多元复合函数的微分法
5多元复合函数及隐函数的微分法
在满足定理的相应条件下，有:
Q f u f v f w x u x v x w x Q f u f v f w y u y v y w y
Q f u f v f w z u z v z w z
例 设 z = eu cos v， u xy , v 2x y ,
求 z ， z . x y
Fx
Fy
dy dx
0
.
所以 dy Fx (x, y) ．此式称为一元隐函数的 dx Fy (x, y)
求导公式．
例 设 x2 y2 2x , 求 dy .
dx
解 令 F(x, y) x2 y2 2x , 则
Fx 2x 2 , Fy 2 y ,
由公式得
dy 2x 2 1 x .
.
z
F
同理可得
z y
y F
.
z
例 设函数z=f (x, y)由方程sinz=xyz确定，
求z , z x y
解法1
设F(x, y, z)=sinz－xyz,
则 F yz F xz F cos z xy
x
y
z
故
z yz x cosz xy
z xz y cosz xy
解法2
方程sinz=xyz两边分别对x求偏导，得
dx u dx v dx =2sinxcosx+2cosxsinx=2sin2x .
( 2°) 若z=f (u)可导，u = u (x, y)有连续偏导数， (结构如右下图)，则对复合函数z=f ［u(x, y)］有
z dz u x du x
z dz u y du y
( 3°) 若z=f (x, u), u = (x, y)
多元复合函数与隐函数微分法知识分享
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明 在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是 于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微 函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存 复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导 数 都 存, 且 在有 如 下 的 链 式 法 则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为
7.4多元复合函数与隐函数微分法解析
z=f(x,v),v=v(x,y),则z=f[x,v(x,y)]有链式法
z f f v x x v x
z f v y v y
(7.23)
f z 在(7.23)中我们在等式的右边记为 而不用 , x x z 这是为防止和等式左边的 混淆. x
y
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z z u z v y u y v y
1 1 f'u xe f'v y 2 x 1 ( ) x x y xe f'u 2 f'v 2 x y
y
z x y xe f'1 2 f'2 2 y x y
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z
u v
x y
注1 此定理也可称为求导的链式法则.记忆可用上图所示
的链子来记. 定理中的等式数为自变量的个数； 每一个等 式中的项数为中间变量的个数. z到x的路径有两条,一条
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上式等式左端看作以 u,v 为中间变量 ,λ 为自 变量的函数,等式两端对λ求导数,得
f du f dv k k 1 f ( x, y ) u d v d
即
f f k 1 x y k f ( x, y ) u v
由链式法则有 z eu sin v 1 eu cos v 1 x x y e [sin( x y ) cos( x y )]
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9.4复合函数微分法
例2 设 z eu sin v, 而 u xy, v x y,
求
z x
和
z y
.
u
x
z
v
y
解
z x
z u
u x
z v
v x
eu sin v y eu cos v 1
eu( y sin v cosv)
e xy[ y sin( x y) cos( x y)],
例2 设 z eu sin v, 而 u xy, v x y,
v
uv1,
z v
uv
ln
u,
u y
2
y,
v y
2
则
z x
6 x(4 x 2 y)(3 x2 y )2 4x2 y1
4(3 x2 y2 )4 x2 y ln( 3 x2 y2 )
例3 求 z (3 x2 y2 )4 x2 y 的偏导数.
解
z u
v
uv1,
z v
uv
ln u,
u y
2 y,
dz z du z dv dt u dt v dt
复合后的函数是一元函数 ,故所求的导数就是全导数.
证明 设 t 获得增量 t，
则 u (t t ) (t ),v (t t) (t);
由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
求
z x
和
z y
.
