【北京市海淀进修】高二第一学期数学期末复习建议

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2024北京海淀高二(上)期末数学(教师版)

2024北京海淀高二（上）期末数学2024.01一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 椭圆C：2222x y +=的焦点坐标为（）A. (1,0)−，(1,0)B. (0,1)−，(0,1) C. ()，) D. (0,，( 2. 抛物线2y x =的准线方程是（）A. 12x =−B. 14x =−C. 12y =−D. 14y =− 3. 直线310x ++=的倾斜角是（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150° 4. 已知点P 与(0,2),(1,0)A B −共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)−B. (1,4)C. 1,12⎛⎫−− ⎪⎝⎭D. (2,1)− 5. 已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B −，且||||4PA PB +=，则2b =（） A. 1B. 2C. 3D. 4 6. 已知三棱柱111ABC A B C 中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在空间直角坐标系O xyz −中，点(2,3,1)−P 到x 轴的距离为（）A. 2B. 3 8. 已知双曲线222:1y C x b−=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A. 3B. 4C. 8D. 9 9. 设动直线l 与()22:15C x y ++=交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A. 2x y a +=B. 2ax y a +=C. 2ax y +=D. x ay a +=10. 如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. 3,2 C. 2,⎡⎣ D. 2,⎡⎣第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11. 双曲线22:14y C x −=的渐近线方程为_________． 12. 如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC −的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．13. 经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +−=垂直的直线方程为_______________．14. 作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．15. 已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13−．给出下列四个结论： ①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. 已知圆222:(2)(0)C x y r r −+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y −−=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．17. 已知直线:1l y kx =+经过抛物线2:2C x py =的焦点F ，且与C 的两个交点为P ，Q ．（1）求C 的方程；（2）将l 向上平移5个单位得到,l l ''与C 交于两点M ，N ．若24MN =，求k 值．18. 如图，四棱锥E ABCD −中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E −−的大小为θ，求cos θ的最大值．19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B −，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 【答案】B【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标. 【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ====，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)−，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2. 【答案】B【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124px =−=−.故选：B.3. 【答案】C【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x ++=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ，故选：C.4. 【答案】B【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =−=−−，由,,P A B 三点共线，则//AP AB ，所以2(2)0x y −+−=，则220x y −+=.选项A ，21(1)250⨯−−+=≠，不满足220x y −+=，故A 错误；选项B ，21420⨯−+=，满足220x y −+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯−−−+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y −+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯−−+=−≠，不满足220x y −+=，故D 错误.故选：B.5. 【答案】C【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B −，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =−=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =. 故选：C.6. 【答案】B【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥ ”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7. 【答案】D【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)−P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz −中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)−P ，则1(2,0,0)P −，(2,3,0)H −，由1PH HP H =，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)−P 到x 轴的距离，则1PP == 故选：D.8. 【答案】C【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b . 【详解】由双曲线222:1y C x b −=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c −，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F = 且12222,1A A a A F c a c ===−=−，所以12c −=，解得3c =，故222918b c a =−=−=.故选：C.9. 【答案】D【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++=，圆心(1,0)C −，半径r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12−，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C −到直线20x y a +−=的距离d =，当6a ≤−或4a ≥时，d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y −+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +−=，此时圆心(1,0)C −到直线240x y +−=的距离d r ===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +−=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由1,0)−在直线(1)0x a y +−=上，可得1a =−，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM =≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k −==−− 此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确. 故选：D.10. 【答案】A【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=−=，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+−⋅∠=+−⨯⨯⨯−= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠=，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥=，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠=时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA −，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11. 【答案】2y x =±【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2b y x x a =±=± 故答案为：2y x =±12. 【答案】异面【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC −是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面. 故答案为：异面.13. 【答案】210x y −+=【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +−=的斜率为12−，则与直线:210l x y +−=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x −=−，即210x y −+=.故答案为：210x y −+=14. 【答案】2268【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解. 【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =+=⨯+⨯=. 故该米斗的容积为32268cm . 故答案为：2268. 15. 【答案】①③④【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ，而这与1213k k ⋅=−矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=−，则1213k k =−，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫−−∠=−===−− ⎪++⎝⎭3tan1202≤−⨯==︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()12222k x x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()122221222222121111112211||||22222k k k k OA OB k k +=+=++++++++，由1213k k ⋅=−，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()9221192212332t t t t +−=+−++=++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤=+=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||||2||2||||||54AC BD OA OB OA OB +=≤=++，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确. 故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. 【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r = （2）【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解. 【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r −+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r −+=>与y 轴相切，则半径2r =. 【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y −+=，圆心(2,0)C ，半径为2. 法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y −−=⎧⎪⎨−+=⎪⎩，得2257010x x −+=， 2(70)42548000∆=−−⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x =−=== 法二：圆心(2,0)C 到直线:3410l x y −−=的距离12d ==<，则AB ===故AB =.17. 【答案】（1）24x y =（2）k =【分析】（1）由直线l 与y 轴交点得焦点F ，待定p 可得方程；（2）联立直线l '与抛物线C 的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k 的方程，求解可得. 【小问1详解】抛物线2:2C x py =的焦点F 在y 轴上，直线:1l y kx =+，令0x =，得1y =，则焦点(1,0)F ，所以12p=，即2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =；【小问2详解】直线:1l y kx =+向上平移5个单位得到:6l y kx '=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx −=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==−，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +−=，解得210k =−（舍）或23k =，所以k =.18. 【答案】（1）证明见解析（2 【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值. 【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz −，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =−=−=−=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+−=−，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，令x λ=，则1y λ=−，于是(,1,0)m λλ=−；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，令21y =，则222,1z x ==−，于是(1,1,2)n =−，所以cos ,6m n m n m n⋅===⋅⋅因为[]0,1λ∈，所以cos ,m n ⎡∈−⎢⎣⎦，由二面角A DN E −−的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=−=−的方向判断可得π,m n θ=−，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为3. 19. 【答案】（1） 22143x y +=（2）存在；12【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B −，则2,1a c ==，2223b a c =−=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点0(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x −=−，即00(2)2y y x x =−−，则点00(,(2))2yD t t x −−，则直线CH 的斜率为002x y −，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y −−+=−+，令0y =,得220(2)4H t y x t x +=+−，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y −=，所以36(2)44H t x t t −=−+=，则6,04t H −⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x −⎛⎫⎛⎫+−+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+−−⎝⎭⎝⎭()22234(36)3(6)1216416t t t −+−=−=−+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.【点睛】按题意结合两点式，点斜式求得点坐标，结合数量积运算及二次函数的最值即可求，思路相对明确，运算要细心，是中档题.。

北京市海淀区2022-2023学年高二上学期期末练习数学试题(含答案解析)

