《方差与标准差》教学案
《方差和标准差》说课稿
《方差和标准差》说课稿各位评委老师，大家好，很高兴今天能有这样一个学习和交流的机会，我今天说课的题目是《方差和标准差》。
一说教材、二说教法、三说学法、四说教学程序，再加上教学效果预测构成了我今天的说课内容。
一、说教材（一）教材简析：《方差和标准差》这个课题选自高教出版社出版的中等职业教育国家规划教材《统计基础知识》一书中的第三章第三节，是其中的第二个大问题。
《统计基础知识》是财会专业的专业基础课，在财会专业的整个知识体系中占有重要地位，而其中的第三章以第二章为基础，是统计工作过程的第四个阶段——统计分析阶段的开始，是对统计研究的重要方法——综合指标法的具体阐述，介绍了统计绝对数和统计平均数两个综合指标，是本书的重点。
其中的第二节和第三节遥相呼应，从集中趋势和离中趋势两方面描述了变量分布的数量特征。
方差和标准差便是描述离散程度的重要指标之一，通过本节课的学习可以使学生学会如何运用方差和标准差去描述变量分布的离散程度，还可以打开学生思路，对培养学生的逻辑思维能力也有重要作用。
学生在本节课学习之前已经学习了集中趋势的统计描述，熟练掌握了算术平均数的计算和应用，对集中趋势和离散程度及其二者之间的辨证关系也有了充分的认识，再加上本节课之前已经学习了离散程度统计描述的第一个指标——极差，因此在学习方差和标准差时，在心理上已经能够平静地接受。
本节课的内容实质上是用另一个指标来实现离散程度的统计描述，所以学生是容易接受和理解的。
（二）教学目标：在分析学生及教材的基础上，我制定了本节课的教学目标：1．知识目标：理解方差和标准差的概念，熟练掌握方差和标准差的计算方法及其运用。
2．能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力、计算能力。
3．情感目标：培养学生爱动脑、勤思考、善学习的良好学习习惯，让学生充分体会严密的逻辑推理带给他们的学习上的快乐和成功的感受，激发学生的学习兴趣。
（三）教学重点及难点：根据《统计基础知识教学大纲》的要求，围绕教学目标，我制定了本课的重点和难点：1．教学重点：方差、标准差的概念、计算及其运用，这既是本节的重点，又是本章的重点。
方差和标准差.3方差和标准差
3.3方差和标准差教学设计一、教学目标1、了解方差，标准差公式的产生过程2、熟练掌握方差和标准差的计算方法及其运用。
3、能通过实例学会用样本方差分析总体方差二、教学重点方差、标准差的概念、计算及其运用三、教学难点方差概念的理解和应用四、教材分析《方差与标准差》这节课是选自浙教版八年级上第三章第三节，是在学生学会用平均数，中位数，众数来表示数据集中程度的统计量后的另一种反映数据离散程度的统计量。
是对数据进行分析的另一重要指标。
这节课是七年纪上册“数据与图表”内容的延续，在数据与图表中是着重用图表的形式来反映数据的特征和变化。
而本章则是用统计量来反映数据的特征和变化。
学好本节课，不仅为进一步学好数据分析打好基础，而且在日常生活和实际生产中有着广泛的应用。
计算方差、标准差时，首先要求平均数，因此，求方差、标准差也是求平均数的练习和巩固的过程。
但平均数与方差的最本质的区别是：平均数是反映一组数据的集中程度的统计量而方差是反映一组数据的离散程度的统计量。
五、学情分析根据我自己对所带两个班级学生的了解，他们在分析，推导能力上不是特别强，所以本节的内容我准备按课本的要求来，不做较大的改变，不要求学生解决复杂或生僻的问题。
对于八年级的学生要根据实际选择统计量，并通过数据分析作出判断或预测。
不仅需要学生有教高的综合分析能力，而且要有较丰富的生活实践经验，对于这个年龄段的学生来说，是比较薄弱的。
因此，我在教学中会把握好教学要求，给学生留有充分的时间思考和小组讨论，用集体的智慧来解决难题。
在这堂新课中，我放较大的比重在公式的产生上，既公式的推导过程。
因为中考不允许学生使用计算器，所以在数据的选择上要便于计算，不允许学生使用计算器。
六、教学过程 （一）情景引入 学生观看射击比赛视频提问：一年一度的比赛又要开始了，所有的学员都这么优秀选谁？ 设计意图：1、通过视频吸引学生的注意力，让学生的注意力集中到课堂上 2、每个学员都很优秀有自己的特点，所以我们要有一个合理的选拔 标准，从而引出了本堂课的学习内容 （二）合作学习甲、乙两人的测试成绩统计如下:（1）分别算出甲、乙两人的平均成绩. （2）根据这两人的成绩，再画出折线统计图.（3）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜?为什么?提问：1、哪组数据围绕其平均数波动较大，波动大反映了什么？ 2、谁射击成绩比较稳定？设计意图：1、1,2两个小题学生根据自己现有的知识能够解决，通过给出两个 问题，引导学生仔细观察折线图，因为折线图能够直观反应两人成24 68 成绩（环）10 0 1 2 3 4 5绩水平的高低以及稳定性。
北师大版数学八年级上册《方差与标准差》教学设计1
北师大版数学八年级上册《方差与标准差》教学设计1一. 教材分析《方差与标准差》是北师大版数学八年级上册的一章内容。
本章主要介绍了方差和标准差的概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
通过本章的学习，学生能够理解方差和标准差的含义，掌握它们的计算方法，并能够运用方差和标准差来描述数据的波动情况。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经学习了数据的收集、整理和描述的基本方法，包括平均数、中位数、众数等。
学生对于数据的波动情况有一定的了解，但是可能对于方差和标准差的概念以及计算方法还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际问题来理解方差和标准差的概念，并通过练习来掌握它们的计算方法。
三. 教学目标1.理解方差和标准差的概念，掌握它们的计算方法。
2.能够运用方差和标准差来描述数据的波动情况。
3.培养学生的数据分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.方差和标准差的概念的理解。
2.方差和标准差的计算方法的掌握。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过实际问题来引导学生学习方差和标准差的概念和计算方法。
2.使用多媒体教学辅助工具，如PPT等，来进行教学演示和讲解。
3.通过课堂练习和课后作业，巩固学生对方差和标准差的理解和计算方法的掌握。
六. 教学准备1.PPT教学演示文稿。
2.实际问题案例和练习题。
3.黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题来导入本节课的内容。
例如，给出一个班级学生的身高数据，让学生观察数据的波动情况。
引导学生思考如何描述这种波动情况，从而引入方差和标准差的概念。
2.呈现（15分钟）通过PPT演示文稿，介绍方差和标准差的概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
讲解方差的定义和计算公式，以及标准差的定义和计算公式。
通过示例来演示如何计算一组数据的方差和标准差。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，每组选择一组数据，计算其方差和标准差。
教师巡回指导，解答学生的问题。
《标准差与方差》数学教案设计
《标准差与方差》数学教案设计一、教学目标1.理解方差的定义和性质，掌握方差的意义和应用。
2.学会计算数据的方差和标准差。
3.培养学生运用统计方法解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1.重点：方差和标准差的定义及计算方法。
2.难点：方差的意义和在实际问题中的应用。
三、教学准备1.教学课件或黑板。
2.数据表格、计算器等教学工具。
四、教学过程一、导入新课（1）引导学生回顾平均数的定义和计算方法。
（2）提出问题：平均数能否完全反映一组数据的特征？为什么？（3）引导学生思考，为引入方差和标准差的概念做铺垫。
二、新课讲解1.讲解方差的定义和性质（1）通过实际例子，让学生感受数据波动的大小。
（2）引导学生理解方差是衡量数据波动程度的统计量。
（3）讲解方差的计算公式和性质。
2.讲解标准差的定义和性质（1）介绍标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
（2）讲解标准差的计算公式和性质。
3.讲解方差和标准差的意义（1）通过实际例子，让学生感受方差和标准差在数据分析中的作用。
（2）引导学生理解方差和标准差在描述数据分布特征方面的重要性。
三、案例分析1.分析案例一：某班学生的数学成绩（1）给出学绩的数据表格。
（2）引导学生计算平均数、方差和标准差。
（3）让学生讨论：哪个统计量更能反映这组数据的特征？2.分析案例二：某地区气温变化（1）给出某地区气温变化的数据表格。
（2）引导学生计算平均数、方差和标准差。
（3）让学生讨论：如何利用方差和标准差分析气温变化的规律？四、巩固练习1.学生独立完成课后练习题。
2.教师对学生的答案进行点评和讲解。
五、课堂小结2.强调方差和标准差在数据分析中的应用。
六、作业布置1.学生完成课后作业。
2.教师批改作业，了解学生的学习情况。
七、教学反思1.本节课教学效果如何？哪些地方需要改进？2.学生对方差和标准差的理解是否到位？如何提高学生的理解能力？3.在今后的教学中，如何更好地运用案例教学，提高学生的学习兴趣和积极性？八、教学延伸1.引导学生了解其他统计量（如偏度、峰度等）的定义和作用。
方差和标准差