解 z x
u
x
z
v
y
e xy[ y sin( x y) cos( x y)],
§8-4__多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用
8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题．对于多元函数，也有类似的求导法则.8.4.1多元复合函数的求导法则 1.二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数),(v u f z =，中间变量u 和v 都可以是x 和y 的二元函数；也可以只是某一个变量t 的函数，还可能中间变量u 和v 分别是不同个数自变量的函数，譬如u 是y x ,的函数，而v 只是x 的函数；等等。
下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出．定理8.4.1设函数),(v u f z =是v u ,的函数，),(),,(y x v y x u ψϕ==．若),(),,(y x y x ψϕ在点),(y x 处偏导数都存在，),(v u f z =在对应点),(v u 处可微，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处关于y x ,的两个偏导数都存在，且yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, (8-1) 我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的结构图，如图8-4所示.从函数结构图可以看出，z 和x 的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量u 到达自变量x ，还有一条是经中间变量v 到达自变量x 的.从公式(1)的第一式可以看出，z 和x 的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.例8.4.1设)sin(y x e z xy+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令y x v xy u +==,，则v e z usin = 函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv ∂∂⋅=sin cos uu e v y e v ⋅+ =sin()cos()xy xye x y y e x y +++,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv ∂∂⋅=sin cos uu e v x e v ⋅+=sin()cos()xy xye x y x e x y +++. 例8.4.2设2)(2y x y x z -+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令22,y x v y x u -=+=，则vu z =，函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv∂∂⋅=1ln v v vu u u -+ =2222122()()()ln()x y x yx y x y x y x y ----+++-,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv∂∂⋅=12ln (2)v v vu y u u y -+- =22221222()()2()ln()x y x yy x y x y y x y x y ----+-+-.2.二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形，分以下几种情形讨论：（1）当函数z 有两个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),,(t v v t u u v u f z ===．函数结构图，如图8-6所示.因此(8-1)变形成为dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=．因为复合结果和中间变量都是t 的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数dtdz 为全导数．当函数z 有三个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),(),,,(t w w t v v t u u w v u f z ====．函数结构图，如图8-7所示.因此公式(8-1)可以推广成为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=．（2）当函数z 有一个中间变量，而自变量有两个.例如),(),,(y x u x u f z ϕ==.函数结构图，如图8-8所示.此时(8-1)变形成为．yu u f y z x f x u u f x z ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, 在上面第一个式中，xz∂∂表示在复合函数]),,([x y x f z ϕ=中，把y 看作常量，求得的z 对x 的偏导数；xf∂∂表示在复合函数],[x u f z =中，把u 看作常量，求得的z 对x 的偏导数，因此x z ∂∂和xf ∂∂表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆. 例如),(),(y x u u f z ϕ==，函数结构图，如图8-9所示.此时(8-1)变形成为．yu du dz y z x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂,(3)当函数z 有两个中间变量，而自变量有三个，即),,(),,,(),,(w v u y y w v u x x y x f z ===．函数结构图，如图8-10所示。
多元函数微分学--多元复合函数求导
= f 2 4 xyf11 + 2( x 2 y 2 ) f12 + xyf 22
2w 例6. w = f ( x + y + z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数,求 xz w = f1 + yzf 2 x 2w = f11 + xyf12 + yf 2 + yz ( f 21 + xyf 22 ) xz
1 z 1 z 1 z ∴ + = = 2 x x y y yf y
二. 复合函数的高阶偏导数
2z 2 z 例5. z = f ( x y , xy), f 具有二阶连续偏导数,求 2 , x xy
2 2
z = f (u, v), u = x 2 y 2 , v = xy
z z u z v = + = 2 xf1 + yf 2 x u x v x
f1 = f u (u , v) 注意: f 2 = f v (u , v)
2z u v u v = 2 f1 + 2 x[ f11 + f12 ] + y[ f 21 + f 22 ] 2 x x x x x
= 2 f1 + 4 x 2 f11 + 4 xyf12 + y 2 f 22
2 z u v u v = 2 x[ f11 + f12 ] + f 2 + y[ f 21 + f 22 ] xy y y y y
dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx
z
u v w
x
u z v
x yБайду номын сангаас
数学分析17.2多元函数微分学之复合函数微分法
