《解直角三角形》复习课件(1)湘教版
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（至少要有一个是边）就 若直角三角形ABC中，∠C=90，那么∠A， 可求出其余3个未知数
∠ B， ∠ C，
a,b,c中除∠C=90°外，其余5个元素之间有如下关系：
1）a² =c² +b² 3）si nA
A的对边 斜边
A的邻边 斜边
2）∠A+∠B=90
BC AB
AC AB
a c
.
h l
=tan a
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
坡 度 通 常 写 成 1∶m 的 形 式 ， 如 i=1∶6.
锐角三角函数的概念
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系
1）在RtABC中，∠C=90°BC=a，AC=b 若sinA ﹕ sinB = 2 ﹕3，求a ﹕b的值 解法1 设AB=c由三角函数的定义得： sinA ﹕sinB=a/c ﹕b/c=a ﹕b
北 30° 东 A 西北 45° 西 O 45° B 南 西 O 45° 西南 南 东南 东 北 东北
3）坡度（坡比）,坡角的概念
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜 坡的倾斜程度. 如图:坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） h 的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即 I = l 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝
点评：由于三角函数是边之间 的比，因此利用我们熟知的按 比例设为参数比的形式来求解， 是处理直角三角形问题的常用 方法。
解直角三角形
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形
8.如图小正方形的边长为1，连 结小正方形的三个顶点得到 ABC，则AC边上是的高（ ）
B C N
M
3 3 AC=AB+BC=2+1=3(米)
此题属于光学问题的基本应用，首先 要对有关生活常识有所了解，从图形 入手，数形结合，将已知信息转化为 解直角三角形的数学模型去解。
12）如图，一张长方形的纸片ABCD，其长AD为a，宽AB 为b(a>b) ，在BC边上选取一点M，将ABM沿着AM翻折 后，B至N的位置，若N为长方形纸片ABCD的对称中心， 求a/b的值。
互余或同角的三角函数
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系
6 在ABC中∠C=90°化简下面的式子
1-2sinAcosA
7 在ABC中∠C=90°且
1 sinA + 1 tanA =5
求cosA的值
点评：利用互余或同角的三角函 数关系的相关结论是解决这类问 题的关键
ta n 60 = Rt = CD = BD x ACD 中 ， CAD =30 CD = 3x 3x
C
B
D
东
ta n 30 =
AD AD 又 AD -BD =AB,即 3x -x =90 即 CD =45 3 >16
, AD =3x x =45
∴船继续向东航行没有触礁的危险。
解直角三角形
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形
7.在Rt
ABC中， C=90 ,sinA=
4 5
,
求cosA,tanA,的值.
解 C=90 sinA= A是锐角，且 a
4 5 =
º 4
c 5 令a =4k,则c=5k(k>0) b=3k b 3 a 4 cosA= = ,tanA= = . c 5 b 3
解析：令a=3,b=4则c=5,sinA=3/5, sinB=4/5且∠ A ≠∠ B，易知 （1）（3）都不对，故选 B）
用构造特殊的直角三角形来否定某些 关系式，是解决选择题的常用方法
特殊角的三角函数值
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 A）锐角三角形 B）直角三角形
知识
概要
角度 逐渐 增大
值 1 也 余弦 增 值逐 大 渐减 0 小 正切 值也 随之 余切 增大 不存在 值逐 渐减 小
（五）特殊的三角函数值
角 度
三角函数
0 0 1
正弦值 如何变 化? sinα 余弦值 如何变 化? 正切值 cosα 如何变 化? 余切值 tanα 如何变 化?