北京市海淀区2022-2023学年高二上学期期末练习数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．QB ．RC ．S 10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，为正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点．下列叙述正确的是（A ．当点P 在侧面11AA D D 上运动时，直线CN 与平面B ．当点P 为棱11A B 的中点时，CN ∥平面BMPC ．当点P 在棱1BB 上时，点P 到平面CNM 的距离的最小值为D ．当点P NC ∉时，满足MP ⊥平面NCP 的点二、填空题11．若复数z 满足()31i i z +⋅=，则z =三、解答题16．已知直线1:1l y =与直线2:2l y kx =-交于点A ，点A 关于坐标原点的对称点为C ，点B 在直线1l 上，点D 在直线2l 上．(1)当1k =时，求点C 的坐标；(2)当四边形ABCD 为菱形时，求k 的值．17．已知曲线M 上的任意一点到点(1,0)的距离比它到直线2x =-的距离小1．(1)求曲线M 的方程；(2)设点(0,1)E ．若过点(2,1)A 的直线与曲线M 交于B ，C 两点，求EBC 的面积的最小值．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，点F 为PD 的中点．(1)已知点G 为线段BC 的中点，求证：(2)若2PA AB ==，直线PC 与平面③这三个条件中选择几个作为已知，使四棱锥（ⅰ）直线CD 到平面ABF 的距离；（ⅱ）二面角B AF C --的余弦值．条件①：PA ⊥平面ABCD ；条件②：22AD =；条件③：平面PAB ⊥平面PAD ．19．已知椭圆2222:1(x y E a b a b+=>>(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(3,0)M -且与x 轴不重合的直线轴的对称点为B '．问：平面内是否存在定点点P 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：【详解】满足2AM AC =，所以M 为AC 中点，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以M 111()()222BD BA BC a b ==+=-+ 111()22B B BM c a b a =+=+-+=- 根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，.【详解】由题意可得直线:l y kx b =+与e 22111b k <⇒<+时，满足221b k <+，即“||1b <”是y kx b =+与22:1O x y +=e 相交时，是“直线l 与O 相交”的充分不必要条件过C 作l 的平行线，过1A 作该平行线的垂线，1|||A A ≥可求出结果.【详解】如图：过C 作l 的平行线，过1A 作该平行线的垂线，垂足为则1ACP α∠=，所以sin α设正方体的棱长为1，则|所以11||1sin ||3A P A C α=≥=所以sin α的最小值是33.故选：A 8．D【分析】先求出直线AB 的方程，确定弦的点M 与圆的位置关系，即可确定【详解】由A ，B （异于坐标原点）是圆不妨得(0,2)A ，(4,0)B ，则直线显然圆心(2,1)在直线AB 上，即弦对于A ，22(02)(01)-+-=对于B ，232(42)(1)2-+-的下方，则MAB △为锐角三角形，故对于C ，2(22)(15-+--错误；【详解】设火星半径为R ，椭圆左焦点为1F ，连接1PF ，则11RMPF PF ∠=，所以1PF 越小，1MPF ∠P 位于条件中点Q 处，对火星的观测角最大NC 与MB 不可能垂直，故选项A 错误；平移错误；利用体积相等即可求出点P 到平面CNM 时，满足MP ⊥平面NCP 的点P 共有1【详解】由于线面角的最大值为2π，MB 不可能垂直，故直线CN 与平面BMP 取DC 的中点为H ，11A B 的中点为Q ,连接11A C //ON HC 且ON HC=故//OH NC15．①③④【分析】设点(),P x y ，求出点P 的轨迹方程，根据曲线对称性的定义可判断①；的方程，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可判断②；据双曲线的定义可判断③；对点P 的位置进行分类讨论，利用二次函数的基本性质可求得12d d +的最小值.【详解】直线1l 的方程为210x y -+=，直线2l 的方程为设点(),,1P x y x ≠，则1215x y d -+=，2x d +=（2）选择条件①和③（ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以∠由题意可知：30∠=︒PCA ，又PA =因为平面PAD ⊥平面PAB ，且平面所以AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAD 则四边形ABCD 为矩形，因为AB =设点D 到平面ABF 的距离为h ，由3（ⅱ）由（ⅰ）可知：AB ，AP ，AD 两两垂直，分别以y 轴建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)A (2,0,0)AB = ，(0,2,1)AF =，(2,2AC = 设平面ABF 的法向量为111(,,)m x y z = ，平面则有·0·0m AF m AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，也即1112020y z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令z 则有·0·0n AF n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，也即2222202220y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令则6cos ,24424m n m n m n<>==+⨯++ 由图可知：二面角B AF C --为锐二面角，。

北京市海淀区2022-2022学年高二第一学期期末练习数学试题解析版

北京市海淀区2022-2022学年高二第一学期期末练习数学试题解析版各各题目均有解析,图文并茂解释答案学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线y某2的倾斜角是（）πA．6πB．42πC．33πD．4答案：Bπ解析由题可知直线斜率为1，故倾斜角为4某2y21132.焦点在某轴上的椭圆m的离心率是2，则实数m的值是（）A．49B．4C．13D．4答案：Ae解析：因为离心率c1a2故m=43.一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（）各各题目均有解析,图文并茂解释答案A．88B．316C．3D．6答案：B182223解析：易知此几何体为底边长为2，高为2的正四棱锥，其体积为322O:某y1，直线l:3某4y30，则直线l被圆O所截的弦长为（）4.已知圆6A．5B．18C．5D．2答案：C解析：385圆的半径为1，故弦长为55.命题“k0，使得直线yk某2的图象经过第一象限”的否定是（）A．k0，使得直线yk某2的图象不经过第一象限B．k0，使得直线yk某2的图象经过第一象限C．k0，使得直线yk某2的图象不经过第一象限D．k0，使得直线yk某2的图象不经过第一象限各各题目均有解析,图文并茂解释答案答案：C解析：命题的否定要注意以下两点①全称量词和存在量词要交换②保留条件不变，结论变为相反结论。