方差和标准差千金中学芮国良一、教学目标1.以具体的例子出发，了解方差，标准差的公式的产生过程，体会数学来源于生活，生活离不开数学，从来增加学习数学的兴趣。
2.通过合作交流，以面对面的互动形式，学生掌握方差和标准差的计算方法及其运用，培养良好的团队合作精神，感受集体的力量。
3.能通过实例学会用方差公式来分析数据离散程度。
二、教学重难点重点：方差和标准差的概念、计算及其运用。
难点：方差概念的引入，方差是各变量值相对于平均数的差平方的平均数。
三、教学过程(一）创设情景引出课题师：同学们，谁看过射击实况转播？相信绝大多数同学都看过，今天老师要让你们自己想办法解决有关射击的问题。
问题一：为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，学校决定对选拔方案进行招标。
如果你参与竞标，那么你将设计什么方案？生：让甲、乙二人在相同的条件下各射靶10次，选拔平均环数较多的学生。
师：这个方案不错。
可是如果两人的平均环数一样，怎么办？生：再比一次。
师：如果再比一次结果还是一样，难道要一直比下去？问题二：假如甲、乙两名同学的测试成绩统计如下：甲7 8 6 8 6 5 9 10 7 4乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7①比较上述数据，你将选择谁参赛？X甲=7，X乙=7，并根据计算的结果验证你选择的正确性。
②通过计算可知，尽管平均环数相同，但二人的水平还是有差距的，经过观察分析数据，我们发现：甲最多10环，最少4环，波动范围较大；而乙最多9环，最少5环，波动范围较小。
因此乙较稳定，应该选拔乙参赛。
设计意图：从一个学生认为可以很容易解决的问题入手，制造矛盾，而且矛盾是确实客观存在和可接受的。
从而激发学生学习的兴趣。
(二）合作学习知识解读师：由于甲最多环数与最少环数的差距大，从而得出甲不稳定，所以甲遭淘汰。
难道这种分析方法就准确？问题三：假如甲、乙两名同学的测试成绩统计如下：甲10 7 7 7 7 7 7 7 7 4乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7请你观察上述数据，谁的水平比较稳定？不难发现，虽然甲最多比最少差距大，但还是甲比乙要稳定。
八年级数学下册《21.2.2 方差与标准差》教案 沪科版
《21.2.2 方差与标准差》教学目标：1、了解方差的定义和计算公式。
2. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。
教学重点：掌握方差求法，教学难点：理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。
教学过程：一、情景创设：乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检测。
结果如下（单位：mm）：A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；B厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2.1）请你算一算它们的平均数和极差。
A厂：平均数____________ 极差__________B厂：平均数____________ 极差__________2）是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？___________3）你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢?__ ___ ____ _二、探索活动通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。
试一试，做下列的数学活动：1、计算每个数据与平均数的差2、1）把所有差相加，2）把所有差取绝对值相加，3）把这些差的平方相加.想一想：你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？二、新知讲授：定义：设有n个数据、…，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，…，我们用它们的平均数，即用来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作.意义：用来衡量一批数据的波动大小.在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.方差的算术平方根，即，并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.三、例题讲解例1已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的标准差是___________.例2 为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下：（单位：mm）甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8乙：8，13，12，11，10，12， 7，7，9，11请你经过计算后回答如下问题：（1）哪种农作物的10株苗长的比较高？（2）哪种农作物的10株苗长的比较整齐？例3 已知的平均数10，方差3，则的平均数为__________，方差为___________.课堂小结：教学反思：第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
方差和标准差
§21.3 极差、方差与标准差（第二课时）一、教学目标：（1）知识与技能目标：了解刻画数据离散程度的两个量——方差和标准差的概念，能求出相应方差和标准差。
（2）过程与方法目标：能在具体情境中用方差、标准差刻画一组数据的波动大小，并能解决相应的实际问题。
（3）情感、态度与价值观目标：培养学生学会在复杂的关系中寻找问题关键所在的品质。
二、重点与难点：（1）重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题（2）难点：理解记忆方差公式三、教学方法：本节课要使学生知道为什么要学习方差和方差公式，目的不明确学生很难对本节课内容产生兴趣和求知欲望。
教师在授课过程中可以多举几个生活中的小例子，如选择仪仗队员、选择运动员、选择质量稳定的电器等。
学生从中可以体会到生活中为了更好的做出选择判断能，经常要去了解一组数据的波程度，仅仅知道平均数是不够的。
也可以选择一些更具时代气息，更有现实意义的引例。
例如，通过学生观看2004年奥运会刘翔勇夺110米栏冠军的录像，进而引到教练员根据平时比赛成绩选择参赛队员这样的实际问题上，这样引入自然而又真实，学生也更感兴趣一些。
课文中提供了几个实际情境，目的是通过对对问题的分析和探究，使学生进一步理解方差的意义。
四、教具准备：教学用三角板、圆规，画好图的小黑板五、教学过程：（一）设计问题情境，导入新课：教师讲解：在研究一组数据波动的情况时，有时只考虑极差是不够的，我们举一个例子说明：小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示，请问谁的成绩较为稳定？为什么？通过计算，我们发现两人测试成绩的平均值都是13分，把他们的成绩画在图21.3.1—2所示的折线图。
从图可以看到：相比之下，小明的成绩大部分集中在13分附近，而小兵的成绩与其平均值的离散程度较大。
通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定。
上面已经点明了为什么要了解数据的波动性，这一环节主要使学生知道描述数据波动性的方法，可以用画折线图的方法来反映这种波动大小，可是当波动大小区别不大时，仅用画折线图的方法去描述恐怕不会准确，这自然希望可以出现一种数量来描述数据波动大小，这就引出方差产生的必要性。
方差与标准差导学案
方差与标准差导学案一．教学目标1．经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性2．掌握方差和标准差的概念，卉计算方差和标准差，理解它们的统计意义3．经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验二．要点梳理1．我们知道极差只能反映一组数据中两个之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感2．描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的，再求这组数据与的差的的平均数，用这个平均数衡量这组数据的波动性大小3．设在一组数据X1，X2，X3，X4，……XN中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是（X1- ）2，（X2- ）2，（X3- ）2，……，（Xn- ）2,,那么我们求它们的平均数，即用S2=4．一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的。
