24.1.4圆周角课件-
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24.1.4 圆周角 课件-2024-2025学年人教版九年级数学上册
究
与
应
用
[概括新知]
推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角 相等
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是
对的弦是
直径
.
直角
.
,90°的圆周角所
探
究
与
应
用
[理解应用]
例2 (教材典题)如图24-1-24,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为
6 cm,∠ACB的平分线交☉O于点D,求BC,AD,BD的长.
解:如图,连接OD.
得AB=12 cm,BC=5 cm,则圆形镜面的半径为
图24-1-32
13
2
cm .
谢 谢 观 看！
D.100°
图24-1-27
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
圆心角
圆周角
的定义
类比
圆周角
圆周角与直
径的关系
圆周角定理
圆周角定理
的推论
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如图24-1-28,△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=70°,则
∠AOC的度数为
A.140°
B.130°
C.120°
D.110°
( A )
图24-1-28
课
堂
小
结
与
检
测
2.如图24-1-29,BD是☉O的直径,点A,C在圆上,∠A=50°,则
∠DBC的度数是
A.50°
B.45°
C.40°
D.35°
( C )
图24-1-29
课
堂
小
结
与
应
用
[概括新知]
推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角 相等
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是
对的弦是
直径
.
直角
.
,90°的圆周角所
探
究
与
应
用
[理解应用]
例2 (教材典题)如图24-1-24,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为
6 cm,∠ACB的平分线交☉O于点D,求BC,AD,BD的长.
解:如图,连接OD.
得AB=12 cm,BC=5 cm,则圆形镜面的半径为
图24-1-32
13
2
cm .
谢 谢 观 看！
D.100°
图24-1-27
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
圆心角
圆周角
的定义
类比
圆周角
圆周角与直
径的关系
圆周角定理
圆周角定理
的推论
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如图24-1-28,△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=70°,则
∠AOC的度数为
A.140°
B.130°
C.120°
D.110°
( A )
图24-1-28
课
堂
小
结
与
检
测
2.如图24-1-29,BD是☉O的直径,点A,C在圆上,∠A=50°,则
∠DBC的度数是
A.50°
B.45°
C.40°
D.35°
( C )
图24-1-29
课
堂
小
结
24.1.4圆周角(优秀课件)
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
A
⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？
O B C
它们都对着同一条弧
⌒
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A D
O B
A O
O
C
A O
B
C
A O
D
B
C
B
C
B
C
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
B
O
C
E
因为∠A是与∠DCE相邻的
内角∠DCB的对角，我们把 ∠A叫做∠DCE的内对角。 A
∠A＝∠DCE
O
D
圆内接四边形的一个
B
C
E
外角等于它的内对角。
探索结论
先根据图形讨论，然后用语言归纳为 :
性质定理：
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角 都等于它的内对角。 D
A
几何表达式： ∵ 四边形ABCD内接于⊙O， ∴ ∠A+∠C=180°且∠B=∠1 .
A
O B C
问题1 如图，四边形ABCD为 圆内接四边形；⊙O为 A 四边形ABCD外接圆.
B D
O
C
问题3
如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ ∠A的度数等于弧BCD的一半， ∠BCD的度数等于弧BAD的一半，A 又∵弧BCD+弧BAD 度数为360°， ∴∠A＋∠C＝ 180°.
O
D
B
C
同理∠B＋∠D＝180°.
D
∠E＋∠1＝180°、∠1＝∠F
∠E＋∠F＝180° CE∥DF
24.1.4圆周角课件
A E D O C
4、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 2 则⊙O的半径是 。
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
C O
A
B
七、例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
C
证明： 以AB为直径作⊙O， 1 ∵AO=BO， CO= 2 AB, ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, 1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2 ∴ △ABC 为直角三角形.
A
· O
B
C
A
C
B
P
∠ACB的度数与它所对的弧AB的度数有什么关系?