第十七章 多元函数微分学2复合函数微分法一、复合函数的求导法则定义1：设函数x=φ(s,t)与y=ψ(s,t)定义在st 平面的区域D 上，z=f(x,y)定义在xy 平面的区域D 1上，{(x,y)|x=φ(s,t),y=ψ(s,t), (s,t)∈D}⊂D 1， 则函数z=F(s,t)=f(φ(s,t),ψ(s,t)), (s,t)∈D 是以f 为外函数，φ,ψ为内函数的复合函数. 其中x,y 称为函数F 的中间变量，s,t 为F 的自变量.定理17.5：若函数x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)∈D 可微， z=f(x,y)在点(x,y)= (φ(s,t),ψ(s,t))可微，则复合函数z=f(φ(s,t),ψ(s,t))在点(s,t)可微，且它关于s 与t 的偏导数分别为：t)(s,sz ∂∂=t)(s,y )(x,sx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,sy y z ∂∂∂∂，t)(s,tz ∂∂=t)(s,y )(x,tx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,ty y z ∂∂∂∂.证：∵x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)可微， ∴△x=s x ∂∂△s+t x ∂∂△t+α1△s+β1△t; △y=s y ∂∂△s+ty∂∂△t+α2△s+β2△t ， 其中当△s,△t →0时，α1,α2,β1,β2→0， 又由z=f(x,y)在点(x,y)可微，∴△z=xz ∂∂△x+y z∂∂△y+α△x+β△y ，其中当△x,△y →0时，α,β→0，补充定义：当△x=0,△y=0时, α=β=0，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆∆∂∂∆∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆∆∂∂∆∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂∆t β+s α+t t y +s sy βy z t β+s α+t t x +s s x αx z =z 2211=t β+s αt t y y z + t x x z s s y y z s x x z ∆∆+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂，其中 α=x z ∂∂α1+y z ∂∂α2+s x ∂∂α+sy∂∂β+αα1+βα2,β=x z ∂∂β1+y z ∂∂β2+t x ∂∂α+ty∂∂β+αβ1+ββ2,由x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)可微知，x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)都连续， 即当△s,△t →0时，△x △y →0时，从而α,α1,α2,β,β1,β2→0，于是， 当△s,△t →0时，α,β→0，即z=F(s,t)在(s,t)可微，从而得：(链式法则)t)(s,sz∂∂=t)(s,y )(x,sx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,sy y z ∂∂∂∂，t)(s,tz ∂∂=t)(s,y )(x,tx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,ty y z ∂∂∂∂.注：1、若只求复合函数f(φ(s,t),ψ(s,t))关于s 或t 的偏导数，则内函数只需具有关于s 或t 的偏导数，但对外函数f 的可微性假设不能省略.如：函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x yx 2222222，有f x (0,0)=f y (0,0)=0，但f 在(0,0)处不可微. 若以f(x,y)为外函数，x=t, y=t 为内函数，则得 以t 为自变量的复合函数z=F(t)=f(t,t)=2t , ∴dt dz =21, 这时用链式法则， 将得到错误的结果：0t tz=∂∂=0t (0,0)tx x z =∂∂∂∂+t (0,0)tx yz =∂∂∂∂=0·1+0·1=0.2、若f(u 1,…,u m )在点(u 1,…,u m )可微，u k =g k (x 1,…,x n ) (k=1,2,…,m)在点(x 1,…,x n )具有关于x i (i=1,2,…,n)的偏导数，则复合函数关于自变量x i的偏导数为：i x z∂∂=∑=∂∂∂∂m1k ik k x u u z (i=1,2,…,n).例1：设z=ln(u 2+v), 而u=2y x e +, v=x 2+y ，求x z ∂∂,yz ∂∂. 解：x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂+x v v z ∂∂∂∂=2y x 2e v u u 2+⋅++x 2v u 12⋅+=yx e x 2e 22y 22x y 22x 22+++++;y z ∂∂=y u u z ∂∂∂∂+y v v z ∂∂∂∂=2y x 2ye 2v u u 2+⋅++v u 12+=yx e 1ye 42y 22x y 22x 22+++++.例2：设u=u(x,y)可微，在极坐标变换x=rcos θ, y=rsin θ下，证明：2r u ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂. 解：∵r x ∂∂=cos θ, r y ∂∂=sin θ; θx ∂∂=-rsin θ, θy∂∂=rcos θ; 又 r u ∂∂=r x x u ∂∂∂∂+r y y u ∂∂∂∂=x u ∂∂cos θ+y u ∂∂sin θ;θu ∂∂=θy y u ∂∂∂∂+θx x u ∂∂∂∂=y u ∂∂rcos θ-xu ∂∂rsin θ;∴2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂cos 2θ+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂sin 2θ+y u x u ∂∂∂∂sin2θ; 22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂sin 2θ+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂cos 2θ-y u x u ∂∂∂∂sin2θ; ∴2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂.例3：设z=uv+sint, 其中u=e t ,v=cost, 求dtdz. 解法一：dt dz =dt du u z ∂∂+dt dv v z ∂∂+dtdt t z ∂∂=ve t -usint+cost=e t (cost-sint)+cost. 解法二：z=uv+sint=e t cost+sint ，∴dtdz=(e t cost+sint)’=e t (cost-sint)+cost.例4：用多元复合微分法计算下列一元函数的导数.(1)y=x x; (2)y=cosxsinx )lnxx (12++.解：(1)令y=u v , u=x, v=x ， 则dx dy =dx du u y ∂∂+dxdv v y ∂∂=vu v-1+u v lnu=x x (1+lnx). (2)令y=uvw, u=sinx+cosx, v=1+x 2, w=lnx ，则dx dy =dx du u y ∂∂+dx dv v y ∂∂+dx dw w y ∂∂=-2uvw (cosx-sinx)+u w ·2x+x 1u v =22cosx)(sinx )lnx x (1++(sinx-cosx)+ cosx sinx 2xlnx ++cosx )x (sinx x 12++.例5：设u=f(x,y,z), y=φ(x,t), t=ψ(x,z)都有一阶连续偏导数，求x u ∂∂,zu ∂∂. 