正 3 0° 45 ° 6 0° 90 弦
c
B a
co sA
b c
A b
tanA
A的对边 BC a A的邻边 AC b
C
知识
概要 （七）应用问题中的几个重要概念
1）仰角和俯角
在进行测量时，从下向上看，视线 与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看， 视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线
仰角
水平线 俯角
视线
2）方向角 • 以正南或正北方向为准，正南或正北方向 线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方 向角.如图所示：
3.如果 那么 cosA-0.5 ABC是（ ） + 3 tanB-3 =0,
C
C）等边三角形
D）钝角三角形
解：根据非负数的性 质，由已知得 1 cosA= ,tanB= 3 则 A= B=60 2
特殊角的三角函数值
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值
4. 计算： sin
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 5.下列式中不正确的是（C ）
A)cos35 =si n55 B) sin 2 60 + cos 2 60 =1 C)sin30 +co s30 =1 D)tan45 >si n45
点评：应用互余的三角函数关系 进行正弦与余弦的互化，并了解 同一个锐角的三角函数关系，能 运用其关系进行简单的转化运算， 才能解决这类问题。
A E C
B
D
10.如图某船以每小时30海里的速度先向正东方向航行，在点 A处测得某岛C在北偏东60°的方向上，航行3小时到达点B， 测得该岛在北偏东30°的方向上且该岛周围16海里内有暗礁 北 （1）试证明：点B在暗礁区外；
（2）若继续向东航行有无触暗礁的危险？
解：1）由题意得，∠CAB=30°， 2)如图过点C作 ，则 C=30的延长线于 ∠ABC=120 °CD⊥AB交CBD=60， D点，设 ∠ AB ° °， BD=x，在RtBCD中，∠ BC=AB=30×3=90 CD16∴点B在暗礁区外. > A CD
A
1 2
D N
B
3
M
C
点评：此题是创新综合题，要求我们对图形及其 变换有较深刻的理解，并运用图形对称性和解直 角三角形知识或勾股定理建立等式求解。
13）一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台
风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动， 距台风中心 2 0 1 0 海里的圆形区域（包括边界）都属于 台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正 南方向B处，且AB=100海里
∴ a ﹕ b = 2/3
解法2 由三角函数的定义得：
a=csinA, b=csinB, a/b=csinA/csinB
∴ a ﹕ b=sinA/sinB = 2/3
抓住三角函数的定义是解题的 关键
锐角三角函数的概念
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系
2 在ABC中∠A≠ ∠ B，∠C=90°则下 列结论正确的是（ ） (1) sinA>sinB (2) sin² A+sin² B=1 (3) sinA=sinB (4) 若各边长都扩大为原来的2倍，则tanA 也扩大为原来的2倍 A)(1)(3) C)(2)(4) B)(2) D)(1)(2)(3)
A 的对边 斜边
A 的对边 A 的邻边
（一）锐角三角函数的概念
sin A= tan A=
cos A= cot A=
A 的邻边 斜边
A 的邻边 A 的对边
分别叫做锐角 这些函数值之间 ∠A的正弦、 有什么关系？ 余弦、正切、 余切，统称为 锐角∠A的三 角函数. 0＜sin A＜1，0＜cos A＜1
第4章
锐角三角函数
中考要求
1）基本概念：包括直角三角形的基本元素， 边角关系，锐角三角函数等 2）基本计算：包括对角的计算，对边的 计算，应用某种关系计算等。 3）基本应用：主要题型是：测量，航海，坡面 改造，光学，修筑公路等其主要思想方法是： 方程思想，数形结合，化归转化，数学建模等。
知识
概要
（二）同角三角函数之间的关系
sin² A+cos² A=1 tanA=sinA/cosA tanAcotA=1 （三）互余两角三角函数之间的关系 sin A= cos（90- A） tan A =cotA（90- A）
知识
概要
（四）三角函数值的变化规律
1）当角度在0---90之间变化时，正弦值（正切值） 随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 2）当角度在0---90之间变化时，余弦值（余切值） 随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
A) B) C) D) 3 2 3 10 3 5 4 5 2 5 5
A
C
B
5
点评：作BC边上的高，利用 面积公式即可求出AC边的高， 面积法是解决此类问题的有 效途径
解直角三角形的应用
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形 5.解直角三角形的应用
北
（1）若该轮船自A按原速度原方向继续航行，在途中 会不会遇到台风？
A
B
东
13）一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台
风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动， 距台风中心 2 0 1 0 海里的圆形区域（包括边界）都属于 台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正 南方向B处，且AB=100海里 （2）若该轮船自A立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距
