直线回归和相关分析幻灯片
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（2）求Spearman等级相关系数。
rs
l X ’Y ’
l l X ’X ‘Y ’Y ‘
59.5 0.7539 82.5 75.5
第19页/共40页
2. Spearman等级相关系数的假设检验：
H0:ρS=0
H1: ρS ≠0
=0.05
本例n=10， rs=-0.7539，查rs界值表得：
Y
Y
2
lYY
l XY
2 / l XX lYY bl XY
sy为x 各观察值y 距回归线（ ）ˆy 的标准差，反映x
的影响被扣除后y 的变异，故称为剩余标准差。
第32页/共40页
Y
Y
2
36.7324 (74.308)2
/ 228.2 12.541
12.541
SY .X
1.1199 12 2
1.1199
sb
0.0741 228.25
0.3256
tb
4.392
0.0741
3．确定P值，判断结果： 按 12 2 10 ，
查t 值表，t0.01(10)=3.169，tb> t0.01(13) ，P<0.01， 按α=0.05水准，拒绝H0 ，接受H1，认为糖尿病患 者血糖和胰岛素之间存在负的直线回归关系。
rs(10,0.02)=0.745，rs> rs(10,0.02) ，则P<0.02，按
α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为rs有统计
学意义，说明患者血小板数与出血程度呈负
的等级相关关系。
第20页/共40页
第三节 直线回归
随着所探索问题的深入，研究者通常更感兴趣于 其中的一个变量如何定量地影响另一变量的取值， 如医学研究中常需要从某项指标估算另一项指标， 如果这指标分别是测量变量X 和Y，我们希望由X 推算Y的值。
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研究“一因一果”，即一个自变量与一 个依变量的回归分析称为一元回归分析；
研究“多因一果”，即多个自变量与一 个依变量的回归分析称为多元回归分析。
一元回归分析又分为直线回归分析与曲 线回归分析两种；
多元回归分析又分为多元线性回归分析 与多元非线性回归分析两种。
对两个变量间的直线关系进行相关分析 称为直线相关分析（也叫简单相关分析）；
(对多个变量进行相关分析时，研究一 个变量与多个变量间的线性相关称为复相关 分析；)
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在相关分析中，不区分自变量和依变量。 相关分析只研究两个变量之间线性相关的 程度和性质或一个变量与多个变量之间线性相 关的程度，不能用一个或多个变量去预测、控 制另一个变量的变化。 本章介绍直线回归与相关分析。
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回归分析的任务是揭示出呈因果关系的 相关变量间的联系形式，建立它们之间的回 归方程，利用所建立的回归方程，由自变量 （原因）来预测、控制依变量（结果）。
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统计学上采用相关分析研究呈平行关系 的相关变量之间的关系。
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整理得关于a、b的正规方程组
anbxy a xb x2 xy
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11
第十二章直线回归与相关_PPT幻灯片
相同秩次较多时需校正：
rs =
[(n3-n)/6]-(TX+TY)-d2
[(n3-n)/6]-2TX [(n3-n)/6]-2TY
(T = (tj3 - tj)/12)
二. 等级相关系数的显著性检验
n50时: 查rs界值表； n >50时： u = rs n - 1
例 就下表资料分析血小板浓度和出血症的关系。
2.t检验 H0: =0;
H1: 0
t = b- = b
Sb
Sb
Sb =
MS误 (X - X)2
五. 直线回归的区间估计
1.总体回归系数的区间估计
b t/2,n-2Sb ,
Sb=
MS误 lXX
2. Y的估计
Y t/2,n-2SY ,
SY = SY.X
1
+ (X0 - X)2
n (X - X)2
相关程度。
第三节 直线回归与相ຫໍສະໝຸດ 的区别 和联系一.区别1.资料要求不同； 2.应用情况不同； 3.量纲不同。
二.联系
1.方向一致； 2.假设检验等价； 3.换算：
r = lxy / lXXlYY
所以 b = r lYY / lXX
另有：r = bb
b = lxy / lXX r = b lXX / lYY
12例病人的血小板浓度和出血症的关系
病例号 血小板数(109/L) 编秩 出血症状 编秩
d
1
120
1
++
10.5
9.5
2
130
3
160
2
+++
3
±
12
10
第10章 相关与回归分析_PPT幻灯片
直线相关
相关 ---- 变量间的互依关系