解：∵u=f(x,y,z)=f(x,φ(x,ψ(x,z)),z); ∴x u ∂∂=x f ∂∂+dx d φy f ∂∂+dxd ψdt d φy f ∂∂. 又u=f(x,y,z)=f(x,φ(x,ψ(x,z)),z); ∴z u ∂∂=dz d ψdt d φy f ∂∂+zf ∂∂.例6：设f(x,y)在R 2上可微，且满足方程y·f x (x,y)=x·f y (x,y). 证明：在极坐标中f 只是r 的函数，即θf∂∂=0. 证：设u=f(x,y), x=rcos θ, y=rsin θ，则有θf ∂∂=θx x f ∂∂∂∂+θyy f ∂∂∂∂=-f x (x,y)rsin θ+f y (x,y)rcos θ=-yf x (x,y)+x·f y (x,y)=0.二、复合函数的微分定义2：或以x 和y 为自变量的函数z=f(x,y)可微，则其全微分为： dz=xz∂∂dx+y z ∂∂dy. 如果x,y 作为中间变量又是自变量s,t 的可微函数：x=φ(s,t),y=ψ(s,t)，则复合函数z=f(φ(s,t),ψ(s,t))是可微的，其全微分为： dz=s z ∂∂ds+t z ∂∂dt= ⎝⎛∂∂∂∂s x x z +⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂s y y z ds+ ⎝⎛∂∂∂∂t x x z +⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂t y y z dt =⎝⎛∂∂∂∂ds s x x z +⎪⎭⎫∂∂dt t x + ⎝⎛∂∂∂∂ds s y y z +⎪⎭⎫∂∂dt t y , 又x,y 是(s,t)的可微函数，因此有：dx=s x ∂∂ds+t x ∂∂dt; dy=s y ∂∂ds+t y ∂∂dt ；∴dz=xz∂∂dx+y z ∂∂dy ，结果与非复合函数完全相同，即多元函数有一阶(全)微分形式不变性.例7：设z=e xy sin(x+y), 利用微分形式不变性求dz, 并导出xz∂∂与y z ∂∂. 解：令z=e u sinv, 即u=xy, v=x+y, 则dz=u z ∂∂du+vz∂∂dv=e u sinvdu+e u cosvdv. 又du=ydx+xdy, dv=dx+dy,∴dz=e xy sin(x+y)(ydx+xdy)+e xy cos(x+y)(dx+dy)=e xy [ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+e xy [xsin(x+y)+cos(x+y)]dy. 并可得：xz ∂∂=e xy[ysin(x+y)+cos(x+y)]；y z ∂∂=e xy [xsin(x+y)+cos(x+y)].习题1、求下列复合函数的偏导数或导数： (1)设z=arctan(xy), y=e x , 求dxdz；(2)设z=xy y x 22+exyy x 22+, 求x z ∂∂,yz ∂∂； (3)设z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtdz；(4)设z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u z ∂∂,v z ∂∂；(5)设u=f(x+y,xy), 求x u ∂∂,y u ∂∂；(6)设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y ,y x , 求x u ∂∂,y u ∂∂,z u∂∂. 解：(1)dx dz =x z ∂∂+dx dy y z ∂∂=22yx 1y ++ 22y x 1x +e x =2x2xe x 1x )(1e ++. (2)令u=x yy x 22+, 则z=ue u ,∴x z ∂∂=x u du dz ∂∂=(1+u)e u (y 1-2x y )=232222yx )y x )(y xy (x -++e xyy x 22+；y z ∂∂=y u du dz ∂∂=(1+u)e u (x 1-2y x )=322222yx )x y )(y xy (x -++e xyy x 22+.(3)dt dz =dtdxx z ∂∂+ dt dy y z ∂∂=(2x+y)·2t+(x+2y)·1=2t(2t 2+t)+t 2+2t=4t 3+3t 2+2t.(4)u z ∂∂=u x x z ∂∂∂∂+u y y z ∂∂∂∂=2xlny·v 1+y x 2·3=2v 2u ln(3u-2v) +2v)-(3u v 3u 22； v z ∂∂=v x x z ∂∂∂∂+v y y z ∂∂∂∂=2xlny·⎪⎭⎫ ⎝⎛-2v u +y x2·(-2)=-32v 2u ln(3u-2v)-2v)-(3u v 2u 22.(5)∵du=f 1d(x+y)+f 2d(xy)=f 1dx+f 1dy+f 2ydx+f 2xdy=(f 1+yf 2)dx+(f 1+xf 2)dy ； ∴xu∂∂=f 1+yf 2；y u ∂∂=f 1+xf 2.(6)∵du=f 1d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x +f 2d ⎪⎭⎫ ⎝⎛z y =211y x dy f -ydx f +222zydzf -zdy f =y f 1dx+(z f 2-21y xf )dy-22zyf dz ； ∴x u ∂∂=y f 1；y u ∂∂=z f 2-21y xf ；z u∂∂=-22zyf .2、设z=(x+y)xy , 求dz.解： 令u=x+y, v=xy ，则z=u v ，且du=dx+dy ，dv=ydx+xdy. ∴dz=u z ∂∂du+vz∂∂dv=vu v-1(dx+dy)+u v (ydx+xdy)lnv =xy(x+y)xy-1dx+xy(x+y)xy-1dy+y(x+y)xy (lnx+lny)dx+x(x+y)xy (lnx+lny)dy =[xy(x+y)xy-1+y(x+y)xy (lnx+lny)]dx+[xy(x+y)xy-1+x(x+y)xy (lnx+lny)]dy. 3、设z=)y -f(x y 22，其中f 为可微函数，验证：xz x 1∂∂+y z y 1∂∂=2y z.证：令u=x 2-y 2, 则x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂=(u)f (u)f x y 22'-; y z ∂∂=y z ∂∂+y u u z ∂∂∂∂=(u)f (u)f y 2f(u)22'+; ∴x z x 1∂∂+y z y 1∂∂=(u)f (u)f y 22'-+(u)f (u)f y 2yf(u)2'+=(u)yf f(u)2=yf(u)1；又2y z =2y )f(u y=yf(u)1；∴x z x 1∂∂+y z y 1∂∂=2y z.4、设z=siny+f(sinx-siny), 其中f 为可微函数，证明：xz ∂∂secx+y z∂∂secy=1.证：令u=sinx-siny ，则x z ∂∂=xuu z ∂∂∂∂=f ’(u)cosx; y z ∂∂=y z ∂∂+y u u z ∂∂∂∂=[1-f ’(u)]cosy;∴xz ∂∂secx+y z∂∂secy=f ’(u)cosxsecx+[1-f ’(u)]cosysecy= f ’(u)+1-f ’(u)=1.5、设f(x,y)可微，证明：在坐标旋转变换x=ucos θ-vsin θ, y=usin θ+vcos θ之下(旋转角θ为常数)，(f x )2+(f y )2是一个形式不变量，即 若g(u,v)=f(ucos θ-vsin θ,usin θ+vcos θ)，则必有(f x )2+(f y )2=(g u )2+(g v )2. 