故选B。

注意命题的否定与否命题的区别。

6.已知等差数列{an}，则“a2a1”是“数列{an}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：Caand0即等差数解析：必要性显然；若a2a1，则等差数列{an}的公差d0故n1列{an}为单调递增数列，充分性得证；故选C7.已知正四面体ABCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．B．C．D．FBC，EFADFBC，EFACFBC，EFFBC，EF∥AC答案：A解析：当F为BC中点时，满足EFADDC各各题目均有解析,图文并茂解释答案W|y|1,则曲线W上的点到原点距离的最小值是（）8．已知曲线1A．2B．C．2D1答案：C222某212yW|y|1某y12yy解析：由题化简得12y,y0某12y,y0如图示：即2考虑到对称性，设曲线W上的点P某,yOP1y2二、填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.9.已知直线答案：1解析：由题1a0解得a12某ay10与直线ya某平行，则实数a___.某2y2116910.双曲线的渐近线方程为________________.3y某4答案：y解析：双曲线渐近线方程是b某a各各题目均有解析,图文并茂解释答案某2y21251611.椭圆上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离是6答案：6解析：由题2a10根据椭圆定义可知P到另一个焦点的距离是6某2y2C221(ab0)ab12.已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若等边△F1F2P 的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为______.答案：2解析：如图：e可知c1a2，且l，在l上有两点A,B,线段AC，线段BD，13.已知平面ACl,BDl,AB4,AC3,BD12,则线段CD的长为13.答案：13解析：因为DCDBBAAC各各题目均有解析,图文并茂解释答案2∴DCDBBAAC2DBBAAC169222故DC132A(1,0)y14.已知点,抛物线4某的焦点为F，点P(某,y)在抛物线上，且|AP|PF|，则|OP|___.解析：PM∴直线PA倾斜角4可知P坐标如图，由抛物线形性质可知PFPM故PA1,2故OP三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.（本小题共10分）22A(0,2)O:某y1.已知点,圆(I)求经过点A且与圆O相切的直线方程；(II)若点P是圆O上的动点，求OAAP的取值范围.答案：(I)所求的直线方程为y2或y2.(II)OAAP[6,2].解析：（I）由题意知道，所求直线的斜率存在，设切线方程为yk某2,即k某y20，-------------1分所以圆心O到直线的距离为d，-------------3分各各题目均有解析,图文并茂解释答案d所以，解得k分所求的直线方程为y2或y2.-------------5分（II）设点P(某,y)，所以OA(0,2)，AP(某,y2)，-------------6分所以OAAP2(y2).-------------7分22又因为某y=1，所以1y1,-------------9分所以OAAP[6,2].16.（本小题共12分）22l:y某tC:某2y2交于A,B两点.已知直线与椭圆(I)求椭圆C的长轴长和焦点坐标；|AB|(II)若，求t的值.答案：(I)长轴为2a焦点坐标分别为F1(1,0),F2(1,0)(II)t122某2y2,解析：（I）因为某2y21所以2，-------------1分所以ab1，所以c1,-------------3分所以长轴为2a焦点坐标分别为F1(1,0),F2(1,0).-------------4分（II）设点A(某1,y1),B(某2,y2).某22y22022y某t因为,消元化简得3某4t某+2t20,-------------6分各各题目均有解析,图文并茂解释答案16t212(2t22)=248t204t某1+某232t22某1某23所以-------------8分所以|AB某1某2|，-------------10分又因为|AB，解得t1.-------------12分17.（本小题共12分）如图所示的几何体中，直线AF平面ABCD，且ABCD为正方形，ADEF 为梯形，AF2DE=2a.DE∥AF，又AB1，(I)求证：直线CE∥平面ABF；BD平面ACF(II)求证：直线(Ⅲ)若直线AECF，求a的值.答案：(I)略(II)略(Ⅲ)解析：a（I）因为ABCD为正方形，所以AB又DE∥AF，且ABCD.-------------1分AFA,CDDED.所以平面ABF∥平面DCE.-------------3分各各题目均有解析,图文并茂解释答案而CE平面EDC,所以CE∥平面ABF.-------------4分(II)因为ABCD为正方形，所以ACBD-------------5分因为直线AF 平面ABCD，所以AFBD，-------------6分因为AF所以直线BD平面ACF.-------------8分(Ⅲ)连接FD.因为直线AF平面ABCD，所以AFCD，又CDAD,ADAFA所以CD平面ADEF，-------------9分所以CDAE.又AECF,FC CDC,所以AE平面FCD，所以AEFD.-------------11分所以EADFDAπ2,所以tanEADa111tanEAD2a解得a.-------------12分18.（本小题共10分）某2y2A(0,3)的直线与椭圆交于P,Q两点.3已知椭圆4，经过点|PO||PA|，求点P的坐标；S△OAP=S△OPQ，求直线(II)若PQ的方程.各各题目均有解析,图文并茂解释答案3333P(1,)P(1,)y某3，y某3PQ2222答案：(I)或.(II)直线的方程为.解析：（I）设点P(某1,y1),由题意|PO||PA|,所以点P在OA的中垂线上，而OA的中垂线为把其代入椭圆方程，求得某11.y33y12,所以有2.-------------2分33P(1,)P(1,)2.-------------4分2或所以(II)设Q(某2,y2).根据题意，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为yk某3,3某24y2120yk某3所以.22(34k)某24k某240,消元得到(24k)296(34k2)024k某1+某234k224某某12234k所以-------------6分因为所以S△OAP=S△OPQ，,S△OAQ=2S△OPQ11|OA||某1|=2|OA||某2|2即2-------------7分所以有|某1|=2|某2|，-------------8分因为某1某2240234k,所以某1，某2同号，所以某12某2.各各题目均有解析,图文并茂解释答案某12某224k某1某234k224某某1234k2，-------------9分所以解方程组得到k32,经检验，此时0,y33某3，y某322或.-------------10分所以直线PQ的方程为法二：设Q(某2,y2)，因为S△OAP=S△OPQ，所以|AP||PQ|.-------------6分即点P为线段OQ的中点，所以某2=2某1,y22y13.-------------7分把点P,Q的坐标代入椭圆方程得到某12y1214322(2某1)(2y13)134-------------8分某11某1133yy1212解方程组得到或者,33P(1,)P(1,)2.-------------9分2,或者即k33k2,2或者33某3，y某322.-------------10分所以直线PQ的斜率为所以直线PQ的方程为y各各题目均有解析,图文并茂解释答案说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

2015年海淀区高二数学第一学期期末复习建议

2015年海淀区高二数学第一学期期末复习建议一、学生学习表现及成因分析：1、立体几何学习现状调查2、解析几何学习现状调查二、本主题的内容解读1、本学期期末考试的范围：理科：必修2（立体几何初步、平面解析几何直线和圆）选修2-1（常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何）文科：必修2（立体几何初步、平面解析几何直线和圆）选修1-1（常用逻辑用语、圆锥曲线与方程）试题结构：10道选择题，6道填空题，每小题4分，三道解答题：直线与圆、立体几何、圆锥曲线，共36分满分100分2、高中数学“课标”解读：理科：立体几何初步的教学中，教学重点是帮助学生建立空间想象能力，认识空间几何体的结构特征，并能巩固和提高有关三视图的学习和理解，运用要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明；对相应的判断定理要求直观感知、操作确认，系列2（理科）中将用向量方法加以论证。

（“课标”P22页）平面解析几何初步的教学中，经历将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题，帮助学生不断体会数形结合的思想方法。

（“课标”P23页）在常用逻辑用语的教学中，特别注意考虑命题给出的条件和结论，对“命题的逆否命题、否命题与逆命题”，只要求做一般性了解，对逻辑关联词“或”、“且”、“非”的含义要求通过教学实例加以了解，正确表述相关内容，理解量词的含义，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。

（“课标”P54页）展示平面截圆锥得到椭圆的过程，加深对圆锥曲线的理解，已学习过的曲线为例，注重使学生体会曲线与方程的对应关系，感受数形结合的数学思想。

（“课标”P55页）空间向量的教学引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，教学过程注意维数增加所带来的影响，鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。

高二数学期末考试复习建议

高二数学期末考试复习建议离期末考试已经不远了，半年的学习情况即将透过这场考试反应出来，从而为寒假、下学期作准备，所以考生们应该从现在开始做期末考试的复习计划，下面学思堂教育教育研究院数学组的老师给了大家一些关于高二数学期末考试的复习建议，供大家参考。

首先，数学也有需要“死记硬背”的内容。

很多人的观念里数学是不需要记忆的，其实这是错误的想法，很多数学原理、公式是需要同学们在理解了的基础上进行记忆的，这是基础知识的保障，只有基础没漏洞了、课本知识梳理结束了才可以进行下一步的复习。

其次，大家要明白的是一般高中的考试基础题型都会占到60%左右的比例，高二数学期末考试关于利用导数求函数单调性的步骤、数学归纳法的基本思路和步骤、排列组合中的分类讨论、排除法问题、用二项式定理求展开式中某项系数问题、服从典型分布的离散型随机变量问题等内容是期末考试基础题里必不可少的考察内容，这就意味着同学们要把这些版块的内容烂熟于心，在平时的复习和做题练习过程中可以有意识地梳理题型和答题步骤，做到基础题尽量不丢分。

此外，很多同学都会有这样一种感觉，就是平时的练习题、单元小测这些多做的不错，但是一到月考、模拟考这样的情景就会考不好。

这里思堂教育教育研究院数学组的老师认为造成这种现象的原因往往是因为同学们平时做题时比较懒散、速度不够快，且没有计时交卷的压力。

我们建议大家在考前复习阶段，平时的练习可以给自己计时，按照考试的要求做题。

最后，关于考试中都会有的难题内容，期末考试的大部分难题一般都是改编或直接引用的往年高考真题、模拟考试的真题，所以在基础复习准备好以后再有针对性的攻克难题就会得心应手一些，近1-2年的高考数学卷、模拟卷做一遍掌握一些难题答题技巧是必要的，即便不是为了押题，对同学们的能力提升也是很有帮助的。

以上几点内容就是学思堂教育教育研究院数学组的老师为大家整理的关于高二数学期末考前复习的建议，希望可以对高二的同学们可以有一些帮助，同时也预祝大家在即将到来的期末考试中取得不错的成绩。