直 线 相 关 (linear correlation) ： 简 单 相 关 (simple correlation)，用于双变量正态分布资料。
图10-2 相关系数示意图
散点呈椭圆形分布，
X、Y 同时增减---正相关
（positive correlation)；
2. 计算检验统计量
0.8012
t
4.017
1 (0.8012 )2
11 2
n 2 11 2
3. 确定 P 值下结论（根据 t 值或查附表 11 r 界值表）
t＝4.017>t0.05（9）=3.69,按 ＝0.05 水准拒绝 Ho，…
五、总体相关系数的区间估计（了解）
必须先对 r 作 z 变换
170
47
173
42
160
44
155
41
173
47
188
50
178
47
183
46
180
49
165
43
166
44
பைடு நூலகம்
1891
500
Xy 7990 7266 7040 6355 8131 9400 8366 8418 8820 7095 3174 86185
x2 28900 29929 25600 24025 29929 35344 3684 33489 32400 27225 28561 326081
变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂 量与动物死亡率等。
两种关系：
依存关系：应变量(dependent variable) Y 随自变量 (independent variable) X变化而变化。
[课件]第七章 直线回归与相关分析(2)PPT
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总变异 随机误差引起 的变异
Y与x之间的直线回归关系 引起的变异
可以证明：
ˆ ˆ ( y y ) ( y y ) ( y y )
2 2
称为y的总平方和， 记为SSy，或SS总
2
称为误差平方和，或者剩余平 方和；记为Q、SS离回归、SSe 或 SS剩余反映了随机误差引起 的变异
a 检验统计量 ： t ～ t 分布 n 2 S a
这 里 ， S S a y/x
2 1 x ( ) 。 n S x x
例 5 ， 以 四 川 白 鹅 体 重 资 料 为 例 ， 检 验 H :0 , H :0 0 A
解 ： 已 计 算 得 到 S 1 6 8 5 , S 3 7 1 5 . 2 1 , x 9 8 . 5 x x y / x
设自变量x共有n个取值，分别为x ，x ，…x ，对于
1 2 n
每一个给定的x 进行了m次重复，得到因变量y的m
i
个观测值，其数据模式如下表所示。 自变量（x） x1 y11
y12
x2
y21 y22
x3
y31 y32
…
… …
xn
yn1 yn2
y13
┆ 依变量（y） y1m
y23
y33
…
…
yn3
┆ ynm
F1,12,0.01 ＝ 9.33 ， F ＞ F0.01 。结论是 Y 与 X 之间存在极显著的
回归关系。
（三）系数b和a的t检验
（1）b的显著性检验
x 和 y 之间的线性关系的显著 性程度是由 决定的。
0 说明两变量间不存在线 性关系； 0 说明两变量间 关系
对 的直接检验进行。
Y与x之间的直线回归关系 引起的变异
可以证明：
ˆ ˆ ( y y ) ( y y ) ( y y )
2 2
称为y的总平方和， 记为SSy，或SS总
2
称为误差平方和，或者剩余平 方和；记为Q、SS离回归、SSe 或 SS剩余反映了随机误差引起 的变异
a 检验统计量 ： t ～ t 分布 n 2 S a
这 里 ， S S a y/x
2 1 x ( ) 。 n S x x
例 5 ， 以 四 川 白 鹅 体 重 资 料 为 例 ， 检 验 H :0 , H :0 0 A
解 ： 已 计 算 得 到 S 1 6 8 5 , S 3 7 1 5 . 2 1 , x 9 8 . 5 x x y / x
设自变量x共有n个取值，分别为x ，x ，…x ，对于
1 2 n
每一个给定的x 进行了m次重复，得到因变量y的m
i
个观测值，其数据模式如下表所示。 自变量（x） x1 y11
y12
x2
y21 y22
x3
y31 y32
…
… …
xn
yn1 yn2
y13
┆ 依变量（y） y1m
y23
y33
…
…
yn3
┆ ynm
F1,12,0.01 ＝ 9.33 ， F ＞ F0.01 。结论是 Y 与 X 之间存在极显著的
回归关系。
（三）系数b和a的t检验
（1）b的显著性检验
x 和 y 之间的线性关系的显著 性程度是由 决定的。
0 说明两变量间不存在线 性关系； 0 说明两变量间 关系
对 的直接检验进行。
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n2
r 检验: r 界值表
相关关系密切程度的判断
一般说来，当样本量较大（n>100），并对r
进行假设检验，有统计学意义时（即 P） ，
r 绝对值越大，说明两个变量之间关联程度越强。
低度相关 中度相关 高度相关
r 0.4
0.4 r 0.7
r 0.7Leabharlann 六、相关分析中应用注意的问题
四、相关系数(correlation coefficient)及其意义