．方差是描述一组数据的特征数，可通过比较其大小判断波动的大小，方差说明数据越稳定，6．为什么要这样定义方差？7．为什么要除以数据的个数n?8．标准差与方差的区别和联系？三．问题探究知识点1 探究计算数据方差和标准差的必要性例1质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径进行了检测，结果如下（单位：）A厂：400 ，399 ，400 ，401 ，402 ，398 ，400 ，399 ，400 ，401B厂：398 ，402 ，398 ，402 ，399 ，401 ，398 ，402 ，398 ，402思考探索：1、请你算一算它们的平均数和极差？2、根据它们的平均数和极差，你能断定这两个厂生产的乒乓球直径同样标准吗？3、观察根据上面数据绘制成的下图，你能发现哪组数据较稳定吗？直径/ 直径/A厂B厂知识点2如何计算一组数据的方差和标准差例2在一组数据中x1、x2、x3…xn中，它们与平均数的差的平方是(x1－)2, (x2－)2 , (x3－)2 , …, (xn－)2 我们用它们的平均数，即用S2=1N [(x1－)2＋(x2－)2 ＋(x3－)2…＋(xn－)2 ]描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的在有些情况下，需要用方差的算术平方根，即描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差【变式】甲、乙两台机床生产同种零，10天出的次品分别是：甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？知识点3例3已知，一组数据x1,x2,……，xn的平均数是10，方差是2，①数据x1+3,x2+3,……，xn+3的平均数是方差是，②数据2x1,2x2,……，2xn的平均数是方差是，③数据2x1+3,2x2+3,……，2xn+3的平均数是方差是，你能找出数据的变化与平均数、方差的关系吗？四．堂操练1、一组数据：，，0，，1的平均数是0，则= 方差2、如果样本方差，那么这个样本的平均数为样本容量为3、已知的平均数10，方差3，则的平均数为，方差为4、样本方差的作用是（）A、估计总体的平均水平B、表示样本的平均水平、表示总体的波动大小D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小、小明和小兵10次100跑测试的成绩（单位：s）如下：（）小明：148 , 1 , 139 , 144 , 141 , 147 , 10 , 142 , 149 , 14小兵：143 , 11 ，10 ，132 ，142 ，143 , 13 , 161 , 144 , 148如果要从他们两人中选一人参加学校田径运动会，那么应该派谁去参加比赛？６、甲、乙两人进行射击比赛，在相同条下各射击10次，他们的平均成绩均为7环，10次射击的方差分别分别是3和12。
2.2《方差与标准差》教 案 设 计
今天我们一起来探索这个问题。
学生思考计算
从学生熟悉的生活入手，提出问题，引导学生进入新知识的学习，创造一种探索的情境。
通过动手操作观察能更好地促进学生对数学知识的进一步理解。
2
分
钟
数学活动
通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。让我们一起来做下列的数学活动：
1画一画
2填一填A厂
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
数据
与平均值差
B厂
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
数据
与平均值差
3算一算
把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加。
4想一想
你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？
学生动笔
学生每两组展开活动。
10
分
钟
师生交流
揭示新知
（3）为什么要除以数据个数n？（是为了消除数据个数的影响）．
5．初步运用
在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好？
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（二）标准差
1．问题：
方差的单位与愿数据的单位相同吗？应该如何办？
2．引出新知----标准差概念
在有些情况下，需要用到方差的算术平方根，即
感知
方差
解决学
生疑问
感知
方差
20
分
钟
实际应用
巩固新知
高中数学教案概率分布的方差与标准差
高中数学教案概率分布的方差与标准差高中数学教案：概率分布的方差与标准差概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机事件发生的规律性。
在高中数学课程中，我们需要了解概率分布的方差与标准差，它们是衡量概率分布离散程度的指标。
本教案将详细介绍方差与标准差的计算方法、性质以及在实际问题中的应用。
1. 方差的计算方法方差是用来度量概率分布离散程度的统计量。
对于离散型随机变量X，其方差的计算公式如下：Var(X) = Σ[(Xi - μ)² * P(Xi)]其中，Xi表示随机变量X的取值，μ表示随机变量X的期望值，P(Xi)表示Xi取值的概率。
例如，某班级学生的考试成绩服从离散型随机变量X，其取值为{60, 70, 80, 90, 100}，对应的概率分别为{0.1, 0.2, 0.3, 0.2, 0.2}。
求该班级学生考试成绩的方差。
解：首先计算随机变量X的期望值μ：μ = Σ(Xi * P(Xi)) = 60*0.1 + 70*0.2 + 80*0.3 + 90*0.2 + 100*0.2 = 82然后计算方差Var(X)：Var(X) = Σ[(Xi - μ)² * P(Xi)] = (60-82)²*0.1 + (70-82)²*0.2 + (80-82)²*0.3 + (90-82)²*0.2 + (100-82)²*0.2 = 1362. 标准差的计算方法标准差是方差的平方根，它衡量了概率分布离散程度相对于期望值的距离。
标准差的计算公式如下：σ = sqrt(Var(X))继续以前述班级学生考试成绩为例，求该班级学生考试成绩的标准差。
解：首先计算方差Var(X)：Var(X) = 136然后计算标准差σ：σ = sqrt(Var(X)) = sqrt(136) ≈ 11.663. 方差与标准差的性质方差和标准差具有以下性质：- 方差和标准差都是非负的。
《2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差》教案
《2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差》教案教学目标:(1)理解随机变量的方差和标准差的含义;(2)会求随机变量的方差和标准差,并能解决一些实际问题.教学重难点:理解方差和标准差公式所表示的意义,并能解决一些实际问题.教学过程:一.问题情境甲､乙两个工人生产同一种产品,在相同的条件下,他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示,12,X X 的概率分布如下.如何比较甲､乙两个工人的技术?我们知道,当样本平均值相差不大时,可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度.能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢?三.建构数学1. 一般地,若离散型随机变量X 的概率分布如表所示:则()(())i x E X -=描述了i 相对于均值的偏离程度,故2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-,(其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=)刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度,我们将其称为离散型随机变量X 的方差,记为()V X 或2σ.2.方差公式也可用公式221()nii i V X xp μ==-∑计算.3.随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差,X 的方差()V X 的算术平方根称为X 的标准差,即σ=思考:随机变量的方差和样本方差有何区别和联系? 四.数学运用 1.例题:例1.若随机变量X 的分布如表所示:求方差()V X .解因为所以22()(0)(1)(1)(1)V X p p p p p p =--+-=-,=例2.求第2.5.1节例1中超几何分布(5,10,30)H 的方差和标准差. 解:第2.5.1节例1中超几何分布如表所示:数学期望53μ=,由公式221()i i i V X x p μ==-∑有22584807585503800700425()01491625()2375123751237512375123751237513V X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 2047500.9579213759=≈故标准差0.9787σ≈.例3.求第2.5.1节例2中的二项分布(10,0.05)B 的方差和标准差. 解::0.05p =,则该分布如表所示:由第2.5.1节例2知()0.5E X μ==,由221()i i i V X x p μ==-∑得2200102119210100210101000.050.9510.050.95...100.050.950.5C C C σ=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯-0.7250.250.475≈-=故标准差0.6892σ≈.说明:一般地,由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式:当~(,,)X H n M N 时,2()()()(1)nM N M N n V X N N --=-,当~(,)X B n p 时,()(1)V X np p =-. 例4.有甲､乙两名学生,经统计,他们字解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分､90分､100分的概率分布大致如下表所示试分析两名学生的答题成绩水平.解:由题设所给分布列数据,求得两人的均值如下:X E ⨯⨯⨯甲（）=800.2+900.6+1000.2=90,X E ⨯⨯⨯乙（）=800.4+900.2+1000.4=90方差如下:222()(8090)0.2(9090)0.6(10090)0.240V X =-⨯+-⨯+-⨯=甲 222()(8090)0.4(9090)0.2(10090)0.480V X =-⨯+-⨯+-⨯=乙由上面数据可知()(),()()E X E X V X V X =<乙乙甲甲,这表明,甲､乙两人所得分数的平均分相等,但两人得分的稳定程度不同,甲同学成绩较稳定,乙同学成绩波动大.五.回顾小结:1.离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义;2.离散型随机变量的方差和标准差的计算方法;3.超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法.。
