2009【考研数二】真题及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1〜8小题,每小题4分，共32分,下列每小题给出的四个选项中 合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .
3
X _ X
函数f (X )=
—的可去间断点的个数为
sin Ji x
设函数Z = f (X, y )的全微
分为 dz = xdx + ydy ,则点
(0,0 )
设函数 f (X, y )连续,则[dx Jx f (X,y dy +[ dy. f (x,y )dx = ()
"(X )不变号,且曲线y = f (X )在点(1,1)处的曲率圆
为X 2
+y 2=2,则函数f ( X )
在区间(1,2 )内
(A)有极值点，无零点. (B) (C)有极值点,有零点.
(D)
设函数y = f (X )在区间［-1,3 ］上的图形为
(A)
1.
(B) 2. 当 X T 0 时,f (x ) = x —sinax 与 g(x ) = x
(C) 3.
2
(D )
In (1-bx )是等价无穷小
无穷多个.
1
(A) a =1,b =——.
6 1
(C) a = —1,b =
6
(B )
(D )
a = 1,
b =—.
6
a = -1,
b =
J 6
(A)不是f (x,y )的连续点. (B
)
不是f (x,y )的极值点.
(C)是f (x,y )的极大值点.
(D
) 是f (X, y )的极小值点. (A
) (C )
2
4 _x
—dx — f (x,
y dy .
2 4今
—
dy — f (X, y dx . (D )
(B ) 2
4_x
f dx f H X, y dy .
1 X 2
2
[dyj y f (x’yjdx .
,只有一项是符 2 4_y
无极值点，有零点. 无极值点，无零点.
x
⑺ 设A, B 均为2阶矩阵，A * ,B *分别为A, B 的伴随矩阵，
()
则函数F (X )= L f (t p t 的图形为
若A =2, B =3,则分块矩阵
f O A 、
1
的伴随矩阵为 ()
I B 0丿
'o
3B *〕
(0
2B* "
(A)
*
|. (B)
12A 0丿
V 3A
0丿 (C)
‘0 3A * ]
(D)
f 0
2A*
' *
12B
|.
1 *
0丿
13B 0丿
0 设A,P 均为 3阶矩阵， P T
为P 的转置矩阵 ,且P T
AP = 0 1
、
0 若 P =(%,勺,—)2 = (% +02,02,03)，则 Q T
AQ 为 ‘2
1 0
、
‘1
1 0"
1 1 0 (B)
1 2 0 .0 0 2>
.0 0 2
丿
10
0 (8
2 ,
(A
2,52,
1
lim fe 」sinnxdx =
n 卡c
d 2y
设y = y(x)是由方程xy + e y =x+1确定的隐函数，则一
y
dx
(17)(本题满分10分)
设z =f(x + y,x-y,xy),其中f 具有二阶连续偏导数，求dz 与
dx 讪
(18)(本题满分10分)
设非负函数y = y (x )(x >0 )满足微分方程xy” —y' + 2 = 0 .当曲线y=y(x )过原点 时,其与直线X =1及y = 0围成的平面区域 D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体
"2 0 0 ^
"10 0"
0 1 0
1 (D)
0 2 0
1° 0 2
丿 0 2
丿
二、填空题: (9)
I x 曲线｛ [y -r 丄"U
2
d
=」0 e U ，在点(0,0)处的切线方程为 =t 2
ln(2 -t 2
)
(10)
” 乂 k x
已知L e
dx=1
,则“
(11) (12) (13) 函数y =x 2x
在区间(0,1 ］上的最小值为
(14) 设a , P 为3维列向量，P T
为P 的转置，若矩阵up T
相似于
|0 1。

0"
0 ,则 P T
三、解答题：15- 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上 明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分9分)
.解答应写出文字说
求极限 limU —cosxZW+tanx)]
X T
.4
Sin x
(16)(本题满分10分)
计算不定积分Jin
[+鬥
x (x
>
0)
.
(C
9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
积.
(19)(本题满分10分)
计算二重积分 JJ(x — y )dxdy,其中 D ={(x, y j(x -1 f +(y — 1, < 2, y > x }.
D
(20)(本题满分12分)
设
y
=y(
x)
是区间(心)内过点(p ,方的光滑曲线，当八x <0
时,曲线上 任一点处的法线都过原点；当
0<x v;i 时，函数y(x)满足y ” + y +x = 0.求函数y(x)的表
达式.