分析:连接OA,OB, ∵AB=AB
⌒⌒
规律： 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
∴ ∠ACB的度数等于它所 对的弧AB的度数的一半. ∴∠C =1/2∠AOB =
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个 圆周角相等，它们所对的弧 一定相等．
A
A D
O B
A O
O
C
A O
BCBiblioteka A ODB
C
B
C
B
C
三、 探究
⌒ 所对的两个 分别量一下图中 AB 圆周角的度数，比较一下，再变 动点C在圆周上的位置，圆周角 的度数有没有变化？你能发现什 么规律吗？
C
D
4、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 2 则⊙O的半径是 。
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
C O
A
B
七、例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
C
证明： 以AB为直径作⊙O， 1 ∵AO=BO， CO= 2 AB, ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, 1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2 ∴ △ABC 为直角三角形.
A
· O
B
C
A
C
B
P
∠ACB的度数与它所对的弧AB的度数有什么关系?
分析:连接OA,OB, ∵AB=AB
⌒⌒
规律： 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
∴ ∠ACB的度数等于它所 对的弧AB的度数的一半. ∴∠C =1/2∠AOB =
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个 圆周角相等，它们所对的弧 一定相等．
A
A D
O B
A O
O
C
A O
BCBiblioteka A ODB
C
B
C
B
C
三、 探究
⌒ 所对的两个 分别量一下图中 AB 圆周角的度数，比较一下，再变 动点C在圆周上的位置，圆周角 的度数有没有变化？你能发现什 么规律吗？
C
D
24.1.4圆周角-人教版九年级数学上册课件
归纳：一般地，如果题目中有直径出现时，常作辅助线得 到直径所对的圆周角---- ___.当圆中要证明垂直或得到 90°的角时，常作出___
能力提升
如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是 劣弧AC 上一动点，连接PB分别交AD、AC于 点E，F． （1）当AP=AB时，求证AE=BE （2）在（1）中，当点P在什么位置时， AF=EF,证明你的结论。
在同圆或等圆 中，同弧或等 弧所对的圆周角相等都等于这 条弧所对的圆心角的一半。
思考: 在同圆或等圆中，
相等的圆周角所对的弧相等吗?
预习自测
1.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
∠2=∠7
A1
2Байду номын сангаас
87
3 4
B
6
5
C
∠1=∠4 ∠3=∠6 ∠5=∠8
2. 图，AB是直径，则∠ACB=＿＿9＿0＿度
C
A
24.1.4 圆周角
温故知新
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角
O.
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的 B
C
一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、
弦有一组量相等，那么它们所对应的其余
两个量都分别相等。
学习目标
•1．理解圆周角的定义，能分清 圆周角和圆心角． •2．能说出圆周角定理及其两个 推论，并会熟练的应用它们解决 相关问题．
猜想: 同弧所对的圆周角相等 同弧所对的圆周角等于它 所对圆心角的一半。
圆周角和圆心角的关系
圆心角与圆周角的位置关系有几种？
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部。
能力提升
如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是 劣弧AC 上一动点，连接PB分别交AD、AC于 点E，F． （1）当AP=AB时，求证AE=BE （2）在（1）中，当点P在什么位置时， AF=EF,证明你的结论。
在同圆或等圆 中，同弧或等 弧所对的圆周角相等都等于这 条弧所对的圆心角的一半。
思考: 在同圆或等圆中，
相等的圆周角所对的弧相等吗?
预习自测
1.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
∠2=∠7
A1
2Байду номын сангаас
87
3 4
B
6
5
C
∠1=∠4 ∠3=∠6 ∠5=∠8
2. 图，AB是直径，则∠ACB=＿＿9＿0＿度
C
A
24.1.4 圆周角
温故知新
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角
O.