又称积差相关系数或Pearson相关系数，说 明具有直线关系的两个变量间相关关系的密切 程度与相关方向的指标。
r 表示样本相关系数,ρ表示总体相关系数。
相关系数 (r)
意义：描述两个变量直线相关的方向与密切
程度的指标。
表示方法： -1≤ r ≤ 1 （无单位）
第十二章 双变量关联性分析
概述
变量间关系问题
年龄～身高、年龄～血压、体温～脉膊、 肺活量～体重、药物剂量～疗效等。
两个关系
依存关系：一变量随另一变量变化而变化
—— 回归分析
互依关系：两变量间的彼此关系
—— 相关分析
主要内容
直线相关与回归的概念 直线回归方程的建立 相关系数与回归系数的假设检验 直线相关与回归的区别与联系 直线相关与回归的应用
不能把毫无关联的两种现象作直线相关分析
资料要求两变量 x 、y 都应是来自正态分布总体 应绘制散点图，当观察点的分布有直线趋势
时，才适宜作直线相关分析。 不能只根据r 的绝对值的大小来判断相关的密切程度 若 r 很小, 即使 t 检验有统计学意义 , 但专业上
意义不大。 相关关系可能是因果关系, 也可能是伴随关系
[课件]第八章 直线回归与相关分析PPT
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Q SS U 283 176 . 4 106 . 6 y
（2）F检验：
U 176 . 4 F ( n 2 ) ( 5 2 ) 4 . 96 Q 106 . 6
因为 F ， 4 . 96 F 10 . 13 0 . 05 ( 1 , 3 ) .05 。说明小白鼠体重和日龄间 所以， p 0 的直线关系不显著。
相关分析（correlation analysis）3
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依 变量的回归分析称为一元回归分析；
直线回归分析 曲线回归分析
研究“多因一果”，即多个自变量与一个依 变量的回归分析称为多元回归分析。
多元线性回归分析
多元非线性回归分析
第二节：直线回归
Linear Regression
回归和相关分析结果仅适用于自变量的试验取值 范围。
9
2. 进行直线回归分析时应符合的基本条件 （基本假定） （1）x是没有误差的固定变量；而y是随机 变量，具有随机误差。 （2）x的任一值都对应着一个y的总体，且 呈正态分布。
（3）随机误差是相互独立的，且呈正态分
布。
10
对两个变量间的线性关系的显著性进行检验时， 采用的方法是 F 检验或 t 检验。 直线回归中，只有一个自变量，所以回归平方和 的自由度为1，离回归平方和的自由度为n－2 。 1. 计算回归平方和U和离回归平方和Q：
序号 日龄 x 体重 y 1 6 12 2 9 17 3 12 22 4 15 25 5 18 29
13
（一）求回归方程： （1）由观测值计算6个一级数据
n 5
x 6 9 12 15 18 60 x 6 9 12 15 18 810
（2）F检验：
U 176 . 4 F ( n 2 ) ( 5 2 ) 4 . 96 Q 106 . 6
因为 F ， 4 . 96 F 10 . 13 0 . 05 ( 1 , 3 ) .05 。说明小白鼠体重和日龄间 所以， p 0 的直线关系不显著。
相关分析（correlation analysis）3
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依 变量的回归分析称为一元回归分析；
直线回归分析 曲线回归分析
研究“多因一果”，即多个自变量与一个依 变量的回归分析称为多元回归分析。
多元线性回归分析
多元非线性回归分析
第二节：直线回归
Linear Regression
回归和相关分析结果仅适用于自变量的试验取值 范围。
9
2. 进行直线回归分析时应符合的基本条件 （基本假定） （1）x是没有误差的固定变量；而y是随机 变量，具有随机误差。 （2）x的任一值都对应着一个y的总体，且 呈正态分布。
（3）随机误差是相互独立的，且呈正态分
布。
10
对两个变量间的线性关系的显著性进行检验时， 采用的方法是 F 检验或 t 检验。 直线回归中，只有一个自变量，所以回归平方和 的自由度为1，离回归平方和的自由度为n－2 。 1. 计算回归平方和U和离回归平方和Q：
序号 日龄 x 体重 y 1 6 12 2 9 17 3 12 22 4 15 25 5 18 29
13
（一）求回归方程： （1）由观测值计算6个一级数据
n 5
x 6 9 12 15 18 60 x 6 9 12 15 18 810
[课件]第七章 直线回归与相关分析(1)PPT
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熟悉：一元线性回归与相关分析的应用。 了解：直线回归的意义、方差分析与t检验对方程及 回归系数进行假设检验的基本思想。
讲授内容
第一节 回归与相关的基本概念
第二节 直线回归分析
第三节 直线相关
第一节 回归及相关的概念
前面各章我们讨论的问题都只涉及一个变量 （试验指标），如产量、发芽率等，未对变量 之间的关系进行研究。
2 ˆ ( y y ) i 和 i 达到最小的直线为回归线 。 i 1 n
