几何计算题中的求线段长度

几何计算题中的求线段长度

章蓓蓓

几何计算题一直是我们各级各类考试中必考题型，它不象证明题有一个明确的求解方向，而是要同学们自己猜想、探究、发现．所以有些同学对几何计算题产生了畏惧心理，每每遇到，便停笔不前．其实几何计算题还是有章可循的，下面以求几何图形中线段长度为例，作一个简单阐述．

仔细回顾我们所做过的几何计算题，大致有如下几类：

一、 用算术方法直接求解

这一类型题目又有不同层次要求．

（1）比如有些问题中要求某条线段长，由中点、中位线、特殊四边形、三角函数、等式性质、相似形、勾股定理等知识直接可解，思路很明显．

例如：

如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=5cm ，BD=12cm ，求梯形ABCD 的中位线长．

分析：要求中位线即要求梯形的两底，而该题的

条件集中在对角线上，所以应将对角线AC 平移

至经过点D ，与BC 延长线交于点E ，则可得口

ACED ，进而可得Rt △BDC ，利用勾股定理可求

出BE=13cm ，也就是两底之和等于13cm ，所以

中位线长为6.5cm ．

（2）而有些题目并不能一眼就看出结果的求法，但只要根据已知条件，将能求的线段尽可能多地求出来，当成为已知的量越来越多，未知的量越来越少，“包围圈”越收越紧时，要求的量便自然“浮出水面”了．

例如：

如图2，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，∠

CAB 的角平分线AE 交BC 于点D ，交半圆O 于点E ．若

AB=10，tan ∠CAB=43，求线段BC 和CD 的长． 分析：根据已知条件易求出AC=8，BC=6，而线段CD 的

长却不易看出，仔细分析条件，发现角平分还没有起到作 A D E B C

O 图1

用，两个圆周角等可以带来一系列相等的量，比如弧、弦、其它的圆周角，但一一作了尝试仍没有发现解题缺口，所以不妨试一试弧中点的另一用法——垂径定理，所以连结EO 、CO ，可得∠COE=∠BOE ，进而可得F 为线段BC 中点，CF=3、OF=4、EF=1．此时再看线段CD ，它与线段CF 重叠，如能求出CD 与CF 的比值，问题便可解了，这可由△ADC 与△EDF 相似先得出CD ：FD=AC ：EF=8：1，所以CD ：CF=8：9，所以CD=

9

8×3=38．该题先求出一系列看似与结果无关的量，最后用相似形解出． 二、 列代数方程求解

在几何计算题中，有一大部分问题用以上方法还不能解决．在这类题目中，我们无法直接求出答案，尽管由已知条件求出一系列可求的量之后，包括目标线段在内仍然有两条以上的线段无法求出．这时应换个角度，去寻找未知线段中某两条线段之间的关系，而线段间的关系往往又离不开由相似形得到的比例式或由勾股定理得到的等式等等，接下来设出可能不止一个未知数，再寻找出相应于未知数个数的关系式，问题便也解决了．不过在关系式的选择中也存在方法的优劣，一个好方法可以为我们减轻计算量，也节省了时间．

例如：

如图3，O 为正方形ABCD 的中心，延长BC

到点F ，使CF=CE ，连接DF ，BE 平分∠DBC ，

交DC 于点E ，交DF 于点G ，连接OG ．

（1） 求证：△BCE ≌△DCF ；

（2） 若GE ·GB=4－22，求正方形ABCD 的

边长． 分析：由边角边很容易证得△BCE ≌△DCF ，进而可得出∠3=∠2=∠1，BG ⊥DF ， △BFG ≌△BDG ，G 是DF 中点，OG 是△DBF 的中位线等等一系列结论，但要求正方形的边长则已知条件还嫌不够，所以先要求出所有能求出的量．观察已知条件是两线段之积的形式，便可想到与相似三角形有关，可以看出与GE 、GB 有关的相似三角形 △BCE ∽△DCF ，所以GD 2=GE ·GB=4－22，由前面说明可知G 是DF 中点，所以DF 2=（2GD ）2=4（4－22）=16－82，另一方面，DF 与CF 、边DC 构成Rt △DCF ，如果能知道CF 与CD 的关系，问题便迎刃而解了．CF 是由BF 减去边长BC

得到的，图3

前面可证BF=BD ，也就是边长的2倍，此时，Rt △DCF 的三边中，一边的平方已知，另两边的关系也已探索出，故可设边长DC=a ，则CF=2a-a ，

列出方程：a 2+（2a-a ）2=16－82，解得a=2，问题获得解决．

像这样的问题所占的比例非常大，当然有的简单，线段间的关系容易看出，而有的较为复杂，就象这道题，关系较为隐蔽，不易被发现，但同学们要记住：相似形和勾股定理用得最为频繁．

三、利用证明结果求解

有些问题中，需要先根据已知条件证明出某两条线段之间具有相等或倍量关系，而其中一条线段长度是已知条件，故而求出另一条线段的长．

例如：

如图4：⊙O1与⊙O2相交于A 、B 两点，点C 、

D 是⊙O1上的点，且AC=AD ，连接CB 、DB 并延

长分别交⊙O2于点E 、F ，已知CB=5，BE=4．

求DF 长．

分析：乍一看本题，很多同学会想到分别求出BD 、BF 长，然后相加，但题中又不具备足够的求线段BD 、BF 长的条件．再观察题目，已知条件似乎很少，但不要忘了圆本身就可以挖掘出很多条件，比如∠C=∠D ，此时再加上条件AC=AD ，如能再找到一对条件，就可以证明出某对三角形全等了．分析到这，就想到连接AE 、AF ，可得∠E=∠F ，由此可得△ACE ≌△ADF ，所以DF=CE=CB+BE=9．

当然，问题不会总是一个模式，同学们在解题时，会碰到各种各样的情况，那就要根据具体情况具体分析，但总体来说，可归纳为以上几种类型．

A C D F

E 。O 1 。O 2 B 图4