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的 B
C
一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、
弦有一组量相等，那么它们所对应的其余
两个量都分别相等。
学习目标
•1．理解圆周角的定义，能分清 圆周角和圆心角． •2．能说出圆周角定理及其两个 推论，并会熟练的应用它们解决 相关问题．
猜想: 同弧所对的圆周角相等 同弧所对的圆周角等于它 所对圆心角的一半。
圆周角和圆心角的关系
圆心角与圆周角的位置关系有几种？
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部。
人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
24.1.4 圆周角 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册
问题4：为了证明上面发现的结论，首先观察圆周角与圆心O的位置 特点，然后将它进行分类.
结论：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 因此，我们得到以下三种情况：
圆心在圆周角外
圆心在圆周角的一边上
圆心在圆周角内
探索新知 活动五：证明圆周角与圆心角的关系
证明：在⊙O中 OA=OC
∴∠A= ∠C ∵∠BOC是△AOC的外角
圆周角的概念
我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
(1)图中的圆周角：__∠__B_A_C____. (2)这个角所对的弧：_______.
说出下图中有哪些圆周角，并分别说出它们所对的弧.
A
∠BAC 、∠B 、∠C 、∠BDC 、∠CAD
D
O C
∠ADB 、∠BAD 、∠ADC
B
探索新知
∴∠BOC= ∠A+ ∠C
A
O B
D
A
OO
B
C
D
A
O C
D
A O
A
O
D
C
D
C
B
A O
D条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；
几何语言： 在⊙O中
课堂小测
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的 同侧，∠BAC=35º.
(1)∠BOC= 70 º， (2)∠BDC= 35 º.
AA
追问：在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对
O
的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得
C 出同样的结论吗？
结论仍然成立. B
探索新知 活动三：探究圆周角与圆心角的数量关系
因此， 猜想：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
24.1.4 第1课时 圆周角定理 初中数学人教版数学九年级上册课件
1.圆 周 角 与 圆心 的 位置 有 以下 几 种关 系 ,试 测 量 各图 中 ∠BOC与∠BAC的关系.
圆心在角 圆心在角 的一边上 的内部
圆心在角的外部
通过测量,可得∠BAC=
1∠BOC
2
2.如图,当圆心O在∠BAC内部时,请说明∠A=12∠BOC.
解:如图,连接AO并延长交☉O于点D. ∵OA=OB,OA=OC, ∴∠B=∠3,∠C=∠4.
2
归纳总结 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的 一半 .
合作探究
圆周角定理的推论
1.(1) 如 图 , 在 ☉O 中 , AB = MN , 则
∠MDN与∠ACB的大小关系是
.
(2)直径所对的圆周角是多少度?请说径吗?
请说明理由.
解:(1)∠MDN=∠ACB. (2)因为直径所对的圆心角是180°,所以直径所对的圆周 角是90°.(3)90°圆周角所对的弧是半圆,所以90°圆周 角所对的弦是直径.
(2)当点P在使PC=AB的位置时,有AF=EF. 证明:∵PC=AB,∴∠EBD=∠C. ∵∠FAE=90°-∠C,∠AEF=∠BED=90°-∠EBD,
∴∠FAE=∠AEF,AF=EF.
圆周角定理、推论的应用 认真阅读课本“例4”,体会圆周角定理、推论的应用,解决下 面的问题. 2.如图,在☉O中,弦AB=3 cm,点C在☉O上,∠ACB=30°.求 ☉O的直径.
(1)当AP=AB时,求证:AE=BE. (2)当点P在什么位置时,AF=EF,证 明你的结论.
解:(1)证明:如图,连接AB,AP. ∵AP=AB,∴∠ABP=∠P. ∵BC为☉O直径, ∴∠BAC=90°. 又AD⊥BC,可证∠BAE=∠C. ∵∠C=∠P,∴∠BAE=∠P, ∴∠ABE=∠BAE,∴AE=BE.
