直线回归和相关分析幻灯片
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金花柿的单果重和果实横径见表9.5。
表9.5 金花柿的单果重和果实横径
9.3.2 相关系数的假设检验
表9.6 例9.10资料相关关系的方差分析
由表9.6得到F = 226.52>F0.01=9.07，表明金 花柿的单果重与果实横径有真实直线相关 关系，具有统计学上极显著的意义。
需要说明一点：相关平方和=回归平方和， 相关自由度=回归自由度；非相关平方和= 离回归平方和，非相关自由度=离回归自由 度。因此，直线回归关系的F检验与直线相 关关系的F检验相同。
表9.3 例9.1资料回归关系的方差分析
9.2.4 直线回归方程的应用
1．用回归方程进行统计预测 直线回归方程有三个用途：一是用来说明
随机变量之间是否存在数量依存关系（是 不是有相关性）；二是用来预测；三是用 来控制。用求得的线性回归方程对尚未发 生的事件或已经发生但未观察的事件进行 预测。对任一给定的x0，由回归方程作统计 预测的点估计值为=a+bx0。
3．相关系数和决定系数的性质
由于相关系数r和回归系数b 计算公式中的分子部分都是， 分母部分又总是取正值，所 以相关系数和回归系数取相 同的正负号，为正亦为正， 为负亦为负。
4．相关系数和决定系数的计算
［例9.10］ 2011年，青岛农业大学调查了 15个金花柿的单果重（g）和果实横径 （cm），计算相关系数和决定系数。
9.3.3 总体相关系数的区间估计
样本相关系数r的抽样分布如图9.7 所示。当时，r近似服从正态分布； 当时，r的分布为偏态分布，且因n 和的不同而不同。费歇（R. Fisher） 提出用式（9.38）将r转换为z，则 z近似于正态分布。因此，便可按 照正态分布对总体相关系数进行区 间估计。
将表9.1中的（x，y）作散点图呈 直线趋势，故可以进行直线回归分 析。表9.2是其直线回归分析计算 表。
图9.4 茌梨成龄果园枝条数量与叶面 积的散点图
表9.1 茌梨成龄果园枝条数量与 叶面积的关系
表9.2 直线回归分析计算表
4．直线回归方程的图示
直线回归图包括回归直线的图像和 散点图（Scatter Diagram），可以 醒目地表示x和y的数量关系。用 Excel软件可以很方便地完成这项 工作：第一步作（x，y）的散点图； 第二步添加趋势线。
9.2.2 直线回归的假设检验
如果x和y变数的总体并不存在直线回归关系， 则随机抽取的一个样本用上述方法也能够获得 一个直线回归方程。毫无疑问，这样的一个回 归方程是不可靠的。所以，对于随机样本获得 的直线回归方程存在抽样误差，必须检验其来 自无直线回归关系总体的概率，只有当这种概 率小于0.05或者0.01时，我们才能冒较小的风 险确认其总体存在直线回归关系。直线回归的 假设检验方法有F检验和t检验。
图9Leabharlann Baidu3 一元线性回归数学模型示意图
对于线性回归分析的资料， 要求满足正态性、可加性及 同一性的要求，参见第5章。
3．直线回归方程的计算及性质
［例9.1］ 1979年9月，莱阳农学 院随机调查了8个茌梨成龄果园， 以枝条数量为x，以叶面积为y。如 图9.4所示。计算y对x的直线回归 方程。
图9.7 不同时r的抽样分布（n=8）
9.4 直线回归和相关的关系及应用要点
9.4.1 直线回归和相关的关系 1．直线回归分析与直线相关分析的联系 ① 都是对两个随机变量x、y的分析； ② 都要求两个随机变量x、y服从正态分布； ③ r和b具有相同的正负号，要么都是正数，要
么都是负数，不可能一正一负； ④ 假设检验结果相同，要么都有统计学意义，
9.2 直 线 回 归
对于两个变数x和y间的散点图呈直线趋势的 进行直线回归分析。用回归分析的方法， 可以从大量的观测数据中找出自变数x与因 变数y间的量变规律性。根据自变数x预测因 变数y的取值，并给出这种预测的概率保证。
