第四章 气体动理论 习题课

2. 所谓自由度，是指确定物体在空间的位置所需的独立坐标数。一个单原于分子有3个 自由度．一个刚性双原子分子有5个自由度，其中3个是平动自由度，2个是转动自由度。一 个刚性多原子分子有6个自由度，其中3个是平动，3个是转动。对于非刚性的双原子相多原 子分子，由于分子内部原子间的相对振动，还有振动自由度。
µ2
(3) Nf (v)dv 平衡态下速率在 v—v+dv 区间内的分子数
∫ (4) v2 f (v)dv v1
平衡态下速率在 v1—v2 区间内的分子数占总分子数的比率
例 2： 在体积为 V 的容器中装有几种不同种类的气体，各种气体的质量分别为 ml、m2、……， 摩尔质量分别为 Ml、M2、……，试从气体分子运动论出发，写出混合气体在温度为 T 时的压 强。
势能以及分子之间相互作用的势能。对于理想气体．由于忽赂分子间的相互作用，所
以系统的内能只是分子各种形式的动能和分子内原于间的振动势能的总和。于是质量为 m，
摩尔质量为 M 的理想气体系统的内能为： E = N ε = i NkT = i m RT 。可见对于一定量的
2
2M
某种理想气体．其内能只由温度决定，是温度的单值函数。
2
2
式中 s 是分子的振动自由度数，前面的因子 2 是考虑在分子内部原于的微振动可近似看作简
谐振动，而谐振动在一个周期内的平均动能和平均势能相等，因此，对于每一个振动自由度，
分子还具有 1 kT 的平均势能。 2
6.理想气体的内能
从微观角度看，系统的内能包括系统内所有分子各种形式的动能、分子内原于间的振动
（1）气体的定向运动机械能将转化成什么形式的能量？ （2）气体分子速率平方平均值的增量是多少? 解：（1）气体定向运动的机械能将转化为气体的内能。
（2）设气体的质量为 m．则气体内能的增量为 ∆E = 1 mv2 2
但理想气体的内能只决定于温度，有 ∆E = i m R∆T ， 2M
因此温度增量为： ∆T = Mv2 。 Ri
体中氦气和氧气的内能之比为（ ）
A.1:2 B.5:6 C.3:10 D.6:5
4．现有体积、压强、摩尔数相同的氧气和二氧化碳气体（均可视为理想气体），这两种气体
的（ ）
A.定体摩尔热容相同
B.摩尔内能相同
C.分子热运动的平均平动动能相同 D.最可几速率相同
5.麦克斯韦速率分布曲线如图所示,已知图中 b 点所对应的是 v ,则均根速率在图中对应的位
（3）按麦克斯韦速率分布律，处在 0 → ∞ 整个速率区间的分子数当然等于分子总数 N，
∫ ∫ 因此 N dNv = ∞ f (v)dv = 1，这就是速率分布函数的归一化条件。
0N
0
（4）速率分布曲线的几何意义 （5）三仲速率
①最可几（最概然）速率
2kT 2RT
vp =
= m
M
平均速率
v=8kT =解： Nhomakorabea由
p
=
2 3
nεt
，n=n1+n2+……， εt
=
3 2
kT
，
可得
∑ ∑ p =
i
nikT =
i
mi N AkT Mi V
即
∑ pV = mi RT ，
i Mi
这就是混合气体在温度为 T 时的压强。
例 3：一容器内贮有一定质量的某种双原于理想气体。设容器以速度 v 运动．今使容器突然 停止，试问：
置应在( ) A.a 点 B.a 点左边 C.a 点和 b 点之间
D.b 点右边 二、计算题 1.有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为2.0× 10-4m2，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为 27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He 的摩尔质量为 0.004kg·mol-1)?