圆心在角 圆心在角 的一边上 的内部
圆心在角的外部
通过测量,可得∠BAC=
1∠BOC
2
2.如图,当圆心O在∠BAC内部时,请说明∠A=12∠BOC.
解:如图,连接AO并延长交☉O于点D. ∵OA=OB,OA=OC, ∴∠B=∠3,∠C=∠4.
2
归纳总结 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的 一半 .
合作探究
圆周角定理的推论
1.(1) 如 图 , 在 ☉O 中 , AB = MN , 则
∠MDN与∠ACB的大小关系是
.
(2)直径所对的圆周角是多少度?请说径吗?
请说明理由.
解:(1)∠MDN=∠ACB. (2)因为直径所对的圆心角是180°,所以直径所对的圆周 角是90°.(3)90°圆周角所对的弧是半圆,所以90°圆周 角所对的弦是直径.
(2)当点P在使PC=AB的位置时,有AF=EF. 证明:∵PC=AB,∴∠EBD=∠C. ∵∠FAE=90°-∠C,∠AEF=∠BED=90°-∠EBD,
∴∠FAE=∠AEF,AF=EF.
圆周角定理、推论的应用 认真阅读课本“例4”,体会圆周角定理、推论的应用,解决下 面的问题. 2.如图,在☉O中,弦AB=3 cm,点C在☉O上,∠ACB=30°.求 ☉O的直径.
(1)当AP=AB时,求证:AE=BE. (2)当点P在什么位置时,AF=EF,证 明你的结论.
解:(1)证明:如图,连接AB,AP. ∵AP=AB,∴∠ABP=∠P. ∵BC为☉O直径, ∴∠BAC=90°. 又AD⊥BC,可证∠BAE=∠C. ∵∠C=∠P,∴∠BAE=∠P, ∴∠ABE=∠BAE,∴AE=BE.
24.1.4圆周角 教学课件(共33张PPT)初中数学人教版(2012)九年级上册
∴△AOF 是等边三角形，
∴OF=OA=AF=2, ∵OG⊥AF,∴
2
∴OG=√2²-1²=√3Hale Waihona Puke 即它的内切圆半径为 √3,故选：D.
练 习5 如 图 ，oO 的半径为2,正六边形 ABCDEF 内接于⊙0,则这
个正六边形的边心距OG 的长为(D )
A.2
B.1
上
C.
D.√3
2
解析：∵六边形ABCDEF为正六边形，
A.6
B.6√3
C.6√5
D.4√ 13
解析：如图，连接OA、OB 由题意可得：∠AOB=360÷6=60°
∵OA=OB=2
∴△OAB 为等边三角形，∴AB=2 过 点 0 作OM⊥AB 于 点M, 则 AM=BM=1
在Rt△AOMR中 ，OM= √2²-1²= √3
∴OO 的面积约为6SAog=6 √3,故选：B.
△AOF 都是等边三角形，
∵O0 的周长为12π,∴⊙0的半径为
I
正六边形的边长是6.故选：B.
小结
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正 多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做 正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正 多边形的边心距.
E D
F 中心角 半径R
正十六边形等.
练习1下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大 的是( D )
B.
C.
D.
解析：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积 越来越接近圆周长和圆面积，
故选：D.
练 习2如图，点A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，点0为正 多边形的中心，若∠ADB=18°, 则这个正多边形的边数为( B )
∴OF=OA=AF=2, ∵OG⊥AF,∴
2
∴OG=√2²-1²=√3Hale Waihona Puke 即它的内切圆半径为 √3,故选：D.
练 习5 如 图 ，oO 的半径为2,正六边形 ABCDEF 内接于⊙0,则这
个正六边形的边心距OG 的长为(D )
A.2
B.1
上
C.