图9.1 n对（x，y）的散点图
图9.2 回归截距a和回归系数b的几何 意义
要么都没有统计学意义，假设检验结果等价。
2．直线回归分析与直线相关分析的区别
① 研究目的不同，回归是研究随机变量之 间的数量依存关系，相关是研究随机变量 之间联系的密切程度；
图9.5 回归矫正值yc的示意图
9.3 直 线 相 关
设双变数总体具有N对(x, y)。 不同总体 (x, y) 的相关散点 图如图9.6所示。直线相关 研究的问题仅限于图9.6中 (a)和(b)两种情形。
图9.6 四种不同总体（x, y）的相关 散点图
从式（9.30）不难看出，决定系数r2等于回 归平方和U占y变数平方和的比率，说明了 由于自变量的影响所产生的变异占因变量 总变异的比例大小。这个比例越大，说明 自变量的影响就越大，直线回归方程能够 很好地表示y与x间量变的规律性，使用这样 的直线回归方程进行估计和预测的效果自 然要好得多。
第9章 直线回归和相关分析
9.1 相关的概念 相关和回归分析是变数之间相关关系的一种统计方法。在农
业试验中，变数间的相关关系普遍存在，如施肥量与产量间 的相关关系，药剂浓度与杀虫率间的相关关系，食品供应量 与价格间的相关关系，播种期、播种量与产量间的相关关系 等。在诸多的因素中，有些是属于人们一时还没有认识或掌 握的，有些是已认识但暂时还无法控制或测量的，再加上在 测量上或多或少都有些误差，所有这些因素的综合作用，造 成了变数之间关系的不确定性，在统计上将变数间的这种非 确定性的数量关系称为相关关系（Correlativity）。在变数 的相关关系中，某些变数是可以测量或控制的非随机变数， 如施肥量、药剂浓度、食品供应量、播种期和播种量等，这 类变数称为自变数（Independent Variable），以x记；另一 类变数与之有关，但它是随机变数，例如产量，这类变数称 为因变数（Dependent Variable），以y记。一个自变数称为 一元，故将x与y间的回归分析称为一元回归分析（Analysis of Simple Regression）。
表9.5 金花柿的单果重和果实横径
9.3.2 相关系数的假设检验
表9.6 例9.10资料相关关系的方差分析
由表9.6得到F = 226.52>F0.01=9.07，表明金 花柿的单果重与果实横径有真实直线相关 关系，具有统计学上极显著的意义。
需要说明一点：相关平方和=回归平方和， 相关自由度=回归自由度；非相关平方和= 离回归平方和，非相关自由度=离回归自由 度。因此，直线回归关系的F检验与直线相 关关系的F检验相同。
表9.3 例9.1资料回归关系的方差分析
9.2.4 直线回归方程的应用
1．用回归方程进行统计预测 直线回归方程有三个用途：一是用来说明
随机变量之间是否存在数量依存关系（是 不是有相关性）；二是用来预测；三是用 来控制。用求得的线性回归方程对尚未发 生的事件或已经发生但未观察的事件进行 预测。对任一给定的x0，由回归方程作统计 预测的点估计值为=a+bx0。
3．相关系数和决定系数的性质
由于相关系数r和回归系数b 计算公式中的分子部分都是， 分母部分又总是取正值，所 以相关系数和回归系数取相 同的正负号，为正亦为正， 为负亦为负。
4．相关系数和决定系数的计算
［例9.10］ 2011年，青岛农业大学调查了 15个金花柿的单果重（g）和果实横径 （cm），计算相关系数和决定系数。
9.3.3 总体相关系数的区间估计
样本相关系数r的抽样分布如图9.7 所示。当时，r近似服从正态分布； 当时，r的分布为偏态分布，且因n 和的不同而不同。费歇（R. Fisher） 提出用式（9.38）将r转换为z，则 z近似于正态分布。因此，便可按 照正态分布对总体相关系数进行区 间估计。
将表9.1中的（x，y）作散点图呈 直线趋势，故可以进行直线回归分 析。表9.2是其直线回归分析计算 表。
图9.4 茌梨成龄果园枝条数量与叶面 积的散点图
表9.1 茌梨成龄果园枝条数量与 叶面积的关系
