量子力学概论第6章 不含时微扰理论
第六章 微扰理论
ˆ H ˆ k H ˆ H 0 k
k 1
ˆ k H ˆ ) E (H 0 k n n n
k
( 0) (1) ( 2) (k) n n n 2 n k n
E n E (n0) E (n1) 2 E (n2) k E (nk )
(1) n k n ( 0 )* ˆ (0) H d k 1 n (0) k
E
(0) n
E
(0) k
E
( 2) n
( 0 )* n
ˆ ) ˆ ) (H ˆ ) (H (H (1) ( 0 )* ˆ (0) 1 kn 1 kn 1 nk ˆ H1 n d ( 0 ) H1 k d ( 0) (0) n (0) k n E n E k kn E n E k
0) ( 0 )* (1) ( 0 )* ˆ (1) b m (E (m E (n0 ) ) E (n2 ) mn E (n1) m n d m H 1 n d
现在来求能量的二级修正值。当m=n时，上式就变成
( 0 )* (1) ( 0 )* ˆ (1) 0 E (n2 ) E (n1) n n d n H1 n d
( 0) n (1) n (0) n
k
bm
k n
(E(0) n
ˆ ) (H ˆ ) ˆ ) (H ˆ ) (H (H 1 kn 1 mk 1 nn 1 mn 0) ( 0) 2 E (k0) )(E (n0) E (m ) (E(0) n Em )
(k) n E (nk ) 称为能量的k级校正。 称为波函数的k级校正，
假定级数对于λ=1是收敛的，并希望对于很小的微扰，只要取级数的 头几项，就能得到真实能量和波函数得很好近似。
量子力学课件第六章
第二部分应用第6章不含时微扰理论6.1非简并微扰理论6.1.1 一般公式表达假设对于某些势场（比如，一维无限深势阱），我们已经解出了（定态）薛定谔方程：(6.1)ψ，从而可以得到一套完备的正交本征函数，0n(6.2)E。
现在，我们对这个势进行微小扰动(比方说,在势阱底部加入一个小突起−及对应的能量本征值0n图6.1)。
我们期望可以找到新的本征函数和本征值：(6.3) 但是除非我们非常幸运，对于这个有些复杂的势场，一般我们是不可能精确求解薛定谔方程的。
微扰理论是一套系统的理论，它可以利用已得的无微扰时地精确解求出有微扰时的近似解。
图6.1：受到小微扰的无限深势阱。
首先，我们将哈密顿量写成两项之和：(6.4)其中'H 是微扰（上标0总是表示非微扰量）。
此时，我们将λ取为一个很小的数；稍后我们会将取它为1，H 将为真实的哈密顿量。
下面我们把n ψ和n E 展为λ的幂级数：(6.5)(6.6)其中，1n E 为第n 个本征值的一级修正，1n ψ为第n 个本征函数的一级修正；2n E 和2n ψ为二级修正，以此类推。
将6.5和6.6式代入6.3式，得到：或（将λ幂次相同的项合并）对于零级（0λ）项1有，这没有什么新的内容（它就是6.1式）。
对于一级（1λ）项有，(6.7)对于二级（2λ）项有，(6.8)以此类推。
（方程中并没有λ——它仅仅用来更清楚地按数量级分出各方程——所以现在把λ取为1。
）6.1.2 一级近似理论将0n ψ与6.7式进行内积运算（即乘以(0n ψ)*后积分），1级数展开的唯一性（见第2章，脚标25）保证了相同幂次的系数是相等的。
但是0H 为厄米算符，所以它和右边第一项相抵消。
又有001n n ψψ=，所以，2(6.9)这就是一级近似理论的一个最基本的结果；在实际中，它也是量子力学最重要的方程。
它说明能量的一级修正就是微扰在非微扰态中的期待值。
例子6.1 无微扰的无限深势阱波函数为（2.28式）：图6.2：存在于整个势阱的常微扰。
量子力学微扰理论
量子力学微扰理论量子力学微扰理论是量子力学中一个重要的理论工具，它可以用来研究体系在外加微弱扰动下的行为。
这个理论被广泛应用于各个领域，如原子物理、固体物理和量子化学等。
在本文中，我们将介绍微扰理论的基本原理、应用以及一些相关的研究进展。
一、量子力学微扰理论的基本原理量子力学微扰理论的基本原理是基于微扰理论的思想，通过将体系的哈密顿量拆分为一个容易求解的部分和一个微弱扰动部分，从而简化求解复杂问题的过程。