11）如图AM，BN是一束平行的阳光从教室窗户AB射入的平 面示意图，光线与地面所成的角∠AMC=30°，在教室地面 的影长MN= 2 3 米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米， B 则窗户的上檐到教室地面的距离AC为（ ）米
A)2 3 B)3 C) 3. 2 D) 3 2 3
A
解：如图过B作BD MC交AM于D， 则得四边形DBNM是平行四边形 BD=MN=2 3 ， ADB= M=30 又AC MC于C， AB BD于B， 在Rt AB= ADB中，tan 3 DB= 3 ADB= MN=2 AB DB = 3 3
2 45
-
1 2
3 -2006
0 +
6tan30
解 ： 原 式 =( = 1 2
2 2 -
2
) 1 2 +2
1 2
1+6 3 =2 3
3 3
点评 融特殊角的三角函数值，简单 的无理方程的计算以及数的零次幂的 意义于一体是中考命题率极高的题型 之一
互余或同角的三角函数
☆ 考点范例解析
9.如图某人站在楼顶观测对面的笔直
的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的 距离（即CE的长）为8米，测得旗 杆顶 的仰角∠ECA为30°旗杆底 部的俯角∠ECB为45 °则旗杆AB 的高度是（ ）米
解：如图在Rt ACE和Rt BCE中 ACE=30 ，EC=8 点评：此题属于解直角三角形的 AE 基本应用题—测量问题，要明确 EB tan ACE= ,tan ECB= EC 仰角和俯角，然后数形结合直接 EC 8 3 从图形出发解直角三角形. 即AE=8tan30 EB=8tan45 AE+EB=( 8+ = 3 3 3 =8 8 )米.
1 2
3 2
3 3
2 2
2 2Hale Waihona Puke Baidu
3 2 1
2
0
不存在
1 1
3
3 3
cotα
3
0
知识
概要
填空：比较大小
(1) tan 35 17
tan 17 3 5
（ 2） cos 9
cos 10
sin （3） 68 °
sin 82
知识
概要 （六）解直角三角形
由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有 未知元素的过程，叫做解直角三角形。 只要知道其中2个元素
解：如图连结NC，由已知得， ABM ANM 1= 2，MN AN， 又N是长方形ABCD的对称中心 A，N，C共线，且N是对角线AC的中点， 即AN=NC AM=MC，则 2= 3， 在R t ABC中 1+ 2+ 3=90 a 3=30 ， =co t30 = 3 b
∠ B， ∠ C，
a,b,c中除∠C=90°外，其余5个元素之间有如下关系：
1）a² =c² +b² 3）si nA
A的对边 斜边
A的邻边 斜边
2）∠A+∠B=90
BC AB
AC AB
a c
.
h l
=tan a
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
坡 度 通 常 写 成 1∶m 的 形 式 ， 如 i=1∶6.
锐角三角函数的概念
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系
1）在RtABC中，∠C=90°BC=a，AC=b 若sinA ﹕ sinB = 2 ﹕3，求a ﹕b的值 解法1 设AB=c由三角函数的定义得： sinA ﹕sinB=a/c ﹕b/c=a ﹕b
北 30° 东 A 西北 45° 西 O 45° B 南 西 O 45° 西南 南 东南 东 北 东北
3）坡度（坡比）,坡角的概念
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜 坡的倾斜程度. 如图:坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） h 的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即 I = l 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝
点评：由于三角函数是边之间 的比，因此利用我们熟知的按 比例设为参数比的形式来求解， 是处理直角三角形问题的常用 方法。
解直角三角形
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形
8.如图小正方形的边长为1，连 结小正方形的三个顶点得到 ABC，则AC边上是的高（ ）
B C N
M
3 3 AC=AB+BC=2+1=3(米)
此题属于光学问题的基本应用，首先 要对有关生活常识有所了解，从图形 入手，数形结合，将已知信息转化为 解直角三角形的数学模型去解。
12）如图，一张长方形的纸片ABCD，其长AD为a，宽AB 为b(a>b) ，在BC边上选取一点M，将ABM沿着AM翻折 后，B至N的位置，若N为长方形纸片ABCD的对称中心， 求a/b的值。
互余或同角的三角函数
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系
6 在ABC中∠C=90°化简下面的式子
1-2sinAcosA
7 在ABC中∠C=90°且
1 sinA + 1 tanA =5
求cosA的值
点评：利用互余或同角的三角函 数关系的相关结论是解决这类问 题的关键
ta n 60 = Rt = CD = BD x ACD 中 ， CAD =30 CD = 3x 3x
C
B
D
东
ta n 30 =
AD AD 又 AD -BD =AB,即 3x -x =90 即 CD =45 3 >16
, AD =3x x =45
∴船继续向东航行没有触礁的危险。
解直角三角形
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形
7.在Rt
ABC中， C=90 ,sinA=
4 5
,
求cosA,tanA,的值.