a , b 应使得回归估计值 y 与实际观测值 y 的偏差平方
2 2 ˆ L ( y y ) ( y a bx ) 最小 i i i i i 1 i 1 n n
根据微积分学中求极值 的方法，令 L 对 a , b 的一阶偏导数 0 ，即
变量x 变量y
x1 y1
x2 y2
… …
xn yn
2、散点图（scatter diagram）的绘制
为了直观地看出x和y之间的关系，可以将每对观测值在坐标
系里描点，得到的图称为散点图。
例 1，土壤内 NaCl 的含量对植物的生长有很大的影响，
NaCl含量过高，将增加组织没无机盐的积累，抑制植物 的生长。表中的数据，是每 1000 克土壤中所含 NaCl 的 不同克数（ X ），对植物单位叶面积干物质重的影响 （Y）。根据这7对数据作出相应的散点图
SP SSx
称为x的离均差平方和， 记为SSx
得到b后，由方程组中第一个方程可算出a，
a y b x
a 叫做 样本回归截距 ，它是数学模型中总体 回归截距 的无偏估
b 叫做 样本回归系数 ，它是数学模型中总体 回归系数 的无偏估
[课件]第6章 直线回归与相关分析PPT
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第四象限： x x 0 , y y 0 ( x x ) ( y y ) 0
进一步讨论
当正相关时，如右图，可见 大多数点子在一、三象限，
2
2
SS . 8183 1 Rdf R 83 F 1940 . 2384 * * SS 0 . 216 5 r df r
F0.05(1, 5)=6.61 F0.01(1, 5)=16.26
因为F > F0.01，所以否定H0，推断回归关
系极显著，即表明蔗糖质量分数x与食品 甜度 y 具有真实的直线关系。
一元直线相关（简单相关）
相关 分析 多元线性相关
复相关 偏相关
回归分析：研究变量之间的联系形式的一种
统计方法。
联系形式用回归方程来表示。由方程次数不
同来分：
线性回归———方程次数为1
如：y＝a＋bx。 非线性回归——方程次数不为1 如：y＝axb（b≠1）
由方程的自变量个数来分 一元回归——只有一个自变量 如：y＝a＋bx，y＝axb 多元回归——自变量个数多于1
2. 控制： 由 y 去控制 x。 这主要在制定生产措施时用。 例，某作物产量y与施肥量x的回归方程如下：
ˆ y 3 9 1 . 9 36 . 6 2 x
若希望y＞600斤/亩，则施肥量至少多少斤/亩？ 由
可推出
ˆ y 3 9 1 . 9 3 6 . 6 2 x 6 0 0
6 0 03 9 1 . 9 3 x 3 1 . 4 ( 斤 / 亩 ) 6 . 6 2
[( y y ) b ( x x )][ b ( x x )]
b ( x x )( y y ) b ( x x )
直线相关与回归-PPT
相关得类型
相关与回归
25
相关系数概念
相关系数(correlation coefficient), 又称simple correlation coefficient, coefficient of product – moment correlation, 或 Pearson’s correlation coefficient 、
相关与回归
6
相关与回归
图 1078对父子身高间得关系
7
直线回归就就是用来描述一个变量 如何依赖于另一个变量得统计方法。
dependent variable(应变量) indepentent variable(自变量)
相关与回归
8
回归方程
❖ 直线回归得任务就就是要找出因变量随自变量变 化得直线方程,我们把这个直线方程叫做直线回归 方程。
14
(1)回归系数得方差分析
P(X ,Y)
Y
总情况(Y Y )
(Y Yˆ)剩余部分
(Yˆ Y )回归部分
y
X
Y Y Y Yˆ Yˆ Y
相关与回归
15
Y得离均差平方和得分解
由于：(Y Y ) (Y Yˆ) (Yˆ Y ) 可以证明：
(Y Y ) 2 (Y Yˆ)2 (Yˆ Y )2
5、相关、回归若无统计学意义,不等于无任何关系。
相关与回归
36
相关与回归得区别
❖ 1、应用 :研究两变量得相互关系,用相关分析,即在两个变量中,任何一个得变
化都会引起另一个得变化,就是一种双向变化得关系。回归就是反映两个变量得 依存关系,一个变量得改变会引起另一个变量得变化,就是一种单向得关系。
❖ 2、资料要求:回归分析要求Y呈正态分布;相关分析要求资料呈双变量正态分布
生物统计附试验设计第八章直线回归与相关分析ppt课件
全部偏差平方和为：
Q ei2 (y yˆ)2 y (a bx)2
利用最小二乘法，即使偏差平方和最小 的方法求a与b的值。
Q a
2 ( y
a
bx)
0
Q b
2 ( y
a
bx)x
0
na ( x)b y
根据微积分 学中求极值 的原理，将Q 对a与b求偏 导数并令其 等于0：
( x)a ( x)2 b xy
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共
同受到另外因素的影响，无自变量与依变
量之分）
X身高
Y体重
X体重
Y身高