(21)(本题满分11分) (I )证明拉格朗日中值定理：若函数 f (X )在［a,b ］上连续，在(a,b)可导，则存在(a,b ),
使得 f (b )-f (a )=f '(© X b -a ).
(n )证明：若函数 f (x 在 x=0处连续,在(0,6卩:>0 )内可导，且lim f'(x )=A ,则
f ：(0 )存在，且 f ；(0)= A .
(22)(本题满分11分)
设
(n )对(I)中的任意向量 J J 证明：耳上2上3线性无关.
f (X i ,X 2,X 3 )=ax 2
+ax ； +(a —1 )x 1 中Zx* —2X 2X 3
n
-1 -1
=\-1 1 1
1
V 0 -4 -2 *2$
7, A J 3 -
~1 r
-
^3 ；
(23)(本题满分 设二次型
11分)
(I )求二次型 f 的矩阵的所有特征值;
(n )若二次型 f 的规范形为y i 2
+y |,求a 的值.
/
(I )求满足A J
A
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、选择题：1〜8小题，每小题 4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上
.
3
X _ X
—一的可去间断点的个数为( nx
(D )无穷多个. 【答案】C
【解析】
3
X —x
f
(X )=
s i nx
(1)函数 f (X )= sin
(B )2.
则当x 取任何整数时, f (X )均无意义
|i
X-X 3
lim X T 0
sin 兀
X 3
X -X lim ----- T sin 兀X
3
.. X -X
lim ---- x -A 1
sin 兀 X ,1-3x 2
= lim ------ T 兀cos 兀X 1 - __ JI
= lim x T 兀cos 兀X ,1 -3x 2
=lim -------- x —A 1 兀 cos
=2 JI 2 JI
故可去间断点为3个，即0, ±1
(2)当 X T 0时，f (X )=x —sinax 与 g (x ) = x 2
1n (1 —bx )是等价无穷小，则(
(A )a =1,b = —(B )a=1,b=6•
(C )a = -1,b = 1 1
6.(D )a = T,b = 6
【答案】A
【解析】f(x)=x-si nax,g(x)=x 2
l n(1-bx)为等价无穷小，贝U
lim 他=|im
X-
sinaX
T g(x) x T x 2
]n(1 -bx) a 2
sin ax
= limX^ 洛 limS 警洛 lim T X 2
(-bx) = T -3bx 2
= 1° -6bx
2 .
a sin ax = lim -------- X T 6b
-—ax
a
3
=-—=1 6b 「•a 3
=-6b 故排除 B,C .
故f (X )的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是
3
X - X =0的解
X l,2,3=0, ±1
1 _a cosax
另外lim ：存在，蕴含了1-acosaxT 0(X T 0 )故a=1.排除D .
x-0 -3bx2* 丿
所以本题选A.
(3)设函数z = f(X, y)的全微分为dz = xdx + ydy，则点(0,0 )()
(A)不是f (x,y )的连续点. (B )不是f (x,y )的极值点.
(C是f (X, y )的极大值点. (D )是f (x,y )的极小值点.
故(0，0)为函数
Z = f(X, y)的一个极小值点.
2 2
(4)设函数 f(x, y )连续，则 f dxj f(x,ydy + I
X
2
4』
t dyjy f (x,y )dx=()
2
4_x
(A )1 dx 1 f (x,y dy .
2
4T
(C )1 dy 』f (x,y dx .
【答案】C
2 2
2
4丄
(B )J i dx J x
2 2
(D ).] dyj y f(x,ydx
f (X, ydy .
【解析】f dx J f (x, y)dy + J dy J f (x, y)dx 的积分区域为两
部分:
x,y)|l <x<2,x<y <2}，D 2 ={(x,y)|l < y <2,y < x 乞 4- y } 将其写成一块 D =Vx,y)1<y<2,1<x<4-y
2
4T
故二重积分可以表示为
[dy [ f (x, y)dx ，故答案为C.