北师大版八年级上册数学6.4.1方差与标准差教案
在今天这节课中，我们学习了方差与标准差的概念及其计算方法。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，关于导入新课部分，我通过提出与日常生活相关的问题来激发学生的兴趣。这种方法在一定程度上确实能吸引学生的注意力，但我觉得还可以进一步优化。例如，可以让学生提前收集一些数据，课上分享他们所关注的数据波动现象，这样既能增强学生的参与感，也能让他们更直观地感受到方差与标准差在实际中的应用。
本节课将结合实际数据和问题情境，帮助学生掌握方差与标准差的概念、计算及应用，培养数据分析能力，为后续学习统计学知识打下基础。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.数据分析观念：通过学习方差与标准差，培养学生分析数据波动性的能力，使他们在实际问题中能够运用统计学方法，合理选择和运用方差、标准差对数据进行描述和分析。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了方差与标准差的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对方差与标准差的理解。我希望大家能够掌握这些பைடு நூலகம்识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
解决方法：教师可以通过图示、例题等多种方式，帮助学生理解方差计算过程中每个步骤的含义，强调平方和平均数的重要性。
（2）标准差的性质：理解标准差与方差之间的关系，掌握标准差的性质。
解决方法：教师可以通过实际案例，让学生观察标准差与方差的变化规律，从而理解它们之间的关系。
（3）在实际问题中应用方差和标准差：学生可能不知道如何将方差和标准差应用于实际问题。
苏教版数学高一苏教版必修3教案2.3.2方差与标准差
2.3.2方差与标准差整体设计教材分析“方差与标准差”这节课在上节课平均数的基础上，从实例“有甲、乙两种钢筋，检查它们的抗拉强度”中平均数不是反映总体质量、水平的唯一特征数，在平均值相差不大的情况下，数据的稳定程度可以作为评价对象质量高低的又一重要因素，从而说明引入方差、标准差的必要性，同时使学生养成从多个角度看问题的习惯，锻炼了学生的创造性思维.为了让学生充分体会“稳定性”的意义，教材中用数轴表示两组数据，形象地表现出数据的“聚散”程度，并用极差反映数据的稳定性.当两组数据的极差相差不大时，就不适宜用极差来表示稳定性，这时可用“方差与标准差”作为比较数据稳定性的特征数.初中已学过方差概念，现在的教学不能停留在原有的水平上，要将用方差刻画数据的稳定程度的理由讲清楚，充分揭示用方差作为比较数据稳定性水平的特征数的思维过程.通过方差的单位与原数据的单位的比较,通过实际问题的分析,让学生了解到用方差反映稳定性水平的不足之处是与原数据单位不一致,且平方后可能夸大偏差的程度等,从而引入“标准差”的概念,这一过程应让学生在形成问题和解决问题的过程中加以探索.三维目标1.通过对具体案例的分析掌握样本数据的平均数、方差与标准差的基本概念和计算方法，培养学生分析问题和解决问题的能力,激发学生探究数学问题的兴趣和动机.2.在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.3.引导学生对一些生活中实际问题的学习, 进一步培养学生的数学素养和增强学生的数学应用意识及认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.4.渗透数学来源于实践，反过来又作用于实践的观点.重点难点教学重点：1.通过实例理解样本数据方差与标准差的意义和作用,学会计算数据的样本方差与标准差.2.根据方差与标准差对事件进行科学的决策，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.教学难点：1.方差与标准差的计算方法及运算的准确性.2.用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,从中进一步理解统计的基本思想.课时安排1课时教学过程导入新课平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计报表显示，此地区的年平均家庭收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭收入普遍比较高.但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭收入计算出来的，那么它就既不能代表贫困家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入.因为这个平均数掩盖了一些极端情况.而这些极端情况显然是不能被忽视的.因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际情况.举例：有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如下表）检查他们的抗拉强度（单位：kg/mm2），通过计算发现，两个样本的平均数均为125.哪种钢筋的质量较好？两种钢筋的平均数都是125，那么,它们有没有什么差异呢?推进新课作出图形，作直观比较：直观上看，还是有差异的.乙的强度比较分散，甲的强度相对集中.因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.例如，在作统计图、表时提到过的极差甲的强度极差＝135-110=25,乙的强度极差＝145-100=45.它在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息，显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略.新知探究1.方差(variance)的概念：考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差，一般用s 2表示.假设样本数据是x 1,x 2,…,x n ，x 表示这组数据的平均数.结合上节课有关离差的讨论可知,离差越小,稳定性就越高. 因此，通常用如下公式计算方差：∑=-=ni i x x n s 122)(1. 因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了离差的程度,因此将其算术平方根∑=-=ni i x x n s 12)(1 作为样本的标准差（standard deviation ）,分别简称样本方差、样本标准差.2.计算样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差的算法是：S1 算出样本数据的平均数x ；S2 算出每个样本数据与样本平均数的差x i -x(i=1,2,…，n)；S3 算出S2中x i -x(i=1,2,…，n)的平方；S4 算出S3中n 个平方数的平均数；S5 算出S4中平均数的算术平方根，即为样本标准差.关于方差、标准差的一点说明：（1）方差、标准差是用来描述样本数据的离散程度的，它反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度.方差与标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，方差标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散.（2）在实际应用中，方差与标准差常被理解为稳定性.例如在上面的比较两种钢筋的抗拉强度时，方差与标准差越小意味着该产品的质量越稳定；在描述成绩时，方差与标准差越小，说明成绩越稳定.（3）学生思考“标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有什么特点？”由标准差的定义容易得出标准差是非负的；标准差为0意味着所有的样本数据都相等的特性，且与样本平均数也相等，可以构造一个样本容量为2的样本：x 1,x 2(x 1<x 2)，这样可以体会出两个样本数据分散程度与样本标准差应用示例例1 根据下列四组样本数据，说明它们的异同点.