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，在同样 身高下，体重并不完全一样。在同样体重下，身高 并不完全一样。但在每一身高/体重下，有一确定 的体重/身高。
身高与体重之间存在相关关系。
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共 同受到另外因素的影响，无自变量与依变 量之分）
Sr
检验的计算公式为：
Sr (1 r2 ) /(n 2)
Sr—相关系数标准误
F
(1
r2 r2) (n
2)
df1 1, df2 n 2
此外，还可以直接采用查表法对相关系 数r进行显著性检验。先根据自由度n-2查临
界r值(附表8)，得r0.05、 r0.01。
若|r|＜r0.05 ，P＞0.05，则相关系数r不 显著；
椰子树的产果树与树高之间无直线相关关系。
当样本太小时，即使r值达到0.7996，样本也可
能来自总体相关系数ρ=0的总体。
不能直观地由r值判断两变数间的相关密切程度。 试验或抽样时，所取的样本容量n大一些，由此计
算出来的r值才能参考价值。
四、相关与回归的关系
Q ei2 (y yˆ)2 y (a bx)2
利用最小二乘法，即使偏差平方和最小 的方法求a与b的值。
Q a
2 ( y
a
bx)
0
Q b
2 ( y
a
bx)x
0
na ( x)b y
根据微积分 学中求极值 的原理，将Q 对a与b求偏 导数并令其 等于0：
( x)a ( x)2 b xy
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共
同受到另外因素的影响，无自变量与依变
量之分）
X身高
Y体重
X体重
Y身高
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，在同样 身高下，体重并不完全一样。在同样体重下，身高 并不完全一样。但在每一身高/体重下，有一确定 的体重/身高。
身高与体重之间存在相关关系。
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共 同受到另外因素的影响，无自变量与依变 量之分）
Sr
检验的计算公式为：
Sr (1 r2 ) /(n 2)
Sr—相关系数标准误
F
(1
r2 r2) (n
2)
df1 1, df2 n 2
此外，还可以直接采用查表法对相关系 数r进行显著性检验。先根据自由度n-2查临
界r值(附表8)，得r0.05、 r0.01。
若|r|＜r0.05 ，P＞0.05，则相关系数r不 显著；
椰子树的产果树与树高之间无直线相关关系。
当样本太小时，即使r值达到0.7996，样本也可
能来自总体相关系数ρ=0的总体。
不能直观地由r值判断两变数间的相关密切程度。 试验或抽样时，所取的样本容量n大一些，由此计
算出来的r值才能参考价值。
四、相关与回归的关系
直线回归与相关分析PPT课件
变量
关系
反）
性质：正（负）相关——方向一致（相
相关
一元直线相关（简单相关）
第9页/共72页
将计算回归方程为基础的统计分析方法称为回 归分析，将计算相关系数为基础的统计分析方 法称为相关分析。
原则上两个变数中Y含有试验误差而X不含试验 误差时着重进行回归分析；Y和X均含有试验误
差时则着重去进行相关分析。
• 已知： b=－1.0996,
第29页/共72页
yˆ a bx
yy
SSy ( y y)2 [(y yˆ) x
SSy ( y y)2 [(y yˆ) ( yˆ y)]2
[( y yˆ)2 2( y yˆ)( yˆ y) ( yˆ y)2 ]
( y yˆ)2 2 ( y yˆ)( yˆ y) ( yˆ y)2
• b2
(x x)2 b2[
x2 (
x)2 n
]
b2 SS x
b
(x
x)(
y
y)
b[
xy
x
n
y
]
bSP
[ (x x)( y y)]2 (x x)2
[
xy
x
n
y
x2
( x)2
n
]2
SP 2 SS x
第35页/共72页
• ∴ S2回＝SdSf回回
sy x
＝SS回 ,
Q n2
SS2d离Sf离＝离
第4页/共72页
2. 自变数与依变数
回归关系（因果关系）
两个变数间的关系若具有原因和反应(结果)的性质，则称这 两个变数间存在因果关系，并定义原因变数为自变数(independent
variable)，以 X 表示；定义结果变数为依变数(dependent variable)， 以 Y 表示。
食品实验分析与设计·第八章 直线回归与相关ppt课件
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然后计算出b、a：
bSP xy66.78571.2550 SSx 53.2123
a y b x 2 .7 0 7 1 .2 1 5 5 4 .4 5 2 1 0 .9 8 3
所以，甜度y对蔗糖质量分数x的直线回归方程为：
yˆ1.3 95 81.525x50
如人的身高与体重的关系，作物种植密度 与产量的关系，食品价格与需求量的关系等等
特点：这些变量间都存在着十分密切的关系， 但不能由一个或几个变量的值精确地求出另一 个变量的值。
像这样一类关系在生物界中是大量存在的， 统计学中把这些变量间的关系称为相关关系， 把存在相关关系的变量称为相关变量。