【答案】 D
F z 【解析】因dz=xdx + ydy 可得 — e x
cz
=x,——=y
L 2
L 2
-.2
c z c z D Z , ---= =0, C = ------ 2 —
1 ■- ■- 创
exey cycx 处,
& -<z 0,— =
>0
又在(0, 0)
2
AC -B =1
区间(1,2 )内()
【答案】 B
【解析】由题意可知，f(X)是一个凸函数，即「'McO ,且在点(1,1)处的曲率
P = —
，而 f '(1) = -1,由此可得， 「'(1)=—2
(1+(y')2
)2
3
在［1,2］上，f'(X)< f '⑴二―1 <0，即f(x)单调减少，没有极值点.
对于f(2) - f(1) = f '(匚)1 、匚<^(1,2)，(拉格朗日中值定理) 二 f(2) <0而 f(1)=1A0 由零点定理知，在［1,2］上，f (X)有零点. 故应选(B ).
(6)设函数y = f (X )在区间［-1,3 ］上的图形为
f(x)"
X
则函数F (x )= ( f (t )dt 的图形为
(
1
…I'Z :
Z ：
八
1
2
」 >
(5)若f "(X 环变号，且曲线
y = f (X )在点(1,1)上的曲率圆为X 2
+ y 2
=2，则f (x )在
(A )有极值点，无零点. (B )无极值点，有零点. (C 有极值点，有零点.
(D )无极值点，无零点.
-2
二o 4
x
(B ).
f(x)，
/
f(x)'
J
1
,
/ 「
-1
1
2
3
X
-2 / 2 3
-1
【答案】
X =X 0所围的图形的代数面积为所求函数 F(x)，从而可得出几个方面的特征:
A y
的伴随矩阵为(
0丿
【解析】
此题为定积分的应用知识考核，由
y = f(x)的图形可见，其图像与 X 轴及y 轴、 0,1］
时,
F(x) <0,且单调递减.
1,2
］时, F(x)单调递增. ［2,3 ］时, F(x)为常函数. [-1,0 ]时，F(x)<0为线性函数,
单调递增
F(x)为连续函数 ⑤由于 结合这些特点，可见正确选项为 D . (7)设A , B 均为2阶矩阵，A ,
分别为 A ，B 的伴随矩阵.若 |A =2,|B | = 3，则分
\ O g 〔2A *
(B J 3O V 3A
2B
O 丿
块矩阵卩
I B
01
(C )
l
2B O
丿 (D ).
l 3B
【答案】B 【解析】根据 CC* = C E 若 C* = 分块矩阵 f o
A 、 的行列式 2A *)。

丿
1c
I B = 2x3 = 6即分块矩阵可逆
<0 A T r o
I B I B
3B
gA
设A , P 均为
S
'
<
1
0） 3阶矩阵，p T 为p 的转置矩阵，且 p T AP = I 0 0 ，若
(%, a 2,
5
Q
%，
a
3），
‘
2
1 0*
『1
1 0、
(A ). 1 1 1 0
(B ).
1
1 2 0 10 0 2>
10 0 2
丿
J
0 0^
1
c 0 0、 (C ) 0 1 0
(D ).
0 2 0
p 0 2>
卫 0 2>
P = 则Q T
AQ 为（ 【答案】 A
「1
【解析】Q =巴1 +口2,口2巴3）=（%口2严3）
0 =巴1严2巴3）巳2（1），即:
2, L 。

【答案】-2
【解析】1
F ：e
% =2
仁"dx = 2
b^mt e
"
Q = P E I 2
（I ） ,T Q T
AQ = ［PE I 2（1）］' A ［PE I 2（1）］ = E ；2（1）［P 'AP ］巳2
（1）
「1
足1（1） 0 1
0 E I 2（1） 「1
|_0 0 1 0
「
2」
0 0I 「I
01 0
「2 1 01
L 0
2
」L 0
1
J L 0 0 2
J
二、填空题: 9-14小题， 每
小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上 (9)曲线/
x=严 e^du
‘0
在(0，0)处的切线方程为
y =t 2
In （2 -t 2
）
【答案】
y =2X 【解析】
叭
2tln
H£
所以 dt dx dt dy dx
所以
切线方程为y=2x .
（10）
已知『+基0仏=1,则k -
■ —oC
「0
因为极限存在所以k c 0
【答案】0
I n = Je^ sin n xdx = -e^ sin nx + n J
「cos nxdx
-x ・
一x
2.
=-e sin nx — ne cosnx — n I n
e
1
"—
!?