证：g u =u x x f ∂∂∂∂+u y y f ∂∂∂∂=f x cos θ+f y sin θ；g v =v x x f ∂∂∂∂+vy y f ∂∂∂∂=-f x sin θ+f y cos θ； ∴(g u )2+(g v )2=(f x cos θ+f y sin θ)+(-f x sin θ+f y cos θ)2=(cos 2θ+sin 2θ)(f x )2+(sin 2θ+cos 2θ)(f y )2+2f x cos θ·f y sin θ-2f x sin θ·f y cos θ =(f x )2+(f y )2.6、设f(u)是可微函数，F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t). 试求：F x (0,0)与F t (0,0). 解：令u=x+2t, v=2x-2t ，则F u |(0,0)=f ’(0)；F v |(0,0)=f ’(0).又F x =x u u F ∂∂∂∂+x v v F ∂∂∂∂=F u +3 F v ; F t =t u u F ∂∂∂∂+tvv F ∂∂∂∂=2F u -2 F v ; ∴F x (0,0)=F u |(0,0)+ 3F v |(0,0)=4f ’(0)；F t (0,0)=2F u |(0,0)-2F v |(0,0)=0.7、若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z), (t>0), 则称F(x,y,z)为k 次齐次函数. 试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数F(x,y,z)为k 次齐次函数的充要条件是：xF x (x,y,z)+yF y (x,y,z)+zF z (x,y,z)=kF(x,y,z).并证明：z=222yx xy +-xy 为2次齐次函数.证：(1)令a=tx,b=ty,c=tz.[必要性]由F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z), (t>0)，两边对t 求导得：t a a F ∂∂∂∂+t b b F ∂∂∂∂+tc c F ∂∂∂∂=kt k-1F(x,y,z)，即 xF a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)=kt k-1F(x,y,z)，令t=1，则有 xF x (x,y,z)+yF y (x,y,z)+zF z (x,y,z)=kF(x,y,z). [充分性]设f(x,y,z,t)=k t1F(tx,ty,tz), (t>0)，求f 关于t 的偏导数得 t f∂∂=1k t1+{[xF a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)]t-kF(a,b,c)}； ∵F a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)=kF(a,b,c)，∴tf∂∂=0. 即f 与t 无关，只是x,y,z 的函数，可记g(x,y,z)=f(x,y,z,t)， ∴t k g(x,y,z)=F(tx,ty,tz), (t>0). 当t=1时，g(x,y,z)=F(x,y,z)， ∴F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z). (2)∵当t>0时，z(tx,ty)=2223y x t xy t +-t 2xy=t 2(222y x xy +-xy)=t 2z(x,y)；∴z(x,y)为2次齐次函数.8、设f(x,y,z)具有性质f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z)，证明：(1)f(x,y,z)=x n f(1,kx y ,m xz)；(2)xf x (x,y,z)+kyf y (x,y,z)+mzf z (x,y,z)=nf(x,y,z). 证：(1)由f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z), 令t=x 1，则f(1,k x y ,m x z )=n x1f(x,y,z)，即有f(x,y,z)=x n f(1,k x y ,m xz).(2)令a=tx, b=t k y, c=t m z ，对f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z)两边关于t 求偏导数得： xf a (a,b,c)+yf b (a,b,c)+f c (a,b,c)=nt n-1f(x,y,z)，当t=1时，即有 xf x (x,y,z)+kyf y (x,y,z)+mzf z (x,y,z)=nf(x,y,z).9、设由行列式表示的函数D(t)=)t (a )t (a )t (a )t (a nn n11n 11⋯⋯⋯⋯⋯, 其中a ij (t) (i,j=1,2,…,n)的导数都存在. 证明：dt dD(t)=∑=⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯n1k nn n2n1k n k 2k 11n 1211)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a . 证：记x ij =a ij (t) (i,j=1,2,…,n), f(x 11,x 12,…,x ij ,…,x nn )=nnn11n11x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯.由行列式定义知f 为n 2元的可微函数且D(t)=f(a 11(t),…,a ij (t),…,a nn (t))，又由复合函数求导法则知D ’(t)=dt dx x f ij n1j ,i ij ∑=∂∂=∑=∂∂n 1j ,i ijx f a ’ij (t)，记nnn11n 11x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯中x ij 的代数余子式为A ij ，则f(x 11,…,x ij ,…,x nn )=∑=n1j ,i ij ij A x .又ij x f ∂∂=A ij ，∴D ’(t)=∑∑==n 1i n1j ij (t)A a ’ij (t)，其中A ij (t)是将A ij 的元素x hl 换为a hl (t)后得到的n-1阶行列式，恰为行列式)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a nn n2n1in i2i11n 1211⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯中a ’ij (t)的代数余分式，于是知 D ’(t)=∑=⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯n1k nn n2n1k n k 2k 11n 1211)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a .。
7.5 多元复合函数与隐函数的微分法解析
且
z z u z v …(7.5.3) x u x v x
z
u
x y
z z u z v y u y v y
…(7.5.4)
v
9
注1 此定理也可称为求导的链式法则. 事实上, 当z对x求偏导时, 应将y看作常数, 此时的中间变量 u,v均是x的一元函数, 从而z亦是x的一元函数, 于是可利用公 式(7.5.1). 此时应把相应的导数记号改写成偏导数记号, 就可 得公式(7.5.3)；类似地可得公式(7.5.4)． 可将此定理中复合函数的中间变量推广到多于两个的情形. 例如, 设由函数
(t ), (t )均连续, 所以当t 0时, 0;
x dx y dy 同时亦有 , ; 于是有 t dt t dt o( ) o( ) o( ) x 2 y 2 lim lim lim ( ) ( ) 0 t 0 t 0 t t t 0 t t
故
dz z z dx z dy lim dt t 0 t x dt y dt
4
即复合函数z f ( (t ), (t ))在点t处可导, 且有公式(7.5.1)
成立.
