P 3（1，3-），P 4（1，P 5（1，） 设点P 的坐标为（1，m ）

分三种情况讨论：

①若PC =PB ，则PC 2=PB 2

即2222(31)1(3)m m -+=++

解得：m =－1，

∴P 1（1，－1）．

②若PC =BC ，则PC 2=BC 2

即2221(3)m ++=

解得：13m =-+23m =--

∴P 2（1，3-），P 3（1，3-）

③若PB =BC ，则PB 2=BC 2

即222(31)m -+=

解得：1m 2m =

∴P 4（1，P 5（1，）

综上所述，可知满足条件的点P 的坐标共有5个，分别是P 1（1，－1），P 2（1，3-+），