高二数学期末考试复习的几点建议-精选教学文档

高二数学期末考试复习的几点建议?期末考试首先是模块通过的考试，因此一定要保证自己的基础知识没有漏洞，细致的对照课本和辅导书梳理所有的知识点是必不可少的。

概念理解了，才能不把数学学成“生搬硬套，死记硬背”。

这部分的内容比如导数的几何意义，排列组合中的基本计数原理。

期末考试中占分值最多的还是基本题，学生在复习的时候要有意识主动梳理典型题型的解题步骤和易错要点，做到基本题绝不丢分。

比如利用导数求函数单调性的步骤，数学归纳法的基本思路和步骤，排列组合中的分类讨论、排除法问题，用二项式定理求展开式中某项系数问题，服从典型分布的离散型随机变量问题。

这类问题一旦在平时训练和考试中出现，必须迅速识别准确计算，保证自己上高三之前已经做到“烂熟于心”。

很多同学感觉自己日常做题不错，一到考试就出问题，往往是因为自己平时做题不够快，而考试有时间限制和压力的情况下，发挥不出来。

因此，在临近期末复习的时候，还要注意控制自己的做题时间。

基本题小题应该在1~2分钟以内完成，基本题大题应该在5~7分钟以内完成，超过就是不合理的，说明熟练度不够，还要加强平时练习。

期末考试也一定会有一些难题是控制区分度的，而这些难题有很大部分直接引用或改编自往年的高考真题、高三一二模
练习题。

因此，学生在已经完全熟练掌握基本题的基础之上，多练习近1~2年的高三题目是非常有必要的。

这倒不是为了押题，而是通过这个环节提升自己处理复杂逻辑题目的能力，感受最新命题趋势，从而提高处理综合难题的能力。

学习不是为了分数，但是分数确实能在一定程度上体现知识的掌握。

好的复习计划，不是为了押题提分，而是为了系统梳理自己学过的知识，真的把教材上的内容变成自己的收获。

高二上学期数学期末复习安排

高二上学期数学期末复习安排凡事预则立，不预则废。

考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面小编为大家整理的高二上学期数学期末复习计划，希望对大家有所帮助!高二上学期数学期末复习规划一.指导思想做好高二数学必修二、选修2-1、选修2-2复习课教学，对大面积提高教学质量起着重要作用。

高二数学期末复习应达到以下目的：(1)使所学知识系统化、结构化、让学生将一学期来的数学知识连成一个有机整体，更利于学生理解;(2)少讲多练，巩固基本技能;(3)抓好方法教学，归纳、总结解题方法;(4)做好综合题训练，提高学生综合运用知识分析问题的能力。

二.复习措施高二数学复习计划，对指导学生进行系统复习，具有明显的导向作用，计划如何与复习效果关系甚为密切，高二数学复习计划的制定应注意：1.认真钻研教材，确定复习重点。

确定复习重点可从以下几方面考虑：⑴.根据教材的教学要求提出四层次的基本要求：了解、理解、掌握和熟练掌握。

这是确定复习重点的依据和标准。

对教材要求”了解”的，让学生知其然即可;要求”理解”的，要领会其实质，在原有的基础上加深印象;要求”掌握”的，要巩固加深，对所涉及的各种类型的习题，能准确的解答;要求”熟练掌握”的，要灵活掌握解题的技能技巧。

⑵.熟识每一个知识点在高中数学教材中的地位、作用。

⑶.熟悉近年来试题型类型，以及考试改革的情况。

2.正确分析学生的知识状况。

(1).是对平时教学中掌握的情况进行定性分析;(2).是进行摸底测试。

3.制定复习计划。

根据知识重点、学生的知识状况及总复习时间制定比较具体详细可行的复习计划。

一般复习计划主要内容应包括系统复习安排和综合复习安排，系统复习必修二、选修2-1、选修2-2的每一章节内容，要计划好复习时间、复习重点、基本复习方法;计划好如何挖掘教材，使知识系统化;训练哪些方法、培养哪些能力、掌握哪些数学思想等。