由于多元函数的复合关系可能出现多种情形, 因此, 分清复
合函数的复合层次是求偏导数的关键.
u s t x y z
f u f s f t f 2y t y s y t y s
u f s f t f f 2z z s z t z s t
15
注2 在计算多元复合函数的偏导数时, 可不写中间变量, 而
又有
而
z z u z v y u y v y
u v 2 y, x y y
多元函数微分学--多元复合函数求导
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
类似的: z f (u,v, w),u (x, y),v (x, y),w h(x, y)
z
u v
x y
w
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
类似的: z f (u, x, y),u (x, y) z f [(x, y), x, y]
x zu
y
z f u f x u x x
x y
z f u f y u y y
z f [(x, y), x, y] z f (u, x, y) 对x的偏导数 对x的偏导数
y2)
,
f
(u)
可微,证明
1 z 1 z z x x y y y2
z yf (2x) 2xyf
x
f2
f2
z y
f
yf (2 y) f2
f
2y2 f f2
1 z 1 z 1 x x y y yf
z y2
二. 复合函数的高阶偏导数
2z
u
v
u
v
x 2
2 f1
2x[
f11
x
f12
] x
y[
f21
x
f22 x ]
2 f1 4x2 f11 4xyf12 y2 f22
2z
u
v
u
v
xy
2x[
课件：多元复合函数微分法
例 5．设 z f ( x y, xy2 ) ，f 有二阶连续偏导数，
x
求z x
，
2z x 2
， 2z xy
。
f
u v
y x y
解：设 u x y ，v xy2 ， 则 z f (u,v),
x
z x
fu
u x
fv
v x
fu
y2
fv
，
fu
u v
y x y
2z x 2
( x
fu
y2
fv
)
fu x
y2
fv x
，
z x
xe xy ez 2
。
补充题 证明当 y , y 时，方程
x
x2
2z x2
2 xy
2z xy
y2
2z y2
0
可以化为
2z
2 0
24
代入
x2
2z x2
2 xy
2z xy
y2
2z y2
0
可以化为
2z
2 0
25
作业
习 题 五 （P126）
1（2）（4）； 2 （2）(3)（4）； 3（2）（4）（5）； 4 ；5；6(1)；8 ；10 。
函数 z f (u,v) 在对应点(u, v) 处可微，则复合函数 z f [( x),( x)] 在 点x 可 导 ，且
d z z d u z dv （全导数公式）。 ① dx u d x v d x
ux 全导数公式可形象地表示为 z v x
简言之“按线相乘，分线相加”。
例 1．设 zeusinv ，而 u 2a2 x ， v x2 a2 ，求 dz 。
多元复合函数微分法共37页
u f ( x , y , z ) , y y ( x ) , z z ( x ) .
请同学自己写
开始对答案
z f ( x , y ) , x x ( t ) , y y ( t ) ;
dzzdxzdy dt xdt ydt
x zy
t
u f ( x , y , z ) , x x ( t ) , y y ( t ) , z z ( t ) ;
lim o (v||l)im m vi 2 | |v| | 0 || v|| x 0 i 1 x 0.
| |v | | v 1 2 v m 2
定理获证
例
设 zxsixn, 求 d z .
dx
解 令 zxy , ysixn, 则
x
dzzzdy dx x ydx
z
x
y
yxy1 xylnxcoxs
vi dvi x dx
o(|v||| ) 0？ x
由 vi i(x)可导, 故必连续, 从而 x0时,
v i 0 ,即 | |v |有 |0 ,于是 lio m | |( v |) | lio m | |( v |) || |v || x 0 x x 0| |v || x
为什么取 绝对值 ?
d u u dx u dy u dz u
x
yБайду номын сангаас
t
d t xd t yd t zd t
z
u f ( x , y , z ) , y y ( x ) , z z ( x ) .
duuudyudz dx xydxzdx
x
u
y
z
x
你做对了吗 ?