表9.2 直线回归分析计算表
4．直线回归方程的图示
直线回归图包括回归直线的图像和 散点图（Scatter Diagram），可以 醒目地表示x和y的数量关系。用 Excel软件可以很方便地完成这项 工作：第一步作（x，y）的散点图； 第二步添加趋势线。
9.2.2 直线回归的假设检验
如果x和y变数的总体并不存在直线回归关系， 则随机抽取的一个样本用上述方法也能够获得 一个直线回归方程。毫无疑问，这样的一个回 归方程是不可靠的。所以，对于随机样本获得 的直线回归方程存在抽样误差，必须检验其来 自无直线回归关系总体的概率，只有当这种概 率小于0.05或者0.01时，我们才能冒较小的风 险确认其总体存在直线回归关系。直线回归的 假设检验方法有F检验和t检验。
图9Leabharlann Baidu3 一元线性回归数学模型示意图
对于线性回归分析的资料， 要求满足正态性、可加性及 同一性的要求，参见第5章。
3．直线回归方程的计算及性质
［例9.1］ 1979年9月，莱阳农学 院随机调查了8个茌梨成龄果园， 以枝条数量为x，以叶面积为y。如 图9.4所示。计算y对x的直线回归 方程。
图9.7 不同时r的抽样分布（n=8）
9.4 直线回归和相关的关系及应用要点
9.4.1 直线回归和相关的关系 1．直线回归分析与直线相关分析的联系 ① 都是对两个随机变量x、y的分析； ② 都要求两个随机变量x、y服从正态分布； ③ r和b具有相同的正负号，要么都是正数，要
么都是负数，不可能一正一负； ④ 假设检验结果相同，要么都有统计学意义，
9.2 直 线 回 归
对于两个变数x和y间的散点图呈直线趋势的 进行直线回归分析。用回归分析的方法， 可以从大量的观测数据中找出自变数x与因 变数y间的量变规律性。根据自变数x预测因 变数y的取值，并给出这种预测的概率保证。
图9.1 n对（x，y）的散点图
图9.2 回归截距a和回归系数b的几何 意义
要么都没有统计学意义，假设检验结果等价。
2．直线回归分析与直线相关分析的区别
① 研究目的不同，回归是研究随机变量之 间的数量依存关系，相关是研究随机变量 之间联系的密切程度；
图9.5 回归矫正值yc的示意图
9.3 直 线 相 关
设双变数总体具有N对(x, y)。 不同总体 (x, y) 的相关散点 图如图9.6所示。直线相关 研究的问题仅限于图9.6中 (a)和(b)两种情形。
图9.6 四种不同总体（x, y）的相关 散点图
从式（9.30）不难看出，决定系数r2等于回 归平方和U占y变数平方和的比率，说明了 由于自变量的影响所产生的变异占因变量 总变异的比例大小。这个比例越大，说明 自变量的影响就越大，直线回归方程能够 很好地表示y与x间量变的规律性，使用这样 的直线回归方程进行估计和预测的效果自 然要好得多。
第9章 直线回归和相关分析
9.1 相关的概念 相关和回归分析是变数之间相关关系的一种统计方法。在农
业试验中，变数间的相关关系普遍存在，如施肥量与产量间 的相关关系，药剂浓度与杀虫率间的相关关系，食品供应量 与价格间的相关关系，播种期、播种量与产量间的相关关系 等。在诸多的因素中，有些是属于人们一时还没有认识或掌 握的，有些是已认识但暂时还无法控制或测量的，再加上在 测量上或多或少都有些误差，所有这些因素的综合作用，造 成了变数之间关系的不确定性，在统计上将变数间的这种非 确定性的数量关系称为相关关系（Correlativity）。在变数 的相关关系中，某些变数是可以测量或控制的非随机变数， 如施肥量、药剂浓度、食品供应量、播种期和播种量等，这 类变数称为自变数（Independent Variable），以x记；另一 类变数与之有关，但它是随机变数，例如产量，这类变数称 为因变数（Dependent Variable），以y记。一个自变数称为 一元，故将x与y间的回归分析称为一元回归分析（Analysis of Simple Regression）。