综合复习应注意对高二数学完成由厚到薄的转变;培养学生综合应用知识解决问题的能力;使知识系统化、熟练化，形成技能技巧，促进数学能力的提高，形成知识体系。

2022-2023学年北京市北京市海淀区高二年级上册学期数学期末复习试题【含答案】

2022-2023学年北京市北京市海淀区高二上学期数学期末复习试题一、单选题1．已知复数满足，若为纯虚数，则的值为（）z (34i)4i()z b b -=+∈R z b A ．B ．C ．4D ．34-3-【答案】D【分析】首先变形求出的表达式，再根据纯虚数的定义求解即可.z 【详解】∵，，()()34i 4i z b b -=+∈R ()()()()4i 34i 124316i 4i 34i 2525b b b b z ++-+++∴===-因为为纯虚数，z 124033160b b b -=⎧⇒=⎨+≠⎩故选：D2．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足αβγ、、a b c 、、,,a b c αβγ⊆⊆⊆a b c 、、以下哪种关系A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【答案】B【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能//a b ,a b ,αβc 存在，可得正确结果.////a b c 【详解】设，且与均不重合l αβ= l ,a b 假设：，由可得：，////a b c //a b //a β//b α又，可知，l αβ= //a l //b l 又，可得：////a b c //c l因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面,,αβγl γl c 若与或重合，同理可得与相交或异面l a b l c 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.3．“m =0是“直线与直线之间的距离为2”的（）()12110mx m l y +-+=：()22110l mx m y +--=：A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据平行线间的距离公式可得或，进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.0m =45m =【详解】两条平行线间的距离，即，解得或，2d ==2540m m -=0m =45m =即“”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件.0m =故选：A.4．如图所示，在平行四边形中，，沿将折起，使平面平面ABCD AB BD ⊥BD ABD △ABD ⊥，连接，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面的对数为（）BCD AC ABCDA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用线面垂直得到平面平面，平面平面，平面平面，ABD ⊥BCD ABC ⊥BCD ACD ⊥ABD 得到答案.【详解】平面平面，平面平面，ABD ⊥BCD ABD ⋂BCD BD =，平面，故平面，平面，故平面平面；AB BD ⊥AB ⊂ABD AB ⊥BCD AB ⊂ABC ABC ⊥BCD ，平面，故平面，平面，故平面平面；CD BD ⊥CD ⊂BCD CD ⊥ABD CD ⊂ACD ACD ⊥ABD 综上所述：平面平面；平面平面；平面平面；ABD ⊥BCD ABC ⊥BCD ACD ⊥ABD 故选：C5．直线被圆截得的弦长的最小值为（）:310l ax y a --+=22:(1)(2)25C x y ++-=A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】确定直线过定点，当时，直线被圆截得的弦长最短，计算即可.()3,1P PC l ⊥l C 【详解】直线，即，直线过定点，:310l ax y a --+=()310a x y --+=l ()3,1P 圆的圆心为，，当时，直线被圆截得的弦长最短.C ()1,2C -=5r PC l ⊥l C因为，所以弦长的最小值为.PC ===故选：B6．在平面内，，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（）A B C 1AC BC ⋅=C A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】A【分析】设出、、的坐标，利用已知条件，转化求解的轨迹方程，推出结果即可．A B C C 【详解】解：在平面内，，是两个定点，是动点，A B C 不妨设，，设，(,0)A a -(,0)B a (,)C x y 所以，(),AC x a y =+(),BC x a y =-因为，1AC BC ⋅= 所以，即，()()21x a x a y +-+=2221x y a +=+所以点的轨迹为圆．C 故选：A ．7．与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴的长为（）22148x y -=()2,4A ．B ．C ．2D ．4【答案】D【分析】依题意，设双曲线的方程为，将点的坐标代入可求．即可求解.()22048x y λλ-=≠()2,4λ【详解】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，22148x y -=()22048x y λλ-=≠该双曲线经过点，()2,4．416148λ∴=-=-所求的双曲线方程为：，即．∴22148x y -=-22184y x -=所以，2b =所以虚轴长为4.故选：D8．已知，，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置()0,0O ()3,0A (),P x y 2PAPO=P ()2221x y -+=关系是（）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离【答案】B【分析】由题意求出动点的轨迹方程,再由两圆圆心距与半径的关系判断.P 【详解】设,由题意可知,(,)P x y ()222222||4||,(3)4PA PO x y x y =∴-+=+ 整理得,点的轨迹方程为,P 22(1)4x y ++=其图形是以为圆心，以2为半径的圆，(1,0)-而圆的圆心坐标为,半径为1,22(2)1x y -+=(2,0)可得两圆的圆心距为3,等于,213+=则动点的轨迹与圆的位置关系是外切.P 22(2)1x y -+=故选：B.9．已知点是抛物线上的动点，点A 的坐标为，则点到点A 的距离与到轴的距P 24x y =()12,6P x 离之和的最小值为（）A ．13B ．12C ．11D 【答案】B【分析】作出辅助线，利用抛物线定义得到点到点A 的距离与到轴的距离之和P x ，由两点之间，线段最短，得到距离之和的最小值为，求出答案.1PA PH PA PF +=+-1AF -【详解】如图，⊥轴，连接，PH x PF 由抛物线定义得：抛物线的准线方程为，焦点坐标为，24x y =1y =-()0,1故，1PH PF =-则点到点A 的距离与到轴的距离之和，P x 1PA PH PA PF +=+-连接，与抛物线交于点，此时，AF P '11P A P F AF ''+-=-故点到点A 的距离与到轴的距离之和的最小值为，P x 1AF -其中，故最小值为.13AF ==112AF -=故选：B10．设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以1F 2F C ()222210,0x y a b a b -=>>A 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的12F FM N 135MAN ∠=︒离心率为（）ABC ．2D【答案】D【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从222x y c +=by xa =(),M a b MAO ∠a b 与而进一步解出答案.【详解】依题意得, 以线段为直径的圆的方程为 ,12F F 222x y c +=双曲线的一条渐近线的方程为.C b y x a =由以及222,,b y x a x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩222,a b c +=解得或,x a y b =⎧⎨=⎩,.x a y b =-⎧⎨=-⎩不妨取 , 则.(),M a b (),N a b --因为,(),0,135A a MAN ∠-=所以 ,45MAO ∠=又,tan 2b MAO a ∠=所以,12b a =所以 ,2b a =所以该双曲线的离心率 e ==故选：D.二、填空题11．在复数范围内分解因式：___________.44x +=【答案】()()()()1i 1i 1i 1i x x x x +--+++--【分析】因式分解第一步将，第二步()()2422i 4i 2x x x =+-+=()()2222i 1i xx +=-- 综合起来即可得到答案.()()2222i 1i xx -=-+【详解】由题意知()()()()22222242i 2i 14i 1i x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=+---+⎣⎦⎣⎦故答案为：.()()()()1i 1i 1i 1i x x x x +--+++--12化简后为______．10=【答案】2212516y x +=【分析】运用方程的几何意义得出结果.【详解】解：，10+=故令，，(),M x y ()10,3F -()20,3F ∴，1212106MF MF F F +=>=∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆，()10,3F -()20,3F 210a =即，，，5a =3c =4b =∴方程为.2212516y x +=故答案为：.2212516y x +=13．已知集合，，若集合中有2个元素，则实数(){,A x y x ==(){},B x y y x b ==+A B ⋂b 的取值范围是______【答案】(1⎤-⎦【分析】首先分析集合、的元素特征，再数形结合求出参数的取值范围.A B b 【详解】解：由，所以，x =0x ≥221x y +=()0x ≥所以表示以为圆心，为半径的圆在轴及右侧部分的点集，(){,A x y x ==()0,01y 集合表示直线上的点集，(){},B x y y x b ==+y x b =+集合与集合都是点集，集合中有个元素，A B A B ⋂2由，解得1d ==b =由图可知，即.1b <≤-(1b ⎤∈-⎦故答案为：(1⎤-⎦14．已知实数满足，则的最大值为__________.,x y 2222x y x y+=+4yx -【答案】1【分析】由曲线方程画出曲线所表示的图形，将看作曲线上的点与坐标为的点连线的斜4y x -()4,0率，求出最大值.【详解】由“”和“”代入方程仍成立，所以曲线关于x 轴和y 轴对称，故只x -y -2222xy x y+=+需考虑，的情形，0x ≥0y ≥此时方程为，即，所以的轨迹如下图，2222x y x y +=+()()22112x y -+-=(),x y，表示点和连线的斜率，由图可知，当曲线第四象限部分半圆（圆心为044y y x x -=--(),x y ()4,0l l.()1,1-设：，解得或（舍去），l ()4y k x =-1k =17-所以的最大值为1.4yx -故答案为：1.15．在正方体中，N 为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个1111ABCD A B C D -ABCD P 11A D 端点），为线段的中点，则下列说法中正确的序号是________________．M AP①与是异面直线；CM PN ②；CM PN >③平面平面；PAN ⊥11BD B ④过三点的正方体的截面一定是等腰梯形．,,P A C 【答案】②③④【分析】连接NC ，根据平面几何知识可得CN ，PM 交于点A ，可判断①；分别在△MAC 中，和在△PAN 中，运用余弦定理求得CM 2和PN 2，比较大小可判断②；证明与平面后可得面AN 11BDD B 面垂直，可判断③；作出过三点的截面后可判断④．,,P A C 【详解】解：连接NC ，因为共线，即交于点，共面，,,C N A ,CN PM A因此共面，①错误；,CM PN 记，则，PAC θ∠=2222212cos cos 4PN AP AN AP AN AP AC AP AC θθ=+-⋅=+-⋅，2222212cos cos 4CM AC AM AC AM AC AP AP AC θθ=+-⋅=+-⋅又，AP AC <，，即．