相关变量间的关系一般分为两种:
SS
y
SP xy 2 SS x
SSR (yˆ y)2 [b(xx)]2
b2 (xx)2 b2SSx bSPxy
SPxy SSx
SPxy
SPx2y SSx
【例8.2】 检验例8-1中求得的回归方程是 否显著（a=005） 方差分析
SSy 84.034,3 SPxy66.785， 7 SSx 53.2143
SR SbSxyP SSxP xS 2 y65.6 .7 3 2812547 83.3 8161
回归方程的基本性质：
性质1 性质2
Q (yyˆ)2 最小；
(yyˆ)0 ；
性质3 回 归 直 线 通 过 点 (x, y) 。
如果将 aybx式代入 yˆ abx 式，
得到回归方程的另一种形式(中心化形式)：
y ˆ y b x b y x b ( x x )
的偏差平方和最小，即：总的离回归平方 和，即剩余平方和
然后计算出b、a：
bSP xy66.78571.2550 SSx 53.2123
a y b x 2 .7 0 7 1 .2 1 5 5 4 .4 5 2 1 0 .9 8 3
所以，甜度y对蔗糖质量分数x的直线回归方程为：
yˆ1.3 95 81.525x50
如人的身高与体重的关系，作物种植密度 与产量的关系，食品价格与需求量的关系等等
特点：这些变量间都存在着十分密切的关系， 但不能由一个或几个变量的值精确地求出另一 个变量的值。
像这样一类关系在生物界中是大量存在的， 统计学中把这些变量间的关系称为相关关系， 把存在相关关系的变量称为相关变量。
相关变量间的关系一般分为两种:
SS
y
SP xy 2 SS x
SSR (yˆ y)2 [b(xx)]2
b2 (xx)2 b2SSx bSPxy
SPxy SSx
SPxy
SPx2y SSx
【例8.2】 检验例8-1中求得的回归方程是 否显著（a=005） 方差分析
SSy 84.034,3 SPxy66.785， 7 SSx 53.2143
SR SbSxyP SSxP xS 2 y65.6 .7 3 2812547 83.3 8161
回归方程的基本性质：
性质1 性质2
Q (yyˆ)2 最小；
(yyˆ)0 ；
性质3 回 归 直 线 通 过 点 (x, y) 。
如果将 aybx式代入 yˆ abx 式，
得到回归方程的另一种形式(中心化形式)：
y ˆ y b x b y x b ( x x )
的偏差平方和最小，即：总的离回归平方 和，即剩余平方和
十五直线相关与直线回归分析PPT课件
直线相关与回归
13
相关系数及意义
相关系数：相关系数是用以衡量两个变量线 形相关有无、强弱与方向的统计指标。
总体参数：
样本相关系数：r
2020/1/7
直线相关与回归
14
相关系数的计算公式
r X－X Y Y
LXY
X X 2. Y Y 2
因为，总体相关系数（）为零时，由于抽样误差，从总体 抽出的12例，其r可能不等于零。所以，要判断该样本的r是 否有意义，需与总体相关系数=0进行比较，看两者的差别 有无统计学意义。这就要对r进行假设检验，判断r不等于零 是由于抽样误差所致，还是两个变量之间确实存在相关关系。
2020/1/7
直线相关与回归
0.9256
[174.51 43.92 /12][1873.04 143.42 /12]
2020/1/7
直线相关与回归
20
（3）直 线 相 关 系 数 的 假 设 检 验
上例中的相关系数r等于0. 9256，说明了12名癫痫病人的唾 液药物浓度与血液药物浓度之间存在相关关系。但是，这12 名癫痫病人只是总体中的一个样本，由此得到的相关系数会 存在抽样误差。
LXY .LYY
Lxx
2
XX
X2
X2
n
Lyy
2
y
X
X
Y
Y
XY
X Y
n
2020/1/7
直线相关与回归
15
r 的计算结果：
说明了两个变量X与Y之间关联的密切程 度（绝对值大小）与关联的性质（正负 号）。
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金花柿的单果重和果实横径见表9.5。
表9.5 金花柿的单果重和果实横径
9.3.2 相关系数的假设检验
表9.6 例9.10资料相关关系的方差分析
由表9.6得到F = 226.52>F0.01=9.07，表明金 花柿的单果重与果实横径有真实直线相关 关系，具有统计学上极显著的意义。
需要说明一点：相关平方和=回归平方和， 相关自由度=回归自由度；非相关平方和= 离回归平方和，非相关自由度=离回归自由 度。因此，直线回归关系的F检验与直线相 关关系的F检验相同。
图9.3 一元线性回归数学模型示意图
对于线性回归分析的资料， 要求满足正态性、可加性及 同一性的要求，参见第5章。
3．直线回归方程的计算及性质
［例9.1］ 1979年9月，莱阳农学 院随机调查了8个茌梨成龄果园， 以枝条数量为x，以叶面积为y。如 图9.4所示。计算y对x的直线回归 方程。
将表9.1中的（x，y）作散点图呈 直线趋势，故可以进行直线回归分 析。表9.2是其直线回归分析计算 表。
图9.4 茌梨成龄果园枝条数量与叶面 积的散点图
表9.1 茌梨成龄果园枝条数量与 叶面积的关系
表9.2 直线回归分析计算表
