多元复合函数的微分法
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实际上可看作第3种情形中当v=x的特殊情况.
一、多元复合函数的求导法则
注意
是表示在复合函数z=f［φ(x,y),x］中把y看
作常量求得的z对x的偏导数， 是表示在z=f(u,x)中把
u看作常量求得的z对x
的意
义不同.
一、多元复合函数的求导法则
【例5】
设z=f(u,x)=arcsinx+u，其中u=sin(xy)，求 解
一、多元复合函数的求导法则
证明
当t取得增量Δt时,u，v及z相应地也取得增量Δu,Δv及 Δz.由于z=f(u,v)在点u,v具有连续偏导数，于是函数z=f(u,v) 在点u,v可微分，即
其中
因此，有
一、多元复合函数的求导法则
定理1可以推广到更多中间变量的情况.设z=f(u,v,w)，其 中u=φt,v=ψt,w=ωt，即构成复合函数z=fφt,ψt,ωt，其变量 相互依赖关系如图8-12所示，有
一、多元复合函数的求导法则
定 理2
如果函数u=φ(x,y)及v=ψ(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的 偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函 数z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］在点(x,y)的两个偏导数存在,且有
本定理的证明方法与定理1类似，如对x求偏导时，只要注 意变量y是固定的，实质上就是定理1的情形，只是相应地把导 数符号换成偏导数符号.
图 8-12
一、多元复合函数的求导法则
【例1】
设 解
，求全导数
一、多元复合函数的求导法则
【例2】
设有一圆柱体，它的底半径以0.1 cm/s的速率增大，而高 度以0.2 cm/s的速率在减少，试求当底半径为100 cm，高为 120 cm时．求圆柱体体积的变化率.
解 设圆柱体的底半径为R,高为h，则体积为V=πR2h，其 体积变化率为
将
代入上式，得
一、多元复合函数的求导法则
2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理1还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的 情形.设函数z=f(u,v)，其中u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)，即构成复合 函数z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］,其变量相互依赖关系如图8-13所示.
图 8-13
实际上该情形是第2种情形的特例.
一、多元复合函数的求导法则
图 8-15
一、多元复合函数的求导法则
【例4】
设z=uarctan(uv)，u=xey，v=y2，求z关于x，y的偏导数． 解
一、多元复合函数的求导法则
设u=φ(x,y)在点x,y具有偏导数，z=f(u,x)在相应点u,x 处有连续偏导数，则复合函数z=f［φ(x,y),x］在点x,y处有 偏导数，且
如果函数u=φ(t)及v=ψ (t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对 应点u,v具有连续偏导数,则复合函数z=f[φ (t),ψ (t)]在点t可导, 且有
一、多元复合函数的求导法则
因为当 即当
，又因 所以令Δt→0,两边取极限,得
从定理1中可看到函数最终只依赖于一个变量t，所以对其 导数应用d的符号，并称上述 为全导数.
一、多元复合函数的求导法则
图 8-14
一、多元复合函数的求导法则
3. 复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形
定 理3
如果函数u=φ(x,y)在点x,y具有对x及对y的偏导数,函数 v=ψ(y)在点y可导,函数z=f(u,v)在对应点u,v具有连续偏导数,则 复合函数z=fφx,y,ψy（变量相互依赖关系见图8-15）在点x,y 的两个偏导数存在,且有
三、多元复合函数全微分
由定理2
，于是可化为
由此可见,无论z是自变量u,v的函数还是中间变量u,v的函 数,它的全微分形式是一样的.这个性质称为全微分形式不变性.
二、多元复合函数的高阶偏导数
【例7】
设 变性求全微分.
解
,
利用全微分形式不
谢谢聆听
Leabharlann Baidu
一、多元复合函数的求导法则
【例3】
已知 解
一、多元复合函数的求导法则
类似地，设u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)及w=ω(x,y)都在点(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)具有 连续偏导数，则复合函数z=f［φ(x,y),ψ(x,y),ω(x,y)］（变量 相互依赖关系见图8-14）在点(x,y)的两个偏导数都存在，且
多元复合函数 的微分法
一、多元复合函数的求导法则
1. 复合函数的中间变量均为同一自变量的一元函数的情形
设函数z=f(u,v)，其中u=[φ（t）,v=ψ （t）] ，即构成复合 函数z=f[φ （t）,ψ （t） ] ，其变量相互依赖关系如图8-11所示.
图 8-11
一、多元复合函数的求导法则
定 理1
设
，其中f具有二阶连续偏导数，求
解 令u=xy,
，则z=f(u,v).根据复合函数的求导法则，有
二、多元复合函数的高阶偏导数
因为f′1及f′2仍是复合函数，故由复合函数求导法则，有 因此
二、多元复合函数的高阶偏导数
三、多元复合函数全微分
设z=f(u,v)具有连续偏导数，则有全微分
若z=f(u,v)中的u,v为中间变量，即u=φx,y,v=ψx,y， 而且它们也具有连续偏导数，则复合函数z=f ［u(x,y),v(x,y)］的全微分为
二、多元复合函数的高阶偏导数
计算多元复合函数的高阶偏导数，只要重复运用前面 的求导法则即可.
为表达简便起见，引入记号f′1,f′2,f″12等，这里下标 “1”表示对第一个变量u求偏导数，下标“2”表示对第二 个变量v求偏导数，即
同理可规定f″11，f″22等.