②正确；22223()04CM PN AC AP -=->22CM PN >CM PN >由于正方体中，，平面，平面，AN BD ⊥1BB ⊥ABCD AN ⊂ABCD 所以，因为，平面，1BB AN ⊥1BB BD B ⋂=1,BB BD ⊂11BB D D 所以平面，AN ⊥11BB D D 因为平面，AN ⊂PAN 所以平面平面，即平面平面，③正确；PAN ⊥11BDD B PAN ⊥11BD B过点作交于点，连接，由正方体性质知，，P 11//PK A C 11C D K 11,KC A C 11//A C AC 所以，共面，且，//PK AC ,PK AC 11A P C K =故四边形就是过P ，A ，C 三点的正方体的截面，PKCA 因为，为线段上的动点（不包括两个端点），P 11A D 所以，，PK AC ≠2222221111AP A P A A C K C C CK =+=+=故四边形是等腰梯形，故④正确．PKCA 故答案为：②③④.三、解答题16．已知直线():10l x m y m +--=(1)若直线的倾斜角，求实数m 的取值范围；ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(2)若直线l 分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求面积的最小值及此AOB 时直线l 的方程．【答案】(1)01m ≤≤(2)最小值为2，直线l 方程为：．AOB S 20x y +-=【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的范围可得的不等式，解不等式可得；m （2）由题意可得点和点，可得，由基本不0,1m B m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭(),0A m 111[(1)2]221S OA OB m m ==-++-等式求最值可得．【详解】（1）解：由题意可知当时，倾斜角为，符合题意1m =2π当时，直线l 的斜率1m ≠11k m =-∵倾斜角，∴．[)ππ,tan 1,42k αα∞⎡⎫∈⇒=∈+⎪⎢⎣⎭11011m m ≥⇒≤<-故m 的范围：．01m ≤≤（2）解：在直线l 中：令x ＝0时，即，令y ＝0时x ＝m ，即1m y m =-0,1m B m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭(),0A m 由题意可知：得001x m m y m =>⎧⎪⎨=>⎪-⎩1m >即()()()2212111112212121AOBm m m m S OA OB mm m m -+-+=⋅=⋅==---△()1111222212m m ⎡⎤⎡⎤=-++≥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦当且仅当时取等号，()2111121m m m m -=⇒-=⇒=-故最小值为2，此时直线l 方程为：．AOB S 20x y +-=17．已知圆经过点，，且______．从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横E ()0,0A ()2,2B 线处，并解答．①与轴相切；②圆恒被直线平分；③过直线与直线y E ()20R mx y m m --=∈440x y +-=的交点C ．240x y --=(1)求圆的方程；E (2)求过点的圆的切线方程．()4,3P E 【答案】(1)任选一条件，方程都为22(2)4x y -+=(2)或4x =512160x y -+=【分析】(1) 选①，设圆的方程为，根据题意列出方程组，求解即可；E 222()()x a y b r -+-=选②，由题意可得直线恒过为圆的圆心，代入A 点坐标即可求解；20mx y m --=(2,0)E 选③，求出两直线的交点为，根据圆过A ，B ，C 三点求解即可；(4,0)C E (2)先判断出点P 在圆外，再分切线的斜率存在与不存在分别求解即可.E 【详解】（1）解：选①，设圆的方程为，E 222()()x a y b r -+-=由题意可得，解得，则圆的方程为；222222(2)(2)a ra b ra b r ⎧=⎪+=⎨⎪-+-=⎩202a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩E 22(2)4x y -+=选②，直线恒过，20mx y m --=(2,0)而圆恒被直线平分，E 20(R)mx y m m --=∈所以恒过圆心，因为直线过定点，20mx y m --=20mx y m --=(2,0)所以圆心为，可设圆的标准方程为，(2,0)222(2)x y r -+=由圆经过点，得，E (0,0)A 24r =则圆的方程为．E 22(2)4x y -+=选③，由条件易知，(4,0)C 设圆的方程为，2222(4)00x y Dx Ey F D E F ++++=+->由题意可得，解得，082201640F D E F D F =⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩400D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的方程为，即．E 2240x y x +-=22(2)4x y -+=综上所述，圆的方程为；E 22(2)4x y -+=（2）解：因为，所以点P 在圆外，22(42)3134-+=>E 若直线斜率存在，设切线的斜率为，k 则切线方程为，即3(4)y k x -=-430.kx y k --+=，解得．2512k =所以切线方程为，512160x y -+=若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意．4x =综上过点的圆的切线方程为或．(4,3)P E 4x =512160x y -+=18．如图，在三棱一中，为等腰直角三角形，.-P ABC ABC π,2BAC ∠=π3PAC PAB ∠=∠=(1)求证：;PA BC ⊥(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.24PA AC ==PAB PBC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取中点，连接以及，先证明，再根据线面垂直的判定证BC D AD PD ACP ABP ≌△△明平面，进而根据线面垂直的性质证明即可；BC ⊥PAD （2）根据角度关系，结合线面垂直的判定可得平面，再根据线线垂直，以为原点，AC ⊥CPE A 为轴，为轴，建立空间直角坐标系，再分别计算平面与平面的法向量求解即AB x AC y PAB PBC 可.【详解】（1）证明：取中点，连接以及，如图2，BC D AD PD图2在和中，，，，ACP △ABP AB AC =AP AP =PAC PAB ∠=∠所以ACP ABP ≌△△所以，所以CP BP =PD BC⊥又因为，平面，平面，，AD BC ⊥AD ⊂PAD PD ⊂PAD AD PD D = 所以平面BC ⊥PAD又因为平面，所以AP ⊂ADP PA BC⊥（2）在平面中，过点作，垂足为，连接，，，如图3，PAD P PE AD ⊥E CE BE PE图3由（1）平面，则，则平面BC ⊥PAD BC PE ⊥PE ⊥ABC 在中，，，同理PCA π3PAC ∠=π22AP AC PCA =⇒∠=π2PBA ∠=∵，，且，平面，则平面.AC PE ⊥AC CP ⊥PE CP P ⋂=,PE CP ⊂CPE AC ⊥CPE 又∵平面，∴，同理可得，CE ⊂CPE A C CE ⊥AB BE ⊥则四边形为正方形，ABCE，则在中，可求出2AB AC BE CE ====Rt PBE △PB =PE =则以为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，A AB x AC y则，，，，()0,0,0A ()2,0,0B ()0,2,0C (2,2,P设平面的法向量为，，，PAB (),,m x y z =()2,0,0AB =(0,2,BP =则，令，则，2020x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩1y =0x=0,1,z m ⎛=⇒= ⎝ 设平面的法向量为，，，PBC (),,n x y z =()2,2,0CB =-(0,2,BP =则，令，则，22020x y y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩1x =1y=1,1,z n ⎛=⇒= ⎝ 记二面角的平面角为，A PBC --θ则cos m nm n θ⋅===⋅又因为为锐角，则θcos θ=19．已知椭圆C ：与椭圆的离心率相同，为椭圆C 上()222210x y a b b a +=>>22184x y +=P ⎫⎪⎪⎭一点.(1)求椭圆C 的方程.(2)若过点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问以AB 为直径的圆是否经过定点？若1,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭T 存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.T 【答案】(1)2212y x +=(2)存在的坐标为，理由见解析T (1,0)-【分析】（1）先求出椭圆，由此得到，将点的坐标代入椭22184x y +=222a b =P 圆，得到，再代入，解得，，则可得结果；C 221112b a +=222a b =21b =22a =（2）先用两个特殊圆求出交点，再猜想以AB 为直径的圆经过定点，再证明猜想，(1,0)-(1,0)T -设直线，并与联立，利用韦达定理得到，，进一步得到，1:3l x my =+2212y x +=12y y +12y y 12x x +，利用，，，证明即可.12x x 12y y +12y y 12x x +12x x 0TA TB ⋅=【详解】（1）在椭圆中，，，离心率22184x y +=1a =12b=12c ==e =11c a ==在椭圆C ：中，()222210x y a b b a +=>>c e a ===，=222a b =因为在椭圆C ：上，P ()222210x y a b b a +=>>所以，所以，所以，，221112b a +=2211122b b +=21b =22a =所以椭圆.22:12y C x +=（2）当直线的斜率为0时，线段是椭圆的短轴，以AB 为直径的圆的方程为，l AB 221x y +=当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，以AB 为直径的圆的l l 13x =2212y x +=43y =±方程为，22116()39x y -+=联立，解得，2222111639x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩10x y =-⎧⎨=⎩由此猜想存在，使得以AB 为直径的圆是经过定点，(1,0)T -(1,0)T -证明如下：当直线的斜率不为0且斜率存在时，设直线，l 1:3l x my =+联立，消去并整理得，221312x my y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x 22128(0239m y my ++-=，224184()0929m m ∆=++⋅>设、，11(,)A x y 22(,)B x y 则，，122213()2m y y m +=-+122819()2y y m =-+则，121212112()333x x my my m y y +=+++=++2222133()2m m =-++121211()()33x x my my =++2121211()39m y y m y y =+++22228211199()9()22m m m m =--+++，22101199()2m m =-++因为TA TB⋅1122(1,)(1,)x y x y =+⋅+1212(1)(1)x x y y =+++1212121x x x x y y =++++222221012281111939()3()9()222m m m m m =-+-++-+++2216816199()2m m +=-++，0=所以，所以点在以为直径的圆上，TA TB ⊥(1,0)T -AB 综上所述：以AB 为直径的圆是经过定点.(1,0)T -【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。