【解析】令
所以I n =
ncosn
x+
sinn
Xerc n 2
+1
旳 r r 1
」. .|. / ncosnx + sinnx 」 即 lim f e sin nxdx = lim(- --- 2 ------- e n F'0 r n +1 ncosn +sinn _i e 0
)
= lim(- n _^
=0 n 2
+1 (12 )设y = y(x)是由方程X
+ 0，=X +1确定的隐函数，则
ex 2 x=0 【答案】-3 【解析】对方程xy +e y =x +1两边关于x 求导有y + xy ' + ye y =1，得y = —£ x + e y ' 'y ' '' '' y ' + xy +ye =1 再次求导可得 2y +xy + y e ^(y )
'2
e y =0， _ 2y ' +(y ')2e y
X +e y (*) =0时，y=0，y （0） =耳=1，代入（*）得 e y(0)=-丿 (13)函数y 【答
案】 2
e e 【解析】 因为
V7 M 2x 毛- 当 y =x
+(y(0))2e 0
T2+1) — 3 (0+e 0)3 = x 2x 在区间（01 ］上的最小值为 y =x 2x (2lnx+2),令 y' = 0得驻点为 x =-为
e 又当
x +2；2+x 2x 2，得 x 2x
y = x 的极小值点，此时
jo ,1 [时，y '(x )<0 ； x ^ I e 丿 2x
y f] J41 =2e e >0， _2 y =e e f - ,/l 时，y '(x )A 0，故 y
在 l e 」 （。

，丄］上递减，在
f- ,1 ］
< e 丿
v e J
而 y (1 )=1， y +(0 ) = I 哩+x = lim 岸
2ln x hm
车亍
2xln x
x
! =e
=e
2
im 吕
x
2
lim /-2x \
-e ®
丿
=1，
(15)(本题满分9分)求极限
(1 -cosx )〔x —ln(1 +tanx)]
lim ------------ 4 ---------- T sin X
(16)(本题满分10分)
计算不定积分J ln(1+ J _ )dx (X A 0). 【解析】
令 得
V X
t 2
-1 (t-1)2
H + x
Jln (1+上-皿=卩 n(1 +t)d
=呼7占丄dt
t 2
—1
't 2
-1t +1
1 1 1 1 1 2
f ------- dt =— f (—-— --------- )dt 」t -1t +1 4 t-1 t +1 (t +1) 1 1 1
-In(t -1)-—In(t +1)+2——+C 4 4 t +1
所以y =x 2
x 在区间(0,1 ］上的最小值为 y d
2丿
(14)设a , P 为3维列向量, p T 为 (2
P 的转置，若矩阵 aP T 相似于j 0
I 0
0" 0 ，则 0 0；
化=
【答案】2 (2
【解析】因为aP T
相似于0 0 0) 根据相似矩阵有相同的特征值， 得到aP T
得特征值
是2,0,0而P T
a 是一个常数，是矩阵 a P T 的对角元素之和，贝U P T a =2+0 + 0 = 2 三、解答题：15- 23小题，共 明、证明过程或演算步骤.
94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 【解析】limO —coHW+tanx)】 X T .4 Sin X 1
X 2 [x — ln(1 +
tanx)] = lim2 ^0 -4
Sin X X 2 =-lim 2
2 x T> sin 2
X
xTn(1+tan X) 1 xTn(1+tanx) 1 =—lim ------ 2 ----- =- 2T si n 2
x 4
sin 2
X
sin 2
X 1 +x 1 t 2
—
所以
c c /VH X In(1 +t) 1 , t +1 1 c
[In(1 + J -- )dx = —2-- +—In -- —----- +C
' V x t2-1 4 t-1 2(t +1)
=xl n(1 + Jt) + 厶n(7^ + 依)-1〒=^+C
Y x 2 2 J1 + x
=xln(1 + J --- ) + -In( J1 + x + 仮)+- X --J x + x2+C
V x 2 2 2
(17)(本题满分10分)
设“f(x+y,x-y,xy )，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与旦点xcy
【解析】
——=f i + f2 + yf a ex
—=fi’ 一£2’
. CZ , c z
”dz =——dx + — dy
e x c y
= (f^f^yf3)d^(f^f；+ xf3)dy
r2
= f l Z 1 + fj (T)+ f l3 J x+ f2/ 1 + f22"「1)+ £23"咲+ fj + y[ f3/ 1+ f32J(T)+ £33"伙] c x d y
P IF " IP IP PP
=f3 +f11 -f22 +xyf33 +(x + y)f13 +(x —y)f23
(18)(本题满分10分)设非负函数y=y(x)(x>0 )满足微分方程xy”-/ + 2 = 0，当
曲线y=y(x )过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴
旋转所得旋转体体积.