7.麦克斯韦气体分子速率分布律 当气体处于平衡态时，分布在任一速率区间 v~v+dv 内的分子数占总分子数的比率为
3
dNv
=
4π
⎛ ⎜
m
⎞ ⎟
2
e
−
mv
2
2kT
v
2
dv
N
⎝ 2πkT ⎠
3
其中
( ) f
v
=
4π
⎛ ⎜
m
⎞ ⎟
2
e
−
mv
2
2
kT
v
2
叫做分子速率分布函数．表示处于速率 v 附
⎝ 2πkT ⎠
4. 通过建立理想气体的刚性分子模型，理解气体分子平均能量按自由度均分定理，并 会用于计算理想气体的内能。
5. 了解麦克斯韦速率分布律及分布函数和速率分布曲线的物理意义，了解气体分子热 运动的三种统计速率。
6. 了解玻耳兹曼能量分布律及其统计意义。 Ⅱ 内容提要 1. 理想气体
理想气体是一个理想模型，它是对实际气体的一种近似的概括，压强越低，这种概括的 精确度就越高。我们可以从不同角度对理想气体模型作出定义。
8 RT
RT
≈ 1.6
πm π M
M
方均根速率 vrms =
v2 =
3kT =
m
3RT µ
Ⅲ 例题
例 1：速率分布函数 f(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n 为分子数密度，
N 为系统总分子数)。
(1) 1 kT 平衡态时每个自由度上的平均动能 2
M
(2)
i RT
质量为 M 的理想气体的内能
（2）定律中所说的速率间隔 v~v+dv 中实际包含许多不同的速率，具有这些速率约分子 数的统计平均值为 dNv。但不能问速率恰好为某一确定值 v 的分子效是多少，因为这 种情况等于说 dv=0，但由于气体总分子数 N(尽管很大)并不是无穷大，则与 dv=0 对应的分 子数 dNv 可能为零，所以这个问题是没有意义的。
3. 该定理不仅适用于分子的平动，也适用于分子的转动和振动。
按能量均分定理，对于一个刚性分子(不计振动)．平均总能量为 ε= t + r kT ＝ i kT ，
2
2
式中 t、r 分别是分子平动自由度和转动自由度，i 是刚性分子的自由度数。
对于一个非刚性分子，即考虑分子振动时，平均总能量为 ε = i kT = t + r + 2s kT ，
由理想气体状态方程和压强公式可以得到： εt
=
3 2
kT
，这个公式把温度这个宏观量与
分子的平动动能这个微观量的统计平均值联系起来，它也具有统计意义。可以说，温度是气 体分子无规则热运动剧烈程度的标志，但只是对系统而百，温度才有意义，对一个分子，只 有动能，无所谓温度。
由该公式可得到气体分子的方均根速率
2. 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于 v p − v p ⋅100−1 与 v p + v p ⋅100−1 之间的分子 数占总分子数的百分比．
3. 容器中储有氧气，其压强为p＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求 (1)单位体积中的分子；(2)氧分子的质量；(3)气体密度r ；(4)分子间的平均距离；(5)平 均速率；(6)方均根速率；(7)分子的平均动能。 4. 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密 度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比。
（2）在不存在外力或外力作用可以忽略的情况下、一个均匀系统在达到平衡态时，它 内部的各种宏观性质处处一样。在外力的作用不可忽略的情况下 (例如处在重力场中的大 气)．一个系统达到平衡态时，它内部的某些宏观性质就不是均匀的(例如在地面上不同高度 处大气的压强和密度不同)。
（3）平衡是相对的。这有两方面的含义，一是指平衡态是一个理想的概念．是在一定 条件下对实际情况的抽象与概括，因为一个系统不可能完全不受外界影响．其宏观性质 也不可能绝对不变，只是在某些问题中可以忽略这些影响或变化，而近似当作平衡态来处理。 二是指当一个系统处于平衡态时，组成系统的分子仍在不停地运动着，只是分子运动的平均 效果不随时间改变，这种微观运动平均效果的不变性即表现为系统宏观性质不变。因此把这 种热力学中的平衡叫热动平衡。
热力学系统在不受外界影响的条件下，其所有宏观性质都不随时间变化的状态．称为平 衡态。这里所说的不受外界影响，是指外界对系统不做功也不传热．但是不要求系统不受外 力作用．只要外力不做功，对系统的热力学状态就没有影响。要强调以下几点：
（1）不受外界影响和系统的所有宏观性质不随时间变化，这是判别一个系统是否处于 平衡态的两个重要依据，二者缺一不可。如果第一个条件不满足，即使系统处于所有宏 观性质不随时间变化的稳定状态，也不是平衡态。反之，即使系统不受外界影响，但第二个 条件不满足，也不是平衡态。
近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率。
（1）麦克斯韦速率分布律是个统计规律。只对由大量分子构成的气体这一宏观系统成 立。式中 dNv/N 是一个统计平均值，从统计观点来说，它是指处于平衡态下的气体中速率 在 v~v+dv 速率间隔中的分子数平均占多大比率。但是．由于分子运动的无规则性，在速率 间隔 v~v+dv 中的分子数是不断交化的。在某一瞬间、在这一速率间隔中的实际分子数的比 率可能与按此定律算出的 dNv/N 值有差别，即出现某瞬时值偏离平均值的涨落现象。
3.理想气体压强公式
从理想气体的微观模型出发，并假定单个分子的运动遵守牛顿运动定律，大量分子的无
规则运动还同时满足统计规律，推导出压强公式：
p
=
1 3
mnv2
，
( ) p
=
2 3
n
1 2
mv2
=
2 3
nεt