解 C=90 sinA= A是锐角，且 a
4 5 =
º 4
c 5 令a =4k,则c=5k(k>0) b=3k b 3 a 4 cosA= = ,tanA= = . c 5 b 3
解析：令a=3,b=4则c=5,sinA=3/5, sinB=4/5且∠ A ≠∠ B，易知 （1）（3）都不对，故选 B）
用构造特殊的直角三角形来否定某些 关系式，是解决选择题的常用方法
特殊角的三角函数值
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 A）锐角三角形 B）直角三角形
知识
概要
角度 逐渐 增大
值 1 也 余弦 增 值逐 大 渐减 0 小 正切 值也 随之 余切 增大 不存在 值逐 渐减 小
（五）特殊的三角函数值
角 度
三角函数
0 0 1
正弦值 如何变 化? sinα 余弦值 如何变 化? 正切值 cosα 如何变 化? 余切值 tanα 如何变 化?
正 3 0° 45 ° 6 0° 90 弦
c
B a
co sA
b c
A b
tanA
A的对边 BC a A的邻边 AC b
C
知识
概要 （七）应用问题中的几个重要概念
1）仰角和俯角
在进行测量时，从下向上看，视线 与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看， 视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线
仰角
水平线 俯角
视线
2）方向角 • 以正南或正北方向为准，正南或正北方向 线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方 向角.如图所示：
3.如果 那么 cosA-0.5 ABC是（ ） + 3 tanB-3 =0,
C
C）等边三角形
D）钝角三角形
解：根据非负数的性 质，由已知得 1 cosA= ,tanB= 3 则 A= B=60 2
特殊角的三角函数值
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值
4. 计算： sin
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 5.下列式中不正确的是（C ）
A)cos35 =si n55 B) sin 2 60 + cos 2 60 =1 C)sin30 +co s30 =1 D)tan45 >si n45
点评：应用互余的三角函数关系 进行正弦与余弦的互化，并了解 同一个锐角的三角函数关系，能 运用其关系进行简单的转化运算， 才能解决这类问题。
A E C
B
D
10.如图某船以每小时30海里的速度先向正东方向航行，在点 A处测得某岛C在北偏东60°的方向上，航行3小时到达点B， 测得该岛在北偏东30°的方向上且该岛周围16海里内有暗礁 北 （1）试证明：点B在暗礁区外；
（2）若继续向东航行有无触暗礁的危险？
解：1）由题意得，∠CAB=30°， 2)如图过点C作 ，则 C=30的延长线于 ∠ABC=120 °CD⊥AB交CBD=60， D点，设 ∠ AB ° °， BD=x，在RtBCD中，∠ BC=AB=30×3=90 CD16∴点B在暗礁区外. > A CD
A
1 2
D N
B
3
M
C
点评：此题是创新综合题，要求我们对图形及其 变换有较深刻的理解，并运用图形对称性和解直 角三角形知识或勾股定理建立等式求解。
13）一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台
风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动， 距台风中心 2 0 1 0 海里的圆形区域（包括边界）都属于 台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正 南方向B处，且AB=100海里
∴ a ﹕ b = 2/3
解法2 由三角函数的定义得：
a=csinA, b=csinB, a/b=csinA/csinB
∴ a ﹕ b=sinA/sinB = 2/3
抓住三角函数的定义是解题的 关键
锐角三角函数的概念
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系
2 在ABC中∠A≠ ∠ B，∠C=90°则下 列结论正确的是（ ） (1) sinA>sinB (2) sin² A+sin² B=1 (3) sinA=sinB (4) 若各边长都扩大为原来的2倍，则tanA 也扩大为原来的2倍 A)(1)(3) C)(2)(4) B)(2) D)(1)(2)(3)
A 的对边 斜边
A 的对边 A 的邻边
（一）锐角三角函数的概念
sin A= tan A=
cos A= cot A=
A 的邻边 斜边
A 的邻边 A 的对边