【解析】解微分方程xy" —y' + 2=0得其通解y =C i +2x+ C2X2,其中G, C2为任意常数
又因为y =y(x)通过原点时与直线x=i及y = 0围成平面区域的面积为2，于是可得
Ci =0
1
1
C
2 = [ y(x)dx = [ (2x +C 2X 2
)dx =(x 2
+-^x 3
从而C? =3
于是，所求非负函数 y=2x +3x 2
（x>0）
5
2 5 1 ---------------- 2
V1 = .0ii xdy 「0「二—1)dy
9 = -[(2+3y —27r?3y)dy 9 39
=——兀
18
39 51 17
V =5兀一汩兀=J 兀=—兀
18 18 6
（19 ）（本题满分 10分）
D ={(x, y )(x —応 +(y-1 )2 <2,y >x }.
I
【解析】由(X —1)2
+(y —1)2
<2 得 r<2(sin ^+cos ^)，
3兀
—y)dxdy = f 4
f 2®门日"^CO ^)(rco^ -rsin 0)rdr .兀、
4
3.
-sin ^) '(sin 日 + cos ^)彳sin 日 + cos &)2
d 日
又由y =2x +3x 2
可得，在第一象限曲线
f(x)表示为 x = -(J l +3y -1)
3 于是D 围绕y 轴旋转所得旋转体的体积为
V =5花-V i ，其中
C 2
计算二重积分JJ （x-y ）dxdy ，
D
J 1
®
-sin 日)r 1
2(sin
日+ cos 日） 3（如
3
—兀
4— 3 =f -(cos日-sin0)〈sin 9 +cos0) d6 '兀3
4
3
8 4兀8 1
=-f (sin 9 + cos 0 )3d (sin 8 + cos9) = —x —(sin 0 +
cos9)
3 , 3 4
4 3
4 4
兀
兀
4
(20)(本题满分12分)
设y =y(x)是区间(-兀, 兀)内过点(-鼻，鼻)的光滑曲线，当-兀cxcO时，曲线上任
42 42
点处的法线都过原点, 0 <x吒兀时，函数y(x)满足y"+ y+ X =0.求y(x)的表达式.
【解析】由题意，当
一
兀
x
c X £ 0 时，y =- —，即ydy = -xdx，得y2= —x2+ c，
y'
代入y2 = —x2+c得c =兀2，从而有x2+ y2=兀2
当0 <x £兀时，y"+y+x=0得y"+y =0 的通解为y =GCOSx + c2Sinx
令解为y j = Ax +b，则有0 +Ax + b+x = 0 ,得A = —1,b =
0 ,
故y1=—x，得y" + y+x =0 的通解为y=c1cosx tgsinx — x
由于y = y(x)是(—兀，兀)内的光滑曲线，故y在x = 0处连续
于是由y(0 -)= 土兀,y(0+) =0，故G = ±兀时，y = y(x)在x = 0处连续
x 又当-兀v x c O时，有2x+2y ■y' = 0，得y_'(0)=-仝=0，
y
当0 <x 吒兀时，有y' = -c1sin x +C2COSX -1，得y+(0) = C2 T
由/_'(0)=山(0)得C2—1=0，即C2 =1
I —Jj! 2—x2—兀<*<0
故y = y(x)的表达式为y={ , 0或
［一兀cosx+sinx-x,0 兰x<^
y 屮兀2 _x2 , —兀<X <0，又过点匚竺1 ],
[兀 COSX +sinx-x,0<xs I 2 2 丿 所以 y JE -x 2
,
0 cosx +sin X — x,0 < X c 兀
(21)(本题满分11分)
f (x )在［a, b 上连续，在(a,b )可导，则存在
匕 <^(a,b )，使得 f (b )-f (a )= f '(© X b -a ); (n)证明：若函数
f (X '在 x=0处连续，在(0,6 2 >0)内可导，且J im +f '(x )= A ,
则 f ；(0)存在，且 f ：(O )=A .