(1) 555555555；(2) 444555666；(3) 334456677；(4) 222258888.分析：从数据的数字特征出发.解：四组数据的平均数都是5.0，标准差分别是0.00，0.82，1.49，2.83.虽然它们有相同的平均数，但是它们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的.点评：样本的方差、标准差能说明数据的分散程度.例2 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.分析：巩固求方差和标准差的方法.解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为［(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2］÷5=0.02,乙品种的样本平均数也为10，样本方差为［(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2］÷5=0.24.因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.点评：1.本题若仅由x甲=x乙，易产生这两种水稻的产量一样稳定的错觉.这表明在实际问题中，仅靠期望值（即平均数）不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度（及方差或标准差）：标准差大说明取值分散性大，标准差小说明取值分散性小或者说取值比较稳定、集中.2.要对“根据这组数据估计…”的统计意义作必要的说明：第一，统计研究是以一定的样本为依据的，对于确定的样本得到确定的统计结果；第二，统计结果具有随机性，选择不同的样本可能得到不同的统计结果.最后还可让学生思考除了品种的优劣，影响水稻产量还有哪些因素？根据一组数据得到的结果是否可靠？这些问题的提出会激发学生对统计学理论的兴趣.例3 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用了一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差.分析：用每一个区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均使用寿命.解：各组中值分别为165.5，195.5，225.5，255.5,285.5，315.5，345.5，375.5，由此算165.5×1%+195.5×11%+225.5×18%+255.5×20%+285.5×25%+315.5×16%+345.5×7%+375.5×2%=268.4≈268（天）.这些组中值的方差为1001×［1×(165.5-268.4)2+11×(195.5-268.4)2+18×(225.5-268.4)2+20×(255.5-268.4)2+ 25×(285.5-268.4)2+16×(315.5-268.4)2+7×(345.5-268.4)2+2×(375.5-268.4)2］=2 128.60(天2)， 故所求的标准差约为6.2128≈46（天）.答：估计这种日光灯的平均寿命约为268天，标准差约为46天.点评：此例的目的是：掌握连续性随机变量的平均值和标准差的一种估计方法，即组中值估计法.因为前一节例3已介绍了连续性随机变量的平均值的估计方法，所以处理此例时应让学生回忆前例并主动探索解决问题的方法.例4 容量是40的样本中各数据与30的差的平方和是250，样本标准差是1.5，求样本平均数.分析：根据样本平均数、样本方差、样本标准差的公式解题.解：∵(x 1-30)2+(x 2-30)2+…+(x 40-30)2=250,所以(x 12+x 22+…+x 402)-60(x 1+x 2+…+x 40)+40×302=250.即(x 12+x 22+…+x 402)-60×40x +40×900=250， ①又∵140［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 40-x )2］=1.52=2.25，即(x 12+x 22+…+x 402)-2x(x 1+x 2+…+x 40)+40x 2=90，即(x 12+x 22+…+x 402)-80x 2+40x 2=90，②①-②得40x 2-2 400x+40×900=160， 即x 2-60x +896=0,( x -32)( x -28)=0， 所以，x =32或x =28.点评：理解样本方差的含义，抓住关键点：x 1+x 2+…+x 40=40x ，通过数形结合，结合消元x 1+x 2+…+x 40合理解决问题.例5 已知一组数据的方差是s 2，将这组数据的每个数据都加上10，求所得新数据的方差.分析：利用方差公式解题.解：设原数据：x 1,x 2,…,x n ，平均数是x ，方差是s 2，则新数据为：x 1+10,x 2+10,…,x n +10，平均数为则方差为n 1［(x 1+10-x -10)2+(x 2+10-x -10)2+…+(x n +10-x -10)2］ =n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］=s 2.变式训练某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s ，后来发现登记有误，某甲得70分却记为40分，某乙50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s 1，则s 与s 1之间的大小关系是（ ）A.s=s 1B.s<s 1C.s>s 1D.不能确定解析：由题意，平均数不变，所以只要看与平均数的离差的平方的变化情况.因为方差刻画了数据相对于平均值的平均偏离程度.s 中有：(40-70)2+(80-70)2=1 000，s 1中有：(70-70)2+(50-70)2=400所以s>s 1.答案：C点评：由本例及变式可推理归纳方差的性质：（1）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，则ax 1,ax 2,…,ax n 的方差为a 2s 2；（2）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，则ax 1+b,ax 2+b,…,ax n +b 的方差为a 2s 2，特别地，当a=1时，则有x 1+b,x 2+b,…,x n +b 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；（3）方差刻画了数据相对于平均值的平均偏离程度.对于不同的数据集，当离散程度越大时，方差越大；（4）方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感.知能训练课本本节练习解答：1.甲、乙两个班的样本平均数为160，但甲班的极差为3，乙班的极差为30，故甲班的波动较小.2.已知 s 2=3=81［(k 1-k )2+(k 2-k )2+…+(k 8-k )2］， 而 883)...(28)3(2...)3(2)3(2821821⨯-+++=-+-+-k k k k k k =2k -3, s 12=18［(2k 1-6-2k+6)2+(2k 2-6-2k+6)2+…+(2k 8-6-2k+6)2］=4s 2=12.3.甲较稳定.4.甲的平均值为10，方差为0.055；乙的平均值为10，方差为0.105.点评：从练习中再次体会数据的离散程度影响对事件的客观判断，体会从平均数、离散程度的角度对事件作出科学判断的方法.课堂小结1.数据的离散程度影响对事件的客观判断，体会从平均数、离散程度的角度对事件作出科学判断的方法，方差与标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，方差与标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散；2.衡量离散程度的常用计算方法——方差与标准差，熟悉用计算器计算方差与标准差的方法，切实掌握相关的计算公式、方法、步骤并对有关数据进行合理解释；3.样本的有效选择对判断有重要影响，知道影响判断、决策的因素是多方面的，在对总体作出判断之前，要充分考虑各种因素，切实体会统计的思想方法；4.样本数据既具有随机性又具有规律性，在很广泛的条件下，简单随机抽样样本的数字特征如众数、中位数、平均数、方差与标准差随样本容量的增加及时稳定于总体相应的数字特征，总体的数字特征是一定的，不存在随机性.作业课本习题2.3 3、5、7.设计感想本节课一定要让学生体会平均数反映的是一组数据的平均水平，而方差和标准差则反映了一组数据的波动大小.在实际学习、工作中用得非常多，比如选择运动员参加大型比赛时，要看他以前的每次测试的平均成绩，但成绩的稳定性也非常重要；学习上也是如此，稳定了可以给最后的考试提供稳定心理.用这种与生活的息息相关性激发学生学数学的无限兴趣就是老师最大的收获.习题详解习题2.31. x =301(2×5.1+3×5.2+6×5.3+8×5.4+7×5.5+3×5.6+1×5.7)≈5.39. 该厂这个月的平均日产值约为5.39万元.2.在全部数据中找出最小值4.0和最大值7.4，两者之差为3.4，确定全距为3.5，以组距0.5将区间［4.0,7.5］分成7个组.x =1001(4.25×1+4.75×2+5.25×15+5.75×28+6.25×33+6.75×18+7.25×3)=6.03，估计试验田里麦穗的平均长度约为6.0 cm.3.（1）甲机床次品数的平均值为1.5，乙机床次品数的平均值为1.2，故乙机床次品数的平均值较小；（2）甲的方差为1.65，乙的方差为0.82，故乙机床的生产状况较为稳定.4.估计甲机床平均次品率约为(0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1)÷1 000=0.06%，乙机床平均次品率约为(0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0)÷1 000=0.07%，故甲机床的产品质量较好.5.（1）此样本中金属棒的平均长度约为5.99； （2）频率分布表如下：频率直方图如下：（3）6×(1-0.2%)≈5.99，6×(1+0.2%)≈6.01，故合格的金属棒有15根，合格率约为15÷40≈37.5%.6.（1）频率分布表如下：频率分布直方图如下：(2)由组中值估计的总体平均数为(57×5+65×14+73×25+81×11+89×5)×601=72.6，约73次. 实际总体平均数约为72，误差约为1.7.施了新化肥的土地的平均每块土地产量为20.52 kg ，未施新化肥的土地平均每块土地产量为17.36 kg ，且施了新化肥的土地产量的方差约为83.33，未施新化肥的土地产量的方差约为154.88，说明用了新化肥不仅平均产量高，而且产量稳定，故可认为新化肥取得了成功.。