海淀区12月进修

英语高三英语初二
1.高三复习之路（7）特级教师专项辅导 “英语阅读能力培养与课堂教学” 2.英语试题研究期末复习指导
英语初三
英语阅读教学的策略和课堂活动设计
英语高一 1.讲座：英语教学中的文化意识培养
二十中学李蕊
王灵芝二十中关高育英中学陈亚丽立新学校唐乐丽北京外国语大学
杨鲁新
英语
年级
活动内容 (请注明活动类型）
英语初一中心组会
英语初三期末测评研讨（3）
英语高一命题组活动
英语高三英语初一
1.Module 7 复习指导 2.Module 8 复习指导 3.英语试题研究期末复习教法交流七下unit1-2
英语初三
教学研究课 Unit 14 听说阅读写作
待定待定
物理初三
研究课焦耳定律
物理高一期末复习建议
物理高二会考复习交流
物理高三
第十二热学，十三章光学，十四章原子和原子核复习建议
物理高三
研究课
《带电粒子在复合场中运动》
及第二组、第三组学校研讨
历史
张长磊
育英中学张宇
李天印
翠微中学张瑛
王红梅北师大三附中
王丹
清华附中杨桦陈敏
十一学校田俊
石油附中尚东育等
音乐初中教材教法培训
音乐高中各项目组活动
音乐初中教材教法培训
音乐高中各项目组活动
音乐初中 1、教学研究
杨晓红陈颖
主讲人中关村中学
蔡颖陈桂华
马涛钟建业五十七中蔡晓蓓
主讲人李其祥
各组长
李其祥
各组长
李其祥

【北京市海淀进修】高二第一学期数学期末复习建议

变形思考
y
A
O
M
B
Nx
变形思考 2
y
A
O
M
B
Nx
分析设 A (x 1 ,y 1),B (x 2,y2),P (x 0,y 0)
1、如何刻画平行四边形？（1）一组对边平行且相等；
2、如何刻画点在椭圆上？
（2）两组对边分别平行：同（1）；（3）对角线互相平分
特殊情况
判别式须考虑
y0可否代入直线求解？
割补：锥体体积
变化中的
不变量
例题1
若正棱锥的底面边侧长棱与长都相等，则锥该棱
一定不是（ A 三棱锥 C 五棱锥
）
思路一：射影
B 四棱锥思路二：运动
D 六棱锥
例题2
已知正方体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 ，求证： A 1 D ⊥ 面 B D C 1
D A
DC AB
A α
Bβ
P
θ D
γ C
案例4：空间向量——类比平面向量
例题：三个基本定理应用
问题1：
MN 1 BC 2
MN1（AD+BC） 2
A
M
B
D
N
C
E
A
M
B
D
N
C
F
问题2：
P
问题2：
PO1PA1PB1PC 333
A
C
O
B
A、B、C、D四点共面
唯一x、y、zR， PDxPAyPBzPC，
其中，xyz1.
❖
5.一切表现形式都应该是创造的成果。今天的浪漫或许是明天的现实，当下的现实也可能是昨天的浪漫。重要的是我们的作品是否揭示生命本质，精神是否向真向善向上，以及手上的“主义”是否与我们的诉求达成一致。

【北京市海淀进修】高二第一学期数学期末复习建议(金永涛)

关注标准方程的结构关注方程中的几何信息
案例3：圆锥曲线——几何性质
到点的距离：两点间距离，即：动圆变化；到直线的距离：平行线距离，即：平移变化
椭圆的切线
现象：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射一定经过椭圆的另一个焦点。 F'1
椭圆切线的定义解释：切线
P
上的点到两个焦点的距离和
P
P
P
A
D EA
D
y
A
Dy
B
B
C
x
B C
x
C
z
P
P
z
F A
B
E
C
x
D
y
xB
F A
E
C
D
xB
y
P
z
F
A
D
E
Cy
P
E
A
D
C B
二、平面解析几何
解析几何
几何特征
几何条件
代数化
几何结论几何特征代数结果
出发点几何
研究过程代数
点：坐标线：方程
落脚点几何
例题（直线与圆部分）
例题
y
1
-1 O
空间点、线、面的位置关系
空间角与距离
位置关系是对空间几何体结构的数学描述与概括
几何学习：
几何结构——位置关系— —几何度量是知识，也是逻辑基础。
案例1：简单几何体柱、锥、台、球的定义与性质
静态分析结位构置分关析系
几何思考动态分析平折旋移叠转：： :棱表圆柱面锥定积、义球定义---运动变化是分析视角
=

高二数学期末复习要注意什么_名师指点

高二数学期末复习要注意什么_名师指点
高二数学是整个高中时期非常重要的科目，高中数学如果学不好也会直接影响到高三数学成绩，高二数学期末复习也成了重中之重，它能够检测两年来数学的学习成果，也可以为高三带来一个好的开始，那么高二数学期末复习要注意什么？
1、高二数学期末考试首先是对高二数学学习的检测，所以先要保证自己的基础知识没有问题，那么就需要高二学生在进行高二数学期末复习的时候要着重书上的重要知识点，在做题的时候一定要知道自己运用的什么知识点，如有不会及时解决。

2、高二数学期末考试中基础题为主要，所以在进行练习的时候要对典型题的解题步骤和易错要点注意。

一定要细心，保证自己会的不丢分。

3、高二数学期末复习的时候就要学会掌控时间，数学对于有些人来说做题是很费时间的，所以一定要勤加练习，别造成考试的时候题会做，但是没有时间做，这样就很伤心了。

4、学习不能是死学，一定要活学活用，一个题目会了就要保证相类似的题型就差不多没问题。

5、考试中也会有难题出现，这就考查学生的能力了，所以在高二数学期末复习中还要做一些难题，以保证考试的时候没有思路。

高二数学期末复习攻略与高二数学提分技巧

高二数学期末复习攻略一、基础知识选修2-1涉及到的概念与定理有：(1)常用逻辑用语：四种命题(原、逆、否、逆否)及其相互关系;充分条件与必要条件;简单的逻辑联结词(或、且、非);全称量词与存在性量词，全称命题与特称命题的否定.(2)圆锥曲线：曲线与方程;求轨迹的常用步骤;椭圆的定义及其标准方程、椭圆的简单几何性质(注意离心率与形状的关系);双曲线的定义及其标准方程、双曲线的简单几何性质(注意双曲线的渐近线)、等轴双曲线与共轭双曲线;抛物线的定义及其标准方程;抛物线的简单几何性质;直线与圆锥曲线的常用公式(弦长公式、两根差公式).圆锥曲线的几何性质的常用拓展还有：焦半径公式、椭圆与双曲线的焦准定义、椭圆与双曲线的“垂径定理”、焦点三角形面积公式、圆锥曲线的光学性质等等.(3)空间向量与立体几何：空间向量的概念、表示与运算(加法、减法、数乘、数量积);空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示;平面的法向量、用空间向量计算空间的角与距离的方法.二、重难点与易错点重难点与易错点部分配合必考题型使用，做完必考题型后会对重难点与易错部分部分有更深入的理解.(1)区分逆命题与命题的否定;(2)理解充分条件与必要条件;(3)椭圆、双曲线与抛物线的定义;(4)椭圆与双曲线的几何性质，特别是离心率问题;(5)直线与圆锥曲线的位置关系问题;(6)直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题;(7)直线与圆锥曲线问题中的参数求解与性质证明;(8)轨迹与轨迹求法;(9)运用空间向量求空间中的角度与距离;(10)立体几何中的动态问题探究.高二数学提分技巧有哪些一、学习问题自我评价每一个学习不良者并不一定真的了解自己的问题之所在，要想对症下药，解决问题，对学习问题进行自我评价便尤其显得重要了。