根据微扰的性质，我们可以将微扰分为两类：一类是无简并微扰，即体系本身的能级是非简并的；另一类是简并微扰，即体系本身的能级是简并的。
对于无简并微扰，我们可以使用微扰理论的一阶近似来计算体系的能级和波函数的改变。
一阶微扰理论的基本公式可以表示为：E_n^{(1)} = E_n^{(0)} + \langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle其中，E_n^{(1)}为包含微扰的能级修正，E_n^{(0)}为无微扰的能级，|n^{(0)}\rangle为无微扰下的波函数，V为微弱扰动的哈密顿量。
对于简并微扰，由于在简并态上的微扰能级修正不再是一个确定的值，我们需要使用微扰理论的高阶近似来计算体系的能级和波函数的改变。
高阶微扰理论的计算过程更加复杂，需要考虑简并态之间的耦合效应。
二、量子力学微扰理论的应用1. 原子物理领域在原子物理领域中，微扰理论广泛应用于计算原子的能级结构和跃迁概率。
通过引入微弱的扰动，我们可以计算原子能级的微小变动，并且预测产生的光谱线的频率和强度。
这对于原子吸收光谱和发射光谱的解释具有重要意义。
2. 固体物理领域在固体物理领域中，微扰理论被用来研究固体中的电子能级和电子态密度。
通过引入微弱的外电场或者磁场，我们可以计算固体材料的电子能级的变化，并且研究外界扰动对电子输运性质的影响。
3. 量子化学领域在量子化学领域中，微扰理论被广泛用于计算分子的能谱和分子反应的速率常数。
量子力学(第六章)
i ( ) t 2 2 q 1 p p A p A p c 2
1 q p p p p A 2 c 2q i p p A 2 c
代入正则方程
H H ,P r P r
(2)
即可得出
式中
1 r q E v B (3) c 1 E A (电场强度) (4) c t
B A (磁感应强度)
c
• H和 p 的关系一样。这里 p 为正则动量。由这
个原理和正则量子化规则可知，有电磁场时， 量子化规则应当变更为
i i q t t q i A c
• 这就将电磁势引进了 Schrodinger 方程 。于是， 有电磁场时的 Schrodinger 方程为
的电子的速度 v 远小于光速 c ( v / c 102 ),辐
射场中磁场对电子的作用远小于电场,一般只
考虑电场的作用 。
本章将讨论恒定磁场中原子能级和光谱
的变化(Zeeman效应)以及自由荷电粒子在恒
定磁场中的运动(Lanbau能级)。 下面首先给出给出荷电粒子在恒定电磁 场中的Schrodinger方程。
A A A ( r , t ) 1 (r , t ) (16) c t 电场强度 E 和磁场强度 B 都不改变。
可以证明Schrodinger方程(9)在规范变换(16)
式下，只需波函数也同时经受如下定域相位变
量子力学的微扰理论与微扰级数展开
量子力学的微扰理论与微扰级数展开量子力学是研究微观世界的基本理论，而微扰理论则是量子力学中一种重要的计算方法。
微扰理论的核心思想是将复杂的物理系统分解为一个已知的简单系统和一个微小的扰动，通过对这个扰动的处理来获得原系统的近似解。
微扰理论的应用范围广泛，从原子物理到凝聚态物理都有其身影。
微扰理论的起点是薛定谔方程，它描述了量子系统的演化。
对于一个没有扰动的系统，薛定谔方程可以写作：Hψ = Eψ其中H是系统的哈密顿算符，ψ是系统的波函数，E是系统的能量。
而当系统受到微小扰动时，薛定谔方程变为：(H0 + λV)ψ = Eψ其中H0是已知的哈密顿算符，V是微小扰动的势能项，λ是一个无量纲的参数，用来控制扰动的大小。
我们希望通过微扰理论来求解这个方程，得到近似的能量和波函数。
微扰理论的核心思想是将波函数和能量进行级数展开。
我们将波函数和能量写成如下形式：ψ = ψ0 + λψ1 + λ^2ψ2 + ...E = E0 + λE1 + λ^2E2 + ...其中ψ0和E0是零阶近似，它们是已知的系统的波函数和能量。
将这个级数代入薛定谔方程，我们可以得到一系列的微分方程。
然后通过逐阶求解这些微分方程，我们就可以得到各个阶次的近似解。
微扰理论的一般步骤如下：1. 将薛定谔方程展开成级数形式。
2. 逐阶求解微分方程，得到各个阶次的波函数和能量。