4．直线回归方程的图示
直线回归图包括回归直线的图像和 散点图（Scatter Diagram），可以 醒目地表示x和y的数量关系。用 Excel软件可以很方便地完成这项 工作：第一步作（x，y）的散点图； 第二步添加趋势线。
要么都没有统计学意义，假设检验结果等价。
2．直线回归分析与直线相关分析的区别
① 研究目的不同，回归是研究随机变量之 间的数量依存关系，相关是研究随机变量 之间联系的密切程度；
9.3.3 总体相关系数的区间估计
样本相关系数r的抽样分布如图9.7 所示。当时，r近似服从正态分布； 当时，r的分布为偏态分布，且因n 和的不同而不同。费歇（R. Fisher） 提出用式（9.38）将r转换为z，则 z近似于正态分布。因此，便可按 照正态分布对总体相关系数进行区 间估计。
图9.7 不同时r的抽样分布（n=8）
9.4 直线回归和相关的关系及应用要点
9.4.1 直线回归和相关的关系 1．直线回归分析与直线相关分析的联系 ① 都是对两个随机变量x、y的分析； ② 都要求两个随机变量x、y服从正态分布； ③ r和b具有相同的正负号，要么都是正数，要
么都是负数，不可能一正一负； ④ 假设检验结果相同，要么都有统计学意义，
9.2 直 线 回 归
对于两个变数x和y间的散点图呈直线趋势的 进行直线回归分析。用回归分析的方法， 可以从大量的观测数据中找出自变数x与因 变数y间的量变规律性。根据自变数x预测因 变数y的取值，并给出这种预测的概率保证。
图9.1 n对（x，y）的散点图
图9.2 回归截距a和回归系数b的几何 意义
第9章 直线回归和相关分析
9.1 相关的概念 相关和回归分析是变数之间相关关系的一种统计方法。在农
业试验中，变数间的相关关系普遍存在，如施肥量与产量间 的相关关系，药剂浓度与杀虫率间的相关关系，食品供应量 与价格间的相关关系，播种期、播种量与产量间的相关关系 等。在诸多的因素中，有些是属于人们一时还没有认识或掌 握的，有些是已认识但暂时还无法控制或测量的，再加上在 测量上或多或少都有些误差，所有这些因素的综合作用，造 成了变数之间关系的不确定性，在统计上将变数间的这种非 确定性的数量关系称为相关关系（Correlativity）。在变数 的相关关系中，某些变数是可以测量或控制的非随机变数， 如施肥量、药剂浓度、食品供应量、播种期和播种量等，这 类变数称为自变数（Independent Variable），以x记；另一 类变数与之有关，但它是随机变数，例如产量，这类变数称 为因变数（Dependent Variable），以y记。一个自变数称为 一元，故将x与y间的回归分析称为一元回归分析（Analysis of Simple Regression）。
3．相关系数Biblioteka 决定系数的性质由于相关系数r和回归系数b 计算公式中的分子部分都是， 分母部分又总是取正值，所 以相关系数和回归系数取相 同的正负号，为正亦为正， 为负亦为负。
4．相关系数和决定系数的计算
［例9.10］ 2011年，青岛农业大学调查了 15个金花柿的单果重（g）和果实横径 （cm），计算相关系数和决定系数。
9.2.2 直线回归的假设检验
如果x和y变数的总体并不存在直线回归关系， 则随机抽取的一个样本用上述方法也能够获得 一个直线回归方程。毫无疑问，这样的一个回 归方程是不可靠的。所以，对于随机样本获得 的直线回归方程存在抽样误差，必须检验其来 自无直线回归关系总体的概率，只有当这种概 率小于0.05或者0.01时，我们才能冒较小的风 险确认其总体存在直线回归关系。直线回归的 假设检验方法有F检验和t检验。
图9.5 回归矫正值yc的示意图
9.3 直 线 相 关
设双变数总体具有N对(x, y)。 不同总体 (x, y) 的相关散点 图如图9.6所示。直线相关 研究的问题仅限于图9.6中 (a)和(b)两种情形。
图9.6 四种不同总体（x, y）的相关 散点图
从式（9.30）不难看出，决定系数r2等于回 归平方和U占y变数平方和的比率，说明了 由于自变量的影响所产生的变异占因变量 总变异的比例大小。这个比例越大，说明 自变量的影响就越大，直线回归方程能够 很好地表示y与x间量变的规律性，使用这样 的直线回归方程进行估计和预测的效果自 然要好得多。
表9.3 例9.1资料回归关系的方差分析
9.2.4 直线回归方程的应用
1．用回归方程进行统计预测 直线回归方程有三个用途：一是用来说明
随机变量之间是否存在数量依存关系（是 不是有相关性）；二是用来预测；三是用 来控制。用求得的线性回归方程对尚未发 生的事件或已经发生但未观察的事件进行 预测。对任一给定的x0，由回归方程作统计 预测的点估计值为=a+bx0。
表9.5 金花柿的单果重和果实横径
9.3.2 相关系数的假设检验
表9.6 例9.10资料相关关系的方差分析
由表9.6得到F = 226.52>F0.01=9.07，表明金 花柿的单果重与果实横径有真实直线相关 关系，具有统计学上极显著的意义。
需要说明一点：相关平方和=回归平方和， 相关自由度=回归自由度；非相关平方和= 离回归平方和，非相关自由度=离回归自由 度。因此，直线回归关系的F检验与直线相 关关系的F检验相同。
图9.3 一元线性回归数学模型示意图