D.√3
2
解析：∵六边形ABCDEF为正六边形，
A.6
B.6√3
C.6√5
D.4√ 13
解析：如图，连接OA、OB 由题意可得：∠AOB=360÷6=60°
∵OA=OB=2
∴△OAB 为等边三角形，∴AB=2 过 点 0 作OM⊥AB 于 点M, 则 AM=BM=1
在Rt△AOMR中 ，OM= √2²-1²= √3
∴OO 的面积约为6SAog=6 √3,故选：B.
△AOF 都是等边三角形，
∵O0 的周长为12π,∴⊙0的半径为
I
正六边形的边长是6.故选：B.
小结
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正 多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做 正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正 多边形的边心距.
E D
F 中心角 半径R
正十六边形等.
练习1下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大 的是( D )
B.
C.
D.
解析：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积 越来越接近圆周长和圆面积，
故选：D.
练 习2如图，点A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，点0为正 多边形的中心，若∠ADB=18°, 则这个正多边形的边数为( B )
九年级数学上册课件：24.1.4圆周角
C
O
A
B
D
推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径.
推论3： 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
C E
D
O
A
B
5/13/2020
例题
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线
交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
5/13/2020
学习感知：
同学们：通过这节课的学习，与同 桌分享与交流，学有所获，共同探讨学 有所困。
5/13/2020
O
A B
5/13/2020
5.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这
个三角形是直角三角形.（提示：作出以这条边为直径的圆）
已知：如图△ABC中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB 2
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
1
∵AO=BO，C2O= AB,
A
·
B
O
∴AO=BO=CO∴. 点C在⊙O上. 又∵AB为直径, ∴∠ACB=12×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
5/13/2020
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.圆周角定义及其两个特征； 2.圆周角定理的内容及其推论； 3.思想方法：一种方法和一种思想： 在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想． 分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转 化成一系列的简单问题或已证问题．
1.如图，∠A=50°，∠AOC=120°
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ）.
A.70° B.110° C.90° D.120°
24.1.4 圆周角 人教版九年级数学上册第1课时课件
∠BAD= 1∠BOD,
2
∴∠BAC=∠2 CAD-∠BAD= (∠1 COD-∠BOD)= ∠B10C.
2
2
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的一半.
数学思想方法：分类思想、化归思 想、由特殊到一般的数学方法.
共同探究2
思考： 1.同弧所对的圆周角是否相等？ 2.如果改为等弧，那么所对的圆周角还
（2）如图（2）圆心O在∠BAC的内部上时.
作直径AD，则由（1）可得∠BAD= 1 ∠BOD,
∠CAD= 1 ∠COD,
2
∴∠BAC=2∠BAD+∠CAD= (∠1 BOD+∠COD)
= 1 ∠BOC.
2
2
证明：
（3）如图（3） ，圆心O在∠BAC的外部上时.
作直径AD，则由（1）可得∠CAD= 1 ∠COD,
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交， 我们把这样的角叫做圆周角.
观察下列图形中的角都是圆周角吗？
O
共同探究1
动手操作：
1.画⊙O，在⊙O上任意画弧AB,分别画出弧AB所
对的圆心角和圆周角.