二、多元复合函数的高阶偏导数
【例6】
一、多元复合函数的求导法则
注意
是表示在复合函数z=f［φ(x,y),x］中把y看
作常量求得的z对x的偏导数， 是表示在z=f(u,x)中把
u看作常量求得的z对x
的意
义不同.
一、多元复合函数的求导法则
【例5】
设z=f(u,x)=arcsinx+u，其中u=sin(xy)，求 解
一、多元复合函数的求导法则
证明
当t取得增量Δt时,u，v及z相应地也取得增量Δu,Δv及 Δz.由于z=f(u,v)在点u,v具有连续偏导数，于是函数z=f(u,v) 在点u,v可微分，即
其中
因此，有
一、多元复合函数的求导法则
定理1可以推广到更多中间变量的情况.设z=f(u,v,w)，其 中u=φt,v=ψt,w=ωt，即构成复合函数z=fφt,ψt,ωt，其变量 相互依赖关系如图8-12所示，有
一、多元复合函数的求导法则
定 理2
如果函数u=φ(x,y)及v=ψ(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的 偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函 数z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］在点(x,y)的两个偏导数存在,且有
本定理的证明方法与定理1类似，如对x求偏导时，只要注 意变量y是固定的，实质上就是定理1的情形，只是相应地把导 数符号换成偏导数符号.
图 8-12
一、多元复合函数的求导法则
【例1】
设 解
，求全导数
一、多元复合函数的求导法则
【例2】
设有一圆柱体，它的底半径以0.1 cm/s的速率增大，而高 度以0.2 cm/s的速率在减少，试求当底半径为100 cm，高为 120 cm时．求圆柱体体积的变化率.
解 设圆柱体的底半径为R,高为h，则体积为V=πR2h，其 体积变化率为
将
代入上式，得
一、多元复合函数的求导法则
2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理1还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的 情形.设函数z=f(u,v)，其中u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)，即构成复合 函数z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］,其变量相互依赖关系如图8-13所示.
图 8-13
实际上该情形是第2种情形的特例.
一、多元复合函数的求导法则
图 8-15
一、多元复合函数的求导法则
【例4】
设z=uarctan(uv)，u=xey，v=y2，求z关于x，y的偏导数． 解
一、多元复合函数的求导法则
设u=φ(x,y)在点x,y具有偏导数，z=f(u,x)在相应点u,x 处有连续偏导数，则复合函数z=f［φ(x,y),x］在点x,y处有 偏导数，且
如果函数u=φ(t)及v=ψ (t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对 应点u,v具有连续偏导数,则复合函数z=f[φ (t),ψ (t)]在点t可导, 且有
一、多元复合函数的求导法则
因为当 即当
，又因 所以令Δt→0,两边取极限,得
从定理1中可看到函数最终只依赖于一个变量t，所以对其 导数应用d的符号，并称上述 为全导数.
一、多元复合函数的求导法则
图 8-14
一、多元复合函数的求导法则
3. 复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形
定 理3
如果函数u=φ(x,y)在点x,y具有对x及对y的偏导数,函数 v=ψ(y)在点y可导,函数z=f(u,v)在对应点u,v具有连续偏导数,则 复合函数z=fφx,y,ψy（变量相互依赖关系见图8-15）在点x,y 的两个偏导数存在,且有
三、多元复合函数全微分
由定理2
，于是可化为
由此可见,无论z是自变量u,v的函数还是中间变量u,v的函 数,它的全微分形式是一样的.这个性质称为全微分形式不变性.
二、多元复合函数的高阶偏导数
【例7】
设 变性求全微分.
解
,
利用全微分形式不
谢谢聆听
Leabharlann Baidu
一、多元复合函数的求导法则
【例3】
已知 解
一、多元复合函数的求导法则
类似地，设u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)及w=ω(x,y)都在点(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)具有 连续偏导数，则复合函数z=f［φ(x,y),ψ(x,y),ω(x,y)］（变量 相互依赖关系见图8-14）在点(x,y)的两个偏导数都存在，且
多元复合函数 的微分法
一、多元复合函数的求导法则
1. 复合函数的中间变量均为同一自变量的一元函数的情形
设函数z=f(u,v)，其中u=[φ（t）,v=ψ （t）] ，即构成复合 函数z=f[φ （t）,ψ （t） ] ，其变量相互依赖关系如图8-11所示.
图 8-11
一、多元复合函数的求导法则
定 理1
设
，其中f具有二阶连续偏导数，求
解 令u=xy,
，则z=f(u,v).根据复合函数的求导法则，有
二、多元复合函数的高阶偏导数
因为f′1及f′2仍是复合函数，故由复合函数求导法则，有 因此
二、多元复合函数的高阶偏导数
三、多元复合函数全微分
设z=f(u,v)具有连续偏导数，则有全微分
若z=f(u,v)中的u,v为中间变量，即u=φx,y,v=ψx,y， 而且它们也具有连续偏导数，则复合函数z=f ［u(x,y),v(x,y)］的全微分为
二、多元复合函数的高阶偏导数
计算多元复合函数的高阶偏导数，只要重复运用前面 的求导法则即可.
为表达简便起见，引入记号f′1,f′2,f″12等，这里下标 “1”表示对第一个变量u求偏导数，下标“2”表示对第二 个变量v求偏导数，即
同理可规定f″11，f″22等.
二、多元复合函数的高阶偏导数
【例6】