3. 检查级数的收敛性，如果级数收敛，我们就可以得到系统的近似解。
如果级数发散，我们需要重新考虑微扰的选择或者使用其他方法来求解。
微扰理论的一个重要应用是计算能级的位移。
在没有微扰的情况下，能级是精确的，但当系统受到微小扰动时，能级会发生位移。
通过微扰理论，我们可以计算出这个位移的大小，并与实验结果进行比较。
另一个重要的应用是计算态的混合。
在没有微扰的情况下，态是纯态，但当系统受到微小扰动时，不同的能级之间会发生耦合，导致态的混合。
通过微扰理论，我们可以计算出这种混合的程度，并对系统的行为进行预测。
微扰理论
以
( 0) m *
（m≠n）左乘上式两边，并对整个
空间积分，得
( 0 ) (1) 0 0 ( 0) (1) 0 0 ' E a * d E ' a * l l m l n l m l d l l (1) 0 ( 0) 0 ˆ ' ( 0) d En * d * H n m n m
(0) ˆ ' ( 0) d H ' mn m *H n
N me
2
2
x
2
H m (x)(ex) N n e
2
2
x2
H n (x)dx dx
N m N n e N m N n e
xH m (x) H n (x)e
2 x 2
2
d ]
系数
2 Nn [ ] 2 n n!
1
N n 1 [
2
1 n 1
] (n 1)!
1
1 2
1 2 2 [ ] [ ] 2(n 1) 2 n n! 1 [ ]2 Nn 2(n 1)
N n 1 [
1 2
1
2
n 1
] (n 1)!
，以
( 0) n *
左乘上式
两边，并对整个空间积分，得
( 0) ˆ E 0 ) (1) d E (1) ( 0) * ( 0) d ( 0) * H ˆ (1) ( 0) d * ( H n n n n n n n n
量子力学第6-7章-不含时微扰
乘开得： 乘开得：
( ( ( ˆ H(0) |ψ n0) > + En0) |ψn0) > + ( ( ( ( ( ( ˆ ˆ λ [H(0) |ψn1) > +H(1) |ψn0) >] + λ [En0) |ψ n1) > +En1) |ψn0) >] + 2 2 ( ( ( ( ( ( ( ( ˆ ˆ [H(0) |ψn2) > +H(1) |ψn1) >] + = λ [En0) |ψn2) > +En1) |ψ n1) > +En2) |ψn0) >] + λ 3 λ [L L L L L L + λ3 [L L L L L L L L ] + L L L L L ] L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
(1) ( 2) (3)
LLLL LLLLLL LLLLLL LLLLLL L LLLLL
整理后得： 整理后得：
( ( ˆ [ H ( 0 ) − E n0 ) ] | ψ n0 ) >= 0 (0) ( ( ( ( ˆ ˆ [ H − E n0 ) ] | ψ n1 ) >= −[ H ( 1 ) − E n1 ) ] | ψ n0 ) > (0) ( ( ( ( ( ( ˆ ˆ [ H − E n0 ) ] | ψ n2 ) >= −[ H ( 1 ) − E n1 ) ] | ψ n1 ) > + E n2 ) | ψ n0 ) > L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
第六章 微扰理论简介
(0)
Em
(0)
22
量子化学
第六章
6.2 非简并态的微扰理论
2. 二级微扰能量修正项
Hmn
(0) En '
(0) Em
1
(m n)
级数收敛快，计算几项就可以了。 原子体系满足这一要求，一般情况下 En(0)和Em(0)相差大。 微扰法适用于能级相差较大的情况，如果能能连续，则不 能用微扰方法。
H0 和 H '
是厄米算符，所以
Hm n Hnm
'* '
n
(0 )
m
(0 )
二级能量修正项
的所有未微扰态。
En
(2)
' Hmn
2
n
二态相互作用能量变化示意
式中求和遍及除n外
(0) m n En
(0) Em
二级近似能量
En En
(0)
H nn
'
' Hmn
2
mn
En
第六章
8
量子化学
n n
(0)