苏科版数学九年级上册3.4 方差、标准差教学设计
苏科版数学九年级上册3.4 方差、标准差教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级上册3.4 方差、标准差是本册的重点内容，也是难点内容。
这一节主要介绍了方差和标准差的概念，以及它们的计算方法。
方差是衡量一组数据波动大小的量，标准差是方差的平方根，用来衡量一组数据的离散程度。
本节内容对于学生来说比较抽象，需要通过大量的例子来帮助学生理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程、不等式等基础知识，对于函数、统计等概念也有一定的了解。
但是，对于方差、标准差这样的抽象概念，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子来帮助学生理解概念，并通过大量的练习来巩固知识。
三. 教学目标1.了解方差、标准差的概念，理解它们的意义。
2.学会计算方差、标准差的方法。
3.能够应用方差、标准差来解决实际问题。
四. 教学重难点1.方差、标准差的概念。
2.方差、标准差的计算方法。
3.应用方差、标准差解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法。
通过具体的例子引出方差、标准差的概念，通过案例教学法讲解计算方法，通过小组合作法让学生互相讨论、交流，巩固知识。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例资料。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的问题引出方差、标准差的概念。
例如，某学校九年级有甲、乙两个班级，在一次数学考试中，甲班平均分是80分，乙班平均分是82分，问这两个班的数学成绩是否存在显著性差异？2.呈现（10分钟）通过PPT课件呈现方差、标准差的定义和计算公式。
方差是衡量一组数据波动大小的量，标准差是方差的平方根，用来衡量一组数据的离散程度。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找一个例子，计算其方差和标准差。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解。
5.拓展（10分钟）让学生思考：方差、标准差在实际生活中有哪些应用？引导学生联系生活实际，举例说明。
小学数学教学备课教案方差与标准差的计算
小学数学教学备课教案方差与标准差的计算教案一：方差与标准差的计算一、教学目标：1. 理解方差和标准差的概念。
2. 掌握方差和标准差的计算方法。
3. 能够应用方差和标准差进行数据分析和比较。
二、教学准备：1. 教师：教学课件、黑板、粉笔、电脑等。
2. 学生：学习用书、练习册、计算器等。
三、教学过程：1. 概念讲解方差和标准差是用来描述数据分散程度的指标。
方差是指各个数据与其均值之差的平方的平均值，标准差是方差的算术平方根。
2. 方差的计算方法方差的计算步骤如下：（1）求出数据的平均值；（2）将每个数据与平均值的差求平方；（3）将所有差的平方求和；（4）将差的平方和除以数据个数，即可得到方差。
3. 标准差的计算方法标准差的计算步骤如下：（1）先计算方差；（2）将方差的值开方即可得到标准差。
4. 例题演示（教师可以选择一到两个具体的实例进行演示和讲解，帮助学生理解方差和标准差的计算过程。
）5. 练习（教师可以出几道相关的题目，让学生动手计算方差和标准差，巩固所学内容。
）6. 拓展应用（教师可以引导学生应用所学知识进行数据的分析和比较，例如，给出一些数据集合，让学生计算其方差和标准差，并分析其分散程度和差异性。
）四、教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解并掌握方差和标准差的计算方法，能够灵活运用这些知识进行数据的分析和比较。
针对不同的学生情况，可以适当调整教学内容和难度，提供更多的练习机会和拓展应用的题目，以巩固和拓展学生的知识。
《标准差与方差》数学教案设计
《标准差与方差》数学教案设计1、掌握用计算器求平均数、标准差与方差的方法.2、会用计算器求平均数、标准差与方差.重点、难点分析1、本节内容的重点是用计算器求平均数、标准差与方差，难点是准确操作计算器.2、计算器上的标准差用表示，和教科书中用S表示不一样，但意义是一样的.而计算器上的S和我们教科书上的标准差S意义不一样.在计算器上S和是并排在一起的，按同一键，都是统计计算用的.因S在前，在后，这样要想显示出标准差，就需要发挥该键的统计功能中第二功能，于是就得先按键，再按键.教学设计示例1(一)知识教学点使学生会用计算器求平均数、标准差与方差.(二)能力训练点培养学生正确使用计算器的能力.(三)德育渗透点培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.(四)养育渗透点通过本节课的教学，渗透了用高科技产品求方差值的简单美，激发学生的学习兴趣，丰富了学生具有数学美的底蕴.1.教学重点：用计算器进行统计计算的步骤.2.教学难点：正确输入数据.3.教学疑点：学生容易把计算器上的键S主认为是书上的标准差S，教科书中的符号S与CZ1206计算器上的符号S的意义不同，而与计算器上的符号相同.4.解决办法：首先使计算器进入统计计算状态，再将一些数据输入，按键得出所要求的统计量.(一)明确目标请同学们回想一下，我们已学过用科学计算器进行过哪些运算?(求数的方根、求角的三角函数值等)，那么用计算器和用查表进行这些运算在运算速度、准确性等方面有什么不同，(计算器运算速度快、准确性高，查表慢，且准确性低).这节课我们将要学习用计算器进行统计运算.它会使我们更能充分体会到用计算器进行运算的优越性.这样开门见山的引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课的学习.(二)整体感知进行统计运算，是科学计算器的重要功能之一.一般的科学计算器，都含有统计计算功能，教科书以用CZ1206计算器进行统计计算为例说明计算方法.用CZ1206计算器进行统计计算，一般分成三步：建立统计运算状态，输入数据，按键得出所要求的统计量.这些统计量除了平均数、标准差外，还有数据个数n，各数据的和，各数据的平方和 .衡量一组数据的波动大小的另一个量S.计算器上的键S，并不表示教科书上的标准差S.(三)教学过程教师首先讲清解题的三个步骤，第一步建立统计运算状态.方法：在打开计算器后，先按键2ndF、STAT，便使计算器进入计计算状态.第二步输入数据，其过程一定要用表格显示输入时，每次按数据后再按键DATA.表示已将这个数据输入计算器.这时显示的数，是已输入的数据的累计个数，表中所有数据输入后显示的数为8，表明所有数据的个数(样本容量)为8，如果有重复出现的数据，如有7个数据是3，那么输入时可按3×7(前面是输入的数据，后面是输人数据的个数).第三步按一下有关的键，即可直接得出计算结果.在教师讲情操作要领的基础上，(把学生分成两组)让学生自己操作，用计算器求14.3节例1中两组数据的平均数、标准差与方差.在学生操作过程中，教师要指导学生每输入一个数据，就检查一下计算器上的显示是否与教科书的表格一致，如发现刚输入的数据有误，可按键DEL将它清除，然后继续往下输入.教师还要指出教科书上的符号S与CZ1206型计算器上的符号S 的意义不同，而与该计算器上的符号相同，在CZ1206型计算器键盘上，用表示一组数据的标准差.由于这个计算器上未单设方差计算键，我们可以选按键，然后将它平方，即按键× = ，就得到方差值 .(四)总结、扩展知识小结：通过本节课的学习，我们学会了用科学计算器进行统计运算.在运算中，要注意操作方法与步骤，由于数据输入的过程较长，操作时务必仔细，避免出错，在用计算器进行统计计算的前提下，可通过比较两组数据的标准差来比较它们的波动大小，而不必再转到相应方差的比较.方法小结：用CZ1206型计算器进行统计运算.一般分成三步：建立统计运算状态，输入数据，按键得出所要求的统计量.教材P179中A组随堂练习用计算器计算下列各组数据的平均数和方差、标准差1.60，40，30，45，70，582.9，8，7，6，9，7，8用计算器求平均数、标准差与方差”用计算器求平均数、标准差与方差”内容仅供参考。
九年级上册《方差与标准差》导学案数学教案
九年级上册《方差与标准差》导学案数学教案