2.你能画出几个弧AB所对的圆心角和圆周角？
3.分别测量所画圆心角和圆周角的度数，它们之 间有什么关系？
思考：
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角(第1课时)
问题思考
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进
行无人防守的射门训练如图，甲、乙两名运动员
分别在C、D两处，他们争论不休，都说在自已所
在的位置对球门AB的张角大，如果你是教练，请
评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大？
为什么？
A
B
C D
人教版九年级上册 24.1.4 圆周角 课件30张
五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其 它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你 有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类 比 思
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质 弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B
24.1.4圆周角PPT(共28张)
A
B
3、已知∠ACD＝30°，
求：∠AOB =
C
4、已知∠AOB＝110°，
O
B 求：∠ACB =
O
B
D
A
A
C
第11页，共28页。
思考(sīkǎo)：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相 等，它们所对弧一定相等吗？为什么？
推论1 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它 们所对弧一定相等．
因为，在同圆或等圆中，
2
BAC 1 BOC 2
A
O·
C
A
O·
C D
第8页，共28页。
（3）在圆周角的外部(wàibù)．
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
DAC DAB 1 (DOC DOB)
2
BAC 1 BOC
2
A
O·
D
C
B
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半．
例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经
与⊙ 过点 的直线 A
CD (zhíxiàn)
O1
交于点C，与
⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1
交于点E，与⊙O2 交于点F。
D
求证：CE∥DF
A
1
C O1
O2
F
E
B
第25页，共28页。
连结 AB (lián jié)
ABFD是⊙O1 ABEC是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形
四、例题
例 如图，⊙O直径(zhíjìng)AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分 线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
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B
C、90°；
D、45°
P
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B）
A、70°；
B、110°；
C、90°；
D、120°
B
A ED
O
C
C
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
O
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，A
则⊙O的半径是 2 。
B
如图所示，已知⊿ABC的三个顶点都在
推论： 半圆或直径所对的圆周角等于90°; 90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3
6
45
B
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
∠3=∠6 ∠5=∠8
3.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=40°，求∠OBC的度数。
4.如图，AB是直径，则∠ACB=＿＿90＿＿度
C
猜想: 同弧所对的圆周角等于它 所对圆心角的一半。
分三种情况来证明： （1）圆心在∠BAC的一边上。
证明：∵OA=OC
∴ ∠A=∠C 又∵∠BOC= ∠A +∠C
A O
∴∠BOC=2 ∠A 即∠A = 1∠BOC
2
B
C
（2）圆心在∠BAC的内部。
A
证明:作直径AD。
O
∵∠BAD=
∠DAC= 1
1 2
1、复习提问:
(1)什么是圆心角？ (2)圆心角，弧，弦的关系 定理是什么？
思考：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
顶点在圆上，并且两边都和
圆相交的角叫做圆周角．
判断：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
画一个圆心角,然后再画同弧所对的圆周角。 量一量它们之间有什么大小关系？你发现了 什么？有什么猜想？
⊙O上，AD是⊿ABC的高，AE是⊙O的直
径.
求证：∠BAE＝∠CAD
A
B E
O DC
在⊙o中,圆心角∠AOB=56°,则弧AB所对 的圆周角等于多少?
在⊙o中,圆心角∠AOB=56°,则弦AB所对 的圆周角等于多少?
即:在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角 相等或互补
巩固练习:
（1）如图，已知圆心角∠AOB=100°,
B C
●O A
解: ∠A = 1∠BOC = 25°。
2
例题
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线 交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
C
A
O
B
D
圆周角的概念 :
顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角.
圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,
都等于这条弧所对的圆心角的一半.
求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
（2）一条弦分圆为1：4两部分，
D
求这弦所对的圆周角的度数？
O
（1）∠ADB=50°，∠ACB=130°
（2）此弦所对圆周角的度数为36° 或144°
A
B
C
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
·
B
方法四
O
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
A
则∠AOC等于（ D）
A、50°；
B、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ B ）
A、30°；
B、60°；
A
∠BOD
∠DOC
B D
C
2 ∴∠BAD+∠DAC=
12（∠
BOD+∠DOC）
即: ∠BAC=
1 2
∠BOC
（3）圆心在∠BAC的外部。 A
证明:作直径AD。
O
∵∴∠∠∠DDDAAACBC==-∠1212∠D∠ADDBOO=CB12（∠DODC-∠BDOB） C
即:
∠BAC=
1 2
∠BOC
1.如图,在⊙O中，∠BOC=50°，求∠A的大小。
A
B
O
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90度的圆周角所对的弦是直径。
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6,以AB为直径 的半圆交BC于D，交AC于E，若∠DAC＝30°， 则∠BAC＝＿＿＿，BD＝＿＿＿。
A
O
E
B
D
C
练习
6.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多
少种方法？与同学交流一下．