第六章
n n
(1)
2
(2)
En
称
(0) En
(1) En
2
(2) En
为第j级波函数和能量的修正量。
在一级微扰理论(MP1)中, 取前两项, 可求得波函 数和能量的一级校正。在二级微扰理论(MP2)中, 取前三项, 可求得波函数和能量的二级校正。依此
(1) (0 ) En n
14
量子化学
第六章
6.2 非简并态的微扰理论
微扰理论
第五章 微扰理论本章介绍：在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能严格求解的情况不多（一维谐振子，氢原子）。
因此，引入各种近似方法就显得非常重要，常用的近似方法有微扰论，变分法，WKB （半经典近似），Hatree-Fock 自恰场近似等。
本章将介绍微扰论和变分法。
本章将先讨论定态微扰论和变分法，然后再讨论含时微扰以及光的发射和吸收等问题。
§5.1 非简并定态微扰论 §5.2 简并定态微扰论§5.3 氢原子的一级Stark 效应§5.4 变分法§5.5 氦原子基态§5.6 含时微扰§5.7 跃迁几率和黄金费米规则§5.8 光的发射与吸收§5.9 选择定则附录： 氦原子基态计算过程非简并定态微扰论本节将讨论体系受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能量和波函数所发生的变化。
假设体系的哈密顿量不显含时间，能量的本征方程ˆH E ψψ= 满足下列条件： ˆH 可分解为 0ˆH 和 ˆH '两部分，而且 0ˆH 远大于ˆH'。
00ˆˆˆˆˆ H H H H H ''=+ 0ˆH 的本征值和本征函数已经求出，即 0ˆH 的本征方程(0)(0)(00ˆn n n H E ψψ=中，能级(0)n E 和波函数(0)n ψ都是已知的。
微扰论的任务就是从0ˆH 的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰ˆH ' 后，ˆH 的本征值和本征函数。
3. 0ˆH 的能级无简并。
严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并的。
例如我们要通过微扰计算ˆH '对 0ˆH 的第n 个能级(0)n E 的修正，就要求(0)nE 无简并，它相应的波函数只有(0)n ψ一个。
其他能级既可以是简并的，也可以是无简并的。
4. 0H 的能级组成分离谱。
严格说来，是要求通过微扰来计算它的修正的那个能级(0)n E 处于分离谱内，(0)n ψ是束缚态。
量子力学微扰理论
)
乘开得：
H ˆ2[(0 H )ˆ(0 n () 0) n (2) [H ˆ H ˆ(0 (1 ))n (1 n (1 )) ] H ˆ(1) n (0)] E 2 n ([0 E )n (0 n () 0) n (2) [E E n (0 n (1 ))n (1 n (1 )) E E n (1 n () 2)n (0 n () 0 ])]
[H ˆ (1)
En(1)]
E (1)
(2)
n
n
(0) n
体系的能量 和态矢为
En n En (n (00)) En (n (11))En (n (22))
二、非简并定态的微扰近似
1、态矢和能量的一级近似
(1)能量一级修正En (1)
左乘 <ψn(0) |
[H ˆ(0 ) E n (0 )]n (1 ) [H ˆ E n (1 )]n (0 )
利用本征基矢的正交归一性：
E n (1 ) H n n n (0 )|H ˆ| n (0 )
其中能量的一级近似等于微扰Hamilton 量在 0 级态矢中 的平均值
二、非简并定态的微扰近似
（2）态矢的一级修正ψn(1)
[H ˆ(0 ) E n (0 )]n (1 ) [H ˆ E n (1 )]n (0 )
其中λ是很小的实数，表征微 扰程度的参量。
因为 En 、 ψn 都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其 展开成λ的幂级数：
EnEn (0)
E(1) n
E 2 (2) n
n
(0)
n
(1)
2
n
λ2 En(2), ... 分别是能量的 0 级近似、1级近似和2级近似等。