标题：九年级上册《方差与标准差》导学案
一、教学目标：
1. 学生能够理解并掌握方差和标准差的概念。
2. 学生能够熟练地计算一组数据的方差和标准差。
3. 学生能够运用方差和标准差来描述数据的离散程度，并能对不同数据集的离散程度进行比较。
二、教学重点难点：
1. 教学重点：方差和标准差的概念及其计算方法。
2. 教学难点：理解和运用方差和标准差描述数据的离散程度。
三、教学过程：
1. 导入新课：
通过实际生活中的例子引入课题，比如学生的考试成绩分布，引出描述数据集中趋势和离散程度的需求。
2. 新课讲解：
（1）介绍平均数作为描述数据集中趋势的一个指标，然后引出描述数据离散程度的需要。
（2）讲解方差的概念和计算方法，引导学生理解方差反映的是数据相对于平均数的偏离程度。
（3）讲解标准差的概念和计算方法，说明它是方差的平方根，更直观地反映了数据的离散程度。
3. 练习巩固：
设计一些练习题，让学生通过计算实例数据的方差和标准差，加深对方差和标准差的理解。
4. 小结：
总结本节课学习的主要内容，强调方差和标准差在描述数据离散程度中的作用。
5. 作业布置：
布置一些包含计算方差和标准差的题目，让学生在实践中进一步熟悉这两个概念。
四、教学反思：
在教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，以提高教学效果。
2022年北师版数学《极差、方差和标准差》精品教案
4 数据的离散程度第1课时极差、方差和标准差【知识与技能】通过分析数据，知道描述数据的不同方法.【过程与方法】通过极差和方差的计算方法，体会对数据的不同描述方法，并利用极差与方差求知量，激发学生们对学习的兴趣.【情感态度】培养学生对数据的集中趋势和波动大小的理解.【教学重点】理解极差和方差的计算方法.【教学难点】理解极差与方差的意义.一、创设情境，导入新课教材第149页问题【教学说明】应用实例并提问启发思考,导入极差的概念，自然而又有探索性.【归纳结论】实际生活中,除了关心数据的集中趋势外,人们往往还关注数据的离散程度,即它们相对于集中趋势的偏离情况.一组数据中最大数据与最小数据的差〔称为极差〕,就是刻画数据离散程度的一个统计量.二、思考探究，获取新知方差的计算和应用.问题1：教材第150页“做一做〞【教学说明】通过问题的分析以及阅读指导的再认识，让学生认识到方差是衡量一组数据的离散程度的常用方法.【归纳结论】数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画.方差〔variance 〕是各个数据与平均数差的平方的平均数,即2222121（）（）（）n s x x x x x x .n=-+-+⋯+- 其中,x 是x 1,x 2,…,x n 的平均数,s 2是方差.而标准差〔standard deviation 〕就是方差的算术平方根.一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定.三、运用新知，深化理解1.数学课上,小明拿出了连续五天最低气温的统计表.那么,这组数据的平均数和极差分别是 .2. 一个样本为1,3,2,2,a,b,c 这个样本的众数为3,平均数为2,那么这个样本的方差为 .3. 五个数1,3，a ，5，8的平均数是4，那么a= ，这五个数的方差是 .4.某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表：根据上表解答以下问题：（1）完成下表：（2）在这五次测试中，成绩比拟稳定的同学是谁？假设将80分以上〔含 80分〕的成绩视为优秀，那么小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？（3）历届比赛说明，成绩到达80分以上〔含80分〕就很可能获奖，成绩到达90分以上〔含90分〕就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比拟适宜？说明你的理由.【教学说明】通过极差与方差的计算，加深对极差与方差的理解，熟练掌握对数据的描述方法.4.解：〔1〕从左到右依次是20，80，80，80，40;〔2〕成绩比拟稳定的同学是小李，小王的优秀率是40%,小李的优秀率是80%.〔3〕假设为了获奖，选取小李，因为小李的优秀率高，有4次得80分以上〔含80分〕，成绩比拟稳定，获奖时机大.假设想得一等奖，选小王，因为小王的成绩获得一等奖的概率较高，有2次90分以上〔含90分〕，因此更有可能获得一等奖.〔注：答案不唯一，可任选其中一人，只要分析合理即可，假设选两人都去参加，不合题意〕四、师生互动，课堂小结1.师生共同回忆极差，方差的概念和计算公式等知识点.2.通过本节课的学习，你已经掌握了哪些知识？还有哪些疑问？与同学们交流.【教学说明】通过回忆与思考稳固本节课所学知识，让学生体会进步与成功的喜悦，有信心更好的学下去.完成练习册中本课时相应练习.本节主要是学习极差、方差的概念并能进行计算，理解极差、方差在描述数据时的意义.【知识与技能】1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中开展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.掌握勾股定理和它的简单应用.【过程与方法】1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法.【情感态度】在数学活动中开展了学生的探究意识和合作交流的习性；体会勾股定理的应用价值，通过本节课学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.一、创设情境，导入新课我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容.【教学说明】让学生经历从特殊到一般的数学方法，明白数学问题是需要通过一定的论证才能说明它的正确性，为后面学习证明打下埋伏.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证及简单运用做一做：1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.【教学说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.—4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P51—5、1—6图.〔1〕将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；〔2〕教材图1—5、1—6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.〔3〕你能分别利用教材图1—5、1—6验证勾股定理吗？【教学说明】学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又让学生体会到一题多解.【归纳结论】勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P7-8的其它证明勾股定理的方法，以开阔事学们的视野.三、运用新知，深化理解1.一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从一个长2m，宽1m的门框内通过，为什么？2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？【教学说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答.并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生活中去.【答案】1.能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过.2.分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中△ABC的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算.解：由勾股定理得BC2=AB2-AC2=52-42=9〔km2〕即BC=3千米飞机20秒飞行3千米.那么它1小时飞行的距离为：3600/20×3=540〔千米/时〕答：飞机每小时飞行540千米.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你学会了哪几种证明勾股定理的方法？还有哪些疑问？【教学说明】总结归纳帮助学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.完成练习册中本课时相应练习.了解多种证明勾股定理的方法，有助于加深对勾股定理内容的理解，但这需要花一定的时间，可以让学生课外了解.并运用所学知识解决实际问题，体验数学来源于生活，生活中也蕴含着许多数学道理.。
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4.4方差和标准差
教材分析
本节内容是继平均数、中位数、众数之后出现的新统计量，它反应的是一组数据的离散程度，课本从射击比赛的成绩引入，提出问题，并让学生通过画图来判断两组数据的波动情况，形象直观，这样提出方差的概念就比较自然。
课本在本节和4.5节（包括相应的作业题）都安排了有关方差的计算，其目的在于让学生能掌握算理和算法。
本节的“探究活动”隐含着一种规律，可以让学生通过探究去发现这种规律，体会发现的乐趣。
教学目标
知识技能目标：1．了解方差的产生的必要性和可行性.