对学习问题可主要从如下几方面进行自我评价：l.时间安排问题学习不良者应该反省下列几个问题：(1)是否很少在学习前确定明确的目标，比如要在多少时间里完成多少内容。

北京高二上期末数学知识点

北京高二上期末数学知识点在数学学科中，数学知识点是学生们必须要掌握的重要内容。

在北京高二上学期末考试中，数学知识点无疑是其中的重点和难点。

下面将为大家详细介绍北京高二上期末数学知识点。

1. 函数与方程在高中数学中，函数与方程是一个核心内容。

对于函数，我们需要了解函数的定义、性质和图像。

了解常见的基本函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

掌握函数的平移、翻折、伸缩等变换规律。

对于方程，我们需要熟练掌握一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程的解法，掌握方程的性质和根的性质。

同时，还需熟悉函数方程的解法，如二次函数方程、指数函数方程、对数函数方程等。

2. 三角函数三角函数也是高中数学中的重要内容。

熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的图像和性质。

理解三角函数的周期性和对称性。

掌握三角函数的和差化积、积化和差等公式。

同时，需要了解三角函数在实际问题中的应用，如解三角形、求角度等。

3. 数列与数列极限数列是高中数学中的基础内容之一。

掌握等差数列、等比数列等常见数列的性质和求和公式。

熟练运用等差数列、等比数列的通项公式和递推公式解题。

对于数列极限，需要掌握数列极限的定义和性质，熟练运用夹逼准则、单调有界原理等方法求证。

4. 平面几何平面几何是高中数学的重要组成部分。

掌握平面几何的基本概念，如点、线、面等。

理解平行线的性质和判定方法。

熟练掌握平行线之间的夹角关系、相交线之间的性质以及平行四边形、正方形、矩形等四边形的性质。

了解圆的基本性质和判定方法，并能解决与圆相关的问题。

同时，需要了解平面几何的向量方法和解析几何的基本概念和运算。

5. 三角形与三角形的相似性三角形是平面几何中的重要内容。

了解三角形的性质，如内角和、外角和、三角形中位线的性质等。

掌握解决三角形的边长和角度的方法，如正弦定理、余弦定理和面积公式等。

同时，了解三角形的相似性，熟练运用相似三角形的判定方法和性质。

6. 概率与统计概率与统计是高中数学中的实用内容。

高二数学期末复习方法

⾼⼆数学期末复习⽅法⾼⼆数学期末考试⾸先是对⾼⼆数学学习的检测，所以先要保证⾃⼰的基础知识没有问题，下⾯给⼤家分享⼀些关于⾼⼆数学期末复习⽅法，希望对⼤家有所帮助。

⾼⼆数学期末复习⽅法1、⾸先以⽼师讲过的内容为主对于⾼⼆学⽣来说，期末考试主要考的就是平时上课的时候⽼师讲的内容，所以⾼⼆学⽣要想期末考试取的好成绩，就要把⽼师要求掌握的内容都搞懂，这样有⽬的的复习才能提⾼学习效率，学习效率⾼了，考试成绩才能快速提升。

2、把课本上的例题做了期末考试题都是⽼师们⾃⼰出的，⼀般都是讲过的题、或者是类似例题的题⽬，所以⾼⼆学⽣复习的时候要把课本上的例题做会，要注意理解，不然只记住过程和答案的话，如果题⽬稍微改⼀下，那就⽩⽩浪费了复习时间。

⼀般书上的例题都有⼏种解题⽅法，⾼⼆学⽣应该把⼏种⽅法都掌握，并且都能熟练运⽤。

3、不要做太难的题期末复习的时候不要做太难的题，因为期末考试的题只有⼀两道特别难的题，⼤部分都是⽼师讲过的，还有⼀些就是⽼师说的送分题，也就是考的基础知识。

再者说了，攻克难题特别浪费时间，如果掌握了那道题或者那类题的做法还⾏，如果做了半天都没有搞明⽩，那就是既浪费时间⼜浪费精⼒，⽽且还会造成⼀些⼼理压⼒，对⾃⼰失去信⼼。

4、不要轻视概念、公式理科各科⽬的概念、公式都⽐较多，背起来⽐较⿇烦，⽽且有些同学认为理科不会考概念，所以平时也就不管了。

要知道虽然理科不直接考概念，但是会考相关的知识，你得理解了概念以后才能准确的分析题、做题。

还有就是公式，尤其是化学⽅程式，⾼⼆学⽣可能平时学的时候觉得没有什么问题，考试之前也不会去复习，但是考试的时候就出错了。

因为化学⽅程式很容易出错，⼀不⼩⼼就忘了配平、反应条件等，所以⾼⼆学⽣在复习期末考试的时候，⼀定不能忽略了最基本的知识。

⾼⼆提⾼数学成绩的⽅法提⾼听课效率想要提⾼数学成绩，最主要的就是提⾼听课效率，我们在上课的时候，提⾼听课效率⽐我们做很多的题都要管⽤，我们要把⽼师讲的每⼀句话都记住，有时候我们看似简单的话，其实在我们做题的时候，会经常的⽤到这样的话，所以我们在上课的时候，必须注意听讲。

高二期末数学期末反思与复习攻略

高二期末数学期末反思与复习攻略高二的数学学习到了期末已经是学习新内容的尾声了，所以必要的时候肯定要进行一下反思与复习，我在这里整理了相关资料，盼望能关心到您。

高二数学期末复习攻略高二上学期数学主要学习必修2与选修2-1，复习攻略分上下两部分，上部分复习必修2.一、基础学问必修2涉及到的概念与定理有：(1)空间几何体：典型多面体(棱柱、棱锥、棱台)与典型旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)的结构特征以及表面积体积公式、球面距离、点面距离、中心投影与平行投影、三视图、直观图;(2)点、线、面的位置关系：平面的三个公理、平行的传递性、等角定理、异面直线的概念、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、线面平行的概念、判定定理、性质定理;面面平行的概念、判定定理、性质定理;线面垂直的概念、判定定理、性质定理;面面垂直的概念、判定定理与性质定理;异面垂直、异面直线所成角、线面角与二面角的概念(不同版本消失时间略有不同).(3)直线与圆：直线的倾斜角与斜率、斜率公式、直线的方程(点斜式、斜截式、一般式、两点式、截距式)、直线与直线的位置关系(平行、垂直)、平面直角坐标系中的一些公式(两点间距离公式、中点坐标公式、点到直线的距离公式、平行线间的距离公式);圆的标准方程与一般方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系.常用的拓展学问与结论有：截距坐标公式、面积坐标公式、圆上一点的切线方程;圆外一点的切点弦方程;直线系与圆系的相关学问等.想不起来，或者不太清晰这些概念与定理的，赶快翻翻教材和笔记吧.二、重难点与易错点重难点与易错点部安排合必考题型使用，做完必考题型后会对重难点与易错部分部分有更深化的理解.(1)多面体的体积转化及点面距离的求法;(2)较简单的三视图;(3)球与其它几何体的组合;(4)平行与垂直的证明;(5)立体几何中的动态问题.(6)直线方程的选择与求解，特殊要留意斜率不存在的直线;(7)直线与圆的位置关系问题;(8)直线系相关的问题.高二期末数学教学反思备课不要贪多和赶进度，要考虑同学接受程度，太快了，同学跟不上会丢失学习爱好的。