第六章 量子力学微扰理论与近似方法
102第六章 近似计算方法§6.1 微扰理论 一、非简并定态微扰论 1、定态微扰论的主要思想在量子力学中，当体系的哈密顿算符不显含时间时，属于定态问题，通过解其基本方程：ˆn n nH E Ψ=Ψ 可以求出Hˆ的本征值和本征函数。
如果H ˆ比较复杂，但是如果H ˆ可以写成两部分： H H H ˆˆˆ0′+= （0ˆH 和H ′ˆ都不显含时间），而且满足下列条件：（1）0ˆH 的本征方程：(0)(0)(0)0ˆnn n H E ψψ= 可以精确求解，即n ε和n Φ是已知的。
（2）0ˆH 和H ′ˆ的差别很大，或者说H ′ˆ很小，可以看作0ˆH 的基础上加一个小的微扰H ′ˆ，故H′ˆ称为微扰项。
这样，我们就可以通过微扰理论来近似求解。
(0)(1)(2)n n n n E E E E =+++ (0)(1)(2)n n n n ψψψψ=+++2、定态微扰计算假设微扰时体系的能量是哈密顿算符0ˆH 的第n 个本征值(0)nE ，这个本征值无简并，即体系于定态(0)n ψ。
当体系受到一个与时间无关的微扰H ˆ′作用时，它将处于一个新的能级nE 和状态n Ψ。
n E 和n Ψ是H H H ˆˆˆ0′+=的本征值和本征函数.即满足： ˆn n nH E Ψ=Ψ 微扰论的主要思想：H ˆ′代表一个微小的扰动，那么我们就有理由认为n E 和(0)n E 相差不多，nΨ和(0)n ψ也十分接近。
（1）、非简并能量的一级修正在非简并微扰情况下，由一级微扰确定一级近似波函数和一级能量修正103010010ˆˆn n n nE E H H Ψ′+Ψ=Ψ′+Ψ 两边左乘()*0n Ψ，并对整个空间积分得：()()()()()()()()τττd H d E d E H n n n n n n n n ∫∫∫Ψ′Ψ−ΨΨ=Ψ−Ψ0*00*01100*0ˆˆ 注意到0ˆH 是厄密算符，所以有： ()()()()()()[]0*ˆˆ0001100*0=Ψ−Ψ=Ψ−Ψ∫∫ττd E H d E H n n n n n n 从而得到()()()τd H E nn n 0*01ˆΨ′Ψ=∫ 即()n H n E n′=1 （2）、非简并能量的二级修正令()()()001l ll n a Ψ=Ψ∑得：000ˆˆn n n n nE E E H H Ψ′′+Ψ′′+Ψ′′=Ψ′′+Ψ′′ ()()()()()()()001010010ˆnn n ll l n l l llH E a E a EΨ′−Ψ=Ψ−Ψ∑∑ 将()()n m m ≠Ψ*0左乘上式两边后，对整个空间积分，所以有()()()()mn n m ml ll n ml l lH d H a E a H ′−=Ψ′Ψ−=−∫∑∑τδδ0*01010ˆˆ 其中()()ml l m d δτ=ΨΨ∫0*()()mnm l n H a E E ′=−100 ()01mn mnm E E H a −′=()()0001m mn mn n E E H Ψ−′=Ψ∑左乘()*0n Ψ，并对整个空间积分得104()()()()()()()2111200*0ˆn nl ll n nl ll n n n E a E H a d E H ++′−=Ψ−Ψ∑∑∫δτ 当n l ≠时，利用0ˆH 的厄密性可得 ()∑∑−′=′=ll n nlnlll n E E H H a E 022即()∑−′′=ll n n E E l H n l Hn E 02ˆ（3）、非简并波函数的一级修正(1)'(0)(0)(0)mn n m mn mH E E ψψ′=−∑ 二、简并定态微扰论 1、简并的处理 （1）问题假设(0)n E 是k 度简并的，0ˆH 属于本征值(0)n E 的本征函数有k 个: k φφφ,,,21 ，且它们已经是相互正交的。
微扰理论
√
光的发射和吸收(4/4) 光的发射和吸收(4/4)
爱因斯坦概率系数的应用
可见光的谱线 自发发射概率与受激发射概率之比： 自发发射概率与受激发射概率之比： 当 T = 300 K，两个概率相等时： ，两个概率相等时： 波长远大于(即频率远小于)可见光， 波长远大于(即频率远小于)可见光，表明自发发射远远大 于可见光辐射的受激发射。 于可见光辐射的受激发射。可见光的谱线由自发跃迁引起 自发跃迁的辐射强度， 自发跃迁的辐射强度，态的平均寿命