2．理解方差、标准差的概念和计算公式的形成过程.
3．掌握方差的计算公式并会应用方差比较两组数据的波动大小.
4、能用样本的方差来估计总体的方差。
能力目标：会求一组数据的方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度，－从而解决一些简单的实际问题，培养学生的应用意识和实践能力，－强化小组学习，培养学会与他人合作，交流思维的能力.
情感目标：1.通过利用方差解决实际问题，使学生认识到数学知识与人类的生－活生产是联系紧密的.
2. 通过课堂小组讨论，体验数学活动是充满探索与创造，培养学生－合作交流意识和探索精神.
教学重点和难点
重点：方差的概念和计算
难点：方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解，是本节教学的难点。
学情分析
方差公式：比较复杂，学生理解和记忆这个公式都会有一定困难，以致应用时常常出现计算的错误，为突破这一难点，我安排了几个环节，将难点化解。
（1）首先应使学生知道为什么要学习方差和方差公式，目的不明确学生很难对本节课内容产生兴趣和求知欲望。
教师在授课过程中可以多举几个生活中的小例子，比如：选择运动员、选择质量稳定的电器等。
学生从中可以体会到生活中为了更好的做出选择判断经常要去了解一组数据的波动程度，仅仅知道平均水平是不够的。
（2）波动性可以通过什么方式表现出来？第一环节中点明了为什么去了解数据
的波动性，第二环节则主要使学生知道描述数据，波动性的方法。
可以画折线图方法来反映这种波动大小，可是当波动大小区别不大时，仅用画折线图方法去描述恐怕不会准确，这自然希望可以出现一种数量来描述数据波动大小，这就引出方差产生的必要性。
（3）第三环节教师可以直接对方差公式作分析和解释，波动大小指的是与平均数之间差异，那么用每个数据与平均值的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小，整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到。
所以方差公式是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量。
构思：教师的“教”体现在创设情景-----组织探究----发现规律----熟练运用学生的“学”体现在通过对现实生活中的具体问题情境的分析和探究，发现了在实际生活应用中需要方差这样新的统计量：反映一组数据与其平均值的离散程度，也就是用来衡量一批数据的波动大小，在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定
教法分析：
情境法----对具体的实际情境进行分析和计算发现方差出现的必要性。
探究法----引导学生对实际情境的数据进行整理、计算、分析得出结果。
讨论法----利用具体实例促进学生对方差和标准差的理解和探索。
教学用具：多媒体课件、计算器等。
教学设计
一、创设情景
观看2004年奥运会男子十米气步枪决赛录像片断和图片，展示问题。
（1）大家知道这个录像片断的内容吗？猜猜图片中的人物是谁？
（朱启南，学生观看录像，气氛热烈）
（2）现在要培养新人，教练要从甲、乙两名跨栏运动员中选取一名队员作为重点培养对象，假设你是一名教练，根据他们平时的比赛成绩该选择哪一名队员呢？课件给出两名射击手的测试成绩统计表，同学们很快发现用已经学过的平均数法大家都是8，而用中位数和众数又不能很好的进行比较。
两名队员比赛成绩平均值持平，而孙教练经过研究选择了甲队员，是什么原因呢？你们想知道吗？该问题能够激发学生的好奇心和求知欲，促使学生想去了解其中的原因，学好本节课.
二、启发式引导：
（1）要选拔射击手参加比赛，应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手？
（2）画出两人测试成绩的折线图。
（让学生亲自动手画图，看图，得到答案，培养学生实际动手能力和观察、分析、解决问题的能力。
）
( 3)观察发现什么?(甲的成绩大部分集中在平均成绩8环的附近，而乙的成绩与
其平均值的离散程度较大。
)
通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定。
思考：什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度?
我们已经看出，乙的测试成绩与平均值的偏差较大，而甲的较小。
那么如何加以说明呢?
三、试一试：
(1) 可否用各个数据与平均的差的累计数来表示数据的偏离程度？
很明显，各个数据与平均数的差的累计数都为0，是不可能表示数据与平均数的偏离程度的
(2) 是否可用各个数据与平均数的差的平方和来表示数据的偏离程度？让学生具体算一算甲、乙两名射手成绩与平均数的差的平方和。
（3）数据的偏离程度还与什么有关？要比较两组样本容量不相同的数据的偏离平均数的程度，应如何比较？
四、小组交流，讨论总结方法与结果
1、根据以上问题情景，在学生讨论，教师补充的基础上得出方差的概念、计算方法、及用方差来判断数据的稳定性。
2、从方差的计算公式中分析方差的大小与数据波动的大小存在怎样的关系. 出示方差的定义：（课件展示）一般地，各数据与平均数的差的平方的平
均数 叫做这批数据的方差
意义：用来衡量一批数据的波动大小
注意：取相同样本容量。
在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定 研究方差的前提之一：平均数相等或非常接近
学生通过计算两名队员成绩的方差值解释专家选择甲队员的理由.（回应引入部分留下的数学思考，使学生释然，感受利用所学知识解决实际问题带来的喜悦.体会现实生活中常常要考虑数据波动大小做出正确的选择和判断.）
五、应用概念，巩固新知
例1、 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中
抽出10株苗，测得苗高如下（单位：cm ）
甲：12 ，13 ，14 ，15 ，10 ，16 ，13 ，11 ，15 ，11
乙：11 ，16 ，17 ，14 ，13 ，19 ，6 ， 8 ， 10 ，16
问哪种小麦长得比较整齐？
(从现实生活中提出数学问题，促使学生能积极的参与到数学活动中去。
使学生体验到统计知识与现实生活的联系，通过解决例1复习巩固了方差公式和应用方差分析、描述一组数据稳定性从而做出准确判断的方法。
)
[]
222212)()()(1x x x x x x n S n -++-+-=
我们看到，数据的单位和方差的单位是不一致的，方差的单位是数据单位的平方。
为使单位一致，可用方差的算术平方根：
方差的算术平方根
并把它叫做标准差（standhard deviation ）
优点：单位与所研究数据单位一致
缺点：笔算时开方不方便，明显又多一步运算
六、巩固练习，反馈信息
1、课本“课内练习”第１题和第２题
灵活补充：
2、求这三组数据的平均数、方差和标准差。
3、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？
4、一个样本的方差是2222121001[(8)(8)(8)]100
s x x x =-+-+⋅⋅⋅-则这个样本中的数据个数是____，平均数是____
七、课堂小结（课件展示，通过回顾与反思巩固本节课所学的知识，让学生体会进步和成功的喜悦，有信心更好的学习下去，采用学生总结，教师补充的方式）
1、这节课你有什么收获？
2. 你觉得这节课所学知识中有哪些方面需要注意的？
3、通过这节课的学习，你还有什么不明白的问题？
八、分层作业，延伸拓展
1、课本“作业题”第3题。
2、选做题：
在某旅游景区上山的一条小路上有一些断断续续的台阶，如下图是其中的甲、乙段台阶路的示意图（图中的数字表示每一级台阶的高度）．请你用所学过的统计量（平均数、中位数、方差等）进行分析，回答下列问题： ( 1 ）两段台阶路每级台阶的高度有哪些相同点和不同点？ ( 2 ）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？ ( 3 ）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．
[]
2
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板书设计 4.4 方差和标准差
一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数 例1 叫做这批数据的方差
在样本容量相同的情况下，方差越大， 练习 说明数据的波动越大， 越不稳定
方差的算术平方根
叫做标准差 []
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