对于线性回归分析的资料， 要求满足正态性、可加性及 同一性的要求，参见第5章。
3．直线回归方程的计算及性质
［例9.1］ 1979年9月，莱阳农学 院随机调查了8个茌梨成龄果园， 以枝条数量为x，以叶面积为y。如 图9.4所示。计算y对x的直线回归 方程。
将表9.1中的（x，y）作散点图呈 直线趋势，故可以进行直线回归分 析。表9.2是其直线回归分析计算 表。
图9.4 茌梨成龄果园枝条数量与叶面 积的散点图
表9.1 茌梨成龄果园枝条数量与 叶面积的关系
表9.2 直线回归分析计算表
4．直线回归方程的图示
直线回归图包括回归直线的图像和 散点图（Scatter Diagram），可以 醒目地表示x和y的数量关系。用 Excel软件可以很方便地完成这项 工作：第一步作（x，y）的散点图； 第二步添加趋势线。
要么都没有统计学意义，假设检验结果等价。
2．直线回归分析与直线相关分析的区别
① 研究目的不同，回归是研究随机变量之 间的数量依存关系，相关是研究随机变量 之间联系的密切程度；
9.3.3 总体相关系数的区间估计
样本相关系数r的抽样分布如图9.7 所示。当时，r近似服从正态分布； 当时，r的分布为偏态分布，且因n 和的不同而不同。费歇（R. Fisher） 提出用式（9.38）将r转换为z，则 z近似于正态分布。因此，便可按 照正态分布对总体相关系数进行区 间估计。
图9.7 不同时r的抽样分布（n=8）
9.4 直线回归和相关的关系及应用要点
9.4.1 直线回归和相关的关系 1．直线回归分析与直线相关分析的联系 ① 都是对两个随机变量x、y的分析； ② 都要求两个随机变量x、y服从正态分布； ③ r和b具有相同的正负号，要么都是正数，要
么都是负数，不可能一正一负； ④ 假设检验结果相同，要么都有统计学意义，
9.2 直 线 回 归
对于两个变数x和y间的散点图呈直线趋势的 进行直线回归分析。用回归分析的方法， 可以从大量的观测数据中找出自变数x与因 变数y间的量变规律性。根据自变数x预测因 变数y的取值，并给出这种预测的概率保证。
图9.1 n对（x，y）的散点图
图9.2 回归截距a和回归系数b的几何 意义
第9章 直线回归和相关分析
9.1 相关的概念 相关和回归分析是变数之间相关关系的一种统计方法。在农
业试验中，变数间的相关关系普遍存在，如施肥量与产量间 的相关关系，药剂浓度与杀虫率间的相关关系，食品供应量 与价格间的相关关系，播种期、播种量与产量间的相关关系 等。在诸多的因素中，有些是属于人们一时还没有认识或掌 握的，有些是已认识但暂时还无法控制或测量的，再加上在 测量上或多或少都有些误差，所有这些因素的综合作用，造 成了变数之间关系的不确定性，在统计上将变数间的这种非 确定性的数量关系称为相关关系（Correlativity）。在变数 的相关关系中，某些变数是可以测量或控制的非随机变数， 如施肥量、药剂浓度、食品供应量、播种期和播种量等，这 类变数称为自变数（Independent Variable），以x记；另一 类变数与之有关，但它是随机变数，例如产量，这类变数称 为因变数（Dependent Variable），以y记。一个自变数称为 一元，故将x与y间的回归分析称为一元回归分析（Analysis of Simple Regression）。
3．相关系数Biblioteka 决定系数的性质由于相关系数r和回归系数b 计算公式中的分子部分都是， 分母部分又总是取正值，所 以相关系数和回归系数取相 同的正负号，为正亦为正， 为负亦为负。
4．相关系数和决定系数的计算
［例9.10］ 2011年，青岛农业大学调查了 15个金花柿的单果重（g）和果实横径 （cm），计算相关系数和决定系数。
9.2.2 直线回归的假设检验
如果x和y变数的总体并不存在直线回归关系， 则随机抽取的一个样本用上述方法也能够获得 一个直线回归方程。毫无疑问，这样的一个回 归方程是不可靠的。所以，对于随机样本获得 的直线回归方程存在抽样误差，必须检验其来 自无直线回归关系总体的概率，只有当这种概 率小于0.05或者0.01时，我们才能冒较小的风 险确认其总体存在直线回归关系。直线回归的 假设检验方法有F检验和t检验。
图9.5 回归矫正值yc的示意图
9.3 直 线 相 关
设双变数总体具有N对(x, y)。 不同总体 (x, y) 的相关散点 图如图9.6所示。直线相关 研究的问题仅限于图9.6中 (a)和(b)两种情形。
图9.6 四种不同总体（x, y）的相关 散点图
从式（9.30）不难看出，决定系数r2等于回 归平方和U占y变数平方和的比率，说明了 由于自变量的影响所产生的变异占因变量 总变异的比例大小。这个比例越大，说明 自变量的影响就越大，直线回归方程能够 很好地表示y与x间量变的规律性，使用这样 的直线回归方程进行估计和预测的效果自 然要好得多。
表9.3 例9.1资料回归关系的方差分析
9.2.4 直线回归方程的应用
1．用回归方程进行统计预测 直线回归方程有三个用途：一是用来说明
随机变量之间是否存在数量依存关系（是 不是有相关性）；二是用来预测；三是用 来控制。用求得的线性回归方程对尚未发 生的事件或已经发生但未观察的事件进行 预测。对任一给定的x0，由回归方程作统计 预测的点估计值为=a+bx0。