√
氦原子的基态(1/2) 氦原子的基态(1/2)
氦原子
的原子核， 的电子， 一个 +2e 的原子核，两个 −e 的电子，核位置固定 哈密顿量 尝试波函数 尝试波函数对应的能量期望值 变分： 两电子相互屏蔽， 变分：参数 Z (两电子相互屏蔽，核的有效电荷不是 2e )
√
氦原子的基态(2/2) 氦原子的基态(2/2)
光的发射和吸收(2/4) 光的发射和吸收(2/4)
三个系数 Amk、Bmk 和 Bkm 之间的关系 处于高能级 εm 的原子数目是 Nm ，处于低能级 εk 的原子 数目是 Nk 。并在温度 T 下处于平衡 玻耳兹曼分布： 玻耳兹曼分布： 黑体辐射公式： 黑体辐射公式： 发射吸收平衡： 发射吸收平衡：
轴方向) 哈密顿算符 (设外电场 沿 z 轴方向)
能量和波函数的零级近似
√
氢原子的一级斯塔克效应(2/3) 氢原子的一级斯塔克效应(2/3)
矩阵元 久期方程和能级(第一激发态) 久期方程和能级(第一激发态)
四度简并的能级在外电场下分裂为三条；一条在上， 四度简并的能级在外电场下分裂为三条；一条在上，一条 在下； 在下；能级差为
在 与时间有关： 与时间有关：
量子跃迁理论与不含时微扰论的关系
量子跃迁理论与不含时微扰论的关系量子跃迁是指量子系统中电子在两个能级之间的转化，这个转化是突然的，而非连续的。
而在量子力学中，不含时微扰论是一种广泛应用于计算量子系统中电子能量和态的方法。
虽然这两种概念在本质上不同，但它们之间有着紧密的联系。
本文将深入探讨量子跃迁理论与不含时微扰论的关系。
1. 量子跃迁理论的基本概念在量子力学中，系统的态可以用波函数来表示。
而该波函数是由薛定谔方程决定的。
假设该系统处于一个由波函数Ψ1表示的状态，而它可以发生跃迁到一个由波函数Ψ2表示的状态。
在该系统内部，发生了一个量子跃迁。
在量子力学中，系统中某个粒子的能量可以用哈密顿量来表示。
系统从状态Ψ1到Ψ2的跃迁，需要发生能量的转化。
这种能量的转化可以使用斯托克斯定理和费马黄金定律来计算。
这表明跃迁的能够与所处的能态有关系，因此，量子力学将其称为量子跃迁。
在某些情况下，一个电子可以通过受激辐射来发生跃迁。
这种现象叫做激光诱导量子跃迁，即通过垂直于电子发射方向的激光，使电子发生跃迁。
量子跃迁还可以分为有辐射跃迁和无辐射跃迁。
辐射跃迁是指在电子跃迁过程中，它向外部辐射光子并传播的现象。
而无辐射跃迁则是电子在出射态和入射态之间跃迁的过程，没有任何辐射产生。
2. 不含时微扰论的基本概念在量子力学中，我们往往需要计算出一些物理量的期望值 即平均值）。
不含时微扰论是一种广泛应用于计算量子系统中电子能量和态的方法。
它的主要思想是，在薛定谔方程的哈密顿量中添加一个微弱的扰动，然后在该体系中求解电子的波函数和能级。
具体来说，假设系统的哈密顿量为H0，并向其添加一个微弱的扰动H1。
则新的哈密顿量为：H=H0 + λH1其中，λ是微弱扰动的系数。
我们可以把H视为一个完整的哈密顿算符，并计算出其对应的本征值和本征函数。
然后，我们将结果展开成幂级数，来近似计算电子的波函数和能级。
这一过程将导致所谓的级数散度，也就是说，随着级数的增加，计算误差将会不断增加。
微扰理论
微扰理论 (量子力学)维基百科，自由的百科全书跳转至：导航、搜索量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法于量子力学。
当遇到比较复杂的量子系统时，这些方法试着将复杂的量子系统简单化或理想化，变成为有精确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，来解析复杂的量子系统。
基本的点子是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须有精确解，在这简单系统的哈密顿量里，加上一个很弱的微扰，变成了较复杂系统的哈密顿量。
假若这微扰不是很大，复杂系统的许多物理性质（例如，能级，量子态）可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正。