二.链导法则
一般多元复合函数的求导法则
7.4多元复合函数与隐函数微分法
多元复合函数与隐函数微分法
一、多元复合函数微分法 1、链式法则：
设z = f (u , v)在(u , v)处可微, u = u ( x, y ), v = v( x, y )在( x, y )处
存在偏导数, 则z = f [u ( x, y ), v( x, y )]在( x, y )处存在偏导数,
【微积分7-4-2】
∆z ∂z ∆u ∂z ∆v o( ρ ) ∴ = • + • + ∆x ∂u ∆x ∂v ∆x ∆x
∆u ∂u ∆v ∂v 而 lim = , lim = ∆x → 0 ∆x ∂x ∆x →0 ∆x ∂x
o( ρ ) o( ρ ) ρ o( ρ ) = • , lim =0 又由于 ∆x ρ ∆x ρ →0 ρ
【微积分7-4-18】
（2）应用举例：
∂z ∂z 例6 设z = f ( x, y )是由方程 sin z = xyz所确定的隐函数, 求 及 ∂x ∂y 解法一：按上述结论求解
令F ( x, y, z ) = sin z − xyz , 则有
∂u 2 ∂u 而 = 1 + 2 xy , = 2x2 y ∂x ∂y
∂z ∂u 2 ′(u ) ′( x + x 2 y 2 ) ∴ = f = (1 + 2 xy ) f ∂x ∂x
∂z ∂u 2 2 2 = f ′(u ) = 2 x yf ′( x + x y ) ∂y ∂y
【微积分7-4-8】
且有
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
多元复合函数的微分法
多元复合函数的微分 法
演讲人姓名
目 录
Ⅰ
点
击
引
添
言
加
正
文
Ⅱ
点
念多
元
击
函
数
添
的
基
加
本 概
正
文
Ⅲ
点
复
合
击
函
数
添
的
微
加
分 法
正
文
Ⅳ
点
数高
阶
击
导
数
添
与
泰
加
勒 级
正
文
Ⅴ
点
用多
元
击
复
合
添
函
数
加
的 应
正
文
Ⅵ
点
总
击
结
添
与
展
加
望
正
文
单击此处添加标题
引言
主题简介
由多个变量构成的函数，其值依赖于 多个自变量的值。
泰勒级数在数学和物理中有广泛的应用。例如，在求解微分方程时，泰勒级数可以用来近似解的表达式；在分析 函数的性质时，泰勒级数可以用来逼近函数的值。
多重泰勒级数
多重泰勒级数的定义：多重泰勒级数是泰勒级数的扩展，它可以用来逼近多元函数的性质。具 体来说，如果多元函数$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$在点$(a_1, a_2, \ldots, a_n)$处的多 重泰勒级数为$f(x_1, x_2, \ldots, xn) = \sum{n1=0}^{\infty} \sum{n2=0}^{\infty} \ldots \sum{nn=0}^{\infty} a{n_1, n_2, \ldots, n_n} (x_1-a_1)^{n_1} (x_2a_2)^{n_2} \ldots (x_n-a_n)^{nn}$，其中$a{n_1, n_2, \ldots, n_n}$是常数，则这 个级数可以用来逼近函数$f(x)$在点$(a_1, a_2, \ldots, a_n)$附近的性质。 多重泰勒级数的应用：多重泰勒级数在数学和物理中有广泛的应用。例如，在求解偏微分方程 时，多重泰勒级数可以用来近似解的表达式；在分析多元函数的性质时，多重泰勒级数可以用 来逼近函数的值。
多元复合函数微分法
du m udvi .
dx i1vi dx
全导数公式图示
v1
v2
u
+
vi
x
vm
du m u dvi
dx i1 vi dx
定理 (全导数公式) 现在证明定理
设 u f 函 ( v 1 , , v m ) ,v i 数 i ( x )( i 1 , , m ) 可
u f(1 ( x ) , ,m ( x ).)
x
y
z
t
u f ( x , y , z ) , y y ( x ) , z z ( x ) .
duuudyudz dx x ydx zdx
x
u
y
z
x
你做对了吗 ?
二.链导法则
一般多元复合函数的求导法则
假设所有出现的函数求导运算均成立, 试想一下如何求下面函数的导数：
zf(u ,v,w ), u u ( x , y ) , v v ( x , y ) , w w ( x , y ) .
0.
| |v | | v 1 2 v m 2
定理获证
例
设 zxsinx , 求 d z .
dx
解 令 z xy , ysinx, 则
x
dz z z dy dx x y dx
z
x
y
yxy1 xylnxcoxs
xsinxsinxcoxslnx
x
例
设以下函数满足定理的条件,
写出二元和三元函数的全导数公式:
谢谢聆听！
你我同行，共同进步。
解 令 ux2y2,
ux r
vcoxsy, z
则 zf(u,v),
v y
z zuxzuy zvxzvy r uxr uyr vxr vyr
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一、多元复合函数的求导法则
证明
当t取得增量Δt时,u，v及z相应地也取得增量Δu,Δv及 Δz.由于z=f(u,v)在点u,v具有连续偏导数，于是函数z=f(u,v) 在点u,v可微分，即
其中
因此，有
一、多元复合函数的求导法则
定理1可以推广到更多中间变量的情况.设z=f(u,v,w)，其 中u=φt,v=ψt,w=ωt，即构成复合函数z=fφt,ψt,ωt，其变量 相互依赖关系如图8-12所示，有
实际上该情形是第2种情形的特例.
