专题五 直线 圆锥曲线 平面向量

专题五 直线 圆锥曲线 平面向量

一 能力培养

1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力 二 问题探讨

问题1设坐标原点为O,抛物线2

2y x =与过焦点的直线交于A,B 两点,求OA OB ⋅

的值.

问题2已知直线L 与椭圆22

221x y a b +=交于P,Q 不同两点,记OP,OQ 的斜率分别为

OP k ,OQ k ,如果2

2OP OQ

b k k a

⋅=-,求PQ 连线的中点M 的轨迹方程.

问题3给定抛物线C:2

4y x =,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点.

(I)设l 的斜率为1,求OA 与OB

夹角的大小;

(II)设FB AF λ=

,若[4,9]λ∈,求l 在y 轴上截距的变化范围.

问题4求同时满足下列三个条件的曲线C 的方程:

①是椭圆或双曲线; ②原点O 和直线1x =分别为焦点及相应准线;

③被直线0x y +=垂直平分的弦AB 的长为

三 习题探 选择题

1已知椭圆2215x y k

+=的离心率e =

,则实数k 的值为

A,3 B,3或

25

3

3

2一动圆与两圆2

2

1x y +=和2

2

8120x y x +++=都外切,则动圆圆心的轨迹为 A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线

3已知双曲线的顶点为(2,1)-与(2,5),它的一条渐近线与直线340x y -=平行,则双曲 线的准线方程是 A,925y =±

B,925x =± C,1225y =± D,12

25

x =± 4抛物线2

2y x =上的点P 到直线4y x =+有最短的距离,则P 的坐标是 A,(0,0) B,1

(1,)2 C,1(,1)2 D,11(,)22

5已知点F 1(,0)4,直线l :1

4

x =-

,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点M,则点M 的轨迹是

A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线 填空题

6椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离

为

10

3

,则此椭圆的方程为 . 7与方程3

x y =的图形关于y x =-对称的图形的方程是 . 8设P 是抛物线2

440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,

且分PA

所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .

9设椭圆与双曲线有共同的焦点12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 . 解答题

10已知点H (3,0)-,点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上,

且满足0HP PM ⋅= ,32

PM MQ =- .

(I)当点P 在y 轴上移动时,求点M 的轨迹C;

(II)过点T (1,0)-作直线l 与轨迹C 交于A,B 两点,若在x 轴上存在一点E 0(,0)x , 使得ABE ∆是等边三角形,求0x 的值.

11已知双曲线C:22

221x y a b

-=(0,0)a b >>,点B,F 分别是双曲线C 的右顶点和右焦点,

O 为坐标原点.点A 在x 轴正半轴上,且满足,,OA OB OF

成等比数列,过点F 作双曲

线C 在第一,第三象限的渐近线的垂线l ,垂足为P.

(I)求证:PA OP ⋅= PA FP ⋅

; (II)设1,2a b ==,直线l 与双曲线C 的左,右两分

支分别相交于点D,E,求DF

DE

的值.

12已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线2

4y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.

(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.

四 参考答案

问题1解:(1)当直线AB ⊥x 轴时,在2

2y x =中,令1

2

x =

,有1y =±,则 11(,1),(,1)22A B -,得113

(,1)(,1)224

OA OB ⋅=⋅-=- . (2)当直线AB 与x 轴不互相垂直时,设AB 的方程为:1()2

y k x =-

由21(22

y k x y ⎧

=-⎪⎨⎪=⎩

,消去y ,整理得22221(2)04k x k x k -++=,显然0k ≠.

设1122(,),(,)A x y B x y ,则212122

21

,4

k x x x x k ++=⋅=,得 OA OB ⋅= 1122(,)(,)x y x y ⋅=12x x ⋅+1y 2y =12x x ⋅+11(2k x -21

(2k x ⋅-

=22

212121

(1)()24

k k x x x x k +⋅-++

=222

22121(1)424k k k k k ++-⋅+=34

-.

综(1),(2)所述,有3

4

OA OB ⋅=-

. 问题2解:设点P,Q,M 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,(,)x y

由条件知2211221x y a b += ①22

22221x y a b += ②

122x x x +=

,12

2

y y y += ③212212y y b x x a =- ④ ①+②得2222

121222

2x x y y a b

+++= 即

22121212122222()()222x x y y x x y y a b a b +++--=,将③,④代入得2222442x y a b

+=, 于是点M 的轨迹方程为22

22122

x y a b +=.

问题3解:(I)C 的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为1y x =-,