分别叫做锐角 这些函数值之间 ∠A的正弦、 有什么关系？ 余弦、正切、 余切，统称为 锐角∠A的三 角函数. 0＜sin A＜1，0＜cos A＜1
第4章
锐角三角函数
中考要求
1）基本概念：包括直角三角形的基本元素， 边角关系，锐角三角函数等 2）基本计算：包括对角的计算，对边的 计算，应用某种关系计算等。 3）基本应用：主要题型是：测量，航海，坡面 改造，光学，修筑公路等其主要思想方法是： 方程思想，数形结合，化归转化，数学建模等。
知识
概要
（二）同角三角函数之间的关系
sin² A+cos² A=1 tanA=sinA/cosA tanAcotA=1 （三）互余两角三角函数之间的关系 sin A= cos（90- A） tan A =cotA（90- A）
知识
概要
（四）三角函数值的变化规律
1）当角度在0---90之间变化时，正弦值（正切值） 随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 2）当角度在0---90之间变化时，余弦值（余切值） 随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
A) B) C) D) 3 2 3 10 3 5 4 5 2 5 5
A
C
B
5
点评：作BC边上的高，利用 面积公式即可求出AC边的高， 面积法是解决此类问题的有 效途径
解直角三角形的应用
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形 5.解直角三角形的应用
北
（1）若该轮船自A按原速度原方向继续航行，在途中 会不会遇到台风？
A
B
东
13）一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台
风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动， 距台风中心 2 0 1 0 海里的圆形区域（包括边界）都属于 台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正 南方向B处，且AB=100海里 （2）若该轮船自A立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距
11）如图AM，BN是一束平行的阳光从教室窗户AB射入的平 面示意图，光线与地面所成的角∠AMC=30°，在教室地面 的影长MN= 2 3 米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米， B 则窗户的上檐到教室地面的距离AC为（ ）米
A)2 3 B)3 C) 3. 2 D) 3 2 3
A
解：如图过B作BD MC交AM于D， 则得四边形DBNM是平行四边形 BD=MN=2 3 ， ADB= M=30 又AC MC于C， AB BD于B， 在Rt AB= ADB中，tan 3 DB= 3 ADB= MN=2 AB DB = 3 3
2 45
-
1 2
3 -2006
0 +
6tan30
解 ： 原 式 =( = 1 2
2 2 -
2
) 1 2 +2
1 2
1+6 3 =2 3
3 3
点评 融特殊角的三角函数值，简单 的无理方程的计算以及数的零次幂的 意义于一体是中考命题率极高的题型 之一
互余或同角的三角函数
☆ 考点范例解析
9.如图某人站在楼顶观测对面的笔直
的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的 距离（即CE的长）为8米，测得旗 杆顶 的仰角∠ECA为30°旗杆底 部的俯角∠ECB为45 °则旗杆AB 的高度是（ ）米
解：如图在Rt ACE和Rt BCE中 ACE=30 ，EC=8 点评：此题属于解直角三角形的 AE 基本应用题—测量问题，要明确 EB tan ACE= ,tan ECB= EC 仰角和俯角，然后数形结合直接 EC 8 3 从图形出发解直角三角形. 即AE=8tan30 EB=8tan45 AE+EB=( 8+ = 3 3 3 =8 8 )米.
1 2
3 2
3 3
2 2
2 2Hale Waihona Puke Baidu
3 2 1
2
0
不存在
1 1
3
3 3
cotα
3
0
知识
概要
填空：比较大小
(1) tan 35 17
tan 17 3 5
（ 2） cos 9
cos 10
sin （3） 68 °
sin 82
知识
概要 （六）解直角三角形
由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有 未知元素的过程，叫做解直角三角形。 只要知道其中2个元素
解：如图连结NC，由已知得， ABM ANM 1= 2，MN AN， 又N是长方形ABCD的对称中心 A，N，C共线，且N是对角线AC的中点， 即AN=NC AM=MC，则 2= 3， 在R t ABC中 1+ 2+ 3=90 a 3=30 ， =co t30 = 3 b