一、多元复合函数的求导法则
图 8-15
一、多元复合函数的求导法则
【例4】
设z=uarctan(uБайду номын сангаас)，u=xey，v=y2，求z关于x，y的偏导数． 解
一、多元复合函数的求导法则
设u=φ(x,y)在点x,y具有偏导数，z=f(u,x)在相应点u,x 处有连续偏导数，则复合函数z=f［φ(x,y),x］在点x,y处有 偏导数，且
多元复合函数 的微分法
一、多元复合函数的求导法则
1. 复合函数的中间变量均为同一自变量的一元函数的情形
设函数z=f(u,v)，其中u=[φ（t）,v=ψ （t）] ，即构成复合 函数z=f[φ （t）,ψ （t） ] ，其变量相互依赖关系如图8-11所示.
图 8-11
一、多元复合函数的求导法则
定 理1
二、多元复合函数的高阶偏导数
计算多元复合函数的高阶偏导数，只要重复运用前面 的求导法则即可.
为表达简便起见，引入记号f′1,f′2,f″12等，这里下标 “1”表示对第一个变量u求偏导数，下标“2”表示对第二 个变量v求偏导数，即
同理可规定f″11，f″22等.
二、多元复合函数的高阶偏导数
【例6】
如果函数u=φ(t)及v=ψ (t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对 应点u,v具有连续偏导数,则复合函数z=f[φ (t),ψ (t)]在点t可导, 且有
一、多元复合函数的求导法则
因为当 即当
，又因 所以令Δt→0,两边取极限,得
从定理1中可看到函数最终只依赖于一个变量t，所以对其 导数应用d的符号，并称上述 为全导数.
图 8-12
一、多元复合函数的求导法则
【例1】
设 解
，求全导数
一、多元复合函数的求导法则
【例2】
设有一圆柱体，它的底半径以0.1 cm/s的速率增大，而高 度以0.2 cm/s的速率在减少，试求当底半径为100 cm，高为 120 cm时．求圆柱体体积的变化率.
解 设圆柱体的底半径为R,高为h，则体积为V=πR2h，其 体积变化率为
三、多元复合函数全微分
由定理2
，于是可化为
由此可见,无论z是自变量u,v的函数还是中间变量u,v的函 数,它的全微分形式是一样的.这个性质称为全微分形式不变性.
二、多元复合函数的高阶偏导数
【例7】
设 变性求全微分.
解
,
利用全微分形式不
谢谢聆听
实际上可看作第3种情形中当v=x的特殊情况.
一、多元复合函数的求导法则
注意
是表示在复合函数z=f［φ(x,y),x］中把y看
作常量求得的z对x的偏导数， 是表示在z=f(u,x)中把
u看作常量求得的z对x
的意
义不同.
一、多元复合函数的求导法则
【例5】
设z=f(u,x)=arcsinx+u，其中u=sin(xy)，求 解
一、多元复合函数的求导法则
定 理2
如果函数u=φ(x,y)及v=ψ(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的 偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函 数z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］在点(x,y)的两个偏导数存在,且有
本定理的证明方法与定理1类似，如对x求偏导时，只要注 意变量y是固定的，实质上就是定理1的情形，只是相应地把导 数符号换成偏导数符号.
设
，其中f具有二阶连续偏导数，求
解 令u=xy,
，则z=f(u,v).根据复合函数的求导法则，有
二、多元复合函数的高阶偏导数
因为f′1及f′2仍是复合函数，故由复合函数求导法则，有 因此
二、多元复合函数的高阶偏导数
三、多元复合函数全微分
设z=f(u,v)具有连续偏导数，则有全微分
若z=f(u,v)中的u,v为中间变量，即u=φx,y,v=ψx,y， 而且它们也具有连续偏导数，则复合函数z=f ［u(x,y),v(x,y)］的全微分为
一、多元复合函数的求导法则
图 8-14
一、多元复合函数的求导法则
3. 复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形
定 理3
如果函数u=φ(x,y)在点x,y具有对x及对y的偏导数,函数 v=ψ(y)在点y可导,函数z=f(u,v)在对应点u,v具有连续偏导数,则 复合函数z=fφx,y,ψy（变量相互依赖关系见图8-15）在点x,y 的两个偏导数存在,且有
将
代入上式，得
一、多元复合函数的求导法则
2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理1还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的 情形.设函数z=f(u,v)，其中u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)，即构成复合 函数z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］,其变量相互依赖关系如图8-13所示.
图 8-13
一、多元复合函数的求导法则
【例3】
已知 解
一、多元复合函数的求导法则
类似地，设u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)及w=ω(x,y)都在点(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)具有 连续偏导数，则复合函数z=f［φ(x,y),ψ(x,y),ω(x,y)］（变量 相互依赖关系见图8-14）在点(x,y)的两个偏导数都存在，且