这样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识，我们可以进而研究比较复杂的量子系统。
微扰理论可以分为两类，不含时微扰理论与含时微扰理论。
不含时微扰理论的微扰哈密顿量不相依于时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量相依于时间，详见含时微扰理论。
本篇文章只讲述不含时微扰理论。
此后凡提到微扰理论，皆指不含时微扰理论。
目录[隐藏]∙ 1 微扰理论应用∙ 2 历史∙ 3 一阶修正∙ 4 二阶与更高阶修正∙ 5 简并∙ 6 参阅∙7 参考文献∙8 外部链接[编辑]微扰理论应用微扰理论是量子力学的一个重要的工具。
因为，物理学家发觉，甚至对于中等复杂度的哈密顿量，也很难找到其薛定谔方程的精确解。
我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与盒中粒子。
这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。
应用微扰理论，我们可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。
例如，通过添加一个微扰的电位于氢原子的哈密顿量，我们可以计算在电场的作用下，氢原子谱线产生的微小偏移（参阅斯塔克效应）。
应用微扰理论而得到的解答并不是精确解，但是，这方法可以计算出相当准确的解答。
假若我们使展开的参数变得非常的小，得到的解答会很准确。
通常，解答是用有限数目的项目的的幂级数来表达。
[编辑]历史薛定谔在创立了奠定基石的量子波力学理论后，经过短短一段时间，于 1926 年，他又在另一篇论文里，发表了微扰理论[1]。
《微扰理论》PPT课件
小于前项，即
H m n
E
(0)
n
E
(0) m
1
(E
(0)
n
E
) (0)
m
14
14
5.1 非简并定态微扰理论（续10）
Chapter 5. Perturbation Theory
微扰适用条件表明：
（1）微扰矩阵元 H mn 要小；
（2）
E
(0)
n
E
(0) m
要大，即能级间距要宽。
例如：在库仑场中，体系能量（能级）
(0) n
ln
Hln
E(0) n
E(0) l
(0) l
（2）展开系数
a
(1) l
第 n 个扰动态矢 n
E的(nH0贡)lE献n l(0)有表多明大第。l展个开未系扰数动反态比于l0扰 对动
前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态
0
l
贡献的也
越强。因此波函数一阶修正无须计算无限多项。
（3）由
E
n
E
0
n
一 微扰体系方程
二 态矢和能量的一级修正
三 能量的二阶修正
四 微扰理论适用条件
五 讨论
六 实例
5
5
5.1 非简并定态微扰理论（续1）
Chapter 5. Perturbation Theory
一、基本方程
设体系的哈密顿算符不显含时间，则其定态薛定格方程为
Hˆ n En n
(1)
当 Hˆ 比较复杂，方程(1)难求解时，将Hˆ 写成：
0)
d
＝０
＝1
l
a
(1) l
(0)* n
《微扰理论》课件
微扰论在量子力学 中的重要性在于它 可以帮助我们理解 量子系统与经典系 统相互作用的物理 过程，从而更好地 理解量子力学的基
本原理。
统计物理学中的微扰论
微扰论在统计物理学中的应用
微扰论在统计物理学中的重要 性
微扰论在统计物理学中的具体 应用
微扰论在统计物理学中的局限 性
凝聚态物理学中的微扰论
微扰理论在各领域的应用前景
量子力学：微扰理论在量子力学中的应 用，如量子场论、量子电动力学等
粒子物理：微扰理论在粒子物理中的应 用，如高能物理、粒子加速器等
凝聚态物理：微扰理论在凝聚态物理中 的应用，如超导、量子霍尔效应等
宇宙学：微扰理论在宇宙学中的应用， 如宇宙膨胀、暗物质等
生物物理：微扰理论在生物物理中的应 用，如蛋白质折叠、DNA序列分析等
共轭梯度法：通过迭代求解线性方程组，得到非线性问题的近似解。
微扰理论的近似计算方法
微扰理论的基本思想：通 过引入小参数，将非线性 问题转化为线性问题
微扰理论的近似计算方法： 包括级数展开法、变分法、 格林函数法等