b —a
根据罗尔定理，可得在 (a,b )内至少有一点使® '(©) = 0,
f'G ) _f (b)-f(a
)=0,. f(b) _f(a) = f '(r )(b -a)
(n)任取x o 迂(0,6)，则函数f(x)满足;
在闭区间 b,X 0】上连续，开区间 (0,x0 )内可导，从而有拉格朗日中值定理可得:
■0亡(
0,冷)匸(0弋)，使得 f'(E x0 )= f(X
0)
：
(0
)
X 0
又由于x imm +f (x )=A ，对上式(*式)两边取0
时的极限可得:
f (x 0) — f (0 )
' H .
3°尸炖+丄X /F m +f 心飞忸+f (Q=A
故 f+(0)存在，且 f+(0) =A .
-1
-
(22)(本题满分11分设A -
-1 1
1 ,匕1 = 1
—4 一
2
丿
厂2
」
^3 ； (I)求满足A® =勺，=勺的所有向量©2,
(I)证明拉格朗日中值定理：若函数
【解析】(I)作辅助函数 ®(x) = f(X)- f (a) - f
(
b)— f
(a)
b
— a
®(a) /(b)；护(X)在闭区间［a,b ］上连续，在开
(X —a)，易验证 ®(x)满足: 区间(a,b )内
可导，且
存在
弓HO 故q , J ,巴3线性无关.
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20
【解析】(I)解方程
求特解，令X ] = X 2 = 0，得x 3 =1
<2
A 2 = I -2
I
I 4
-1
-1 -1、
‘
1 -1 -1 -P
q -1 -1 -T
-1 1 1 1 T 0
0 0 0
T
2
1 1 <0 -4 -
2 -2丿
0 X
2
1
1
丿
0 X
/
r(A) =2故有一个自由变量，令
由Ax =0解得, X 3 = 2， X 2 =—［凶 =1
(A,G) =
n
故匕2 = k1
-1 +
，其中k i 为任意常数
解方程A 2
勺=匕
-2
一1)
(A 2
,q )=1-2
-2
c -1 ) 0—— 2
故有两个自由变量, 2
A X = 0 得 X 1 — 1,
(n)证明:
令
=一1
由 X 2 ，其中k 2为任意常数.
求特解n 2
(n)对(I)中的任一向量 J 匕3, 证明: q , J , J 线性无关.
精品文档 21 由于 -1 k 2 +1 2
-2 一 k 1 一 k 2
2k 1 +1
二 2k 1 k 2 + (2k 1 + 1)(k 2 + 2)- 2k 1 (k 2 + 2)- k 2(2k 1 +1)
弓HO 故q , J ,巴3线性无关.
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22 =（入一a ）[（入一a ）（入一a +1） -1] -[0 +仏一a ）] =（几 _a ）[（A-a ）（A-a +1）-2] =（A —a ）[A 2 —2a A + 几+ a 2 -a -2]
. .1 2 9
=（儿—a ）{[a "2（1—2a ）] --}
=（扎一a ）（扎一a +2）（ A — a — 1）
”/, = a,扎2 = a — 2"3 = a +1
… … 2 2
(n) 若规范形为y 1 + y 2，说明有两个特征值为正，一个为 0.则 若\ =a = 0 ,贝U /2 = -2 <0 ，為=1 ，不符题意
若：宠=0 ，即a = 2，贝U 兀1 = 2 > 0 ,爲=3 > 0，符合
综上所述，故a = 2 •
(23)(本题满分 11 分）设二次型 f （x ,,x 2,x^=ax ,2 tax 2 +（a -1 区 +2x ,X 3 -2^X 3 (n)若二次型 f 的规范形为 2 2
y 1 +y 2
，求a 的值•
1
1 [a 0 1 、
【解析】(I) A = 0 a -1
J -1 a 一
1
」
A — a 0 -1
仏E -A|= 0 A —a 1
=仏
-a ） -1 1 A -a +1
0 A —
a 1 一 -1 1 1） 2）
3） 若爲=0，即 a = -1，则扎1 = 一1 V 0 ,扎2 = -3 V 0 , 不符题意
f 的矩阵的所有特征值;
(I)求二次型 A - a 1 1 Z - a +。