级数展开法：将非线性问 题转化为线性问题，通过 级数展开求解
变分法：通过引入变分参 数，求解非线性问题的近 似解
量子信息科学：微扰理论在量子信息科 学中的应用，如量子计算、量子通信等
微扰理论面临的挑战和机遇
挑战：理论的复杂性和计算难度
机遇：在量子计算和量子信息领域 的应用
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挑战：与其他理论的竞争和融合
添加标题
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机遇：在生物信息学和复杂系统领 域的应用
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6.4.3 中间情况的塞曼效应
表6.2 存在精细结构和塞曼分裂的氢原子n=2能级
图6.12 弱场、中间场、强场下，氢 原子n=2能态的塞曼分裂
6.5 超精细分裂图6.1 基态氢原子的超精细分裂图6.14 两个相邻的极化原子
图6.6 例题6.2中的简并的消除
6.3 氢原子的精细结构
6.3.1 相对论修正 6.3.2 自旋-轨道耦合
表6.1 氢原子玻尔能量修正量级图
6.3.2 自旋-轨道耦合
图6.7 从电子看质子运动
图6.8 带电圆环绕轴旋转
图6.9 考虑了精细结构的氢原子能级图(未按比例大小给出)
6.4 塞曼效应
第6章 不含时微扰理论
6.1 非简并微扰理论 6.2 简并微扰理论 6.3 氢原子的精细结构 6.4 塞曼效应 6.5 超精细分裂
6.1 非简并微扰理论
6.1.1 6.1.2 6.1.3
一般公式 一级近似理论 二级能量修正
6.1.1 一般公式
图6.1 受到小微扰的无限深方势阱
对于零级(λ0)项1有H0ψ0n=E0nψ0n, 有 H0ψ0n=E0nψ0n,(6.1)
对于一级项(λ1)有，
H0ψ1n+H′ψ0n=E0nψ1n+E1nψ0n.(6.7)
对于二级项(λ2)有，
H0ψ2n+H′ψ1n=E0nψ2n+E1nψ1n+E2nψ0n， (6.8)
依次类推。(方程中并没有λ——它仅仅用来 更清楚地按数量级分出各方程——所以现在 把λ取为1。)
6.1.2 一级近似理论
E0nxnynz=π2ћ22ma2(n2x+n2y+n2z).(6.32) 注意到基态(ψ111)是非简并的；它的能量为：
E00≡3π2ћ22ma2. (6.33) 但是第一激发态却是(三重)简并的： ψa≡ψ112， ψb≡ψ121, 和ψc≡ψ211， (6.34) 它们的能量相同
E01=3π2ћ2ma2.(6.35)
6.4.1 6.4.2 6.4.3
弱场塞曼效应 强场塞曼效应 中间情况的塞曼效应
6.4.1 弱场塞曼效应
图6.10 由于自旋-轨道耦合的存在， L和S都不再是守恒量；它们绕固定
的总角动量矢量J进动
6.4.2 强场塞曼效应
图6.11 氢原子基态的弱场塞曼分裂；上 面的一条线( =1/2)斜率为1；下面 的一条线( =-1/2)斜率为-1
例题6.2 考虑三维无限深方势阱： V(x,y,z)=0, 如果0<x<a,0<y<a,和0<z<a;∞, 其他地方。(6.30) 定态为
ψ0nxnynz(x,y,z)=2a3/2sinnxπaxsinnyπaysinnzπaz,(6.31) 其中，nx, ny, nz为正整数。对应的能量允许值是
图6.2 存在于整个势阱的常数微扰
E1n=〈 ψ0nH′ψ0n〉.(6.9)
这就是一级近似理论的一个最基本的结 果
图6.3 存在于半个势阱的常数微扰
ψ1n=∑m≠n〈ψ0mH′ψ0n〉(E0n-E0m)ψ0m. (6.13)
6.1.3 二级能量修正
E2n=∑m≠n〈ψ0mH′ψ0n〉2E0n-E0m.(6.15) 这就是二级微扰近似理论的一个基本的结果。
6.2.1 二重简并 6.2.2 多重简并
6.2 简并微扰理论
6.2.1 二重简并
图6.4 通过微扰“消除”简并
E1±=12Waa+Wbb±(WaaWbb)2+4Wab2 (6.27)
这就是简并微扰理论的基本结果；两个 根对应于两个受到扰动的能量。
6.2.2 多重简并
图6.5 微扰导致阴影区域的势